YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA suppean suhteellisuusteorian yleistys mielivaltaisiin, ei-inertiaalisiin koordinaatistoihin teoria painovoimasta lähtökohta: periaatteessa kahdenlaisia massoja F mia hidas, inertiaalinen massa GM r G F m G e r painava massa Einstein: oletetaan m G m I putoaminen ei riipu massasta GM r a G e r
http://arhive.nsa.uiu.edu/ painovoimaa ja kiihtyvyyttä ei voi erottaa toisistaan Einstein: elämäni onnellisin ajatus vapaassa pudotuksessa henkilö ei tunne omaa painoaan
paikallinen (hetkellinen) inertiaalijärjestelmä v(t) v(t+δt) lokaalisti ei painovoimaa vapaa pudotus v(t+nδt) gravitaatio valevoima : koordinaattiefekti 3
maan pinta gravitaatio valitsee koordinaatiston sähkömagneettiset voimat 4
voimalta näyttää - tässä koordinaatistossa ei voimia vahva ekvivalenssiperiaate: painovoima eliminoituu paikallisessa inertiaalijärjestelmässä kaikissa vuorovaikutuksissa suppea suhteellisuusteoria aina voimassa paikallisesti (hetkellisesti) 5
heuristinen tarkastelu: ekvivalenssiperiaate a la suppea suhteellisuusteoria g potentiaali h fotoni a V g gh V x V 0 V gh fotoni osuu pohjaan ajassa h/ toisaalta pohja liikku nopeudella v = gt = gh/ fotoni saapuu pohjalle ajassa t ' t t t vt gh h gh 3 V h gh myös Maan gravitaatiopotentiaalissa = gravitaation aiheuttama muutos kellon käymiselle 6
KAKSOSPARADOKSI a la EKVIVALENSSIPERIAATE huomioidaan nyt kiihtyvyyden vaikutus käyttämällä ekvivalenssiperiaatetta d A B menomatkalla B:n koordinaateissa paluumatka: t t t A tb v A B d v t B jarruttaa ja kiihdyttää määränpäässä vakiokiihtyvyydellä g v A tb d v B kokee kiihtyvyden g, joten A:n kello edistää tekijällä gd/ ajan Δt turn g t turn v kiihtyvyys kumoutuu! t A t B vd gd t turn gd v g vd ( ) t B 7 OK
Jos gravitaation olemassaolo riippuu koordinaatistosta gravitaatio avaruuden ominaisuus PÄÄTELLÄÄN: Gravitaatio riippuu massasta avaruuden ominaisuudet riippuvat massasta suppea suhteellisuusteoria: massa on energiaa avaruuden ominaisuudet riippuvat massasta ja energiasta suppea suhteellisuusteoria: aika ja avaruus naimisissa ajan ja avaruuden ominaisuudet riippuvat massasta ja energiasta 8
Yleisen suhteellisuusteorian dynaaminen aika-avaruus Aika ja avaruus eivät ole kiinteitä vaan muodostavat dynaamisen näyttämön, jonka paikalliseen muotoon ( käyristymiseen ) massa ja energia vaikuttaa Massa ja energia määräävät, miten aika-avaruuden sisäisen rakenteen tulee käyristyä Avaruus määrää, miten kappaleet liikkuvat; nämä määräävät, miten avaruus käyristyy = takaisinkytkentä 9
MITKÄ OVAT HYVÄKSYTTÄVIÄ KOORDINAATISTOJA? YLEINEN SUHTEELLISUUSPERIAATE: kaikki! Kaikki matemaattisesti säännölliset koordinaatistot ovat yhdenvertaisia Suppea suhteellisuusteoria: fysiikka sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa x x = L(v) x Lorentz-muunnos Yleinen suhteellisuusteoria: fysiikka sama kaikissa koordinaatistoissa x x = G(x) Yleinen koordinaattimuunnos 0
MITEN NIIN KAAREVA? formaalisti: d analogia d y x ylimääräistä ulottuvuutta, jonne kaareutuminen tapahtuu, ei oikeasti ole olemassa avaruuden metriset ominaisuudet ei-triviaalit avaruudella sisäinen rakenne voidaan formaalisti ilmaista käyristymisenä
suoraviivainen liike käyristyneessä avaruudessa näyttää käyräviivaiselta liikkeeltä suoraviivaisissa koordinaateissa geodeetti paikallisesti Minkowski suppea suhteellisuusteoria voimassa paikallisesti
yleinen suhteellisuusteoria painovoima = avaruuden käyristyminen Einstein 96 massa, energia välimatkat, kellojen käynti 3
MINKOWSKI: ds dt dx dy dz kiinteä avaruus-aika YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA avaruusaika on dynaaminen ds g 3, 00 g ( t, x) dx dx g 0 dx 0 dx 0 g 0 dx 0 dx dx... dx g 33 dx 3 dx 3 yleinen mv. koordinaatisto g ( t, x) metriikka, metrinen perustensori: 4 4 matriisi tuntematon funktio, joka pitää ratkaista liikeyhtälöistä g ( t, x) g ( t, x) yleisen suhteellisuusteorian metriikka symmetrinen 0 tuntematonta funktiota 4
4-ulotteisen avaruuden aika- ja avaruusintervallien mittaukset riippuvat paikasta ja ajasta sekä massaenergiasta, joka määrittää avaruuden muodon ds g dx dx t,x t,x 5
MIKÄ MÄÄRITTÄÄ METRIIKAN liikeyhtälöt = Einsteinin kenttäyhtälöt muotoa GEOMETRIA [ g ] DYNAMIIKKA [ E, p] g g [ AINE, ENERGIA ] kenttä MITKÄ SITTEN OVAT KENTTÄYHTÄLÖT? 6
7 NEWTON r GM V V m ma F gravitaatiopotentiaali hek: r z y x z y x r GM r GM r z y x GM V jne r x z y x x z y x x r x r z y x GM V e r e e e e e e 3 3 3 3/ ] [. ) ( gravitaatiolaki OK
jos pistemäisen massan sijasta meillä on massajakauma M M ( r) ( r) V tilavuus 4 3 r 3 tämä steppi edellyttää ei-triviaalia matematiikkaa vakiotiheydelle 3GM V V GM 4 3 x y z r r G V 4 G Poissonin yhtälö ei Lorentz-kovariantti: arvo muuttuu siirryttäessä koordinaatistosta toiseen 8
Miten siis yleistetään? t? vrt. aaltoyhtälö ei riitä: Poissonin yhtälön oikea puoli ei sekään ole Lorentz-kovariantti ' M V / Lorentz-kontraktio liikkeen suunnassa v=0 v 0 yleistys on monimutkainen! (ja vei Einsteinilta 9 vuotta löytää) 9
V G Einsteinin tensori metriikan funktio T energia-impulssitensori riippuu aineen ominaisuuksista 8 G G T Einsteinin yhtälö 4. kertaluvun differentiaaliyhtälö metriikan komponenteille g tunnetaan kun aine tunnetaan 0 yhtälöä ratkaistaan metriikka g (t,x) kun aine tunnetaan MASSAENERGIA MÄÄRÄÄ AVARUUDEN GEOMETRIAN 0
ESIMERKKI ideaalikaasu = lämpötasapainossa oleva kaasu paine p, energiatiheys esim varhainen maailmankaikkeus energia-impulssitensori tunnetaan myös massaenergia (E=m ) Einsteinin yhtälöt ovat G G G 00 ii 8 G 4 8 G 4 0 p i,,3 statistinen fysiikka tilanyhtälö esim relativistinen (v ~ ) kaasu p 3
kun v << 8 G T V G 4 Einstein Poisson OK G 4 Massa ja energia käyristävät avaruutta. Mutta entä kun ollaan kaukana massoista? g = Minkowski + pieni häiriö = + h Einsteinin yhtälöt aaltoyhtälö t h 0 pienet avaruusajan häiriöt etenevät aaltoina, joiden nopeus on valon nopeus = gravitaatioaallot kuljettavat energiaa
epäsuora havaitseminen staattinen tähti staattinen avaruusaika sopiva liike väreitä avaruusaikaan kuva: NASA kaksoistähti 3
Kaksoispulsari PSR 93+6 (973) Hulse & Taylor: Nobel 993 Taylor, J.H., Fowler, L.A. and Weisberg, J.M. 979, Nature 77, 437 4
ASYMMETRISET ILMIÖT GRAVITAATIOAALTOJA törmäykset: neutronitähdet, mustat aukot supernovaräjähdykset galaksiräjähdykset jne ohimenevä metristen ominaisuuksien muutos: kellojen käynti, pituusmittaus valonsäde gravitaatioaalto avaruusaika paikallisesti Minkowski (esim. maapallolla sijaitsevan mittalaitteen ympäristössä voidaan periaatteessa havaita maapallolla 5
avaruusaika on jäykkää pieni efekti kahden valkoisen kääpiön muodostama systeemi n. 50 valovuoden etäisyydellä gravitaatioaaltoja, jotka muuttavat etäisyyksiä tekijällä 0-0 m miten mitata? esimerkki: peili gravitaatioaalto interferenssikuvio muuttuu kun valonsäteen kulkuaika muuttuu 6
LIGO Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory, USA ~4 km 7
LISA Laser Interferometer Spae Antenna NASA+ESA http://lisa.nasa.gov/ 3 satelliittia lentää muodostelmassa, etäisyys ~5 miljoonaa km laukaisu 08? 8