MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin valiten, että ympyräviivat leikkaavat kulman aukeamassa pisteessä C. Kulman kärjen ja pisteen C määräämä puolisuora on vaadittu kulmanpuolittaja. 2. Piirretään jokin suora ja erotetaan siltä jana AB = c. Siirretään kulma α siten, että sen kärki tulee pisteeseen A ja oikea kylki suoralle AB. Siirretään kulman β kärki pisteeseen B, ja sen vasen kylki suoralle BA. Jos kulman β oikea ja kulman α vasen kylki leikkaavat toisensa pisteessä C, niin ABC on vaadittu kolmio. Tehtävä ei ole mahdollinen, ellei toteudu ehto α + β < 18 astetta. Yhtenevyyslause ksk: Jos kolmiossa kaksi kulmaa ja näiden välinen sivu ovat yhtä suuret kuin vastaavat osat toisessa kolmiossa, niin kolmiot ovat yhtenevät. 3. Silmä saattaa näyttää, etteivät ole yhtenevät. Kyllä ovat. Pienintä kulmaa vastassa olevat sivut BC ja DE ovat vastinsivuja keskenään, samoin AC ja FE sekä edelleen AB ja FD keskenään. Kulmista A ja F vastaavat toisiaan, samoin C ja E. C F A B D E 4. Olkoon vieruskulmat kuvan α ja β. Niiden astelukujen summa on 18. Valitaan kulman α oikeanpuoleinen puolikas ja kulman β α β vasen puolikas. Niiden summa 1(5)
α 2 β α + β 18 + = = 2 2 2 = 9. 38 5. Kun tarkastellaan sitä suorien r ja s r välissä olevaa pikkukolmiota, jonka yhtenä kulmana α on ja jonka kantasivuna α on osa suorasta s, niin tämän kolmion 59 s kaksi muuta kulmaa ovat 59 ristikulmaominaisuuden perusteella ja 38 samankohtaisuuden perusteella α + 59 + 38 = 18 α = 83. 6. a) Kello 12., viisarit päällekkäin, kulma (aivan tarkka arvo) b) Kello 18., viisarit sojottavat vastakkaisiin suuntiin, kulma 18, tarkka. c) Kello 15., viisareiden välillä on suora kulma. d) Kello 14.3, minuuttiviisari on 12 päältä kiertynyt 18. Tuntiviisari kiertyy 36 yhden tunnin aikana asteen verran eli 3 astetta. Puolessa tunnissa 12 siis 15 ja tämä lukema on lisättävä 9 :een. Kulma tällöin täsmälleen 15 astetta. e) Kello 22.44. Minuuttiviisarin kierrossa yhden minuutin aikana kiertymä on kuusi astetta, joten 44 minuutin kiertymä klo 12 lukemasta on 6 44 = 264. Tuntiviisari kierto klo 12 ja klo 22 välillä on 3. Edelleen 44 minuutin aikana tuntiviisari kiertyy lisää 44 3 = 22. Tuntiviisarin 6 kokonaiskiertymä klo 12 laskien on siten 322.. Viisareiden välillä on kulma (322 264) = 58 tasan. 7. Jos suorat k ja m ovat yhden- 39 suuntaiset, niin suorien välisessä k kolmiossa on 59 kulman lisäksi 59 kulmat, joiden asteluvut ovat 81 (ristikulma) ja 39 (samankoht). 81 m Mikä on näiden kulmien astelukujen summa? 2(5)
8. h = 12.321 m 12 m. Yhdenmuotoisuus! ab 9.. Yhdenmuotoiset kolmiot. a + b ax(b x) 1. A(x) = b 11. 44%. 12. 1:15. Alojen suhde = mittakaavan neliö. 13. Yksi kulma 29.7. 14. Toinen kateetti noin 14.8 ja toinen noin 12.. (Ehkä kahden numeron tarkkuus!) 3 15. Laskien saa 19. Voiko kateetti olla pitempi kuin.? 7 16. A = 4.987 41 pinnan yksikköä. 17. 5. s 3 s 2 3 18. a) h = b) A =. 2 4 19. Pitempi kateetti on 6 5. 2. A = 22.63 cm 2 22.6 cm 2. 21. Kolmion pinta-ala noin 55 pinnan yksikköä ja kanta-kulma noin 65.4. 22. Ko. kulma 12.21. Piirroksessa tämän kulman viereiset sivut 8.5 cm ja 6.5 cm. 23. Laskin saattaa olla juonittelevinaan. 24. Toinen kulma noin 28. ja puuttuva sivu 6.8 cm. Miksei voi olla kahta ratkaisua? 25. Lyhin sivu on aina pienintä kulmaa vastassa. Toinen puuttuva sivu 76.4 mm. Pisin sivu, suurimman kulman vastainen on noin 81.4 mm. 26. Sivun 7.5 cm vastainen kulma 34., sivun 1.8 cm vastainen kulma 53.6 ja kolmas kulma on 92.4! 3(5)
27. 42 m. 28. Pinta-alasta päästään aluksi sivujen väliseen kulmaan. KAKSI RATKAISUA. Kolmas sivu joko 13 tai 21. 29. Jaa metsä kahteen kolmioon lävistäjällä AC. A 13.5 ha. 3. Sektorin keskuskulma noin 114.6. Sektorin kaari 2R. 31. Segmentin ala = sektorin alan ja keskuskolmion alojen erotus. Haarukointi antaa 132 < α < 133. 32. 2R 3. 33. R = 1. 34. 36.4. 35. Oikaisee kokonaista 1.4 km. 36. Noin 33 km. 37. Noin 26 cm. 38. Suorakulma taitaa olla ympyrän kehäkulma ja silloin se on puoliympyrän sisältämä ja määrää varsin tarkoin ympyrän keskipisteen, josta säde on helppo laskea. 39. Lähes 43 m matka yhdistelmään. 4. Osoita, että 41. β = 2α 9. 42. Nojaa ohjeeseen. 43. R 16.8 cm, vajaan sentin vaihtelu siedetään. 44. Sijoita suoraan pallon pinta-alan lausekkeeseen. Kuutio veisi noin 24% enemmän materiaalia. 45. A 147 cm 2. 4(5)
46. Yksi kuutiometri on runsaan 38 kuutiojalkaa. πr 3 3 47. V =. 24 48. a) R 3 / 2 b) R 2 / 2 49. V 186 m ) 3 5. R noin 98 mm. 51. Perävaunun säiliön lieriöosan korkeus suunnilleen 4.63 m. 52. Purjehdusaika noin 11.5 vrk. 5(5)