Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi -muoto................... 1.3 Kompleksitaso............................ 3 1. Liittoluku............................... 3 1..1 Jakolasku........................... 1.5 Esimerkkejä.............................. 5 Napakoordiaattimuoto 6.1 Kerto- ja jakolasku.......................... 6. Kokoaislukupotessi........................ 7.3 Juuret................................. 7. Esimerkkejä.............................. 9 3 Tehtävät 10 1
1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso Kompleksilukuje määritelmä mukaa kompleksiluvut ovat lukupareja (x, y). Kompleksilukua merkitää yleesä kirjaimella z = (x, y), jossa esimmäistä osaa x kutsutaa reaaliosaksi (x = Rez) ja toista osaa y imagiääriosaksi (y = Imz). Määritelmä mukaa kompleksiluvut ovat yhtäsuuret jos ja vai jos reaali- ja imagiääriosat ovat yhtä suuret (Rez 1 = Rez ja Imz 1 = Imz ). Lukuparia (0, 1) kutsutaa imagiääriyksiköksi ja sitä merkitää i-kirjaimella. i = (0, 1) (1) 1.1 Yhtee- ja väheyslasku Kahde kompleksiluvu summa saadaa laskemalla yhtee iide reaali- ja imagiääriosat. Olkoo z 1 = (x 1, y 1 ) ja z = (x, y ), eli z 1 + z = (x 1, y 1 ) + (x, y ) = (x 1 + x, y 1 + y ) () Väheyslasku saadaa sitte vastaavasti: z 1 z = (x 1, y 1 ) (x, y ) = (x 1 x, y 1 y ) (3) 1. Kertolasku ja z = x + yi -muoto. Kertolasku määritellää seuraavasti: z 1 z = (x 1, y 1 )(x, y ) = (x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) () Määritelmä mukaa i = i i = (0, 1)(0, 1) = (0 0 1 1, 0 1+1 0) = ( 1, 0) eli: i = 1 (5) Seuraavaksi lasketaa reaaliluvu y ja imagiääriyksikö i tulo: yi = (y, 0)(0, 1) = (y 0 0 1, y 1 + 0 0) = (0, y) Kompleksiluku (x, y) voidaa esittää summaa (x, 0) +(0, y). Käyttämällä merkitöjä (x, 0) = x ja (0, y) = yi saadaa: z = (x, y) = x + yi (6) Reaaliluku x o kompleksiluvu reaaliosa ja reaaliluku y kompleksiluvu imagiääriosa, jolloi kompleksiluku x + yi o: reaalie, jos y = 0 imagiäärie, jos y 0 puhtaasti imagiäärie, jos x = 0 ja y 0 Käytettäessä merkitää x + yi kompleksiluvuilla laskemie muuttuu polyomilaskeaksi, jossa o otettava huomioo imagiääriyksikö perusomiaisuus (5). Tällöi kertolasku määritelmää ei eriksee tarvitse muistaa.
1.3 Kompleksitaso Kompleksitasoa voidaa käyttää kompleksiluvu geometrisee esittämisee. Käytäössä tämä o erittäi hyödyllistä. Idea o yksikertaie. Kaivakaamme takataskusta xy-koordiaatisto. Sitte sovitaa, että x-akseli kuvaa kompleksiluvu reaaliosaa ja y-akseli imagiääriosaa. Molemmille akseleille valitaa sama pituusyksikkö. Sitte piirretää kompleksiluku z = (x, y) = x + yi pisteeä P, joka koordiaatit ovat (x,y). Katso kuvaa. Kuva : Kompleksitaso 1. Liittoluku Kompleksiluvulle z = x + yi o määritelty liittoluku(ks. kuva 3): z = x yi (7) Liittoluku o tärkeä, koska se avulla voimme muuttaa kompleksiluvu reaaliluvuksi. z = x + yi z zz = (x + yi)(x yi) zz = x xyi + xyi y i zz = x y ( 1) zz = x + y 3
Liittoluvulle pätevät seuraavat omiaisuudet: (z 1 + z ) = z 1 + z (8) (z 1 z ) = z 1 z (9) (z 1 z ) = z 1 z (10) ( ) z1 = z 1 (11) z z Kuva 3: Liittoluku 1..1 Jakolasku Jotta jakolasku voitaisii suorittaa täytyy imittäjä olla reaalie. Näi olle osamäärää laskettaessa laveetaa imittäjä liittoluvulla. z 1 z = z 1z z z = (x 1 + y 1 i)(x y i) x + y (1)
1.5 Esimerkkejä 1. Laske kompleksilukuje (, 3) ja ( 1, ) a) summa b) tulo ja esitä vastaus x + yi-muodossa. a) (, 3) + ( 1, ) = ( 1, 3 + ) = (1, 7) = 1 + 7i b) (, 3)( 1, ) = ( ( 1) 3, + 3 ( 1)) = ( 1, 5) = 5i 1. Ratkaise yhtälö: ( x) + (y + 1)i = 3 + i ( { x) + (y + 1)i = 3 + i x = 3, josta x = 1, y = 3 y + 1 = 3. Määritä kompleksilukuje i, i 3, π 3 ja 3i reaali- ja imagiääriosa. Re( i) = Im( i) = 1 Re(i 3) = 3 Im(i 3) = Re(π 3) = π 3 Im(π 3) = 0 Re( 3i ) = 0 Im( 3i ) = 3. Sieveä. a) ( + i) + (5 i) ( 3 + 3i) b) (3 i)( + 5i) c) i 3 d) i e) i 7 a) ( + i) + (5 i) ( 3 + 3i) = + i + 5 i + 3 3i = 10 i b) (3 i)( + 5i) = 6 + 15i i 5i = 6 + 13i 5 ( 1) = 11 + 13i c) i 3 = i i = i d) i = i i = 1 ( 1) = 1 e) i 7 = i i 3 = (i ) 6 i 3 = 1 6 ( i) = i 5. Määritä z, ku z o a) 3 + i b) 3i c) 6i + 5 a) z = 3 + i = 3 i b) 3i = + 3i c) 6i + 5 = 5 6i 6. Sieveä. 6 + i/5i 6 + i 5i = = = (6 + i)(5i ) (5i )(5i ) (6 + i)( 5i) 5 + 3i = 9 9 3 9 i 5
Napakoordiaattimuoto Kompleksitaso käytettävyyttä voidaa laajetaa määrittelemällä kompleksiluvulle apakoordiaatit r ja θ, jotka ovat määritelty seuraavasti: Näi olle z = x + yi-muoto saa muodo: x = r cos θ y = r si θ (13) z = r cos θ + (r si θ)i = r(cos θ + i si θ) (1) r o kompleksiluvu z itseisarvo ja sitä merkitää z (ks. kuva ), jote: z = r = x + y = zz (15) Geometrisesti z o pistee z etäisyys origosta (ks. kuva ). Samoi z 1 z o z 1 : etäisyys z :sta. θ o z: argumetti ja sitä merkitää arg z-merkiällä. Kuvasta ähdää, että: θ = arg z = arcta y x (16) Geometrisesti θ o suutakulma positiiviselta x-akselilta jaalle OP (Kuva ). Laskeallisesti kaikki kulmat esitetää radiaaeia ja positiivisia vastapäivää kulkevia. θ: arvoa, joka o välillä π < θ π kutsutaa päähaaraksi ja z: argumettia merkitää merkiällä: Argz, isolla A:lla. Huomaa! Käytettäessä kaavaa (16) täytyy muistaa katsoa missä eljäeksessä z o, koska tagetti o jaksollie (yksi jakso π) jote z: ja z: argumetit ovat samat..1 Kerto- ja jakolasku Napakoordiaattimuodosta saadaa kerto- ja jakolaskulle geometrie tulkita. Olkoo z 1 = r 1 (cos θ 1 + i si θ 1 ) ja z = r (cos θ + i si θ ). Ja määritelmä () mukaa: z 1 z = r 1 r ( (cos θ1 cos θ si θ 1 si θ ) + i(si θ 1 cos θ + cos θ 1 si θ ) ) Sii ja kosii summakaavoista ( si(θ 1 ± θ ) = si θ 1 cos θ ± cos θ 1 si θ ja cos(θ 1 ± θ ) = cos θ 1 cos θ si θ 1 si θ ) saadaa: z 1 z = r 1 r ( cos(θ1 + θ ) + i si(θ 1 + θ ) ) (17) Ottamalla itseisarvot ja argumetit (17):sta saadaa tärkeät sääöt: ja z 1 z = z 1 z (18) arg(z 1 z ) = arg z 1 + arg z (19) 6
Jos z = z 1 /z zz = z 1. Niipä zz = z z = z 1 ja arg(zz ) = arg z + arg z = arg z 1. Tästä seuraa, että: z 1 = z 1 (0) z ja Yhdistämällä sääöt (0) ja (1) saadaa: z arg z 1 z = arg z 1 arg z (1) z 1 z = r 1 r ( cos(θ1 θ ) + i si(θ 1 θ ) ) (). Kokoaislukupotessi z = ( r(cos θ + i si θ) ) z = r(cos θ + i si θ) r(cos θ + i si θ) r(cos θ + i si θ) }{{} (17) mukaa: z ( ) = } rrr {{ r } cos(θ + θ + θ + + θ ) + i si(θ + θ + θ + + θ }{{}}{{} Tätä kaavaa kutsutaa Moivre kaavaksi. z = r ( cos(θ) + i si(θ) ) (3).3 Juuret z = w N + w = z Kompleksie juuri o moiarvoie (-arvoie) ja kaikki juuret saadaa helposti seuraavalla meetelmällä: Merkitää: w = R(cos φ + i si φ), jolloi yhtälö z = w saa muodo w = R (cos φ + i si φ) = z = r(cos θ + i si θ). Ottamalla itseisarvot molemmilta puolilta saadaa: R = r R = r () 7
jossa juuri o reaalie ja positiivie ja site määritelty. Ottamalla argumetit molemmilta puolilta saadaa: φ = θ + kπ φ = θ + kπ k N (5) k: arvoilla 0, 1,, 1 saadaa erilaista arvoa. Seuraavat k: arvot atavat jo aiemmi saatuja arvoja. (): ja (5): mukaa w saa muodo: [ ( ) ( )] z = θ + kπ θ + kπ r cos + i si (6) 8
. Esimerkkejä 1. Muuta apakoordiaattimuotoo, ku z o a) 1 + i 3 b) 1 + i a) 1 + i 3 r = x + y = 1 + 3 = = arg(1+i 3) = arcta y x = arcta 3 1 = π 3, koska z esimmäisessä eljäeksessä. Siis z = [cos π 3 + i si π 3 ]. b) 1 + i r = 1 + 1 = arg(1 + i) = arcta 1 = π, koska z esimmäisessä eljäeksessä. Siis z = [cos π + i si π ].. Olkoo z 1 = 1 + 3 ja z = 1 + i. Ratkaise apakoordiaattimuodossa a) z 1 z b) z /z 1 c) z 17 d) z 1 a) z 1 z = [cos( π 3 + π ) + i si( π 3 + π ] = [cos 7π 7π 1 + i si 1 ] b) z /z 1 = [cos( π π 3 ) + i si( π π 3 ] = /[cos π 1 + i si π 1 ] c) z 17 = 56 (cos 17π 17π + i si ) d) 1 + i 3 = [cos( π/3+kπ ) + i si( π/3+kπ )] = [cos( π 1 + kπ ) + i si( π 1 + kπ )] 3. Ratkaise yhtälö: z + (1 + i)z = i. z + (1 + i)z + i = 0 Voidaa käyttää toise astee yhtälö ratkaisukaavaa z = 1 i + (1 + i) 1 i 1 = 1 i + i [ ( ) ( )] π/ + kπ π/ + kπ i = cos + i si = [ cos ( π ) + kπ + i si ( π )] + kπ = [ ( cos π ) ( + i si π )] = 1 i k = 0 tai = [ = cos ( π ) + π [ cos z = 1 i + 1 i tai = 1 i + i 1 { i z = 1 ( ) 3π + i si + i si ( π )] + π )] ( 3π = i = i = = 1 = i 1 k = 1 r =, θ = π 9
3 Tehtävät 1. Olkoo z 1 = + 3i ja z = 5i. Laske. a) z 1 z b) ( z1 z ) c) Re(z 3 1 ) d) (1 + i) 9 e) 3 1 + i. Ratkaise yhtälö z (7 + i)z + + 7i 10