Rakenteiden mekaniikan menetelmiä metallirakentajille OSA 3 Elementtiverkon generointi ja tulosten jälkikäsittely Reijo Kouhia TKK Rakenteiden mekaniikka s-posti: reijo.kouhia@tkk.fi URL:http://users.tkk.fi/ kouhia 9.0.005 Metallirakentamisen tutkimuskeskus, Seinäjoki
OSA 3 Sisältö Elementtiverkon generointi mosaiikkimenetelmät (tessellation methods) puumenetelmät (tree structure methods) kuvausmenetelmät (mapping methods) joitain käytännön seikkoja Elementtien lukkiutuminen/epästabiilius Tulosten jälkikäsittely (derivaattasuureiden) keskiarvoistus ekstrapolaatio pienimmän neliön keino Reijo Kouhia, 005 /3
Elementtiverkko Joitain käsitteitä karteesinen verkko tasainen (uniform) verkko rakenteellinen verkko (structured mesh) ei-rakenteellinen verkko (non-structured mesh) Reijo Kouhia, 005 3/3
Elementtiverkon generointi Mosaiikkimenetelmät etenevän rintaman strategiat (advancing front) diskretoidaan alueen reuna lisätään kolmio jolla sivu reunalla, saadaan uusi generointireuna jatketaan kolmiointia pienenevän generointialueen sisään Delaynayn kolmiointi Reijo Kouhia, 005 4/3
Elementtiverkon generointi Delaunayn kolmiointi Mosaiikkimenetelmät Katso http://www.cs.cornell.edu/info/people/chew/delaunay.html Pistejoukon Delaunayn (tai Delonen) kolmioinnilla on ominaisuus: piirrettäessä minkä tahansa kolmion kärkien kautta kulkeva ympyrä, mikään pistejoukon piste ei ole ympyrän sisällä. (Boris Delaunay, 934) Alla pistejoukko, sen Delaunayn kolmiointi ja Voronoin kuvio. Reijo Kouhia, 005 5/3
Elementtiverkon generointi Joitain käytännön seikkoja Elementtien vääristäminen. sivusuhde- ja suunnikasvääristymä (aspect-ratio, parallelogram distortion). keskisolmujen sijoittaminen toispuoleisesti (unevenly-spaced-nodes distortion) 3. kulmavääristymä (angular distortion) 4. sivujen kaareuttaminen (curved-edge distortion) Reijo Kouhia, 005 6/3
Elementtiverkon generointi Suosituksia isoparametristen elementtien käytöstä. Serendipity elementtien käyttö on syytä rajoittaa tapauksiin, joissa elementtien geometria on suorakaiteen tai vinokaiteen muotoinen.. Lagrangen tyyppisiä elementtejä vapaammin kunhan elementtien sivut ovat suoria ja solmut symmetrisesti sijoitettuna. 3. Vältä kaarevasivuisia elementtejä. Rajoita niiden käyttö vain kaarevasivuisten reunojen lähelle. Sijoita vain yksi sivu kaarevalle reunalle ja pidä muut sivut suorina. Reijo Kouhia, 005 7/3
Elementtiverkon generointi Lähteitä J.E. Akin, Finite Elements for Analysis and Design, luku 9, Academic Press, 994 G.F. Carey, Computational Grids, Generation, Adaptation and Solution Strategies, Taylor & Francis, 997 P.-L. George, H. Borouchaki, Delaynay Triangulation and Meshing, Applications to Finite Elements, Hermes, 998 N.-S. Lee, K.-J. Bathe, Effects of element distortions on the performance of isoparametric elements, Int. J. Numer. Meth. Engng, vol 36, 3553 3576, 993 Jonathan Shewchukin kotisivu http://www.cs.berkeley.edu/ jrs http://www.voronoi.com Reijo Kouhia, 005 8/3
Elementtien lukkiutuminen/epästabiilius. kokoonpuristumaton aine. leikkauslukkiutuminen hoikat rakenteet analysoituna kontinuumielementeillä leikkausmuodonmuutoksen huomioonottavat palkki, laatta ja kuorimallit 3. kalvolukkiutuminen kaarevat hoikat rakenteet Reijo Kouhia, 005 9/3
Elementtien lukkiutuminen/epästabiilius Laattaesimerkki Reissnerin-Mindlinin laattamalli. Mikäli valitaan samanasteinen interpolaatio taipumalle ja kiertymille on seurauksena lukkiutuminen analysoitaessa ohuita laattoja. Ensimmäinen parannuskeino: ali-integroidaan leikkaustermit. Seurauksena epästabiilius, kuva seuraavalla kalvolla. Leikkausvoimajakauma (Q x ) vaakasuoralla symmetrialinjalla laskettuna SRI (ylhäällä) ja stabiloidulla MITC elementillä (alhaalla) Säännöllinen (vasemmalla) ja epäsäännollinen (oikealla) 6 6 elementtiverkko ja laatan suhteellinen paksuus on t/l = 0.0. Pisteviiva on tarkka ratkaisu. Kuva artikkelista M. Lyly, R. Stenberg, New three and four node plate bending elements, Rakenteiden Mekaniikka, vol. 7, no, 3 9, 994 SRI = Selective Reduced Integration, t.s. taivutustermit integroidaan nelisolmuisen elementin tapauksessa Gaussin-Legendren kaavoilla ja leikkaustermi yhden pisteen G-L kaavoilla. (Vastaavasti kolmisolmuinen elementti 3 pisteen ja -pisteen kaavalla) Reijo Kouhia, 005 0/3
Elementtien lukkiutuminen/epästabiilius # # SRI 3 N 3 N # # # : # : # # stab MITC 3 N 3 N # # : # : # Reijo Kouhia, 005 /3
Tulosten jälkikäsittely Jännitykset epätarkempia kuin siirtymät sillä ne on laskettu derivoimalla siirtymistä jotka ovat primäärituntemattomia. HUOM: Tämä pätee vain siitymämenetelmään perustuville elementeille Jännitysten arvot lasketaan elementin integroimispisteissä, elementin reunoilla. jotka eivät yleensä sijaitse Jännitysten arvot solmupisteissä voidaan määrittää esimerkiksi:. Lasketaan siirtymäinterpolaatiosta muodonmuutosten arvot solmuissa ja niistä jännitykset, jotka keskiarvoistetaan solmuun liittyvien elementtien pinta-alojen suhteessa.. Ekstrapoloidaan jännitysten arvot integrointipisteistä käyttäen hyväksi sopivaa interpolaatiofunktio ja suoritetaan keskiarvoistus. 3. Otaksutaan jännityskomponenteille jatkuva interpolaatio käyttäen samoja interpolaatiofunktioita kuin siirtymille ja määritetään jännitysten solmupistearvot pienimmän neliön keinolla. Reijo Kouhia, 005 /3
# & " % $! Tulosten jälkikäsittely Ekstrapolaatio solmuihin Esimerkkinä nelisolmuinen bilineaarinen tasoelementti. / = K I I E F E I J A * E E A = = H E A A I J H = F = = J E 8 Jännityssuure Q elementin Gaussin-Legendren integrointipisteissä, I, II, III ja IV. Merkitään haluttuja solmupistearvoja Q,..., Q 4. Gaussin-Legendren -menetelmän pisteiden koordinaatit ξ = ±, η = ±. 3 3 Reijo Kouhia, 005 3/3
Tulosten jälkikäsittely Ekstrapolaatio solmuihin Otaksutaan jännitykselle bilineaarinen interpolaatio elementin alueella Q = N (ξ, η)q + N (ξ, η)q + N 3 (ξ, η)q 3 + N 4 (ξ, η)q 4 missä bilineaariset interpolaatiofunktiot N i = 4 ( + ξ iξ)( + η i η). Lasketaan integrointipisteissä ja tuntemattomat solmupistearvot, saadaan 8 >< >: Q Q Q 3 Q 4 9 >= >; = 6 4 ( + 3) ( 3) ( + 3) ( 3) ( 3) ( + ( 3) 3) ( + 3) 3 8 >< 7 5 >: Q I Q II Q III Q IV 9 >=. >; Reijo Kouhia, 005 4/3
Tulosten jälkikäsittely Pienimmän neliön keino Elementtimenetelmäratkaisu siirtymille u h, niistä lasketut jännitykset σ h. Otaksutaan jälkikäsitellyille jännityskomponenteille jatkuva interpolaatio σ c = Ns, matriisi N sisältää interpolaatiofunktiot ja s uudet jännitysten solmupistearvot. σ c sovitetaan elementtimenetelmän raakajännitykseen pienimmän neliön keinolla min s I(s), missä I = Ω (σ c σ h ) dω = Ω (Ns σ h ) dω. Reijo Kouhia, 005 5/3
Tulosten jälkikäsittely Pienimmän neliön keino Minimiehto Lyhyesti merkittynä I s = Ω N T (Ns σ h )dω = 0. Ms = b Kerroinmatriisi M ja vektori b kootaan elementtiosuuksista M (e) = Ω (e) N T NdΩ, b (e) = Ω (e) N T σ h dω. Jännitysten suppenemisnopeuteen keinolla ei ole vaikutusta. HUOM: Jännitysten tasoitusta ei saa suorittaa rajapinnoilla joissa materiaaliominaisuudet hyppäyksenomaisesti muuttuvat. Tällöin tasoitus on suoritettava osa-alueittain. Reijo Kouhia, 005 6/3
Tulosten jälkikäsittely Esimerkki Pienimmän neliön keino Ratkaistaan lämmönjohtumisyhtälö ku = f, u(0) = u(l) = 0, f(x) = 4f0 x L x «. L käyttäen kahta lineaarista elementtiä ratkaisualueen puolikkaalla. ratkaisusta lämpövuo q h = ku h. Lasketaan saadusta Jälkikäsittele tätä lämpövuon lauseketta otaksumalla parannetulle lämpövuon lausekkeelle C 0 - jatkuva: q (e) c = N (ξ)q c + N (ξ)q c. Diskretoitaessa elementtimenetelmällä puolet alueesta reunaehdot ovat u(0) = 0 ja q(l/) = 0. Reijo Kouhia, 005 7/3
Tulosten jälkikäsittely Pienimmän neliön keino Elementtimatriisi on K (e) ij = k Z dn i dx dn j k dx = dx h (e) Z dn i dξ dn j dξ dξ. Käytettäessa lineaarisia elementtejä, yhtälöryhmäksi saadaan " K () + K() K () K () K () # j u u 3 ff = ( f () + f () f () ). Lasketaan kuormitustermit f (e) i = h(e) Z f(ξ)n i (ξ)dξ, Reijo Kouhia, 005 8/3
Tulosten jälkikäsittely Pienimmän neliön keino f () = h(e) Z 4f 0 x L x «L ( + ξ)dξ x L = x(e) c L! + h(e) L ξ Z = 56 f 0L ( + ξ) (7 ξ)dξ = 3 9 f 0L, Z f () = 56 f 0L (3 + ξ)(5 ξ)( ξ)dξ = 9 f 0L, f () = 3 9 f 0L. Yhtälöryhmäksi saadaan siten 4k L» j u u 3 ff = 9 j 34 3 ff. Reijo Kouhia, 005 9/3
Tulosten jälkikäsittely Pienimmän neliön keino Ratkaisu on j ff j ff u 57 f0 L = u 3 80 768k. Käytettäessä lineaarisia elementtejä lämpövuo on vakio elementin alueella Saadaan arvot q (e) = ku = k u(e) u (e) h (e) = 4k L (u(e) u (e) ). q () = 57 9 f 0L, q () = 3 9 f 0L. Lämpövuon jälkikäsittelyä varten muodostetaan matriisi M, joka koostuu elementtimatriiseista M (e) ij = Z x x N i N j dx = h(e) Z N i N j dξ. Lineaarisen elementin tapauksessa se on muotoa M (e) = h(e) 6». Reijo Kouhia, 005 0/3
Tulosten jälkikäsittely Pienimmän neliön keino Lämpövuolle voidaan antaa reunaehto alueen keskellä (ei välttämätontä), joten ratkaistavaksi jää kaksi suuretta eli lämpövuon arvot solmuissa ja. Oikean puolen vakiovektorin b, joka koostuu elementtiosuuksista termit ovat b (e) i = h(e) Z b = b (), N i (ξ)q (e) dξ, b = b () + b (), b () = L 8 Z b () = b (), ` 57 b () = 3 536 f 0L. 9 f 57 0L ( ξ)dξ = 536 f 0L, Reijo Kouhia, 005 /3
Tulosten jälkikäsittely Pienimmän neliön keino Ratkaistava yhtälöryhmä on L» 4 j qc q c ff = j 57 80 ff f0 L 536, j qc q c ff = j 48 03 ff f0 L 796. Kuvassa lämpövuon analyyttinen lauseke (yhtenäinen viiva) sekä suoraan elementtiinterpolaatiosta laskettu että jälkikäsitelty jatkuva lämpövuon arvo. 0 q f 0 L -0. -0. -0.3 + + + + -0.4 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 x/l Reijo Kouhia, 005 /3
Tulosten jälkikäsittely Pienimmän neliön keino Analyyttinen ratkaisu lämpötilalle on u(x) = f 0L x 3k L " «x 3 «x + #, L L josta saadaan lämpövuo kaavalla q = ku. Reijo Kouhia, 005 3/3