HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin 6 a- kohdasta voi olla apua. 1. Mitkä seuraavista joukoista ovat samoja? A = {0, 2} B = {0, 5 0, 18 2 4, 2} C = {7 4, 12 9, 6 + 7} D = {2, 0, 0} E = {{2}, {0}} F = { x R x 2 2x = 0 } Huomataan, että sieventämisen jälkeen A = {0, 2} B = {0, 1, 2} C = {1, 2} D = {0, 2} E = {{2}, {0}} F = { x R x 2 2x = 0 } Toisen asteen yhtälön x 2 2x = 0 reaaliset ratkaisut ovat x = 0 ja x = 2, joten F = {0, 2}. Näin ollen A = D = F. Mitkään muut tehtävän joukot eivät ole keskenään samoja, sillä ne sisältävät eri alkiot. 2. Kuinka monta alkiota on seuraavissa joukoissa? (a) {1 2, 2 3, 5 + 4, 4 0, 8, 9} (b) {π, 6, {π, 5, 8}, {π}, {5, 8}} (a) Joukossa on kolme alkiota: { 1 2, 2 3, 5 + 4, 4 0, 8, 9 } = {1, 8, 9, 1, 8, 9} = {1, 8, 9}. (b) Joukon alkiot ovat π, 6, {π, 5, 8}, {π} ja {5, 8}. Joukossa on siis 5 alkiota. Tehtäväsarja II Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan joukkojen merkitsemistä eri tavoin. Luentokalvoista 1 14 on edelleen apua. 3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? (a) { x Z 5 x < 3 } (b) { n N 2 n ja n 0 } (c) { y R y 3 ja y π } (a) {x Z 5 x < 3} = { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2} (b) {n N 2 n ja n 0} = {0}
(c) {y R y 3 ja y π} = {} = 4. Kirjoita seuraavat joukot merkintää { x X ehto, jonka x toteuttaa } käyttäen. Laita symbolin X paikalle sopivan lukujoukon symboli. (a) Kokonaisluvut, joiden toinen potenssi on vähintään 100000. (b) Reaaliluvut, jotka toteuttavat yhtälön x 8 cos x + e sin(5x π) = 0. (a) {n N n 2 > 100000}. (b) { x R x 8 cos x + e sin(5x π) = 0 }. 5. Kirjoita seuraavat joukot merkintää { x X ehto, jonka x toteuttaa } käyttäen. Laita symbolin X paikalle sopivan lukujoukon symboli. (a) { 77, 76, 75, 74, 73, 72, 71, 70, 69, 68}. (b) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,...}. (c) {..., 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16, 32,...}. (a) Esim. { 77 + n n N ja n < 10}. (b) {2n n N}. (c) {2 n n Z}. 6. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? (a) { n N n < 65 ja n π } (b) { z Z : z 10 } (a) Tiedetään, että π 3, 14 ja 65 8, 1, joten { n N n < 65 ja n π } = {4, 5, 6, 7, 8} (b) Tiedetään, että 10 3,1, joten { z Z : z 10 } = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. 7. Kirjoita seuraavat joukot merkintää { x X ehto, jonka x toteuttaa } käyttäen. Laita symbolin X paikalle sopivan lukujoukon symboli. (a) Negatiiviset kokonaisluvut. (b) Rationaaliluvut, joiden itseisarvo on pienempi kuin 2. (a) {n Z n < 0} (b) { x Q x < 2 }
Tehtäväsarja III Seuraaviin tehtäviin voi katsoa mallia esimerkistä 6. Osajoukon määritelmääkin tarvitaan. 8. Tarkastellaan joukkoa A = {0, 1, 2, {0, 1, 2}, π, {5}, {0, 1}}. Mitkä seuraavista väitteistä ovat totta? Mitkä väitteet ovat epätosia? Muista perustella! (a) 1 A (b) {1} A (c) {5} A (d) {0, 1} A (e) {0, 1} A (f ) {5} A (g) A (h) {0, π, {5}} A. Joukon A alkiot ovat 0, 1, 2, {0, 1, 2}, π, {5} ja {0, 1}. Tämän perusteella: (a) Väite pätee, sillä 1 on joukon A alkio. (b) Väite ei päde, sillä {1} ei ole joukon A alkio. (c) Väite ei päde, sillä 5 A. (d) Väite pätee, sillä {0, 1} on joukon A alkio. (e) Väite pätee, sillä 0 ja 1 ovat joukon A alkioita. (f) Väite pätee, sillä {5} on joukon A alkio. (g) Väite pätee, sillä tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko. (h) Väite pätee, sillä 0, π ja {5} ovat joukon A alkioita. 9. Onko tyhjä joukko eli {} seuraavien joukkojen alkio? Luettele ne joukot, joiden alkio tyhjä joukko on. A = {0, 1, 2, 3} B = {z Z : z < 0} C = {, 0, {1}} D = {{ }, 1, {2, 3}} Tyhjä joukko on ainoastaan joukon C alkio, eli C, mutta / A, B, D. (Muista, että kuitenkin A, B, C, D.) Tehtäväsarja IV Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan matemaattisten merkintöjen lukemista ja käytämistä. Luentokalvoista 2 6, 11 14 ja 25 voi olla apua. 10. Selitä suomen kielellä, mitä seuraavat väitteet tarkoittavat. (a) m { z Z z on jaollinen luvulla 2 } (b) b { x R : x 1 } (b) y { x N : x < 1}. (a) m on kahdella jaollinen kokonaisluku. (b) b ei ole reaaliluku, jonka itseisarvo olisi korkeintaan 1. (c) y on ykköstä pienempi luonnollinen luku (siis 0). 11. Selitä, mikä ero on joukoissa ja { }. Entä mikä ero on joukoissa R ja {R} sekä {{R}}? on tyhjä, joukossa { } on kummassakin yksi alkio.
Joukossa R on äärettömästi alkioita, joukoissa { } ja {{R}} on kummassakin yksi alkio. Joukon R alkiot ovat reaalilukuja, joukon {R} ainoa alkio on reaalilukujen joukko, joukon {{R}} ainoa alkio on reaalilukujen joukon yksiö. 12. Laske seuraavat summat, jos mahdollista. Jos summaa ei voi laskea, kirjoita sen lauseke ilman summamerkintää. (i) 3 2i i=0 5 (ii) (2k + 1) 10 (iii) 30 n (iv) j 2 k=2 n=1 j=0 (i) 0 + 2 + 4 + 6 = 12 (ii) 5 + 7 + 9 + 11 = 32 (iii) 10 30 = 300 (iv) Merkintä tarkoittaa summaa 0 2 + 1 2 + 2 2 +... + n 2. Voidaan osoittaa, että n j 2 = j=0 n(n + 1)(2n + 1). 6 Tehtäväsarja V Seuraavat tehtävät liittyvät joukkojen yhdisteen, leikkauksen ja erotuksen käsitteisiin sekä joukkojen havainnollistamiseen Vennin kaavioiden avulla. Luentokalvoista 20 22 voi olla apua. 13. Tarkastellaan joukkoja A = {1, 3, 4}, B = {2, 3, 7, 9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä (a) (A B) (A B) (b) (B C) A (c) B (C A). (a) Nähdään, että A B = {1, 2, 3, 4, 7, 9} ja A B = {3}. Näin ollen (A B)\(A B) = {1, 2, 4, 7, 9}. (b) B C = {2, 3, 5, 7, 9}, joten (B C) \ A = {2, 5, 7, 9}. (c) Joukoilla A ja C ei ole yhteisiä alkioita, joten C \A = C. Siten B (C \A) = B C = {2, 3, 5, 7, 9}. 14. Joukkojen A ja B symmetrinen erotus tarkoittaa joukkoa (A\B) (B\A). Sille käytetään merkintää A B. Piirrä Vennin kaavio joukosta A B. Ks. kuva 1.
Kuva 1: A B 15. Vennin kaaviot ovat hyvä apuväline joukkoja koskevien väitteiden hahmottamiseen, mutta joukkojen määrän kasvaessa niiden piirtäminen käy vaikeammaksi. Mitä voit esimerkiksi viereisen kaavion perusteella päätellä joukosta (A D) (B C)? Päteekö tämä yleisesti? A C B D Kuvan tilanteessa (A D) (B C) =. Tämä ei päde yleisesti! (Esimerkiksi, jos A = D ja B = C =.) Kompleksiluvut Seuraavat tehtävät liittyvät kompleksilukuja käsitteleviin kalvoihin 1 16. 16. Alla oleva kuva esittää kompleksitasoa. Ruudukon neliöiden sivun pituus on 1. z 6 z 3 z 5 z 1 z 7 z 4 z 8 z 2 (a) Kirjoita kuvaan merkityt kompleksiluvut muodossa a + bi, missä a, b R. (b) Laske jokaisen kuvaan merkityn kompleksiluvun z k itseisarvo eli moduli z k. Mitä huomaat?
(a) z 1 = 4 + 0i z 2 = 3 3i z 3 = 2 + i z 4 = 0 i z 5 = 2 + 0i z 6 = 2 + 4i z 7 = 3 + 0i z 8 = 5 2i (b) z 1 = 4 z 2 = 3 2 z 3 = 2 z 4 = 1 z 5 = 2 z 6 = 2 5 z 7 = 3 z 8 = 2 5 17. Laske (eli sievennä muotoon a + bi, missä a, b R). (a) (3 2i) + ( 4 + 4i) (b) 2i (3 + i) (c) (2 i)(1 + 2i) (d) 5i 3 i 2 (3 + 5i). (a) (3 2i) + ( 4 + 4i) = 1 + 2i (b) 2i (3 + i) = 3 + i (c) (2 i)(1 + 2i) = 2 + 4i i 2i 2 = 4 + 3i (d) 5i 3 i 2 (3 + 5i) = 5i 3 3i 2 5i 3 = 3i 2 = 3 18. Laske 4(3 + 2i) 2 6i, sekä määritä luvun itseisarvo. Sieventämällä saadaan 4(9 + 12i + 4i 2 ) 6i = 4(5 + 12i) 6i = 20 54i. Merkitään z = 20 54i, jolloin z = 20 54i = ( 20) 2 + ( 54) 2 = 3316 57, 6. Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa Seuraavat tehtävät liittyvät tietojenkäsittely- ja tilastotieteen matematiikkaa käsitteleviin kalvoihin 1 15. 19. Ilmaise seuraavat propositiolauseet suomen kielellä. Tässä A tarkoittaa opiskelija on ahkera ja I tarkoittaa opiskelija on iloinen. (a) ( A I) A (b) (A I) (c) A I (d) I A. (a) Opiskelija on ahkera tai ei ole ja on iloinen. (b) Ei pidä paikkaansa, että opiskelija on ahkera muttei iloinen. (c) Jos opiskelija on ahkera, niin hän on iloinen. (d) Jos opiskelija ei ole iloinen, hän ei ole ahkera. 20. Kirjoita seuraavat väitteet logiikan symboleita käyttäen samaan tapaan kuin tehtävässä 19. (a) Et mene kävellen, tai sitten menet ja myöhästyt. (b) Jos sataa eikä minulla ole sateenvarjoa, kastun. (c) Jos ilmoittautuneita on vähintään kymmenen, kurssi järjestetään.
(d) Kurssi järjestetään vain, jos ilmoittautuneita on vähintään kymmenen. (e) Ilmoittautuneita on vähintään kymmenen jos ja vain jos kurssi järjestetään. Pohdi, mikä ero kohtien (c)-(e) väitteissä on. Kaikki ovat eri väitteitä! (a) Olkoon A = menet kävellen ja B = myöhästyt. Nyt propositiolause voidaan kirjoittaa muodossa A (A B). (b) Olkoon A = sataa ja B = minulla ei ole sateenvarjoa ja C = kastun. Lause saadaan muotoon (A B) C. (c) Olkoon A = ilmoittautuneita vähintään 10 ja B = kurssi järjestetään. Nyt kyse on lauseesta A B. (d) Edellisin merkinnöin: B A (e) Edellisin merkinnöin: A B 21. Tee totuustaulut seuraaville propositiolauseille: (a) P Q (b) (P Q) (c) Q P (d) P Q. Mitä huomaat? Huomataan, että a- ja b-kohdan lauseet ovat ekvivalentit, samoin c- ja d-kohdan lauseet: (a) (b) (c) (d) P Q 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 (P Q) 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 Q P 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 P Q 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1