x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁØ¹ËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ Ø ¾ ¾º½ À Ð ÖØ¹ Ú ÖÙÙ Ø L 2 () H 1 () º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÔÝ ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓ Ò Ø Ò ÐÐ ÔØ Ø Ý ØÐ Ø º½ À Ó Ö Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ À ÓÒ Ö Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ½ º½ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ý ÙÐÓØØ Ø Ô Ù º º º º º º º ½ º¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù º º º º º º º ¾¾ º Ê Ø ÙÒ ÖÚ Ó ÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ØÐ Ò Aξ = b Ö Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º P 1 ¹ P 2 ¹ Ð Ñ ÒØØ Ò Ú ÖØ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÆÙÑ Ö Ø Ø Ö Ø ÐÙ º½ Ê ÙÒ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÐÐ ÔØ Ò Ò Ý ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ËÓÚ ÐÐ ØÙØ Ø Ô Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ô Ø ÙÚ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ó ÐÑÓ Ñ Ò Ò

½ ÂÓ ÒØÓ Í Ò ÐÙÓÒÒÓÒ ÐÑ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø ÚÓ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ó ØØ Ö¹ ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÚÙÐÐ º ÃÙÒ ÐÑ Ø ØÙØ Ø Ò Ó Ò Ø ØÝ ÐÙ ÓÒ ÐÙÓÒØ Ú ÔÓ Ø ÑÝ Ñ Ø Ø Ô ØÙÙ Ý Ò ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ º ÌÓ ¹ Ò Ò ÐÐ ØØ Ú ÐÐ Ø Ó Ò Ú ÓØ Ð ØÓ Ò Ò Ø Ð ÑÙÙØØÙÙ Ö ÙÒ ÐÐ ÓÒ Ò ÐÙÓÒÒÓÒÐ Ò ÑÙ Òº Ñ Ö Ò Ö ÐÑÔ Ò ÔÔ Ð Ò ÓÐ¹ Ð Ó ØÙ ÐÑÔ Ø Ð ÔÝÖ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ô ÒØ Ò ÑÙ Ò Ø Ó ØØÙÑ Ò ÔÔ Ð Ò ÚÐ Ò Ò ÐÑÔ ÚÙÓÒ ÙÙÒØ ÓÒ ÙÙÑ ÑÑ Ø ÔÔ Ð Ø Ú Ð ÑÔÒº ÌØ ÑÙ Ø Ú Ø Ú ÐÑ Ø ÚÓ Ò ÙÚ Ø Ö Ð ÐÐ Ö ÙÒ Ó ÐÐ º ÌÐÐ Ø Ð ÒØ Ø Ó Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ú ÙØØ Ú Ø Ø Ø Ø ¹ ØÒ ÐÙ Ò ÐÐ ØØ Ö ÙÒ ÐÐ ÙØ ÙØ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö ÙÒ ¹ ÖÚÓ¹ ÓÒ ÐÑ º Ö ØÓØ Ò Ó ØØ Ö ÒØ Ð ÓÒ ÐÑ ÙØ ÙØ Ò Ø Ð ÒØ Ø Ó ¹ ÐÙ Ò ÐÐ Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò ÑÖ ØØ Ð Ó Ò Ó ØØ Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ º ÌÝ Ò Ú Ñ ÔÔ Ð ØÙØ Ø Ò Ö Ð Ö ÙÒ ØÓ ØÓ Ò Ø Ò ÐÐ ÔØ Ò Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ º À Ú ÒØÓ Ú ÖÖ Ø Ò ØÙÒÒ ØØÙ Ò ÐÙÓÒÒÓÒÐ Ò ÐÚ Ø ØÒ Ñ Ò Ð Ý Ð¹ ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ñ ÐÐ ÒØ ÐÐ ÔØ Ò Ý ØÐ Ò ÚÙÐÐ º ÄÓÔÙ Ö Ø Ø Ò Ö ÓÒ ÐÑ Ó ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÑÝ ÐÐ ÔØ Òº ÃÓ Ó ØØ Ö ÒØ Ð ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÒ Ð Ò Ñ ÓØÓÒØ Ð ÝØ Ò ¹ ÐÝÝØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ò Ò Ö Ø Ñ ÓÒ Ø ØØÝ ÒÙÑ Ö Ñ Ò Ø ÐÑ º Ì ØÙØ ÐÑ Ø ÐØÚ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ö Ø Ù ÖÚ Ó Ò Ö Ø Ù ÐÐ ÓØ ÓÚ Ø Ô ÐÓ ØØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÙÓØÓ º ÃÓ ØÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÚØ ÓÐ Ö ÒØ Ó ØÙÚ Ô Ö ÒØ Ñ Ð Ø ÖÚ Ø Ò Ð ÑÔ Ú ÖÙÙ ¹ Ù Ò C k º Ò ÑÑ ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ Ö Ø ÙÐÐ Ö ØØÚ À Ð ÖØ¹ Ú ÖÙÙ H 1 º ÌÙØ ÑÙ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÐÙ ÐÐ ÓÒ ØÙÒØ ÑÙ Ø Ä ÕÙ ¹Ñ Ø ÐÐ Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Øº ËÙÓ Ø ÐØ Ú ÓÐ ØØ ÐÐ ¹ Ø Ò Ð ÐÙ ÓÐ ÙÓÖ ØØ ÒÙØ ÙÑ Ä Ù ¹ÓÔ ÒÒÓØ Ñ Ø Ñ Ø Ø º ½

¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ Ø Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ø Ú Ò Ö Ø Ù Ò ÐÙÓÒØ Ø Ó ØÙ Ò ÓÒ ÓÐ ÐÐ Ø ØÙØÙ ØÙ À Ð ÖØ¹ Ú ÖÙÙ Òº Ì ØÙØ ÐÑ Ö Ø ÙØ ØÙÐ Ú Ø ÙÙÐÙÑ Ò Ú ÖÙÙØ Ò H 1 () Ó ÐØ Ø ÙÚ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ó Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐ¹ Ð ÚÐØØÑØØ Ð Øº Ä ØÝ Ø ÐÐÒ Ú Ò ÒÓÖÑ ¹ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ¹ ÓØ Ò ÝÐ ÑÔ Ò Ñ ØÖ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÓÐ ÝÝØ ÝÚ ÒØÝº ÌÙØ ÐÑ R n ÙÚ ÚÓ ÒØ ÓÙ Ó ÓÒ Ö ÙÒ = Γ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð º Å Ö ÒÒÐÐ = Γ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÙ Ò ÙÐ ÙÑ º ¾º½ À Ð ÖØ¹ Ú ÖÙÙ Ø L 2 () H 1 () ÐÙ Ø ÐÐÒ Ä ÕÙ ¹Ñ Ø ÐÐ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ø L p () L ()º ÃÝ ¹ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Ò ÚÓ ØÙØÙ ØÙ Ø Ö ÑÑ Ò Ñ Ö Ð Ø Ø ½½ º ÃÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ L p ÙÚ Ñ Ò Ä ÕÙ Ú ÖÙÙ Ò L p () ÒÓÖÑ º ÑÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½º µ ÇÐ ÓÓÒ ÚÓ Ò ÓÙ Ó 1 p < º ÌÐÐ Ò L p () := {u : R Ù ÓÒ Ñ Ø ÐÐ Ò Ò, u L p 0}, Ñ ( 1/p u L p := u dµ) p. µ ÃÙÒ p = Ò Ò Ñ L () := {u : R Ù ÓÒ Ñ Ø ÐÐ Ò Ò, u L 0}, u L := sup u. ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½º¾º Ú ÖÙÙ Ò L 2 () ÐØÑ ÙÒ Ø Ó Ø ÙØ ÙØ Ò Ò Ð Ò¹ Ø ÖÓ ØÙÚ Ú ÖÙÙ Ò L () ÙÒ Ø Ó Ø Ñ Ð Ò ÐÐ Ø ÙÚ º ÃÓ Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ú ÖÙÙ ÓÒ ÐØÑ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÚ Ò Ò Ø Ó Ö Ú ØØ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ k ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù u C k ()º ÃÙØ ÙØ Ò ÖÖÓ ÒØ α = (α 1,...,α n ) ÑÙÐØ ¹ Ò ÓÒ Ø ÓÒ α = α 1 + +α n = kº º¾ ¾

ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ u,v L 1 loc () α ÓÒ ÑÙÐØ ¹ Ò º ÌÐÐ Ò v ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ u αº Ó Ö Ú ØØ ÙÒ ÐÐ Ø Ø ÙÒ Ø Ó ÐÐ φ C c ÔØ ud α φdx = ( 1) α vφdx. Å Ö ØÒ Ó Ö Ú ØØ º ¾ ¾ v = D α u = α u x α 1... x α n. Â Ø Ó Ñ Ö ÒÒÐÐ u = ( 1 u, 2 u,..., n u) Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ u Ö ÒØØ Ó i u = u x i ÓÚ Ø Ó ØØ Ö Ú ØØÓ Ó Ñ Ð º Ä ÑÑ ¾º½º º À ÓÒ Ö Ú Ø Ò Ý ØØ ÝÝ µº ÙÒ Ø Ó u ÓÒ Ý Ø¹ Ø Ò Ò Ñ Ð Ò ÐÐ Ñº ºµ Ñ Ð Ò αº Ó Ö Ú ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ º ¾ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ v,ṽ L 1 loc () ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò ud α φdx = ( 1) α vφdx = ( 1) α ṽφdx ÐÐ φ C c º ÌÐÐ Ò ÐÐ φ C c ÙÒ v ṽ = 0 Ñº º (v ṽ)φdx = 0 ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ó Ò Ö Ú ØØÓ Ò Ú ÖÙÙ Ø ÓØ ØÙÒÒ Ø Ò ÑÝ ËÓ ÓÐ Ú¹ Ú ÖÙÙ Ò º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ËÓ ÓÐ Ú¹ Ú ÖÙÙ ÐØ ÐÓ Ð Ø ÙÑÑ ÙØÙÚ Ø ÙÒ Ø ÓØ u : R Ø Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ u ÓØ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø D α u ÓÚ Ø ÓÐ Ñ Ó ÐÐ ÑÙÐØ ¹ Ò ÐÐ α Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ α k ÙÙÐÙÚ Ø Ú ÖÙÙØ Ò L p ()º ËÓ ÓÐ Ú¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ö ØÒ W k,p (), Ñ 1 p ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ k > 0 ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ùº º ¾

Ñ Ö ¾º½º º ËÓ ÓÐ Ú¹ Ú ÖÙÙ Ó ÐØ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ø p = 2µ ÙÒ Ø ÓØ Ó Ò Ò ÑÑ Ø ÓØ Ö Ú Ø Ø k = 1µ ÓÚ Ø ÑÝ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÓÒ W 1,2 () := {u L 2 () : Du L 2 (),j = 1,...,n} ÁØ Ý Ò Ò ËÓ ÓÐ Ú¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ø ÚÓ ØØ Ð Ñ ÑÑ À Ð ÖØ Ú ÖÙÙ H 1 ()º Ä Ó Ø Ö Ø ÐØ Ú ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ö ÙÒ ØÓ Ö Ø ÙØ ÙÙÐÙÚ Ø Ú ÖÙÙØ Ò u = 0 ÙÒ x Γ, H 1 0 () := {u H1 () : u = 0 ÙÒ x Γ}. ÃÙÚ ½µ ÓÒ Ø ØØÝ Ö Ô ÐÓ ØØ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó u H 1 (I) Ñ ¹ I =]0,5[º ÅÝ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ø Ú Ø Ö Ø ÙØ ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø Ô ÐÓ ØØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÙÓØÓ Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÙØ Ò Ñ Ö Ð Ò Ö Ø º Ä H 1 Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÔ Ú Ø Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ö Ø Ù ÑÝ Ù ÑÑ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù º ÃÙÚ ½ ÙÒ Ø Ó u ÙÙÐÙÙ ÐÚ Ø Ú ÖÙÙØ Ò H 1 (I) ÐÐ ÑÝ Ò Ò Ñ¹ Ñ Ò Ò Ó Ö Ú ØØ Du ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ º ÃÝ Ò ÙÖ Ú ÐÔ À Ð ÖØ Ú ÖÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ú ØØ Ú ØÙ¹ ÐÓ Ö Ø º ¹ º ÇÐ ÓÓÒ Ø Ó S Ö Ð ÖØÓ Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ ¹ Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÃÙÚ Ù Ø : X R + ÙØ ÙØ Ò ÒÓÖÑ Ó

µ u+v u + v ÐÐ u,v Xº µ λu = λ u ÐÐ u X,λ Rº µ u = 0 Ó Ú Ò Ó u = 0º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÂÓÒÓ {u k } k N S ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ó Ó Ø ε > 0 Ú Ø N N Ø Ò ØØ x k x l < ε ÐÐ k,l N. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½¼º ÂÓÒÓ {u k } k N S ÙÔÔ Ò Ó Ø Ð ÓØ u S Ó Ó Ø ε > 0 Ú Ø N N Ø Ò ØØ x k x < ε ÐÐ k N. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½½º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙØØ Ó Ò Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÙÔÔ Ò º S ÒÓØ Ò ØÝ ÐÐ Ó Ò ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½¾º ÂÓ Ú ÖÙÙ ÒÓØ Ò Ò ¹ Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½ º ÃÙÚ Ù Ø Ú ÖÙÙ S Ó S ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ø ØØÙ Ø ¹ (,) : S S R ÙØ ÙØ Ò ØÙÐÓ µ (u,v) = (v,u) ÐÐ u,v Hº µ u (u,v) ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÐÐ v Hº µ (u,u) 0 ÐÐ u Hº Úµ (u,u) = 0 u = 0º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½º½ º ÃÙÒ S = R n Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ø Ú ØÓÖ Ò x,y R n Ô Ø ØÙÐÓ Ó Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ (x,y) = x yº Ë ÙÖ Ù ¾º½º½ º Ë ØÙÐÓ Ò Ù Ó ÒÓÖÑ Ò u := (u,u) 1/2 ÌÓ ØÙ º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ = (,) 1/2 ØÓØ ÙØØ ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º½ Ó Ø µ ¹ µº ÃÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ µ ØÓ µ ØÓØ ÙØÙÚ Ø ÐÚ Ø ÙÒ u,v R ÓØ Ò ÚÙÙØ Ø Ò Ò Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ò ØÖ Ú Ð Ò º ÌÓ ÐØ ÓÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ u ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÓØ Ò ØÓ µ ØÓØ ÙØÙÙ ÐÚ Ø λu = (λu,λu) 1/2 = λ 2 (u,u) 1/2 = λ u, ÙÒ u S λ Rº

ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½ º Ò ¹ Ú ÖÙÙØØ S Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ ØÙÐÓÐÐ Ó Ò ÖÓ ÒÓÖÑ Ò ÙØ ÙØ Ò À Ð ÖØ¹ Ú ÖÙÙ º Â Ø Ó Ñ Ö ÒÒÐÐ H Ø Ö Ó Ø Ø Ò À Ð ÖØ¹ Ú ÖÙÙ ÝÐ Ø Ñ Ö Ò¹ Ò ÐÐ (,) H r H r Ú ÖÙÙ Ò H r ØÙÐÓ ÒÓÖÑ ÐÙ º Ñ Ö ¾º½º½ º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ µ Ú ÖÙÙ L 2 () Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ ØÙÐÓÐÐ (u,v) L 2 = uvdx ¾º½µ µ H 1 () Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ ØÙÐÓÐÐ (u,v) H 1 = (uv + u v)dx ÓÚ Ø À Ð ÖØ¹ Ú ÖÙÙ º Î Ø Ú Ø Ò Ò ÒÓÖÑ Ø ÓÚ Ø ( 1/2 µ u L 2 = u dx) 2, ( 1/2 µ u H 1 = ( u 2 + u )dx) 2. ¾º¾µ ¾º¾ ÔÝ ØÐ Ø ÌÓ Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ù Ý¹ËÛ ÖÞ Ò ÈÓ Ò Ö Ò ÔÝ ØÐ Øº Ä Ù ¾º¾º½º Ù Ý¹Ë Û ÖØÞ Ò ÔÝ ØÐ µº ÇÐ ÓÓÒ ÂÓ u,v S Ò Ò (u,v) u v. S ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ º ¾º µ ÌÓ ØÙ º ÃÓ 0 ( v u u v, v u u v) = 2 u 2 v 2 u v ((u,v)+(v,u)), Ò Ò 2 u v ((u,v) + (v,u))º Î Ø ÙÖ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º½ Ó Ò µ ÒÓ ÐÐ (u,v) = (v,u)º ½¾ º Ä Ù ¾º¾º¾º ÈÓ Ò Ö Ò ÔÝ ØÐ ºµ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÐÙ Ò R n Ö ÙÒ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ K 0 Ø Ò ØØ ÔÝ ØÐ ÓÒ ÚÓ Ñ º v L 2 K v H 1 0 ÐÐ v H 1 0(). ¾º µ

ÌÓ ØÙ º ÔÝ ØÐ Ò ØÓ ØÙ ÒÓÙ ØØ Ð Ò Ò ¾ º¾ ¹¾ Ö Ò Ð ØÝÑ Ø Ô ½ º ¼¹ ½ º ÌÓ ØÙ ÝØ ØØÚ ÓÙ Ó C0 () ÐØ Ð Ø ÙÒ Ø ÓØ Ó Ò ÖÚÓ ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ ÙÒ ÐÙ ÓÒ n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ò ÝÔ Ö ÙÙØ Ó ÝÐ Ø ØÒ ØÙÐÓ ØÑÒ Ð Òº ÅÖ Ø ØÒ x = (x 1,x ) Ñ x = (x 2,...,x n ) ÒÝØ := {x = (x 1,x ) : 0 < x i < l,i = 1,2,...,n}, Ñ l > 0 ÙÚ ÙÙØ ÓÒ ÚÙÒ Ñ ØØ º ÃÓ C0 () ÓÒ Ø Ú ÖÙÙ H0 1 () ½ º ¾ Ò Ò ÔÝ ØÐ Ò ¾º µ ØÓ Ø Ñ ÚÓ Ò ÝØØ ÙÒ ¹ Ø Ó Ø v C0 ()º Å Ø Ò ÙÒ Ø Ó v : x v(x) ÚÓ Ò Ö Ó ØØ v(x 1,x ) = v(0,x )+ x1 0 x1 v(y,x )dy. ÆÝØ Ú ÖÙÙ Ò C0 () ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÚÙÓ Ö ÙÒ Ø ÖÑ Ú º Ì Ö Ø Ð¹ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ v Ø ÖÚÓ x1 l v(x 1,x ) = 1 v(y,x )dy 1 v(y,x )dy. ¾º µ 0 ÐÐ Ò Ù Ý¹Ë Û ÖØÞ ÔÝ ØÐ Ø ¾º µ ÙÖ l ( l ) 1/2 ( l ) 1/2 1 1 v(y,x )dy 1dy 1 v(y,x ) 2 dy 0 0 0 ( l 1/2 = l 1/2 1 v(y,x ) dy) 2. ¾º µ ØÑÐÐ ØÙÐÓ Ø ¾º µ ¾º µ Ò v(x 1,x ) 2 l 0 l 0 0 1 v(y,x ) 2 dy. ¾º µ ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ý ØÐ ¾º µ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÑÙÙØØÙ Ò x 1 Ù Ø Ò ÔÝ ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ l 0 l v(x 1,x ) 2 dx 1 l 2 1 v(y,x ) 2 dy. ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÐÐ Ò ÑÙÙØØÙ Ò x i x Ù Ø Ò Ò v(x) 2 dx l 2 1 v(x) 2 dx. 0

Ç ÒÔÙÓÐ Ø Ø ÖÑ ÚÓ Ò ÖÚ Ó ÐÐ Ò ÔÝ ØÐ ÐÐ 1 v v º ÇØ Ø Ò Ý ØÐ Ø Ú Ð Ò Ð ÙÙÖ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÓÐÐÓ Ò ( 1/2 ( v(x) dx) 2 l ) 1/2 v(x) 2 dx Î ÑÑ ÒÔÙÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ Ñ Ö Ò ¾º½º½ ÑÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ v Ó Ò¹ ÔÙÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ ÙÒ Ø ÓÒ v ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ L 2 ()º v L 2 l v L 2 ÐÐ v H0 1 (). ¾º µ Ä ÑÐÐ Ý ØÐ Ò ¾º µ Ó ÒÔÙÓÐ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö Ð Ò v 2 ÔÝ ØÐ ÐÝÝ Ý ÓÒ Ø À Ð ÖØ¹ Ú ÖÙÙ Ò H 1 () ÒÓÖÑ Ò ÑÓÒ Ò Ö¹ Ø º ÇÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ M 0 Ø Ò ØØ v L 2 M v H 1 0 ÐÐ v H 1 0(). ¾º µ ÌÙÐÓ Ò ÝÐ ØÑ Ò Ò Ñ ÐÐ Ø Ò Ô ÐÓ ØØ Ò Ð Ö ÙÒ ÐÐ ÐÙ ÐÐ R n Ú Ø ÒÓÐÐ Ö ÙÒ ÓØ ÓÐÐ Ò Ö ÙÒ Ò Γ Ó ÐÐ Γ D ÓÒ (n 1)¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ò Ñ ØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ K 0 ÓÐÐ ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø M Ý ØÐ Ø ¾º µ Ø Ò ØØ ÔÝ ØÐ ØÓØ ÙØÙÙº

ÌÓ Ò Ø Ò ÐÐ ÔØ Ø Ý ØÐ Ø Ã ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÓÒ ÐÑ Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ ÐÙÒ ÚÙÐÐ Ø Ú Ò ÓÒ Ö Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ý ØØ ÝÝ º º½ À Ó Ö Ø Ù Ä Ò Ö Ø ØÓ Ò Ø Ò Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÝÐ Ò Ò ÑÙÓØÓ ÓÒ n Lu = c ik (x)u xi x k + i,k=1 n w i (x)u xi +b(x)u = f(x) i=1 º½µ ÃÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ú Ø Ñ ØÖ C = (c ik (x)). ÃÓ ÐÐ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÔØ u xi x k = u xk x i Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ c ik (x) = c ki (x)º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ñ ØÖ C ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº Ò ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ú Ø ÔÙÓÐ Ø Ò Ú ØÓÖ w = (w i (x)), ÓÐÐÓ Ò ÝÐ Ò Ò ÑÙÓØÓ º½µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Lu = (C u)+w u+bu = f º¾µ ÇÐ Ø Ø Ò Ø Ó ØØ ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò L Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ i,j = 1,...,nº c ij,w i,b L f L 2 () ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ØÐ º¾µ ÓÒ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÙÒ Ñ ØÖ C ÓÒ ÔÓ Ø Ú ¹ Ø Ò ØØ ½ º ¹½¼ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º Ê ÙÒ ¹ ÖÚÓ¹ÓÒ ÐÑ (E) Lu = f ÙÒ x, º µ u = g ÙÒ x Γ, º µ ÙØ ÙØ Ò ÐÐ ÔØ ÙÒ L ÓÒ ÑÙÓØÓ º¾µ Ñ ØÖ C ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º½ ÑÙ Ò Òº

ÇÐ Ø Ø Ò ØØ u H 1 () Ð Ö Ø Ù ÚÓ ÓÐÐ Ö ÙÒ ÐÐ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ºµ ØÐ º µ ÑÖ ØØ Ð Ö Ø ÙÒ ÝØØÝØÝÑ Ò ÐÙ Ò ÐÐ Ý ØÐ º µ ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ = Γº ÂÐ ÑÑ Ø ÙØ ÙØ Ò Ò Ö ÙÒ Ó º ÃÓ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò u H 1 () Ò Ò Ø ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö ÙÒ ÐÐ Γº ÌÑÒ ÚÙÓ ÒÓÒØ ÙÒ Ø Ó u ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ö ÙÒ ÐÐ Γ ÚÓ ÝØØ ÙØ Ò Ø Ô Ù u C( ) ÐÑ Ò Ò Ø Ö ÑÔ ØÙØ Ñ Ø º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ Ö ÙÒ ÓÐÐ º µ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ Ú ÖÙ¹ Ù H 1 () Ú Ø Ò Ð ÓÔ Ö ØØÓÖ ØÖ ÓÔ Ö ØÓÖµ ÓÐÐÓ Ò ÐÐÑ Ò Ø¹ ØÙ ÒÓÒØ ÚÓ Ò ÝØØº ÅÙ Ø Ø Ò ÐÐ Ò ØØ ÐÙ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ò Ö ÙÒ Γ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ º Ä 1 p < º Ä Ù º½º º Ä ÒÒÙ Ð Ù µº Î Ð Ø Ò Ö Ó Ø ØØÙ ÚÓ Ò ÓÙ Ó Λ Ø Ò ØØ ÓÒ Ò ÓÑÔ Ø Ó ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ø Ò ØØ ÐÐ H 1 () ÔØ λ : H 1 () H 1 (R n ) µ µ µ λu = u Ñº º λu ÐÐ ÓÒ ØÓÔÓÐÓ Ò Òµ ÒØ Ú ÖÙÙ Λ λu H 1 (R n ) E λu H 1 () Ñ Ú Ó E Ö ÔÔÙÙ Ú Ò ÐÙ Ø Λº ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ ÓÐ ØÙØ ÐÑ Ò ÒÒ ÐØ ÓÐ ÐÐ Ò Ò ÓØ Ò ÚÙÙØ Ø Òº ÄÙ ÚÓ ØÙØÙ ØÙ ØÓ ØÙ Ò Ñ Ö Ö Ø º¾ ¹¾ º Ä Ù º½º º ÂÐ Ð Ù µº ÇÒ ÓÐ Ñ Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ø Ò ØØ γ : H 1 () L 2 (Γ) γu = u Γ u C( ) γu L p (Γ) C u H 1 (). ½¼

ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ Ò ÚÓ ØÙØÙ ØÙ Ñ Ö Ö Ò ½ º ¹ Ø Ú Ò Ò Ö Ø º¾ ¹¾ º ÂÐ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ó ÐÐ Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ u H 1 () ÓÒ ÓÐ Ñ ¹ ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ Ø ÙÚ Ð γuº Ë Ø Ò Ö Ð Ø Ö ÙÒ ÓØ ÚÓ Ò ÙÓÑ Ó Ú ÖÙÙ Ò H 1 () ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ù Ò ÑÝ Ú ÖÙÙ Ò C( ) ÙÒ ¹ Ø Ó ÐÐ º ÃÍÎ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ñ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÒÓÐÐ º Ä Ù º½º º ÇÐ ÓÓÒ u H 1 () ØÐÐ Ò γu = 0 Ó Ú Ò Ó u H 1 0 (). ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ Ð ÝØÝÝ Ö Ø º¾ ¹¾ ½ º Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ö Ò Ò Ý ØÐ Øº Æ ØÙÐ Ú Ø ÓÐ Ñ Ò ØÙØ ÐÑ Ò ÒÒ Ð¹ Ø ØÖ Ø ØÝ ÐÙ ÐÐ Ò ÒØ Ú Ø ÒÓÒ ÙÓÑ Ó ÒÒ ØÙ Ö ÙÒ ØÓ¹ º Ä Ù º½º º Ö Ò Ò Ý ØÐ Øµº ÇÐ ÓÓÒ u,v C 2 ( )º ÌÐÐ Ò µ vdx = v Γ ν dσ µ u vdx = v udx+ u vdσ Γ ν µ v u u vdx = Γ v u ν u v ν dσº ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ø Ò µ ¹ µ ØÓ ØÙ Ø ÙÖ Ú Ø Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒØ Ý ØÐ Ø º ¾ u i vdx = v i udx+ vuν i dσ, Γ Ñ i = 1,...,nº ÌÓ Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ó Ø µº Î Ð Ø Ò i v = v u 1 ÓÐÐÓ Ò i 2 vdx = i vν i dσ, Ñ 2 i v = 2 v/ x 2 i º ØÐ µ Ò ÙÑÑ Ñ ÐÐ ÒØ Ö Ð Ø i = Γ ½½

1,...,n n ( i=1 ( n i=1 ) i 2 vdx = ) iv 2 dx = n ( i=1 vdx = Γ Γ Γ ) i vν i dσ ( n i vν )dσ i i=1 v ν dσ. ÃÓ Ø Ò µ µ ØÓ ØÙ Ò ÚÓ ØÙØÙ ØÙ Ñ Ö Ö Ø º ¾ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º º ØÐ Ò µ ¹ µ Ö ÙÒ Ø ÖÑ v ν = v ν. Ñ Ö º½º º Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ º¾µ ÔÙÓÐ ØØ Ò Ø Ø ÙÒ Ø ÓÐÐ C () ÒØ ÖÓ Ò ÝÐ ÐÙ Ò ÓÐÐÓ Ò Ò ( (C u)v+(w u)v +ruv)dx = fvdx, v º µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÑÝ Ö Ò Ò Ú Ö Ò Ý ØÐ µ Ó u = C uº ÃÝØ¹ ØÑÐÐ Ñ Ö ÒØ º µ u = ( u) Ò C u vdx = (C u)vdx+ (C u ν)vdσ º µ Ø ØÒ ØÙÐÓ Ø º µ º µ Ú Ð Ø Ñ ÐÐ v = 0 Ö ÙÒ ÐÐ Γ ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ º¾µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ú Ö Ø ÓÑÙÓ Ó ( v C u+(w u)v+ru)dx = fvdx. º µ Î Ð ÒÒ Ò v = 0 Ö ÙÒ ÐÐ ÙÖ Ù Ò Ý ØÐ º µ ÐÐ Ý ØÒ Ö ÙÒ Ø Ö¹ Ñ º ÖÚ Ó Ñ ÐÐ Ý Ø Ý ØÐ Ú ØØ Ò ØØ Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÐÝ ÓÖ¹ Ú Ñ ÐÐ ÙÒ Ø Ó v Ñ ÐÐ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ v H0()º 1 Ø ÙÙÖÙÙ Ò ¹ ÐÝÑ Ò Ò Ú Ø ØØ ÑÝ ÙÒ Ø Ó u H0 1 () º¾ º ÂÓØØ Ö Ø Ù Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ ÚÓ Ò Ð ÒØ Ú ÖÙÙØ Ò H 1 () Ø ÖÚ ¹ Ø Ò Ò ÑÑÒ Ø ØÓ º Ñ Ö º¾º ØÙÐÐ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ò ØØ Ý ØÐ º µ ÙÓÑ Ó ÑÝ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ø ÑÙÓØÓ º µ ÓÐ Ú Ø Ö ÙÒ ÓØº Γ ½¾

ÅÖ Ø ÐÑ º½º º µ Å Ö ÒÒÐÐ a(u,v) Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ º¾µ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò L Ð Ò Ö Ø ÑÙÓØÓ ÓÒ a(u,v) := ( v C u+(w u)v +ru)dx. µ ÙÒ Ø Ó u H 1 () ÓÒ ÓÒ ÐÑ Ò µ Ó Ö Ø Ù Ó a(u,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v H 1 (). º¾ º¾ À ÓÒ Ö Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝ Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ÓÒ ÐÑ Ò µ Ó Ö Ø Ù ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÌØ Ú ÖØ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÑ Ó Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝ Ò ØÙÐÓ º ÇÐ ÓÓÒ S T Ö Ð Ò ¹ Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½º ÃÙÚ Ù F : S T Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ F(λu+µv) = λf(u)+µf(v) ÐÐ u,v X,λµ R ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ º º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º¾º ÇÔ Ö ØØÓÖ F ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó º ¼ F(v) = v(f) ÐÐ v S,F T. ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º Ä Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ F : S T ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ η > 0 Ø Ò ØØ F(v) η v S º µ ¾ º¾ ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º µ Ê Ó Ø ØØÙ Ð Ò Ö Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ ÙØ ÙØ Ò Ö Ó Ø ØÙ Ð Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð º F : S R µ Ú ÖÙÙ Ò S Ù Ð Ú ÖÙÙ S ÐØ Ú ÖÙÙ Ò S Ö Ó Ø ØÙØ Ð Ò Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð Øº º ½

ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º ÃÝØ ØÒ Ú ÖÙÙ Ò S S Ô Ö ØÙ Ò Ñ Ö ÒØ, º ÆÝØ Ó v S F S Ò Ò Ø Ö Ó ØØ Ö Ð ÐÙ Ù F(v)º F,v ÇÐ ÓÓÒ H Ö Ð Ò Ò À Ð ÖØ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ ØÙÐÓÐÐ ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ (,) ÒÓÖÑ º Ä Ù º¾º º Ê Þ Ò ØÝ Ð Ù µº ÂÓ Ø Ð ÓØ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ð Ó u H Ø Ò ØØ F H Ó Ø ÓÒ ÓÐ ¹ F,v = (u,v) ÐÐ v H. º µ ÃÙÚ Ù F u ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÑÓÖ Ñ Ú ÖÙÙ Ø H Ú ÖÙÙØ Ò Hº ½ º º ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ ÚÙÙØ Ø Ò Ø ÖÔ ØØÓÑ Ò º ÄÙ ÚÓ ØÙØÙ ØÙ ÐÙØ ¹ Ò Ñ Ö ÐÔÓ Ø ÝÑÑÖÖ ØØÚÒ Ô Ø Ò Ò ØÓ ØÙ Ò º½¼¾¹ ½¼ º Ê Þ Ò ØÝ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ú Ø Ú ÐÐ Ú ÖÙÙ Ò H ØÙÐÓÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ò Ý Ð Ó u Ó ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò º µº Ñ Ö º¾º º Â Ø Ó ÝØ ØØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÝÐ Ò L 2 () Ú ÖÙ¹ Ù Ò ØÙÐÓ F,v = (f,v) L 2 = (v,f) L 2 = v,f, ÓØ Ò ÝØ ØÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ø Ó Ñ Ö ÒØ F,u Ó ÙÚ Ô Ö Ñ¹ Ñ Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ø ÐÙÓÒÒ ØØ º Ñ Ö º¾º º ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ ÓÒ Ö ÙÒ Γ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ u H 1 () ÓÒ Ó Ö Ø Ù ÓÒ ÐÑ ÐÐ (D) { Lu = f ÙÒ x, u = g ÙÒ x Γ, Ñ L ÙÚ ÐÐ ÔØ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò ÝÐ Ø ÑÙÓØÓ º¾µº ÂÐ Ð Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ ÙÒ Ø Ó g ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ Γ ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ u g H 1 () Ð º ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó ũ = u u g ÙÙÐÙÙ Ú ÖÙÙØ Ò H0() 1 ÓÒ Ê Þ Ò ØÝ Ð Ù Ò º¾º ÒÓ ÐÐ Ö Ø Ù ÓÒ ÐÑ Ò ( D) { Lũ = f ÙÒ x, ũ = 0 ÙÒ x Γ, ½

Ñ f = f Lu g Ó ÙÙÐÙÙ Ú ÖÙÙ Ò H 1 0() Ù Ð Ú ÖÙÙØ Ò H 1 0 ()º ÇÒ ÐÑ Ò ( D) Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ ÐÙ ÓÒ Ø u H 1 () Ø Ò ØØ a(u,h) = (f Lu g,v) L 2 ÐÐ v H 1 (). ½ º ¾ Ë ÙÖ Ú a : H H R ÓÒ Ð Ò Ö ÑÙÓØÓ Ó Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ a(u,v) ÙØ Ò ÐÐº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º µ Ð Ò Ö ÑÙÓØÓ a ÒÓØ Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ H Ó a(v,v) > 0 ÐÐ v H. µ Ð Ò Ö ÑÙÓØÓ a ÓÒ Ø ÙÚ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ α > 0 Ø Ò ØØ a(u,v) α u H v H ÐÐ u,v H. º½¼µ µ Ð Ò Ö ÑÙÓØÓ a ÒÓØ Ò Ó Ö Ú Ó Ö Ú µ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ β > 0 Ø Ò ØØ β v 2 H a(v,v) ÐÐ v H. º½½µ º ¼ Ä Ù º¾º½¼º Ä Ü¹Å ÐÐ Ö Ñ Ò Ä Ù µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ a ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ø ÙÚ Ó Ö Ú Ò Òº Ä ÙÒ F : H H R ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò u H Ø Ò ØØ Ä Ö Ø ÙÒ Ø Ð ÙÙ ÐÐ ÔØ a(u,v) = F,v ÐÐ v H. º½¾µ u H η β, Ñ ÐÙÚÙØ η β ÓÚ Ø ÙØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ø ÙÚÙÙ Ò º µ Ó Ö Ú ¹ ÙÙ Ò º½½µ ÑÖ Ø ÐÑ º ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ð Ò Ö ÑÙÓØÓ a ÓÒ Ø ÙÚ Ó Ö Ú Ò Ò Ò Ù Ó ØÙÐÓÒ Ú ÖÙÙ H [u,v] = a(u,v), ÐÐ v H. ½

Ä Ý ØÐ Ò º½¼µ º½½µ ÒÓ ÐÐ β u 2 H [v,v] α v 2 H ÐÐ v H, ÓØ Ò ØÙÐÓÒ [,] Ò Ù Ó Ñ ÒÓÖÑ ÓÒ Ý Ø Ò Ú Ú ÖÙÙ Ò H ÒÓÖÑ Ò H Ò º Ä Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð F ÓÒ Ø ÙÚ ÑÝ ÙÙ ÐÐ ÒÓÖÑ ÐÐ º Ä ¹ Ê Þ Ò ØÝ Ð Ù Ò º¾º µ ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ð Ó w Ø Ò ØØ [w,v] = F,v ÐÐ v H. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð F ÓÒ Ñ Ö Ò º¾º µ ÑÙ Ò Ò Ò Ò a(w,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v H. ËØ Ð ÙÙ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ú Ð Ø Ò u = v Ý ØÐ º½¾µ ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ ¹ Ò Ó Ö Ú ÙÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ø ÙÚÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙÚÙØ Ó ÐÐ β v 2 H a(v,v) = F,v η v H ÐÐ v H Â Ú Ø ÙÖ º ¾ º¾ ¹¾ º¾ ¹¾ Ñ Ö º¾º½½º ÇÐ ÓÓÒ R 2 ÚÓ Ò ÐÙ ÓÐÐ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð Ö ÙÒ Γº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ ÔØ Ø ÓÒ ÐÑ (M) { (C u)+w u+ru = f ÙÒ x, u = 0 ÙÒ x Γ, Ñ C,w,r L () f L 2 () ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ ÙÒ Ø Ó Ø º ÅÙ Ø Ø Ò ÑÝ ØØ r 0 C ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ 2 2¹ Ñ ØÖ º Ë Ø Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙÚÙØ c M,c m Ó ÐÐ c M (c ik ) c 0 > 0 ÐÐ i,k = 1,2 Ñº ºµ º½ µ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ Åµ Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ Ò Ò ØÝ (V) Ø u H 1 0() Ø Ò ØØ a(u,v) = F,v Ñ Ñ Ö Ò º½º ÒÓ ÐÐ a(u,v) = ( v C u+(w u)v+ruv)dx, F,v = (f,v) L 2 = fvdx. ½

ÌÓ Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ö Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝ ÓÒ ÐÑ ÐÐ Îµº ÀÙÓÑ Ø Ò Ø ØØ Ø ÖÑ Ò w ÙÖ Ù Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙÓØÓ a(u,v) ÓÐ ÝÑÑ ØÖ ¹ Ò Òº ÎÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ó Ó ØØ ØØ ÓÒ ÐÑ ÐÐ (V) ÓÒ Ø Ø ÙÓÐ Ñ ØØ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù º º ÐÓ Ø Ø Ò Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ ØØ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙÓØÓ a(u,v) ÓÒ Ø ÙÚ º ÌØ Ú ÖØ Ò ÓÒ ÑÙÓØÓ ÐØ Ú Ð Ò Ö Ò ÑÙÓ ÓÒ Ú Ñ Ø Ø ÖÑ Ø ÙÙ ÐÐ Òº ÃÓ ¹ (v 2 ) = 1 v v Ò Ò 2 (w v)v +rv 2 = (w 1 2 +r)v2 ÃÓ ÙÒ Ø ÓØ C,w r ÓÚ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ñº º ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙ Ù M > 0 Ø Ò ØØ a(v,v) = ( v C v +(w 1 2 +r)v2 dx M ( v 2 + v 2 )dx = M v 2 H, 0 1 Ñ M = max(c M,w 1 +r)º ÆÝØ Ù Ý¹Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ Ò ¾º µ 2 ÒÓ ÐÐ a(u,v) a(u,u) 1/2 a(v,v) 1/2 M u H 1 0 v H 1 0 Ð Ò Ö Ò ÑÙÓ ÓÒ Ø ÙÚÙÙ ØÓ ØÓØ ÙØÙÙ ÙÒ α = Mº Ä Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò F Ø ÙÚÙÙ ÙÖ ÔÙÓÐ Ø Ò Ù Ý¹Ë Û ÖÞ Ò ¾º µ ÈÓ Ò Ö Ò ¾º µ ÔÝ ØÐ Ø F,v f L 2 v L 2 f L 2 v H 1 Â Ø ÙÚÙÙ ØÓ º¾º ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ÖÚÓÐÐ η = f L 2º ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ð Ó Ö Ú ÙÙ º ÅÙÓØÓ ÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙÓ ÓÒ Ú Ñ Ø Ø ÖÑ Ø ÙØ Ò Ð¹ Ð ÑÙ Ø Ø Ò ÙÓÑ Ó º½ µ ÓÐÐÓ Ò a(v,v) = ( v C v +(w 1 2 +r) v 2 )dx (c 0 v 2 +(w 1 2 +r) v 2 )dx β ( v 2 + v 2 )dx = β v 2 H, 0 1 Ñ β = min(c 0,w 1 +r)º Ä Ü¹Å Ð Ö Ñ Ò Ð Ù Ò º¾º½¼µ ÒÓ ÐÐ ÓÒ 2 ØÓ Ø ØØÙ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò Îµ Ó Ö Ø Ù ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ½¼ º ¾¹ º ¹ ¾ º ½¹ º ½

Ì Ò Ñ ÒÒ ØÝ ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ ØØ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ¹ Ý ØØ Ò Ò Ó Ö Ø Ù Ö Ð Ø Ò Ö ÙÒ Ó ÐÐ ÑÙÓØÓ u Γ = gµº ÌÝ ØÙÐÐ Ò ØÙØ Ñ Ò ÑÝ ÑÙÙÒÐ Ö ÙÒ ØÓ ÑÙØØ Ò ÐÐ ØÝ ÑÖÒ ÚÙÓ ØÓ Ø Ø Ý ØØ ÝÝØØº ÄÙ ÚÓ ÐÙØ Ò ØÙØÙ ¹ ØÙ Ö Ð Ø Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò Ò ÐÝÝØØ Ò Ø Ö Ø ÐÙÙÒ Ñ Ö Ä Ö ÓÒ Ò Ì ÓÑ Ò Ö Ø ½¼ º Ë ÙÖ Ú ÔÔ Ð ÖÖÝØÒ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò ¹ Ø ÐÑÒ Ø Ö Ø ÐÙÙÒº ½

Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ì ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Å Ò Ø Ð Ñ ÒØ Å Ø¹ Ó µ ÐÐ ÔØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÒÙÑ Ö Ö Ø Ñ Ø Ú º Ë Ô ÖÙ ØÙÙ Ø Ö¹ Ø ÐØ Ú Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ Ò ÓÐÐÓ Ò ÙØ Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø ¹ Ó Ö Ø Ù º Å Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÐÑ Ò Ð ØØÝÚØ ÐÙ Ø Ó Ø Ø Ò Ö ÐÐ Ò ÑÖ Ò Ð Ñ ÒØØ Ö Ø Ù ÖÚ Ó Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÙÓØÓ ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ð¹ Ð Ó Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÐÐº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÓØ Ö Ø ÙØ ÑÙÓ Ó ØÙ¹ Ú Ø Ô ÐÓ ØØ Ò Ð Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÙÓØÓ Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ð Ö Ø Ù Ò ÐÙØ Ò ÓÐ Ú Ò Ø ÙÚ ÓØ Ò Ö Ø Ù Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ ÓÔ À Ð ÖØ¹ Ú ÖÙÙ H 1 º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ØØ Ð Ñ Ò Ò Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓ Ò ÓÒ Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Òº ÐÙ Ø ÐÐÒ Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ý ÙÐÓØØ Ø Ô Ù Ñ Ò Ð Ò ÖÖÝØÒ Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ø Ö ÑÔ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ò ÙÐÓØØ Ø ¹ Ô Ù º Ã ÔÔ Ð ÓÔ Ø Ø Ò ÑÝ Ù Ò Ö ÙÒ ¹ ÖÚÓ¹ÓÒ ÐÑ Ö Ø¹ Ø Ò ÒÙÑ Ö Ø Ö Ñ ¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ º º½ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ý ÙÐÓØØ Ø Ô Ù ÐÓ Ø Ø Ò Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ØØ Ð Ñ Ò Ò ØÙØ Ñ ÐÐ Ý Ñ Ò ÓÒ ¹ Ð Ø ÈÓ ÓÒ Ò ÓÒ ÐÑ (P) { u (x) = f(x) ÙÒ 0 < x < 1 u(0) = u(1) = 0. ÃÙØ Ò ÐÐ ÓÒ ØÓ ØØÙ Ú Ð ÒØ V(I) = H0 1 (I) ÓÒ Ö ØØÚ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ Ð¹ Ð ÔØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ó ÐÐ Ö Ø Ù ÐÐ º ÇÒ ÐÑ Ò (P) Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ Ò Ò ØÝ ÓÒ Ø u H0(I) 1 Ø Ò ØØ a(u,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v H 1 0(I). Ñ a(u,v) = u v dx = (u,v ) L 2. I ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ó ØÙ L h Ñ ÐÐ ÚÐ [0,1] Ó ÚÐ Ò 0 = x 0 < x 1 < < x M < x M+1 = 1. ÎÐ Ò I j = (x j 1,x j ) Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø h j = x j x j 1 ÐÙ Ù h = maxh j ÚÓ Ò Ô Ø Ó ØÙ Ò ÒÓ Ó ÙÙ Ò Ñ ØØ Ò º ½

ÂÓ ÐÙØ Ò ØØ ÓÒ ÐÑ Ò (P) Ó Ö Ø Ù u ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ð Ò Ö Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÚ Ú ÖÙÙ V h (I) := {v H 1 0 (I) : Ú ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÐÐ Ó ÚÐ ÐÐ I j} ÅÖ Ø ÐÐÒ Ð ÒØ ÙÒ Ø ÓØ ϕ j V h (I) j = 1,...,Mº Æ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ó ØÙ Ò L h ÚÙÐÐ { 1 Ó i = j ϕ j (x i ) = 0 Ó i j ÙÒ Ø Ó v V h (I) ÚÓ Ò ÒÝØ ÑÙÓ Ó Ø ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò Ð Ò Ö ÓÑ ¹ Ò Ø ÓÒ M v(x) = η i ϕ i (x), 0 x 1, i=1 Ñ η i = v(x i ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ v V h (I) ÖÚÓ Ô Ø x j j = 0,...,M+1º ÃÙÒ ÓÒ ÐÑ ÐÐ (P) ÐÙØ Ò Ô ÐÓ ØØ Ò Ð Ò Ö Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÓÓ ØÙÚ Ö Ø Ù u h Ò Ò Ø Ú Ø Ú Ú Ö Ø Ó¹ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ø u h V h (I) Ø Ò ØØ (u h,v ) L 2 = (f,v) L 2 ÐÐ v V h (I). º½µ ØÐ Ò º½µ ÑÙÓØÓ ÐÙ ÙØ ÙØ Ò Ð Ö Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º ÇÒ ÐÑ º½µ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÑÝ ÑÙ ÐÐ Ú Ö Ø ÓÐ ÒØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ Ð¹ Ð ÙØ Ò Ê ÝÐ ¹Ê ØÞ Ò Ø È ØÖÓÚ¹ Ð Ö Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ½ º ÓØ ÚÙÙØ Ø Ò Ø ØÙØ ÐÑ º ÂÓ u h V h ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò º½µ Ò Ò (u h,ϕ j) L 2 = (f,ϕ j ) L 2 ÐÐ v V h. º¾µ ÅÖ ØØÑÐÐ ξ i = u h (x i ) ÚÓ Ò ÑÝ ÓÐÐ Ö Ø ÙÐÐ u h ÑÙÓ Ó Ø Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó ØÝ ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ Ø º¾µ ÙÖ u h (x) = M ξ i ϕ i (x), i=1 º µ M ξ i (ϕ i (x),ϕ i (x) ) L 2 = (f,ϕ i (x)) L 2, j = 1,...,M. º µ i=1 ¾¼

ÃÓ º µ ÓÒ M Ò Ý ØÐ Ò M Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý Ø Ñ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó Aξ = b. º µ ØÐ º µ A = (a ij ) ÓÒ M M¹Ñ ØÖ Ó ØÙÒÒ Ø Ò ØÓÖ ¹ ÐÐ Ø Ý Ø ÑÝ Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ò º Ø Ò Ñ ØÖ Üµº Ë Ò Ð ÓØ a ij = (ϕ i,ϕ j ) L2 Ö ÔÔÙÚ Ø Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ð Ò Ö Ø ÑÙÓ¹ Ó Ø a(u,v)º Ì ÖÑ Ø ξ = (ξ 1,...,ξ M ) b = (b 1,...,b M ) ÓÚ Ø M¹ Ú ØÓÖ Ø Ó Ø Ð ÑÑ Ø ÙØ ÙØ Ò ÙÓÖÑ Ú ØÓÖ Ò º ÐÓ Ú ¹ ØÓÖµ ÐÐ ÔØ b i = (f,ϕ i ) L 2º Ê Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ñ ØÖ Ò A Ð ÓØº ÃÓ Ó ÐÐ x [0,1] Ó Ó ϕ i Ø ϕ j ÓÒ ÒÓÐÐ Ò Ò (ϕ i,ϕ j ) = 0 ÙÒ i j > 1º A ÓÒ ØÖ ¹ ÓÒ Ð Ò Ò Ð Ò Ð Ó Ø Ú Ò ÓÒ Ð Ð ÓØ Ò Ð ÑÑØ ÓÒ Ð Ø ÚÓ Ú Ø ÖÓØ ÒÓÐÐ Ø º ÃÙÒ j = 1,...,M Ò Ò Ý ØÐ Ò ¾º½µ ÒÓ ÐÐ (ϕ j,ϕ j ) L 2 = xj 1 x j 1 h 2 j x+ xj +1 x j 1 h 2 j+1 x = 1 h j + 1 h j+1 ÃÙÒ j = 2,...,M (ϕ j,ϕ j 1) L 2 = (ϕ j 1,ϕ j) L 2 = xj x j 1 1 h 2 j x = 1 h j Î Ð Ø Ñ ÐÐ Ø ÚÐ Ò Ò Ó ØÙ h j = h = 1 Ý ØÐ º µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ M+1 2 1 0...... 0 ξ 1 b 1 1 2 1 º º º 1 h 0 1 2 º ºº º º º ºº º ºº º ºº 0 º º º º º ºº 1 0...... 0 1 2 º ξ M = À Ú Ø Ò ØØ Ý ÝÝ Ñ ØÖ A ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð Ò Ö Ò ÑÙÓ ÓÒ a ÐÙÓÒØ Ø Ó ØÙ Òº ÇÒ ÐÑ Ò Ó Ö Ø Ù Ò Ý ØÐ Ò º µ ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò Ö Ø ÙÒ ξ Ð Ó Ø ξ i ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÐ Ø Ô Ø ØÙÐÓ Ø º º b M ¾½

º¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù ÃÓ ØÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ ÒÙÑ Ö Ö Ø Ù Ò ¹ Ñ ÒÓÑ Ò ÙÐÓØØ ÐÐ Ø Ô Ù ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ (P) Ø Ó Ð u = f, º µ u = 0 Ö ÙÒ ÐÐ Γ, º µ Ó ÓÒ R 2 Ò Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÙ Ó ÓÒ Ö ÙÒ = Γº ØÐ Ò º µ Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ ÓÒ Ö Ø ØÙ ÔÔ Ð Ø u H0 1 Ø Ò ØØ a(u,v) = (f,v) L 2, º µ Ñ a(u,v) = u vdx = ( u, v) L 2 Ì ØÙØ ÐÑ Ö Ó ØÙØ Ò ØÙØ Ñ Ò Ø Ð ÒØ Ø Ó ÓÒ ÐÑ Ò º µ Ö ÙÒ Γ ÓÒ ÑÓÒ ÙÐÑ Óº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½º ÂÓÙ ÓÒ Ó ØÙ T h = K 1,...,K m ÓÒ ÐÙÚ ÐÐ Ò Ò ÙÒ ÙÖ Ú Ø ÓØ µ ¹ µ ÓÚ Ø ÚÓ Ñ µ = K T h K = K 1 K 2 K m º µ ÂÓ K i K j ÐØ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ò Ô Ø Ò Ò Ò ÐÐÓ Ò ÓÒ Ð Ñ ÒØØ Ò K i K j Ý Ø Ò Ò Ö Ô Ø º µ ÂÓ K i K j ÐØ Ù ÑÑ Ò Ù Ò Ý Ò Ô Ø Ò Ò Ò ÐÐÓ Ò ÓÒ Ð Ñ ÒØØ Ò K i K j Ý Ø Ò Ò Ö ÙÒ º ÃÓ Ñ Ø Ò ÑÓÒ ÙÐÑ Ó ÚÓ Ò ÓÐÑ Ó Ò K i Ø Ò ØØ ÑÖ Ø ÐÑÒ º¾º½ ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø Ò Ò ÓÐÑ Ó ÒØ ÓÒ ÐÙÚ ÐÐ Ò Ò Ó ØÙ º ÃÙ¹ Ú Ò ¾µ Ó ØÙ Ø µ µ ÓÚ Ø ÐÙÚ ÐÐ ÐÐ Ò ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ º¾º½µ ÓØº ÃÓÐÑ Ó ØÙ ÓÐ ÐÙÚ ÐÐ Ò Ò ÐÐ ØÝØ ØÓ µº ¾¾

µ µ µ ÃÙÚ ¾ µ µ ÙÚ 1 1 ¹Ò Ð ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ó ØÙ º µ Ó Ñ Ö ¹ÐÙÚ ÐÐ Ø Ó ØÙ Ø º Ç ØÙ Ò ÒÓ Ó ÙÙ Ò ÙÚ Ñ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù h ¹ h = max K T h Ñ(K), Ñ Ñ(K) ÓÒ Ó ØÙ Ò T h Ô Ò ÓÐÑ ÓÒ K ÚÙÒ Ñ ØØ º ÃÙÒ ÐÙ ÐÐ ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ó ØÙ T h Ú Ð Ø Ò Ñ Ò Ð ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ö Ø Ù ¹ ÐÙØ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ Ò Ð Ñ ÒØ ØØ Òº ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÓÙ Ó P r (K) = {v : ÙÒ Ø ÓÒ v ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø r K }, Ñ r = 1,2,... º Ú ÖÙÙ P r ÙÚ ÒÝØ Ò ÒØÒ r¹ Ø Ø Ò ÔÓÐÝ¹ ÒÓÑ ÑÙÓØÓ Ø Ò Ö Ø Ù Ò ÓÙ Ó º Ì ØÙØ ÐÑ ØÝØÒ Ð Ò ¹ Ö Ò P 1 ¹ Ò Ð ÐÐ Ò P 2 ¹ Ú ÖÙÙ Òº ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ Ó ÐØ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ¹ Ò Ö Ø Ó Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓØ ØÓ Ú Ø Ö ÙÒ ÐÐ Γ V h = {v H 1 0() : v K P 1 (K), K T h } º µ Ë ÐÚ Ø V h H 1 0 ÓØ Ò ÓÒ ÐÑ Ò º µ Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ º µ ÔØ Ð Ñ ÒØ K Ð Ñ ÒØØ ÑÙÓØÓ Ò Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ø u h V h Ø Ò ØØ a(u h,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v V h. º½¼µ ØÐ º½¼µ Ó Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò Ý ØÐ Ý Ø Ñ Ò ÙØ Ò Ý ÙÐÓØ¹ Ø Ø Ô Ù º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º¾º Ä Ò Ö Ú ÖÙÙ Ò V ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ϕ j ÐÙ ÙÑÖ M ÙØ ÙØ Ò Ð Ò Ö Ú ÖÙÙ Ò V Ñ Ò Ó º ÃÝØ ØÒ Ò ÙÚ Ñ Ñ Ö ÒØ dimv = Mº ¾

Ã ÒØ ÙÒ Ø ÓØ ϕ j ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙØ Ò Ý ÙÐÓØØ Ø Ô Ù { 1 ÙÒ i = j ϕ j (N i ) = 0 ÙÒ i j i,j = 1,...,M ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º ËÓÐÑÙÔ Ø ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ø Ô Ø ØØ N i Ó ϕ j = 1º ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º º ËÓÐÑÙÔ Ø Ø Ö Ó Ø Ö Ô Ø ØØº ÃÙÚ µ ÓÒ ÓÐÑÙÔ Ø Ò N i Ú ÙØÙ ÐÙ ÐÐ ÓÒ ÙÙ ÑÙÙØ ÓÐÑÙÔ ¹ Ø ØØº Æ Ò Ô Ø Ò Ö Ñ ÙÐ ØØÙ ÐÙ ØØ ÙØ ÙØ Ò ϕ j Ò ÒØ ¹ ÙÔÔÓÖØµº Æ Ñ ØÝ ØÙÐ Ø ØØ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÒØ ¹ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÐ Ø Ô Ø ØÙÐÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó ÒÝØØ Ø ÐØØ ¹ Ñ ÐØ Ý Ò Ò ÐÙ ÒØ ØØ Ø ÐØØ º ÃÙÚ Î ÑÑ ÐÐ Ô Ø Ò N i ÝÑÔÖ Ø ÓÐ Ú ÒØ Ó ÐÐ Ð Ò¹ Ö Ò Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó ϕ i º ÙÒ Ø Ó v V h ÚÓ Ò ÐÐ Ò ØØ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò ¹ Ø ÓÒ M v(x) = η j ϕ j ÐÐ x, º½½µ j=1 Ñ η j = v(n j ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ v ÖÚÓ Ô Ø N j º Ä Ò Ö Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ô Ù Ý Ò ÓÐÑ ÓÒ ÐÐ ÓÒ ÚÙÓÖÓÚ Ù¹ ØÙ ÓÐÑ ÒÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ÒØ ÙÒ Ø ÓØ º Å Ö Ò¹ ÒÐÐ ψ = ϕ K Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ØØÙÑ Ð Ñ ÒØØ Ò Kº Å Ø Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÙÚ Ø ÓÐÑ ÓÒ ÐÐ Ú ÙØØ Ú Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò Ö Ó ØØÙÑ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ v(x) = 3 η j ψ j ÐÐ x K. j=1 ¾

Ë ÐÚ Ø ÙÒ Ø Ó v P 1 (K) ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÓÐÑ ÓÒ ÐÐ Ð ¹ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ö Ø Ù ÐÝÝ Ø ÙÚ Ò Ý ÐÐ ÙÚ Ù ÐÐ º ÌÑÒ ÙÓÑ ÓÒ ÒÓ ÐÐ Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò A Ð Ñ Ò Ò ÐÔÓØØÙÙ ÙØ Ò ÔÔ Ð º ØÙÐÐ Ò ÙÓÑ Ñ Òº ÃÙÚ Ä Ò Ö Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ØØÙÑ Ð Ñ ÒØØ Ò Kº ÂÓ Ö Ø Ù ÐÙØ Ò ÖÚ Ó Ò Ð ÐÐ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ØÐÐ Ò Ú Ø Ò Ò Ñ¹ ÑÒ ÓÐÑÙÔ Ø Ø Ù Ò Ð Ò Ö Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ø Ô Ù ÙØ Ò ÙÚ Ø µ Ò Òº ÌÙØ ÐÑ ØÝØ Ò Ñ ÐØ ÒØ ÙÒ Ø ÓØ ÒÝØØÚØ Ú Ò ÐÙ ÐÐ Ö ØØ Ú Ø ÓÐÑÙÔ Ø Ò ÑÖÒ Ú Ñ Ò Ò ÙÒ ÔÔÖÓ ÑÓ ÒÒ ÖÖÝØÒ ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÝØØ Òº µ µ ÃÙÚ ËÓÐÑÙÔ Ø Ò N i ÒØ ÙÒ Ø ÓØ P 2 Ð Ñ ÒØ ÐÐ º ÈÖÓÔÓ Ø Ó º¾º º Ð Ñ ÒØ Ú ØØ Ú Ò ÓÐÑÙÔ Ø Ò N i ÐÙ ÙÑÖ i = 1,...,m Ú Ø Ð Ò Ö Ú ÖÙÙ Ò P r Ñ Ò Ó m = dimp r = (r+1)(r +2). 2 ÄÙÚÙ Ø m ÝØ ØÒ Ó Ù Ø ØØ Ú Ô Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº ½ º ¾

ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º ÂÓÙ Ó Σ = {ψ i } ÓÒ Ð Ñ ÒØØ Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò Ö ¹ Ó ØØÙÑ Ò ψ : P r R ÓÙ Óº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º Ö ÐÐ ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ò Ø Ð Ñ ÒØµ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÐÑ Ó (K,P r,σ) ½ º ¼ º Ñ Ö º¾º º Ú ÖÙÙ Ò P 1 (K) ÐØÑØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ v(x,y) = c 0 +c 1 x+c 2 y, ÓØ Ò ÓÙ Ó Σ = {1,x,y} ÑÙÓ Ó Ø Ò ÒÒ Òº Ë ÐÚ Ø dimp 1 = 3º Î Ø Ú Ø Ú ÖÙÙ P 2 (K) ÐØ ÑÙÓØÓ v(x,y) = d 0 +d 1 x+d 2 y +d 3 xy +d 4 x 2 +d 5 y 2 ÓÐ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓØ Ò Ò ÒÒ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÓÙ Ó Σ = {1,x,y,xy,x 2,y 2 } dimp 2 = 6º ¾

º Ê Ø ÙÒ ÖÚ Ó ÒÒ Ø ÇÒ ÐÑ º µ Ö Ø Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ Ý Ø Ñ ÙØ Ò ÔÔ Ð º½ Aξ = b. º½¾µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ý ØÐ Ò º½¾µ Ö Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝØØº Ä Ù º º½º ÂÝ ÝÝ Ñ ØÖ A ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ó ÐÐ ÔØ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙÓØÓ a(u,v) ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ V h () Ú ÖÙÙ Ò H 1 (µ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ò Ó ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÒÒ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÓÙ Ó {ϕ 1,ϕ 2...,ϕ M }º ÌÐÐ Ò Ñ Ø Ò ÙÒ Ø Ó v V h ÚÓ Ò ØØ ÐÐ Ò ÔÔ Ð Ò Ø ÚÓ Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ º½½µº ÆÝØ Ó Ö Ú ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ M M a(v,v) = a( η j ϕ j, η j ϕ j ) = i=1 j=1 M η i a(ϕ i,ϕ j )η j = η Aη v H 1, i,j=1 Ó v 0º Ä Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙÓØÓ a(u,v) = ( v C u+(w u)v+ruv)dx ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó w = 0 a(ϕ i,ϕ j ) = a(ϕ j,ϕ i )º º ÀÙÓÑ ÙØÙ º º¾º ÂÓ w 0 Ò Ò Ñ ØÖ A ÓÐ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÌÑ ØØ ØÙÓØØ ÓÒ ÐÑ Ó Ù w mathbfc ÓÒ Ô Ò º ÇÐ Ø Ø Ò Ø Ó ØØ Ò Ò ÓÐ º Ë ÙÖ Ú Ð Ù V ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ú ÖÙÙ V h ÙØ Ò ÐÐ º µ T h ÓÒ ÐÙ Ò ÐÙÚ ÐÐ Ò Ò Ó ØÙ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ ÔØ Ø ÓÒ ÐÑ Ø u V() Ø Ò ØØ a(u,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v V. º½ µ Ä ÑÑ º º º Ò Ð ÑÑ µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ u V u h V h ÓÚ Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø Ö Ø Ù ÓÒ ÐÑ Ò º½ µ ØÐÐ Ò Ñ v h T h º u u h H 1 α β u v h H 1, ¾

ÌÓ ØÙ º ÇÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÃÓ T h V Ò Ò ÐÚ Ø a(u,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v V, a(u h,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v T h. a(u u h,v) = 0 ÐÐ v T h. º½ µ ÇÐ ÓÓÒ v h T h Ó Ò Ø Ø ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò v = v h u h T h ÓØ Ò Ý ØÐ Ò º½ µ ÒÓ ÐÐ a(u u h,v h u h ) = 0 ÐÐ v T h. º½ µ Î Ø Ò ØÓ Ø ØØÙ ÝØØÑÐÐ Ð Ò Ö Ò ÑÙÓ ÓÒ Ó Ö Ú ÙÙ Ò º½½µ Ø ÙÚÙÙ Ò º½¼µ ÑÖ Ø ÐÑ Ý ØÐ º½ µ ÐÐ β u u h H 1 a(u u h,u u h ) = a(u u h,u v h )+a(u u h,v h u h ) α u u h H 1 u v h H 1. ½ º Ò Ð ÑÑ Ò ÒÓ ÐÐ Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ v ÐÙÓÒÒ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ò P r Ø Ú ÙØØ Ö Ø ÙÒ Ú Ö Ò ÙÙÖÙÙØ Òº ÎÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ó Ó ØØ ØØ Ö Ø Ù ÒÒ Ø ÖÚ Ó Ð Ò ÓÖ ¹ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ º ÌÖ Ñ¹ Ô ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ö Ø ÙÒ ÝØØÝØÝÑ Ò ÒÒ ÐØ ÝÚ Ò ÙÙÒÒ Ø ÐØÙ Ó ¹ ØÙ º ¾

º ØÐ Ò Aξ = b Ö Ø Ñ Ò Ò ÂÝ ÝÝ Ñ ØÖ Ò A Ó Ó Ñ ÓÒ Ø ØØÝ ÓÐÑÙÐ Ø Ò Ò Ò º ÒÓ ¹ ÓÖ ÒØ ÔÔÖÓ µ Ð Ñ ÒØØ Ð Ø Ò Ò Ø Ô Ò º Ð Ñ ÒØ¹ÓÖ ÒØ ÔÔÖÓ¹ µº Ð Ñ ÒØØ Ð Ø Ò Ø Ú Ò ÝØØÑ Ò Ò ÓÒ Ð ÒÒ ÐÐ Ò ÒÓÔ ÙØ Ò ÚÙÓ ÙÓ Ø ÐØ Ú ÑÔ Ù Ò ÓÐÑÙÐ Ø Ò Ø Ú Ò ÝØØÑ Ò Òº Ì ØÝ Ø ÐÐÒ Ù Ø Ò Ò Ð ØÝØØÚÑÔ ÓÐÑÙÐ Ø Ò Ò Ø Ô º Å Ò Ø ÐÑ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ó ÐÐ Ó ØÙ Ò T h ÓÐÑ Ó ÒÒ ÐÐ K Ð Ñ ÒØØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ø A K Ò º Ð Ñ ÒØ Ø Ò Ñ ØÖ Ü ÓÖ Kµ Ó Ø ÓÓØ Ò ÐÓÔÙ Ý ÝÝ Ñ ØÖ Aº ÂÝ ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ð Ó Ø Ù¹ ÙÖ Ò Ó ÓÒ 0 ÐÐ a K (ϕ i,ϕ j ) 0 Ú Ò Ó N i N j ÓÚ Ø Ñ Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÓÐÑÙÔ Ø Øº ËÓÐÑÙÐ Ø Ò Ø Ú Ò ØÙÒ ÓÒ ØØ ÒÒ ÐÐ Ø Ò Ó ØÙ Ø Ò Ø Ô Ù Ø ÖÚ Ø Ð Ð Ó Ø a ij = a(ϕ i,ϕ j ) Ö Ò Ú Ò Ö ØØ Ö Ø Ø Ý Ò ÒØ ¹ ÐÙ Ò Ð ÓØ a K (ψ i,ψ j )º Ä Ò Ö Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ø Ô Ù ÓÐ Ñ Ö ÙÚ Ò ¾µ Ó¹ ØÙ Ø Ò A K ¹Ñ ØÖ Ø ÓÐ Ú Ø 3 3¹Ñ ØÖ ÐÐ P 1 ¹ Ð Ñ ÒØ Ø ÐØÚØ 3 ÓÐÑÙÔ Ø ØØ ÙØ Ò ÙÚ Ò µ Ø Ô Ù º ÌÐÐ Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ö Ø Ù Ö ÒØÙÙ Ò Ò Ô Ø Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ø º ÂÝ ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ a ij Ò ÙÑÑ Ñ ÐÐ Ö Ø ØÙØ Ð Ñ ÒØØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ a(ϕ i,ϕ j ) = K T h a K (ϕ i,ϕ j ). º½ µ Å Ò Ø Ò ÓÐÑÙÔ Ø Ø N i N j N k ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ò Ð Ò Ö Ò ÓÐÑ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ ÓÒ a K (ϕ i,ϕ i ) a K (ϕ i,ϕ j ) a K (ϕ i,ϕ k ) a K (ϕ j,ϕ i ) a K (ϕ j,ϕ j ) a K (ϕ j,ϕ k ). a K (ϕ k,ϕ i ) a K (ϕ k,ϕ j ) a K (ϕ k,ϕ k ) Å ØÖ Ý ØÐ Ò º½¾µ Ú ØÓÖ b ÓÓØ Ò Ô ÐÓ ØØ Ò ÙØ Ò Ñ ØÖ A Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø b i = (f,ϕ i ) L 2 ÙÒ j = 1,...M. Ì ØÙØ ÐÑ ÖÖÓØ Ù Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ø ÓÓØ Òº ÄÙ ÚÓ ØÙØÙ ØÙ Ò Ñ Ö Ã Ù Ò Ø Ñ Ö Ò Ö Ó Ø º ¾

ÃÙÒ Ñ ØÖ A Ú ØÓÖ b ÓÚ Ø Ö Ø ØÙ Ø ØÓ ÓÒ Ò Ø ØÚ Ú ¹ ØÓÖ Ò ξ Ö Ø Ñ Ò Ò Ý ØÐ Ý Ø Ñ Ø º µº Ã Ö ÓÒ Ø ÐØÝ Ù Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÙÓÖ Ñ ØÓ Ö Ð Ñ Ò ÑÓ ÒØ ÑÙÓØÓ ¹ ÐÙÙÒ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÖÓ ÒØ ÒÓ º ÃÙÚ µ ÓÒ Ø ØØÝ Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø ¹ ÙØ ÙÒ Ø ÓÒ f Ö ÖÚÓ ÐÐ º µ f = 1 µ f = xy maxu = 0,074 maxu = 0,021 minu = 0 minu = 0 ÃÙÚ ÙÒ Ø ÓÒ f Ú ÙØÙ Ö Ø ÙÒ u h ÝØØÝØÝÑ Òº À Ú Ø Ò ØØ Ö Ø ÙÒ ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ý Ò Ð Ò ÐÐ Ö ÔÔÙÙ ÙÒ ¹ Ø Ó Ø fº ÐÐ ÔØ Ø Ò Ý ØÐ Ò Ø Ô Ù ÙÒ Ø Ó f ÙÚ Ò Ð Ø ÝÝØØº ¼

º P 1 ¹ P 2 ¹ Ð Ñ ÒØØ Ò Ú ÖØ ÐÙ ÇÐ ÑÑ Ú ÒÒ Ø ÑÑ Ò ØØ Ð Ñ ÒØØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò ÓÓØ ÓÚ Ø P 1 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ 3 3 P 2 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ 6 6º ÌÐÐ Ò Ý ØØ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ø Ñ ØÝ ÑÖ ÓÒ P 2 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ò Ð Ò ÖØ Ò Ò P 1 ¹ Ð Ñ ÒØØ Ò Ò ¹ Òº Ð Ñ ÒØØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ø Ú Ø Ú Ø Ý ØÐ Ò º½ µ ÒÓ ÐÐ Ý ÝÝ ¹ Ñ ØÖ Ò Ð Ó Ø Ó Ò ÑÖ Ö ÔÔÙÙ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Øº ËÙÓ¹ Ö Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÑÓÒ ØÖ Ø Ó ÓÐÐ ÖÚ Ó Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑ¹ ÖÒ ÚÙ Ó ØÙ Ò Ø Ý Ò ÙÙÖ Ø º ÑÓÒ ØÖ Ø Ó ÐÙ Ù n ÙÚ ÚÙ Ò Ó¹Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº Ä ÖÓØ Ð¹ Ð Ò P 2 Ð Ñ ÒØ Ò ÓÐÑÙÔ Ø Ø ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ö ÙÒ Ô Ø Ò ÐÙ Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ô Ø Òº ÃÙÚ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ð Ø Ø ÐÑ º Î Ð Ø Ò Ð ÙØ Ð ÒØ ÙÚ Ò µ ÑÙ Ò Ò Ø ÐÑ º ÃÙÒ Ó Ø ÒÒ ØÒ Ò ÖØ µ Ú Ø Ò ØØ ÓÐÑ Ó Ò Ö ÙÒ Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖØ r(n) Ò Ð Ò ÖØ ØÙÚ Øº ÃÙÚ ÍÙ Ø ÓÐÑ ÓØ ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø P 2 ¹ Ð Ñ ÒØØ Ò ÓÐÑÙÔ Ø Ò ÚÙÐ¹ Ð º ½

ÃÙÚ Ò µ µ ÚÙÐÐ Ò Ò ØØ Ö Ô Ø Ò ÑÖ Ú Ø P 1 ¹ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ q 1 (n) Ò Ô Ø Ò Ý Ø ÑÖ Ú Ø P 2 ¹ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ q 2 (n)º Ä Ú Ø Ò ØØ q 1 (n) = q 2 (n 1) ÙÒ n 2. º½ µ ÃÙÚ Ì Ò ÓØ Òº Â Ó Ø ÒÒ ØØ ÐÐ Ò Ò ÖØ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ s(n) ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò n 1 s(n) = 6 k +n. i=1 Æ Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ø ÙÐÙ Ó ½µ Ñ q 2 1(n) = q 2 (n)/q 1 (n) ÙÚ P 1 P 2 ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ù ØØ º n s(n) r(n) q 1 (n) q 2 (n) q 21 (n) ½ ½ ¾º¾ ¾ ¾ ¾º ¼ ½ ¾ ½ º¾ ½ ¾ ½ ¾ º ½ ¾ ½¼ º Ì ÙÐÙ Ó ½ Ç ØÙ Ò Ø ÒØÑ Ò Ú ÙØÙ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖÒº Ì ÙÐÙ Ó Ø ½µ Ú Ø Ò ØØ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ù Ò q 21 Ð ØÝÝ ÐÙ Ù Ò Ð º ÃÓ Ý ÝÝ Ñ ØÖ ÓÓ ØÙÙ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÐ ¹ Ø ÓÔ ÖÓ ÒÒ Ø Ò Ò Ñ Ö M M¹Ñ ØÖ ÐÐ M 2 = q 2 i º Ë Ø Ò ÐÙ Ù q 2 21(n) ÙÚ Ñ ØÖ Ò Ó Ó Ò ÖÓ P 1 ¹ P 2 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ó ÐÐ ÓÒ Ñ ÒÐ Ø Ó ØÙ Øº ¾

ÃÓ Ý ÝÝ Ñ ØÖ A ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÖÚ ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø Ò Ù ¹ Ñ ØÖ ÐÐ º ÌÑ Ø Ø ØÓ ÓÒ Ò ÑÙ Ø ÐÐ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÙ Ø ÒÓÐÐ ¹ ÖÚÓ Ð Ó Ø Ø Ò ÐÙ Ù q21 2 (n) ÚÓ ÙÓÖ Ò ÝØØ Ú ØØ Ú Ò ØÝ ÑÖÒ ÖÚ Ó Ñ º ÌÓ Ñ ÒØ Ø Ô Ò ÚÓ ØÙØÙ ØÙ Ò ÑÑÒ ØÙØÙ ØÙÑ ÐÐ Ñ Ö Ö Ò º ¹ º Ò Ð ÑÑ Ò º º µ ÒÓ ÐÐ Ö Ø ÙÒ ÝÚÝÝØ Ò Ú ÙØØ Ú Ð ØØÙ ÙÒ ¹ Ø Ó Ú ÖÙÙ º Ë ÙÖ Ú ÑÓÒ ØÖ Ø Ó Ó Ó Ø Ø Ò ØØ P 1 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ú Ø Ò ÝÚ Ò Ô Ð ÓÒ Ø ÑÔ Ó ØÙ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÙÒ Ù Ò P 2 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ ÐÐ ÔÔÖÓ ÑÓ Ú Ø Ö Ø Ù Ô Ö ÑÑ Òº µ P 1 µ P 2 maxu = 0.06667 maxu = 0.07363 ÃÙÚ ½¼ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙØ ÙÒ f(x,y) = 1 ÙÒ n = 5º ÃÙØ Ò ÙÚ Ø ½¼µ ÚÓ Ò Ú Ø Ö Ø Ù Ò Ø Ö ÙÙ ÓÒ ÙÙÖ ÖÓº P 1 Ð Ñ ÒØ ÐÐ ÚÙØ Ø Ò ÙÚ Ò P 2 Ð Ñ ÒØØ Ú Ø Ú Ø Ö ÙÙ ÙÒ n = 40º ÃÝØØÑÐÐ P 2 Ð Ñ ÒØØ Ö Ø Ù Ð ØÝÝ ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÒÓÔ ÑÑ Ò ØÓ ÐÐ Ø ÖÚÓ º Ä ÒÒ ÐÐ Ò Ò ØÝ ÑÖ ØØ Ò ÓÐÐ Ô Ò ÑÔ P 2 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ º Ì ÙÐÙ Ó ¾µ ÓÒ Ø ØØÝ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø ¹ ÙØ Ö Ð ÐÐ ÐÙÚÙÒ n ÖÚÓ ÐÐ º

Ò max P1 u h max P2 u h ¾ ¼º¼ ¾ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ½¼ ¼º¼ ¼ ¼º¼ ¾¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼ ¼º¼ ¼º¼ ½¼¼ ¼º¼ ¼º¼ Ì ÙÐÙ Ó ¾ Ç ØÙ Ò Ø ÒØÑ Ò Ú ÙØÙ Ö Ø ÙÙÒº

ÆÙÑ Ö Ø Ø Ö Ø ÐÙ Ã ÔÔ Ð ØÙØÙ ØÙØ Ò Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ Ö Ð Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò Ò¹ Ò Ø Ò Ø ÐØÚÒ ÐÐ ÔØ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ Ý Ð Ø Ñ Ö ØÝ ¹ Øº ÄÓÔÙ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ö Ø Ø Ò Ý Ð Ø ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø ÐÐ ÔØ º º½ Ê ÙÒ ÓØ Ì Ð ÔÔ Ð ØÙØ Ø Ò ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ u = 1 º½µ u+ u ν = h ÙÒ u Γ Ý Ò Ð Ö Ð Ø Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò Ò º Æ Ñ ØÒ Ò Ð Ò Ö ÙÒ Ø Ø Ò ØØ Γ 1 Ø Ö Ó ØØ Ò Ð Ö ÙÒ Γ 2 ÑÙ Ø Ö ÙÒÓ º ÌÙØ ØØ Ú Ò ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÓÒ Γ = Γ 1 Γ 2 º ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò Ó ÑÙÓØÓ ÓÒ Ñ Ö Ò º½º Ö Ó Ø Ô Ù Ø u h H 1 () º º a(u h,v) = F,v ÐÐ v H 1 ()., º¾µ Ñ a(u h,v) = v udx, F,v = fvdx+ (h u)dσ. Γ 2 ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º Ö Ð Ø Ö ÙÒ Ó ÙØ ÙØ Ò ØÓ Ó Ö Ø ÙÒ ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÑÖØØÝ ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ º Ñ Ö º½º¾º ÓØ u = h(x,y) ÙÒ u Γ 1, u = 0 ÙÒ u Γ 2, ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ö Ø ÙÒ Ó Ó Ö ÙÒ ÐÐ º ÃÙÚ ½½µ ÓÒ Ø ØØÝ Ý ØÐ Ò º½µ Ö Ø ÙØ Ö Ð ÐÐ Ö Ð Ø Ö ÙÒ Ó ÐÐ º

µ h(x,y) = 1 µ h(x,y) = sin(3πx) maxu = 1 maxu = 1 ÃÙÚ ½½ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò ÝØØÝÑ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ h(x,y) Ö ÖÚÓ ÐÐ º ÅÖ Ø ØÒ ÙÖ Ú Ö ÙÒ ÐÐ ÓÐ ÐÐ Ò Ò Ö ÙÒ ØÓº ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ê ÙÒ ØÓ ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ Γ 1 Ú Ö Ò Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò ÒÒ ÐØ u ν = g ÙÒ u Γ 1, u = h ÙÒ u Γ 2 ÙØ ÙØ Ò Ý Ø ØÝ Ö ÙÒ Ó Ñ Ü ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ µ ÐÐ Ö Ù¹ Ò Ò Γ Ö Ó ÐÐ ÓÒ ÒÒ ØØÙ ØÓ Ø Ò ÔÓ Ú Ø ÓØº Ê ÙÒ Ò Γ 1 ØÓ ØÙÒÒ Ø Ò Ô Ö ÑÑ Ò Æ ÙÑ ÒÒ Ò Ö ÙÒ ØÓÒ º Ñ Ö º½º º Æ ÙÑ ÒÒ Ò Ö ÙÒ Ó ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ñ Ø Ò Ö Ø¹ Ù ÑÙÙØØÙÙ Ñ Ö Ö ÙÒ ÐÐ Γ 1 º ÃÓ ν ÓÒ Ô Ø ØØ Ò Ó Ø ÙÓÖ Ö ÙÒ ÐÐ Γ Ò Ò u ν = ν uº Î Ð Ø Ñ ÐÐ Ö ÙÒ ÐÐ Γ 2 Ö Ð Ø Ò Ö ÙÒ ÓÒ u = 0 ÙÒ u Γ 2 Ò ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ ÐÙÒ º¾µ Ö ÙÒ Ø ÖÑ Γ 1 u ν vdσ = Γ 1 gvdσ. Ç ÐÑÓ Ö ÙÒ ØÓ Ö Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ Ò º µ Ó ÒÔÙÓÐ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ê ÙÒ ÓÐÐ ÚÓ Ò ÙÚ Ø Ö Ø ÙÒ ÑÙÙØÓ Ø ÐÙ Ò Ö ÙÒ Ú ØÓÖ Ò ν ÙÙÒÒ º ÃÙÚ ½¾µ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ g Ñ Ö Ò Ú ÙØÙ Ø Ý ØÐ Ò º½µ Ø Ô Ù º

µ g = 1 µ g = 1 maxu = 0.484 maxu = 0.036 minu = 0 minu = 0.256 ÃÙÚ ½¾ g Ò Ñ Ö ÙÚ ÓÒ Ó ÚÙÓ µ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú µ Ò Ø Ú Ò Òº ÙÒ Ø ÓÒ g Ñ Ö ÙÚ ÐÚ Ø Ö Ø ÙÒ ÑÙÙØÓ Ò ÙÙÒØ º ÃÙØ Ò Ù¹ Ú Ø µ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÖÚÓ ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù Ô Ò Ò Ö ÙÒ ÐÐ Γ 1 º Î Ø Ú Ø Ö Ø Ù Ú g Ò ÔÓ Ø Ú ÖÚÓ º ÅÙÙØÓ ÒÓÔ Ù Ò ÙÙÖÙÙ Ö ÔÔÙÙ g Ò Ø ÖÚÓÒ ÙÙÖÙÙ Ø º Å Ø ÙÙÖ ÑÔ ÓÒ Ø ÒÓÔ ÑÔ ÑÙÙØÓ ÓÒº Å Ð ØÙØ ØØ Ú Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ (C u) = f, Ò Ò Æ ÙÑ ÒÒ Ò Ö ÙÒ ØÓ Ö ÙÒ ÐÐ Γ 1 ÓÒ ν C u = g. ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º º ÃÓ ÐÐ ÔØ Ø Ý ØÐ Ø Ú Ø Ú Ø Ý Ð Ø Ø Ø ÓÒÖ ¹ Ø Ò Ø Ð ÒØ Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ò Ò Ð Ø ØØ Ñ Ø Ô Ù Æ ÙÑ ÒÒ Ò Ö Ù¹ Ò ÓÐÐ ÓÒ Ö Ú ØØ ØÓ u dσ = 0, ν Γ ÙÒ ÝØ ØÒ Ô Ð ØÒ Æ ÙÑ ÒÒ Ò ØÓ º ÌÑÒ ÒÓ ÐÐ Ø Ö Ø ÐØ Ú ¹ Ø Ð Ñ Ö ÐÑÔ ÚÙÓ ÚÓ ÓÐÐ ÙÙÖ ÑÔ Ò Ù Ò ÓÒ ÙÐÓ º ÃÝØÒÒ Ý ÓÒ Ò Ö Ò ÐÝÑ Ð Ø ÙÖ Ú Ö ÙÒ ØÓº ÀÙÓÑ Ó Ò Ú Ð ØØ ÔÙ Ø Ø Æ ÙÑ ÒÒ Ò ØÓ ÝØØÑÐÐ Ö Ø Ù ÓÐ Ý ØØ Ò Ò Ó Ö ÙÒ ÓØ ÚØ ÒÒ Ø Øº

ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÃÓÐÑ ÒÒ Ò ØÝÝÔ Ò Ö ÙÒ ØÓ ÙØ ÙØ Ò ÊÓ Ò Ò Ö ÙÒ Ó º αu+ u ν = g ÙÒ u Γ 1 º µ Ñ Ö º½º º Å Ð ØÓ Ò Ò Ý ØÐ Ò º µ Ú ÑÑ ÒÔÙÓÐ Ø Ø ÖÑ Ø ÓÒ ÒÓÐÐ Ô ÝØÒ Ó Ó Ö Ð Ø Ò Ø Æ ÙÑ ÒÒ Ò Ö ÙÒ ØÓÓÒº ÃÝ ÓÒ Ò Ò Ý Ø ÐÑº Î Ö Ø ÓÑÙÓØÓ ÐÙÒ Ö ÙÒ Ø ÖÑ Ò Γ 1 u ν dx = Γ 1 (g αu)dx. ÊÓ Ò Ò Ö ÙÒ ÓÐÐ ÓÒ ÓÚ ÐÐÙØÙ Ò Ò Ñ Ò ØØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ù Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ø Ò Ø Ô Ù Ø Ò Ò º Ë Ø ÝØ ØÒ ÙÚ Ñ Ò ¹ Ñ Ö Ö Ò Ò Ö Ô ÒØÓ Ò ÚÐ ÐÐ Ø Ô ØÙÚ Ò Ö Ò ÖØÝÑ Øº ÙÒ Ø Ó α(x,y) Ú ÙØØ Ö ÙÒ ØÓ Ò Ò Ò Ô ÒÓ ÖÚÓ Òº ØÓ Ú ¹ Ø Æ ÛØÓÒ Ò ØÝÑ Ð u ν = α(u 0 u) ÙÒ u Γ 1, º µ Ñ g = u 0 /α ÙÚ ÔÔ Ð Ò ÝÑÔÖ Ø Ò ÐÑÔ Ø Ð α ÓÒ ÐÑÑ Ò¹ Ó ØÙÑ ÖÖÓ Ò Ó Ö ÔÔÙÙ Ö Ô ÒÒ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ò ÔÙÓÐ Ò ÓÐ Ú Ø Ò Ø º ÌÐÐ Ø Ø Ð ÒÒ ØØ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö º º½º ÃÙÚ ½ µ ÓÒ Ø ØØÝ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ý Ø ØÝ ÐÐ Ö ÙÒ Ó ÐÐ Ó ÊÓ Ò Ò ÓÒ º µ Ð Ö ÙÒ ÐÐ Γ 2 Ú Ð Ø Ò u = 0º ÌÙÐÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ñ Ø ÙÙÖ ÑÔ ÓÒ ÖÖÓ Ò α Ø ÒÓÔ ÑÔ ÓÒ Ó ØÙÑ Ò Òº Ê Ø Ù ÓÒ ÒÝØ ÐÚ Ø Ý ØØ Ò Ò ÐÐ Ö Ð Ø Ò Ö ÙÒ ØÓ ØÓÓ Ö Ø ÙÒ ÝØ¹ ØÝØÝÑ Ò ÑÙ ÐÐ Ö ÙÒÓ ÐÐ º

µ u ν = 10 u u µ = 0.1(10 u) ν maxu = 2.847 maxu = 0.468 ÃÙÚ ½ ÊÓ Ò Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò ÖØÓ Ñ Ò Ö Ø ÙÙÒº α Ú ÙØÙ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò

º¾ ÐÐ ÔØ Ò Ò Ý ØÐ Ë ÙÖ Ú Ñ Ö º¾º½ ¹ º¾º ØÙØ Ø Ò Ý ØÐ Ò (C u)+w u+bu = f º µ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ú ÙØÙ Ø Ö Ø ÙÒ ÝØØÝØÝÑ Òº À Ú ÒØÓ Ò ÚÙÐÐ Ð ¹ Ø ØÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ý Ð Ñ Ö ØÝ º Ñ Ö º¾º½º ÇÐ ÓÓÒ C L () ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø¹ Ø ¾Ü¾¹Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù ÓÒ ÐÑ Ø (C u) = f ÙÒ x º º µ ÌÙØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ º µ Ö Ð Ø³Ò Ö ÙÒ ÓÐÐ u = 0 ÙÒ x Γ, Ñ Γ = ÓÒ ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÙØ Ò ÑÑ Òº ØÐ Ò º µ Ú Ö ¹ Ø ÓÑÙÓØÓ Ò Ò ÓÒ ÐÑ Ø u H0 1 () º º a(u,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v H0 1 (), º µ Ñ a(u,v) = (f,v) L 2 = v C udx, fvdx. ÃÝØ ØÒ ÓÒ ÐÑ Ò º µ ØÙØ Ñ Ò P 2 Ð Ñ ÒØØ ÓØ Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ ÓÒ V h = {v H 1 0 () : v K P 2 (K), K T h } º µ ÇÒ ÐÑ º µ Ú Ø Ú Ð Ñ ÒØØ ÑÙÓØÓ Ò Ò ØÝ ÓÒ ÒÝØ Ø (u h,v) Ø Ò ØØ a(u h,v) = (f,v) º µ ¼

ÌÙØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ º¾º½ ÒÙÑ Ö Ø Ý Ò Ð ÒØ Ñ ÐÐ C ÐÐ Ö ÖÚÓ Ú Ð Ø Ñ ÐÐ f = 1º µ C = ( ) 5 0 0 1 µ C = ( ) 2 1 1 2 µ C = ( ) 5 1 1 2 maxu = 0.023 maxu = 0.039 maxu = 0,021 ÃÙÚ ½ Å ØÖ Ò c Ú ÙØÙ ÓÒ ÐÑ Ò º µ Ö Ø ÙÙÒº Ã ÔÔ Ð Ò ÙÚ µ Ö Ø ÙÒ Ñ Ñ ÖÚÓ 0.074 Ú Ø Ú Ñ ØÖ C = I ÓØ Ò Ú ÖØ Ñ ÐÐ Ø ÙÚ Ò ½ µ µ Ú Ø Ò ÓÒ Ð ÖÚÓ Ò ÙÙÖ Ò Ñ Ò ÙØØ Ú Ò Ö Ø ÙÒ Ñ Ñ ÖÚÓÒ Ò Ñ Òº Å ØÖ C ÖÓ Ý ÙÚ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ø Ú Ò Ø ÖÑ Ò c 11 Ó ÐØ º ÌÑ ÑÙÙØÓ ÙÓÑ Ø Ò ÑÝ Ö Ø ÙÒ Ð Ø ØÝÑ Ò x¹ Ð Ò Ù Ø Ò Ñ ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÑÝ ÒÓÔ ÑÔ ÙÒ Ó ØÙÑ Ò x¹ Ð Ò ÙÙÒÒ º ÃÙÚ Ò ½ µ Ñ Ö Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ º µ ÓÐ Ú Ò ÐÐ ÔØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù¹ ÐÐ Ñ ØÖ C ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ø Ô Ù µ ¹ µº ÌÑ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ñ Ö Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ ØØ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ ¹ Ø Ú µ (λ 1,λ 2 ) = (1,5) µ (λ 1,λ 2 ) = (1,3) µ (λ 1,λ 2 ) = ( 39, 52)º ÇÑ Ò ÖÚÓ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø µ (1,0) T (0,1) T µ (1,1) T (1, 1) T µ ( 3+ 39,6 39) T (3 52,6 52) T º À Ú Ø Ò ØØ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÑÖ ØØÚØ Ü¹ Ý¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò¹ Ò Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú º ÅÙÙÐÐÓ Ò ÒØ ÓÒ Ö¹ ØÝÒÝØº ÃÙÒ ÓÒ ÐÑ ÐØ Ñ ØÖ ÑÙÓØÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò C ÔÙ ÙØ Ò Ò¹ ÓØÖÓÓÔÔ Ø ÙÙ Ó Ø º Ë ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÝØØ Ó Ø Ø Ñ Ö Ù¹ Ú Ò ØØ ÐÝ Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ú ÒØ Ó Ò º Å Ð C R Ò ÙÙÖÙÙ ÙÚ Ò Ò Ý Ý Ó Ø Ñ Ö ÐÑÔ Ø Ô ÖØ Ð Ò Ð Ú Ñ ÒÓÔ ÙØØ º ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù ÐÑÔ ¹ ½

Ý ØÐ Ø u α u = 0, t Ñ ÖÖÓ ÒØ α ÙØ ÙØ Ò Ø ÖÑ ÙÙ Ó ÖØÓ Ñ Ø ÐÑÔ Ø Ð Ò¹ Ó Ø ÚÙÙ ÐÑÔ Ø Ð Ò ÑÙÙØÓ Ø ÙÚ Ú Ø ÖÑ u t ÓÒ Ú Óº Ñ Ö º¾º¾º ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú Ý ØÐ Ò º µ Ô Ö Ñ ØÖ L ()º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÙ ÓÒ ÐÑ b (c u)+ru = f u = 0 ÙÒ x Γ ÐÐ ÐÝØ ØÒ Ø Ö Ø ÐÙ Ñ Ö Ð Ø³Ò Ö ÙÒ ØÓ Ù Ò ÑÑ Òº ÇÐ ÓÓÒ Ð C = I ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó u+ru = f º½¼µ Î Ö Ø ÓÑÙÓØÓ ÐÙÒ Ø ÖÑ a(u,v) ÓÒ ÒÝØ ÑÙÓØÓ a(u,v) = ( v u+ruv)dx. º½½µ Î Ð Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ º µ ÓÐÐÓ Ò ÓÒ ÐÑ º½¼µ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó Ø u h H 1 0() Ø Ò ØØ a(u h,v) = (f,v) L 2. º½¾µ µ r = 1 µ r = 50 µ r = 10 maxu = 0,070 maxu = 0,018 maxu = 0,157 ÃÙÚ ½ È Ö Ñ ØÖ Ò r Ñ Ö ØÝ Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ñ Ò Òº ÃÙÚ ½ µ ÓÒ Ø Ö Ø ÐØÙ ÓÒ ÐÑ Ò º½¼µ ÝØØÝØÝÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò r Ö ÖÚÓ ÐÐ º À Ú Ø Ò ØØ Ò ÙÙÖ Ò Ñ Ò Ò Ô Ò ÒØ Ú Ñ ÒØ µ Ö Ø ÙÒ Ñ Ñ ÖÚÓ Ö Ø Ù ÒØÙÙ Ø ÑÑ Ò Ó Ó Ø Ö Ø ÐØ Ú ÐÐ ÐÙ ÐÐ º ¾

Å Ð r < 0 Ö Ø ÙÒ Ñ Ñ ÖÚÓ Ú ØÝÝµº ÃÓ ÙÒ Ø Ó f Ù¹ Ú Ð Ø ÝÝØØ Ö Ý ÝÑÝ Å Ø Ô Ö Ñ ØÖ r ÙÚ ØÐÐ Ò ÂÓ Ö Ø Ù u ÙÚ ÐÑÔ Ø Ð Ø Ò Ö ÓÒ Ò Ø Ú ÐÐ b Ò ÖÚÓÐÐ Ú Ð ÝØ Ð ØÝ Øº Ö Ð ØÝ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö Ø º ÂÓ Ö Ø Ù ÔÙÓÐ Ø Ò ÙÚ ÓÒ Ò ÓÒ ÒØÖ Ø ÓØ Ò Ò b Ò Ò Ø Ú ÖÚÓ ÚÓ Ò Ð ØØ Ö Ø ÓÐ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ò ÐÙ Ò º ÃÙØ ÙØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ b Ø Ø Ó ØÙ Ò Ö Ø ÓØ ÖÑ ØÙØ ØØÙ Ý ØÐ ÙÙ Ó¹Ö Ø ÓÝ ØÐ º Ñ Ö º¾º º ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú ÓÒ ÐÑ u+w u = f ÙÒ x, u = 0 ÙÒ x Γ, Ñ w L ()º ÇÒ ÐÑ Ò Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ Ò Ò ØÝ ÓÒ Ø u H 1 () Ø Ò ØØ a(u,v) = (f,v) L 2, Ñ Ó ÒÔÙÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÙØ Ò Ñ Ö º¾º½ a(u,v) = ( v u+(w u h )v)dx. º½ µ º½ µ Ë ÐÝØ ØÒ Ñ Ú ÖÙÙ V h Ù Ò Ñ Ö º¾º½ º¾º¾ ÑÙÓØÓ ÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ø u h H0 1 () Ø Ò ØØ a(u h,v) = (f,v) L 2. º½ µ ÌÙØ Ø Ò Ý Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö ÝÝØØ Ú ØÓÖ Ò w Ù Ø Òº ÃÙÚ Ø ½ µ Ò Ò ÐÚ Ø ØØ Ú ØÓÖ Ú ÙØØ Ö Ø ÙÒ Ô Ò Ò Ò Ò Ò ÙÙÖÙÙØ Òº ÌÑÒ ÚÙÓ Ø ÖÑ w u ÙØ ÙØ Ò Ú ÖØ Ù ¹ Ð Ú ¹ Ø ÓØ ÖÑ º µ w = [1,0] µ w = [2, 2] maxu = 0,073 maxu = 0,071 ÃÙÚ ½ Î ÖØ Ù Ø ÖÑ Ò w Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ñ Ò Òº

º ËÓÚ ÐÐ ØÙØ Ø Ô Ù Ø Ì Ð ÔÔ Ð ÓÒ ÔÝÖ ØØÝ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò ÐÑÑ Ò Ó ØÙÑ ÐÐ Ñ ÐÐ Ó ÓÒ ØÙÐ ØØ Ú ÑÝ ÐÐ ÔØ ÓÒ ÐÑ º Î Ð ØØÙ ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÑÙÓ¹ Ó Ø ØØÙ Ø Ö Ó ØÙ ÒÑÙ Ø Ò Ò ØØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø Ô ÐÓ ØØ Ò Ø Ù¹ Ú Ð C,w,b L ()º Ä ÔÔ Ð ÓÔ Ø Ø Ò Ù Ò Ö Ñ ÐÐ Ö Ø Ø Ò ØÐÐ ÓÒ ÐÑ º Ã Ø ÐØÚ Ñ Ö º º½ ÐÙ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ò i Ô Ö Ñ Ø¹ Ö Ò ÝØØÝØÝÑ Ò ÑÙ Òº ÂÓ ÐÐ Ó ¹ ÐÙ ÐÐ Ú Ð Ø Ò Ò ÚÓ Ñ ÓÐ Ú Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø C i,w i b i ÓÐÐÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø C,w b ÚÓ Ò ÑÙÓ¹ Ó Ø Ö Ø Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ º Ñ Ö Ò Ó ¹ ÐÙ Ò Ø Ô Ù ¹ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø Ó { 1, Ó x 1 χ = 0, Ó x R 2 / 1 º Î Ð Ø Ò ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ø C 1 w 1 b 1 ÙÙÐÙÚ Ø ÐÙ Ò 1 Ú Ø Ú Ø C 2 w 2 b 2 ÐÙ Ò 2 º ÆÝØ Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ò C Ô Ø ÙÚÙÙ ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ C = C 1 χ+c 2 (1 χ) Ç ¹ ÐÙ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ú χ ÙÒ Ø Ó Ø ØÙÐ ÑÓÒ ÑÙØ ÑÔ º ÌÑ Ù Ò Ò ØØ ÐÐ Ú Ø Ú ÓÒ ÐÑ Ö Ø ÓØØ Ñ Ö Ö Ñ Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø ÝØØÑÐÐ ÓÑ ÒØÓ Ö ÓÒº Ë ÙÖ Ú Ó Ø ½º ¹ ºµ ÒÓÙ ØØ Ñ ÐÐ Ô Ø ÙÚ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø ØÙÐ ÐÔÔÓ º Ã Ø Ó ÑÝ Ä Ø º Î ÌÓ Ñ ÒØ ½º ÅÙÓ Ó Ø Ó ¹ ÐÙ Ò Ö ÙÒ Øº ¾º Æ Ñ Ö ÙÒ Ø Ð Ð¹ ÓÑ ÒÒÓÐÐ Ø Ò ØØ Ò Ö ÙÒÓ Ò Ò Ñ ÓÒ Ñ º º ÅÙÓ Ó Ø Ó ØÙ Ø Ó ¹ ÐÙ ÐÐ º º Ä Ñ Ó ¹ ÐÙ Ò Ó ØÙ Ø ÐÓÔÙÐÐ Ò Ò Ó ØÙ º º Æ Ñ Ó ¹ ÐÙ Ø Ö ÓÒ¹ ÓÑ ÒÒÓÐÐ º º ÅÙÓ Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ó ¹ ÐÙ ØØ Òº º ÅÙÓ Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ó Ó ÐÙ ÐÐ Ö ÓÒ¹ ÓÑ ÒÒÓÒ ÚÙÐÐ º Ñ Ö º º½º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÚ Ò ½ µ ÑÙ Ò Ò Ø Ð ÒÒ Ó Ñ Ò¹ Ò Ò α m = 116 W Ø Ò Ó ÓÒ Ý Ø ØØÝ Ñ ÒÑ ØØ Ò ÙÔ Ö Ò α m C k = 393 W Ø Ò ØØ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÔ Ð Ø ÓÚ Ø ÔÓÐÝÙÖ Ø Ò ÖÖÓ Ò α m C k = 0.035 W ÐÐº m C

ÃÙÚ ½ Ø ÐÑ ÙÚ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ð ÒÒ ØØ ÙÒ Ñ Ò Ò ÔÔ Ð Ò Ú Ô Ô ÓÒ Ø ÙÚ Ø Ó ØÙ u 0m = 100 C Ò ÑÙÙ ÐÙ u 0r = 20 C Ò ÝÑÔÖ Ø Òº ÇÒ ÐÑ ÚÓ Ò ØÙØ Ý ØÐ ÐÐ Ñ α u = 0, º½ µ α m, Ó x m α = α k, Ó x k α p, Ó x p1 p2 Ñ Ö Ø ÑÐÐ ÐÐ Ò ÝÑÔÖ Ø Ò ÐÑÔ Ø ÐÓ { u0m, Ó x Γ u 0 = m u 0r, Ó x Γ k Γ p1 Γ p2 Ò Æ ÛØÓÒ Ò ØÝÑ Ð Ø º µ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÊÓ Ò Ò Ö ÙÒ ÓØ u ν = α m(u 0m u) = 11600 116u ÙÒ u Γ m, u ν = α k(u 0k u) = 7860 393u ÙÒ u Γ k, u ν = α p(u 0p u) = 0.7 0.035u ÙÒ u Γ p1 Γ p2, Ê ÙÒ Ø ÖÑ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÝ Ý Ø u ν = α(u 0 u),

ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø α,u 0 L ÓÚ Ø Ö Ø Ö Ø Ò χ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÑÙÓ¹ Ó Ø ØØÙ º ÇÒ ÐÑ Ò º½ µ Ð Ö Ò Ò ÑÙÓØÓ ÓÒ Ø u h H 1 () Ø Ò ØØ a(u h,v) = F,v ÐÐ v H0(), 1 º½ µ Ñ a(u h,v) = α ( v u h )dx, F,v = α(u 0 u h )vdx. Γ ÃÙÚ ½ Ì Ô ÒÓØ Ð ÒØ ÙÖ Ø Ò Ò ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ ÒÓ Ò 40 C ØØ º ØÐ Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ½ µº Ê Ø ÙÒ Ñ Ñ ÓÒ 42.568 Ñ Ò Ñ 36.6578º ÅÙÓ Ó Ø ØØÙ Ñ ÐÐ ÓÒ Ø Ø ÓÒÖ Ò Ò ÓØ Ò Ö Ø Ù ÙÚ Ø Ð ÒÒ ØØ Ó ÒÒ ØÙØ Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø ÓÐÐ Ø ÚÓ Ñ Ö ØØÚÒ Ù Ò Ý Ø Ñ ÓÒ ØØÙÒÙØ Ø Ô ÒÓØ Ð Òº ÌÓ ÐÐ ÙÙ Ñ Ø ÐÐ Ò Ø ÐÑÔ ¹ ÚØ ÒÓÔ ÑÑ Ò Ù Ò ÙÖ Ø Ò ÓØ Ò ÐÑÔ Ø Ð ÙÑ ÑÙÙØØÙÙ ÐÑÑ ØÝ ¹ Ò Ò Ð ØÝ Ò ÙÚ Ò Ö Ø Ù º

Ô Ø ÙÚ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ó ÐÑÓ Ñ Ò Ò ÌÙØ ÐÑ ÝØ ØØ Ò Ö Ñ Ó ÐÑ ØÓ º Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ Ö Ø Ô Ö Ø Ø ÐÐ ÔØ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÐØÚØ Ô Ø ÙÚ Ô Ö Ñ ØÖ º Î Ø ½ ¾ Ê ÙÒÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÐÙ Ò Ú ØØ Ñ Ò Òº Ê ÒÒ Ø Ò Ò Ò Ö ÙÒ Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú ÐÐ ÐÙ ÐÐ º Æ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÝØ¹ ØÑÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÐÐÓ Ò Ö ÙÒÓ ÐÐ ÓÒ ÙÙÒØ º Ç ÐÑÓ ÓÒ ÙÓÐ ¹ ØØ Ú ØØ Ö ÙÒ ÖØ Ú Ø Ô ÚÒ ØØ ÓÒ Ý Ø Ò Ò Òº ÓÖ Ö Ø ¼ µßü Ø Ý ¼ Ð Ð ½ Ð ÓÖ Ö Ø ¼ ½µßÜ Ý Ø Ð Ð ¾ Ð ÓÖ Ö Ø ¼ µßü ¹Ø Ý ½ Ð Ð ¼ Ð ÓÖ Ö Ø ¼ ½µßÜ ¼ Ý ½¹Ø Ð Ð Ð ÓÖ Ö Ø ¾ ¼µßÜ ¹Ø Ý ½ Ð Ð ¼ Ð ÓÖ Ö Ø ¼ ½µßÜ Ý ½ Ø Ð Ð ¾ Ð ÓÖ Ö Ø ¼ ¾µßÜ ¹Ø Ý ¾ Ð Ð Ð ÓÖ Ö À Ø ¼ ½µßÜ ½ Ý ¾¹Ø Ð Ð ¼ Ð ÓÖ Ö Á Ø ¼ ½µßÜ Ø Ý ½ Ð Ð ¼ Ð ÓÖ Ö Â Ø ½ ¼µßÜ ½ Ý ¾¹Ø Ð Ð ¼ Ð ÓÖ Ö Ã Ø ¼ ½µßÜ ½¹Ø Ý ¾ Ð Ð Ð ÓÖ Ö Ä Ø ¼ ½µßÜ ¼ Ý ¾¹Ø Ð Ð Ð Î Ç ØÙ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ò ÐÙØÙ ÐÐ Ó ¹ ÐÙ ÐÐ º ÅÓÐ ÑÑ Ø ÙÚ Ò ¾µ Ó ØÙ Ø ÓÚ Ø Ø Ó º ÃÙÚ µ Ö ÙÒ Ø ÓÚ Ø ØØÙ Ò Ú Ø Ò Ó Ò Ð n = 5º ÃÓ Ý Ò Ó ÚÐ Ò Ô ØÙÙ l = 1/5 Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÙÚ Ñ Ò ÒÓ Ó ÙÙØØ Ø ÖÑ Ò h Ø º ÃÝØ ØÒ ÓÑ ÒØÓ Ù Ð Ñ Ó ØÙ Ò T h ÑÙÓ Ó Ø Ñ º ÒØ Ò ½¼ Ñ Ì ½ Ù Ð Ñ Òµ Òµ Òµ Òµ µ Ñ Ì ¾ Ù Ð Ñ ¾ Òµ Òµ ¾ Òµ À Òµ µ Ñ Ì Ù Ð Ñ Á Òµ Â Òµ Ã Òµ Ä Òµ µ Î Ç ¹ ÐÙ Ò Ý Ø ÒÐ ØØÑ Ò Òº Ç ¹ ÐÙ Ø Ò Ð Ø ØØÝ Ý Ø Ò Ñ Ö ÙÑÑ ÑÑ ÐÐ º

Ñ Ì Ì ½ Ì ¾ Ì Î Æ Ñ ØÒ Ó ¹ ÐÙ Ø ÑÖ Ø ØÒ Ð Ñ ÒØ Øº Ç ¹ ÐÙ Ø Ò Ñ ØÒ ÓÑ ÒÒÓÐÐ Ö ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ ÓÑ ÒÒÓÐÐ Ô º Ñ Ö ÓÒ Ú Ð ØØÙ P 1 ¹ Ð Ñ ÒØ Ø Ó ØÙ ÐÐ T h º ÒØ Ð Ì ¼º ¼º½µºÖ ÓÒ ÓÝ Ì ¾ ½º µºö ÓÒ ÚÝ Ì ¼º ½º µºö ÓÒ Ô Î Ì È½µ Î Ö Ö ÓÒ Î ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ó ¹ ÐÙ ØØ Òº ÃÝØ ØØÚØ ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÓÑ ÒÒÓÐÐ ÙÒº ÙÒ ½ ¼ ÙÒ ¾ ½ ÙÒ ½ ÙÒ ½ ½ ÙÒ ¾ ½ ÙÒ ½ ÙÒ Û½½ ½ ÙÒ Û½¾ ½ ÙÒ Û½ ½ ÙÒ Û¾½ ¾ ÙÒ Û¾¾ ¾ ÙÒ Û¾ ¾ ÙÒ ½½½ ½ ÙÒ ½½¾ ¼ ÙÒ ½¾½ ¼ ÙÒ ½¾¾ ½ ÙÒ ¾½½ ½ ÙÒ ¾½¾ ¼ ÙÒ ¾¾½ ¼

ÙÒ ¾¾¾ ½ ÙÒ ½½ ½ ÙÒ ½¾ ¼ ÙÒ ¾½ ¼ ÙÒ ¾¾ ½ Î ÙÒ Ø Ó Ò Ý ØÑ Ò Òº ÃÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙØ Ò ÓÐ Ú Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ó Ó ÐÙ ÐÐ Ú Ð Ø Ò Ñ ÐÐ Ó ¹ ÐÙ ÐÐ ÐÐ Ò Ú Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÚÓ Ñ º ÌÑ Ø Ò Ú ØØ ¹ Ñ ÐÐ Ò Ñ ØØÝ Ò Ó ¹ ÐÙ Ò Ö ÓÒ ÓÑ ÒÒÓÐÐ º ÃÓÑ ÒÒÓÐÐ Ñ ÖÓÚÓ Ò ÐÝ ÒØ ÓÓ º Î ½ Ö ÓÒ Ð µ ¾ Ö ÓÒ ÓÝµ Ö ÓÒ ÚÝµ Î ½½ ½½½ Ö ÓÒ Ð µ ¾½½ Ö ÓÒ ÓÝµ ½½ Ö ÓÒ ÚÝµ Î ½¾ ½½¾ Ö ÓÒ Ð µ ¾½¾ Ö ÓÒ ÓÝµ ½¾ Ö ÓÒ ÚÝµ Î ¾½ ½¾½ Ö ÓÒ Ð µ ¾¾½ Ö ÓÒ ÓÝµ ¾½ Ö ÓÒ ÚÝµ Î ¾¾ ½¾¾ Ö ÓÒ Ð µ ¾¾¾ Ö ÓÒ ÓÝµ ¾¾ Ö ÓÒ ÚÝµ Î ½ Ö ÓÒ Ð µ ¾ Ö ÓÒ ÓÝµ Ö ÓÒ ÚÝµ Î Û½ Û½½ Ö ÓÒ Ð µ Û½¾ Ö ÓÒ ÓÝµ Û½ Ö ÓÒ ÚÝµ Î Û¾ Û¾½ Ö ÓÒ Ð µ Û¾¾ Ö ÓÒ ÓÝµ Û¾ Ö ÓÒ ÚÝµ ÙÒ ½ Ñ ÖÓ Ö Ùµ Ü Ùµ Ý Ùµ»»»» Ò Ø ÓÒ Ó Ñ ÖÓ Ñ ÖÓ Û Û½ Û¾»» Ñ ÖÓ ½½ ½¾ ¾½ ¾¾»» Î ÇÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ Ò Òº ÇÒ ÐÑ Ø ÝØ ØÒ Ò Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ Ø ØÝ Øº Ò Ò ÓÒ Ú Ø ØØ Ú Ñ Ò Ú ÖÙÙØ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÙÙÐÙÚ Øº Ê Ø ÙÒ ÚÓ ÙÓÖ ØØ Ó Ó ÓÑ ÒÒÓÐÐ ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð ÑºÊ Ø Ù ÚÓ Ò Ô ÖØ ÔÐÓØ ÓÑ ÒÒÓÐÐ º

Î Ù Ú ÓÐÚ È Ù Úµ ÒØ¾ Ì µ Ö Ùµµ³ Ö Úµ µ ÒØ¾ Ì µ Ù Úµ ÒØ¾ Ì µ Û³ Ö Ùµ Úµ ¹ ÒØ¾ Ì µ Úµ ¹ ÒØ½ Ì ½µ Úµ ÓÒ ¾ Ù ¼µ ÔÐÓØ Ù Ñ ÐÐ ØÖÙ Ú ÐÙ ØÖÙ ÓÙÒ ÖÝ Ð Û Ø ½µ ÔÐÓØ Ùµ ¼

Î ØØ Ø ½ Ö º Ò Ø Ð Ñ ÒØ º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ì ÌÖÙÑÔ Ò ¹ ØÓÒ ËØÖ Ø Ñ Ö ½ º ¾ Ò º Ò Ø Ð Ñ ÒØ Å Ø Ó Ò Ì Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ º ËÔÖ Ò Ö¹ Î ÖÐ ÖÐ Ò ¾¼¼ º ÖÐ Ø Èº º Ì Ò Ø Ð Ñ ÒØ Å Ø Ó ÓÖ ÐÐ ÔØ ÈÖÓ Ð Ñ º ÆÓÖØ ¹ ÀÓÐÐ Ò ÈÙ Ð Ò ÓÑÔ ÒÝ ¾ Øº Ñ Ø Ö Ñ ½ º ÓÑ Ò º Ð Ù Ëº ² ÆÓÒ ÒÓ º Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ò ÐÝ Ò À Ø ÌÖ Ò Öº Ì ÝÐÓÖ ² Ö Ò Ï Ò ØÓÒ ½ º Ô Ø Ò º È ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º Å Ö Û¹À ÐÐ ÓÓ ÓÑÔ ÒÝ Æ Û ÓÖ ½ ¾º Ú Ò Äº º È ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ËÓ¹ ØÝ ÎÓÐÙÑ ½ ÈÖÓÚ Ò Ê Ó Á Ð Ò ¾¼¼¾º Ñ Ö ÅºÄº ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ËØÖÙØÙÖ Ð Å Ò Ò Ò ÐÝ º ÈÀÁ Ä ÖÒ Ò ÈÖ Ú Ø Ä Ñ Ø Æ Û Ð ¾¼½½º ÂÓ Ò ÓÒ º ÆÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ø Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ó º ËØÙ ÒØÐ ØØ Ö ØÙÖ ÄÙÒ ½ º Ã Ù Æº Ò Ø Ð Ñ ÒØ Å Ø Ó Ò Å Ò º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ñ Ö ½ º ½¼ Ä Ö ÓÒ Ëº ² Ì ÓÑ Îº È ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ï Ø ÆÙÑ Ö Ð Å Ø Ó º ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÖÐ Ò ¾¼¼ º ½½ Ä ÓÒ º Ö Ø ÓÙÖ Ò ËÓ ÓÐ Ú ËÔ º Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ËÓ ØÝ ÎÓÐÙÑ ½¼ ÈÖÓÚ Ò Ê Ó Á Ð Ò ¾¼¼ º ½¾ Ð Ê ² Ò Ö Ù Ìº ÈÙØÒ Ñ Ò ÝÓÒ º ËÔÖ Ò Ö Ë Ò Ù ¹ Ò Å ÄÄ Æ Û ÓÖ ¾¼¼ º ½