Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Katri Syvänen Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Tammikuu 2009

Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos SYVÄNEN, KATRI: Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta Pro gradu -tutkielma, 46 s Matematiikka Tammikuu 2009 Tiivistelmä Olkoot V ja W vektoriavaruuksia Tällöin kuvausta T : V W sanotaan lineaariseksi, jos (a) T (u + v) T (u) + T (v), (b) T (cu) ct (u) aina, kun u, v V ja c F Tämä tutkielma käsittelee näitä lineaarikuvauksia Tutkielmassa esitetään lineaarikuvauksille erilaisia ominaisuuksia ja tutkitaan niiden matriiseja Tutkielma seuraa kirjan Elementary linear algebra ([1, s 304-334]) lukuja 71 73 Lineaarikuvauksilla on monia sovelluksia muun muassa geometrisella puolella Voidaan tutkia lineaarikuvausten vaikutuksia geometrisesti esimerkiksi niin kutsuttujen elementaarimatriisien avulla Tämän tutkielman luvussa 32 perehdytään näihin geometrisiin kuvauksiin tasossa R 2 Tämän tutkielman lopussa tutkitaan niin kutsuttuja kannanmuutosmatriiseja, joiden avulla tutkitaan vektoriavaruuden V kahden kannan suhteen muodostettujen koordinaattivektoreiden suhdetta Lopuksi saadaan tulos, jonka mukaan lineaarioperaattorin T : V V matriisi A kannan B suhteen on similaarinen kuvauksen T kannan B suhteen muodostetun matriisin A kanssa, kun B ja B ovat vektoriavaruuden V kaksi kantaa 1

Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valmistelevia tarkasteluja 4 3 Lineaarinen kuvaus 9 31 Matriisikuvaukset 9 32 Tason R 2 geometriset kuvaukset 13 33 Lineaarikuvausten ominaisuuksia 23 34 Nolla- ja kuva-avaruus 25 4 Kannanmuutosmatriisit 30 41 Koordinaatit ja kannan muutokset 30 42 Lineaarikuvausten matriisit 39 43 Lineaarioperaattorit ja similaariset matriisit 42 Viitteet 48 2

1 Johdanto Olkoot V ja W vektoriavaruuksia Tällöin kuvausta T : V W sanotaan lineaariseksi, jos (a) T (u + v) T (u) + T (v), (b) T (cu) ct (u) aina, kun u, v V ja c F Tämä tukielma käsittelee näitä lineaarikuvauksia Tutkielmassa esitetään lineaarikuvauksille erilaisia ominaisuuksia ja tutkitaan niiden matriiseja Tämä tutkielma seuraa kirjan Elementary linear algebra ([1, s 304-334]) lukuja 71 73 Jos lähdettä ei erikseen mainita, lauseet, määritelmät yms ovat tästä päälähteestä [1] Lukijan odotetaan osaavan kursseilla Lineaarialgebra 1A+B opetetut tiedot Lisäksi matematiikan peruskäsitteet myös muilta matematiikan osaalueilta oletetaan tunnetuiksi Lisäksi luvussa 2 luetellaan määritelmiä ja lauseita, joita tarvitaan tutkielman ymmärtämiseksi Tässä saattaa esiintyä jo kursseilla Lineaarialgebra 1A+B esiintyneitä määritelmiä tai puuttua näillä kursseilla esittämättä jääneitä käsitteitä Tämä johtuu siitä, että kyseisten kurssien sisältö vaihtelee ja joitakin perusmääritelmiä esitetään, koska ne ovat kirjoittajan mielestä hyödyllisiä tässä tutkielmassa Tästä kurssien sisällön vaihtuvuudesta johtuen osa käsitteistä saatetaan käydä läpi vasta kurssilla Lineaarialgebra 2A Jos jotakin määritelmää ei tässä luvussa (tai myöhemmin) esitetä, sen oletetaan olevan lukijan hallinnassa Tällaisia käsitteitä ovat ainakin matriisin ominaisvektorit ja ominaisarvot, vektorin tai joukon ortogonaalisuus, ortonormaali vektori, joukko tai kanta sekä symmetrinen matriisi Tässä tutkielmassa kuvausten T : R n R m skalaarikunta (kerroinkunta) on R ja kuvausten T : V W skalaarikunta on F Tätä ei siis välttämättä mainita joka kohdassa erikseen Luvussa 3 käsitellään erilaisia kuvauksia Ensimmäisessä alaluvussa 31 annetaan matriisikuvauksen määritelmä ja siihen liittyviä käsitteitä, kuten kuvauksen lineaarisuus Tästä siirrytään käsittelemään erilaisia geometrisia lineaarikuvauksia, joita esitellään luvussa 32 Näitä geometrisia kuvauksia ovat muun muassa peilaus ja kierto Lisäksi tämän luvun kahdessa viimeisessä alaluvussa esitellään lineaarikuvausten ominaisuuksia sekä tarkastellaan näiden kuvausten nolla- ja kuva-avaruuksia Luvussa 4 siirrytään tarkastelemaan tilannetta, jossa vektoriavaruudelle V valitaan kaksi kantaa B ja B ja tutkitaan, kuinka vektori v V voidaan esittää näiden kantojen suhteen muodostettuna lineaarikombinaationa Muodostetaan niin kutsutut koordinaattivektorit ja selvitetään näiden välistä suhdetta Tämän luvun ensimmäisessä alaluvussa käsitellään lineaarikuvausten matriiseja Toisessa alaluvussa tarkastellaan kuvauksia T : V V, jolloin puhutaan lineaarioperaattoreista 3

2 Valmistelevia tarkasteluja Tässä luvussa esitellään määritelmiä ja lauseita, joita tarvitaan tämän tutkielman ymmärtämiseksi Määritelmä 21 (Vrt [3, s 551]) Olkoot X ja Y Tarkastellaan osajoukkoa f X Y {(x, y) x X ja y Y } Mikäli x X :! y Y : (x, y) f, niin osajoukkoa f sanotaan funktioksi eli kuvaukseksi joukolta X joukkoon Y ja merkitään f : X Y Merkintä (x, y) f korvataan merkinnällä f(x) y Määritelmä 22 (Vrt [3, s 551]) Olkoon f : X Y kuvaus ja olkoon A X Tällöin joukkoa f(a) {f(x) Y x A} kutsutaan joukon A kuvaksi kuvauksessa f Määritelmä 23 (Vrt [3, s 551]) Olkoon f : X Y kuvaus ja olkoon B Y Tällöin joukkoa f 1 (B) {x X f(x) B} kutsutaan joukon B alkukuvaksi kuvauksessa f Määritelmä 24 Kuvausta f : X Y sanotaan injektioksi, jos f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 Toisin sanoen kuvaus f : X Y on injektio, jos joukossa X ei ole olemassa kahta alkiota, jotka eivät ole samat, mutta joiden kuvat ovat samat (eli x 1 X : x 2 Y : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )) Määritelmä 25 Kuvausta f : X Y sanotaan surjektioksi, jos y Y : x X : y f(x) Toisin sanoen kuvaus f : X Y on surjektio, jos jokaisella joukon Y alkiolla on ainakin yksi alkukuva (kts määritelmä 23) Määritelmä 26 Kuvausta f : X Y sanotaan bijektioksi, jos se on sekä injektio että surjektio Toisin sanoen, jos f : X Y on bijektio, niin y Y :!x X : f(x) y Siis jokainen y Y on täsmälleen yhden alkion x X kuva 4

Määritelmä 27 (Vrt [3, s 553]) Olkoon F epätyhjä joukko Systeemiä F, +, sanotaan kunnaksi, jos jokaista alkioparia a, b F kohti on olemassa yksikäsitteiset alkiot a + b F ja a b F (lyhyesti ab), jos lisäksi seuraavat ehdot ovat voimassa 1 a, b F: a + b b + a, 2 a, b, c F: a + (b + c) (a + b) + c, 3 0 F: a Fa + 0 a, 4 a F: a F: a + ( a) 0 ( a) + a, 5 a, b F: ab ba, 6 a, b, c F: (ab)c a(bc), 7 1 F \ {0}: a F: a1 a, 8 a F \ {0}: a 1 F: aa 1 1, 9 a, b, c F: a(b + c) ab + ac Tällöin laskutoimituksia + ja kutsutaan yhteen- ja kertolaskuksi Määritelmä 28 (Vrt [2, s 191]) Olkoon V epätyhjä joukko, jossa on määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen Tällöin joukkoa V kutsutaan vektoriavaruudeksi (yli kunnan F), jos seuraavat ominaisuudet pitävät paikkansa aina, kun u, v, w V ja c, d F 1 (u + v) V, 2 u + v v + u, 3 u + (v + w) (u + v) + w, 4 0 V : u + 0 u, 5 u V ja u + ( u) 0 ( u) + u, 6 cu V, 7 c(u + v) cu + cv, 8 (c + d)u cu + du, 9 c(du) (cd)u, 10 1u u 5

Määritelmä 29 (Vrt [3, s 24]) Olkoon V vektoriavaruus, ja olkoon joukko S joukon V epätyhjä osajoukko Vektoria v V kutustaan joukon S vektoreiden lineaarikombinaatioksi, jos on olemassa äärellinen määrä sellaisia vektoreita u 1, u 2,, u n S ja skalaareita a 1, a 2,, a n F, että v a 1 u 1 + a 2 u 2 + + a n u n Tällöin sanotaan myös, että v on vektoreiden u 1, u 2,, u n lineaarikombinaatio ja, että skalaarit a 1, a 2,, a n ovat lineaarikombinaation kertoimet Määritelmä 210 (Vrt [2, s 203]) Olkoon A m n-matriisi Tällöin matriisin A sarakeavaruus on kaikkien matriisin A sarakkeiden lineaarikombinaatioiden joukko Col(A) Toisin sanoen Col(A) {x R m : x Ay jollakin y R n } Määritelmä 211 (Vrt [1, s 195]) Tarkastellaan homogeenisysteemiä Ax 0 Tämän yhtälön ratkaisuavaruutta kutsutaan matriisin A nolla-avaruudeksi Tätä nolla-avaruutta merkitään Null(A) Määritelmä 212 (Vrt [1, s 175]) Vektoriavaruuden V vektorit v 1, v 2,, v k ovat lineaarisesti riippumattomia, jos yhtälöllä c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k 0 on ainoastaan triviaali ratkaisu c 1 c 2 c k 0 Määritelmä 213 (Vrt [1, s 181]) Olkoon S äärellinen joukko vektoriavaruuden V vektoreita Tällöin joukkoa S kutsutaan vektoriavaruuden V kannaksi, jos 1 joukon S vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja 2 joukon S vektorit virittävät vektoriavaruuden V Kannan S alkioita sanotaan kantavektoreiksi Vektoriavaruuden R n kantaa S, jossa vektorit ovat muotoa e 1 (1, 0, 0,, 0), e 2 (0, 1, 0,, 0),, e n (0, 0,, 0, 1) sanotaan vektoriavaruuden R n luonnolliseksi kannaksi Määritelmä 214 (Vrt [1, s 44]) Olkoon I n n-matriisi Tällöin matriisia 1 0 0 0 0 1 0 0 I 0 0 1 0 0 0 0 1 sanotaan identtiseksi matriisiksi 6

Määritelmä 215 (Vrt [1, s 50]) Olkoon E n n-matriisi Mikäli matriisi E voidaan muodostaa tekemällä yksi alkeellinen rivioperaatio identtiselle n n-matriisille I, kutsutaan matriisia E elementaarimatriisiksi Määritelmä 216 (Vrt [3, s 17]) Olkoon W vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko Tällöin W on vektoriavaruuden V aliavaruus, jos W on vektoriavaruus ja siinä on määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen, kuten vektoriavaruudessa V Lause 21 (Vrt [1, s 167]) Olkoon W vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko Tällöin W on vektoriavaruuden V aliavaruus, jos ja vain jos 1 0 W, 2 cu + v W aina, kun u, v W ja c F Todistus Sivuutetaan Katso esimerkiksi [3, s 17] Määritelmä 217 ([1, s 46]) Neliömatriisin A n n sanotaan olevan kääntyvä (tai ei-singulaarinen), jos on olemassa matriisi B n n siten, että AB BA I Jos tällainen matriisi B on olemassa, niin se on matriisin A yksikäsitteinen käänteismatriisi a b Lause 22 ([1, s 47]) Olkoon 2 2-matriisi A kääntyvä Tällöin c d A 1 1 det A d b c a Seuraava todistus on kirjoittajan keksimä toditus tälle lauseelle Todistus Olkoon kääntyvä Osoitetaan, että a b A c d A 1 1 det A Määritelmän 217 mukaan siis oltava d b c a AA 1 A 1 A I 7

Koska det A ad bc, Vastaavasti saadaan a b AA 1 1 d b c d ad bc c a 1 ad bc ab + ba ad bc cd dc cb + da A 1 A 1 da bc db bd ad bc ca + ac cb + ad 1 0 0 1 1 0 0 1 Siis A 1 1 det A d b c a Määritelmä 218 (Vrt [1, s 273]) Olkoot A ja B n n-matriiseja Tällöin matriisien A ja B sanotaan olevan similaariset, jos on olemassa sellainen kääntyvä matriisi P, että B P 1 AP Määritelmä 219 (Vrt [3, s 46-47]) Vektoriavaruutta V kutsutaan äärellisulotteiseksi, jos sillä on kanta, joka muodostuu äärellisestä määrästä vektoreita Tätä yksikäsitteistä vektoreiden määrää vektoriavaruuden V kannoissa kutsutaan vektoriavaruuden V dimensioksi, jota merkitään dimv 8

3 Lineaarinen kuvaus Tässä luvussa tarkastellaan matriisikuvauksia ja lineaarikuvauksia Lineaarikuvausten geometriset vaikutukset ovat tarkastelun kohteena alaluvussa 32 Tämän jälkeen siirrytään tarkastelemaan lineaarikuvausten ominaisuuksia sekä nolla- ja kuva-avaruuksia 31 Matriisikuvaukset Funktio f joukolta V joukkoon W on sääntö, joka määrää jokaiselle joukon V alkiolle x täsmälleen yhden alkion f(x) joukosta W Jos V ja W ovat vektoriavaruuksia, f on vektoriarvoinen funktio joka liittää jokaiseen vektoriavaruuden V vektoriin v vektoriavaruuden W vektorin w f(v) (kts määritelmä 21) Tätä funktiota f kutsutaan myös kuvaukseksi vektoriavaruudelta V vektoriavaruuteen W ja merkitään T : V W Vektoria w T (v) kutsutaan vektorin v kuvaksi (kts määritelmä 22) kuvauksessa T Tässä luvussa tarkastellaan kuvauksia T : V W, joissa vektorin v kuva T (v) voidaan esittää myös matriisin A ja vektorin v tulona Esimerkki 31 (Vrt [1, esim 1, s 304]) Olkoon (31) T (v) (x + 5y z, x + y + z) Tällöin T määrittää kuvauksen vektoriavaruudelta R 3 vektoriavaruuteen R 2 Esimerkiksi vektorin v (1, 2, 3) kuva on w T (v) (8, 4) Olkoon 1 5 1 A 1 1 1 Tällöin x 1 5 1 (32) Av y 1 1 1 z x + 5y z (x + 5y z, x + y + z) x + y + z Kun verrataan yhtälöä (31) yhtälöön (32), huomataan, että kuvaus T : R 3 R 2 voidaan esittää muodossa (33) T (v) Av Vektorin v kuva saatiin siis kertomalla vektori v 2 3-matriisilla A Määritelmä 31 Olkoon T : R n R m kuvaus Jos on olemassa sellainen m n-matriisi A, että (34) T (x) Ax, missä x R n, niin kuvausta T kutsutaan matriisikuvaukseksi, jota vastaa matriisi A 9

Jos x on sarakevektori joukossa R n, niin m 1-tulomatriisi Ax on sarakevektori joukossa R m Koska matriisikuvaus T, jota vastaa matriisi A m n, on kuvaus vektoriavaruudelta R n vektoriavaruuteen R m, vektorin x tulee olla n-alkioinen, jotta tulo Ax olisi määritelty Esimerkki 32 (Vrt [1, esim 2, s 305]) Olkoon 1 5 A 1 1 3 2 Tällöin tämä 3 2-matriisi määrittää kuvauksen T : R 2 R 3, sillä 1 5 x + 5y x T (x, y) 1 1 x + y (x + 5y, x + y, 3x + 2y) y 3 2 3x + 2y Tässä tutkielmassa käytetään merkintää T (x, y) vektorin (x, y) kuvalle kuvauksessa T Lause 31 Olkoon T : R n R m matriisikuvaus, jolloin T (x) Ax, missä A on annettu m n-matriisi Tällöin (35) T (u + v) T (u) + T (v), (36) T (cu) ct (u) aina, kun u, v R n ja c R Todistus Olkoon T : R n R m kuvaus Oletetaan, että T (x) Ax Tällöin T (u + v) A(u + v) Au + Av T (u) + T (v), joten yhtälö (35) on voimassa Oletetaan edelleen, että T (x) Ax Nyt Siis yhtälö (36) on voimassa T (cu) A(cu) c(au) ct (u) Määritelmä 32 Olkoot V ja W vektoriavaruuksia Tällöin kuvausta T : V W sanotaan lineaariseksi, jos (a) T (u + v) T (u) + T (v), (b) T (cu) ct (u) aina, kun u, v V ja c F 10

Esimerkki 33 (Vrt [1, esim 4, s 306]) Olkoon T : R 2 R 2 kuvaus, missä T (x, y) (xy, x + y) Tällöin ja T (1, 0) (0, 1) T (0, 1), T ((1, 0) + (0, 1)) T (1, 1) (1, 2), T (1, 0) + T (0, 1) (0, 1) + (0, 1) (0, 2) Koska T ((1, 0) + (0, 1)) T (1, 0) + T (0, 1), kuvaus T ei ole lineaarinen, sillä määritelmän 32 kohta (a) ei ole voimassa Lause 32 Olkoot V ja W vektoriavaruuksia Tällöin kuvaus T : V W on lineaarinen, jos ja vain jos (37) T (c 1 v 1 + c 2 v 2 ) c 1 T (v 1 ) + c 2 T (v 2 ) aina, kun v 1, v 2 V ja c 1, c 2 F Todistus Olkoon T lineaarinen Silloin määritelmän 32 mukaan T (c 1 v 1 + c 2 v 2 ) T (c 1 v 1 ) + T (c 2 v 2 ) c 1 T (v 1 ) + c 2 T (v 2 ) Nyt siis yhtälö (37) on voimassa Oletetaan sitten, että yhtälö (37) on voimassa Tällöin erityisesti arvoilla c 1 c 2 1 on voimassa T (v 1 + v 2 ) T (v 1 ) + T (v 2 ), jolloin määritelmän 32 kohta (a) on voimassa Erityisesti, kun c 1 c ja c 2 0, on voimassa T (cv 1 ) ct (v 1 ), jolloin määritelmän 32 kohta (b) on voimassa Näin ollen määritelmän 32 nojalla kuvaus T on lineaarinen Olkoon kuvaus T lineaarinen Tällöin edellistä lausetta ja induktioperiaatetta soveltamalla saadaan tulos (38) T (c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c n v n ) c 1 T (v 1 ) + c 2 T (v 2 ) + + c n T (v n ) aina, kun v 1, v 2,, v n V ja c 1, c 2,, c n F Lauseen 31 mukaan matriisikuvaukselle on voimassa yhtälöt (35) ja (36), jolloin kuvaus on lineaarinen Toisaalta myös jokainen lineaarikuvaus vektoriavaruudelta R n vektoriavaruuteen R m on matriisikuvaus 11

Lause 33 Kuvaus T : R n R m on lineaarinen, jos ja vain jos se on matriisikuvaus, jossa kuvausta T vastaava matriisi (39) A [ T (e 1 ) T (e 2 ) T (e n ) ], missä siis sarakevektorit T (e 1 ), T (e 2 ),, T (e n ) ovat vektoriavaruuden R n luonnollisen kannan kantavektoreiden e 1, e 2,, e n kuvat Todistus Olkoon T : R n R m matriisikuvaus eli T (x) Ax Tällöin lauseen 31 ja määritelmän 32 mukaan kuvaus T on lineaarinen Nyt pitää vielä todistaa, että yhtälö (39) on voimassa Matriisien kertolaskun määritelmästä seuraa, että Ae j T (e j ) (j 1,, n), joten matriisin A sarakevektorit ovat kantavektoreiden e 1, e 2,, e n kuvat Siis yhtälö (39) on voimassa Oletetaan sitten, että T : R n R m on lineaarikuvaus Olkoon matriisi A m n, kuten yhtälössä (39) Tulee osoittaa, että T (x) Ax aina, kun x (x 1, x 2,, x n ) R n ja näin ollen, että T on matriisikuvaus, jota vastaa matriisi A Koska T on lineaarinen, niin T (x) T (x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n ) x 1 T (e 1 ) + x 2 T (e 2 ) + + x n T (e n ) [ T (e 1 ) T (e 2 ) T (e n ) ] Ax x 1 x 2 x n Siis T (x) Ax, joten määritelmän 31 mukaan kuvaus T on matriisikuvaus Täten lause on todistettu Lauseesta 33 seuraa, että lineaarikuvaus T : R n R m on täysin määrätty, kun tunnetaan vektoriavaruuden R n luonnollisen kannan kantavektoreiden kuvat Esimerkki 34 Olkoon T : R 3 R 3 lineaarikuvaus Olkoot T (e 1 ) (2, 1, 3), T (e 2 ) ( 1, 0, 2), T (e 3 ) (3, 4, 1) Määritetään kuvauksen T sääntö T (x, y, z) Nyt kaavan (39) mukaan kuvauksen T matriisi A [ T (e 1 ) T (e 2 ) T (e 3 ) ] 2 1 3 1 0 4 3 2 1 12

Täten vektorin v (x, y, z) kuva 2 1 3 x T (v) 1 0 4 y (2x y + 3z, x + 4z, 3x + 2y z), 3 2 1 z joten T (x, y, z) (2x y + 3z, x + 4z, 3x + 2y z) Annettu kuvaus T : R n R m voidaan siis osoittaa lineaariseksi joko käymällä läpi määritelmän 32 ominaisuudet (a) ja (b) tai osoittamalla, että T on matriisikuvaus Esimerkki 35 (Vrt [1, esim 3, s 306]) Määritellään kuvaus T : R 2 R 2 kaavalla T (x, y) (2x + 7y, x) Huomataan, että 2 7 x T (x, y) (2x + 7y, x), 1 0 y joten kuvaus T on matriisikuvaus ja näin ollen se on myös lineaarinen 32 Tason R 2 geometriset kuvaukset Mitä geometrisia vaikutuksia lineaarikuvauksilla on? Tässä luvussa esitellään joitakin kuvauksia, joiden geometrinen vaikutus on ilmeinen Määritelmä 33 (Vrt [4, s 129]) Olkoon T : R 2 R 2 lineaarikuvaus ja olkoon L origon kautta kulkeva suora, jonka virittää yksikkövektori v Tällöin kuvausta T (x) Kx, missä (310) K 2vv T I, sanotaan peilaukseksi suoran L suhteen Esimerkki 36 Olkoon T : R 2 R 2 lineaarikuvaus Määritetään kuvauksen T sääntö, kun T peilaa tason pisteet x-akselin suhteen (kts kuva 1) Valitaan v 1, 0 jolloin v T [ 1 0 ] 13

Kuva 1: Peilaus x-akselin suhteen (Selvästi vektori v on yksikkövektori ja virittää x-akselin) Siis määritelmän 33 mukaan peilauksen x-akselin suhteen välittää matriisi K 2vv T I 1 [1 ] 1 0 2 0 0 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 Näin ollen 1 0 x T (x, y) 0 1 y x (x, y) y Kuva 2: Peilaus y-akselin suhteen Esimerkki 37 Olkoon T : R 2 R 2 lineaarikuvaus Määritetään kuvauksen T sääntö, kun T peilaa tason pisteet y-akselin suhteen (kts kuva 2) Valitaan v 0, 1 14

jolloin v T [ 0 1 ] Siis määritelmän 33 mukaan peilauksen y-akselin suhteen välittää matriisi K 2vv T I 0 [0 ] 1 0 2 1 1 0 1 1 0 0 1 Siis 1 0 x T (x, y) 0 1 y x ( x, y) y Jos kuvauksen T vaikutus jokaiseen luonnollisen kannan yksikkövektoriin on ilmeinen, voidaan soveltaa lausetta 33, jonka avulla voidaan muodostaa kuvausta T vastaava matriisi Kahdessa edellisessä esimerkissä vektoriavaruuden R 2 luonnollisen kannan alkioiden kuvat lienevät ilmeiset, kun ajatellaan, mitä peilauksella tarkoitetaan Tätä kautta olisi ollut helppo muodostaa säännöt peilauksille x- ja y-akselin suhteen Muistetaan siis, että peilauksen x-akselin suhteen välittää matriisi 1 0 (311) 0 1 ja peilauksen y-akselin suhteen välittää matriisi (312) 1 0 0 1 Selvitetään vielä (kirjasta poiketen) sääntö kuvaukselle, joka peilaa tason pisteet suoran y 3x suhteen Esimerkki 38 Olkoon T : R 2 R 2 lineaarikuvaus Määritetään kuvauksen T sääntö, kun T peilaa tason pisteet suoran y 3x suhteen Valitaan v 1 1, 10 3 jolloin v T 1 10 [ 1 3 ] 15

Määritelmän 33 mukaan peilauksen suoran y 3x suhteen välittää matriisi K 2 1 1 1 1 0 1 3 10 3 10 0 1 2 1 3 1 0 10 3 9 0 1 2 6 10 10 1 0 6 18 0 1 10 10 8 6 10 10 4 3 5 5 Siis [ 4 T (x, y) 5 3 5 6 10 3 5 4 5 8 10 3 5 4 5 ] x ( 45 y x + 35 y, 35 x + 45 ) y Määritelmä 34 (Vrt [4, s 130-131]) Olkoon T : R 2 R 2 lineaarikuvaus Tällöin matriisi cos θ sin θ (313) R sin θ cos θ välittää kuvauksen, jota kutsutaan kierroksi (origon ympäri) kulman θ verran (Kun θ 0, kierretään vastapäivään Kun θ < 0, kierretään myötäpäivään) Olkoon T lineaarikuvaus, joka kiertää tason R 2 pisteet vastapäivään kulman θ verran, kuten kuvassa 3 Kuvassa 3 havainnollistetaan myös kantavektoreiden e 1 ja e 2 kuvia T (e 1 ) ja T (e 2 ) Alkeellisen trigonometrian mukaan T (e 1 ) (cos θ, sin θ) ja T (e 2 ) (cos(θ+π/2), sin(θ+π/2)) ( sin θ, cos θ) Lauseen 33 mukaan lineaarikuvausta T vastaava matriisi R [ T (e 1 ) T (e 2 ) ] cos θ sin θ sin θ cos θ Esimerkki 39 Määritetään sääntö T (x, y), kun T : R 2 R 2 on tason R 2 kierto kulman θ 45 verran Nyt [ cos θ sin θ 2 1 1 ] R 2 1 sin θ cos θ 2 1 1 1 1 2 2 1 1 Täten pisteen (x, y) kuva T (x, y) 1 1 1 x 2 1 1 y Siis T (x, y) 1 x y 2 x + y ( 1 2 x 1 1 y, x + 1 ) y 2 2 2 16

Kuva 3: Tason R 2 ja yksikkövektoreiden kierrot kulman θ verran Joskus lineaarikuvaus T : R n R n esitetään tason R n lineaarikuvausten T 1, T 2,, T k (äärellisenä) yhdisteenä Toisin sanoen T (x) T k (T k 1 ( T 2 (T 1 (x)) )) aina, kun x R n Täten T (x) saadaan, kun sovelletaan vektoriin x ensin kuvausta T 1 ja sitten kuvausta T 2 ja jatketaan näin, kunnes sovelletaan kuvausta T k, jolloin on saatu selville haluttu T (x) Täten voidaan kirjoittaa, että (314) T T k T k 1 T 2 T 1 Olkoon A i kuvausta T i (i 1,, k) vastaava n n-matriisi Olkoon T i (x) A i x Tällöin T (x) T k T k 1 (T 2 (T 1 (x)) T k T k 1 T 2 (A 1 x) T k (A k 1 A 2 A 1 x) Täten saadaan tulos T (x) A k A k 1 A 2 A 1 x Ja edelleen tästä seuraa, että kuvausta T vastaava matriisi A A k A k 1 A 2 A 1, jolloin tämä on myös yhdistettä T T k T k 1 T 2 T 1 vastaava matriisi Esimerkki 310 (Vrt [1, esim 8, s 310]) Olkoon T : R 2 R 2 tason kuvaus, joka muodostuu peilauksesta suoran y x suhteen (kts kuva 4) Nyt (315) K 2 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 0 1 0 1 1 0 Täten siis T (x, y) (y, x) Geometrisesti on selvää, että T T 3 T 2 T 1, kun T 1 on kierto (origon ympäri) kulman θ 45 verran, T 2 on peilaus x-akselin 17

suhteen ja T 3 on kierto kulman θ 45 verran Kuvaus T 1 vie suoran y x x-akselille ja T 3 palauttaa x-akselin suoralle y x Käyttämällä esimerkeissä 36 ja 39 saatuja tuloksia voidaan muodostaa matriisit kuvauksille T 1, T 2 ja T 3 : R 1 1 1 1 1 0, K 2 1 1 1 ja R 0 1 2 1 1 1 2 1 1 Täten peilausta T vastaava matriisi K R 2 K 1 R 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 1, 2 1 1 1 1 2 2 0 1 0 joka on siis sama kuin yhtälössä (315) Kuva 4: Peilaus suoran y x suhteen Määritelmä 35 Olkoon kuvaus T : R 2 R 2 lineaarinen Olkoon c 0 (316) V x, 0 1 joka välittää siis kuvauksen T (x, y) (cx, y) Tällöin, 1 jos c > 1, kuvausta T sanotaan venytykseksi x-akselin suuntaisesti (kts kuva 5) 2 jos 0 < c < 1, kuvausta T sanotaan kutistukseksi x-akselin suuntaisesti 3 jos c 1, kuvaus T on identtinen kuvaus 4 jos c < 0, mutta c 1 kuvaus T muodostuu venytyksestä tai kutistuksesta x-akselin suuntaisesti, jota seuraa peilaus y-akselin suhteen 5 jos c 1, kuvaus T on peilaus y-akselin suhteen 18

Kuva 5: Venytys x-akselin suuntaisesti Määritelmä 36 Olkoon kuvaus T : R 2 R 2 lineaarinen Olkoon matriisi 1 0 (317) V y, 0 c joka välittää siis kuvauksen T (x, y) (x, cy) Tällöin, 1 jos c > 1, kuvausta T sanotaan venytykseksi y-akselin suuntaisesti 2 jos 0 < c < 1, kuvausta T sanotaan kutistukseksi y-akselin suuntaisesti 3 jos c 1, kuvaus T on identtinen kuvaus 4 jos c < 0, mutta c 1 kuvaus T muodostuu venytyksestä tai kutistuksesta y-akselin suuntaisesti, jota seuraa peilaus x-akselin suhteen 5 jos c 1, kuvaus T on peilaus x-akselin suhteen Lineaarikuvausta voidaan analysoida tehokkaasti muodostamalla siitä yhdiste, joka koostuu yksinkertaisista lineaarikuvauksista, joiden geometrista merkitystä on helppo havainnollistaa Oletetaan, että lineaarikuvauksen T : R 2 R 2 matriisi A on ei-singulaarinen (kts määritelmä 217) Silloin matriisi A voidaan esittää elementaarimatriisien tulona (kts [1, s 51]) (318) A A k A k 1 A 2 A 1 Jokainen 2 2-elementaarimatriisi on jotakin seuraavista muodoista: (319) c 0, 0 1 1 0, 0 c Täten kuvaus T voidaan jakaa muotoon 0 1, 1 0 (320) T T k T k 1 T 2 T 1, 1 c, 0 1 1 0 c 1 missä jokainen T i, (i 1,, k) vastaa kertomista matriisilla, joka on jotakin listassa (319) esitettyä muotoa oleva elementaarimatriisi Riittää siis analysoida tason elementaarikuvauksen geometrisia vaikutuksia 19

Listan (319) ensimmäinen matriisi vastaa kuvausta T (x, y) (cx, y) Määritelmän 35 mukaan, jos c > 1, kuvaus T on venytys ja, jos 0 < c < 1, kuvaus T on kutistus Jos c 1, kyseessä on tason R 2 identtinen kuvaus T (x, y) (x, y), joka kuvaa jokaisen pisteen itselleen Olkoon c < 0, mutta c 1 Tällöin jako c 0 0 1 [ 1 0 0 1 ] c 0 0 1 osoittaa, että kuvaus T muodostuu venytyksestä tai kutistuksesta x-akselin suuntaisesti ja tämän jälkeen peilauksesta y-akselin suhteen Jos c 1, sama jako osoittaa, että kuvaus T on yksinkertaisesti peilaus y-akselin suhteen (kts esimerkki 37) Listan (319) toinen matriisi 1 0 0 c 1 0 1 0, 0 1 0 c joten kuvaus T muodostuu ensin venytyksestä tai kutistuksesta y-akselin suuntaisesti ja tämän jälkeen, jos c < 0 ja c 1, peilauksesta x-akselin suhteen 0 1 Kolmas listan (319) matriisi vastaa esimerkin 310 mukaan peilausta suoran y x 1 0 suhteen Kuva 6: Affiini leikkuri x-akselin suuntaisesti (c > 0) Kuvassa 6 on havainnollistettu listan (319) neljättä matriisia 1 c 0 1 Tässä tapauksessa piste (x, y) kuvautuu pisteeksi (x + cy, y), joka tarkoittaa, että pistettä (x, y) siirretään x-akselin suuntaisesti tulon cy verran Pisteet x- akselilla ovat kiinteitä ja kaikkia pisteitä, jotka eivät ole x-akselilla siirretään x-akselin suuntaisesti (tässä tulon cy verran) niin, että etäisyys x-akseliin ei muutu 20

Määritelmä 37 Olkoon kuvaus T : R 2 R 2 lineaarinen Tällöin matriisi 1 c (321) A x 0 1 välittää kuvauksen T (x, y) (x + cy, y), jota sanotaan affiiniksi leikkuriksi x-akselin suuntaisesti Listan (319) neljäs matriisi on siis affiini leikkuri x-akselin suuntaisesti Määritelmä 38 Olkoon kuvaus T : R 2 R 2 lineaarinen Tällöin matriisi 1 0 (322) A y c 1 välittää kuvauksen T (x, y) (x, cx + y), jota sanotaan affiiniksi leikkuriksi y-akselin suuntaisesti Listan (319) viimeinen matriisi on siis affiini leikkuri y-akselin suuntaisesti, joka siirtää siis y-akselin ulkopuolisia pisteitä tulon cx verran niin, että etäisyys y-akseliin ei muutu Yhteenvetona todetaan, että jokainen tason lineaarikuvaus, joka vastaa elementaarimatriisilla kertomista on jokin seuraavista: 1 peilaus koordinaattiakselin tai suoran y x suhteen, 2 venytys tai kutistus, joko x-akselin tai y-akselin suuntaisesti, jota seuraa mahdollisesti peilaus koordinaattiakselin suhteen, 3 affiinileikkuri joko x-akselin tai y-akselin suuntaisesti Lause 34 Oletetaan, että lineaarikuvausta T : R 2 R 2 vastaa ei-singulaarinen matriisi A Tällöin kuvaus T on äärellinen yhdistelmä peilauksia, venytyksiä, kutistuksia ja affiineja leikkureita Todistus Olkoon A ei-singulaarinen matriisi Tällöin matriisi A voidaan esittää elementaarimatriisien tulona (kts kaava (318)) Nyt siis matriisi A on tulo joistakin listassa (319) mainituista matriiseista Koska edellä on todettu, että jokainen näistä matriiseista on jokin yhteenvedossa mainituista kuvauksista, väite pitää paikkansa Olkoon T : R 2 R 2 lineaarikuvaus, jota vastaa kääntyvä matriiisi A Tämän kuvauksen geometrisia vaikutuksia tutkittaessa matriisi A on hyödyllistä esittää elementaarimatriisien tulona Koska matriisi A on ei-singulaarinen, se voidaan sieventää identtiseksi kuvaukseksi äärellisellä määrällä alkeellisia rivioperaatioita Jokainen alkeismuunnos voidaan toteuttaa kertomalla muokattava matriisi vasemmalta sopivalla elementaarimatriisilla Näin ollen siis on olemassa sellaiset elementaarimatriisit E 1, E 2,, E k, että (323) E k E k 1 E 2 E 1 A I 21

Tällöin, koska elementaarimatriisin käänteismatriisi on elementaarimatriisi, (324) A E1 1 E2 1 Ek 1 1 E 1 k 2 9 Esimerkki 311 Olkoon T : R 2 R 2 : T (x) Ax, missä A 1 3 Muokataan ensin matriisi A alkeismuunnoksilla identtiseksi matriisiksi I: Vaihdetaan rivien paikkaa eli rivistä 1 tulee rivi 2, jolloin matriisi saadaan muotoon A 1 1 3 2 9 Lisätään matriisin A 1 [ riviin] 2 rivi 1 kerrottuna luvulla 2, jolloin matriisi on muotoa A 2 1 3 0 3 1 3 Kerrotaan matriisin A 2 rivi 2 luvulla 1, jolloin A 3 3 0 1 [ Lisätään ] matriisin A 3 riviin 1 rivi 2 kerrottuna luvulla 3, jolloin A 4 1 0 I 0 1 Matriisit E 1 0 1, E 1 0 2 1 0, E 2 1 3 1 0, E 4 0 1 3 1 3 0 1 vastaavat näitä alkeismuunnoksia Esimerkiksi tulo E 1 A vaihtaa matriisin A rivien paikkaa Matriisit E 1, E 2, E 3 ja E 4 pitää vielä kääntää, jotta voidaan käyttää kaavaa (324) Tämä onnistuu helposti käyttämällä lausetta 22 Siis E 1 1 ( 1) E 1 3 3 0 1 1 0 ] 1 0 0 3 [ 1 3 0 0 1 [ 0 1 1 0 ], E 1 4, E 1 2 [ 1 3 0 1 Siis yhtälön (324) mukaan 0 1 1 0 1 0 1 3 A 1 0 2 1 0 3 0 1 ] [ 1 0 2 1 Nyt kuvauksen T geometrinen vaikutus on helppo selvittää, sillä jokainen yllä olevassa matriisitulossa oleva matriisi on jotakin listassa (319) esitettyä muotoa Siis kuvaus T on seuraavien neljän geometrisen operaation tulos Ensin affiini leikkuri x-akselin suuntaisesti, kun c 3 Seuraavaksi venytys y-akselin suuntaisesti, kun c 3 Tämän jälkeen affiini leikkuri y-akselin suuntaisesti, kun c 2 Ja lopulta peilaus suoran y x suhteen ], 22

33 Lineaarikuvausten ominaisuuksia Jos V ja W ovat vektoriavaruuksia, niin lauseen 32 mukaan kuvaus T : V W on lineaarinen, jos ja vain jos (325) T (au + bv) at (u) + bt (v) aina, kun u, v V ja a, b F Seuraavassa lauseessa on lueteltu joitakin lineaarikuvausten yksinkertaisia ominaisuuksia, jotka on saatu yhtälöstä (325) antamalla skalaareille a ja b sopivia arvoja Lause 35 Olkoon kuvaus T : V W lineaarinen Olkoot u, v V Tällöin 1 T (0) 0 2 T ( v) T (v) 3 T (u v) T (u) T (v) Todistus Erityisesti, kun a b 0 yhtälö (325) saadaan muotoon T (0) 0 Tällöin kohta 1 on voimassa Erityisesti arvoilla a 0 ja b 1 saadaan yhtälö (325) muotoon T ( v) T (v) Tällöin kohta 2 on voimassa Sijoitetaan sitten yhtälöön (325) arvot a 1 ja b 1 Tällöin erityisesti näillä arvoilla yhtälö (325) saadaan samaan muotoon kuin kohta 3, joten se on myös voimassa Olkoon kuvaus T : V W lineaarinen Olkoot v 1, v 2,, v n V Jos v c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c n v n, soveltamalla yhtälöä (325) saadaan, että (326) T (v) c 1 T (v 1 ) + c 2 T (v 2 ) + + c n T (v n ) Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus Oletetaan, että vektorit v 1, v 2,, v n muodostavat vektoriavaruuden V kannan Tällöin jokainen vektori v voidaan esittää muodossa v c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c n v n, joten vektorin v kuva T (v) on yhtälön (326) mukainen Siis vektoriavaruudessa V määritelty lineaarikuvaus on täysin määrätty, kun tunnetaan vektoriavaruuden V kannan vektoreiden kuvat Esimerkki 312 Olkoon T : R 2 R 2 lineaarikuvaus, jossa ja T (v 1 ) w 1 T (v 2 ) w 2, missä v 1 (3, 5), v 2 (4, 7) ja w 1 (2, 4), w 1 ( 1, 3) Lauseen 33 mukaan on olemassa sellainen 2 2-matriisi, että T (x) Ax Nyt A [ v 1 v 2 ] [ Av1 Av 2 ] [ T (v 1 ) T (v 2 ) ] [ w 1 w 2 ] 23

Siis josta seuraa, että A 3 4 5 7 2 1, 4 3 1 2 1 3 4 A 4 3 5 7 2 1 7 4 4 3 5 3 19 11 13 7 Näin ollen vektorin v (x, y) kuva kuvauksessa T : R 2 R 2 on 19 11 x T (v) T (x, y) 13 7 y 19x 11y (19x 11y, 13x 7y) 13x 7y Esimerkki 313 (Vrt [1, esim 3, s 318]) Olkoon T : R 2 R 3 : T (x, y) (x, y, 0) Selvästi kuvaus T on lineaarinen Tutkitaan, onko kuvaus T surjektio tai injektio Koska esimerkiksi vektori (0, 0, 1) R 3 ei ole yhdenkään vektoriavaruuden R 2 vektorin kuva, kuvaus T ei ole surjektio Kuvauksen T säännöstä nähdään suoraan, että kuvaus T on injektio Todistetaan tämä Tehdään vastaoletus, että T ei ole injektio Tällöin on olemassa sellaiset vektorit v 1 (a, b) R 2 ja v 2 (c, d) R 2, että v 1 v 2 ja T (v 1 ) T (v 2 ) Nyt T (a, b) (a, b, 0) ja T (c, d) (c, d, 0) Vastaoletuksen mukaan siis oltava (a, b, 0) (c, d, 0), joten a c ja b d, jolloin siis v 1 v 2 Tämä on ristiriita, sillä oletuksena oli, että v 1 v 2 Siis vastaoletus väärä, joten kuvaus T on injektio Esimerkki 314 (Vrt [1, esim 3, s 318]) Olkoon T : R 3 R 2 : T (x, y, z) (x, y) Selvästi kuvaus T on lineaarinen Tutkitaan, onko kuvaus T surjektio tai injektio Koska esimerkiksi T (0, 0, 0) (0, 0) T (0, 0, 1), kuvaus T ei ole injektio On selvää, että tämä kuvaus on surjektio, sillä ei ole olemassa sellaista vektoriavaruuden R 2 alkiota, jolla ei olisi alkukuvaa vektoriavaruudessa R 3 kuvauksessa T Esimerkki 315 Kappaleessa 32 esitetyt lineaarikuvaukset venytys, kutistus, affiini leikkuri sekä peilaus ovat bijektiivisia kuvauksia vektoriavaruudelta R 2 vektoriavaruudelle R 2 Esimerkki 316 Esimerkin 312 kuvauksen T : R 2 R 2 sääntö on T (x) Ax, 24

missä A 19 11 13 7 Koska det A 10 0, matriisi A on kääntyvä Valitaan mielivaltainen w R 2 Tällöin v A 1 w (Selvästi v R 2, sillä w R 2 ) on vektori, jolle on voimassa T (v) A(A 1 w) w Siis vektori w on vektorin v kuva Koska vektori w valittiin mielivaltaisesti, jokaisella w R 2 on olemassa alkukuva v R 2 Siis T on surjektio Olkoon T (v 1 ) T (v 2 ) Tällöin Av 1 Av 2, joten A 1 (Av 1 ) A 1 (Av 2 ) Siis v 1 v 2 Täten kuvaus T : R 2 R 2 on myös injektio ja näin ollen myös bijektio Määritelmä 39 Olkoon T : V W bijektiivinen lineaarikuvaus Tällöin kuvausta T kutsutaan isomorfismiksi ja vektoriavaruuksia V ja W kutsutaan isomorfisiksi Esimerkki 317 Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus ja olkoon {v 1, v 2,, v n } sen kanta Tällöin voidaan määrittää kuvaus (327) T : R n V : T (x 1, x 2,, x n ) x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x n v n Selvästi kuvaus T on lineaarinen Koska jokainen v V voidaan esittää edellä mainitussa muodossa (327), kuvaus T : R n V on surjektio Koska v voidaan esittää yksikäsitteisesti tällaisena lineaarikombinaationa, kuvaus T on myös injektio Täten kuvaus T : R n V on isomorfismi, joten n- ulotteinen vektoriavaruus V on isomorfinen euklidisen vektoriavaruuden R n kanssa Edellisen esimerkin mukaan mitkä tahansa kaksi n-ulotteista vektoriavaruutta ovat isomorfiset Esimerkiksi kolmiulotteinen euklidinen avaruus R 3 on isomorfinen 3-ulotteisen vektoriavaruuden P kanssa, kun P on kaikkien reaalikertoimisten korkeintaan toista astetta olevien polynomien joukko, jonka kanta on {1, x, x 2 } Mikä tahansa n-ulotteinen vektoriavaruus V on siis isomorfinen vektoriavaruuden R n kanssa 34 Nolla- ja kuva-avaruus Tässä luvussa siirrytään tarkastelemaan kuvauksia, jotka eivät ole välttämättä injektioita tai surjektioita Oletetaan, että lineaarikuvaus T : V W ei ole injektio Tällöin on olemassa sellaiset vektorit v 1 v 2, että T (v 1 ) T (v 2 ) Jos v v 1 v 2 0, niin T (v) T (v 1 v 2 ) T (v 1 ) T (v 2 ) 0 Koska T ei ole injektio, on olemassa vektori v 0, jonka kuva T (v) 0 25

Määritelmä 310 Olkoon T : V W lineaarikuvaus Tällöin joukkoa KerT {v V : T (v) 0} kutsutaan kuvauksen T nolla-avaruudeksi Lause 36 Lineaarikuvaus T : V W on injektio, jos ja vain jos KerT {0} Todistus (Vrt [3, s 71]) Oletetaan, että lineaarikuvaus T on injektio Valitaan mielivaltainen v KerT Siis T (v) 0 Toisaalta lauseen 35 nojalla T (0) 0, joten T (v) T (0) Koska kuvaus T on injektio, on oltava v 0 Siis KerT {0} Oletetaan sitten, että KerT {0} Olkoon T (v 1 ) T (v 2 ), missä v 1, v 2 V Koska kuvaus T on lineaarinen, T (v 1 + ( v 2 )) T (v 1 v 2 ) T (v 1 ) T (v 2 ) 0 Koska KerT {0}, on oltava v 1 v 2 0, joten v 1 v 2 Määritelmän 24 nojalla kuvaus T on tällöin injektio Määritelmä 311 Olkoon T : V W lineaarikuvaus Tällöin joukkoa RanT {w : T (v) w}, missä w W ja v V, kutsutaan kuvauksen T kuva-avaruudeksi Lause 37 Lineaarikuvaus T : V W on surjektio, jos ja vain jos RanT W Todistus Olkoon T : V W lineaarinen ja surjektio Surjektion määritelmästä seuraa suoraan, että RanT W Oletetaan sitten, että RanT W Nyt siis aina, kun w W on olemassa sellainen v V, että w T (v), jolloin surjektion määritelmän nojalla kuvaus T on surjektio Esimerkki 318 Olkoon T : R 3 R 2 kuvaus, missä T (x, y, z) (x, 0) aina, kun (x, y, z) R 3 Nyt kuvauksen T nolla-avaruus KerT on yz-taso vektoriavaruudessa R 3, sillä KerT on niiden vektoreiden (x, y, z) R 3 joukko, joissa x 0 Kuvauksen T kuva-avaruus on x-akseli vektoriavaruudessa R 2, sillä RanT on niiden vektoriavaruuden R 2 alkioiden joukko, joissa y 0 Selvästi edellisessä esimerkissä kuvauksen T kuva- ja nolla-avaruus ovat vektoriavaruuksien V ja W aliavaruuksia (kts määritelmä 216) Lause 38 Olkoon T : V W lineaarikuvaus Tällöin nolla-avaruus KerT on vektoriavaruuden V aliavaruus ja kuva-avaruus RanT on vektoriavaruuden W aliavaruus 26

Todistus Todistetaan ensin, että KerT on vektoriavaruuden V aliavaruus Oletetaan, että a, b KerT ja c F Koska T on lineaarinen T (0) 0, joten 0 KerT Oletuksen mukaan T (a) T (b) 0 Kuvauksen T lineaarisuudesta seuraa, että T (ca + b) ct (a) + T (b) c0 + 0 0 Näin ollen myös (ca + b) KerT, joten lauseen 21 nojalla KerT on vektoriavaruuden V aliavaruus Todistetaan sitten, että RanT on vektoriavaruuden W aliavaruus Koska kuvaus T on lineaarinen T (0) 0, joten 0 RanT Oletetaan, että e, f RanT ja c F Olkoon a V ja b V sellaisia vektoreita, että e T (a) ja f T (b) Tällöin T (ca + b) ct (a) + T (b) ce + f Nyt siis (ce + f) RanT, josta seuraa, että RanT on vektoriavaruuden W aliavaruus Määritelmä 312 Olkoon T lineaarikuvaus Jos RanT on äärellisulotteinen, sen dimensiota kutsutaan kuvauksen T asteeksi (rank) ja merkitään rankt Esimerkiksi esimerkin 318 rankt 1, sillä RanT on yksiulotteinen Tarkastellaan tilannetta, jossa V R n ja W R m Olkoon T : R n R m lineaarikuvaus, jota vastaa sellainen m n-matriisi A, että T (x) Ax aina, kun x R n Tällöin lineaarikuvauksen T nolla-avaruus on homogeenisen lineaarisysteemin Ax 0 ratkaisuavaruus Siis (328) KerT Null(A) RanT koostuu kaikista niistä vektoreista y R m, joilla yhtälöllä Ax y on ratkaisu Täten RanT Col(A), joten (329) rankt dimcol(a) ranka Näin ollen rankt ranka, kun T on lineaarikuvaus euklidisten avaruuksien välillä ja matriisi A on tätä kuvausta vastaava matriisi m n-matriisin A asteelle ja nolla-avaruudelle on voimassa ([1, s 195]) (330) ranka + dimnull(a) n 27

Soveltamalla yhtälöitä (328) ja (329) yhtälöön (330) saadaan yhtälö (331) rankt + dimkert n aina, kun T : R n R m on lineaarikuvaus euklidisten avaruuksien välillä Lause 39 Olkoon kuvaus T : V W lineaarinen ja olkoon dimv n Tällöin (332) rankt + dimkert n Todistus Olkoot dimkert n, KerT V ja olkoon RanT vektoriavaruuden W aliavaruus 0 Tässä tapauksessa yhtälö (332) saadaan muotoon 0+n n, joten yhtälö on voimassa Olkoon dimkert k < n ja olkoon S {v 1, v 2,, v k } joukon KerT kanta Valitaan vektoreista v k+1, v k+2,, v n sellaiset vektorit, että joukko {v 1, v 2,, v n } muodostaa vektoriavaruuden V kannan (Jos KerT on nollaulotteinen, k 0 ja S on tyhjä joukko) Osoitetaan, että vektorit w k+1 T (v k+1 ),, w n T (v n ) (lyhennetään (n k)-vektorit) muodostavat joukon RanT kannan Koska T on lineaarinen ja T (v 1 ) T (v 2 ) T (v k ) 0, joukon RanT vektoreilla on voimassa: T (c 1 v 1 + + c k v k + c k+1 v k+1 + + c n v n ) c 1 T (v 1 ) + + c k T (v k ) + c k+1 T (v k+1 ) + + c n T (v n ) c k+1 T (v k+1 ) + + c n T (v n ) c k+1 w k+1 + + c n w n Täten vektorit w 1, w 2,, w n virittävät joukon RanT Nyt pitää vielä osoittaa, että nämä (n k)-vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia Oletetaan, että (333) c k+1 w k+1 + + c n w n 0 ja osoitetaan, että yhtälö (333) on voimassa vain, kun c k+1 c n 0 Koska w k+1 T (v k+1 ),, w n T (v n ) ja yhtälö (333) on voimassa T (c k+1 v k+1 + + c n v n ) 0, joten (c k+1 v k+1 + +c n v n ) KerT Näin ollen on olemassa sellaiset c 1, c 2,, c k F, että (334) c k+1 v k+1 + + c n v n c 1 v 1 + + c k v k 28

(Jos k 0, edellisen yhtälön oikea puoli on nollavektori) Koska vektorit v 1, v 2,, v n muodostavat vektoriavaruuden V kannan, yhtälö (334) on voimassa vain, kun c k+1 c n 0 Erityisesti yhtälössä (333) on oltava c k+1 c n 0 Täten siis vektorit w k+1,, w n ovat lineaarisesti riippumattomia Täten nämä (n k)-vektorit muodostavat joukon RanT kannan ja siis rankt n k Siis yhtälö (332) saadaan muotoon (n k)+k n Esimerkki 319 Olkoon T : R 5 R 4 lineaarikuvaus, jota vastaa 4 5- matriisi 1 2 1 3 2 3 4 9 0 7 A 2 3 5 1 8 2 2 8 3 5 Tästä matriisista A voidaan muodostaa porrasmatriisi (kts [1, s 14-19] ja [1, esim 2, s 191]) 1 2 1 3 2 0 1 3 5 4 E 0 0 0 1 7 0 0 0 0 0 Siis matriisin E sidotut sarakkeet ovat ensimmäinen, toinen ja neljäs sarake Täten Col(A) virittyy matriisin A (joka vastaa kuvausta T ) vastaavilla sarakevektoreilla w 1 (1, 3, 2, 2), w 2 (2, 4, 3, 2) ja w 4 (3, 0, 1, 3) Täten RanT on 3-ulotteinen vektoriavaruuden R 4 aliavaruus Col(A) ja rankt 3 Määritetään KerT Null(A) asettamalla niin kutsutuille vapaille muuttujille arvot x 3 s ja x 4 t Ratkaisemalla tavalliseen tapaan saadaan x 4 7t, x 2 3s 31t, x 1 7s + 39t Valitaan, että s 1 ja t 0, jolloin ratkaisuvektori v 1 ( 7, 3, 1, 0, 0) Kun valitaan, että s 0 ja t 1, saadaan toinen ratkaisuvektori v 2 (39, 31, 0, 7, 1) Täten KerT Null(A) on 2-ulotteinen vektoriavaruuden R 5 aliavaruus, joka virittyy vektoreilla v 1 ja v 2 Tässä esimerkissä siis yhtälö (332) on 3 + 2 5 Tarkastellaan lauseen 39 todistusta Käytetään tässä samoja merkintöjä kuin kyseisessä todistuksessakin Olkoon K KerT, jonka kannan muodostavat vektorit v 1, v 2,, v k Olkoon U vektoriavaruuden V aliavaruus, jonka virittävät jäljelle jääneet kantavektorit v k+1, v k+2,, v n Tällöin on selvää, että K ja U ovat komplementtialiavaruuksia, sillä K +U V ja K U {0} Selvästi nähdään myös, että lineaarikuvaus T on bijektio joukolta U joukolle RanT W 29

4 Kannanmuutosmatriisit Esitetään vektori v V vektoriavaruuden V kannan B vektoreiden lineaarikombinaationa Miten voidaan esittää tämä sama vektori vektoriavaruuden V toisen kannan B lineaarikombinaationa? Tässä luvussa tarkastellaan matriiseja, joiden avulla tämä kannan muutos voidaan tehdä 41 Koordinaatit ja kannan muutokset Määritelmä 41 Olkoon v R n Olkoon (41) v x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n Tällöin kutsumme lukuja x 1, x 2,, x n vektorin v koordinaateiksi luonnollisen kannan suhteen Siis edellisessä määritelmässä vektoriavaruuden R n vektorin v koordinaatit luonnollisen kannan suhteen ovat kyseisen vektorin kertoimet lineaarikombinaatioesityksessä, joka on muodostettu luonnollisen kannan (kts määritelmä 213) yksikkövektoreiden e 1, e 2,, e n suhteen Tämä idea koordinaateista yleistyy mielivaltaisille vektoriavaruuksille Määritelmä 42 Olkoon B {v 1, v 2,, v n } n-ulotteisen vektoriavaruuden V kanta Tällöin jokainen v V voidaan esittää yksikäsitteisesti kannan B lineaarikombinaationa (42) v x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x n v n Kertoimia x 1, x 2,, x n yhtälössä (42) kutsutaan vektorin v koordinaateiksi kannan B suhteen ja sarakevektoria x 1 x 2 (43) v B (x 1, x 2,, x n ) x n sanotaan vektorin v koordinaattivektoriksi kannan B suhteen Esimerkki 41 Olkoon B {v 1, v 2, v 3 } vektoriavaruuden R 3 kanta Kirjassa [1, esim 1, s 325] etsitään koordinaattivektoria v B vektorille v (5, 10, 5) kannan B suhteen, kun v 1 (1, 1, 2), v 2 (3, 1, 3) ja v 3 (2, 3, 4) Etsitään tässä kuitenkin tämän saman vektorin v (5, 10, 5) koordinaattivektori v B (vektoriavaruuden R 3 ) kannan B {(0, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} 30

suhteen (B on vektoriavaruuden R 3 kanta, sillä siinä on 3 alkiota ja 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 (Kts [1, s 181])) Muodostetaan yhtälö v x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 annetuilla vektoreilla ja ratkaistaan x 1, x 2 ja x 3 Siis Tällöin (5, 10, 5) x 1 (0, 1, 0) + x 2 (1, 0, 1) + x 3 (1, 1, 0) x 2 + x 3 5 x 1 + x 3 10 x 2 5 Koska x 2 5, saadaan ensimmäisestä yhtälöstä, että x 3 0 ja tällöin toisesta yhtälöstä saadaan arvo x 1 10 Siis vektorin v (5, 10, 5) koordinaattivektori kannan B suhteen on v B 10 5 0 Kirjassa vektorin v (5, 10, 5) koordinaattivektori kannan B suhteen on v B (2, 1, 3) Huomataan siis, että kysymyksessä on täysin eri vektori kuin tässä esimerkissä saatu koordinaattivektori Esimerkki 42 Olkoon B {v 1, v 2, v 3 } vektoriavaruuden R 3 kanta Etsitään koordinaattivektori v B vektorille v (5, 10, 5) kannan B suhteen, kun v 1 (1, 1, 0), v 2 (0, 1, 0), v 3 (1, 0, 1) Muodostetaan yhtälö v x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 ja ratkaistaan x 1,x 2, ja x 3 Siis (5, 10, 5) x 1 (1, 1, 0) + x 2 (0, 1, 0) + x 3 (1, 0, 1) Tällöin x 1 + x 3 5 x 1 + x 2 10 x 3 5 31

Koska x 3 5, saadaan ensimmäisestä yhtälöstä, että x 1 0 Nyt toisesta yhtälöstä voidaan ratkaista x 2 10 Siis vektorin v (5, 10, 5) koordinaattivektori kannan B suhteen on 0 v B 10 5 Vektorin v (x 1, x 2,, x n ) R n koordinaatteja yhtälössä (41) voidaan kutsua vektorin v luonnollisiksi koordinaateiksi, jotta ne erotetaan vektorin v koordinaateista jonkin vektoriavaruuden R n toisen kannan suhteen Esimerkissä 41 huomataan, että samalle vektorille saadaan kaksi täysin erilaista koordinaattivektoria, kun koordinaattivektori muodostetaan kahden eri kannan suhteen Vektoreiden v 1, v 2,, v n järjestyksellä kannassa B on merkitystä Jos vektoreiden järjestystä vaihdetaan, se vaikuttaa vektorin v koordinaattien järjestykseen (Vertaa esimerkkiä 42 esimerkkiin 41) Tästä syystä puhutaan koordinaateista ja koordinaattivektoreista järjestetyn kannan suhteen Tästä eteenpäin tässä tutkielmassa tarkoitetaan aina järjestettyä kantaa, kun puhutaan koordinaateista tai koordinaattivektoreista, jos ei toisin mainita Olkoon B {v 1, v 2,, v n } n-ulotteisen vektoriavaruuden V kanta Jokainen v V voidaan siis esittää yksikäsitteisesti kannan B lineaarikombinaationa v x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x n v n Siis sarakevektori x 1 x 2 v B (x 1, x 2,, x n ) x n on vektorin v koordinaattivektori kannan B suhteen Olkoon B {v 1, v 2,, v n} uusi kanta tälle samalle n-ulotteiselle vektoriavaruudelle V Jos vektori v yhtälössä (42) esitetään uusien kantavektoreiden lineaarikombinaationa (44) v x 1v 1 + x 2v 2 + + x nv n, saadaan vektorin v uusi koordinaattivektori x 1 x 2 (45) v B (x 1, x 2,, x n) x n uuden kannan B suhteen Mikä yhdistää vektorin v vanhaa koordinaattivektoria v B ja uutta koordinaattivektoria v B? Tutkitaan tätä kysymystä 32

tapauksessa n 3 Esitetään jokainen uusi kantavektori vanhojen kantavektoreiden avulla: ( ) v 1 p 11 v 1 + p 21 v 2 + p 31 v 3, v 2 p 12 v 1 + p 22 v 2 + p 32 v 3, v 3 p 13 v 1 + p 23 v 2 + p 33 v 3 Tällöin v x 1v 1 + x 2v 2 + x 3v 3 x 1(p 11 v 1 + p 21 v 2 + p 31 v 3 ) + x 2(p 12 v 1 + p 22 v 2 + p 32 v 3 ) + x 3 (p 13 v 1 + p 23 v 2 + p 33 v 3 ) ja täten (46) v (p 11 x 1 + p 12 x 2 + p 13 x 3)v 1 + (p 21 x 1 + p 22 x 2 + p 23 x 3)v 2 + (p 31 x 1 + p 32 x 2 + p 33 x 3)v 3 Kun asetetaan yhtälö (42) ja yhtälö (46) yhtäsuuriksi, huomataan, että x 1 p 11 p 12 p 13 x 1 x 2 p 21 p 22 p 23 x 2 x 3 p 31 p 32 p 33 x 3 Täten vektorin v vanha ja uusi koordinaattivektori toteuttavat yhtälön (47) v B P v B, missä P [p ij ] (i 1, 2, 3; j 1, 2, 3) on matriisi, jonka alkiot ovat yhtälöryhmän ( ) kertoimet Lause 41 Olkoot B {v 1, v 2,, v n } ja B {v 1, v 2,, v n} n-ulotteisen vektoriavaruuden V kaksi kantaa Olkoon v B vektorin v koordinaattivektori kannan B suhteen ja olkoon v B vektorin v koordinaattivektori kannan B suhteen Tällöin on olemassa sellainen n n-matriisi P, että (48) v B P v B Matriisin P sarakevektorit ovat siis kannan B kantavektoreiden v i (i 1,, n) koordinaattivektorit (v i) B (i 1,, n) kannan B suhteen Toisin sanoen (49) P [ (v 1) B (v 2) B (v n) B ] 33

Todistus Olkoot B {v 1, v 2,, v n } ja B {v 1, v 2,, v n} n-ulotteisen vektoriavaruuden V kaksi kantaa Nyt jokainen kannan B vektori voidaan esittää kannan B vektoreiden lineaarikombinaationa Siis ( ) v 1 p 11 v 1 + p 21 v 2 + + p n1 v n, v 2 p 12 v 1 + p 22 v 2 + + p n2 v n, v n p 1n v 1 + p 2n v 2 + + p nn v n Olkoon v V Tällöin vektori v voidaan esittää sekä kannan B että kannan B vektoreiden lilneaarikombinaationa: (410) v x 1v 1 + x 2v 2 + + x nv n ja (411) v x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x n v n, jolloin vektorin v koordinaattivektori kannan B suhteen on x 1 x (412) v B 2 (x 1, x 2,, x n) x n Tällöin v x 1v 1 + x 2v 2 + + x nv n x 1(p 11 v 1 + p 21 v 2 + + p n1 v n ) + x 2(p 12 v 1 + p 22 v 2 + + p n2 v n ) + x n(p 1n v 1 + p 2n v 2 + + p nn v n ) Edellistä yhtälöä muokkaamalla saadaan, että (413) v (p 11 x 1 + p 12 x 2 + + p 1n x n)v 1 + (p 21 x 1 + p 22 x 2 + + p 2n x n)v 2 + (p n1 x 1 + p n2 x 2 + + p nn x n)v n 34

Kun asetetaan yhtälöt (411) ja (413) yhtäsuuriksi, on oltava Täten siis x 1 p 11 p 12 p 1n x 1 x 2 p 21 p 22 p 2n x 2 x n p n1 p n2 p nn x n (414) v B P v B, missä P [p ij ] on matriisi, jonka alkiot ovat yhtälöryhmän ( ) kertoimet Siis on olemassa sellainen matriisi P n n että v B P v B Nyt pitää vielä osoittaa, että tälle matriisille P on voimassa yhtälö (49) Koska matriisin P alkiot ovat yhtälöryhmän ( ) kertoimia p 11, p 12,, p nn, tämän matriisin sarakevektorit ovat kannan B vektoreiden koordinaattivektoreita Täten lause on todistettu Lause 42 Olkoot B {v 1, v 2,, v n } ja B {v 1, v 2,, v n} n-ulotteisen vektoriavaruuden V kaksi kantaa Olkoon v B vektorin v koordinaattivektori kannan B suhteen ja olkoon v B vektorin v koordinaattivektori kannan B suhteen Tällöin lauseessa 41 esiintyvä matriisi P, joka toteuttaa yhtälön on kääntyvä v B P v B, Seuraava toditus on kirjoittajan itse laatima Todistus Lauseen 41 mukaan on olemassa sellaiset matriisit P ja Q, että v B P v B ja v B Qv B aina, kun v V Osoitetaan, että matriisi P on kääntyvä ja, että P 1 Q Sijoitetaan yhtälöön v B P v B yhtälö v B Qv B, jolloin v B P Qv B Nyt siis oltava P Q I Sijoitetaan sitten yhtälö v B P v B yhtälöön v B Qv B Vastaavasti tällöin on oltava QP I Nyt siis P Q I QP, jolloin määritelmän 217 mukaan matriisi P on kääntyvä ja P 1 Q Määritelmä 43 Olkoot B {v 1, v 2,, v n } ja B {v 1, v 2,, v n} n-ulotteisen vektoriavaruuden V kaksi kantaa Olkoon v B vektorin v koordinaattivektori kannan B suhteen ja olkoon v B vektorin v koordinaattivektori kannan B suhteen Tällöin lauseen 41 yhtälossä (48) esitettyä matriisia P kutsutaan kannanmuutosmatriisiksi 35

Tapauksessa V R n ei tarvitse muistaa kannanmuutosmatriisin P tarkkaa muotoa, sillä tällöin on olemassa kätevämpi ja suorempi tapa vaihtaa koordinaatteja kannasta B {v 1, v 2,, v n } kantaan B {v 1, v 2,, v n} Kaikki kantavektorit ovat sarakevektoreita, joten voidaan muodostaa ei-singulaariset n n-matriisit (415) M B [ v 1 v 2 v n ], MB [ v 1 v 2 v n] Siis matriisin M B sarakevektorit ovat järjestetyn kannan B vektorit Olkoon v V Esitetään vektori v näiden molempien kantojen B ja B avulla: (416) jolloin (417) v x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x n v n x 1v 1 + x 2v 2 + + x nv n, x 1 x x 2 v1 v 2 v n [ 1 ] v 1 v 2 v n x 2 x n x n eli (418) M B v B M B v B Yhtälöä (418) tarvitaan, kun vaihdetaan koordinaatteja vektoriavaruudessa R n Esimerkiksi, jos P MB 1 M B sijoitetaan lauseen 41 yhtälöön (48), saadaan matriisien kertolaskusääntöjen mukaan M B v B M B v B Jos halutaan vaihtaa koordinaatteja vektoriavaruudessa R n, aluksi sovelletaan yhtälöitä (416) ja (417) Tämä jälkeen voidaan käyttää yhtälöä (418) suoraan haluttaessa esittää jompi kumpi koordinaattivektoreista v B ja v B toisen kannan termein Esimerkki 43 Olkoot x -akseli ja y -akseli vektoriavaruuden R 2 akseleita, jotka on saatu kiertämällä x- ja y-akselia vastapäivään kulman θ verran (kts kuva 7) Olkoon B {e 1, e 2 } vektoriavaruuden R 2 luonnollinen kanta Olkoot u 1 ja u 2 yksikkövektoreita x - ja y -akselilla Tällöin (kts yhtälö (416)) koordinaatit (x, y) ja kierretyn koordinaattisysteemin koordinaatit (x, y ) toteuttavat yhtälön Määritelmän 34 mukaan xe 1 + ye 2 x u 1 + y u 2 u 1 (cos θ, sin θ) 36