23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa kannattaa ajatella, että se on aika ja käyrä on jonkin kappaleen rata 3-ulotteisessa avaruudessa Tiedämme, että vektori (nopeus) v() t dr () t on kussakin radan pisteessä r() t radan tangentin suuntainen, joten tangentin suuntainen yksikkövektori T () t saadaan jakamalla v() t pituudellaan: dt v ( t ) v ( t ) dr ( t) dr ( t ) T ( t ) v ( t ) v( t ) dt dt Vektorin T () t suunta vastaa käyrän suunnistusta Pisteen r() t kohdalla käyrää pitkin edetään ajassa dt matka v() t dt Tämä pätee kaikille radan parametrisaatioille, myös sille, jossa parametrina käytetään käyrän kaarenpituutta s Tässä parametrisaatiossa nopeus on v(s) ja parametrin muutos on, joten saadaan yhtälö v( s) eli kun kaarenpituutta käytetään kaaren parametrisointiin, kaarella edetään nopeudella 1 A 114
24 Kaarenpituusparametrisoinnin tapauksessa käyrän tangentin suuntainen yksikkövektori on dr T ( s ) (Katso oppikirjan esimerkki 1 kappaleessa 114) Käyrän kaarevuus ja yksikkönormaali Käytetään käyrälle kaarenpituusparametrisaatiota r r ( s) Koska tangenttivektori T (s) dr on yksikkövektori, on T( s) T( s) 1 Derivoidaan tämä yhtälö puolittain, jolloin saadaan dt ( s ) 2 T ( s) 0 Tämä osoittaa, että dt ( s) ja T ( s ) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan Derivaatta dt ( s) mittaa sitä, miten voimakkaasti käyrän tangentin suunta muuttuu pisteessä r( s ) Määritellään käyrän kaarevuus ( s) (kappa) pisteessä r( s ) seuraavasti ( kiihtyvyys ): dt ( s ) ( s) Tämän käänteislukua ( s) 1 ( s) sanotaan kaarevuussäteeksi Kaarevuus(säde) tulee fysiikassa vastaan mm optiikassa (esim käyrät
25 peilipinnat) ja mekaniikassa (esim teiden kaarteiden suunnittelu) Käyrän tangenttia vastaan kohtisuoraa yksikkövektoria dt dt N ( s ) kutsutaan käyrän yksikkönormaaliksi pisteessä r( s ) Käyrän torsio eli kiertymä Kaareutumisen lisäksi käyrä voi 3-ulotteisessa tapauksessa myös vääntyä eli se ei pysy välttämättä kaiken aikaa samassa tasossa Tämän käyttäytymisen kuvaamiseen tarvitaan kolmas vektori, joka on kohtisuorassa T :n ja N :n määräämää tasoa vastaan; sellainen vektori on B T N Koska B on yksikkövektori, on db B Edelleen (huom N N 0 ) db d dt ( ) dn dn T N N T T, N joten on myös db T Näemme siis, että db on yhdensuuntainen vektorin N kanssa: db ( s) N ( s) Lukua ( s) sanotaan käyrän kiertymäksi eli torsioksi
26 Vektoria N kutsutaan käyrän päänormaaliksi ja vektoria B sivunormaaliksi Yhdessä tangenttivektorin T kanssa ne muodostavat kolmiulotteisen avaruuden oikeakätisen kannan ( T, N, B ), samaan tapaan kuin ( i, j, k ) Ne määrittelevät jokaisessa käyrän pisteessä r() t ns Frenet n koordinaatiston Huom Parametrisoidun käyrän muoto on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaarevuus ( s) ja kiertymä ( s) kussakin pisteessä Kaarevuus ja kiertymä yleisessä parametrisaatiossa Johdetaan edelliset tulokset yleisen käyrän parametrisaation r r () t tapauksessa (t on aika ) Esitetään tulokset käyttäen nopeutta v ja kiihtyvyyttä a : Lisäksi dr dr v dt dt vt, dv d dv dt dv 2 a ( vt ) T v T v N dt dt dt dt dt dt dt Näistä seuraa dv v a v T T v T N v B dt 0 B 3 3 T v, v a v a B, 3 v v a v Koska
27 voidaan N esittää muodossa dt dt dt dt N v v N, dt dt N dt dt Ilman johtoa annamme vielä kiertymän kaavan yleisessä parametrisaatiossa (jos johto kiinnostaa, ks Adams): ( v a ) ( da dt ) 2 v a *** Esimerkki: Kaavapyörityksen jälkeen on esimerkki paikallaan Lasketaan r -säteisen ympyrän kaarevuus ja kaarevuussäde sekä tangentti- ja normaalivektorit T ja N Käytetään tavanomaista parametrisaatiota, jossa parametrina on kiertokulma : Silloin ja r ( ) r cos i r sin j v r sin i r co s j, a r co s i r sin j i j k 2 2 2 v a r sin r cos 0 ( r sin r cos ) k r cos rsin 0 Tästä saamme kaarevuudeksi
28 ( ) 2 2 2 2 sin r cos 2 1 v a r r 3 2 2 2 2 3/ 2 3 v ( r sin r cos ) r r ja kaarevuussäteeksi 1 () t r Ympyrän kehän kaarevuus on vakio, kuten arvata saattaa, samoin kaarevuussäde, joka on sama kuin ympyrän säde Tangenttivektori on normaalivektori v r sin i r cos j T sin i cos j, 2 2 2 2 v r sin r cos dt dt cosi sin j N N cosi sin j dt dt 2 2 sin cos *** Esimerkki: Lasketaan käyrän y 2 3x 1 kaarevuus Voimme parametrisoida käyrän käyttäen parametrina koordinaattia x, jolloin
29 r ( x) xi (3 x 1) j 2 Lasketaan tästä vektorit v d r d x ja a dv dx : v ( x) i 6 xj, a ( x) 6 j Kaarevuus on silloin v a 6k 6 ( x) 3 2 3/ 2 2 3/ 2 v (1 (6 x) ) (1 (6 x) ) Käyrä on paraabeli Kaarevuus on suurimmillaan, kun x = 0, eli paraabelin pohjalla, ja pienenee kohti nollaa, kun x kasvaa kohti ± ***