Usean muuttujan differentiaalilaskenta

Usean muuttujan differentiaalilaskenta Taneli Huuskonen 19. syyskuuta 2014 1 Merkintöjä ja käytäntöjä Seuraavassa listassa on lueteltu merkintöjä ja ilmauksia, joiden kohdalla eri teksteissä on erilaisia käytäntöjä. Hakasuluissa on mainittu vaihtoehtoisia merkintöjä. N luonnollisten lukujen joukko, {0, 1, 2,...} [N 0 ] N + positiivisten luonnollisten lukujen joukko, {1, 2, 3,...} [N] osajoukko [ ] aito osajoukko [ ] a, b järjestetty pari [(a, b)] a 1,..., a n järjestetty n-jono [(a 1,..., a n )] Tekstissä on pienellä kirjasinkoolla ladottuja kappaleita, joiden sisältö ei suoranaisesti kuulu kurssiin. Muistutukset ovat asioita, jotka pitäisi tällä kurssilla jo tietää mutta jotka ovat saattaneet jäädä joillekuille epäselviksi. Lisätiedot on tarkoitettu tiedonhaluisille opiskelijoille, joita kiinnostaa oppia jotakin asioista, joita ei tällä kurssilla vaadita osattaviksi. 2 Euklidinen avaruus R n Koko tässä osiossa n on positiivinen luonnollinen luku. Avaruus R n on n- alkioisten reaalilukujonojen joukko, siis R n = { x 1, x 2,..., x n x i R kun i = 1, 2,..., n}. Avaruuden R n alkioita kutsutaan vektoreiksi tai pisteiksi näkökulman mukaan. Vektorille x 1,..., x n käytetään lyhenysmerkintää x. Vektorin x alkiota x i kutsutaan sen i:nneksi koordinaatiksi. Kun pisteiden välille määritellään etäisyys alempana esitetyllä tavalla, saadaan n-ulotteinen euklidinen avaruus. 1

Aluksi määritellään vektoreiden yhteenlasku sekä vektorin kertominen skalaarilla, joka tässä tapauksessa on reaaliluku. Olkoot x, ȳ R n, r R. Tällöin x + ȳ = x 1 + y 1,..., x n + y n, r x = rx 1,..., rx n. Nollavektorin 0 kaikki koordinaatit ovat nollia. Selvästi kaikille vektoreille x pätee x + 0 = x ja 0 x = 0. Enintään kolmiulotteisessa avaruudessa nämä määritelmät voi helposti perustella geometrisen intuition avulla. Yleisessä tapauksessa voi helposti tarkistaa, että näin määritellyt operaatiot toteuttavat n-ulotteisen reaalisen (eli reaalikertoimisen) vektoriavaruuden määritelmän. Muistutus: Kertaa tarvittaessa vektoriavaruuden määritelmä ja tarkista, että se toteutuu. Kertaa myös vektoriavaruuden perusominaisuudet. Vektoreiden x ja ȳ pistetulo (eli sisätulo) määritellään kaavalla x ȳ = x 1 y 1 +... + x n y n. Pistetulo toteuttaa vaihdanta- ja osittelulait: x ȳ = ȳ x, x (ȳ + z) = x ȳ + x z. Lisäksi on voimassa seuraava liitäntälakia muistuttava yhtälö pistetulolle ja skalaarilla kertomiselle: (r x) ȳ = r( x ȳ). Lisätietoa: Liitäntälaki ei ole pistetulolle mielekäs, koska pistetulon arvo ei ole vektori. On helppo löytää esimerkki vektoreista x, ȳ, z R 2, joille liitäntälain kaltainen yhtälö ei ole voimassa eli seuraava epäyhtälö pätee: ( x ȳ) z (ȳ z) x. Vektorit ovat eri järjestyksessä epäyhtälön eri puolilla, koska skalaarin ja vektorin tulossa skalaari on aina tapana kirjoittaa ensin. 2

Vektorin pituus eli normi määritellään kaavalla x = x x. Selvästi kaikille x R n pätee, että x 0 ja että x = 0 tasan silloin, kun x = 0. Vektoreiden etäisyys on niiden erotuksen normi: d( x, ȳ) = x ȳ. Lisätietoa: Tässä on määritelty vain yksi, ns. euklidinen etäisyys. Lineaarialgebrassa tutkitaan paljon eri tavoin määriteltyjä normeja, joista oletetaan vain, että ne toteuttavat tietyt aksioomat. Usein käytettyjä vaihtoehtoisia normeja avaruudessa R n ovat koordinaattien itseisarvojen summa ja maksimi: x 1 = x 1 +... + x n, x = max( x 1,..., x n ). Voit miettiä, millaisten avaruuden R 2 vektorien normi on 1 näissä esimerkeissä, eli miltä vaihtoehtoinen yksikköympyrä näyttää. Etäisyys määritellään yleensä erotuksen normina. Seuraava lause on hyödyllinen tekninen aputulos, jolle on myös intuitiivinen geometrinen tulkinta. Lause tunnetaan Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön nimellä. Lause 2.1. Kaikilla x, ȳ pätee x ȳ x ȳ. Todistus. Väite on selvästi tosi, jos x = 0. Oletetaan siis, että x 0. Tällöin x 0. Tarkastellaan lauseketta r x+ȳ 2, missä r R. Normin määritelmän ja edellä esitettyjen laskusääntöjen perusteella r x + ȳ 2 = (r x + ȳ) (r x + ȳ) = r x r x + ȳ r x + r x ȳ + ȳ ȳ = x 2 r 2 + 2( x ȳ)r + ȳ 2. Koska x 0, voi yhtälö r x + ȳ = 0 toteutua enintään yhdellä muuttujan r arvolla. Niinpä toisen asteen yhtälöllä r 2 x 2 +2( x ȳ)r + ȳ 2 = 0 on enintään yksi ratkaisu, joten yhtälön diskriminantti on epäpositiivinen. Siispä 2 2 ( x ȳ) 2 4 x 2 ȳ 2 0, 3

mikä sievenee muotoon Niinpä x ȳ x ȳ. ( x ȳ) 2 x 2 ȳ 2. Cauchyn-Schwarzin epäyhtälöllä on tasossa yksinkertainen geometrinen tulkinta. Jokainen vektori voidaan ilmaista pituuden ja suunnan avulla, ja tasossa suunnan määrää vektorin ja positiivisen x-akselin välinen kulma, joka perinteisesti lasketaan x-akselista vastapäivään. Jos vektorin x pituus on r ja kulma α, niin tunnetusti x = r cos α, r sin α. Tarkastellaan vektoreita x = r cos α, r sin α ja ȳ = s cos β, s sin β. Nyt x ȳ = rs cos α cos β + rs sin α sin β = rs cos(α β) = rs cos(β α). Toisaalta vektoreiden x ja ȳ välinen kulma on α β, joten tasovektorien pistetulolle saadaan lauseke x ȳ = x ȳ cos ϕ, missä ϕ on vektoreiden välinen kulma. Tällöin Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö saadaan muotoon x ȳ cos ϕ x ȳ, mikä on suora seuraus siitä, että cos ϕ 1 mille tahansa kulmalle ϕ. Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön nojalla vektoreiden x, ȳ R n välinen kulma ϕ voidaan määritellä yleistyksenä kaksiulotteisesta tapauksesta seuraavasti: 1, jos x ȳ = 0, cos ϕ = x ȳ muuten. x ȳ Tämä määrää kulman ϕ yksikäsitteisesti, kun vaaditaan lisäksi 0 ϕ π. Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön avulla voidaan helposti todistaa kolmioepäyhtälö: x + ȳ x + ȳ. Tämä jätetään harjoitustehtäväksi. Kolmioepäyhtälö yleistyy suoraan myös useammille yhteenlaskettaville: Väite 2.2. x + ȳ +... + w x + ȳ +... + w. x ȳ x ȳ x + ȳ. Todistus. Vasen epäyhtälö on selvä. Toisaalta kolmioepäyhtälön mukaan x = ( x + ȳ) + ( ȳ) x + ȳ + ȳ, joten x ȳ x + ȳ. Vastaavasti ȳ x x + ȳ. Niinpä x ȳ x + ȳ. 4

Vektoriavaruuden R n standardit yksikkövektorit ē i ovat seuraavat: e 1 = 1, 0, 0,..., 0, e 2 = 0, 1, 0,..., 0,. e n = 0, 0, 0,..., 1. Nämä muodostavat standardikannan, jonka avulla jokainen vektori x R n voidaan esittää muodossa x = x 1 ē 1 + x 2 ē 2 +... + x n ē n. Väite 2.3. Jokaiselle vektorille x R n ja jokaiselle i {1, 2,..., n} pätee x i x x 1 + x 2 +... + x n. Todistus. Ensimmäinen epäyhtälö on selvä. Jälkimmäinen seuraa kolmioepäyhtälöstä n yhteenlaskettavalle sekä siitä, että e i = 1: x = x 1 ē 1 + x 2 ē 2 +... + x n ē n x 1 ē 1 + x 2 ē 2 +... + x n ē n = x 1 + x 2 +... + x n. Tarkastellaan seuraavaksi pistejonon suppenemista avaruudessa R n. Olkoon x 1, x 2,... ääretön jono pisteitä avaruudessa R n siis ääretön jono, jonka alkiot ovat n-alkioisia äärellisiä reaalilukujonoja. Vektorin x i alkiot ovat x i,1, x i,2,..., x i,n. Koko äärettömästä vektorijonosta käytetään merkintää ( x i ). Jono ( x i ) suppenee (eli konvergoi) kohti pistettä ȳ R n, joss 1 jokaisella positiivisella reaaliluvulla r on olemassa sellainen k N +, että kaikilla i > k pätee x i ȳ < r. Tästä käytetään merkintää lim i x i = ȳ tai x i ȳ. Huomaa, että tavallinen reaalilukujonon suppenemisen määritelmä on ylläolevan määritelmän erikoistapaus, jossa n = 1. Toisaalta vektorijonon suppenemisen voisi määritellä yhtäpitävästi myös reaalilukujonon suppenemisen avulla: x i ȳ joss x i ȳ 0. 1 Perinteisesti määritelmissä käytetään sanaa jos, vaikka ilmaus jos ja vain jos tai sen lyhenne joss olisi johdonmukaisempi. 5

Pistejonon suppeneminen on yhtäpitävää sen kanssa, että jokainen koordinaattijono suppenee erikseen. Seuraava lause ilmaisee asian täsmällisemmin. Lause 2.4. Olkoon ( x i ) jono pisteitä avaruudessa R n sekä ȳ R n. Tällöin lim i x i = ȳ jos ja vain jos jokaiselle j {1, 2,..., n} pätee lim i x i,j = y j. Todistus. Oletetaan ensin, että lim i x i = ȳ. Olkoon j {1, 2,..., n}, ja olkoon r > 0. Määritelmän mukaan on olemassa sellainen k N +, että kaikilla i > k pätee x i ȳ < r. Väitteen 2.3 perusteella x i,j y j x i ȳ, joten kaikilla i > k pätee x i,j y j < r. Siispä lim i x i,j = y j. Oletetaan sitten, että lim i x i,j = y j kaikilla j {1, 2,..., n}. Olkoon r > 0. Oletuksen mukaan kullakin j {1, 2,..., n} voidaan valita sellainen k j N +, että x i,j y j < r/n kaikilla i > k j. Olkoon k suurin luvuista k 1, k 2,..., k n, ja olkoon i > k. Nyt jokaiselle j {1, 2,..., n} pätee, että i > k j, joten x i,j y j < r/n. Väitteen 2.3 nojalla Siispä x i ȳ. x i ȳ x i,1 y 1 + x i,2 y 2 +... + x i,n y n < n r n = r. Sanotaan, että avaruuden R n vektorijono ( x i ) suppenee, joss on olemassa jokin sellainen ȳ R n, että x i ȳ. Muussa tapauksessa jono ( x i ) hajaantuu eli divergoi. Lauseen 2.4 perusteella vektorijono ( x i ) hajaantuu täsmälleen silloin, kun ainakin yksi koordinaattijono (x i,j ) hajaantuu. Kuten reaalilukujen tapauksessa, raja-arvo on yksikäsitteinen aina, kun se on olemassa. Tämä seuraa reaalilukujonon raja-arvon yksikäsitteisyydestä ja lauseesta 2.4, mutta oleellisesti sama todistus toimii vektoreille kuin reaaliluvuillekin. Lause 2.5. Olkoon ( x i ) avaruuden R n vektorijono, ja olkoot ȳ, z R n sellaiset, että x i ȳ ja x i z. Tällöin ȳ = z. Todistus. Tehdään vastaoletus: ȳ z. Tällöin ȳ z 0, joten ȳ z > 0. Olkoon r = ȳ z /2. Nyt r > 0, joten on olemassa sellaiset k 1, k 2 N +, että kaikilla i > k 1 pätee x i ȳ < r ja kaikilla i > k 2 pätee x i z < r. Olkoon i = max(k 1, k 2 ) + 1. Tällöin i > k 1 ja i > k 2, joten x i ȳ < r ja x i z < r. Niinpä kolmioepäyhtälön nojalla ȳ z ȳ x i + x i z < r + r = ȳ z, mikä on mahdotonta. Siispä vastaoletus ei voi toteutua, joten ȳ = z. 6

3 Avaruuden R n metristä topologiaa Olkoot x R n ja r > 0. Joukkoa B( x, r) = {ȳ R n ȳ x < r} kutsutaan avaruuden R n x-keskiseksi r-säteiseksi avoimeksi kuulaksi. 2 Joukko B( 0, 1) on avoin yksikkökuula. Määritelmä 3.1. Joukko A R n on sulkeinen, joss jokaisella suppenevalla jonolla ( x i ), jolle x i A kaikilla i, pätee lim i x i A. Huomaa, että erityisesti tyhjä joukko on sulkeinen. Myös koko avaruus R n on sulkeinen. Määritelmä 3.2. Joukko A R n on avoin, joss R n \ A on sulkeinen. Tyhjä joukko ja koko R n ovat siis sekä avoimia että sulkeisia. Nämä ovat ainoat avaruuden R n avoinsulkeiset osajoukot. Toisaalta joukko ei välttämättä ole kumpaakaan. Lisätietoa: Yleisessä tapauksessa joukon avoimuus tai sulkeisuus riippuu siitä, minkä avaruuden osajoukkona sitä tarkastellaan. Esimerkiksi reaaliakselin avoin yksikköväli ]0, 1[ on reaalilukujen osajoukkona avoin mutta ei avoin eikä sulkeinen kompleksilukujen osajoukkona. Yleisessä topologiassa asia käy vielä monimutkaisemmaksi. Lause 3.3. Joukko A R n on avoin, jos ja vain jos jokaisella x A on sellainen r > 0, että B( x, r) A. Todistus. Oletetaan, että jokaisella x A on sellainen r > 0, että B( x, r) A. Osoitetaan, että A on avoin eli että R n \ A on sulkeinen. Tehdään vastaoletus: R n \A ei ole sulkeinen. On siis olemassa sellainen suppeneva jono ( x i ), että x i R n \ A kaikilla i ja että lim i x i / R n \ A. Olkoon ȳ = lim i x i. Vastaoletuksen perusteella ȳ A. On siis olemassa sellainen r > 0, että B(ȳ, r) A. Toisaalta x i ȳ, joten on olemassa sellainen k N +, että kaikilla i > k pätee x i ȳ < r. Erityisesti x k+1 ȳ < r, joten x k+1 B(ȳ, r) A, vastoin oletusta x i R n \ A kaikilla i. Tämä ristiriita osoittaa, että vastaoletus on väärä eli että A on avoin. Käänteinen suunta jätetään harjoitustehtäväksi. 2 Myös nimitystä avoin pallo ja merkintää B r ( x) käytetään. 7

Määritelmä 3.4. Joukon A R n reuna A on joukko A = { x R n r > 0 (B( x, r) A B( x, r) (R n \ A) )}. Joukon A reuna on siis niiden pisteiden joukko, joiden jokainen palloympäristö leikkaa sekä joukkoa A että joukon A komplementtia. Jos A on avoin, niin lauseen 3.3 nojalla A A =. Jos taas A on sulkeinen, niin A A (harjoitustehtävä). Lisäksi A ja A A ovat sulkeisia. Joukkoa A A kutsutaan joukon A sulkeumaksi, ja siitä käytetään merkintää A. Tarkastellaan joitakin esimerkkejä ylläolevien määritelmien havainnollistamiseksi. Esimerkki 3.5. Olkoon A avaruuden R 3 avoin yksikkökuula A = B( 0, 1) = { x R 3 x < 1}. Joukko A on nimensä mukaisesti avoin. Itse asiassa kaikki avoimet kuulat ovat avoimia, minkä todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi. Joukon A reuna on A = { x R 3 x = 1} ja sulkeuma A = { x R 3 x 1}. Esimerkki 3.6. Olkoon A avaruuden R 1 puoliavoin yksikköväli [0, 1[. Joukko A ei ole avoin eikä sulkeinen, minkä voi todeta siitä, että A = {0, 1} ja että 0 A ja 1 / A. Joukon A sulkeuma on A = [0, 1]. Määritelmä 3.7. Joukko A R n on rajallinen, 3 joss on olemassa sellainen r R, että A B( 0, r). Muistutus: Käsitteillä rajallinen ja raja-arvo välillä ei ole suoraa yhteyttä. Esimerkki 3.8. Avaruuden R 1 osajoukko A = {1/k k N + } on rajallinen, koska A B(0, 2). Esimerkki 3.9. Olkoon A avaruuden R 2 osajoukko { x 1, x 2 x 2 0}. Joukko A ei ole rajallinen, koska kaikilla r > 0 pätee, että r, 0 A mutta r, 0 / B( 0, r). 3 Myös ilmausta rajoitettu käytetään. 8

Määritelmä 3.10. Joukko A R n on kompakti, joss jokaisella sellaisella äärettömällä jonolla ( x i ), että x i A kaikilla i, on sellainen suppeneva ääretön osajono ( x ij ), että lim j x ij A. Kompaktius on erittäin hyödyllinen käsite, mutta sen perusominaisuuksien todistaminen on teknisesti jonkin verran monimutkaista. Kerrataan ensin kaksi suppenevia reaalilukujonoja koskevaa lausetta, jotka on todistettu aikaisemmalla kurssilla. Lause 3.11. Olkoon (x i ) suppeneva ääretön reaalilukujono, ja olkoon (x ij ) sen ääretön osajono. Tällöin (x ij ) suppenee, ja lim j x ij = lim i x i. Lause 3.12 (Bolzanon-Weierstrassin lause). Olkoon (x i ) rajallinen ääretön reaalilukujono. Tällöin jonolla (x i ) on ääretön suppeneva osajono (x ij ). Molemmat lauseet voidaan melko helposti yleistää vektorijonoille. Lause 3.13. Olkoon ( x i ) suppeneva ääretön vektorijono avaruudessa R n ja ( x ij ) sen ääretön osajono. Tällöin ( x ij ) suppenee, ja lim j x ij = lim i x i. Todistus. Tämä seuraa helposti lauseista 2.4 ja 3.11. Lause 3.14. Olkoon ( x i ) ääretön rajallinen vektorijono avaruudessa R n. Tällöin jonolla ( x i ) on suppeneva ääretön osajono ( x ij ). Todistus. Todistuksen idea on se, että jonolle ( x i ) voidaan valita osajono, jonka ensimmäisten koordinaattien muodostama jono suppenee, tälle edelleen osajono, jonka toisten koordinaattien jono suppenee ja niin edelleen. Kun kaikki koordinaattipositiot on käyty läpi, on löydetty vektorijono, johon voidaan soveltaa lausetta 2.4. Tämän todistusidea voidaan muotoilla täsmällisemmin induktiotodistukseksi luvun n suhteen. Perustapauksessa n = 1 todistettava väite on Bolzanon-Weierstrassin lause. Tehdään sitten induktio-oletus: n on sellainen positiivinen luonnollinen luku, että väite pätee avaruudelle R n. Olkoon ( x i ) ääretön rajallinen jono avaruudessa R n+1. Tällöin ensimmäisten koordinaattien muodostama jono (x i,1 ) on rajallinen reaalilukujono, joten Bolzanon-Weierstrassin lauseen mukaan jonolla (x i,1 ) on ääretön suppeneva osajono (x ij,1). Määritellään avaruuden R n jono (ȳ j ) seuraavasti: ȳ j = x ij,2, x ij,3,..., x ij,n+1. Nyt (ȳ j ) on avaruuden R n ääretön rajallinen jono, joten sillä on induktiooletuksen nojalla suppeneva ääretön osajono (ȳ jk ). Tarkastellaan jonon ( x ijk ) 9

koordinaattien jonoja. Jono (x ijk,1) on suppenevan jonon (x ij,1) osajonona suppeneva lauseen 3.11 perusteella. Jonot (x ijk,m), missä m {2, 3,..., n + 1}, suppenevat lauseen 2.4 nojalla. Siispä jono ( x ijk ) on jonon ( x i ) suppeneva osajono, mikä nähdään soveltamalla lausetta 2.4 toiseen suuntaan. Ylläoleva todistus voidaan tulkita seuraavasti: Tutkitaan avaruuden R m rajallista ääretöntä pistejonoa. Tapaus m = 1 on alkuperäinen Bolzanon- Weierstrassin lause, joten keskitytään tapaukseen m = n + 1, missä n N +. Bolzanon-Weierstrassin lauseen perusteella jonosta voidaan valita osajono, jonka ensimmäiset koordinaatit lähestyvät jotakin rajaa. Tämän jälkeen ensimmäiset koordinaatit voidaan käytännössä unohtaa ja tulkita loput koordinaatit avaruuden R n pisteiksi. Dimensio siis pienenee yhdellä. Tätä toistetaan, kunnes päästään yksiulotteiseen tapaukseen. Yllä todistettujen lauseiden avulla voidaan osoittaa, että kompaktiudelle on euklidisissa avaruuksissa yksinkertainen riittävä ja välttämätön ehto. Lause 3.15. Joukko A R n on kompakti, jos ja vain jos A on sulkeinen ja rajallinen. Todistus. Oletetaan, että A on kompakti. Todistetaan ensin, että A on sulkeinen. Olkoon ( x i ) sellainen suppeneva jono, että x i A kaikilla i. Koska oletuksen mukaan A on kompakti, on jonolla ( x i ) sellainen ääretön suppeneva osajono ( x ij ), että lim j x ij A. Lauseen 3.13 mukaan lim i x i = lim j x ij, joten lim i x i A. Siispä A on sulkeinen. Todistetaan sitten, että A on rajallinen. Tehdään vastaoletus: A ei ole rajallinen. Tällöin jokaisella i N + voidaan valita sellainen piste x i A, että x i > i. Nyt on selvää, että jokainen jonon ( x i ) ääretön osajono hajaantuu, mikä on vastoin oletusta, että A on kompakti. Niinpä jokainen kompakti A R n on sulkeinen ja rajallinen. Oletetaan sitten, että A on sulkeinen ja rajallinen. Olkoon ( x i ) sellainen ääretön vektorijono, että x i A kaikilla i N +. Tällöin ( x i ) on rajallinen, joten lauseen 3.14 mukaan jonolla ( x i ) on suppeneva ääretön osajono ( x ij ). Nyt x ij A kaikilla j N +, joten lim j x ij A, koska A on sulkeinen. Siispä A on kompakti. Esimerkki 3.16. Olkoon A kuten esimerkissä 3.8. Helposti nähdään, että 0 A mutta 0 / A, joten joukko A ei ole sulkeinen. Siispä A ei ole kompakti. Sama voidaan todeta suoraan määritelmän perusteella valitsemalla x i = 1/i. Tällöin x i A kaikilla i N +, mutta jokaiselle jonon (x i ) äärettömälle osajonolle (x ij ) pätee, että lim j x ij = lim i x i = 0 / A. Toisaalta joukko A = A {0} on kompakti, koska se on selvästi rajallinen ja myös sulkeinen. 10

Esimerkki 3.17. Olkoon A kuten esimerkissä 3.9. Joukko A ei ole kompakti, koska A ei ole rajallinen. Jälleen voidaan myös vedota suoraan määritelmään. Olkoon x i = i, 0. Selvästi mikään jonon ( x i ) ääretön osajono ei ole rajallinen eikä siis suppene. Esimerkki 3.18. Joukot B = { x R 2 x 42} ja C = { x R 2 x = 42} ovat selvästi sulkeisia ja rajallisia, joten molemmat ovat kompakteja. Lisätietoa: Kompaktiudella on yleisessä topologiassa määritelmä, joka on intuitiivisesti vaikeatajuisempi mutta toimii tapauksissa, joissa raja-arvon käsite on epäselvä. Määritelmä 3.19. Olkoon A R n. Piste ā A on joukon A erakkopiste, joss on olemassa sellainen r > 0, että B(ā, r) A = {ā}. Esimerkki 3.20. Olkoon A = {1/k k N + } {0}. Piste 0 ei ole joukon A erakkopiste, mutta kaikki muut ovat, sillä jokaisella k N + pätee B(1/k, 1/(k 2 + k)) A = {1/k}. 4 Avaruuden R n reaaliarvoisten funktioiden differentiaalilaskentaa 4.1 Raja-arvo ja jatkuvuus Määritelmä 4.1. Olkoot A R n joukko ja f : A R funktio. Olkoon edelleen x 0 A piste, joka ei ole joukon A erakkopiste. Luku a R on funktion f raja-arvo pisteessä x 0, joss jokaiselle sellaiselle jonolle ( x i ), että x i A ja x i x 0 kaikilla i N + sekä lisäksi x i x 0, pätee f( x i ) a. Ylläolevaan määritelmään on valittu ehdot, jotka varmistavat mm. sen, että mahdollinen raja-arvo on yksikäsitteinen. Lause 4.2. Olkoot A R n ja x 0 R n. Tällöin on olemassa sellainen jono ( x i ), että x i A ja x i x 0 kaikilla i N + sekä lisäksi x i x 0, joss x 0 A ja x 0 ei ole joukon A erakkopiste. Todistus. : Oletetaan, että ( x i ) on kuten väitteessä. Tällöin jokaisella r > 0 on jokin sellainen i N +, että x i B( x 0, r). Toisaalta x i A ja x i x 0, joten B( x 0, r) A. Siispä x 0 A tai x 0 A, joten x 0 A. Lisäksi B( x 0, )A { x 0 }, joten x 0 ei ole joukon A erakkopiste. 11

: Oletetaan, että x 0 A ja x 0 ei ole joukon A erakkopiste. Tällöin jokaisella r > 0 pätee, että B( x 0, r) A { x 0 }. Siispä jokaisella i N + voidaan valita sellainen x i B(1/i, x 0 ) A, että x i x 0. Nyt selvästi x i x 0, joten jono ( x i ) toteuttaa kaikki vaaditut ehdot. Seuraus 4.3. Olkoot A R n, f : A R, x 0 R n ja a, b R sellaiset, että sekä a että b ovat funktion f raja-arvoja pisteessä x 0. Tällöin a = b. Todistus. Ylläolevan lauseen nojalla on olemassa sellainen vektorijono ( x i ), että a = lim i f( x i ) = b. Avaruuden R n osajoukossa määritellyn funktion raja-arvolle voidaan siis käyttää tavanomaista merkintää lim x x0 f( x). Reaalilukujonojen raja-arvoja koskevat tutut laskusäännöt ovat voimassa. Lause 4.4. Olkoot A R n, f, g : A R sekä x 0 R n sellaiset, että rajaarvot lim x x0 f( x) ja lim x x0 g( x) ovat olemassa. Tällöin seuraavat yhtälöt ovat voimassa: lim (f( x) + g( x)) x x 0 = lim f( x) + lim x x0 lim (f( x) g( x)) x x 0 = lim f( x) lim x x0 lim (f( x)g( x)) x x 0 = lim f( x) lim g( x). x x0 x x0 x x0 g( x), x x0 g( x), Jos lisäksi lim x x0 g( x) 0, niin f( x) lim x x 0 g( x) = lim x x 0 f( x) lim x x0 g( x). Erityisesti siis yhtälöiden vasemmalla puolella esiintyvät raja-arvot ovat olemassa. Todistus. Olkoon ( x i ) kuten raja-arvon määritelmässä. Tällöin lim (f( x i) + g( x i )) = lim f( x i ) + lim g( x i ) = lim f( x) + lim g( x), i i i x x0 x x0 joten määritelmän mukaan lim (f( x) + g( x)) = lim f( x) + lim g( x). x x 0 x x0 x x0 Muut laskusäännöt todistetaan samalla tavalla vastaavien reaalilukujonon raja-arvoa koskevien sääntöjen avulla. 12

Raja-arvon määritelmässä oli tarpeen sulkea pois funktion määrittelyjoukon erakkopisteet, jotta raja-arvo olisi yksikäsitteinen. Muuten kaikki reaaliluvut olisivat funktion raja-arvoja sen määrittelyjoukon erakkopisteessä. Jatkuvuudelle puolestaan käytetään määritelmää, jossa erakkopisteitä ei käsitellä muodollisesti mitenkään erityisinä. Määritelmä 4.5. Olkoot A R n joukko ja f : A R funktio. Funktio f on jatkuva pisteessä x A, joss jokaiselle sellaiselle äärettömälle jonolle ( x i ), että x i A kaikilla i ja x i x 0, pätee, että f( x i ) f( x 0 ). Huomaa, että ylläoleva määritelmä poikkeaa sisällöltään kurssimateriaalin vanhassa versiossa esitetystä. Jokainen joukon A pisteiden jono, joka suppenee kohti erakkopistettä, on vakio äärellisen monta poikkeusta lukuunottamatta. Täsmällisemmin: Jos x 0 on joukon A erakkopiste ja ( x i ) sellainen jono, että x i A kaikilla i N + ja x i x 0, niin on olemassa sellainen k N +, että x i = x 0 kaikilla i > k. Tällöin triviaalisti f( x i ) f( x 0 ) millä tahansa funktiolla f : A R. Jokainen funktio on siis jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa erakkopisteessä. Vanhan määritelmän mukaan mikään funktio ei ole jatkuva missään määrittelyjoukkonsa erakkopisteessä. Uusi määritelmä on sikäli intuitiivisempi, että sen mukaan esimerkiksi kaikki vakiofunktiot ovat koko määrittelyjoukossaan jatkuvia. Erakkopisteitä lukuunottamatta määritelmät ovat yhtäpitävät. Lause 4.6. Olkoot A R n ja f : A R. Olkoon x 0 A piste, joka ei ole joukon A erakkopiste. Tällöin funktio f on jatkuva pisteessä x 0, joss f( x 0 ) = lim x x0 f( x). Todistus. : Oletetaan, että f on jatkuva pisteessä x 0. Olkoon ( x i ) sellainen jono, että x i A ja x i x 0 kaikilla i sekä lisäksi x i x 0. Tällöin f( x i ) f( x 0 ) jatkuvuusoletuksen nojalla. Lisäksi x 0 A A, eikä x 0 ole joukon A erakkopiste, joten lim x x0 f( x) = f( x 0 ). : Oletetaan, että lim x x0 f( x) = f( x 0 ). Olkoon ( x i ) sellainen jono, että x i A kaikilla i ja x i x 0. Jos x i x 0 vain äärellisen monella indeksillä i, niin on sellainen k N +, että x i = x 0 kaikilla i > k. Tällöin f( x i ) = f( x 0 ) kaikilla i > k, joten triviaalisti f( x i ) f( x 0 ). Oletetaan sitten, että x i x 0 äärettömän monella indeksillä i. Olkoon (i j ) tällaisten indeksien jono kasvavassa järjestyksessä. Lauseen 3.13 perusteella lim j x ij = lim i x i = x 0, joten määritelmän mukaan lim j f( x ij ) = f( x 0 ). Olkoon nyt r > 0 mielivaltainen. Yllä todetun nojalla on olemassa sellainen k N +, että kaikilla j > k pätee f( x ij ) f( x 0 ) < r. Olkoon i > i k. Jos i = i j jollakin j, niin j > k, joten f( x i ) f( x 0 ) < r. Jos millään j ei päde i = i j, niin x i = x 0, joten 13

f( x i ) f( x 0 ) = 0 < r. Niinpä f( x i ) f( x 0 ). Tämä pätee kaikille jonoille ( x i ), joilla x i A kaikilla i ja x i x 0, joten f on jatkuva pisteessä x 0. Määritelmä 4.7. Olkoot A R n ja f : A R. Funktio f on jatkuva joukossa B A, joss f on jatkuva jokaisessa joukon B pisteessä. Seuraavat lauseet ovat esimerkkejä kompaktiuden käsitteen hyödyllisyydestä. Lause 4.8. Olkoot A R n kompakti ja f : A R funktio, joka on jatkuva koko joukossa A. Tällöin joukko B = {f( x) x A} on kompakti. Todistus. Olkoon (y i ) sellainen jono, että y i B kaikilla i N +. Valitaan kullakin i N + sellainen piste x i A, että f( x i ) = y i. Joukko A on kompakti, joten jonolla ( x i ) on sellainen suppeneva ääretön osajono ( x ij ), että lim j x ij A. Merkitään x 0 = lim j x ij. Funktio f on jatkuva koko joukossa A ja siis erityisesti pisteessä x 0, joten ja f( x 0 ) B. lim j y i j = lim j f( x ij ) = f( x 0 ), Lause 4.9. Olkoon A R epätyhjä kompakti joukko. Tällöin joukossa A on suurin ja pienin alkio. Todistus. Joukko A on epätyhjä ja lauseen 3.15 nojalla rajallinen, joten on olemassa sup(a) ja inf(a). Valitaan kullakin i N + sellaiset joukon A alkiot a i ja b i, että a i < inf(a) + 1/i ja b i > sup(a) 1/i. Nyt on helppo todeta suoraan lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella, että a i inf(a) ja b i sup(a). Koska A on lauseen 3.15 perusteella sulkeinen, niin inf(a) = lim i a i A ja sup(a) = lim i b i A. Seuraus 4.10. Olkoon A R n epätyhjä kompakti joukko ja f : A R jatkuva koko joukossa A. Tällöin funktiolla f on suurin ja pienin arvo joukossa A. 4.2 Osittaisderivaatat Tarkastellaan seuraavaksi osittaisderivaatan käsitettä. Intuitiivisesti osittaisderivaatat saadaan määrittämällä tavallinen derivaatta yhden muuttujan suhteen pitäen muita muuttujia vakioina seuraavan esimerkin tapaan. Esimerkki 4.11. Olkoon A = { x R 2 x < 1}, ja olkoon f : A R, f(x 1, x 2 ) = x 1 + 2x 1 x 2 x 3 2. Tällöin 1 f(x 1, x 2 ) = 1 + 2x 2, 2 f(x 1, x 2 ) = 2x 1 3x 2 2. 14

Täsmällisempää määritelmää varten oletetaan, että A R n on avoin joukko, f : A R funktio ja x 0 A. Koska A on avoin, on lauseen 3.3 perusteella olemassa sellainen r > 0, että B( x 0, r) A. Tarkastellaan koordinaattia k {1,..., n}. Kaikilla h ] r, r[ pätee, että x 0 + hē k B( x 0, r) A, joten voidaan määritellä funktio g : ] r, r[ R, g(h) = f( x 0 + hē k ). Nyt funktion f osittaisderivaatta muuttujan x k suhteen pisteessä x 0, jota merkitään symbolilla k f( x 0 ), on tavallinen derivaatta g (0), jos tämä on olemassa. Siis k f( x 0 ) = g (0) = lim h 0 g(h) g(0) h f( x 0 + hē k ) f( x 0 ) = lim. h 0 h Funktion osittaisderivaattojen olemassaolo ja arvo annetussa pisteessä riippuvat siis vain funktion arvoista pisteen kautta kulkevilla koordinaattiakselien suuntaisilla suorilla. Niinpä usean muuttujan funktiolla voi olla kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat pisteessä, jossa funktio ei ole jatkuva, kuten seuraava yksinkertainen esimerkki osoittaa. Esimerkki 4.12. Olkoon f : R 2 R, { 0, jos x 1 x 2 = 0, f(x 1, x 2 ) = 1, muuten. Nyt f on selvästi epäjatkuva origossa, sillä jos asetetaan x i = 1/i, 1/i, niin x i 0 mutta f( x i ) = 1 kaikilla i N +, joten f( x i ) 0 = f( 0). Toisaalta 1 f( 0) = 2 f( 0) = 0. Epäjatkuvalla funktiolla voi olla jopa kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat kaikkialla. Esimerkki 4.13. Olkoon f : R 2 R, 0, jos x 1 = x 2 = 0, f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2, muuten. x 2 1 + x 2 2 Harjoitustehtäväksi jätetään funktion f osittaisderivaattojen määrittäminen sekä sen osoittaminen, että f on epäjatkuva origossa. 4.3 Differentioituvuus 4.3.1 Kuvaajan yleistetty tangentti Olkoot k, q R. Tarkastellaan funktiota f : R R, jonka määrittelee yhtälö f(x) = q + kx. (1) 15

Funktion f kuvaaja on suora, joka leikkaa y-akselia pisteessä 0, q ja jonka kulmakerroin on k. Intuitiivisesti kulmakerroin ilmaisee, kuinka nopeasti funktion f arvo kasvaa tai vähenee, kun argumentti muuttuu. Siirryttäessä pisteestä x 0 pisteeseen x funktion f arvon muutos on f(x) f(x 0 ) = k(x x 0 ). (2) Olkoot sitten k 1, k 2, q R. Tarkastellaan vastaavalla tavalla määriteltyä funktiota g : R 2 R, g(x, y) = q + k 1 x + k 2 y. (3) Tämän funktion kuvaaja on taso, joka leikkaa z-akselia pisteessä 0, 0, q ja jonka asennon k 1 ja k 2 määräävät. Kerroin k 1 ilmaisee, kuinka nopeasti z- koordinaatti muuttuu, kun x-koordinaatti muuttuu ja y-koordinaatti pysyy samana, ja kerroin k 2 vastaavasti toisinpäin. Kaavoilla tämän voi ilmaista seuraavasti: f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) = k 1 (x x 0 ), f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) = k 2 (y y 0 ), ja yleisemmin f(x, y) f(x 0, y 0 ) = k 1 (x x 0 ) + k 2 (y y 0 ). (4) Kun merkitään k = k 1, k 2, yhtälö 3 voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon, joka on analoginen yhtälön 1 kanssa: g( x) = q + k x. (5) Yhtälöstä 4 saadaan puolestaan seuraava vastine yhtälölle 2: g( x) g( x 0 ) = k ( x x 0 ). (6) Yllä vektorimuodossa esitetyt yhtälöt 5 ja 6 ovat itse asiassa voimassa aina, kun g on funktio, jonka kuvaaja on n-ulotteinen hypertaso avaruudessa R n+1. Tällöin yhtälöissä esiintyvät vektorit ovat n-ulotteisia, siis esim. x = x 1,..., x n. Tapauksessa n = 1 saadaan yhtälöt 1 ja 2. Palataan yksiulotteiseen tapaukseen. Olkoon f : R R funktio, joka on derivoituva pisteessä x 0 R. Määritelmän mukaan f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. 16

Olkoon p: R R seuraava funktio: f(x) f(x 0 ) f (x 0 ), jos x x 0, p(x) = x x 0 0, jos x = x 0. Funktio p ilmaisee siis, millainen virhe syntyy, jos derivaatta korvataan erotusosamäärällä. Suoraan määritelmien perusteella on helppo todeta, että lim x x0 p(x) = 0. Toisaalta funktiolle f saadaan seuraava esitys: f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) + (x x 0 )p(x). (7) Yleistämistä varten määritellään funktio v : R R seuraavasti: { p(x), kun x x 0, v(x) = p(x), muuten. Nyt lim x x0 v(x) = 0, ja yhtälö 7 saadaan muotoon f(x 0 + h) = f(x 0 ) + hf (x 0 ) + h v(x 0 + h). (8) Kääntäen voidaan todeta, että jos g on funktio, jolle on esitys g(x 0 + h) = g(x 0 ) + ah + h w(x 0 + h), missä lim x x0 w(x) = 0, niin g on derivoituva pisteessä x 0 ja g (x 0 ) = a. Näiden tarkastelujen perusteella voidaan motivoida seuraava määritelmä. Määritelmä 4.14. Olkoot A R n avoin joukko ja f : A R funktio. Funktio f on differentioituva pisteessä x 0 A, joss on olemassa sellaiset k R n ja v : A R, että lim x x0 v( x) = 0 ja kaikille x A pätee f( x) = f( x 0 ) + k ( x x 0 ) + x x 0 v( x). (9) Oleellinen osa määritelmää on ehto lim x x0 v( x) = 0, sillä jos f : A R on mielivaltainen funktio ja k R n mielivaltainen vektori, niin yhtälö 9 pätee, kun valitaan f( x) f( x 0 ) k ( x x 0 ), kun x x 0, v( x) = x x 0 0, kun x = x 0. Yhtälössä 9 esiintyvä vektori k on funktion kuvaajan tangenttihypertason yleistetty kulmakerroin. Jos se on olemassa, se on yksikäsitteinen. 17

Lause 4.15. Olkoot A R n avoin joukko, x 0 A, v, w : A R sekä k 1, k 2 R n sellaiset, että lim x x0 v( x) = lim x x0 w( x) = 0 ja Tällöin k 1 = k 2. k 1 ( x x 0 ) + x x 0 v( x) = k 2 ( x x 0 ) + x x 0 w( x). Todistus. Määritellään funktio g : R n R, ( k 1 k 2 ) x, kun x 0, g( x) = x 0, kun x = 0. Nyt kaikilla x A pätee g( x x 0 ) = w( x) v( x). Koska A on avoin, on olemassa sellainen r > 0, että B( x 0, r) A, joten lim g( x) = lim (w( x) v( x)) = 0. x 0 x x0 Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että tästä seuraa k 1 k 2 = 0 eli k 1 = k 2. Määritelmä 4.16. Olkoon f funktio, joka on differentioituva pisteessä x 0 R n. Määritelmän mukaisessa esityksessä esiintyvä yleistetty kulmakerroin k on funktion f gradientti pisteessä x 0, ja sitä merkitään symbolilla f( x 0 ). Gradientti on siis vektori. Pistetulo gradientin kanssa määrittelee lineaarikuvauksen, jota merkitään symbolilla f ( x 0 ) seuraavasti: 4.3.2 Gradientin ominaisuuksia f ( x 0 )( x) = f( x 0 ) x. Lause 4.17. Olkoon A R n avoin joukko ja f : A R funktio, joka on differentioituva pisteessä x 0 A. Tällöin funktiolla f on kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat pisteessä x 0, ja f( x 0 ) = 1 f( x 0 ), 2 f( x 0 ),..., n f( x 0 ). Todistus. Merkitään k = f( x 0 ). Olkoon j {1,..., n}. Määritelmän mukaan f( x 0 + hē j ) f( x 0 ) j f( x 0 ) = lim h 0 h k hēj + hē j v( x 0 + hē j ) = lim h 0 h = lim( k ē j + v( x 0 + hē j )) h 0 = k j. 18

Aiemmin todettiin (esimerkki 4.13), ettei osittaisderivaattojen olemassaolosta seuraa jatkuvuutta. Seuraava lause osoittaa, että differentioituvuus on vahvempi ominaisuus. Lause 4.18. Olkoon A R n avoin ja f : A R funktio. Jos f on differentioituva pisteessä x 0 A, niin f on jatkuva pisteessä x 0. Todistus. Merkitään k = f( x 0 ). Olkoon ( x i ) sellainen jono, että x i A kaikilla i ja x i x 0. Nyt yhtälön 9 sekä Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön perusteella kaikilla i N + pätee f( x i ) f( x 0 ) k x i x 0 + x i x 0 v( x i ) = x i x 0 ( k + v( x i ) ), joten f( x i ) f( x 0 ) 0 ja siis f( x i ) f( x 0 ). Pisteessä x 0 differentioituvaa kuvausta f voidaan approksimoida kuvauksella t( x) = f( x 0 ) + f( x 0 ) ( x x 0 ) pisteen x 0 ympäristössä. Tämä on hyödyllinen ominaisuus monissa sovelluksissa, koska kuvausta t on teknisesti helppo käsitellä. Geometrisesti kuvauksen t kuvaaja on kuvauksen f kuvaajan tangenttihypertaso pisteessä x 0, f( x 0 )). Kaksipaikkaisen funktion tapauksessa kyseessä on tietysti tavallinen tangenttitaso. 4.4 Suunnattu derivaatta Osittaisderivaatat kertovat funktion f käyttäytymisestä pisteen x 0 kautta kulkevalla koordinaattiakselien suuntaisilla suorilla. Suunnatun derivaatan avulla funktion kulkua voi tarkastella myös muissa suunnissa. Määritelmä 4.19. Olkoot A R n avoin joukko, f : A R funktio, x 0 A sekä ū R n yksikkövektori, siis sellainen vektori, että ū = 1. Funktion f suunnattu derivaatta pisteessä x 0 suuntaan ū on raja-arvo mikäli tämä on olemassa. f( x 0 + tū) f( x 0 ) ūf( x 0 ) = lim, t 0 t Suunnattu derivaatta kertoo funktion muuttumisesta pisteen x 0 ympäristössä vektorin ū määräämässä suunnassa. Osittaisderivaatat ovat erikoistapauksia suunnatuista derivaatoista. On helppo nähdä suoraan määritelmästä, että j f on täsmälleen sama asia kuin ēj f. Myös lause 4.17 on erikoistapaus seuraavasta lauseesta. 19

Lause 4.20. Olkoot A R n avoin joukko, f : A R funktio, joka on differentioituva pisteessä x 0 A, sekä ū R n yksikkövektori. Tällöin ūf( x 0 ) = f( x 0 ) ū ja ūf( x 0 ) f( x 0 ). Todistus. Ensimmäinen väite voidaan todistaa oleellisesti samalla tavoin kuin lause 4.17, ja jälkimmäinen seuraa tästä Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön perusteella, koska ū = 1. Ylläoleva lause paljastaa gradientin keskeisen ja mielenkiintoisen ominaisuuden. Oletetaan, että f : A R on differentioituva pisteessä x 0 A, missä A R 2, ja että f( x 0 ) 0. Olkoon ū = (1/ f( x 0 ) ) f( x 0 ). Tällöin ū = 1, ja ū osoittaa samaan suuntaan kuin f( x 0 ). Nyt lauseen 4.20 nojalla pätee ūf( x 0 ) = f( x 0 ) ū = f( x 0 ) (1/ f( x 0 ) ) f( x 0 ) = f( x 0 ). Jos v on mikä tahansa muu yksikkövektori, niin vektorien v ja f( x 0 ) välinen kulma ϕ on nollasta poikkeava ja siis v f( x 0 ) = v f( x 0 ) = f( x 0 ) cos ϕ < f( x 0 ). Niinpä vektorin f( x 0 ) suunta ilmaisee, mihin suuntaan funktio kasvaa nopeimmin pisteestä x 0 lähtien, ja sen pituus f( x 0 ) ilmaisee puolestaan kasvunopeuden. 4.5 Derivointisääntöjä Määritelmä 4.21. Olkoon A R n avoin. Funktio f : A R on jatkuvasti derivoituva joukossa A, joss kaikki osittaisderivaatat j f ovat määriteltyjä ja jatkuvia koko joukossa A. Joukossa A jatkuvasti derivoituvien funktioiden luokkaa merkitään symbolilla L 1 (A). Jatkuvuudelle käytetään usein toista määritelmää, joka on seuraavan lauseen perusteella yhtäpitävä määritelmän 4.5 kanssa. Lause 4.22. Olkoot A R n, f : A R, x 0 A. Tällöin f on jatkuva pisteessä x 0, joss jokaisella ε > 0 on sellainen δ > 0, että kaikilla x A B( x 0, δ) pätee f( x) f( x 0 ) < ε. Todistus. : Oletetaan, että f on jatkuva pisteessä x 0. Olkoon ε > 0. Tehdään vastaoletus: Ei ole olemassa sellaista δ > 0, että kaikilla x A B( x 0, δ) pätisi f( x) f( x 0 ) < ε. Valitaan kullakin i N + sellainen x i A B( x 0, 1/i), että f( x i ) f( x 0 ) ε. Tällöin x i x 0, mutta f( x i ) x 0, mikä on ristiriidassa sen oletuksen kanssa, että f on jatkuva pisteessä x 0. 20

: Oletetaan, että jokaisella ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että kaikilla x A B( x 0, δ) pätee f( x) f( x 0 ) < ε. Olkoon ( x i ) sellainen jono, että x i A kaikilla i ja x i x 0. Olkoon ε > 0. Valitaan δ kuten oletuksessa. Koska x i x 0, on olemassa sellainen k N +, että kaikille i > k pätee x i x 0 < δ. Siispä x i A B( x 0, δ) kaikilla i > k, joten luvun δ valinnan perusteella f( x i ) f( x 0 ) < ε kaikilla i > k. Niinpä f( x i ) f( x 0 ). Tämä pätee kaikille sellaisille jonoille ( x i ), että x i A kaikilla i N + ja x i x 0. Siispä f on jatkuva pisteessä x 0. Seuraava lemma toteaa, että jokainen avaruuden R n kuula on geometrisesti kupera eli konveksi, ts. sisältää minkä tahansa kahden pisteensä yhdysjanan. Väite vaikuttaa intuitiivisesti selvältä, mutta korkeiden dimensioiden geometriassa ei kannata luottaa liikaa intuitioon. Lemma 4.23. Olkoot x 0 R n, r > 0, x, ȳ B( x 0, r) sekä 0 t 1. Tällöin t x + (1 t)ȳ B( x 0, r). Todistus. Harjoitustehtävä. Differentiaalilaskennan väliarvolause voidaan esittää monessa yhtäpitävässä muodossa. Seuraava muotoilu on varsin yksinkertainen. Lause 4.24. Olkoot A R joukko, f : A R funktio ja a, b R sellaiset, että a < b, [a, b] A, f on jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Tällöin on olemassa sellainen c ]a, b[, että f(b) f(a) = (b a)f (c). Tämän lauseen todistus kuuluu aiemmalle kurssille. Joissakin todistuksissa tapauksiin jakoa voidaan vähentää, kun väliarvolause esitetään seuraavalla tavalla, jossa välin päätepisteiden järjestyksestä ei oleteta mitään. Lause 4.25. Olkoot A R joukko, f : A R funktio ja a, b A sellaiset, että f on jatkuva jokaisessa pisteessä ta+(1 t)b, missä t [0, 1], ja derivoituva jokaisessa pisteessä ta + (1 t)b, missä t ]0, 1[. Tällöin on olemassa sellainen θ ]0, 1[, että f(b) f(a) = (b a)f (a + θ(b a)) = (b a)f ((1 θ)a + θb). Todistus. Jos a = b, väite pätee mielivaltaiselle θ ]0, 1[. Jos a < b, väite pätee, kun valitaan θ = (c a)/(b a), missä c on kuten lauseen yksinkertaisemmassa muotoilussa. Jos a > b, voidaan vaihtaa a ja b keskenään. 21

Ennen seuraavaa yleistä tulosta tarkastellaan sen erikoistapausta teknisesti vaativan todistuksen hahmottamisen helpottamiseksi. Olkoon f : R 2 R jatkuvasti derivoituva joukossa R 2. Oletetaan lisäksi merkintöjen yksinkertaistamiseksi, että f( 0) = 1 f( 0) = 2 f( 0). Tällöin funktion f differentioituvuus origossa merkitsee sitä, että f( h) lim h 0 h = 0. Olkoon ε > 0. Valitaan sellainen δ > 0, että kaikille ȳ B( 0, δ) pätee 1 f(ȳ) < ε/2 ja 2 f(ȳ) < ε/2. Olkoon h = h 1, h 2 B( 0, δ), h 0. Määritellään nyt g 1 : R R, g 1 (t) = f( 0 + tē 1 ) = f(t, 0). Osittaisderivaatan määritelmän perusteella on helppo todeta, että g 1 on kaikkialla derivoituva ja että g 1(t) = 1 f(t, 0) kaikilla t R. Niinpä soveltamalla lausetta 4.25 voidaan todeta, että f(h 1, 0) f( 0) = g 1 (h 1 ) g 1 (0) = (h 1 0)g 1((1 θ 1 )0+θ 1 h 1 ) = h 1 1 f(θ 1 h 1, 0) jollakin θ 1 ]0, 1[. Määritellään sitten g 2 : R R, g 2 (t) = f( h 1, 0 + tē 2 ) = f(h 1, t). Jälleen voidaan päätellä, että g 2(t) = 2 f(h 1, t) ja että f( h) f(h 1, 0) = h 2 2 f(h 1, θ 2 h 2 ) jollakin θ 2 ]0, 1[. Merkitään ȳ 1 = θ 1 h 1, 0 ja ȳ 2 = h 1, θ 2 h 2. Tällöin ȳ 1, ȳ 2 B( 0, δ), joten f( h) = f( h) f( 0) = (f( h) f(h 1, 0)) + (f(h 1, 0) f( 0)) = h 1 1 f(ȳ 1 ) + h 2 2 f(ȳ 2 ) h 1 1 f(ȳ 1 ) + h 2 2 f(ȳ 2 ) h 1 f(ȳ 1 ) + h 2 f(ȳ 2 ) = h ( 1 f(ȳ 1 ) + 2 f(ȳ 2 ) ) < h (ε/2 + ε/2) = h ε. Niinpä lim h 0 f( h)/ h = 0, joten f on differentioituva origossa. Ylläolevassa päättelyssä ainoa epätriviaali oletus oli se, että funktion f osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia jossakin origon ympäristössä. Muut oletukset tehtiin vain merkintöjen yksinkertaistamiseksi. Päättely voidaan myös yleistää mielivaltaiseen dimensioon. Koska osittaisderivaattojen olemassaolo ja jatkuvuus on usein käytännössä helppo todeta tavanomaisten yhden muuttujan funktioita koskevien derivointisääntöjen avulla, seuraava lause on sovellusten kannalta hyödyllinen. 22

Lause 4.26. Olkoon A R n avoin. Jos funktio f : A R on jatkuvasti derivoituva joukossa A, niin f on differentioituva joukon A jokaisessa pisteessä. Todistus. Olkoon x 0 A, ja olkoon k = 1 f( x 0 ),..., n f( x 0 ). Määritellään v : A R seuraavasti: f( x) f( x 0 ) k ( x x 0 ), kun x x 0, v( x) = x x 0 0, kun x = x 0. Nyt yhtälö (9) pätee, joten on vain osoitettava, että lim x x0 v( x) = 0 = v( x 0 ). Olkoon ε > 0. Lauseen 4.22 mukaan riittää löytää sellainen δ > 0, että v( x) < ε kaikilla x A B( x 0, δ). Valitaan sellainen δ, että seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. B( x 0, δ) A, 2. j f( x) j f( x 0 ) < ε/n kaikilla x B( x, δ) ja kaikilla j {1,..., n}. Olkoon nyt x B( x 0, δ) A = B( x 0, δ), x x 0. Tarkastellaan funktion f arvoja, kun siirrytään pisteestä x 0 pisteeseen x koordinaatti kerrallaan. Olkoon h = h 1,..., h n = x x 0, ja kun j {1,..., n}, asetetaan x j = x 0 + j i=1 h iē i. Erityisesti x n = x. Olkoon j {1,..., n}. Selvästi pisteet x j 1 ja x j sisältyvät kuulaan B( x 0, δ) ja siis funktion f määrittelyjoukkoon A, samoin niiden yhdysjana lemman 4.23 perusteella. Lauseen 4.25 mukaan on olemassa sellainen θ j ]0, 1[, että f( x j ) f( x j 1 ) = h j j f(ȳ j ), missä ȳ j = x j 1 + θ j ( x j x j 1 ) = x j 1 + θ j h j ē j. Toisaalta f( x) f( x 0 ) = n j=1 (f( x j) f( x j 1 )) ja k ( x x 0 ) = n j=1 h j j f( x 0 ). Lisäksi ȳ j B( x 0, δ) ja h j h = x x 0 kaikilla j {1,..., n}, joten f( x) f( x 0 ) k ( x x 0 ) = < n h j j f(ȳ k ) j=1 n h j j f( x 0 ) j=1 n h j j f(ȳ j ) j f( x 0 ) j=1 n x x 0 (ε/n) j=1 = x x 0 ε. Siispä v( x) < ε, kun x x 0 < δ. 23

Tarkastellaan seuraavaksi ketjusäännön yleistämistä. Olkoot A R n ja B R avoimia joukkoja, h: A B ja g : B R funktioita sekä x 0 A. Tällöin g h on funktio joukosta A joukkoon R, jolle määritelmän mukaan pätee (g h)( x) = g(h( x)) kaikilla x A. Tutkitaan osittaisderivaattaa j (g h)( x 0 ), missä j {1,..., n}. Oletetaan, että j h( x 0 ) ja g (h( x 0 )) ovat olemassa. Koska A on avoin, on olemassa sellainen r > 0, että B( x 0, r) A. Määritellään funktio v : ] r, r[ B, v(t) = h( x 0 + tē j ), ja edelleen w : ] r, r[ R, w(t) = g(v(t)). Nyt määritelmän mukaan j (g h)( x 0 ) = (g h)( x 0 + tē j ) (g h)( x 0 ) lim t 0 t = w(t) w(0) lim t 0 t = w (0). Toisaalta v (0) = j h( x 0 ) ja v(0) = h( x 0 ), joten tavallisesta yhden muuttujan ketjusäännöstä saadaan w (0) = g (v(0))v (0) = g (h( x 0 )) j h( x 0 ). Yhdistämällä nämä yhtälöt saadaan ketjusäännön vastine tapaukseen, missä sisäfunktio h on monipaikkainen ja ulkofunktio g yksipaikkainen: j (g h)( x 0 ) = g (h( x 0 )) j h( x 0 ). 4.6 Korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat Olkoot A R n epätyhjä avoin joukko, x 0 A sekä f : A R funktio, jonka osittaisderivaatta i f( x) on olemassa kaikilla x B( x 0, r), missä r > 0 on sellainen, että B( x 0, r) A. Tällöin i f on ainakin kuulassa B( x 0, r) määritelty reaaliarvoinen funktio, jolla voi edelleen olla osittaisderivaattoja pisteessä x 0, esim. j i f( x 0 ). Tällaista osittaisderivaatan osittaisderivaattaa kutsutaan toisen kertaluvun osittaisderivaataksi. Toisen kertaluvun osittaisderivaatalle i j f käytetään lyhennysmerkintää ij f. Esimerkki 4.27. Olkoon f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = x 2 1x 2. Funktiolla f on kaikilla x R 2 kaikki neljä toisen kertaluvun osittaisderivaattaa, joille saadaan seuraavat lausekkeet: 11 f(x 1, x 2 ) = 2x 2, 12 f(x 1, x 2 ) = 21 f(x 1, x 2 ) = 2x 1, 22 f(x 1, x 2 ) = 0. Ei ole sattumaa, että 12 f = 21 f, vaan tämä seuraa kyseisten osittaisderivaattojen jatkuvuudesta. 24

Toisen kertaluvun osittaisderivaattojen osittaisderivaattoja sanotaan kolmannen kertaluvun osittaisderivaatoiksi ja niin edelleen. Määritelmä 4.28. Olkoot A R n avoin joukko, f : A R funktio sekä k N +. Sanotaan, että funktio f on k kertaa jatkuvasti derivoituva joukossa A, joss funktiolla f on jokaisessa joukon A pisteessä kaikki kertaluvun k osittaisderivaatat, jotka ovat lisäksi jatkuvia koko joukossa A. Joukossa A k kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden luokkaa merkitään symbolilla L k (A). Huomaa, että jos esimerkiksi f L 2 (A), niin kaikkien funktion f ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaattojen on oltava olemassa koko joukossa A, jotta toisen kertaluvun osittaisderivaatat olisivat ylipäänsä olemassa. Lisäksi kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvasti derivoituvia, joten lauseen 4.26 nojalla ne ovat differentioituvia ja siis lauseen 4.18 perusteella myös jatkuvia. Niinpä jokainen kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva funktio on myös (yhden kerran) jatkuvasti derivoituva, vaikka tätä ei määritelmässä erikseen mainita. Sama pätee korkeammissa kertaluvuissa. Derivointijärjestykseen ei useinkaan tarvitse käytännössä kiinnittää huomiota. Aloitetaan tämän todistaminen seuraavalla lemmalla. Lemma 4.29. Olkoot A R n avoin joukko, f L 2 (A) ja x 0 A. Olkoon r, s R sellaiset, että 0 < s r ja B( x 0, 2r) A, ja olkoot i, j {1,..., n}, i j. Tällöin on olemassa sellaiset luvut θ 1, θ 2 ]0, 1[, että f( x 0 +sē i +sē j ) f( x 0 +sē i ) f( x 0 +sē j )+f( x 0 ) = s 2 ji f( x 0 +sθ 1 ē i +sθ 2 ē j ). Todistus. Merkitään ū = sē i, v = sē j. Määritellään g : [0, 1] R, g(t) = f( x 0 + tū + v) f( x 0 + tū). Nyt Toisaalta g(1) g(0) = f( x 0 + ū + v) f( x 0 + ū) f( x 0 + v) + f( x 0 ). g (t) = s( i f( x 0 + tū + v) i f( x 0 + tū)). Niinpä väliarvolauseen nojalla on sellainen θ 1 ]0, 1[, että g(1) g(0) = g (θ 1 ). Olkoon nyt h: [0, 1] R, h(t) = i f( x 0 + θ 1 ū + t v). Nyt h (t) = s ji f( x 0 + θ 1 ū + t v). 25

Taas väliarvolausetta soveltamalla todetaan, että on olemassa sellainen θ 2 ]0, 1[, että h(1) h(0) = h (θ 2 ). Niinpä f( x 0 + ū + v) f( x 0 + ū) f( x 0 + v) + f( x 0 ) = g(1) g(0) = g (θ 1 ) = s(h(1) h(0)) = sh (θ 2 ) = s 2 ji ( x 0 + θ 1 ū + θ 2 v). Lause 4.30. Olkoot A R n avoin joukko, x 0 A sekä f L 2 (A) funktio. Tällöin ij f( x 0 ) = ji f( x 0 ). Todistus. Väite on triviaali, jos i = j. Oletetaan siis, että i j. Olkoon r > 0 sellainen, että B( x 0, 2r) A. Olkoon k N +, ja olkoon s = r/k. Merkitään a k = f( x 0 + sē i + sē j ) f( x 0 + sē i ) f( x 0 + sē j ) + f( x 0 ). Lemman 4.29 mukaan on olemassa sellaiset luvut θ 1, θ 2 ]0, 1[, että a k = ji f( x 0 + sθ 1 ē i + sθ 2 ē j ). Olkoon ȳ k = x 0 + sθ 1 ē i + sθ 2 ē j. Nyt jokaisella k N + pätee ȳ k x 0 < 2r/k, joten ȳ k x 0. Oletuksen mukaan osittaisderivaatta ji f on jatkuva, joten ji f( x) = lim k ji f(ȳ) = lim k a k. Kun indeksit i ja j vaihdetaan keskenään, luvut a k pysyvät samana, joten ij f( x 0 ) = lim k a k = ji f( x 0 ). Lisätietoa: Ylläolevan lauseen ehtoja voidaan hieman heikentää ja johtopäätöstä vahvistaa suunnattuihin derivaattoihin, mutta seuraavat esimerkit osoittavat, että väite edellyttää osittaisderivaattojen ij f ja ji f olemassaoloa sekä vähintään yhden jatkuvuutta pisteessä x 0. Esimerkki 4.31. Olkoon f : R 2 R, { 1, jos x 1 Q, f(x 1, x 2 ) = 0, muuten. Tällöin 1 f( x) = 0 kaikilla x R 2, joten myös 21 f( x) = 0 kaikilla x R 2. Toisaalta 2 f( x) ei ole määritelty millään x R 2 eikä siis myöskään 12 f( x). 26

Esimerkki 4.32. Olkoon f : R 2 R, x 1 x 2 (x 2 1 x2 2 ) f(x 1, x 2 ) = x 2 1 +, jos x 0, x2 2 0, jos x = 0. Nyt voidaan melko helposti tarkistaa, että 12 f( 0) = 1 mutta 21 f( 0) = 1. Osittaisderivaatat 12 f ja 21 f ovat epäjatkuvia origossa. 4.7 Ääriarvot Määritelmä 4.33. Olkoot A R n joukko, f : A R funktio ja x 0 A. 1. Funktiolla f on pisteessä x 0 lokaali eli paikallinen maksimi, joss on olemassa sellainen r > 0, että kaikilla x A B( x 0, r) pätee f( x) f( x 0 ). Lokaali maksimi on aito, joss kaikilla x A B( x 0, r) pätee f( x) < f( x 0 ), kun x x 0. 2. Funktiolla f on pisteessä x 0 lokaali eli paikallinen minimi, joss on olemassa sellainen r > 0, että kaikilla x A B( x 0, r) pätee f( x) f( x 0 ). Lokaali minimi on aito, joss kaikilla x A B( x 0, r) pätee f( x) > f( x 0 ), kun x x 0. 3. Paikallinen ääriarvo tarkoittaa paikallista minimiä tai paikallista maksimia. Lokaalille ääriarvolle pätee lause, joka on yleistys vastaavasta väitteestä yhden muuttujan funktioille. Lause 4.34. Olkoon A R n avoin joukko ja f : A R funktio, jolla on lokaali maksimi pisteessä x 0 A. Jos osittaisderivaatta i f( x 0 ) on olemassa, niin i f( x 0 ) = 0. Todistus. Määritelmän mukaan i f( x 0 ) = g (0), missä g : ] r, r[ R jollakin r > 0, g(t) = f( x 0 + tē i ). Funktiolla g on lokaali ääriarvo pisteessä 0, joten g (0) = 0. Määritelmä 4.35. Olkoon A R n avoin joukko ja f L 1 (A). Piste x A on funktion f kriittinen piste, joss f( x) = 0. Lauseen 4.34 nojalla avoimessa joukossa A R n jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaalit ääriarvokohdat ovat funktion kriittisiä pisteitä. Funktiolla ei kuitenkaan ole välttämättä lokaalia ääriarvoa kriittisessä pisteessä. 27

Rajoitutaan seuraavassa tarkastelussa yksinkertaisuuden vuoksi avaruuden R 2 avoimissa osajoukoissa määriteltyjen funktioiden ääriarvoihin. Tyypillisessä sovellustapauksessa toisen kertaluvun osittaisderivaattoja tutkimalla voidaan selvittää, onko kriittinen piste lokaali maksimi, lokaali minimi vai ei kumpaakaan. Tarkastellaan ensin ns. neliömuotoja, joiden avulla voidaan approksimoida kaksi kertaa jatkuvasti derivoituvaa funktiota kriittisen pisteen ympäristössä. Määritelmä 4.36. Kahden muuttujan neliömuoto (tässä tekstissä lyhyesti neliömuoto) on polynomifunktio Q: R 2 R, missä a, b, c R. Q(x 1, x 2 ) = ax 2 1 + 2bx 1 x 2 + cx 2 2, (10) Lause 4.37. Jokainen neliömuoto Q voidaan esittää seuraavassa muodossa: Q(x 1, x 2 ) = u(x 1 sin α + x 2 cos α) 2 + v(x 1 cos α x 2 sin α) 2, (11) missä u, v R, u v, α [0, π[. Todistus. (Idea.) Tapaus b = 0 on helppo. Muussa tapauksessa α saadaan yhtälön tan α cot α = (a c)/b avulla, minkä jälkeen u ja v on helppo ratkaista suoraan. Yhtälön juuri valitaan siten, että ehto u v toteutuu. Yksityiskohdat sivuutetaan. Olkoon Q neliömuoto, ja olkoot u, v, α kuten yhtälössä (11) sekä x R 2 ja r R. Tällöin on helppo tarkistaa seuraavat yhtälöt suoraan laskemalla: Q( x) = u x 2 + (v u)(x 1 cos α x 2 sin α) 2, Q( x) = v x 2 (v u)(x 1 sin α + x 2 cos α) 2, Q(r x) = r 2 Q( x), Q(sin α, cos α) = u, Q(cos α, sin α) = v. Niinpä seuraavat väitteet pätevät kaikilla r 0: 1. Kaikilla x R 2 pätee, että jos x = r, niin ur 2 Q( x) vr 2. 2. On olemassa sellaiset x ja ȳ, että x = ȳ = r ja Q( x) = ur 2, Q(ȳ) = vr 2. 28

Ylläolevan perusteella neliömuodot voidaan luokitella yhtälössä (11) esiintyvien kertoimien perusteella seuraavasti: 1. Jos u > 0, niin Q( x) u x 2 > 0 kaikilla x 0. Tällainen neliömuoto on positiivisesti definiitti. 2. Jos v < 0, niin Q( x) v x 2 < 0 kaikilla x 0. Tällainen neliömuoto on negatiivisesti definiitti. 3. Jos u = 0, niin Q( x) 0 kaikilla x R 2 ja Q( x) = 0 jollakin x 0. Tällainen neliömuoto on positiivisesti semidefiniitti. 4. Jos v = 0, niin Q( x) 0 kaikilla x R 2 ja Q( x) = 0 jollakin x 0. Tällainen neliömuoto on negatiivisesti semidefiniitti. 5. Jos u < 0 < v, niin Q( x) = v x 2 > 0 jollakin x 0 ja Q(ȳ) = u ȳ 2 < 0 jollakin ȳ 0. Tällainen neliömuoto on indefiniitti. Huomaa, että jos u = v = 0, niin Q( x) = 0 kaikilla x R 2. Tämä triviaali neliömuoto on sekä positiivisesti että negatiivisesti semidefiniitti. Olkoon Q neliömuoto, ja olkoot a, b, c, u, v, α kuten yhtälöissä (10) ja (11). Tällöin kertoimille pätevät seuraavat yhtälöt: uv = ac b 2, u + v = a + c. Näiden yhtälöiden perusteella neliömuotojen yllä esitetty luokittelu voidaan muotoilla kertoimien a, b, c avulla seuraavasti: 1. Jos ac > b 2 ja a > 0, niin Q on positiivisesti definiitti. 2. Jos ac > b 2 ja a < 0, niin Q on negatiivisesti definiitti. 3. Jos ac = b 2 ja a + c 0, niin Q on positiivisesti semidefiniitti. 4. Jos ac = b 2 ja a + c 0, niin Q on negatiivisesti semidefiniitti. 5. Jos ac < b 2, niin Q on indefiniitti. Kaksi kertaa jatkuvasti derivoituvaa funktiota voidaan approksimoida kriittisen pisteen ympäristössä neliömuodon avulla. Jos neliömuoto on definiitti tai indefiniitti, funktiolla on kriittisessä pisteessä sama ääriarvoluonne kuin neliömuodolla origossa: 29