Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus. (s. 6) Olkoon f : R R, f(x) = x. Määritä (a) Joukon [, ] kuva. (b) Joukon [0, 0] kuva. (c) Joukon [0, ] alkukuva. (d) Joukon [4, 9] alkukuva. (a) Joukko [, ] kuvaa joukon{y y = x, x [, ]}. Kun x saa arvoja väliltä [, ], saa f(x) arvoja väliltä [0, 4], joten joukon [, ] kuva on [0, 4] eli f([, ]) = [0, 4]. (b) Joukko [0, 0] kuvaa joukon{y y = x, x [0, 0]}. Kun x saa arvoja väliltä [0, 0], saa f(x) arvoja väliltä [0, 00], joten joukon [0, 0] kuva on [0, 00] eli f([0, 0]) = [0, 00]. (c) Joukko [0, ] kuvautuu joukosta {x y = x, y [0, ]}. Kun y saa arvoja väliltä [0, ], saa x arvoja väliltä [, ], joten joukon [0, ] alkukuva on [, ] eli f ([0, ]) = [, ]. (d) Joukko [4, 9] kuvautuu joukosta {x y = x, y [4, 9]}. Kun y saa arvoja väliltä [4, 9], saa x arvoja väliltä [, 3] tai väliltä [ 3, ] joten joukon

[4, 9] alkukuva on [ 3, ] [, 3] eli f ([4, 9]) = [ 3, ] [, 3]. Harjoitus. Esitä seuraavien funktioiden laajin mahdollinen määrittelyjoukko (eli mahdollisimman suuri joukko A siten, että f on funktio A B jollekin maalijoukolle B): (a) f(x) = x (b) f(x) = /x (c) f(x) = x (d) f(x) = / x x + 5 (e) f(x) = x + 4 x + 4x + 4 (f) f(x) = x + (a) x on määritelty kaikilla x:llä, joten A = R (b) /x on määritelty kaikilla x:llä paitsi nollalla, joten A = R \ {0} (c) x on määritelty kaikilla ei-negatiivisilla x:llä, joten A = R + {0} (d) / x on määritelty kaikilla positiivisilla x:llä, joten A = R + (e) x+5 x+4 on määritelty kun x 5 ja x 4 (f) x +4x+4 on määritelty kaikilla x:llä, koska x + 4x + 4 = (x + ) x + 0 x R ja x + 0 x R. Harjoitus 3. Mitkä seuraavista funktioista ovat injektioita? Osoita jokaisen kohdalla, miksi kyseinen funktio on tai ei ole injektio. (a) f(x) = x, f : R R (b) f(x) = x, f : R + R (c) f(x) = x, f : [ 3, 3] R

(d) f(x) = x, f : R + R (e) f(x) = x 3, f : R R (f) f(x) = x /3, f : R R (g) f(x) = sin(x), f : R R (a) ei ole injektio, sillä esimerkiksi f() = f( ), vaikka. (b) on injektio. Tämä todistetaan seuraavasti: valitaan x x. Koska määrittelyjoukkona on R +, sekä x, että x ovat positiivisia. Täten x + x 0, joten x x x x 0 (x x )(x + x ) 0 x x 0 x x (c) on injektio. Tämä todistetaan seuraavasti: valitaan x x x x 0 ( x + x )( x x ) 0 x x 0 eli x x, sillä lausekkeen ( x + x )( x x ) kummankin tekijän on oltava erisuuria kuin nolla, sillä muuten koko lausekekin olisi nolla. (d), (e) ja (f) ovat injektioita. Todistukset etenevät samaan malliin. (g) ei ole injektio, sillä sinifunktio tuottaa saman arvon aina π välein, joten sin(x) = sin(x + π). Harjoitus 4. Mitkä seuraavista funktioista ovat surjektioita? Osoita jokaisen kohdalla, miksi kyseinen funktio on tai ei ole surjektio. (a) f(x) = x, f : R R (b) f(x) = x, f : R R + (c) f(x) = x, f : R + R + (d) f(x) = x, f : R + R (e) f(x) = x 3, f : R R (f) f(x) = x /3, f : R R (g) f(x) = sin(x), f : R R 3

Funktio on surjektio, jos jokaisella sen maalijoukon alkiolla y on jokin alkio x lähtöjoukossa siten että f(x) = y. (a) ei ole surjektio, sillä millä tahansa negatiivisella alkiolla y ei ole alkiota x siten että y = x. Sen sijaan jokaisella ei-negatiivisella alkiolla y on jokin alkio x (eli alkio y) siten että y = x. Muiden todistukset menevät vastaavasti. Surjektioita ovat b, c, e ja f. Harjoitus 5. Muodosta yhdistetyt kuvaukset f g ja g f (oleta, että kyseiset kuvaukset ovat olemassa), kun: (a) f(x) = x 3, g(x) = 5x (b) f(x) = x /3, g(x) = x (c) f(x) = x + 6x +, g(x) = x + (d) f(x) = x, g(x) = /x (a) f g = f(g(x)) = f(5x) = (5x) 3 = 5x 3, g f = g(f(x)) = g(x 3 ) = 5x 3 (b) f g = f(g(x)) = f( x) = ( x) /3 = x /6, g f = g(f(x)) = g(x /3 ) = x /3 = x /6 (c) f g = f(g(x)) = f(x + ) = (x + ) + 6(x + ) +, g f = g(f(x)) = g(x + 6x + ) = (x + 6x + ) + (d) f g = f(g(x)) = f(/x) = /x, g f = g(f(x)) = g(x) = /x Harjoitus 6. Osoita että seuraavilla funktioilla on käänteiskuvaus f (x) todistamallla, että ne ovat bijektioita (eli injektioita ja surjektioita). Etsi kyseinen käänteiskuvaus. Tarkista että f f = x = f f (eli että kyseiset yhdistetyt kuvaukset ovat identtisiä kuvauksia). (a) f(x) = x 3, f : R R (b) f(x) = x /3, f : R R (c) f(x) = /x, f : R \ {0} R 4

(d) f(x) = x, f : R + R + (e) f(x) = x 3 + 0, f : R R Esitän tässä ainoastaan käänteiskuvaukset. Bijektiivisyyden voi osoittaa lauseen.3 (b) nojalla jokaisella y B on tasan yksi x A siten, että f(x) = y (a) f (x) = x /3 (b) f (x) = x 3 (c) f (x) = /x (d) f (x) = x (e) f (x) = (x 0) /3 Harjoitus 7. Etsi mahdollisimman suuret reaaliakselin välit A ja B siten, että f(x) = x + 6x on injektio A:ssa ja B:ssä. Ratkaistaan yhtälö y = x + 6x x:n suhteen: y = x + 6x x + 6x y = 0 x = 6 ± 36 + 4y. Tällä on reaalisia ratkaisuja ainoastaan kun 36 + 4y 0 eli kun y 9. Tehtävän paraabeli f(x) = x + 6x saavuttaa pohjansa kohdassa x = 3. Valitaan välit A ja B siten, että x = 6 ± 36 + 4y on yksikäsitteinen näillä väleillä. Kun x kuuluu välille (, 3], on kyseinen kuvaus yksikäsitteisesti: x = 6 36 + 4y Samoin jos x kuuluu välille (3, ), on kuvaus yksikäsitteinen: x = 6 + 36 + 4y. 5

Täten mahdollisimman laajat välit A ja B ovat: A = (, 3], B = (3, ) Harjoitus 8. Ovatko seuraavat funktiot aidosti väheneviä vaiko aidosti kasvavia? Todista väitteesi ja äläkä käytä derivaattaa. (a) f(x) = x 3, f : R R (b) f(x) = x, f : R + R (c) f(x) = x, f : R R (d) f(x) = /x, f : R + R (e) f(x) = /x, f : R R (f) f(x) = x, f : R R (g) f(x) = x, f : R R (a), (b) ja (f) ovat aidosti kasvavia ja loput aidosti väheneviä. Todistus menee samalla tavalla kuin harjoituksessa 3 merkin paikalle vain laitetaan vain < tai >. Induktiotodistus Harjoitus 9. Todista induktiolla, että kaikilla n N + 3 + 3 4 + 4 5 + + n(n + ) = n n +.. Kun n =, = / eli kumpikin puoli ovat samoja, joten yhtälö pätee arvolla n =.. Oletetaan yhtälö todeksi arvolla n. Päätellään tästä yhtälö todeksi arvolla n + lisäämällä kummallekin pulelle termi ja sieven- (n+)(n+) tämällä vasen puoli haluttuun muotoon: + 3 + 3 4 + 4 5 + + n(n + ) = 6 n n +

+ 3 + + n(n + ) + (n + )(n + ) = n n + + (n + )(n + ) = n(n + ) + (n + )(n + ) = n + n + (n + )(n + ) = (n + ) (n + )(n + ) = n + n +, joten väite pätee arvolla n +. Induktion nojalla väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla. Harjoitus 0. Todista induktiolla, että kaikilla n N, + + 3 + + n = n(n + ).. Arvolla P () on tosi, sillä yhtälö pätee tällä arvolla: vasemmalle puolelle jää ja oikealle puolelle ( + )/ =.. Oletetaan että yhtälö pätee arvolla n. Tällöin + + 3 + + n = n(n + ). Lisätään kummallekin puolelle n+, ja muokataan yhtälön oikeaa puolta: n(n + ) + + 3 + + n + n + = + n +. n(n + ) + n + = n(n + ) (n + ) + = n(n + ) + (n + ) = (n + )(n + ), joten väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla. 7

Harjoitus. Todista induktiolla, että kaikilla n N, n < n. Kun n =, <, eli väite pätee.. Tehdään induktio-oletus: n < n on tosi. Induktioväite: n + < n+ Eli meidän pitää päätellä oletuksesta n < n väite n+ < n+. Aloitetaan muokkaamalla epäyhtälön oikea puoli haluttuun muotoon tämä tapahtuu kertomalla kumpikin puoli kahdella: n < n n < n+. Induktioväite on todistettu, jos voidaan päätellä, että n+ n, koska tällöin n + n < n+ n + < n+. Väite n + n on helppo todistaa: vähennetään kummaltakin puolelta n ja saadaan n mikä on selkeästi tosi, sillä n kuuluu luonnollisiin lukuihin. Täten väite on todistettu. Harjoitus. Todista induktiolla, että kaikilla n N, + + 3 + + n = n(n + )(n + ). 6 Harjoitus 3. Todista induktiolla, että kaikilla n N, + + 4 + 8 + + n = n Harjoitus 4. Todista induktiolla, että kaikilla n N, 3 + 3 + 3 3 + + n 3 = n (n + ). 4 8

3 Raja-arvoja Harjoitus 5. Laske raja-arvo x 3 lim x x Kun x, x 3 x = x 3 (x )(x + ) = (x )(x + x + ) (x )(x + ) = (x + x + ) (x + ) 3/, kun x Harjoitus 6. Laske raja-arvo x 8 lim x 9 x 3 Harjoitus 7. Laske raja-arvo x 4 6 lim x x 4 Sarjoja Harjoitus 8. Mitkä seuraavista ovat geometrisia sarjoja? Jos kyseessä on geometrinen sarja, mikä on sen suhdeluku? (a) + + 3 + 4 + 5 +... (b) + 4 + 6 + 64 +... (c) + / + /4 +... (d) / + /4 /8 +... (e) x + (x ) + (x ) +... 3 Kaikki muut paitsi (a) ovat geometrisia sarjoja. 9

Harjoitus 9. Mikä on geometrisen sarjan summa? + / + /4 + = n=0 ( ) n Geometrisen sarjan summa on ensimmäinen termi A jaettuna q:lla, jossa q on suhdeluku. A = ja q = /, joten kyseinen summa on /( (/)) = Harjoitus 0. Mikä on geometrisen sarjan summa? / + /4 = n=0 ( ) n A = ja q = /, joten kyseinen summa on /( ( /)) = /3 Harjoitus. Millä x:n arvoilla suppenee? x + (x ) + 3 (x ) +... 5 x + (x ) 3 + (x ) 5 +... = i=0 ( x (x ) Kyseessä on geometrinen sarja. Geometrinen sarja suppenee kun sen suhdeluku on itseisarvoltaan pienempi kuin yksi. Eli kun (x ) < < (x ) x > tai x < 0 Harjoitus. Esitä, kahden kokonaisluvun osamääränä. ) i, = +/0+/00 = i=0 ( ) i = 0 /0 = /(9/0) = 0/9 0

Seuraavissa harjoituksissa sovelletaan majoranttiperiaatetta sekä minoranttiperiaatetta. Lause. Majoranttiperiaate kertoo seuraavaa: Oletetaan, että jos meillä on kaksi lukujonoa, (x k ) = (x, x, x 3... ) ja (y k ) = (y, y, y 3... ), sekä näistä muodostetut sarjat i= x i Y = y i. i= Oletetaan myös, että tiedätään seuraavat asiat. (x k ):n jokainen termi on positiivinen. lukujonon (y k ) jokainen termi on suurempi kuin lukujonon (x k ) vastaava termi. Eli y > x, y > x, y 3 > x 3... 3. lukujono Y = y i. i= suppenee kohti lukua Y. Näistä ehdoista seuraa, että myös suppenee. i= x i Lauseen sisältö on intuitiivisesti melko selkeä: Jos jokin sarja Y on jokaiselta termiltään suurempi kuin X, ja Y suppenee, myös X suppenee. Huomattavaa on, että majorantiperiaate ei kerro mitä lukua kohden sarja X suppenee, ainostaan että se suppenee. Minoranttiperiaate puolestaan kertoo, että jos jokin sarja X on jokaiselta termiltään pienempi kuin sarjan Y vastaava termi, ja X hajaantuu, myös Y hajaantuu (kummankin sarjan on oltava positiivistermisiä).

Lause. Minoranttiperiaate kertoo seuraavaa: Oletetaan, että jos meillä on kaksi lukujonoa, (x k ) = (x, x, x 3... ) ja (y k ) = (y, y, y 3... ), sekä näistä muodostetut sarjat i= x i Y = y i. i= Oletetaan myös, että tiedätään seuraavat asiat. (x k ):n jokainen termi on positiivinen. lukujonon (y k ) jokainen termi on suurempi kuin lukujonon (x k ) vastaava termi. Eli y > x, y > x, y 3 > x 3... 3. lukujono x i. i= hajaantuu. Näistä ehdoista seuraa, että myös Y = i= x i hajaantuu. Harjoitus 3. Suppeneeko vai hajaantuuko n= n + n Havaitaan aluksi, että sarja on positiivisterminen. n + n > n n = n.

Sarja n= n on puolestaan harmoninen sarja joka hajaantuu. Minoranttiperiaatteen nojalla n + n hajaantuu. Harjoitus 4. Suppeneeko vai hajaantuuko n= 4 n + Havaitaan aluksi, että sarja on positiivisterminen. Lisäksi 4 n + < 4 n, joka on geometrisen sarja yleinen termi. n= 4 n = /4 /4 = /3 eli kyseinen sarja suppenee, joten majoranttiperiaatteen nojalla myös 4 n + suppenee. Harjoitus 5. Kehitä itse oma majoranttiperiaatetehtävä ja minoranttiperiaatetehtävä. Tämä on yllättävän helppoa, majoranttiperiaatteen tapauksessa kyseinen algoritmi menee seuraavasti:. Etsi sarja jonka tiedän suppenevan.. Lisää nimittäjään jokin vakio tai vähennä osoittajasta jokin vakio, jolloin saat uuden sarjan, jonka jokainen termi on pienempi kuin aikaisemman suppenevan sarjan vastaava termi. 3

Sarjojen suppenemista voi testata kätevästi myös suhdetestillä. Jos meillä on positiivisterminen sarja i= x i voimme tarkastella peräkkäisten termien osaämäärän raja-arvoa eli lim i x i+ x i = c Jos c <, sarja suppenee, jos x > se hajaantuu (testi ei toimi arvolla c = ). 4