S-11445 Fysiikka III (Sf) välikoe 710003 1 Läpövoiakoneen kiertoprosessin vaiheet ovat: a) Isokorinen paineen kasvu arvosta p 1 arvoon p b) adiabaattinen laajeneinen jolloin paine laskee takaisin arvoon p 1 ja tilavuus kasvaa arvoon 3 ja c) isobaarinen puristus tilavuuden pienentyessä takaisin arvoon 1 F - I Piirrä kuva ja osoita että hyötysuhde on h = 1-g 3/ 1 1 issä g on adiaabaattivakio HG p / p1-1 aasu oletetaan ideaalikaasuksi aasu saa läpöä uutoksessa 1- Prosessi on isokorinen joten kaasun saaa läpöäärä on Q = C ν ( 1) Muutos -3 on adiabaattinen jotenq 3 = 0 aasu luovuttaa läpöä alepaan läpövarastoon uutoksessa 3-1 joka on isobaarinen aasun luovuttaa läpöäärä on Q = C A ν p( 3 1) Huoaa itseisarvoerkki aasu luovuttaa läpöä joten ääritellään läpövoiakoneelle yhtälöllä Q A on negatiivinen Hyötysuhde W Q QA QA η = = = 1 Q Q Q issä käytettiin yös energian säilyislakia Sijoitetaan tähän läpöäärät ja uistetaan että adibaattivakiolle pätee γ = C / C ( ) ( ) p ( / 1) ( / 1) η = 1 γ = 1 γ 3 1 3 1 1 1 äytetään lopuksi ideaalikaasun tilanyhtälöä uutoksille 1- ja 3-1 Muutos 1- on isokorinen joten tilanyhtälöstä saadaan ( p / p1) = ( / 1) Muutos 3-1 on isobaarinen joten vastaavasti tilanyhtälöstä ( 3 / 1) = ( 3/ 1) un nää sijoitetaan edellä olevaan yhtälöön saadaan kaivattu tulos
a Erään kaasun tilanyhtälö on p+ = R issä on oolitilavuus ja a sisäenergia oolia kohti U = b + U0 akioiden arvot ovat a = 580 3/kol ja b = 40 /(kol ) a) Määritä oolinen oinaisläpö vakiotilavuudessa c b) Laske läpötilan uutos kun 30 kol tätä kaasua saa vakiotilavuudessa läpöäärän 100 a) 1 pääsäännöstä δ Q = du + pd ja sisäenergian kokonaisdifferentiaalista du = d + d saadaan δq = d p d + + un tilavuus on vakio (isokoorinen tilanuutos) on d = 0 ja oinaisläön ääritelän ukaan δq = δq = νcd Saadaan siis (ks yös opetusonisteesta lukua 77) 1 νcd = d josta c = ν Moolisten suureiden avulla lausuttuna c = c = b 40 ( kol ) b) Q = 100 ν = 30 kol = vakio =? δq = du = νc d Sijoittaalla edellä saatu c:n lauseke ja integroialla saadaan 1 ( ) 1 Q = νb d = νb = νb ästä saadaan kysytty läpötilan uutos: Q 100 = 083 νb 30 kol 40 kol ilanyhtälöä ei tehtävässä tarvittu Siitä kuitenkin nähdään että kysyyksessä on reaalikaasu 3 Eräässä prosessissa ideaalikaasun paine on suoraan verrannollinen oolitilavuuteen Miten kaasun entropia oolia kohti riippuu oolitilavuudesta tässä prosessissa? Lausu tulos adiabaattivakion γ avulla (ensiäinen tapa) p= a a = vakio Ideaalikaasu
Entropian ääritelästä ja 1 pääsäännöstä saadaan du + pd f d ad ds = = R + issä f on efektiivisten vapausasteiden lukuäärä Ideaalikaasun tilanyhtälöstä saadaan edelleen p a a = = d = d R R R jotka sijoitetaan edelliseen yhtälöön ällöin saadaan Integroialla saadaan lopulta d γ + 1 d ds = R( f + 1) = R γ 1 γ + 1 S = R ln + S γ 1 0 issä S 0 on vakio joka vastaa referenssitilaa (toinen tapa) ehtävä voidaan ratkaista yös käyttäällä ideaalikaasun entropian lauseketta (ks luku 9) f / f / S = ν Rln + ν c ja siis oolia kohden S / ln ν = S ν = R + c ν ehtävässä kerrotaan että tarkasteltavassa prosessissa paine on suoraan verrannollinen oolitilavuuteen ts p= a = a / ν Ideaalikaasun tilanyhtälön ukaan p = ν R / joten asettaalla paineet yhtäsuuriksi saae läpötilaksi ( ν ) = a / R = a / R Sijoitetaan tää entropian lausekkeeseen f / f + 1 a S = Rln + c f / erätään kaikki tilavuudesta riippuattoat terit yhteen R S = R f + 1 ln + c+ R f / ln a/ R ja lausutaan lopuksi f adiabaattivakion avulla (ts ( ) ( ) ( ) ( ) γ = 1+ / f ks luku 773) Saae γ + 1 S = R ln + c+ R f / ln a / R γ 1 issä ( ) ( ) ( ) ( ) c + R f / ln a/ R = S0 on tunteaton vakio ällä yhtälöllä voidaan laskea entropian uutoksia utta se ei anna entropian absoluuttista arvoa
4 eskenään vuorovaikuttavien olekyylien uodostaan kaasun partitiofunktio on Nb k Na k Z = F - I e H N F 3 / I / H ph Osoita että tätä vastaava paine on saa kuin van der Waals n kaasussa Ohje : entropian ääritelän perusteella voidaan kirjoittaa: dq du + dw du + pd ds = = = fi du = ds - pd ts paine on yhteydessä F sisäenergian differentiaaliin Määritteleällä apusuure F = U - S F osoita että p =-HG I Laske siis ensin partitiofunktion avulla F ja siitä paine osittaisdervoinnilla Lasketaan funktion F kokonaisdifferentiaali df = du ds Sd = Sd pd Huoaae että vapaa energia on tilanfunktio ja F p = Lasketaan seuraavaksi F Entropia voidaan esittää partitiofunktion avulla uodossa U Z S = kn ln kn + N + joten F = U S = kn ln Z kn (1 ln N ) ja paineeksi saadaan (jälkiäinen teri ei riipu tilavuudesta - ts entropiassa esiintyvillä norituksesta riippuvilla vakiotekijöillä ei ole vaikutusta itattavissa oleviin oinaisuuksiin) F p= = kn ( ln Z) Partitiofunktion logariti on Nb 3 k Na ln Z = ln + ln + N π h k josta derivoialla tilavuuden suhteen Nk N p= Nb a joka on saa kuin van der Waalsin kaasun paine 5 ksi ooli vettä läitetään kvasistaattisesti vakiopaineessa läpötilasta - 0 C läpötilaan 150 C Laske veden entropian uutos eden sulaisläpö on 608 k/ol höyrystyisläpö 4069 k/ol ään oinaisläpökapasiteetti vakiopaineessa on 3767 /(ol ) ja vesihöyryn oinaisläpökapasiteetti vakiopaineessa 360 /(ol ) iieksi ainittuja arvoja voidaan pitää vakioina ao läpötila-alueilla
: Ls = 608 k/ol Lh = 4069 k/ol Cpj = 3767 /(ol ) Cpv = 418 k/(kg ) Cph = 360 /(ol ) 1 = -0 C = 53 = 150 C = 43 ν = 10 ol p = 10 at 1) ään läitys -0 C:sta sulaispisteeseen 0 s d s 1 ν pj ν pjln 866 1 S = C = C ) ään sulainen: isoterinen ja isobaarinen prosessi 1 δq Q1 νls 081 1 s s s S = = = 3) eden läitys 0 C:sta kiehuispisteeseen 100 C h S3 = ν Cpvln 348 s 4) eden höyrystäinen: isoterinen isobaarinen prosessi Q1 ν Lh S4 = = 10909 h h 5) Höyryn läittäinen 150 C:seen S5 = ν Cphln 4586 h eden entropian kokonaisuutos on S = S i 16 AIOIA -31-7 -7-7 e = 9 1091 10 kg p = 1 675 10 kg n = 1 6748 10 kg au = 1 6605 10 kg -19 8-34 -4-1 e = 1 601 10 C c = 9979 10 / s h = 1 0545 10 s B = 9 73 10-1 -1 - -6 - e0 = 8 8544 10 CN e = 1 / 4pe0 0 = 1 566 10 kgc = 0 / 4p -11-3 -1-1 -1-3 g = 6 670 10 N kg NA = 6 05 10 ol R = 8 3143 ol k = 13805 10-1