Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät Petra Maaskola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 203
Tiivistelmä: Petra Maaskola, Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät (engl. The matrix exponential function and differential equations), matematiikan pro gradu -tutkielma, 45. s., Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, kevät 203. Tämän tutkielman tarkoituksena on rakentaa tarvittavat tiedot lineaaristen vakiokertoimisten differentiaaliyhtälöryhmien x (t) = Ax(t) ratkaisemiseen matriisin eksponenttifunktion avulla. Lisäksi tarkastellaan miten matriisin A ominaisuudet liittyvät differentiaaliyhtälön ratkaisujen ominaisuuksiin. Matriisin eksponenttifunktio määritellään sarjakehitelmän avulla siten, että e A = n=0 n! An kaikille neliömatriiseille A. Sarjan suppenemista varten tarvitaan matriisinormi, joka saadaan vektorinormin avulla. Koska sarja suppenee, niin määritelmä on hyvin asetettu. Vakiokertoimiseen differentiaaliyhtälöön x (t) = Ax(t) liittyvä alkuarvotehtävä saadaan, kun annetaan lisäehdoksi ratkaisun lähtöpiste x(t 0 ) = x 0. Alkuarvotehtävän ratkaisu on yksikäsitteinen ja muotoa x(t) = e ta x 0. Eksponenttifunktion e ta laskeminen riippuu matriisin A tyypistä. Jos matriisi on diagonalisoituva, laskeminen on suoraviivaista. Riittää ratkaista matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Jos taas matriisi A ei ole diagonalisoituva, tarvitaan sen Jordanin matriisia J A. Matriisin A ominaisarvot ja -vektorit ratkaistaan sen karakteristisen polynomin p A (λ) = det(λi A) avulla. Jos matriisi A on diagonalisoituva, sen jokaisen ominaisarvon kertaluku yhtälön p A (λ) = 0 juurena on yhtä suuri kuin sitä vastaavien lineaarisesti riippumattomien ominaisvektoreiden lukumäärä. Tällöin matriisin A eksponenttifunktio lasketaan siten, että e A = V e D V, missä matriisin D diagonaalilla on matriisin A ominaisarvot ja matriisi V muodostuu matriisin A ominaisvektoreista. Jos matriisi A taas ei ole diagonalisoituva, sillä ei ole tarpeeksi ominaisvektoreita. Kun kasvatetaan lineaarisesti riippumattomien vektoreiden määrää sopivasti, saadaan matriisi V. Tällöin ominaisarvosta koostuvan matriisin ja nilpotentin matriisin summa muodostaa Jordanin lohkon J(λ, r). Nilpotentti N on sellainen matriisi, jolle N k on jostain luvusta k alkaen nolla. Jordanin matriisi J A taas muodostuu Jordanin lohkoista. Nyt matriisi A on similaarinen sen Jordanin matriisin kanssa eli A = V J A V, jolloin matriisin A eksponenttifunktio ratkaistaan yhtälöstä e A = V e J A V. Differentiaaliyhtälöiden x (t) = Ax(t) ratkaisujen ominaisuudet riippuvat matriisin A ominaisarvoista λ i. Kun kirjoitetaan ratkaisu ominaisvektorikannassa {x,..., x n }, sen termit ovat muotoa e tλ i x i, joten ratkaisukäyrän käyttäytyminen, kun t, nähdään suoraan ominaisarvojen reaaliosien merkeistä. Differentiaaliyhtälön x (t) = f(x(t)) tasapainopisteeksi kutsutaan pistettä p, jos funktio x(t) = p kaikilla t on ratkaisu. Näin on erityisesti silloin, kun f(p) = 0. Differentiaaliyhtälön tasapainopistettä kutsutaan stabiiliksi, jos ratkaisukäyrät ovat rajoitetulla etäisyydellä tasapainopisteestä. Jos taas kaikki ratkaisut lähestyvät tasapainopistettä, se on asymptoottisesti stabiili. Myös stabiilisuutta voidaan siis tarkastella ominaisarvojen avulla. Avainsanat: Matriisin eksponenttifunktio, diagonalisoituva, Jordanin matriisi, differentiaaliyhtälö, stabiilisuus. i
Sisältö Johdanto Luku. Lineaarialgebraa 3.. Vektorin ja matriisin normi 3.2. Ominaisarvoteoriaa 7 Luku 2. Matriisin eksponenttifunktio 4 Luku 3. Matriisin eksponenttifunktion laskeminen 8 3.. Diagonalisoituvan matriisin eksponenttifunktio 8 3.2. Matriisin eksponenttifunktio Jordanin muodon avulla 2 Luku 4. Differentiaaliyhtälöryhmät 26 4.. Peruskäsitteitä 26 4.2. Lineaarinen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö 28 Luku 5. Differentiaaliyhtälöryhmien tasapainopisteiden stabiilisuus 40 Liite A. Merkintöjä 44 Kirjallisuutta 45 ii
Johdanto Monia fysiikan, kemian, biologian ja muiden alojen ongelmia voidaan käsitellä matemaattisilla malleilla, jotka sisältävät lineaarisia vakiokertoimisia differentiaaliyhtälöryhmiä x (t) = Ax(t). Näitä yhtälöitä ratkaistaan matriisin eksponenttifunktion avulla. Tämän kirjoitelman tavoitteena onkin määritellä matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen sen avulla. Lisäksi tarkastellaan miten matriisin A ominaisuudet liittyvät differentiaaliyhtälön ratkaisujen ominaisuuksiin. Lukijan oletetaan tuntevan lineaarialgebran perusteet, kuten yleisimmät laskusäännöt vektoreille ja matriiseille, sekä yleisen eksponenttifunktion määritelmän sarjakehitelmän avulla. Lisäksi differentiaaliyhtälöiden perusteet oletetaan tunnetuiksi. Erityisesti luvuissa ja 4. tulee kuitenkin myös kertausta näistä asioista, jotta kirjoitelmassa tarvittavat lähtötiedot muistuvat lukijan mieleen. Matriisin eksponenttifunktio määritellään sarjakehitelmän avulla siten, että e A = n=0 n! An kaikille neliömatriiseille A. Sarjan suppenemista varten tarvitaan matriisinormi, joka saadaan vektorinormin avulla. Koska sarja suppenee, niin määritelmä on hyvin asetettu. Vakiokertoimiseen differentiaaliyhtälöön x (t) = Ax(t) liittyvä alkuarvotehtävä saadaan, kun annetaan lisäehdoksi ratkaisun lähtöpiste x(t 0 ) = x 0. Alkuarvotehtävän ratkaisu on yksikäsitteinen ja muotoa x(t) = e ta x 0. Eksponenttifunktion e ta laskeminen riippuu matriisin A tyypistä. Jos se on diagonalisoituva, laskeminen on suoraviivaista. Riittää ratkaista matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Jos taas matriisi A ei ole diagonalisoituva, tarvitaan sen Jordanin matriisia J A. Matriisin A ominaisarvot ja -vektorit ratkaistaan sen karakteristisen polynomin p A (λ) = det(λi A) avulla. Jos matriisi A on diagonalisoituva, sen jokaisen ominaisarvon kertaluku yhtälön p A (λ) = 0 juurena on yhtä suuri kuin sitä vastaavien lineaarisesti riippumattomien
JOHDANTO 2 ominaisvektoreiden lukumäärä. Tällöin matriisin A eksponenttifunktio lasketaan siten, että e A = V e D V, missä matriisin D diagonaalilla on matriisin A ominaisarvot ja matriisi V muodostuu matriisin A ominaisvektoreista. Jos matriisi A taas ei ole diagonalisoituva, sillä ei ole tarpeeksi ominaisvektoreita. Kun kasvatetaan lineaarisesti riippumattomien vektoreiden määrää sopivasti, saadaan matriisi V. Tällöin ominaisarvoista koostuvan matriisin ja nilpotentin matriisin N summasta voidaan muodostaa Jordanin lohkoja J(λ, r). Nilpotentti N on sellainen matriisi, jolle N k on jostain luvusta k alkaen nolla. Jordanin matriisi J A taas muodostuu Jordanin lohkoista. Nyt matriisi A on similaarinen sen Jordanin matriisin kanssa eli A = V J A V, jolloin matriisin A eksponenttifunktio ratkaistaan seuraavasti: e A = V e J A V. Differentiaaliyhtälöiden x (t) = Ax(t) ratkaisujen ominaisuudet riippuvat matriisin A ominaisarvoista λ i. Kun kirjoitetaan ratkaisu ominaisvektorikannassa {x,..., x n }, sen termit ovat muotoa e tλ i x i, joten ratkaisukäyrän käyttäytyminen, kun t, nähdään suoraan ominaisarvojen reaaliosien merkeistä. Differentiaaliyhtälön x (t) = f(x(t)) tasapainopisteeksi kutsutaan pistettä p, jos funktio x(t) = p on ratkaisu kaikilla t. Näin on erityisesti silloin, kun f(p) = 0. Origo on aina differentiaaliyhtälön x (t) = Ax(t) tasapainopiste. Differentiaaliyhtälön tasapainopistettä kutsutaan stabiiliksi, jos ratkaisukäyrät ovat rajoitetulla etäisyydellä tasapainopisteestä. Jos taas kaikki ratkaisut lähestyvät tasapainopistettä, se on asymptoottisesti stabiili. Myös stabiilisuutta voidaan siis tarkastella ominaisarvojen avulla. Kirjoitelman ensimmäisessä luvussa käsitellään välttämättömät lineaarialgebran tiedot, joihin kuuluvat matriisin normin käsite sekä ominaisarvoteoriaa. Toisessa luvussa annetaan matriisin eksponenttifunktion määritelmä ja näytetään, että se on hyvin asetettu. Luvussa 3 tarkastellaan miten eksponenttifunktio lasketaan diagonalisoituville ja ei-diagonalisoituville matriiseille. Luvussa 4 määritellään differentiaaliyhtälöryhmät ja päästään ratkaisemaan niitä matriisin eksponenttifunktion avulla. Viimeisessä luvussa 5 käsitellään vielä differentiaaliyhtälöiden tasapainopisteiden stabiilisuutta. Työ perustuu pääosin lähteisiin [2], [3] ja [4]. Muita esityksiä aiheesta löytyy esimerkiksi lähteistä [8], [9] ja [0]. Kirjassa [] ja luentomateriaalissa [5] on asiaa käsitelty pidemmälle. Lineaarialgebran perustiedot löytyvät lähteistä [6] ja [7].
LUKU Lineaarialgebraa.. Vektorin ja matriisin normi Vektoriavaruudessa on määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen sekä myös muita laskutoimituksia, kuten vektoreiden pituuksien laskeminen. Oletetaan yleisimmät vektoriavaruuden laskutoimitukset tunnetuiksi. Normiavaruus on vektoriavaruus, jossa on määritelty jokin vektorin pituusfunktio eli normi. Sisätulolla varustettua vektoriavaruutta taas kutsutaan sisätuloavaruudeksi ja sisätulon avulla voidaan myös määritellä normi sekä lisäksi vektorien välisiä kulmia. Annetaan seuraavaksi tarkempi määritelmä normille. Määritelmä.. Olkoon V K-kertoiminen vektoriavaruus, missä K on R tai C. Kuvaus : V R on normi, jos se toteuttaa (i) v 0 kaikilla v V. (ii) v = 0 v = 0. (iii) v + u v + u kaikilla v, u V. (iv) αv = α v kaikilla α K, v V. Tunnetuin vektoriavaruuden normi esitellään seuraavassa esimerkissä. Esimerkki.2. Euklidinen normi vektoriavaruudessa R n on ( n ) 2 x 2 = x i 2 = (x x) 2, i= missä (x x) on vektorin x sisätulo itsensä kanssa. Vektorin x normi toteuttaa selvästi normille määritelmässä. määritetyt ehdot (i), (ii) ja (iv). Myös ehto (iii) eli vektorinormin kolmioepäyhtälö toteutuu, sillä sisätulon ominaisuuksien ja Cauchyn- Schwarzin epäyhtälön (x y) x y nojalla joten x + y 2 = (x + y x + y) = (x x) + (x y) + (y x) + (y y) = x 2 +2 (x y) + y 2 x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2, x + y x + y kaikilla x, y V. Yleisimpiin vektorinormeihin kuuluu myös esimerkiksi niin sanottu ykkösnormi ja ääretön-normi eli n x = x ja x = max x i. i n i= 3
.. VEKTORIN JA MATRIISIN NORMI 4 Normiavaruudessa voidaan siis mitata vektoreiden pituuksia. Normin avulla voidaan määrittää myös alkioiden välinen etäisyys, joka on d(v, u) = v u. Siten voidaan määrittää vektorijonojen suppeneminen seuraavasti: Vektorijono (x i ) i= suppenee kohti vektoria x, jos lim x i x = 0. i Nyt kun tunnetaan vektorijonojen ominaisuuksia, niin jatkossa pystytään niiden avulla määrittämään matriisijonojen ja -normien ominaisuuksia. Määritetään seuraavaksi siis matriisinormi. Olkoon jokin vektorinormi. Mitataan matriisin kokoa sillä, kuinka pitkiksi vektoreiksi yksikkövektorit kuvautuvat matriisilla kerrottaessa. Näin ollen matriisille A R m n asetetaan (.) A = max x = Ax Kuva.. Yksikkövektorin kuvautuminen matriisilla kerrottaessa Näytetään, että myös matriisinormi toteuttaa normille asetetut neljä ehtoa määritelmän. antamien vektorinormin ominaisuuksien avulla: (i) Selvästi A = max x = Ax 0 kaikilla A Rm n. (ii) Jos A 0, niin sillä on olemassa elementti a ij 0. Valitaan x = e j, jolloin a ij Ax =. 0 ja A Ax > 0. a mj Siten jos A = 0, niin A = 0 kaikilla A R m n.
.. VEKTORIN JA MATRIISIN NORMI 5 (iii) Matriisinormin määritelmän perusteella A + B = max (A + B)x = max Ax + Bx x = x = max ( Ax + Bx ) x = max Ax + max Bx = A + B, x = x = missä käytettiin vektorinormin kolmioepäyhtälöä. (iv) Edelleen matriisinormin määritelmän ja määritelmän. kohdan (iv) perusteella αa = max αax = max α Ax = α A. x = x = Matriisinormi siis toteuttaa normille asetetut ehdot ja sillä on vastaavat ominaisuudet kuin vektorinormilla. Näytetään matriisinormille lemman muodossa vielä kaksi hyödyllistä ominaisuutta. Ensimmäinen kertoo, että vektori- ja matriisinormi ovat yhteensopivat. Lemma.3. Matriisinormille pätee (i) Ax A x (ii) AB A B kaikilla matriiseilla A ja B sekä vektoreilla x R n. Todistus. (i) Olkoon y = x, kun x 0. Tällöin y = x x joten A Ay = Ax x, ja saadaan Kun x = 0, niin Ax A x. Ax = 0 = A x, joten väite on selvä. (ii) Käyttämällä kohtaa (i) ja matriisinormin määritelmää saadaan joten väite pätee. AB = max (AB)x = max A(Bx) x = x = max A Bx = A max Bx x = x = = A B, x =, Tarkastellaan seuraavaksi normia A = (a ij ). Varustetaan siis reaalisten n n -matriisien vektoriavaruus M n myös normilla (.2) A = (a ij ) = max i,j n a ij.
.. VEKTORIN JA MATRIISIN NORMI 6 Normit A = max x = Ax ja A = max i,j n a ij eivät aina ole yhtäsuuria matriisille A, mutta ne ovat kuitenkin ekvivalentteja keskenään. Todistetaan se seuraavaksi. Lause.4. Normit A a = max x = Ax ja A b = max i,j n a ij ovat ekvivalentteja eli on olemassa positiiviset reaaliluvut c ja c 2 siten, että kaikilla matriiseilla A R m n. c A a A b c 2 A a Todistus. Todistetaan ensin ensimmäinen epäyhtälö: Olkoon x mielivaltainen vektori, jolle x =. Tällöin vektorin Ax j:nnen alkion neliötä voidaan arvioida seuraavasti: ( n (Ax) 2 j = i= a ji x i ) 2 max i,j n a ij 2 max i,j n a ij 2 ( n ) 2 x i i= ( n ) ( 2 n 2 i= ( = max a ij 2 n 2 2 i,j n = n max i,j n a ij 2, missä käytettiin Cauchyn-Schwarzin epäyhtälöä. Nyt kun j =,..., n, niin edellisen nojalla n Ax 2 = (Ax) 2 j n 2 max a ij i,j n j= ja väite seuraa tästä, kun valitaan c = n. Todistetaan vielä jälkimmäinen epäyhtälö: ( aij 2) 2 ( n j= a ij 2 ) 2 Tämä pätee mille tahansa matriisin A alkiolle, joten eli väite pätee vakiolla c 2 =. ) 2 i= x 2 i ) 2 = Ae j A e j = A. max a ij max Ax i,j n x = Annetaan nyt määritelmä matriisijonojen suppenemiselle. 2
.2. OMINAISARVOTEORIAA 7 Määritelmä.5. Matriisijono (A i ) i= suppenee kohti matriisia A, jos pätee: lim A i A = 0. i Näytetään seuraavaksi, että lauseen.4 ekvivalenteilla normeilla on samat suppenevat jonot eli kun A i A, niin A i A 0. Oletetaan ensin, että A a = max x = Ax. Tällöin A i x Ax ja x A i x Ax = (A i A)x = x (A i A) x x A i A 0. Kun taas niin nyt lauseen.4 nojalla A b = max i,j n a ij, c A i A b A i A a 0, ja siten A i A b 0. Näin ollen jono suppenee molempien normien mielessä, joten voidaan tilanteen mukaan käyttää kumpaa tahansa normia. Näytetään matriisinormille vielä seuraava ominaisuus, jota tullaan tarvitsemaan myöhemmin matriisin eksponenttifunktiota laskettaessa. niin Lemma.6. Jos lim A i A = 0, i lim CA ic CAC = 0. i Todistus. Koska matriiseille A ja B pätee AB A B, niin voidaan kirjoittaa CA i C CAC = C(A i C AC ) = C(A i A)C kun i eli väite pätee. C A i A C 0,.2. Ominaisarvoteoriaa Tarkastellaan ominaisarvoja ja -vektoreita, joita tullaan myöhemmin tarvitsemaan matriisin diagonalisoinnissa sekä Jordanin muodon määrittämisessä. Määritelmä.7. Olkoon V K-kertoiminen lineaariavaruus ja L sen lineaarikuvaus siten, että L : V V, missä K on R tai C. Tällöin, jos on olemassa λ K ja vektori v V \{0} siten, että (.3) Lv = λv,
.2. OMINAISARVOTEORIAA 8 niin λ on kuvauksen L ominaisarvo ja vektori v on sitä vastaava kuvauksen L ominaisvektori. Ominaisarvoon λ liittyvät ominaisvektorit taas muodostavat nollan kanssa ominaisavaruuden E L (λ) = {v V Lv = λv}. Esimerkki.8. Olkoon matriisi A = 4 2 3 ja vektori v = [ ] T. Tällöin lineaarikuvaukselle LA : R 2 R 2 : L A x = Ax voidaan kirjoittaa yhtälö: [ [ [ 4 5 L A v = = = 5 = 5v, 2 3] 5] ] joten vektori v on kuvauksen L A ominaisvektori ja 5 sitä vastaava ominaisarvo. Neliömatriisin A K n n ominaisarvoilla ja -vektoreilla tarkoitetaan kuvauksen, jossa kerrotaan matriisilla A eli L A : K n K n : L A x = Ax, ominaisarvoja ja - vektoreita. Täten lineaarikuvauksen L A ominaisarvoyhtälö (.3) voidaan kirjoittaa muodossa Av = λv eli (λi A)v = 0. Tällä on ratkaisuja v 0 täsmälleen silloin, kun (.4) det(λi A) = 0. Näin ollen matriisin A ominaisarvot saadaan ratkaistua yhtälön (.4) avulla ja voidaan antaa seuraava määritelmä. Määritelmä.9. Matriisin A ominaisarvot λ ovat karakteristisen polynomin nollakohtia. p A (λ) = det(λi A) Algebran peruslauseen nojalla n-asteisella polynomilla on kertaluvut mukaan lukien n kompleksista juurta, joten n n-matriisilla on n ominaisarvoa, joista osa voi siis olla moninkertaisia. Sanotaan, että jos matriisin A ominaisarvo λ on matriisin A karakteristisen polynomin k-kertainen juuri, niin m a (λ) = k on ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku. Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku m g (λ) on ominaisarvoon λ liittyvien lineaarisesti riippumattomien ominaisvektoreiden lukumäärä eli sen ominaisavaruuden dimensio, joista lisää myöhemmin tässä luvussa. Esimerkki.0. Olkoon matriisi A = 3. 3 Määritetään karakteristisen polynomin p A (λ) = det(λi A) nollakohdat. p A (λ) = det(λi A) = λ 3 3 λ = (λ )2 3 ( 3) =λ 2 2λ + 0 = 0,
joten.2. OMINAISARVOTEORIAA 9 λ = 2 ± 36 = ± 3i. 2 Siis matriisin A ominaisarvot ovat λ = 3i ja λ 2 = + 3i. Määritetään vielä ominaisarvoja λ ja λ 2 vastaavat ominaisvektorit. λ = 3i : [ A λ I 0 ] 3i 3 0 i 0 = 3 3i 0 i 0 v =(, i) λ 2 = + 3i : [ A λ 2 I 0 ] = v 2 =(, i). 3i 3 0 3 3i 0 [ i ] 0 i 0 Huomataan, että reaalisen matriisin A kompleksiset ominaisarvot λ esiintyvät aina konjugaattipareina eli λ,2 = α ± βi ja siten myös ominaisvektorit ovat konjugaattipareja. Esimerkki.. Olkoon matriisi A = 0 2 0 0. 2 0 Matriisilla A on siis kertaluvut huomioonottaen kolme ominaisarvoa, jotka voidaan selvittää seuraavasti: λ + 0 2 p A (λ) = det(λi A) = 0 λ 0 = (λ ) λ + 2 2 0 λ + 2 λ + =(λ )(λ 2 + 2λ 3) = (λ )(λ )(λ + 3) = 0, kun λ = 3 tai λ =. Matriisilla A on siis ominaisarvo λ = 3 ja kahden kertaluvun ominaisarvo λ 2 =. Ratkaistaan vielä vastaavat ominaisvektorit: λ = 3 : [ A λ I 0 ] = 2 0 2 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 v =(, 0, ) λ 2 = : [ A λ 2 I 0 ] = 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 v 2, =(, 0, ), v 2,2 = (0,, 0). Tarkastellaan seuraavaksi muun muassa vektorien lineaarista riippumattomuutta, vektoriavaruuden kantoja ja matriisien similaarimuunnoksia, jotta myöhemmin voidaan määritellä diagonalisoituvat matriisit. Määritelmä.2. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S = {v,..., v n } on lineaarisesti riippumaton, jos nollavektori voidaan voidaan esittää näiden lineaarikombinaationa vain siten, että kaikki kertoimet ovat nollia, eli jos ehdosta (.5) c v + c 2 v 2 + + c n v n = 0
.2. OMINAISARVOTEORIAA 0 seuraa, että c = c 2 = = c n = 0. Muulloin, eli jos on muitakin ratkaisuja, joukkoa S kutsutaan lineaarisesti riippuvaksi. Silloin joukon S vektorien välillä on siis keskinäistä riippuvuutta ja jokin vektori voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa. Vektorin v lineaarikombinaation c i -kertoimia kutsutaan vektorin koordinaateiksi. Yhtälö (.5) voidaan kirjoittaa matriisimuotoon (.6) Ac = 0, missä A = [ v v 2... v n ], eli vektorit vk muodostavat matriisin A sarakkeet ja c = (c,..., c n ). Jokainen äärellinen lineaarikuvaus L : U V voidaankin esittää matriisin avulla, kunhan avaruuksiin U ja V on kiinnitetty kannat. Lineaarikuvauksen L matriisiesitys riippuu siten valituista kannoista, jotka määritellään seuraavaksi. Määritelmä.3. Vektoriavaruuden V äärellistä osajoukkoa B = {b, b 2,..., b n } kutsutaan avaruuden V kannaksi, jos se on lineaarisesti riippumaton ja virittää koko vektoriavaruuden V. Jokaisella vektoriavaruudella V on kanta ja jokaisella avaruuden V kannalla on sama määrä vektoreita. Vektoriavaruuden V dimensio dim(v ) on avaruuden V kantavektoreiden lukumäärä. Tästä seuraa, että jos dim(v ) = n ja S = {v,..., v n } V on lineaarisesti riippumaton joukko, niin S on avaruuden V kanta. R n :n luonnolliseksi kannaksi kutsutaan vektorijoukkoa E n = {e, e 2,..., e n }, missä vektori e i on sellainen, jossa i:nnes alkio on ja muut nollia. Esimerkki.4. Joukko {, x, x 2,..., x n } on polynomiavaruuden P n kanta, joten dim(p n ) = n +. Vastaavasti m n-matriisien muodostaman vektoriavaruuden dimensio on dim(r m n ) = mn, koska kannaksi käy joukko matriiseja, joista jokaisella on yksi, mutta eri alkio ykkönen ja loput nollia. Näin ollen kannan matriisien lukumääräksi tulee mn. Määritellään seuraavaksi vektorin kannanvaihto. Halutaan vaihtaa vektorin v esitys kannasta B = {b, b 2,..., b n } kantaan U = {u, u 2,..., u n } ja selvitetään miten uudet koordinaatit voidaan lausua vanhojen avulla. Merkitään vektorin v koordinaatteja näissä kannoissa [v] B = (β,..., β n ) ja [v] U = (η,..., η n ). Oletetaan, että vanhat kantavektorit b j voidaan lausua uusien kantavektoreiden u i avulla seuraavasti: n b j = s ij u i, j =,..., n. Tällöin saadaan n v = η i u i = joten on oltava i= i= n β j b j = j= (.7) η i = n j= β j n s ij u i = i= ( n n ) s ij β j u i, i= n s ij β j, i =,..., n. j= j=
.2. OMINAISARVOTEORIAA Merkitään s... s n S (B,U) =... s n s nn Tällöin koordinaattien välinen yhtälö (.7) voidaan kirjoittaa muodossa (.8) [v] U = S (B,U) [v] B. Siis uudet koordinaatit saadaan kertomalla vanhat matriisilla S (B,U). Matriisia S kutsutaan kannanvaihtomatriisiksi. Esimerkki.5. Olkoon kannat B = {v, v 2 } ja E = {e, e 2 } ja merkitään vektorin x koordinaatteja näissä kannoissa [x] B = (α, α 2 ) ja [x] E = (β, β 2 ). Oletetaan, että vanhat kantavektorit x j voidaan lausua uusien kantavektoreiden e i avulla seuraavasti: 2 v j = s ij e i, j =, 2, joten β i = i= 2 s ij α j, i =, 2. j= Tällöin vektorin x esitys voidaan kirjoittaa seuraavasti: x =α v + α 2 v 2 = α (s e + s 2 e 2 ) + α 2 (s 2 e + s 22 e 2 ) =(s α + s 2 α 2 )e + (s 2 α + s 22 α 2 )e 2, joten s s [x] E = 2 [x] s 2 s B. 22 Merkitään s s S (B,E) = 2 s 2 s 22 ja se on siis vektorin x kannanvaihtomatriisi kannasta B kantaan E. Kuva.2. Vektorin x kannanvaihto
.2. OMINAISARVOTEORIAA 2 Nyt on määritelty kannanvaihto ja kannanvaihtomatriisi, niin voidaan muodostaa seuraava tärkeä tulos. Olkoon avaruuksilla U ja V kannat B U ja B V sekä uudet kannat ˆB U ja ˆB V. Lisäksi, olkoon S ja R kannanvaihtomatriisit, joten kaikille u U ja v V pätee (.9) [u] ˆBU = S[u] BU ja [v] ˆBV = R[v] BV. Tällöin [u] BU = S [u] ˆBU ja [v] BV = S [v] ˆBV. Oletetaan vielä, että A = [T ] BU,B V on lineaarikuvauksen T : U V matriisi kantojen B U ja B V suhteen, joten vektorin u lineaarikuvaus T (u) kannassa B V on vektori u kannassa B U kerrottuna matriisilla A eli [T (u)] BU = A[u] BU kaikilla u U. Kun käytetään yhtälöitä (.9), niin saadaan (.0) [T (u)] ˆBV = R[T (u)] BV = R(A[u] BU ) = R(A(S [u] ˆBV )) = (RAS )[u] ˆBV. Siis lineaarikuvauksen T matriisi  uusissa kannoissa voidaan kirjoittaa muodossa  = [T ] ˆBU, ˆB V = RAS. Erityisesti, jos U = V, B U = B V ja ˆB U = ˆB V, niin S = R ja lineaarikuvauksen T matriisi  uudessas kannassa ˆB U = ˆB V voidaan kirjoittaa muodossa  = SAS.  kutsutaan matriisin A similaarimuunnokseksi. Annetaan seuraava mää- Matriisia ritelmä. Määritelmä.6. Neliömatriisi A on similaarinen matriisin B kanssa, jos on olemassa säännöllinen matriisi S siten, että B = SAS. Muotoa SAS olevaa matriisia kutsutaan matriisin A similaarimuunnokseksi. Keskenään similaarisilla matriiseilla on muun muassa seuraava ominaisuus. Lause.7. Keskenään similaarisilla matriiseilla on sama karakteristinen polynomi ja siten myös samat ominaisarvot samoine algebrallisine kertalukuineen. Todistus. Olkoon matriisit A ja B similaarisia keskenään eli B = SAS jollekin kääntyvälle matriisille S. Tällöin joten λi B = λsis SAS = S(λI A)S, det(λi B) = det(s) det(λi A) det(s ) = det(s) det(λi A)(det(S)) = det(λi A), eli matriisien A ja B karakteristiset polynomit p A (λ) = p B (λ) ovat samat ja niillä on siten samat polynomin p A (λ) juuret eli samat ominaisarvot samoine algebrallisine kertalukuineen.
.2. OMINAISARVOTEORIAA 3 Olkoon matriisilla A K n n ominaisarvot λ,..., λ n ja näitä vastaavat ominaisvektorit x,..., x n. Muodostetaan matriisi X = [x... x n ]. Tällöin saadaan AX = [Ax... Ax n ] = [λ x... λ n x n ] = [x... x n ] λ... = XΛ, missä Λ = λ.... λ n Jos nyt ominaisvektorit x,..., x n ovat lineaarisesti riippumattomia, niin saadaan λ n A = AXX = XΛX. Matriisi A on siis similaarinen diagonaalimatriisin Λ kanssa. Matriisia A kutsutaan siten diagonalisoituvaksi. Voidaan siis päätellä, että jos A = SDS, missä D on diagonaalimatriisi, niin sen diagonaalilla on matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat matriisin A ominaisvektoreita. Lisäksi nämä ominaisvektorit muodostavat kannan. Tilannetta, jossa matriisin A ominaisvektoreista ei voi muodostaa kantaa, käsitellään myöhemmin.
LUKU 2 Matriisin eksponenttifunktio Neliömatriiseja A M n voidaan korottaa potenssiin ja niitä voidaan laskea yhteen. Näin neliömatriisille on mahdollista muodostaa sarjakehitelmä. Eksponenttifunktio on tunnetusti eräs sarjakehitelmä. Nyt voidaan siis määritellä neliömatriisin eksponenttifunktio. Määritelmä 2.. Matriisien eksponenttifunktio on exp : M n M n, e A = k! Ak kaikille neliömatriiseille A M n. k=0 Näytetään seuraavan lauseen avulla, että määritelmä 2. on hyvin asetettu. Lause 2.2. Sarja A k k=0 suppenee kaikille neliömatriiseille A M k! n. Todistus. Olkoon a k ij matriisin A k -kerroin. Tällöin a 2 ij = n a ik a kj n (max a ij ) 2 = n A 2 k= ja näytetään induktiolla, että a N ij n N A N. Alkuaskel, jossa k =, pätee, sillä a ij n 0 max i,j n a ij = n A. Oletetaan nyt, että väite pätee, kun k = N ja osoitetaan, että väite pätee, kun k = N + : n a N+ ij = a N ika kj n N A N+ = n (N+) A N+. k= Siis väite pätee induktion nojalla. Nyt voidaan muodostaa epäyhtälö: a N ij N! ja koska sarja (n A ) N k= nn A N N! suppenee reaalisena eksponenttifunktiona, niin Weier- N! A k suppenee alkioittain tasaisesti. k! strassin M-testin nojalla sarja k=0 nn A N N! = (n A )N N! Matriisin eksponenttifunktion sarjakehitelmä on siis suppeneva. Eksponenttifunktion e A laskemista yleiselle neliömatriisille A käsitellään luvussa 3, mutta tarkastellaan ensin kuitenkin muutamaa erikoistapausta esimerkkien avulla. 4,
2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO 5 Esimerkki 2.3. Olkoon D = diag(d, d 2,..., d n ) diagonaalimatriisi, jolloin sen potenssit ovat D k = diag(d k, d k 2,..., d k n). Tällöin määritelmän 2. nojalla matriisin D eksponenttifunktio on e D = k=0 D k k! = diag ( k=0 Esimerkki 2.4. Olkoon Tällöin d k k!,..., k=0 A = d k n k! ) = diag ( e d,..., e dn) = 0 α. α 0 0 α 0 α α A 2 2 0 = = α 0 α 0 0 α 2 = α 2 I 2, α A 3 2 0 0 α 0 α 3 = 0 α 2 = α 0 α 3 = α 0 2 A, 0 α A 4 3 0 α α 4 0 = α 3 = 0 α 0 0 α 4 = α 4 I 2, α A 5 4 0 0 α 0 α 5 = 0 α 4 = α 0 α 5 = α 0 4 A, A 6 = α 6 I 2, A 7 = α 6 A,... e d... e dn Induktion ja sini- ja kosinifunktioiden sarjakehitelmien nojalla saadaan nyt seuraavaa: [ e A A i α 2 + = = α4 α6 α +... ] α3 + α5... 2! 4! 6!! 3! 5! i! α + α3 α5 +... α2 + α4 α6 +... i=0! 3! 5! 2! 4! 6! [ ( ) k α 2k ] ( ) k α (2k+) k=0 (2k)! k=0 (2k+)! = ( ) k α (2k+) ( ) k α 2k k=0 (2k+)! k=0 (2k)! cos α sin α =. sin α cos α Seuraavaksi määritellään nilpotentti matriisi, sillä sitä tullaan käyttämään myöhemmin käsiteltäessä matriisin Jordanin muotoa. Matriisia N sanotaan nilpotentiksi, jos N l = 0, jollekin l 0. Selvästi tällöin myös kaikki korkeammat potenssit ovat nollia. Määritelmän 2. nojalla voidaan siis muodostaa nilpotentin N eksponenttifunktio seuraavasti: e N = l k=0 k! N k = I + N + 2 N 2 + + (l )! N l..
2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO 6 Esimerkki 2.5. Matriisi N = 0 0 0 0 0 0 0 on nilpotentti, sillä N 2 = 0 0 0 0 0 ja N 3 = 0. 0 0 0 Siten nilpotentin N eksponenttifunktio on e N = I + N + 2 N 2 = 2 0. 0 0 Matriisin eksponenttifunktiolla on seuraavat ominaisuudet: Lause 2.6. Olkoot A, B ja P M n neliömatriiseja ja P kääntyvä. Tällöin (i) Jos C = P AP, niin e C = P e A P. (ii) Jos AB = BA, niin e A+B = e A e B. (iii) e A = (e A ). Todistus. (i) Nyt e P AP = k=0 k! (P AP ) k, jossa (P AP ) k = (P AP )(P AP ) (P AP ) = P A k P, sillä välissä olevat termit P P supistuvat pois ja lemman.6 nojalla lim (P A kp ) = P ( lim A k )P. k k Siten k=0 k! (P AP ) k = P k=0 k! Ak P = P e A P. (ii) Koska AB = BA, eli matriisit A ja B kommutoivat, niin binomikaavan nojalla voidaan määrittää (A + B) n = n k=0 n! k!(n k)! Ak B n k.
2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO 7 Edelleen matriiseille A ja B pätee ( e A+B n ) = n! (A + n! B)n = n! k!(n k)! Ak B n k n=0 n=0 k=0 ( n ) A k B n k = k! (n k)! n=0 k=0 ( ) ( A k ) B n = = e A e B, k! n! k=0 n=0 jossa viimeiselle riville siirryttäessä on käytetty Cauchyn tuloa ( n ) ( ) a k b n k = a k b n, n=0 k=0 joka pätee siis myös matriisisarjoille, sillä A ja B kommutoivat. (iii) Kohdan (ii) nojalla joten e A = (e A ). k=0 n=0 I = e 0 = e A A = e A e A,
LUKU 3 Matriisin eksponenttifunktion laskeminen Tässä luvussa tarkastellaan miten eksponenttifunktio voidaan laskea eri matriiseille. Jos matriisi on diagonalisoituva, eksponenttifunktion laskeminen on suoraviivaista. Jos taas matriisi ei ole diagonalisoituva, niin tarvitaan Jordanin muotoa, jota käsitellään myöhemmin luvussa 3.2. 3.. Diagonalisoituvan matriisin eksponenttifunktio Jos matriisi A on diagonalisoituva, eli löytyy P siten, että A = P ΛP, jossa Λ on lävistäjämatriisi, niin lauseen 2.6 mukaan (3.) e A = P e Λ P. Nyt kun tiedetään, että matriisi Λ on diagonaalinen, niin sen eksponenttifunktio lasketaan kuten esimerkissä 2.3. Esimerkki 3.. Olkoon matriisi A =. 0 2 Tällöin A voidaan kirjoittaa muodossa A = P ΛP, jossa 0 P =, Λ = ja P 0 0 2 =. 0 Siten vakiolla t kerrotun matriisin A eksponenttifunktio on e e ta = P e tλ P t 0 e t e = 0 0 e 2t = 2t e t 0 0 e 2t. Lävistäjämatriisin eksponenttifunktio osataan siis ratkaista, joten matriisien eksponenttifunktion e A laskeminen kaikille diagonalisoituville matriiseille A on ratkaistu. Erityisesti kun matriisin A ominaisarvot ovat erisuuret, niin yhtälössä (3.) matriisin P sarakkeet ovat siis matriisin A ominaisvektoreita ja matriisi Λ on diagonaalimatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat matriisin A ominaisarvoja kuten nähtiin luvussa.2. Näytetään vielä tulevia esimerkkejä varten käänteismatriisin eräs ratkaisutapa 2 2-matriisille. Matriisin a b P = c d 8
3.. DIAGONALISOITUVAN MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO 9 käänteismatriisi P voidaan ratkaista seuraavasti: (3.2) P d b =. det(p ) c a Siis vaihdetaan päälävistäjän alkiot keskenään, muutetaan sivulävistäjän alkiot vastaluvuikseen ja jaetaan matriisin P determinantilla det(p ). Esimerkki 3.2. Olkoon matriisi A = [ ] 3 3 kuten esimerkissä.0, jolloin ominaisarvot ovat λ = 3i ja λ 2 = + 3i sekä niitä vastaavat ominaisvektorit [ [ v = ja v i] 2 =. i] Matriisille A on siis voimassa A = P ΛP, jossa 3i 0 Λ = ja P =. 0 + 3i i i Lasketaan ensin matriisin P determinantti: det(p ) = i i = i ( i) = 2i. Nyt voidaan määrittää käänteismatriisi P seuraavasti: P = [ i ] [ = 2 2i = 2 2i i 2 2i i 2 2 i 2 Tällöin lauseen 2.6 ja trigonometristen funktioiden määritelmien nojalla [ e e ta ( 3i)t 0 ] [ i = i i 0 e (+3i)t 2 2 e ( 3i)t e i = (+3i)t ] i 2 2 ie ( 3i)t e i(+3i)t 2 2 i 2 2 [ ] = 2 e( 3i)t + 2 e(+3i)t i 2 e( 3i)t i 2 e(+3i)t i 2 e( 3i)t + i 2 e(+3i)t i2 2 e( 3i)t i2 2 [ e(+3i)t ] = 2 et (e 3it + e 3it ) 2i et (e 3it e 3it ) e 2i et (e 3it e 3it ) 2 et (e 3it + e 3it = t cos(3t) e t sin(3t) ) e t sin(3t) e t. cos(3t) Vaikka reaalisen matriisin A ominaisarvot ja -vektorit olisivat siis kompleksisia, niin matriisin A eksponenttifunktio e A on reaalinen, sillä kaikki sarjakehitelmän potenssit A k ovat reaalisia matriiseja. Myös kompleksisessa tapauksessa saadaan siis reaalinen ratkaisukanta. ]. Diagonalisoituvassa tapauksessa A = P λ... P λ n
3.. DIAGONALISOITUVAN MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO 20 matriisin A potenssit A k lasketaan siten, että A k = P λ k... P, kuten jo nähtiin lauseen 2.6 todistuksen kohdassa (i) yleiselle neliömatriisille. Esitetään vielä yksi esimerkki diagonalisoituvista matriiseista. Esimerkki 3.3. Olkoon matriisi A = λ k n 0 2 0 0 2 0 kuten esimerkissä., jolloin sen ominaisarvot ovat λ = 3 ja kaksinkertainen ominaisarvo λ 2 =. Vastaavat ominaisvektorit ovat v = (, 0, ), v 2, = (, 0, ) ja v 2,2 = (0,, 0). Nyt matriisi A on similaarinen ominaisarvoista koostuvan matriisin Λ = 3 0 0 0 0 0 0 kanssa. Tällöin on voimassa yhtälö A = V ΛV, jossa matriisi V = 0 0 0 0 koostuu matriisin A ominaisvektoreista ja sen käänteismatriisi 0 V 2 2 = 0 2 2 0 0 voidaan ratkaista käyttäen apuna esimerkiksi Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmää. Nyt matriisin A eksponenttifunktio on e A =V e Λ V = 0 0 0 e 3 0 0 0 0 e 2 2 0 0 = e 3 e 0 0 0 0 e 2 2 0 0 0 0 e 2 2 0 0 e 3 e 2 2 0 0 0 2 = (e 3 + e) 0 2 ( e 3 + e) 0 e 0. 2 ( e 3 + e) 0 2 (e 3 + e)
3.2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO JORDANIN MUODON AVULLA 2 3.2. Matriisin eksponenttifunktio Jordanin muodon avulla Jos matriisi A ei kuitenkaan ole diagonalisoituva, niin se voidaan muuntaa Jordanin muotoon J A, joka muodostetaan niin sanottujen yleistettyjen ominaisvektoreiden avulla. Jokainen neliömatriisi A on similaarinen lohkolävistäjämatriisin J J J = diag[j,..., J p ] = 2... J p kanssa, missä J i, i =,..., p, on r i r i -matriisi. Matriisia J kutsutaan matriisin A Jordanin muodoksi ja matriiseja J i kutsutaan Jordanin lohkoiksi. Matriisit A ja B ovat similaarisia keskenään täsmälleen silloin, kun niillä on sama Jordanin muoto. Selvitetään seuraavaksi miten Jordanin matriisit löydetään. Jos matriisin A ominaisarvon λ geometrinen kertaluku m g (λ) ja algebrallinen kertaluku m a (λ) ovat samat eli m g (λ) = m a (λ) = k, niin ominaisavaruudessa E A (λ) = {v C n : (A λi)v = 0} on ominaisarvoon λ liittyvien ominaisvektoreiden muodostama kanta {x,..., x k }, jolloin A [ λ ] x... x k = x... x k.... λ Olkoon λ,..., λ q matriisin A erisuuret ominaisarvot ja k,..., k q näiden algebralliset kertaluvut. Nyt jos ominaisarvon λ j, missä j =,..., q, geometrinen kertaluku on pienempi kuin algebrallinen eli sen ominaisvektoreiden määrä on pienempi kuin ominaisarvon λ j kertaluku k j eli m g (λ j ) < m a (λ j ) = k j, niin Jordanin muotoa varten tarvitaan lisää vektoreita. Lisäksi näiden vektorien tulee olla lineaarisesti riippumattomia, jotta niistä muodostuva matriisi olisi kääntyvä. Kasvatetaan siis ominaisavaruutta E A (λ j ). Määritetään ominaisarvolle λ j invariantti aliavaruus Ê A (λ j ) = {v C n : (A λ j I) k j v = 0}. Siten E A (λ j ) ÊA(λ j ). Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa matriisilla A on ominaisarvo λ siten, että E A (λ) ÊA(λ). Tällöin on olemassa κ 2 ja w κ ÊA(λ) siten, että (A λi) κ w κ = 0, mutta (A λi) κ w κ 0. Asetetaan w j = (A λi) κ j w κ. Tällöin { Aw = λw ja Aw j = λw j + w j, j = 2,..., κ.
3.2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO JORDANIN MUODON AVULLA 22 Matriisimuodossa saadaan λ A λ... w w 2... w κ = w w 2... w κ.... λ Vektorijonoa (w,..., w κ ) kutsutaan ominaisarvoon λ liittyväksi ja ominaisvektorista w lähteväksi Jordanin ketjuksi. Similaarimuunnoksen A = V JV muunnosmatriisi V saadaan siis selvitettyä käyttämällä seuraavia yhtälöitä: { (A λi)w 2 = w (A λi)w i = w i, i = 2,..., r i. Siis täydennetään matriisin A similaarimuunnoksen A = V JV matriisin V mahdollisesti puuttuvat ominaisvektorit Jordanin ketjujen vektoreilla. Lisäksi saatiin selvitettyä miten Jordanin lohko J(λ, r) löydetään eli se voidaan kirjoittaa muodossa λ λ... J(λ, r) =... Cr r. λ Jordanin matriisi on tällöin lohkodiagonaalinen yläkolmiomatriisi J(λ, r ) J =... J(λ p, r p ) jonka lävistäjä koostuu siis r i r i kokoisista Jordanin lohkoista. Esimerkki 3.4. Olkoon matriisi A = 3 0 4 2 0 3 ja ratkaistaan sen ominaisarvot: λ 3 0 2 2 p A (λ) = det(λi A) = λ 2 2 2 = (λ 2) λ 3 2 2 0 λ 3 λ 3 2 2 2 2 =(λ 2)(λ 2 3λ + 2) = (λ )(λ 2)(λ 2) = 0, kun λ = tai λ = 2. Matriisilla A on siis ominaisarvo λ = ja kahden kertaluvun ominaisarvo λ 2 = 2. Ratkaistaan vielä vastaavat ominaisvektorit:,
3.2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO JORDANIN MUODON AVULLA 23 λ = : [ A λ I 0 ] 0 0 2 2 = 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 v =(, 0, ) λ 2 =2 : [ A λ 2 I 0 ] = 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 v 2 =(0,, 0). Löytyy siis vain kaksi ominaisvektoria v ja v 2 ja tarvitaan kolme, joten etsitään ominaisarvoon λ 2 liittyvä ja ominaisvektorista v 2 lähtevä Jordanin ketju {v 2, v 3 }. Nyt koska { Av 2 = λ 2 v 2 Av 3 = v 2 + λ 2 v 3 (A λ 2 I)v 3 = v 2, niin vektori v 3 löydetään yhtälön 0 0 2 2 0 2 2 0 0 2 2 avulla. Siis v 3 = (, 0, ). Matriisi A on similaarinen sen Jordanin matriisin J A kanssa ja Jordanin lohkot ovat J(λ, r ) = J(, ) = [ ] 2 ja J(λ 2, r 2 ) = J(2, 2) =, 0 2 joten J A = 0 0 0 2. 0 0 2 Tällöin on voimassa yhtälö A = V J A V, jossa matriisi V = 0 0 0 0 koostuu vektoreista v, v 2 ja v 3 ja sen käänteismatriisi 0 2 2 V = 0 0 2 0 2 voidaan ratkaista käyttäen apuna esimerkiksi Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmää.
3.2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO JORDANIN MUODON AVULLA 24 Jordanin muodon J A eksponenttifunktio e J A on lohkolävistäjämatriisi, jonka lohkot koostuvat muotoa e J(λ,r) olevista matriiseista. Ne voidaan laskea seuraavasti: Jordanin lohko kirjoitetaan lävistäjämatriisin ja nilpotentin matriisin summana λ λ. λ.. J(λ, r) = λi + N =... = λ λ 0.... +.. λ....... 0 Nyt koska λi ja N kommutoivat, eksponenttifunktio e J(λ,r) voidaan kirjoittaa muodossa r (3.3) e J(λ,r) = e λi+n = e λ j! N j, sillä nilpotentin N eksponenttifunktio e N tunnetaan jo esimerkistä 2.5. Näytetään vielä kaksi esimerkkiä Jordanin matriisin eksponenttifunktioista. j=0 Esimerkki 3.5. Olkoon Jordanin matriisi J = J(4, 2) J(3, 3). J(2, ) Tällöin sen eksponenttifunktio on e J = ej(4,2) e J(3,3) e J(2,) e 4 e 4 e 4 e = 3 e 3 2 e3 e 3 e 3. e 3 e 2 e 4 0 = e 3 2 0 0 0 e 2 Esimerkki 3.6. Esimerkissä 3.4 määritettiin matriisille A = 3 0 4 2 0 3
3.2. MATRIISIN EKSPONENTTIFUNKTIO JORDANIN MUODON AVULLA 25 similaarimuunnos A = V J A V. Nyt matriisin A eksponenttifunktio on e A =V e J A e V J(,) = V e J(2,2) V = V e e 2 V 0 = 0 0 0 e 0 0 0 0 e 2 e 2 2 2 0 0 = e 0 e2 0 0 e 2 e 2 2 2 0 0 0 0 0 e 2 0 e 0 e 2 0 2 2 2 2 2 = (e + e2 ) 0 (e 2 e2 ) 0 e 2 2 e2. (e 2 e2 ) 0 (e + 2 e2 ) Myös Jordanin matriiseille sekä Jordanin lohkoille voidaan laskea potensseja, mutta niitä ei tarvita tässä työssä, joten jätetään ne väliin. Nyt osataan ratkaista eksponenttifunktio kaikille neliömatriiseille, joten siirrytään tutkielman toiseen osaan eli differentiaaliyhtälöihin.
LUKU 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 4.. Peruskäsitteitä Tässä luvussa tarkastellaan differentiaaliyhtälöryhmiä (4.) x (t) = f(t, x(t)), kun f : R R n R n on jatkuva kuvaus. Komponenteittain kirjoitettuna differentiaaliyhtälöryhmä (4.) on x (t) = f (t, (x (t),..., x n (t))) x 2(t) = f 2 (t, (x (t),..., x n (t))) (4.2). x n(t) = f n (t, (x (t),..., x n (t))). Kutsutaan differentiaaliyhtälöryhmää lyhyesti differentiaaliyhtälöksi. Differentiaaliyhtälöllä on yleensä paljon ratkaisuja, mutta voidaan saada yksikäsitteinen ratkaisu, kun annetaan lisäehtoja. Siten puhutaan alkuarvotehtävistä, joilla on lisäehto x(t 0 ) = x 0 eli on kiinnitetty ratkaisun lähtöpiste. Differentiaaliyhtälön (4.) ratkaisu alkuarvolla x(t 0 ) = x 0 on differentioituva kuvaus x : U R n joltain avoimelta väliltä U R, jolle pätee x (t) = f(t, x(t)) kaikilla t U ja x(t 0 ) = x 0. Jos differentiaaliyhtälön (4.) oikean puolen kuvauksen arvo ei riipu muuttujan t arvosta, niin tämä riippuvuus voidaan jättää pois ja tarkastellaan kuvauksen f : U R n määräämää differentiaaliyhtälöä (4.3) x (t) = f(x(t)), jota kutsutaan autonomiseksi differentiaaliyhtälöksi. Yhtälön (4.3) ratkaisu alkuarvolla x(t 0 ) = x 0 on niin ikään differentioituva kuvaus x : U R n joltain avoimelta väliltä U R, jolle pätee x (t) = f(x(t)) kaikilla t U ja x(t 0 ) = x 0. Esimerkki 4.. Tasapainoasemasta kulman θ verran poikkeutetulle, L-pituiselle ja m-massaiselle heilurille voidaan Newtonin lain mukaan kirjoittaa yhtälö ja geometrian avulla saadaan yhtälö mv (t) = mg sin(θ(t)) v(t) = Lθ (t). 26
Siten heiluri toteuttaa yhtälöparin { θ (t) = L v(t) v (t) = g sin(θ(t)). Merkitään nyt x(t) = θ(t) v(t) 4.. PERUSKÄSITTEITÄ 27 [ ja f(x(t)) = x ] L 2(t). g sin(x (t)) Näin ollen differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x (t) = f(x(t)). Esimerkki 4.2. Olkoon λ, a R. Alkuarvotehtävän { x = λx x(0) = a ratkaisu on x(t) = ae λt. Esimerkki 4.3. Olkoon λ, λ 2, a, b R. Alkuarvotehtävän { { x = λ x x (0) = a x 2 = λ 2 x 2 x 2 (0) = b ratkaisu on { x (t) = ae λ t x 2 (t) = ae λ 2t. Differentiaaliyhtälö voidaan esittää myös matriisimuodossa, jolloin x (t) = Ax(t), missä λ 0 A = diag(λ, λ 2 ) = ja x = 0 λ 2 Tällöin ratkaisu x on vektorimuodossa ae λ t x(t) =. ae λ 2t [ x x 2 ]. Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt voidaan muuntaa ensimmäisen kertaluvun ryhmiksi. Esimerkiksi kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälö muunnetaan seuraavasti: Asetetaan jolloin saadaan y (t) = g(t, y(t), y (t), y (t)) x (t) = y(t), x 2 (t) = y (t), x 3 (t) = y (t), x (t) = x 2 (t) x 2(t) = x 3 (t) x 3(t) = g(t, x (t), x 2 (t), x 3 (t)). Muut kuin kolmannen asteen differentiaaliyhtälöt ratkaistaan vastaavasti. Tässä työssä riittää siis tarkastella ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä, sillä muut voidaan aina palauttaa siihen.
4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 28 Esimerkki 4.4. Ratkaistaan toisen asteen differentiaaliyhtälö (4.4) y (t) + y(t) = 0, jonka kaikki ratkaisut ovat muotoa y(t) = a cos t + b sin t, kun tiedetään alkuarvot y(0) = a ja y (0) = b. Asetetaan x (t) = y(t) ja x 2 (t) = y (t). Tällöin yhtälö (4.4) on muotoa { x (4.5) (t) = x 2 (t) x 2(t) = x (t). Matriisimuodossa kirjoitettuna yhtälö (4.5) on siis x (t) = Ax(t), missä 0 A =. 0 Nyt koska x (t) = Ax(t), niin yhtälöparin (4.5) yleinen ratkaisu saadaan yhtälöstä x(t) = A x (t) eli a cos t + b sin t x(t) =. a sin t + b cos t Olkoon nyt A(t) n n-matriisi ja b(t) vektori siten, että kaikki niiden komponentit a ij (t) ja b i (t) ovat jatkuvia funktioita, kun i, j =,..., n. Tällöin differentiaaliyhtälöä (4.6) x (t) = A(t)x(t) kutsutaan lineaariseksi homogeeniseksi yhtälöksi ja differentiaaliyhtälöä (4.7) x (t) = A(t)x(t) + b(t) kutsutaan lineaariseksi epähomogeeniseksi yhtälöksi. Jos A ei riipu muuttujasta t, on kyseessä vakiokertoiminen yhtälö ja jos differentiaaliyhtälöä ei voi esittää muodossa (4.7), niin sitä kutsutaan epälineaariseksi. Tässä työssä tarkastellaan vain lineaarisia vakiokertoimisia differentiaaliyhtälöitä. 4.2. Lineaarinen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö Todistetaan ensin, että alkuarvotehtävän, jossa differentiaaliyhtälö on vakiokertoiminen ja homogeeninen, ratkaisu on eksponenttifunktion muodossa kuten nähtiin jo esimerkissä 4.2. Näytetään myös, että ratkaisu on yksikäsitteinen. Lause 4.5. Olkoon A M n. Alkuarvotehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = x 0 ainoa ratkaisu on x : R R n, x(t) = e ta x 0. Todistus. Koska suppenevia potenssisarjoja saa derivoida termeittäin, niin eksponenttifunktion derivaatta tunnetaan ja voidaan kirjoittaa yhtälö x (t) = d ( ) e ta x 0 = Ae ta x 0 = Ax(t) dt kaikilla t R, joten x(t) on differentiaaliyhtälön ratkaisu.
4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 29 Jos y : R R n on alkuarvotehtävän ratkaisu, niin voidaan määrittää kuvaus z : R R n asettamalla z(t) = e ta y(t). Nyt z (t) = Ae ta y(t) + Ae ta y(t) = (A A)e ta y(t) = 0, joten z on vakiokuvaus z(t) x 0. Siispä kuvauksen z määritelmän nojalla y(t) = e ta x 0 ja näin ollen differentiaaliyhtälön ratkaisu on yksikäsitteinen. Edellisen lauseen 4.5 alkuarvotehtävän ratkaisun voi kuitenkin kirjoittaa myös toisella tavalla. Tarkastellaan vielä sitä, sillä sen avulla nähdään selvemmin ratkaisukäyrien käyttäytymisen perusteet. Olkoon matriisilla A ominaisarvot λ, λ 2,..., λ n ja niitä vastaavat lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit v, v 2,..., v n. Nyt koska matriisi A ja sen eksponenttifunktio e A diagonalisoituvat samassa kannassa, niin niillä on samat ominaisvektorit. Ominaisvektorille v voidaan siis kirjoittaa, että e ta v = e tλ v. Vastaavasti muille ominaisvektoreille, joten lineaarisuuden perusteella differentiaaliyhtälön x (t) = Ax(t) ratkaisu ominaisvektorikannassa on (4.8) x(t) = c e λ t v + c 2 e λ 2t v 2 + + c n e λnt v n. Tällöin alkuehdosta x(0) = x 0 saadaan c v + + c n v n = x 0 eli V c = x 0 jolloin c = V x 0, missä c = (c,..., c n ) ja V = v v 2... v n. Näin saadaan ratkaisu x(t) = V e λ t... e λnt V x 0, joka taas on standardikannassa. Tästä voidaan päätellä, että V on ratkaisun kannanvaihtomatriisi ominaisvektorikannasta standardikantaan ja V taas päinvastaiseen kannanvaihtoon. Nyt ratkaisun (4.8) etuna on se, että siitä nähdään selvästi ratkaisun kulkusuunta, kun ominaisarvot λ ovat positiivisia tai negatiivisia ja kun t. Seuraavaksi tarkastellaan tason lineaarisia differentiaaliyhtälöitä, joissa A on 2 2- matriisi. Ratkaisuja on nyt ominaisarvojen merkeistä riippuen eri tyyppejä. Jos matriisilla A on kaksi positiivista ominaisarvoa, ratkaisukäyrät lähtevät origosta ja origoa kutsutaan lähteeksi. Jos matriisilla A on kaksi negatiivista ominaisarvoa, ratkaisukäyrät lähestyvät origoa ja origoa kutsutaan nieluksi. Jos taas matriisilla A on kaksi erimerkkistä ominaisarvoa, origoa kutsutaan satulaksi. Tarkastellaan tapauksia esimerkkien avulla. Esimerkki 4.6. Matriisilla A = 0 2 on ominaisarvot λ = ja λ 2 = 2 sekä ominaisvektorit v = (, 0) ja v 2 = (, ). Matriisi A on siis diagonalisoituva ja voimme kirjoittaa yhtälön A = V ΛV, missä 0 Λ = ja V =, 0 2 0
jolloin 4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 30 e ta = V e Λt V = e t 0 e t e 0 0 e 2t = 2t e t 0 0 e 2t. Alkuarvotehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = x 0 ratkaisu standardikannassa on siten e x(t) = e ta t e x 0 = 2t e t a (a a 0 e 2t = 2 )e t + a 2 e 2t a 2 a 2 e 2t, kun x 0 = (a, a 2 ). Toisaalta ominaisvektorikannassa ratkaisu on x(t) = c e t + c 0 2 e 2t, kun x 0 = c + c 0 2, mistä nähdään, että ratkaisut x(t), kun t. Kuvassa 4. on joitakin ratkaisukäyriä eri alkuarvoilla x 0. Kaikki ratkaisut kulkevat siis origosta poispäin ja origoa kutsutaan lähteeksi. Kuva 4.. Lähde (Eirola & Nevanlinna, 2004, s. 0) Esimerkki 4.7. Matriisilla 2 A = 2
4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 3 on ominaisarvot λ = 3 ja λ 2 = sekä ominaisvektorit v = (, ) ja v 2 = (, ). Kuten esimerkissä 4.6 saamme [ e e ta 3t 0 ] = 0 e t 2 2 = e t + e 3t e t + e 3t 2 e t + e 3t e t + e 3t. 2 2 Alkuarvotehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = x 0 ratkaisu standardikannassa on siten x(t) = e ta x 0 = (a a 2 )e t + (a + a 2 )e 3t 2 (a a 2 )e t + (a + a 2 )e 3t kun x 0 = (a, a 2 ). Nyt ratkaisu ominaisvektorikannassa on x(t) = c e 3t + c 2 e t, josta nähdään, että ratkaisut x(t) 0, kun t. Kuvassa 4.2 on joitakin ratkaisukäyriä eri alkuarvoilla x 0. Kaikki ratkaisut kulkevat siis origoa kohti ja origoa kutsutaan nieluksi. Kuva 4.2. Nielu (Eirola & Nevanlinna, 2004, s. 0) Esimerkki 4.8. Matriisilla 2 A = 4 on erimerkkiset ominaisarvot λ = 2 ja λ 2 = 3 sekä ominaisvektorit v = (, 4) ja v 2 = (, ). Kuten esimerkeissä 4.6 ja 4.7 saamme e ta = e 2t + 4e 3t e 2t e 3t 5 4e 2t e 3t 4e 2t + e 3t.
4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 32 Alkuarvotehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = x 0 ratkaisu standardikannassa on siten x(t) = e ta x 0 = (a + a 2 )e 2t + (4a a 2 )e 3t 5 (4a + 4a 2 )e 2t + ( 4a + a 2 )e 3t kun x 0 = (a, a 2 ). Kuvassa 4.3 on joitakin ratkaisukäyriä eri alkuarvoilla x 0. Ominaisvektorikannassa ratkaisu on x(t) = c e 2t + c 4 2 e 3t, josta nähdään, että kaikki ratkaisut kulkevat origoon päin ominaisvektorin v suuntaista suoraa pitkin ja etääntyvät asymptoottisesti ominaisvektorin v 2 suuntaan, kuten kuvasta 4.3 myös nähdään. Tätä kutsutaan satulaksi. Kuva 4.3. Satula (Eirola & Nevanlinna, 2004, s. ) Edellä tarkasteltiin differentiaaliyhtälöiden x (t) = Ax(t) ratkaisuja, kun matriisi A oli reaalinen. Seuraavaksi käsitellään kaikki kompleksiset tapaukset. Jos reaalisella matriisilla B on kompleksisia ominaisarvoja, jotka ovat siis muotoa α ± iβ, niin 2 2-matriisi B on similaarinen matriisin α β A = β α kanssa, kun α, β R, β 0. Tällöin alkuarvotehtävän { x = Ax x(0) = (a, b)
4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 33 ratkaisu on kuvaus x : R R 2, x(t) = e αt (a ) cos(βt) sin(βt) + b. sin(βt) cos(βt) Kun tiedetään ominaisarvoa λ = α + iβ vastaava ominaisvektori w = u + iv, niin ominaisarvoa λ = α iβ vastaava ominaisvektori w saadaan yhtälöstä A w = λ w, joten w = u iv. Ratkaistaan nyt differentiaaliyhtälö x = Ax. Yhtälön Aw = λw eli A(u + iv) = (α + iβ)(u + iv) = (αu βv) + i(βu + αv) reaali- ja imaginaariosista saadaan { Au = αu βv Av = βu + αv eli A [ u v ] = [ u v ] α β. β α Eksponenttifunktio saadaan nyt laskettua vastaavasti sini- ja kosinifunktioiden sarjakehitelmien avulla kuten esimerkissä 2.4, sillä matriisit 0 0 I = ja 0 0 kommutoivat, joten voidaan käyttää lausetta 2.6: e α t β β α =e t αi+β 0 0 = e tαi e ]. [ cos(βt) sin(βt) =e αt sin(βt) cos(βt) tβ 0 0 Näin ollen differentiaaliyhtälön ratkaisu alkuarvolla x 0 = c = (c, c 2 ) on (4.9) x(t) = e [ αt u v ] cos(βt) sin(βt) c, sin(βt) cos(βt) missä c on koordinaattivektori vektorien u ja v muodostamassa kannassa. Ratkaisu voidaan kuitenkin muuntaa standardikantaan kuten seuraavissa esimerkeissä tehdään. Esimerkki 4.9. Matriisilla A = [ 9 ] 8 6 7 on kompleksinen ominaisarvopari λ,2 = ± 8i. Vektorit [ u = ja v = 0] 2 toteuttavat yhtälön (4.9), joten differentiaaliyhtälön x (t) = Ax(t) ratkaisu vektorien u ja v muodostamassa kannassa saadaan seuraavasti, kun alkuarvo x(0) = c u + c 2 v: cos(8t) sin(8t) x(t) =e t c 0 2 sin(8t) cos(8t) c 2 =e t (c c 2 ) cos(8t) + (c + c 2 ) sin(8t). 2c 2 cos(8t) + 2c sin(8t)
4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 34 Alkuarvon x(0) = a toteuttava ratkaisu standardikannassa taas saadaan ratkaisemalla seuraava yhtälö x(0) = [ u v ] c c c = 2 a = c 2 2c 2 a 2 ja sijoittamalla saadut arvot c = a a 2 2 ja c 2 = a 2 2, jolloin saadaan ratkaisu x(t) = e t a cos(8t) + (a a 2 ) sin(8t). a 2 cos(8t) + (2a a 2 ) sin(8t) Ratkaisukäyrät kulkevat spiraalimaisesti origosta poispäin kuten kuvassa 4.4, jossa on kahdesta eri alkuarvosta lähtevät käyrät. Huomataan siis, että koska matriisin A ominaisarvojen reaaliosat ovat positiiviset, niin Tätä kutsutaan epästabiiliksi fokukseksi. x(t), kun t. Kuva 4.4. Epästabiili fokus (Eirola & Nevanlinna, 2004, s. 2) Esimerkki 4.0. Matriisilla 3 2 A = on kompleksinen ominaisarvopari λ,2 = 2 ± i. Vektorit [ [ u = ja v = ] 0] toteuttavat yhtälön (4.9), joten differentiaaliyhtälön x (t) = Ax(t) ratkaisu saadaan kuten esimerkissä 4.9: x(t) = e 2t (c + c 2 ) cos t + ( c + c 2 ) sin t. c cos t + c 2 sin t
4.2. LINEAARINEN VAKIOKERTOIMINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ 35 Alkuarvolla x(0) = a ratkaisu standardikannassa on x(t) = e 2t a cos t + ( a + 2a 2 ) sin t. a 2 cos t + ( a + a 2 ) sin t Nyt ratkaisukäyrät kulkevat spiraalimaisesti kohti origoa kuten kuvassa 4.5, jossa on eri alkuarvosta lähtevät käyrät. Nyt huomataan, että koska matriisin A ominaisarvojen reaaliosat ovat negativiiset, niin Tätä kutsutaan stabiiliksi fokukseksi. x(t) 0, kun t. Kuva 4.5. Stabiili fokus (Eirola & Nevanlinna, 2004, s. 2) Esimerkeistä 4.9 ja 4.0 huomataan vielä, että ominaisarvojen reaali- ja imaginaariosien suhde vaikuttaa siihen kuinka paljon ratkaisukäyrät kiertävät. Stabiilisuus taas edelleen tarkoittaa sitä, että ratkaisut eivät pakene origosta. Palataan siihen myöhemmin. Nyt tarkastellaan muuttujanvaihtoa, jota käytetään seuraavassa esimerkissä. Jos n n-matriisi A on similaarinen n n-matriisin B kanssa, niin differentiaaliyhtälö x = Bx alkuarvolla x(0) = x 0 voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla. Pätee siis A = CBC jollain kääntyvällä matriisilla C. Tällöin differentiaaliyhtälön y = Ay ratkaisu alkuarvolla y(0) = Cx 0 on y = Cx. Matriisi C on siis muuttujanvaihtomatriisi, joka liittää alkuarvotehtävät toisiinsa. Muodostetaan nyt 3-ulotteinen esimerkki, jossa käytetään myös muuttujanvaihtoa.