10 Jatkuvan aineen mekaniikkaa (Continuum mechanics)

10 Jatkuvan aineen mekaniikkaa (Continuum mechanics) 10.1 Jatkuvan aineen dynamiikka Aineet voidaan jakaa kahteen kategoriaan, kiinteisiin aineisiin sekä fluideihin (nesteet ja kaasut). Kiinteillä aineilla on oma muotonsa. Fluidit voivat virrata paikasta toiseen. Nesteet täyttävät astian pohjasta lähtien. Niiden tilavuus ei juurikaan muutu. Kaasut puolestaan täyttävät koko astian. Ne ovat kokoonpuristettavissa. Aineen tiheys on aineen massa jaettuna sen tilavuudella ja tiheyden yksikkö on kg m 3. ρ = m V Tiheys voi olla myös paikan funktio. Tällöin ρ = ρ(r) = dm dv Tiheyden käänteisarvo on ominaistilavus v = 1 ρ = dv dm joka tarkoittaa aineen tilavuutta yksikkömassaa kohti 10.2 Kiinteän aineen kimmoiset ominaisuudet (Elastic properties of solids) Kiinteiden aineiden muoto tai tilavuus muuttuu, jos siihen vaikuttaa ulkoisia voimia. Voimien loputtua kappale voi palata entiseen muotoonsa ja/tai tilavuuteensa. Pitkittäisjännitys Olkoon meillä L:n pituinen metallilanka tai -tanko, jonka poikkipinta-ala on A. Siihen vaikuttaa voima F (= jännitysvoima). Jos voimaa kasvatetaan F:llä, kasvaa langan pituus L:llä. Tällöin suhteellinen pikittäinen venymä on L/L. Se on verrannolinen jännitykseen, joka on voima pinta-alaa kohti eli F/A. Siten saadaan F A = vakio L L = E L L 1

Yleisesti kimmomoduli on jännitys suht. venymä Kerrointa E (jossain myös Y ) sanotaan Youngin moduliksi, missä E = pitkittäinen jännitys suht. pitkittäinen venymä = L df A dl Youngin moduli on mitta sille, kuinka paljon kiinteä aine vastustaa siihen kohdistuvan voiman pyrkimystä muuttaa sen pituutta! Youngin modulin yksikkö on [E] = N/m 2. Tilavuuskimmomoduli (myös Bulk modulus) on vastaavasti. Nesteisiin vaikuttava voima vaikuttaa kaikkiin suuntiin. Vaikuttakoon voiman muutos F siten, että tilavuus V muuttuu V :n verran. Tällöin saadaan F A = vakio V V V = K V Kerrointa K (jossain myös B) sanotaan tilavuuskimmomoduliksi, missä K = tilavuusjännitys suht. tilavuuden muutos = V df A dv Voiman derivaatta tilavuuden suhteen on aina negatiivinen. Positiivinen voiman muutos aiheuttaa negatiivisen tilavuuden muutoksen. K:n käänteislukua sanotaan kokoonpuristuvuudeksi Liukumoduli ( shear modulus) Jos tankoa kierretään siten, että tangon päässä vaikuttaa erisuuntaiset voiman momentit, sovelletaan liukumodulia (jossain puhutaan myös leikkausmodulista). Kierrettäessä tankoavoimaksi pinta-alaa kohti F A = vakio x h = vakio φ Kerrointa G (jossain myös S) sanotaan liukumoduliksi tai leikkausmoduliksi, missä G = liukujännitys suht. liukusiirtymä = 1 df A dφ 2

Kaikki suhteelliset venymät ovat dimensiottomia, joten modulien dimensioiksi tulee sama kuin paineen dimensio. Oheissa taulukossa 1 on joidenkin aineiden kimmomodulien arvoja, ihan vaan näytiksi. Taulukko 1: Kimmomodulien arvoja Aine Youngin moduli tilav. kimmomod. liukumoduli N m 2 N m 2 N m 2 alumiini 7, 0 10 10 7, 6 10 10 2, 6 10 10 kupari 1, 3 10 11 1, 4 10 11 4, 8 10 10 kulta 7, 8 10 10 2, 2 10 11 2, 7 10 10 vesi - 2 10 9 - elohopea - 3 10 10 - Esimerkki Tarkastellaan sylinterimäisen tangon torsiota. Otetaan sylinterissä elementiksi rengas, jonka säde on r ja paksuus dr. Vaikuttakoon tähän elementtiin vääntävä voima df, joka aiheuttaa voiman momentin dt sylinterin keskipisteen suhteen eli dt = (df) r Liukusiirtymäksi tulkoon s sylinterin pituudella l eli φ = s l missä φ on sylinterin kiertymäkulma. Kiertyvä pinta-ala on da = (2πr)(dr), joten df da = df (2πr)(dr) = Gφ = Gs l Koska kaaren pituus on s = rθ, saadaan df = G r l (2πr)(dr)θ Voiman momentti on dt = rdf = 2πG θr 3 dr l Integroidaan tangon säteen yli ( r = 0 a), jolloin saadaan T 0 dt = a 0 3 2πG θr 3 dr l

missä torsiovakio T = 2πG a θ r 3 dr l 0 T = πga4 θ = cθ 2l c = πga4 2l Mm. magnetometreissä on käytetty torsiolankaa, samoin erilaisissa herkissä mittalaitteissa kuten torsiovaa assa. 10.3 Levossa olevat fluidit Nesteessä olevat kuviteltavat kappaleet ovat tasapainossa ulkopuolelta tuleville voimille. Ajatellaan nesteessä olevan nestekuution, jonka tahkon pinta-ala on A. Voimat, jotka vaikuttavat kuutioon, ovat nesteen paino sekä kuhunkin tahkoon vaikuttava voima. Ohueen matalaan sylineriin vaikuttavat voimat ovat vasemmalta F ja oikealta F. Siten paine fluidissa on F P = lim A 0 A Tämä paine aiheuttaa joka paikassa samalla syvyydellä saman voiman yhtä suurta pintaalayksikköä kohti. Voima on aina kohtisuoraan pinta-alaa vastaan! Seurauksia: 1. Upotetaan vaakasuora putkenpätkä fluidiin. Olkoon puken toisessa päässä paine P 1 ja toisessa päässä paine P 2. Jos putken päiden pinta-alat ovat yhtä suuret, on vaakasuora nettovoima P 2 ( A) P 1 ( A) = (P 2 P 1 )( A) Tämän täytyy olla nolla, sillä muuten... Mitä? 2. Fluidin pinta on homogeenisessä gravitaatiokentässä vaakasuora. Siis pystysuora suunta on kohtisuorassa vapaasti olevaa nestepintaa vastaan. 3. Fluidissa oleva paine riippuu syvyydestä. Tarkastelemme sitä seuraavaksi. Olkoon meillä paine P 1 syvyydellä y 1 ja paine P 2 syvyydellä y 2. Jos meillä on pystysuora putki, jonka päät ovat syvyyksillä y 1 ja y 2, on tämänkin tilanteen oltava tasapainossa: P 2 ( A) P 1 ( A) ( M)g = 0 Oletetaan, että neste on homogeenistä eli ρ = vakio. Tällöin M = ρv = ρ( A)(y 2 y 1 ) ja saadaan 4

P 2 P 1 = ρg(y 2 y 1 ) Homogeenisessä gravitaatiokentässä olevassa homogeenisessä nesteessä paine kasvaa lineaarisesti syvyyden mukaan. Pascalin periaatteen mukaan paine leviää nesteessä kaikkia pintoja vastaan. Tästä seuraa hydraulisen nosturin periaate, jossa ja tästä saadaan F 1 A 1 = F 2 A 2 F 1 F 2 = A 1 A 2 10.4 Fluidien kimmo-ominaisuudet Fluideilla ei ole pitkittäistä eikä liukujännitystä. Sen sijaan niiden tilavuus kimmomoduli on tärkeä. Kaasujen ja nesteiden tilavuuden kimmomoduli K on tai toisella lailla K = F A V V = P V V K = V dp dv = V P V Kimmomoduli kertoo kuinka suuri suhteellinen tilavuuden muutos tapahtuu paineen muutoksessa tai kuinka suuri paineen muutos tarvitaan tietyn suuruiseen suhteelliseen tilavuudenmuutokseen Mekaaninen työ fluidin laajenemisessa Olkoon fluidin tilavuus V. Se laajenee painetta P vastaan tilavuuteen V + V. Mikä työ tällöin tehdään? Jaetaan V pieniin δa:n suuruisiin pinta-alan osasiin. Kukin osa liikkuu matkan δz. Työ on tällöin määritelmänsä mukaisesti pieni työ on δw = (δf)(δz) = (PδA)(δz) = P(δA δz) = P(δV ) Kun tilavuus laajenee V :n verran saadaan 5

W = P V Homma voitaisiin tehdä myös siten, että pinta-alaltaan A oleva mäntä liikkuu painetta P vastaan matkan dz. Työ saadaan integroimalla W = W o dw = z o PAdz = PAz = P V 10.5 Kaasun paine Ilmakehä on erilaisten kaasujen sekoitus. Sen paine pienenee ylöspäin mentäessä eli ρ = ρ(y). Pienellä korkeusvälillä tiheys voidaan tulkita vakioksi, jolloin paineen muutokseksi saadaan P = ρ(y)g( y) Ilmanpaine Maan pinnalla P saadaan integroimalla ilmakehän läpi P = P 0 dp = 0 g(y)ρ(y)dy Käytännössä ylärajaksi riittää 100 km. Kunkin kaasukomponentin paine (=osapaine) voidaan laskea myös erikseen. Kokonaispaine saadaan näiden osapaineiden summana. Kokeellisesti ilmanpaine saadaan erilaisilla painemittareilla, esim. elohopeailmapuntarilla. Elohopea tai jokin muu neste nousee ilmanpaineen ansiosta tyhjiöputkessa tietylle korkeudelle H. Tämän korkeuden avulla saadaan ilmanpaine lausekkeesta missä ρ L on käytetyn nesteen tiheys. P a = gρ L H, Paineen SI-yksikkö on [F] = N = Pa = Pascal. Paineella on edelleen kirjava yksikkövalikoima. Älkää menkö niissä [A] m 2 sekaisin! 10.6 Arkhimedeen laki Kaikki fluidiin upotetut kappaleet kokevat nosteen (buoyancy). Olkoon kiinteän kappaleen tilavuus V. Upotetaan se fluidiin. Kappaleen oma paino on alaspäin vaikuttava voima. Ylöspäin vaikuttaa voima, joka on vektorisumma kaikista A:n suuruisiin pinta-aloihin vaikuttavista voimista P A. Jos kappale poistetaan fluidista, korvautuu sen tilavuus fluidin tilavuudella ja fluidi on omassa fluidissaan tasapainossa. 6

Arkhimedeen laki: Kun kappale upotetaan fluidiin, se kokee nosteen, joka on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttämän fluidin paino. Olkoon noste U ja kappaleen paino W. Olkoon kappaleen tiheys ρ k ja fluidin tiheys ρ f sekä kappaleen tilavuus V. Tällöin ylöspäin oleva nettovoima on kun kappale on kokonaan fluidissa. U W = ρ f gv ρ k gv Kappale uppoaa, jos ρ k > ρ f ja kelluu kun ρ k < ρ f. Tarkastele kutakin tilannetta erikseen! 10.7 Fluidien dynamiikka Fluidien dynamiikka yleisesti on varsin monimutkaista. Sitä käsitellään tarkemmin kurssilla 761654S Hydrodynamiikka. Tarkastelemme tässä vain joitain seikkoja, kuten Bernoullin yhtälöä sekä viskositeettia. Käsitteitä: Ideaalinen fluidi on kokoonpuristumaton eikä sillä ole sisäistä kitkaa Stationäärinen virtaus: virtausnopeus ei muutu ajan funktiona Pyörteetön virtaus, (streamline flow) tai laminaarinen virtaus: virtaus, jossa vuoputket eivät sekoitu vaan virtaavat vierekkäin hyvässä järjestyksessä Pyörteinen virtaus, (turbulent flow): kun virtausnopeus kasvaa riittävästi tai kun erilaiset rajat tai reunat muuttavat virtausta, virtauksesta voi tulla epäsäännöllistä ja pyörteistä. Testi: siipipyörä pyörii tällaisessa virtauksessa. Tarkastellaan tilannetta, jossa fluidi virtaa mielivaltaisen kohtisuorassa olevan pintaalan A 1 läpi. Vuoputken sisään menevä fluidi tulkoon ulos toisen kohtisuoran pinta-alan A 2 läpi. Kulkekoon fluidihiukkanen nopeudella v 1 ensimmäisen pinta-alan kohdalla jolloin se kulkee matkan x 1 ajassa t ja olkoon nopeus v 2 toisen pinta-alan kohdalla jolloin matka on x 2 ajassa t. Tällöin pinta-alan A 1 läpi menevä massa ajassa t on ja vastaavasti pinta-alan A 2 kohdalla m 1 = ρ 1 V 1 = ρ 1 A 1 x 1 = ρ 1 A 1 v 1 t m 2 = ρ 2 V 2 = ρ 2 A 2 x 2 = ρ 2 A 2 v 2 t 7

Koska putkeen menevän massan aikayksikössä on oltava sama kuin putkesta tulevan massan samassa aikayksikössä, saadaan m 1 = m 2 Jaetaan lausekkeet t:llä ja annetaan ajan mennä nollaan, jolloin saadaan massavirta eli jatkuvuusyhtälö (continuity equation) dm dt = A 1v 1 ρ 1 = A 2 v 2 ρ 2 Avρ = vakio Jos fluidi on kokoonpuristumatonta eli ρ 1 = ρ 2, saadaan massavirraksi ja edelleen dm dt = A 1v 1 ρ = A 2 v 2 ρ Av = vakio Tällöin voidaan puhua myös tilavuusvirrasta dv dt = dm/ρ dt = Av Bernoullin yhtälö Tarkastellaan nestevirtausta vuoputken kahdessa kohdassa. Olkoon ensimmäinen kohta korkeudella y 1, jossa putken halkaisija A 1, fluidin virtausnopeus v 1 ja paine P 1 ja toinen kohta korkeudella y 2 ja siinä putken halkaisija A 2 ja fluidin virtausnopeus v 2 sekä paine P 2. Siirrettäessä fluidia kohdassa 1 matkan x 1, tehdään työ Jos tämä tapahtuu ajassa t saadaan W = F 1 ( x 1 ) F 2 ( x 2 ) = P 1 A 1 ( x 1 ) P 2 A 2 ( x 2 ) W = P 1 A 1 v 1 ( t) P 2 A 2 v 2 ( t) Työ on sama kuin massan m mekaanisen energian muutos eli W = [ 1 2 ( m)v2 2 + ( m)gy 2 ] [ 1 2 ( m)v2 1 + ( m)gy 1 ] 8

Muokataan tätä jakamalla massalla ja saadaan P 1 A 1 v 1 ( t) m P 2A 2 v 2 ( t) m = 1 2 (v2 2 v 2 1) + g(y 2 y 1 ) Kappaleen alkupuoliskossa saatiin m = Avρ( t). Sijoitetaan se edelliseen lausekkeeseen P 1 ρ 1 P 2 ρ 2 = 1 2 (v2 2 v 2 1) + g(y 2 y 1 ) Järjestetään indeksit 1 vasemmalle puolelle ja indeksit 2 oikealle puolelle P 1 ρ 1 + 1 2 v2 1 + gy 1 = P 2 ρ 2 + 1 2 v2 2 + gy 2 Jos lauseke pätee kahdelle mielivaltaisesti valitulle paikalle on P ρ + 1 2 v2 + gy = vakio Tämä on Bernoullin yhtälö joka yleensä kirjoitetaan muodossa P + 1 2 ρv2 + ρgy = vakio Muutama sovellus a) Olkoon fluidi levossa. Tällöin v 1 = v 2 = 0 ja saadaan... b)virratkoon fluidi vaakasuorassa. Tällöin... ja saadaan... Miten tämä toimii lentokoneessa?? Virtausmittari (venturi meter) Jos haluamme mitata putkessa tapahtuvan virtauksen nopeuden, voimme mitata paine-eron kahdessa eri kohdassa, joissa on eri suuruinen poikkipinta-ala. Olkoon poikkipinta-alat A 1 ja A 2 ja olkoon putki vakasuorassa. Tällöin P 1 + 1 2 ρv2 1 = P 2 + 1 2 ρv2 2 Koska A 1 v 1 = A 2 v 2 9

saadaan P 1 + 1 2 ρv2 1 = P 2 + 1 ( ) 2 2 ρ A1 v 1 A 2 Lausekkeesta voidaan ratkaista virtausnopeus kohdassa 1 eli v 1 = 2(P 1 P 2 ) ρ[(a 1 /A 2 ) 2 1] Tilavusvirta on vastaavasti ja massavirta dv dt = A 1v 1 dm dt = ρa 1 v 1 10.8 Viskositeetti (viscosity) Ideaalinen fluidi virtaa kitkatta. Vain paine-ero pitää yllä virtausta. Reaalifluidi on erilaista. Sillä on nesteen sisäistä kitkaa eli viskositeettia. Se vastustaa fluidikerrosten likkumista toistensa suhteen. Jos fluidi virtaa tasaisen levyn yli, kasvaa virtausnopeus levyn etäisyyden kasvaessa. Virtausnopeus levyn pinnalla on nolla. Siten fluideilla on nopeusgradientti. Fluidikerrokset kokevat liukujännityksen df/da, missä voima on tangentiaalinen eli virtaussuunnassa oleva voima pinta-alaa A kohti. Nopeusgradientti dv/dz on suoraan verrannollinen fluidin liukujännitykseen eli df da = vakiodv dz Verrannollisuuskerrointa η sanotaan viskositeetiksi. df = η dv da dz Fluideja, jotka käyttäytyvät näin, sanotaan Newtonin nesteiksi. Viskositeetin dimensio on Nsm 2. Viskositeetti on suuri jähmeille fluideille ja pieni vilkkaasti liikkuville fluideille. Sovellus: Nesteen virtaus putkessa. Käy itse huolellisesti läpi! 10

10.9 Pinnan ominaisuuksia Nesteiden pinnalla esiintyy voimia, joita voidaan havaita eri lailla. Nesteen tiheyttä suuremman tiheyden kappaleita saattaa myös kellua nesteen pinnalla. Se on mahdollista pintajännityksen avulla. Pintajännitys on γ = lim l 0 T l Mekaaninen työ, joka tehdään liikutettaessa l:n pitusta nesterajaa matkan x saadaan lausekkeesta W = T ( x) = γ( l)( x) = γ( A) Täten siis γ = dw da ja se voidaan tulkita energiana pinta-alaa kohti. Pintajännityksen yksiköksi tulee N/m = J/m 2 10.10 Kaasun paine Nesteet pysyvät avoimessakin astiassa, mutta kaasuille on oltava suljettu astia. Painemittarilla voi mitata kaasun paineita. Olkoon kaasua astiassa ja olkoon sen paine P. Astiaan on kytketty U-putki, johon on laitettu nestettä, jonka tiheys tunnetaan. U-putken toineen pää on avoin ja normaalissa ilmanpaineessa P a. Paine astiassa on P = P a + ρ l g h missä ρ l on putkessa olevan nesteen tiheys ja h on nestepinnan korkeusero putken eri haaroissa. Boylen laki Olkoon meillä kaasua astiassa, joka on suljettu liikkuvalla männällä. Olkoon männän pinta-ala A. Vaikuttakoon mäntään alaspäin oleva voima F. Myös astiassa oleva kaasu aiheuttaa voiman mäntään. Mäntä on tasapainossa, jos eri suuntaiset voimat ovat yhtä suuret. Tällöin P = F A Jos ylhäältäpäin olevaa voimaa kasvatetaan, liikkuu mäntä alaspäin ja kaasun tilavuus astiassa pienenee. 11

Jos astiassa olevan kaasun paine piirretään tilavuuden funktiona, saadaan hyperbelin kaari. Se tarkoittaa sitä, että paine on verrannolinen 1/V :hen. Jos paine piirretään 1/V :n funktiona, saadaan suora jolloin P = vakio 1 V = C 1 V eli PV = vakio Tilavuuskimmomodulista tiedämme K = V A df dv = V AdP A dv = V dp dv Jos P derivoidaan V :n suhteen, saadaan ja sijoitettuna kimmomodulin lausekkeeseen dp dv = C V 2 K = V dp dv = V C V 2 = C V = P Tämä pätee ideaalikaasuille, mutta hyvin myös reaalikaasuille. 10.11 Kineettinen kaasuteoria Mikroskooppinen malli kaasuille. Oletukset: 1. Missä tahansa tilavuudessa on hyvin suuri joukko hiukkasia (= molekyylejä) 2. Molekyylin koko molekyylien keskimääräinen välimatka 3. Molekyylien väliset ja molekyylien ja astian seinämän väliset törmäykset ovat täysin kimmoisia 4. Kaikilla molekyyleillä on sama massa 5. Molekyylien välisillä voimilla on hyvin lyhyt kantama molekyylit liikkuvat suoraviivaisesti törmäysten välillä 6. Molekyylit ovat kovia palloja Mieti, kuinka hyviä nämä oletukset ovat? Tarkastellaan jatkossa molekyylien törmäyksiä astian seinämiin. Olkoon molekyylin massa m ja olkoon molekyylin liikemäärä p ennen törmäystä. Jaetaan liiekmäärä kohtisuoraan seinämää vastaan ja seinämän suuntaiseen komponenttiin. Tällöin p = p + p. 12

Tarkastellaan molempia komponentteja erikseen. Koska törmäys on kimmoinen, tulee olla p = p eli p 2 2m = p2 2m Seinänsuuntanien komponentti säilyy muuttumattomana eli p = p jolloin kohtisuoran komponentin tulee olla p = p Siten liikemäärän muutos p = p p = p p = 2p = 2p Tarkastellaan kuution muotoista astiaa, jonka sivut ovat kukin h:n pituiset ja ne ovat kolmen koordinaattiakselin suuntaiset ja jonka tahkojen pinta-alat ovat A. Kussakin törmäyksessä seinämän kanssa tapahtuu 2p suuruinen liikemäärän muutos. Unohdetaan molekyylien väliset törmäykset. Molekyylin ja pohjatahkon väliset törmäykset tapahtuvat 2h/v z väliajoin, missä v z on molekyylin z-suuntainen nopeus. Törmäystaajuus pohjatahkoon on siten v z /2h. Liikemäärän muutos aikayksikössä eli voima on ( ) dp dt = 2p vz z = p zv z 2h h Voima kullekin molekyylille on keskimäärin sama. Jos astiassa on N molekyyliä, saadaan kokonaisvoimaksi per seinä F = N p zv z h = N h (p zv z ) saadaan Koska p v = p x v x + p y v y + p z v z F = N p v 3h Viimein paineeksi saadaan P = F A = N 3Ah p v = N p v 3V 13

sillä V = Ah on astiamme tilavuus. Paine on siis kääntäen verrannollinen tilavuuteen. Koska p = mv saadaan P = N 3V p v = N 3V mv2 = 2N 3V 1 2 mv2 Termi 1 2 mv2 on molekyylin keskimääräinen kineettinen energia. Astian molekyylien kokonaisenergia on sama kuin systeemin sisäinen energia U U = N 1 2 mv2 Boylen laki saa nyt muodon PV = 2 3 U Relativistisessa tapauksessa Boylen laista saadaan (käy itse läpi) PV = 1 3 U 10.12 Ainemäärä Käy läpi. 10.13 Van der Waals in tilanyhtälö Molekyylit oletettiin koviksi palloiksi. Tällöin molekyylien väliset voimat ovat nollia paitsi törmäyshetkellä. Tällaisessa tapauksessa potentiaalienergiakäyrä on ääretön kun pallojen välimatka on pallonhalkaisijan verran tai alle, muuten nolla. U(r) = { for r < 2R0 0 for r > 2R 0 Reaalimolekyyleillä potentiaalienergiakäyrä on toisenlainen. Sitä voidaan approksimoida käyrällä, jolla for r < 2R 0 U(r) = E for 2R 0 < r < R 0 for r > R 14

Molekyylienvälisten voimien vaikutusmatka Lähimpien molekyylien välillä on vetovoimaa eli attraktiota. Kaasussa, etäällä seinistä, vuorovaikutuksilla ei ole nettovoimaa. Seinän lähellä vuorovaikutus pienentää kaasun painetta seinämää vastaan P 2/3u m P i v m missä u m = N A 1 2 mv2 on moolinen sisäinen energia ja P i ns. sisäinen paine. Yhden molekyylin vuorovaikutustilavuus on V vv = 4 3 π(r3 R 3 o) Todennäköisyys, että N:stä molekylistä kaksi molekyyliä vuorovaikuttavat keskenään tilavuudessa V on verrannollinen lausekkeeseen N (R3 R 3 o) V Todennäköisyys, että seinää lähestyvä molekyyli kokee muiden molekyylien aiheuttaman voiman on (N 1)N (R3 R 3 o) V N2 V Saamme voimaksi nyt missä α 1 on vakio. Paineeksi tulee näin F = N 3h p v α N 2 1 V N 2 P = F A = N 3V p v α 1 V A = N 3V p v α 1h N2 V Ah = N ( ) N 2 3V p v α 2 V Siirretään alfa-termi vasemmalle puolelle ja koska n = N/N A sekä V m = V/m saadaan missä a = α 2 N 2 A N 2 P + α 2 V = N p v 2 3V P + a V 2 m = N A 3V m p v 15

Oikea puoli on 2/3u m joten ( P + a ) V Vm 2 m = 2 3 u m Koska molekyylien kokonaistilavuus ei ole nolla, korvataan V V Nβ. Jos tilavuudet muutetaan moolitilavuuksiksi, saadaan V m V m N A β ja paineen Van der Waals -lauseke viimein muotoon ( P + a ) (V Vm 2 m b) = 2 3 u m missä a ja b ovat kullekin kaasulle ominaisia vakioita ja b = N A β. Se tosin esitetään usein muodossa ( ) P + an2 (V nb) = nrt V 2 Jatkoa: Muuttuva massan systeemi (Alonso-Finn: University physics) Tähän asti olemme tarkastelleen hiukkasia tai systeemeitä, joilla on vakio massa. Usein massa myös muuttuu, esim. putoavassa vesipisarassa. Liikemäärän derivaatta ajan suhteen on voima ja yleisesti F = d(mv) dt = dm dt v + mdv dt Oletetaan pisaran massaksi m ja nopeudeksi v. Siihen kondensoituu lisää vettä. Kasvakoon sen massa nopeudella dm/dt. Jos höyryn nopeus on v 0, saadaan pisaralle liikeyhtälöksi F = m dv dt + dm dt (v v 0) Esimerkki Tarkastellaan rakettia, jonka massa on m ja joka liikkuu nopeudella v hetkellä t. Sen rakettimoorrotit sytytetään ja ajassa dt pakokaasuja poistuu massan dm verran. Pakokaasujen nopeus rakettiin nähden on v p. Raketti saakoon nopeuden lisäyksen dv. on Kokonaisliikemäärä säilyy. Alussa raketin liikemäärä oli P = mv ja hetkellä t + t se P = (m + dm)(v + dv) + ( dm)v 16

Oikean puolen ensimmäinen termi on rakettiin liittyvä termi ja toinen termi pakokaasuihin liittyvä termi. Tästä sieventämällä saadaan P mv + mdv (v v)(dm) Koska v p = v v saadaan P = mv + mdv v p dm Ajassa dt liikemäärän muutos on siten P P = dp = mv + mdv v p dm mv dp = mdv v p dm Jos liikemäärä säilyy, saadaan mdv = v p dm Jaetaan liikemäärän muutoksen lauseke ajalla dt ja saadaan dp dt = mdv dt v dm p dt Jos siis ulkoinen voima F vaikuttaa rakettiin, saadaan F = dp dt = mdv dt v dm p dt Jos voima on painovoima eli F = mg saadaan dv dt v p dm m dt = g Jos raketti nousee Maan pinnalta, on v ylöspäin ja v p ja g alaspäin. Muutetaan vektorit skalaareiksi (ottaen suunnat huomioon) dv dt + v p dm m dt = g Siirretään dt-termit oikealle puolelle ja integroidaan v f v o dv + v p m f m o 1 m 17 t dm = g 0 dt

josta tulee v f v o + v p ln m f m o = gt Loppunopeudeksi v f saadaan v f = v o v p ln m f m o gt Jotta raketti ylipäätään nousisi Maan pinnalta, tulee olla Tällöin Tästä seuraa F = dp dt = mdv dt v dm p dt mg dv dt v p dm m dt + g 0 m v p g dm/dt Esimerkki: Raketin massa ennen lähtöä on 1260 kg. Raketin noustessa sen massa pienenee 2,2 kg/s. a) Laske pakokaasujen miniminopeus, jotta raketti alkaa juuri ja juuri nousta. b) Mikä on raketin kiihtyvyys, jos pakokaasujen nopeus on 5900 m/s? 18