PRO GRADU -TUTKIELMA MONIKULMIOIDEN MÄÄRITELMIEN JA OMINAISUUKSIEN OSAAMISESTA PERUSKOULUN YLÄLUOKILLA JA LUKIOSSA

PRO GRADU -TUTKIELMA MONIKULMIOIDEN MÄÄRITELMIEN JA OMINAISUUKSIEN OSAAMISESTA PERUSKOULUN YLÄLUOKILLA JA LUKIOSSA Tampereen yliopisto, Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos, Informaatiotieteiden tiedekunta, Kokkonen Annika, 73315 Kesä 5

1 Sisällysluettelo: 1. JOHDANTO...4 2. TUTKIMUSKYSYMYKSET...5 2.1 Geometrian osaaminen...5 2.1.1 Kassel -projekti...5 2.1.2 Timms -tutkimus...7 2.1.3 OPS...8 2.2 Tyttöjen ja poikien väliset erot matematiikassa...9 2.2.1 PISA 3 tutkimus...9 3. TUTKIMUKSEN TAUSTALLA OLEVA TEORIA...11 3.1 Matemaattinen teoria...11 3.1.1 Määritelmät...11 3.1.2 Monikulmioiden hierarkia...12 3.2 Van Hielen teoria...13 4. AINEISTO...16 4.1 Lomakkeen laadinta...16 4.2 Tutkimuslomake...16 4.3 Aineiston kerääminen...17 4.4 Tutkimuslomakkeen pisteytys...18 5. TUTKIMUSTULOKSET... 5.1 Tulosten analysointi... 5.2 Tutkimustuloksiin vaikuttaneita tekijöitä...21 5.3 Ensimmäisen osion tutkimustulokset...21 5.3.1 Monikulmioiden nimeämistehtävät...21 5.3.2 Monikulmioiden piirtämistehtävät...23 5.4 Toisen osion väitetehtävät...24 5.4.1 Väite 1: Kolmion kulmien summa on 18º....24 5.4.2 Väite 2: Tasakylkisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä...24 5.4.3 Väite 3: Suorakulmainen kolmio ei voi olla tasasivuinen....25 5.4.4 Väite 4: Neliö on myös suunnikas...26 5.4.5 Väite 5: Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät...27 5.4.6 Väite 6: Säännöllisen monikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät, mutta kulmat voivat olla erisuuruiset...28

2 5.4.7 Väite 7: Monikulmion lävistäjä on jana, joka yhdistää kaksi monikulmion kärkeä, mutta ei ole monikulmion sivu....29 5.5 Kolmannen osion suorakulmion määritelmä...3 5.5.1 Luokka-asteen vaikutus määritelmän osaamiseen...32 5.5.2 Sukupuolen vaikutus määritelmän osaamiseen...33 5.6 Tehtävä: Mikä kolmiossa on väärin?...33 5.7 Testin kokonaispistemäärien vertailu...35 5.7.1 Sukupuolen vaikutus kokonaispistemäärään...35 5.7.2 Luokka-asteen vaikutus kokonaispistemäärään...35 5.7.3 Matematiikan numeron vaikutus kokonaispistemäärään...36 5.8 Avoimet kysymykset...37 5.8.1 Geometria ja arkielämä...37 5.8.2 Oppilaiden kokemat vaikeudet...38 5.9 Oppilaiden sijoittuminen van Hielen tasoille...39 5.9.1 Oppilaiden sijoittuminen eri tasoille luokka-asteen mukaan...4 5.9.2 Oppilaiden sijoittuminen eri tasoille sukupuolen mukaan...41 6. JOHTOPÄÄTÖKSET...42 7. LÄHTEET...44

3 Tiivistelmä Tutkimukseni tarkoituksena oli selvittää yläluokkien ja lukion oppilaiden monikulmioiden määritelmien ja ominaisuuksien osaamista. Halusin tutkia, miten näiden asioiden osaaminen laajenee siirryttäessä alemmilta luokka-asteilta ylemmille luokka-asteille ja pitääkö paikkaansa yleisesti matematiikassa tunnettu käsitys, että pojat hallitsevat matematiikkaa paremmin kuin tytöt? Lisäksi tutkin pärjäävätkö matematiikan numeron perusteella paremmat oppilaat heikompia oppilaita paremmin myös geometrian osa-alueella. Tutkimukseni pohjana käytän Van Hielen teoriaa. Teoriassa geometrian osaaminen on jaettu viiteen eri tasoon, joiden avulla kuvataan geometrisen ajattelun kehittymistä. Tasot ilmentävät geometriseen ajatteluun sisältyviä laadullisia muutoksia, jotka toistuvat eri yksilöiden ajattelun kehityksessä samantapaisina ja samassa järjestyksessä, mutta eivät välttämättä samassa tahdissa. Tutkimustani varten laadin kyselylomakkeen, joka oli jaettu kolmeen osaan: monikulmioiden nimeäminen ja piirtäminen, väitetehtävät ja avoimet tehtävät. Jokaisen osion tarkoitus on tutkia asioiden osaamista hieman eri näkökulmasta. Lomakkeen alussa kysyttiin tutkittavien taustatiedot eli sukupuoli, luokka-aste ja edellisen todistuksen matematiikan numero. Tein empiirisen tutkimuksen Tampereen Normaalikoulussa keväällä 5. Tutkimukseen osallistui yksi 7-luokka, yksi 9-luokka ja yksi lukion toisen vuosikurssin luokka, jossa oli sekä lyhyttä että pitkää matematiikka lukevia opiskelijoita. Yhteensä oppilaita oli 58. Oletin, että monikulmioiden määritelmien ja ominaisuuksien osaaminen paranee siirryttäessä peruskoulusta lukioon. Ajattelin kuitenkin, että asioiden todellinen osaaminen ei ole kovin hyvä, koska säännöt ja määritelmät opetellaan usein ulkoa ymmärtämättä niiden todellista sisältöä. Lisäksi oletin, että matematiikan paremman arvosanan saaneet oppilaat hallitsevat geometrian asiat paremmin kuin heikomman arvosanan saaneet ja että pojat olisivat tyttöjä hieman parempia. Tutkimustuloksiksi sain, että ensimmäisessä ja toisessa osiossa tytöt olivat osanneet tehtävät poikia paremmin. Erot poikien ja tyttöjen välillä eivät olleet kuitenkaan tilastollisesti merkitseviä. Pojat olivat tyttöjä parempia ainoastaan kolmannessa osiossa. Peruskoulun 7 luokkalaiset olivat pärjänneet tutkimuksessa hyvin verrattuna ylempien luokka-asteiden suorituksiin. Lukion lyhyen matematiikan opiskelijat olivat suoriutuneet tutkimuksesta heikosti, koska heidän kokonaispisteiden keskiarvo oli kaikista luokka-asteista huonoin. Peruskoulun 9 luokkalaiset ja lukion pitkän matematiikan opiskelijat taas olivat osanneet tehtäviä odotuksieni mukaan.

4 1. Johdanto Geometria on matematiikan ala, jossa käsitellään erilaisia kuvioita, niiden ominaisuuksia ja piirtämistä. Se on saanut alkunsa arkipäivän tarpeista. Geometrian avulla pystymme ratkaisemaan esimerkiksi maanmittaukseen, rakentamiseen ja ajanlaskuun liittyviä ongelmia. Alun perin sana geometria tarkoittikin maanmittausta. Itsenäiseksi matematiikan osa-alueeksi geometria kehittyi antiikin Kreikassa, missä Eukleides kokosi n. 3 ekr. kreikkalaisen kulttuurin geometrian tiedon 13 kirjan kokoelmaksi. Niissä esitetään sen ajan geometrinen tietous aksiomeihin perustuvana loogisena järjestelmänä. Tästä syystä euklidista geometriaa pidetään tieteellisen ajatustyön lähtökohtana, joka on ohjannut matematiikan kehitystä halki vuosisatojen. Nykyisin matematiikassa geometrialla ei ole niin yksiselitteistä merkitystä kuin sillä on aikaisemmin historiassa ollut. Tämä työn tarkoituksena on selvittää monikulmioiden määritelmien ja ominaisuuksien osaamista ja oppimisen ongelmia peruskoulun yläluokilla ja lukiossa. Valitsin tämän aiheen siksi, että minua kiinnostaa geometria sen haasteellisuuden ja laaja-alaisuuden takia. Valmistun opettajaksi ja koen, että voin tulevaisuudessa tutkimustuloksieni avulla ymmärtää oppilaideni ongelmia paremmin sekä auttaa oppilaita uusien opetusmetodien kautta ymmärtämään geometriaa paremmin.

5 2. Tutkimuskysymykset Tutkimuksessa on kolme ongelmaa. Ensimmäiseksi haluan selvittää kuinka oppilaiden monikulmioiden hallinta laajenee ja mitä vaikeuksia oppimisessa on siirryttäessä alemmilta luokka-asteilta ylemmille luokka-asteille. Toiseksi haluan selvittää, pitääkö paikkaansa yleisesti matematiikassa tunnettu käsitys, että pojat hallitsevat matematiikkaa paremmin kuin tytöt ja kolmanneksi tutkin pärjäävätkö matematiikan numeron perusteella paremmat oppilaat heikompia oppilaita paremmin myös geometrian osa-alueella. 2.1 Geometrian osaaminen Oletuksenani on, että osaaminen laajenee siirryttäessä peruskoulusta lukioon. Kuitenkaan oppilaiden geometrian asioiden ymmärtäminen ei ole kovin hyvää. Säännöt ja määritelmät opetellaan ulkoa ilman, että ymmärretään, mitä ne todella tarkoittavat. Lisäksi oletan, että matematiikan paremman arvosanan saaneet oppilaat hallitsevat asiat paremmin kuin heikomman arvosanan saaneet ja että pojat olisivat tyttöjä hieman parempia matematiikassa. Seuraavaksi esittelen kaksi kansainvälistä matematiikan tutkimusta, Kassel -projektin ja Timms -tutkimuksen, joiden pohjalta olen edelliset olettamukseni tehnyt. Lopuksi käyn läpi vielä valtakunnallisen opetussuunnitelman, jotta tiedän, mitä asioita eri luokka-asteiden oppilaiden pitäisi hallita. 2.1.1 Kassel -projekti Kassel -projekti on kansainvälinen tutkimus, joka käsittelee yläasteikäisten oppilaiden matemaattisten taitojen kehittymistä. Projekti aloitettiin vuonna 1993 Kasselin yliopiston ja Exeterin yliopiston välisenä yhteistyönä. Vuoteen 1997 mennessä projektiin oli jo osallistunut Suomen lisäksi 16 eri maata eri puolilta maailmaa. Suomessa tutkimukseen osallistui 477 oppilasta 25 eri luokalta 19 eri koulusta ympäri Suomea. Lähtötestauksessa vuonna 1994 kaikki Suomesta osallistuneet oppilaat olivat vuosiluokalla seitsemän. Näiden oppilaiden matemaattisten taitojen kehittymistä tutkittiin koko heidän yläluokkien ajan [Soro & Pehkonen 1998, s.11-14].

6 Kassel -projektin kokeiden tavoitteena oli selvittää oppilaiden matemaattisia taitoja. Tutkimuslomakkeen tehtävät käsittelivät monia matematiikan eri osa-alueita, kuten esimerkiksi avaruudellista hahmottamista, ongelmaratkaisua, lukukäsitteiden ymmärtämistä ja käyttöä. Suurin osa tehtävistä oli lyhyitä ja rajattuja. Avoimia tehtäviä ei ollut lainkaan. Osa tehtävistä oli mekaanisia ja osa soveltamista vaativia. Tutkimus ei testannut pelkästään matematiikan sääntöjen muistamista, vaan myös oppilaiden päättely taitoja [Soro & Pehkonen 1998, s.19]. Kassel -projektin tutkimustuloksista on esitetty hieman ristiriitaisia näkemyksiä. Pehkonen ja Soro ovat sitä mieltä, että tutkimuksen tulokset antavat surullisen kuvan suomalaisen yläasteen oppilaiden taidoista geometriassa. Heidän tutkimuksessaan vertaillaan Kassel -projektissa Suomen, Englannin, Kreikan, Saksan, Unkarin ja Norjan menestymistä keskenään. Vertailussa Unkari sai korkeimmat pistemäärät. Kuuden vertailumaan keskiarvo oli 59,6 pistettä, joista Unkari, Saksa ja Kreikka olivat keskiarvon yläpuolella ja Englanti, Suomi ja Norja jäivät taas keskiarvon alapuolelle [Pehkonen & Soro 1998, s.33-35]. Toisaalta taas Seppälä, joka kommentoi Pehkosen ja Soron tutkimusta Dimensio lehdessä, on sitä mieltä, että Suomen tutkittavien oppilaiden tulostaso ei poikennut mainittavasti muiden tutkittavien maiden tulostasosta. Seppälän mukaan tulokset geometriassa ovat pitkällä aikavälillä jopa parantuneet [Seppälä 1997, s.27-28]. Olen Pehkosen ja Soron näkemyksen kanssa samaa mieltä siitä, että Suomen kouluissa geometrian laaja-alainen hallinta ei ole kovin hyvällä mallilla. Tämä johtuu mielestäni siitä, että usein oppilaat opettelevat geometrian määritelmät ulkoa ilman, että he ymmärtävät mistä on oikein kyse. Toisaalta tästä asiasta ei voi syyttää oppilaita vaan pikemminkin opettajia, jotka eivät ole vaatineet oppilailtaan asioiden ymmärtämistä, vaan ovat antaneet heidän opetella asiat ulkoa. Koska Kassel -projekti tutkimuksen tehtävät vaativat myös asioiden soveltamista, ei voikaan olettaa, että oppilaat olisivat pärjänneet näissä tehtävissä kovin hyvin. Seppälän näkemysten puolella olen taas siinä, että yleisesti Suomessa kuitenkin hallitaan matematiikan osa-alueesta geometria melko hyvin, vaikka tietoja ei osatakaan soveltaa käytännössä. Geometrian säännöt siis hallitaan, mutta niiden soveltamisessa olisi vielä paljon opittavaa.

7 Tekemääni tutkimusta ei voi aivan suoraan verrata Kassel -projektin tutkimukseen, koska se oli tehty samoille oppilaille useana vuotena peräkkäin. Minä taas vertasin eri ikäryhmien tasoa toisiinsa, enkä tutkinut samojen oppilaiden kehitystä. 2.1.2 Timms -tutkimus Kansainvälisen matematiikka- ja luonnontiedetutkimuksen TIMSS 1999 tarkoituksena oli mitata ja vertailla oppimista, joka tapahtuu niiden kouluvuosien aikana, jolloin opitaan perustaidot. Tutkimukseen osallistui 38 maata ympäri maailmaa. Suomesta siihen osallistui 29 oppilasta 159 eri koulusta. Tutkimuksessa testattiin 7- luokkalaisten osaamista tehtävillä, joista puolet oli matematiikan ja puolet luonnontieteen tehtäviä. Kysymysten joukossa oli helppoja, keskivaikeita ja vaikeita tehtäviä, jolloin tutkimuksesta saatiin mahdollisimman luotettava. Kansainvälisesti tarkastellen Suomi sijoittui keskitasolle ja myös OECD-maiden välisessä vertailussa tulokset olivat samansuuntaisia. Tulosten tarkempi tarkastelu kuitenkin osoittaa, että Suomalaisten 7-luokkalaisten osaamisessa oli monia puutteita ja ongelmakohtia. Esimerkiksi yksi heikoimmin hallituista osa-alueista oli geometria. Selkeitä puutteita oppilaiden osaamisessa näkyi käsitteellisessä osaamisessa, joka tarkoittaa mm. ominaispiirteiden ja yhteyksien osaamista, säännönmukaisuuksien tunnistamista ja yleistämistä. Timms -tutkimus tukee oletuksiani siitä, että vaikka geometrian osaaminen olisi hyvää keskitasoa, ymmärtämisessä voi olla puutteita. Kuten jo aikaisemminkin mainitsin, uskon, että säännöt opetellaan ulkoa sen sijaan, että ne ymmärrettäisiin. Jos sääntöjä ja geometrian monikulmioiden hierarkiajärjestelmää ei ymmärretä, on oppilailla myöhemmin suuria ongelmia soveltamisessa. Peruskoulussa tavoitteena onkin oppia perustaidot myöhempiä kouluvuosia silmällä pitäen [TIMMS].

8 2.1.3 OPS Opetussuunnitelma on kansallinen kehys, jonka pohjalta jokaisen paikkakunnan oma opetussuunnitelma laaditaan. Siinä päätetään perusopetuksen kasvatus- ja opetustyöstä ja täsmennetään perusteissa määriteltyjä tavoitteita. Perusopetuksen opetussuunitelmaa laadittaessa on otettava huomioon perusopetuksen yhtenäisyys sekä muut kunnassa tehdyt nuoria ja koulutusta koskevat päätökset. Opettajan tulee opetuksessaan noudattaa opetussuunnitelmaa, minkä vuoksi kaikissa Suomen kouluissa samaa luokka-astetta käyvien oppilaiden pitäisi hallita samat asiat. Käsittelen tässä kohdassa opetussuunnitelmasta vain geometrian monikulmioihin liittyvät asiat. Opetussuunnitelmassa kuudes-yhdeksäsluokkalaisten geometrian osaamisen tavoitteiksi ovat määritelty kulmien välisten yhteyksien ymmärtäminen, kolmioiden ja nelikulmioiden käsitteiden hallinta, säännöllisten monikulmioiden osaaminen, erilaisten kappaleiden nimeäminen ja luokittelu sekä geometrian konstruoinnin alkeiden hallinta. Hyvän arvosanan saavan oppilaan tulisi tunnistaa erilaiset geometriset muodot ja tuntea niiden ominaisuudet, soveltaa kahden kulman välisiä yhteyksiä yksinkertaisissa tilanteissa sekä suorittaa mittauksia ja niihin liittyviä laskelmia. Lukion lyhyessä matematiikassa geometrian kurssin tavoitteina on kerrata yläkoulussa opittuja peruskäsitteitä, tunnistaa eri kuvioiden ominaisuuksia ja harjaantua niihin liittyvien havaintojen ja päätelmien tekemiseen sekä oppia ja vahvistaa piirtämistaitoja. Lisäksi lyhyen matematiikan tavoitteena on oppia ratkaisemaan käytännön ongelmia ja oppia pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. Lukion pitkän matematiikan tavoitteena on geometristen ongelmien ratkaisu, lauseiden muodostaminen, perustelu ja käyttö. Lisäksi oppilaiden pitäisi hallita tilan ja muodon hahmottaminen kaksi ja kolmeulotteisissa tilanteissa. Geometrian kurssilla käsiteltäviä asioita ovat myös geometrian peruskäsitteiden kertaaminen ja kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen [OPS].

9 2.2 Tyttöjen ja poikien väliset erot matematiikassa Yleisesti oletetaan, että pojat ovat tyttöjä parempia matemaattisissa aineissa, ja että tyttöjen itsetunto on heikompi kuin poikien. Pitävätkö nämä väitteet todella paikkaansa? Esittelen kansainvälisen PISA 3 tutkimuksen, mikä tukee tekemääni oletusta siitä, että pojat olisivat hieman parempia geometriassa kuin tytöt. 2.2.1 PISA 3 tutkimus Pisa tutkimusohjelman tarkoituksena on selvittää 15-vuotiaiden nuorten lukutaidon, matematiikan ja luonnontieteiden osaamista kolmen vuoden välein. Tässä käsittelen tutkimustuloksista vain tyttöjen ja poikien välisiin eroihin liittyviä tutkimustuloksia. PISA 3 -tutkimuksessa päätutkimusalueena oli matematiikka, minkä osaamisella tarkoitetaan tässä sitä, miten nuoret kykenevät hyödyntämään matemaattisia taitojaan arkielämän tilanteissa. Tutkimukseen osallistui yhteensä 41 maata ympäri maailmaa. Suomesta siihen osallistui yhteensä 6235 oppilasta 197 eri koulusta, joista 147 oli suomenkielisiä ja loput 5 ruotsinkielisiä kouluja. Yleisesti oletetaan, että pojat ovat parempia matemaattisissa aineissa kuin tytöt. Myös PISA 3 -tutkimuksen tulokset tukevat tätä ajatusta. Vain Islantia ja Thaimaata lukuun ottamatta, poikien suoritustaso oli tyttöjä parempi. Suomessa kuitenkin sukupuolien väliset erot olivat melko pieniä, sillä poikien pisteiden keskiarvo oli 548 ja tyttöjen 541. Keskiarvojen ero oli ainoastaan siis seitsemän pistettä. Suomessa poikien ja tyttöjen matematiikan suoriutumisen tasaisuudesta kertoo myös se, että eri tavoin suoriutuneiden oppilaiden joukossa oli hyvin samansuuruinen määrä sekä poikia että tyttöjä. Tutkimuksessa oli tehtäviä, joista osa oli suljettuja ja osa avoimia. Suljetuissa tehtävissä oppilaan piti joko valita valmiista vastausvaihtoehdoista oikea tai oikeat vaihtoehdot tai hänen piti tuottaa yksinkertaisia vastauksia. Avoimien tehtävien vastaukset olivat monipuolisempia ja niiden avulla tapahtui korkeamman asteen ajattelun taitojen arviointi. Matematiikan osaaminen oli jaettu neljään eri osaalueeseen: tila ja muoto, määrällinen ajattelu, epävarmuus ja muutos

1 ja yhteydet. Yksityiskohtaisemmassa tarkastelussa sukupuolten väliset erot näkyivät eri tavalla näillä neljällä eri osa-alueella. Suomessa tyttöjen ja poikien väliset erot olivat pienimmät alueilla tila ja muoto sekä määrällinen ajattelu. Alueilla epävarmuus ja muutos ja ajattelu erot olivat vastaavasti suurimmat. Yleisesti ottaen Suomi sijoittui kaikilla osa-alueilla tutkimusmaiden kärkipäähän. Lukutaidossa Suomi oli ensimmäinen, matematiikassa neljäs ja luonnontieteissä kolmas [PISA].

11 3. Tutkimuksen taustalla oleva teoria 3.1 Matemaattinen teoria Seuraavaksi esittelen työssäni tarvittavien monikulmioiden määritelmät ja niiden hierarkian. Ensin kuitenkin selvitän, mikä matematiikassa on määritelmä. Matematiikassa määritelmän tarkoitus on täsmällisesti esittää jonkin käsitteen merkitys. Määritelmän on annettava välttämättömät ja riittävät ehdot sille, että jokin olio kuuluu määriteltävän käsitteen alaan. Toisin sanoen määritelmän on ilmaistava ne ehdot, jotka ovat siinä erityisessä mielessä välttämättömät. Mikään olio, joka ei niitä ehtoja täytä, ei myöskään voi kuulua määriteltävän käsitteen sovellusalaan. Toisaalta määritelmän ehdot ovat taas riittävät. Tämä tarkoittaa, että jokainen olio, joka toteuttaa ehdot, kuuluu suoraan tämän perusteella käsitteen alle. Määritelmässä ei siis luetella kaikkia ominaisuuksia, joita kyseisestä oliosta tiedetään. 3.1.1 Määritelmät (1) Monikulmion määritelmä: Peräkkäin toisiinsa liitettyjen janojen muodostamaa viivaa kutsutaan murtoviivaksi. Umpinaisen itseään leikkaamattoman murtoviivan rajaamaa tason osaa sanotaan monikulmioksi. (2.1) Tasakylkisen kolmion määritelmä: Tasakylkisen kolmion vähintään kaksi sivua ovat yhtä pitkät. (2.2) Tasasivuisen kolmion määritelmä: Tasasivuisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät. (2.3) Suorakulmaisen kolmion määritelmä: Suorakulmaisen kolmion yksi kulma on 9. (3.1) Suunnikkaan määritelmä: Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.

12 (3.2) Puolisuunnikkaan määritelmä: Puolisuunnikas on nelikulmio, jonka toiset vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja toiset vastakkaiset sivut erisuuntaiset. (3.3) Neljäkkään määritelmä: Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät. (3.4) Suorakulmion määritelmä: Suorakulmio on nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat suoria. (3.5) Neliön määritelmä: Neliö on nelikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kulmat ovat suorat. (4) Säännöllisen monikulmion määritelmä: Säännöllisen monikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat ovat yhtä suuria. 3.1.2 Monikulmioiden hierarkia

13 Monikulmioiden hierarkiakaaviolla haluan havainnollistaa monikulmioiden keskinäisiä suhteita. Kaaviossa ylimpänä ovat yleisimmät tapaukset ja alimpana vastaavasti monikulmioiden erikoistapaukset. Yksittäinen monikulmio on siis niiden monikulmioiden erikoistapaus, jotka ovat kaaviossa sen yläpuolella ja joihin sille on merkitty yhteys janoilla. Tämä tarkoittaa myös sitä, että jokaisella monikulmiotyypillä on omien erityispiirteidensä lisäksi myös niiden monikulmioiden erityispiirteet, jotka ovat sitä ylempänä ja joihin sille on merkitty yhteys. Esimerkiksi tasasivuinen kolmio on myös samalla tasakylkinen kolmio, kolmio ja monikulmio. Mikäli monikulmiot ovat samalla tasolla vaakasuunnassa ja niiden välille on merkitty yhteys janalla, tarkoittaa tämä sitä, että monikulmiot voivat täyttää samalla tasolla olevien monikulmioiden piirteet, mutta tämä ei ole kuitenkaan välttämätön ehto. Siis tasakylkinen kolmio voi olla suorakulmainen, mutta näin ei välttämättä tarvitse kuitenkaan olla. Hierarkiakaaviota pitää lukea hyvin tarkasti. Esimerkiksi neljäkäs ei ole aina suorakulmio, sillä niiden välillä ei ole suoraa yhteyttä toisiinsa. Sopivasti valittuna neljäkäs voi kuitenkin olla suorakulmio, joka käytännössä tarkoittaa sitä, että neljäkäs on silloin neliö. Kolmiot olen luokitellut niiden kylkien ominaisuuksien mukaan, koska se on työni tulosten tarkastelun kannalta hyödyllisempää. Kaaviosta tulisi hieman erilainen, mikäli kolmiot olisi luokiteltu kolmion kulmien ominaisuuksien mukaan. 3.2 Van Hielen teoria Van Hielen tasojen avulla kuvataan geometrisen ajattelun kehittymistä. Tasot ilmentävät geometriseen ajatteluun sisältyviä laadullisia muutoksia, jotka toistuvat eri yksilöiden geometrisen ajattelun kehityksessä samantapaisina ja samassa järjestyksessä, mutta eivät välttämättä samassa tahdissa. Geometrisen ajattelun yleispiirteet van Hielen tasoilla ovat seuraavat: Taso 1 eli visualisoinnin taso Tasolla yksi tarkastelun kohteina ovat opittavan kokonaisuuden peruselementit. Kuvioita käsitellään kokonaisuuksina ja visuaaliseen havaintomaailmaan kuuluvina. Kuvioiden tunnistaminen, nimeäminen, lajittelu, vertailu, kuvailu ynnä muu sellainen

14 suoritetaan kuvion visuaalisen kokonaishahmon eikä kuvion ominaisuuksien perusteella. Geometristen peruskuvioiden tavanomaiset esimerkkitapaukset osataan tunnistaa ja nimetä. Peruskuvioiden malliesimerkit osataan visualisoida ja piirtää. Taso 2 eli ominaisuuksien analysoinnin taso Tällä tasolla opitaan peruselementtien ominaisuudet. Kuviot tulkitaan ominaisuuksiensa kantajiksi. Kuvioita tarkastellaan niiden ominaisuuksien näkökulmasta. Ominaisuuksia käsitellään siinä mielessä erillisinä, että niiden keskinäisiin loogisiin riippuvuussuhteisiin ei kiinnitetä huomiota. Kuviota osataan analysoida ja verrata keskenään ominaisuuksien avulla eikä pelkän visuaalisen samankaltaisuuden tai erilaisuuden perusteella. Ominaisuuksien analysoinnin tasolla löydetään ja käytetään hyväksi kaikkia tiettyyn kuvioluokkaan kuuluvia kuvioita yhdistäviä ominaisuuksia. Taso 3 eli ominaisuuksien järjestämisen taso Tasolla kolme tärkeimmäksi huomioitavaksi seikaksi nousevat peruselementtien ominaisuuksien suhteita kuvaavat lauseet. Tällä tasolla kuvioiden ominaisuuksilla on loogisten suhteiden luomaa sisäistä järjestystä. Deduktiota pystytään seuraamaan ja käyttämään hyväksi lyhyissä päättelyissä. Määritelmiä osataan muotoilla ja kuvioiden määrittelevistä ominaisuuksista tunnistetaan riittävät ja välttämättömät ominaisuudet. Määritteleviä ominaisuuksia osataan käyttää hyödyksi tutkittaessa sisältyykö kuvioluokka toiseen vai ei. Taso 4 eli formaalin päättelyn taso Tällä tasolla tarkastellaan ominaisuuksien suhteita kuvaavien lauseiden jonoja. Pyritään siihen, että systemaattisen, deduktiivisen geometrian edellyttämä ajattelutapa hallitaan. Kyetään annetusta tiedosta päättelemään seurauksia ja todistamaan geometrisia lauseita itsenäisesti. Probleeman annetut tiedot ja osoitettavaksi edellytetyt tiedot osataan erottaa toisistaan. Määritelmän, aksiomin ja lauseen välinen ero samoin kuin lauseen ja sen käänteislauseen sekä ehtojen välttämättömyyden ja riittävyyden ero ymmärretään.

15 Taso 5 eli aksiomisysteemin ymmärtämisen taso Tasolla viisi laajennetaan edellisen tason jonojen ominaisuuksia ja pystytään jo vertailemaan eri geometrioita keskenään tarkastelemalla niiden eroja ja yhtäläisyyksiä aksiomaattisina järjestelminä. Van Hielen teoriaan sisältyy tasojen kuvauksen lisäksi oletus siitä, että tasot toistuvat poikkeuksetta aina samassa järjestyksessä ja muodostavat näin hierarkkisen systeemin. Tällöin käy niin, että ylemmän tason kriteerien täyttyessä myös kaikkien sitä alempien tasojen kriteerit ylittyvät. Eri tasoilla tapahtuva ajattelu on kuitenkin erityyppistä ja jossain määrin yhteen sovittamatonta, joten eri tasoilla olevat eivät voi täysin ymmärtää toisiaan. Geometrisen ajattelun kehitys on lisäksi epäjatkuvaa, mikä ilmenee hyppäyksenomaisina siirtyminä tasolta toiselle. Oppilaan van Hielen taso määritetään yleensä käyttäen melko suppeata oppisisältöä, jolloin mitattu taso kuvaa ensisijaisesti kyseessä olevaan aihepiiriin liittyvää ajattelun laatua. Oppilaan ajattelun laatu voikin olla eri geometrian osa-alueilla eri tasoilla ja kehittyä eri tahtiin. Useat tutkimukset osoittavat, että oppilaiden geometrisesta ajattelusta löytyy neljän ensimmäisen tason tunnusmerkkejä niin paljon, että valtaosa oppilaista voidaan luokitella näille tasoille ja että tasojen antama kuvaus sopii geometrisen ajattelun malliksi. Valtaosaa 6-9 luokkalaisista sijoittuu tasolle kaksi ja yleisesti voidaan sanoa, että oppilaalle mitatun van Hielen tason ja oppilaan saavuttaman koulugeometrian yleisen osaamisen välillä on tilastollisesti merkitsevä yhteys [Silfverberg 1999, s.26-29].

16 4. Aineisto 4.1 Lomakkeen laadinta Valitsin tutkimustavaksi kyselylomaketutkimuksen. Sen etuina pidän sitä, että tutkija ei vaikuta läsnäolollaan vastauksiin eikä kysymysten esittämistapaan. Huonoina puolina voidaan mainita kiire, sillä yleensä kyselylomakkeen täyttämiseen käytettävissä oleva aika on kovin lyhyt, kuten minunkin tutkimuksessa. Tällöin kysymysten väärinymmärtämisen mahdollisuus kasvaa. Tutkittava ei siis aina ymmärrä kysymystä samoin kun sen laatija. Kyselylomaketutkimuksessa on vielä se huono puoli, että tutkittava ei välttämättä ota kysymyksiä niin tosissaan kuin tutkittava haluaisi. Tällöin tutkittava saattaa vastata kysymyksiin ilman, että hän ajattelisi asioita riittävän tarkasti [Aaltola & Valli 1, s.1]. Tutkimuslomakkeen laadinnassa oli otettava huomioon monta tekijää. Ensinnäkin kysymysten piti olla yksiselitteisiä, jotta tutkimustulokset olisivat mahdollisimman luotettavia. Kysymysteni pohjana olivat luonnollisesti tutkimusongelmat. Toiseksi kysymysten pituus ja oli myös otettava huomioon. Liian pitkässä lomakkeessa viimeiset kysymykset eivät jaksa enää kiinnostaa oppilaita, jolloin niihin vastataan huolimattomasti tai jätetään kokonaan vastaamatta. Aikaa tutkimuksen tekemiseen sain matematiikan opettajilta vain 15 minuuttia. Koska minulla oli näin vähän aikaa käytettävissä, valitsin suunnittelemistani kysymyksistä tutkimuksen kannalta kaikkein tarpeellisimmat ja hyödyllisimmät. Tämän vuoksi en voinut lisätä kontrollikysymyksiä, joiden avulla olisin saanut luotettavampia tuloksia. Niissä samaa asiaa olisi kysytty useampaan kertaan, jolloin olisin voinut karsia osan lomakkeista ristiriitaisten vastausten perusteella pois. 4.2 Tutkimuslomake Laadin tutkimuslomakkeen niin, että sain muodostettua kolme eritasoista osiota, joiden tarkoituksena oli selvittää, mille Van Hielen tasolle oppilas sijoittui. Osio yksi monikulmioiden nimeäminen ja piirtäminen testaa oppilaan sijoittumista Van Hielen tasolle yksi. Vastaavasti osio kaksi väitetehtävät testaa sijoittumista tasolle kaksi ja osio kolme avoimet tehtävät sijoittumista tasolle kolme. Van Hielen tasojen

17 neljä ja viisi saavuttamista ei tässä lomakkeessa tutkita, koska oletan, että näitä tasoja ei vielä tässä ikävaiheessa ole saavutettu. Tutkimuslomakkeen ensimmäisessä osiossa selvitettiin aluksi tutkittavien taustatiedot eli sukupuoli, luokka-aste ja edellisen todistuksen matematiikan numero. Osion tehtävät olivat melko helppoja, jotta jokainen oppilas pääsi helposti tehtävissä alkuun. Tehtävänä oli nimetä neljä eri monikulmiota: neliö, suunnikas, puolisuunnikas ja suorakulmainen kolmio. Lisäksi oppilaiden piti piirtää jokin suunnikas sekä piirtää ja nimetä suunnikas, jonka kaikki sivut olivat yhtä pitkät [Liite1]. Opetussuunnitelman perusteella jokaisen oppilaan olisi pitänyt osata vastata kaikkiin ensimmäisen osion tehtäviin oikein. Toisessa osiossa oli seitsemän eri väittämään, joihin oli kaksi vastaus vaihtoehtoa: a) väite on totta tai b) väite ei ole totta, sillä Mikäli oppilaan mielestä väite ei ollut totta, oli hänen osattava kertoa, miksi hänen mielestään väite ei ollut oikein [Liite 2]. Viimeisessä osiossa oli avoimia tehtäviä. Osio sisälsi kaksi monikulmioiden osaamiseen liittyvää tehtävää ja kaksi oppilaiden mielikuviin liittyvää tehtävää. Osaamista mittaavassa osiossa oppilaiden piti määritellä suorakulmio ja kertoa mikä tutkimuslomakkeessa olleessa suorakulmaisessa kolmiossa oli väärin ja kuinka oppilas tämän asian havaitsi. Mielikuviin liittyvissä tehtävissä oppilaan tuli kertoa, missä arkipäivän tilanteissa hän näkee monikulmioita ja mitkä asiat hän kokee vaikeaksi geometrian opiskelussa [Liite 3]. 4.3 Aineiston kerääminen Tein empiirisen tutkimuksen Tampereen Normaalikoulussa keväällä 5. Tutkimukseen osallistui yhteensä 58 oppilasta, joista peruskoulun seitsemännen luokan oppilaita oli 38 % ja yhdeksännen luokan oppilaita 31 % sekä lukion toisen vuosiluokan lyhyen matematiikan opiskelijoita 14 % ja pitkän matematiikan opiskelijoita 17 % [Liite 4, kuva 1]. Poikia tutkimukseen osallistui 45 % ja tyttöjä 55 % [Liite 4, kuva 2]. Sovelsin tutkimuksessani yksivaiheista ryväsotantaa. Valitsin tutkimuskoulusta satunnaisesti yhden luokan jokaiselta tutkittavalta asteelta, jolloin

18 pystyin samalla hyödyntämään luokkien rakennetta ja sain yhdellä kerralla vastauksia sekä lyhyttä ja pitkää matematiikka lukevilta lukiolaisilta. Itse tutkimustilanteessa oppilaat siirrettiin istumaan siten, että he eivät olleet aivan toistensa lähellä. Näin he eivät voineet nähdä toistensa vastauksia, mikä lisäsi tutkimustuloksien luotettavuutta. Tutkimuslomakkeet jaettiin ensin oppilaiden pulpeteille väärinpäin ja vasta koetilanteen alkaessa he saivat kääntää paperit toisinpäin. Oppilaille jaettiin myös kolmioviivaimet. Aikaa tutkimuksen tekemiseen annettiin jokaiselle ryhmälle 15 minuuttia. 4.4 Tutkimuslomakkeen pisteytys Käsittelin kaikki tutkimuslomakkeet yhden päivän aikana, jotta pystyin tarkastelemaan tuloksia objektiivisesti. Tarkistin lomakkeet tehtävä kerrallaan, jotta olisin varmasti käyttänyt samoja kriteerejä jokaisen oppilaan kohdalla. Mikäli olisin tarkistanut tutkimuslomakkeita useampana eri päivänä, olisin voinut arvostella toisia ankarammin, mikäli olisi vaikuttanut tuloksiin. Testin maksimipistemäärä on 24 pistettä. Ensimmäisen osion jokaisesta oikeasta monikulmion nimestä sai yhden pisteen, yhteensä neljä pistettä. Oikein piirretyistä suunnikkaista sai yhden pisteen suunnikasta kohti ja jos oppilas oli vielä nimennyt oikein suunnikkaan, jonka kaikki sivut olivat yhtä pitkät, hän sai yhden pisteen lisää. Ensimmäisen osion maksimipisteet olivat siis seitsemän pistettä. Monikulmioiden nimeämistehtävässä odottamani vastaukset olivat neliö, suunnikas, puolisuunnikas ja suorakulmainen kolmio. Koska tehtävänantona oli kuitenkin nimetä jokainen monikulmio eri nimellä, jouduin hyväksymään vastauksen nelikulmio, suunnikkaan ja puolisuunnikkaan sijasta. Muutama oppilas oli vastannut viimeiseen kohtaan suorakulmaisen kolmion sijasta pelkkä kolmio. Tämä ei ollut haluamani täsmällinen vastaus, mutta koska se oli oikein, jouduin hyväksymään myös tämän vastauksen. Suunnikkaiden piirustustehtävässä oppilaiden ei tarvinnut käyttää apunaan harppia, vaan he saivat piirtää suunnikkaan pelkän kolmioviivaimen avulla. Tämä siksi, koska

19 testiin käytetty aika oli rajattu ja harpin avulla piirtämiseen olisi kulunut huomattavasti enemmän aikaa kuin pelkän kolmioviivaimen avulla. Hyväksyin siis kuviot, joista näki, että oppilas oli ymmärtänyt asian, vaikka kuvassa esimerkiksi vastakkaiset sivut eivät olleet käytännössä aivan yhdensuuntaiset. Viimeiseen kohtaan, missä piti vielä nimetä suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät, hyväksyttäviä vastauksia oli kolme: neliö, neljäkäs ja suorakulmio. Toisessa osiossa jokaisesta seitsemästä väittämästä pystyi saamaan kaksi pistettä, yksi piste oikeasta vastauksesta ja yksi piste oikeasta selityksestä. Osion maksimipisteet olivat siis 14 pistettä. Tässä osiossa kaikki muut väittämät paitsi kaksi ja kuusi olivat tosia. Oikean väittämän selitysosan piti olla tyhjä ja väärän väittämän selitysosassa piti olla selitys, miksi väittämä ei pitänyt paikkaansa. Käytännössä siis oikeista väittämistä sai kaksi pistettä, mikäli oli rastittanut kohdan, on totta ja selitysosassa ei ollut mitään. Väärästä väittämästä oppilas sai yhden pisteen, jos hän oli tiennyt, että väite ei ole tosi, mutta selitys puuttui tai selitys oli virheellinen. Mikäli selitys oli oikein, sai oppilas kaksi pistettä. Mikäli oppilas oli vastannut oikean väittämän kohdalla, että väittämä ei ole tosi, sai hän nolla pistettä, vaikka selitysosa oli tyhjä, kuten sen pitikin olla. Tässä tapauksessa katsoin kuitenkin, että oppilas ei ollut ymmärtänyt asiaa, eikä hän sen takia saanut yhtään pistettä. Viimeisen osion maksimipisteet olivat kolme pistettä. Tehtävästä määrittele suorakulmio sai kaksi pistettä ja tehtävästä mikä kolmiossa on väärin sai yhden pisteen. Oppilaiden mielikuviin liittyvistä tehtävistä ei saanut pisteitä, koska näiden tehtävien tarkoituksena oli auttaa minua ymmärtämään, missä osa-alueilla oppilaat pitävät geometriaa vaikeana ja kuinka he osaavat liittää geometrian arkipäivän asioihin. Määrittelytehtävästä sai kaksi pistettä, jos oppilas oli osannut määritellä suorakulmion aivan oikein. Mikäli tutkittava oli kirjoittanut tehtävään liian paljon suorakulmion ominaisuuksia, jolloin vastaus ei vastannut enää matemaattisessa mielessä määritelmää, sai hän yhden pisteen. Täysin väärästä määritelmästä oppilas sai nolla pistettä. Mikä kolmiossa on väärin -tehtävästä sai yhden pisteen, jos oli osannut kertoa, että kolmioiden kulmien asteet eivät pitäneet paikkaansa.

5. Tutkimustulokset Käsittelen tutkimustuloksia lomakkeen tehtävien järjestyksessä yksi osio kerrallaan. Ensimmäisessä osiossa käsittelen tuloksia yleisesti. Toisessa osiossa käsittelen jokaisen väitteen erikseen. Tarkastelen tuloksia aina ensin yleisesti, jonka jälkeen tarkastelen, kuinka sukupuoli ja luokka-aste ovat vaikuttaneet tehtävän osaamiseen. Kolmannessa osiossa käsittelen ensin yleisesti sekä määritelmän osaamista että kolmiossa oleva virheen havaitsemista, minkä jälkeen tutkin onko luokka-asteella ja sukupuolella ollut vaikutusta näiden tehtävien osaamiseen. Tämän jälkeen käyn läpi tutkimuslomakkeen lopussa olleet avoimet kysymykset, joiden avulla sain tietoa oppilaiden kokemista vaikeuksista geometrian opiskelussa ja siitä kuinka oppilaat tunnistavat geometrian monikulmiot heidän jokapäiväisessä elämässään. Lopuksi käsittelen vielä oppilaiden sijoittumista Van Hielen tasoille. Tutkin, kuinka luokka-aste ja sukupuoli vaikuttavat siihen, mille tasolle oppilas pääsee. 5.1 Tulosten analysointi Analysoin tutkimustuloksia SPSS -ohjelmalla. Käyttämiäni analyysejä olivat ristiintaulukointi, -riippumattomuustesti ja varianssianalyysi. Käytin SPSSohjelman lisäksi myös Exeliä muokatessani erilaisia taulukoita ja laskiessani uusia muuttujia. Käyttämäni arvot ovat pyöristettyjä arvoja. Ristiintaulukon avulla voidaan tutkia muuttujien jakautumista ja niiden välisiä riippuvuuksia. Ristiintaulukoinnin riippuvuus- tai riippumattomuustarkasteluissa tarkastellaan ehdollisia jakaumia, mikä tarkoittaa sitä, että tarkastelun kohteena olevan selitettävän muuttujan jakaumaa tarkastellaan selittävän muuttujan eri luokissa. Koska selitettävän muuttujan arvot jakautuvat harvoin tasaisesti selittävän muuttujan luokkiin, käytin analyysissa suhteellista jakaumaa eli laskin eri luokkien prosenttiosuudet, jolloin saadaan parempi kuva analysoitavasta aineistosta. Ristiintaulukoille soveltuva tilastollisen merkitsevyyden testausmenetelmä on ns. - riippumattomuustesti, jonka perustana on havaittujen frekvenssien ja odotettujen frekvenssien erotusten suuruus. Mikäli frekvenssien erot ovat tarpeeksi suuria, voidaan olettaa, että erot eivät johdu ainoastaan sattumasta, vaan ne ovat löydettävissä myös

21 perusjoukossa. Testin lähtökohtana on nollahypoteesi eli muuttujien välillä ei ole riippuvuutta. Tulokset tiivistyvät p-lukuun, minkä ollessa alle,5 voidaan todeta, että erot ovat tilastollisesti merkitseviä. Tässä työssä käytän -testiä esimerkiksi tutkiessani, onko sukupuolella ja määritelmän osaamisella riippuvuutta keskenään. Varianssianalyysia käytetään tutkittaessa eroavatko kahden tai useamman ryhmän keskiarvot tilastollisesti merkitsevästi toisistaan. Varianssianalyysia on perinteisesti pidetty kokeellisen analyysin perusmenetelmänä. Tässä työn tuloksia analysoidessa olen käyttänyt yksisuuntaista varianssianalyysia, mikä on sen muodoista kaikista yksinkertaisin. Yksisuuntaisessa varianssianalyysissa on vain yksi selittävä muuttuja, mikä kuvaa havaintoyksikköjen jakautumista eri luokkiin. Tästä syystä muuttujan mittaustason on oltava joko luokittelu- tai järjestysasteikko [TILASTO]. 5.2 Tutkimustuloksiin vaikuttaneita tekijöitä Tulosten tarkastelussa täytyy ottaa huomioon seikat, mitkä saattavat vaikuttaa tutkimuksen tuloksiin. Eräs seikka, mikä tutkimuksessani voi vaikuttaa tuloksiin, on se, milloin tutkittavalla luokalla oli viimeksi ollut geometrian kurssi. Peruskoulun 7- luokkalaisilla ja 9 luokkalaisilla kurssi oli ollut edellisenä syksynä, jolloin tiedot olivat vielä tuoreessa muistissa. Lukiolaisilla, sekä lyhyen että pitkän matematiikan opiskelijoilla, geometrian kurssi oli ollut yli vuosi sitten, mistä johtuen he olivat saattaneet unohtaa osan kurssin asioista. Tutkimuksen vuorokauden ajankohta saattaa myös vaikuttaa tutkimustuloksiin. Aamulla oppilaat ovat virkeimmillään, kun taas vastaavasti iltapäivällä he eivät jaksa keskittyä testin tekemiseen yhtä hyvin. Tästä syystä tein tutkimuksen jokaiselle ryhmälle aamupäivällä, joten tällä asialla ei pitäisi olla vaikutusta tuloksiin. 5.3 Ensimmäisen osion tutkimustulokset 5.3.1 Monikulmioiden nimeämistehtävät Ensimmäisessä tehtävässä piti nimetä monikulmiot: neliö, suunnikas, puolisuunnikas ja suorakulmainen kolmio. Hyväksyin kolmeen ensimmäiseen kohtaan myös

22 vastaukset nelikulmio ja monikulmio, kunhan oppilas oli nimennyt jokaisen kappaleen eri nimellä. Oletin, että saan kaikilta luokkatasoilta hyviä vastauksia, sillä tehtävä oli sen verran helppo ja opetussuunnitelman perusteella jokaisen olisi pitänyt hallita tämän osion asiat. Odotin myös, että lukiolaiset selviytyisivät peruskoululaisia paremmin tästä tehtävästä, sillä heillä luultavasti olioiden nimet ovat jo paremmin hallussa. Lisäksi oletin, että erot peruskoulun ja lukion välillä eivät ole kovin suuria. Kaikki oppilaat olivat nimenneet neliön hyväksyttävästi joko neliöksi tai suorakulmioksi. Suorakulmio on hierarkiakaavion perusteella hyväksyttävä vastaus, mutta ei se vastaus, jota hain. Neliön suorakulmioksi nimenneitä oli kuitenkin vain kaksi koko aineistosta, joista molemmat 7-luokkalaisia. Suunnikas osattiin myös nimetä oikein, ainoastaan yksi 9-luokkalainen oppilas oli nimennyt sen nelikulmioksi, joka oli kaavion perusteella myös hyväksyttävä vastaus. Suorakulmainen kolmio osattiin kanssa hyvin. Ainoastaan yksi 7-luokkalainen oli nimennyt sen suorakulmioksi. Neljä 9-luokkalaista oli vastannut tehtävään pelkästään kolmio. Hyväksyin tämän, vaikka se ei ollutkaan odottamani vastaus. Puolisuunnikkaan nimeäminen tuotti eniten vaikeuksia. Sen oli nimennyt hyväksyttävästi 88 % kaikista oppilaista. Tehtävän vastaukseksi hyväksyin puolisuunnikkaan lisäksi myös nelikulmio ja monikulmio, joten todellisuudessa näin moni ei ollut osannut nimetä puolisuunnikasta täysin oikein. Osaaminen oli kuitenkin parempaa ylemmillä luokka-asteilla. Peruskoulun 7- ja 9-luokkalaisista 3 % ja lukion lyhyttä matematiikka lukevista 6 % ja pitkää lukevista 9 % tiesivät nimen oikein [Liite 5, taulukko1]. Vain yksi oppilas ei ollut vastannut tehtävään mitään. Vääriä vastauksia oli kuusi: erilainen suunnikas (1), suunnikas (1), neljäkäs (3) ja neliö (1). Jokaiselta luokka-asteelta ainakin yksi oli nimennyt kuvion väärin. Oppilaat olivat osanneet monikulmioiden nimeämistehtävän odotuksieni mukaisesti, vain puolisuunnikkaan nimeäminen näytti olleen hieman hankala. Vaikka tehtävä kokonaisuudessaan oli osattu hyvin, neliön, suunnikkaan ja puolisuunnikkaan hyväksyttyjen vastausten joukossa oli paljon vastauksia, joissa kuvio oli nimetty monikulmioksi tai nelikulmioksi. Suurin osa, 86 % oppilaista oli vastannut kaikkiin neljään kohtaan oikein ja loput 14 % olivat vastanneet kolmeen tehtävään oikein [Liite 5, kuva 1].

23 Lukion lyhyen matematiikan opiskelijat olivat saaneet luokka-asteista vähiten täysiä pisteitä. Tämä on sinänsä yllättävää, koska kuten edellä mainitsin, lukiolaisten luulisivat osaavan olioiden nimet jo paremmin. Tuloksiin vaikuttaa luultavasti se, että peruskoululaisilla oli ollut geometrian kurssi edellisenä syksynä, joten heillä asiat olivat paremmin muistissa kuin lukiolaisilla, jotka olivat opiskelleet kurssin edellisen lukuvuoden aikana. 5.3.2 Monikulmioiden piirtämistehtävät Piirtämistehtävän a-kohdassa piti piirtää jokin suunnikas ja b-kohdassa suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät sekä nimetä kuvio. Oletin, että tehtävästä ja varsinkin a-kohdasta selviydyttäisiin hyvin, etenkin, kun edellisessä tehtävässä oli suunnikkaan kuva. Oletin, että b-kohta olisi hieman hankalampi, sillä kumpaankin oikeaan vastaukseen, neliöön ja neljäkkääseen, sisältyy tiettyjä hankaluuksia. Jos nimittäin piirtää neljäkkään, olio on helppo piirtää, mutta nimeämisen kanssa voi tulla ongelmia. Toisaalta, vaikka neliö on helppo nimetä, piirtämisessä pitää ymmärtää monikulmioidenhierarkia eli käsittää, että myös neliö on suunnikas. Kaikki oppilaat, yhtä lukuun ottamatta, olivat osanneet a-kohdan oikein. Yksi lukion pitkän matematiikan opiskelija oli virheellisesti piirtänyt puolisuunnikkaan. Piirretyt suunnikkaat olivat erikokoisia ja erimuotoisia, kuitenkin suurin osa niistä oli perinteisen suunnikkaan mallin näköisiä. Suorakulmion oli piirtänyt kolme 7- luokkalaista, kaksi 9-luokkalaista ja yksi pitkän matematiikan opiskelija. Neliön oli piirtänyt kaksi pitkän matematiikan opiskelijaa. Kaksi 7-luokkalaista oli merkinnyt sivujen pituudet näkyviin ja he olivat selvästi käyttäneet myös harppia suunnikkaan piirtämiseen, vaikka näin ei ollut vaadittu tekemään.. Kohdassa b oli piirretty sekä neljäkkäitä että neliöitä, joita piirrettiin määrällisesti yhtä paljon. Lukiolaiset olivat piirtäneet kuitenkin huomattavasti enemmän neljäkkäitä kuin neliöitä, kun taas peruskoulussa asia oli päinvastoin. Peruskoulun 7-luokkalaiset piirsivät joko neliön, jonka he nimesivät oikein tai neljäkkään ilman nimeä. Peruskoulun 9-luokkalaiset olivat taas piirtäneet ja nimenneet eniten neliöitä.

24 Useimmat lyhyttä matematiikkaa opiskelevat olivat piirtäneet neljäkkään ilman nimeä ja pitkää matematiikkaa lukevat piirsivät ja nimesivät joko neliön tai neljäkkään. [Liite 5, kuva 2]. Tytöt olivat piirtäneet eniten neliöitä, jotka he olivat myös nimenneet ja toiseksi eniten he olivat piirtäneet neljäkkäitä ilman nimeä. Poikien kohdalla asia oli päinvastoin. He olivat piirtäneet taas eniten neljäkkäitä ilman nimeä ja toiseksi eniten nimettyjä neliöitä. Tuloksista voi päätellä, että lukiolaisille on ollut ehkä helpompaa piirtää ja nimetä neljäkäs, sillä lukiossa käsitellään laajemmin olioiden nimiä ja neljäkäs esiintyy usein myös lukion kirjojen tehtävissä. Yllättävää on, että niin moni peruskoulun oppilaista piirsi neliön, sillä ei ole ihan helppoa muistaa, että neliökin on suunnikas. Muuten tuloksissa ei ilmennyt mitään kovin odottamatonta. On ymmärrettävää, että jos on piirtänyt neliön, on myös osannut nimetä sen. Myöskään neljäkäs ei ollut kovin vaikea piirrettävä, mutta nimeäminen on sitten voinut jo tuottaa ongelmia. 5.4 Toisen osion väitetehtävät 5.4.1 Väite 1: Kolmion kulmien summa on 18º. Ensimmäinen väite näytti olleen kaikista helpoin, koska kaikki olivat vastanneet tehtävään oikein. Olin olettanut, että kaikki peruskoulun oppilaat eivät olisi saaneet tehtävää oikein, mutta oli kuitenkin erittäin hienoa havaita, että tämä tehtävä oli osattu. Toisaalta kouluissa käydään läpi kolmion kulmien summan laskeminen erittäin tarkasti ja tähän lauseeseen liittyen tehdään melko vaikeitakin soveltavia tehtäviä, mikä varmasti osaltaan vaikutti tehtävän osaamiseen. 5.4.2 Väite 2: Tasakylkisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Väitteeseen vastanneista 85 % oli saanut sen oikein ja loput 15 % väärin. Vastanneista 47 % oli saanut tehtävästä yhden pisteen ja 38 % oli saanut väitteen täysin oikein eli kaksi pistettä. Tytöt saivat tehtävästä parempia pisteitä kuin pojat. Tytöistä 41 % sai tehtävän täysin oikein, kun taas poikien vastaava luku oli 35 % [Liite 6, kuva 1]. Useat olivat tienneet, että väite on väärin, mutta eivät olleet osanneet selittää, että miksi se oli

25 väärin. Osalla oppilaista selitys oli myös sen verran puutteellinen, että siitä ei voinut antaa pisteitä. Pitkän matematiikan opiskelijoista 6 % oli osannut tehtävän täysin oikein ja lyhyen matematiikan opiskelijoista yhtä suuri osa oli saanut tehtävästä yhden pisteen kuin kaksi pistettä, molempia oli 38 %. Suurin osa 7- ja 9-luokkalaisista oli saanut tehtävästä yhden pisteen, 7-luokkalaisista 55 % ja 9-luokkalaisista 5 % [Liite 6, kuva 2]. Kaikilla tehtävään vastanneilla oli oikean vastauksen idea selvillä, mutta vastauksesta puuttui jotain olennaista. Mikäli vastaus oli puutteellinen, en antanut siitä ollenkaan pisteitä. Tyypillisiä vastauksia olivat sellaiset, joissa oli ymmärretty, että yksi sivu voi olla eripituinen, mutta joista näki, että oppilas ei kuitenkaan hallinnut monikulmioiden hierarkiakaaviota. Tasakylkinen kolmio voi olla myös tasasivuinen, mutta näin ei kuitenkaan tarvitse olla. Joidenkin oppilaiden mielestä tasakylkisessä kolmiossa yksi sivu on aina erisuuruinen kuin kaksi muuta sivua. Esimerkkejä tällaisista vastauksista ovat: kanta on lyhyempi, kanta on pidempi, kanta on eripituinen (3) ja yksi sivu on eripituinen (2) [Liite6, kuva 3, kuva 4]. 5.4.3 Väite 3: Suorakulmainen kolmio ei voi olla tasasivuinen. Kolmannen väitteen yleinen vastausjakauma oli seuraava: 64 % oikein, 34 % väärin ja 2 % ei ollut vastannut tehtävään lainkaan. Mikäli tarkastelemme väitteen vastausjakaumaa sukupuolen mukaan, niin huomaamme, että tytöt olivat osanneet hieman poikia paremmin tämän tehtävän. Pojista 39 % oli vastannut väärin, kun tytöillä vastaava arvo oli 31 %. Pojista loput 62 % oli vastannut tehtävään oikein, kun tytöistä taas 66 % oli vastannut tehtävään oikein ja 3 % ei ollut vastannut tehtävään laisinkaan [Liite 7, kuva 1]. Ne jotka olivat vastanneet tehtävään oikein, olivat luonnollisesti jättäneet väitteen selitysosan tyhjäksi. Väärin vastanneita poikia oli yhteensä kymmenen, joista seitsemän oli yrittänyt selittää, miksi heidän mielestään väite oli epätotta. Väärin vastanneista pojista siis kolme ei ollut osannut kertoa, miksi tehtävä oli heidän mielestään väärin. Vastaavasti tytöistä kuusi oli antanut selityksen ja neljä oli jättänyt selitysosan tyhjäksi [Liite 7, kuva 3].

26 Väitteen kolme selitysosan vastaukset jakautuivat mielestäni kahteen eri osaan, niihin vastauksiin, joista näki, että oppilas ei ollut ymmärtänyt asiaa lainkaan ja niihin vastauksiin, joista näki, että oppilas oli ymmärtänyt kysymyksen, mutta silti vastannut väärin. Esimerkki lukiolaisen vastauksesta, jossa oppilas ei ole ymmärtänyt väitettä: Kyllä se saattaa olla, esim. neliön puolikas. Oppilas oli myös piirtänyt kuvan, jossa kolmio muodostui kahdesta neliön sivusta ja neliön lävistäjästä. Oppilas siis luuli, että neliön halkaisija ja neliön sivu ovat yhtä pitkät, mikä ei tieteenkään pidä paikkaansa. Vastauksissa joista näki, että oppilas oli ymmärtänyt asian, oppilaat usein totesivat selitysosassa saman asian, minkä väite jo totesi. Kolme oppilasta oli kirjoittanut: Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusa on pisin. Oppilaat olivat siis ymmärtäneet, että suorakulmainen kolmio ei voi olla tasasivuinen, koska yksi kolmion sivu on muita sivuja pidempi. Mistä nämä väärät vastaukset sitten johtuvat, on vaikea sanoa? Ovatko oppilaat esimerkiksi lukeneet väitteen huolimattomasti? Tarkasteltaessa väitteen vastausjakaumaa luokka-asteen mukaan huomaamme, että peruskoulun 7 luokkalaiset ovat menestyneet tehtävässä huonoiten ja lukion pitkän matematiikan opiskelijat parhaiten. Peruskoulun 7 luokkalaisista 54,5 % ja 9 luokkalaisista 61 % olivat vastanneet tehtävään oikein. Vastaavat prosenttimäärät lukiossa olivat, lukion lyhyen matematiikan opiskelijoita 76 % ja pitkän matematiikan opiskelijoita 8 %. Ainoastaan 6 % 9 luokkalaisista oli jättänyt vastaamatta tehtävään. Loput opiskelijat olivat vastanneet tehtävään väärin [Liite 7, kuva 2]. Peruskoulun 7 luokkalaisista 32 % ja 9 luokkalaisista 22 % ja lukion pitkän matematiikan opiskelijoista % oli yrittänyt selittää, miksi väite oli väärin. Jokainen lukion lyhyen matematiikan opiskelija oli jättänyt väitteen selitysosan tyhjäksi [Liite 7, kuva 4]. 5.4.4 Väite 4: Neliö on myös suunnikas. Väitettä 4 oli yleisesti ottaen osattu hyvin, 89 % vastauksista oli oikein ja loput väärin. Tarkasteltaessa tuloksia sukupuolen ja luokka-asteen mukaan, ei näiden tekijöiden välillä ilmennyt kovin suuria riippuvuuksia. Tytöt olivat jälleen poikia hieman parempia. Tyttöjen vastauksista 94 % oli oikein, kun poikien vastaava luku oli 85 % [Liite 8, kuva 1]. Selityksiä, miksi väite oli väärin, tuli vähän. Ainoastaan yksi lukion lyhyen matematiikan tyttö ja yksi peruskoulun 9 luokan poika olivat antaneet

27 vastauksen tähän kohtaan [Liite 8, kuva 3, kuva 4]. Tytön mielestä neliö ei voi olla suunnikas, koska neliön sivut ovat suoria ja pojan mielestä neliön kulmat ovat yhtä suuret. Vastauksista käy hyvin ilmi, että nämä henkilöt eivät olleet sisäistäneet monikulmioiden hierarkiajärjestelmää ja, että heillä oli mielessään yleisin piirretty malli suunnikkaasta, jossa kaikki sivut eivät ole yhtä pitkät ja kulmat yhtä suuret. Luokka-asteen mukaan tarkasteltuna sain tuloksen, jonka mukaan peruskoulun 7 luokka oli osannut tehtävän parhaiten, 95,5 % vastauksista oli oikein ja lukion lyhyen matematiikan opiskelijat huonoiten, joiden vastauksista 75 % oli oikein. Peruskoulun 9-luokka ja lukion pitkän matematiikan opiskelijoiden prosenttimäärät eivät eronneet paljon toisistaan, 9 luokalla 89 % ja pitkän matematiikan opiskelijoilla 9 % vastauksista oli oikein [Liite 8, kuva 2]. Syy siihen, miksi peruskoulun 7 luokkalaiset ovat pärjänneet tässä tehtävässä niin hyvin, saattaa johtua siitä, että heillä geometrian kurssi oli ollut edellisenä syksynä ja asiat hyvin muistissa. Opetustavalla saattaa myös olla vaikutusta. Olin nimittäin itse opettanut tutkimalleni 7 luokalle geometrian monikulmiot ja olin selvittänyt heille myös hieman monikulmioiden hierarkiajärjestelmää. Olin siis opettanut heille, että neliö on myös suunnikas. 5.4.5 Väite 5: Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Viides väite oli tuottanut vaikeuksia lähes puolelle oppilaista, koska 45 % oli vastannut väärin, 52 % oikein ja 3 % jättänyt vastaamatta tehtävään kokonaan. Erot poikien ja tyttöjen välillä eivät olleet kovin suuria. Pojista 46 % ja tytöistä 56 % oli vastannut tehtävään oikein [Liite 9, kuva 1]. Puolet niistä, jotka olivat vastanneet tehtävään väärin, eivät olleet osanneet selittää, miksi väite oli heidän mielestään väärin. Puolet näistä vastaamatta jättäneistä oli poikia ja puolet tyttöjä [Liite 9, kuva 3]. Luokka-asteen mukaan tarkasteltaessa heikoiten tehtävässä olivat menestyneet 7 luokkalaiset, joiden vastauksista vain 32 % oli oikein. Parhaiten menestyivät lukion pitkän matematiikan opiskelijat, joiden vastauksista oikein oli 8 %. Vastaavat prosenttimäärät olivat peruskoulun 9 luokkalaisilla 56 % ja lukion lyhyen matematiikan opiskelijoilla 63 %. Kaikki lukiolaiset olivat vastanneet tehtävään, kun