OSA II. Kaksiosaisen artikkelin ensimmäinen osa ilmestyi Dimensiossa /7 Jatkuvat ei-missään derivoituvat funktiot lukion pitkässä matematiikassa Paavo Heiskanen, FM, Fysiikan ja matematiikan lehtori, Jokelan lukio Tein keväällä kahdessa lukiossa kyselyn jatkuvuuden ja derivoituvuuden osaamisesta. Tämän kyselyn tulokset antavat olettaa, että pitkän matematiikan opiskelijat hallitsevat varsin heikosti jatkuvuuden ja derivoituvuuden välisen yhteyden (Heiskanen, ). Koska derivoituvuus on selkeästi vahvempi ominaisuus kuin jatkuvuus, tavoitteena lienee kuitenkin, että derivaatan opiskeltuaan opiskelijat hallitsevat näiden käsitteiden välisen yhteyden paremmin. Esittelen artikkelissani Tallin () kehittelemän menetelmän, jolla voidaan luoda havainnollinen kuva derivoituvuudesta käyttäen hyväksi paikallinen suoruus -käsitettä. Tarkastelen myös kuinka jatkuvia ei-missään derivoituvia funktioita voitaisiin käsitellä lukion pitkässä matematiikassa ja miten niitä voitaisiin käyttää hyväksi derivoituvuus-käsitteen hallinnan syventämisessä. Tutkin matematiikan pro gradu -tutkielmassani, Jatkuvuus- ja derivoituvuus-käsitteet lukion pitkässä matematiikassa, muun muassa jatkuvia ei-missään derivoituvia funktiota, lyhyesti CND-funktioita (Continuous Nowhere Differentiable). Lukiossa suorittamani kyselyn perusteella monet lukion pitkän matematiikan opiskelijat pitävät outona ajatusta, että tällaisia funktioita on olemassa. Opiskelijoilla on käsitys, että yleensä jatkuvat funktiot ovat derivoituvia lukuun ottamatta muutamia pisteitä. Käsitys ei ole lainkaan yllättävä, sillä näinhän tilanne yleensä onkin kaikissa lukiossa vastaan tulevissa funktioissa. Tyypillisenä esimerkkinä jatkuvasta funktiosta, joka on epäderivoituva, esitetään itseisarvofunktio f ( x) = x, joka ei ole derivoituva kohdassa x =. Monet opiskelijoista ymmärtävät kyllä, että jatkuvuus ei takaa derivoituvuutta, mutta heille saattaa jäädä käsitys, että jatkuvalla funktiolla voi olla piikkejä eli epäderivoituvuuskohtia vain äärellinen määrä tietyllä välillä eli, että jatkuva funktio voi olla epäderivoituva vain yksittäisissä pisteissä. Reaalifunktiot ja jatkuvuus Reaaliarvoiset funktiot ovat olleet -luvulta lähtien yleinen työkalu geometristen käyrien tutkimiseen sekä mekaniikan ja tähtitieteen laskuihin. Funktio-sana ja merkintä y = f(x) ovat peräisin vasta 7-luvulta. Tuolloin käsitellyt reaalifunktiot olivat pääsääntöisesti alkeisfunktioista muodostettuja, mahdollisesti eri kaavoilla eri määrittelyjoukoissa. Tällöin reaalifunktiot olivat siis jatkuvia lukuun ottamatta korkeintaan määrittelyjoukkojen rajapisteitä. Tämä historia huomioonottaen on aivan luonnollista ajatella, että reaalifunktio on jatkuva lukuun ottamatta korkeintaan yksittäisiä pisteitä. Ei ole siis lainkaan yllättävää, että monet lukion pitkän matematiikan opiskelijat olettavat funktioiden olevan jatkuvia tai ainakin jatkuvia lukuun ottamatta yksittäisiä pisteitä (Heiskanen,, s.). -luvulla funktion määritelmä alkoi tarkentua. Määriteltiin, että mikä tahansa piirretty käyrä on funktio tai jos jokaista x vastaa yksikäsitteinen äärellinen y, niin y on x:n funktio. Nykymuotoinen funktion määritelmä on peräisin Lejeune Dirichletiltä vuodelta 37. Hän määritteli seuraavasti: Funktio f: A B koostuu kahdesta joukosta, määrittelyjoukosta A ja arvojoukosta B, ja säännöstä, joka määrittää jokaiselle x A yksikäsitteisen y B. Kun otetaan huomioon, että derivaatta-käsite kehittyi varsin pitkälle jo Newtonin ja Leibnizin aikaan -luvun lopulla, niin nykyinen funktio-käsite on itse asiassa melko tuore (Heiskanen, 5). Derivoituvuus ja paikallinen suoruus Tall () esittelee metodin, jolla voidaan tutkia funktion derivoituvuutta graafisesti tietokoneen avulla. Funktion kuvaajaa lähennetään pisteessä, jossa derivoituvuutta tutkitaan. Tall määrittelee kognitiivisen juuren (cognitive root) käsitteeksi, joka on opiskelijalle ymmärrettävä sillä hetkellä ja toimii siemenenä muodollisen käsitteen määrittelyssä. Esimerkiksi paikallinen suoruus on kognitiivinen juuri derivoituvuuden käsitteelle. Tarkastellaan paikallisen suoruuden käsitettä muutaman esimerkin avulla, joita on demonstroitu Kawasakin Visual Calculus -ohjelmalla. Tutkitaan en-
siksi funktiota f(x) = sin(x), jonka kuvaaja piirretään ensin välillä [,], ja sen jälkeen lähennetään kuvaa kohdassa x = (kuva ). Ohjelman avulla nähdään selvästi, kuinka kuvaaja paikallisesti lähestyy suoraa kohdassa x =, kun kuvaa lähennetään tarpeeksi. Kuva : Funktion f(x) = sin(x) kuvaaja ja suurennos piirrettynä Visual Calculus -ohjelmalla. Toisena esimerkkinä tutkitaan funktion f ( x) = x kuvaajaa kohdassa x =. Ohjelman avulla nähdään helposti, että kuvaaja ei suoristu origossa, vaikka kuvaa lähennettäisiin kuinka paljon tahansa (kuva ). Näin opiskelijat voivat geometrisesti tutkia funktioiden derivoituvuutta ja nähdä, mitä derivoituvuus on. Heille voidaan luoda derivoituvuudesta ja epäderivoituvuudesta ymmärrettävä visuaalinen havainto. Paikallista suoruutta voi tutkia myös ilman tietokonetta esimerkiksi graafisen laskimen ZOOM-toiminnon avulla. Kuva : Funktion f ( x ) = x kuvaaja ja suurennos piirrettynä Visual Calculus -ohjelmalla. Opetuksessa voidaan käyttää hyväksi myös tilanteita, joissa tietokoneen esitysmuoto ja vastaava teoreettinen muotoilu muodostavat ristiriidan. Tutkitaan esimerkiksi funktiota f ( x) = x + kohdassa x =. Kun on opiskeltu derivaatan ketjusääntö, voivat opiskelijat laskea funktion f derivaatan analyyttisesti. Laskemisen jälkeen voidaan piirtää funktion kuvaaja välillä [,]. Kuvaajaan näyttää muodostuvan terävä piikki, joten geometrisen tarkastelun mukaan funktio ei olisi derivoituva kohdassa x =. Lähentämällä kuvaajaa havaitaan kuitenkin, että kyseiseen kohtaan ei muodostu terävää kärkeä vaan se oikenee eli kuvaaja lähestyy paikallisesti suoraa, jolloin funktio voidaan perustella derivoituvaksi kohdassa x = myös geometrisesti. Tilanne on esitetty kuvassa 3. Kun opiskelijoiden kanssa on tarkasteltu aikaisemmin derivaattaa tangentin kulmakertoimena, voi painottaa, että tutkittavassa kohdassa derivoituvan funktion kuvaaja lähenee paikallisesti nimenomaan tangenttia. Tämä esimerkki selventää myös sitä, että derivoituvuus on funktion paikallinen ominaisuus. Kun tutkitaan funktion derivoituvuutta annetussa kohdassa, pitää kuvaajaakin tutkia paikallisesti. Tarkasteltaessa funktion kuvaajaa isolla alueella, kuten esimerkissä on aluksi tehty, ei voida sanoa sen derivoituvuudesta yksittäisessä kohdassa mitään. Vasta kun kuva on lähennetty tarkasteltavan kohdan lähiympäristöön, voidaan tutkia paikallista ominaisuutta derivoituvuus. CND-funktiot lukio-opetuksessa Jotta opiskelijat voisivat ymmärtää muodollisen todistuksen merkityksen matematiikassa, tulisi Tallin (, s. -) mukaan heille esittää esimerkkejä siitä, mikä voi mennä pieleen käsitteiden intuitiivisessa tulkinnassa. Opiskelijoille voidaan näyttää esimerkiksi, että on olemassa funktioita, jotka eivät ole missään pisteessä paikallisesti suoria, jolloin heille muodostuu visuaalinen mielikuva siitä, mitä funktion epäderivoituvuus tarkoittaa. Tämä ei onnistu helposti enää Visual Calculus -ohjelmalla, mutta tarkastelu voidaan toteuttaa esimerkiksi Mathematicalla. CND-funktioista voidaan tarkastella esimerkkinä Weierstrassin funktiota, joka on klassinen esimerkki tällaisista funktioista. Tarkasti Weierstrassin funktio f: määritellään seuraavasti f ( x) = b k cos( a k π x ), k = missä < b < ja a on pariton positiivinen kokonaisluku siten, että 3π ab > +. Lukiossa funktiosta voisi tarkastella esimerkkinä yhtä erikoistapausta, jossa esimerkiksi a = 7 ja b =,9.
Tällöin funktio saadaan muotoon W ( x) =, 9 k cos(7 k π x ). k = Funktion rakennetta äärettömänä summana voidaan selvittää opiskelijoille kirjoittamalla auki osasummia S n = n k k, 9 cos(7 π x) k = ja tarkastelemalla näiden kuvaajia. Weierstrassin funktiohan saadaan raja-arvona W ( x) = lim S n. n Kuvassa on esitetty osasummien kuvaajat n:n arvoilla,, 3 ja välillä [,]. Kuvista voidaan todeta opiskelijoiden kanssa, että aina n:n arvon kasvaessa yhdellä muodostuu kuvaajaan yhden huipun tilalle seitsemän huippua (huomaa, että a = 7 ). Osasummien kuvaajia tarkastelemalla voidaan luoda havainnollinen kuva siitä, kuinka funktion rakenne kehittyy n:n arvon kasvaessa. Opiskelijoille voidaan korostaa, että monimutkaiselta näyttävä funktio on kuitenkin vain tavallisten trigonometristen funktioiden summa. Kuvaajien avulla nähdään, kuinka funktioon alkaa muodostua yhä terävämpiä huippuja Kuva 3: Tilanne, jossa kuvaaja voi antaa väärän mielikuvan derivoituvuudesta. n:n arvon kasvaessa. Tässä yhteydessä on hyvä muistuttaa mieleen paikallisen suoruuden käsite derivoituvuutta tutkittaessa, ja että funktio ei ole derivoituva terävässä kärkipisteessä eli piikissä. Kuvaajien tulkintaan opiskelijoiden kanssa kannattaa mielestäni käyttää reilusti aikaa, koska on tärkeää, että opiskelijoille muodostuu selvä geometrinen käsitys, kuinka Weierstrassin funktio rakentuu n:n arvon kasvaessa..5.5.5 -.5 -.5 - -.5 -.5.5 - -.5.5 5 - - -5 - -.5.5 - -.5.5 Kuva : Weierstrassin funktion osasummien kuvaajia.
Weierstrassin funktion muodostuminen näiden tutkittujen funktioiden raja-arvona, kun n kasvaa rajatta, on syytä käydä huolella läpi. Mutta koska emme voi laskea äärettömän monen funktion summaa, joudumme tarkastelemaan aina osasummia. Weierstrassin funktio ja paikallinen suoruus Kun funktion rakennetta on käyty läpi ja tutkittu, kuinka huiput käyvät yhä terävämmiksi n:n arvon kasvaessa, siirrytään tutkimaan tiettyä osasummaa geometrisesti. Funktion rakenteen tutkiminen onnistuu hyvin jo esimerkiksi osasummalla, jossa n:n arvo on 5 (kuva 5). Tämän osasumman kuvaajien piirtäminen onnistuu vielä suhteellisen nopeasti, mutta suurempien osasummien kuvaajien piirtäminen alkaa olla jo aika hidasta tavallisella tietokoneella. -. -.5.5. x [,,,] x [,,,] 5-5 -. -.5.5. - -.5.5 Kuva 5: Weierstrassin funktion osasumman S 5 kuvaaja välillä [,]. x [,,,] -. -.5.5. Kuva : Weierstrassin funktion osasumman S 5 kuvaajan lähennys kohdassa x=. Tutkitaan funktion derivoituvuutta origossa osasumman S 5 avulla. Käytetään paikallisen suoruuden käsitettä ja tutkitaan, läheneekö funktion kuvaaja suoraa paikallisesti, mikäli sitä lähennetään origossa. Kuvassa on esitetty -, -, ja -kertaiset suurennokset kuvassa 5 esitetystä kuvaajasta origon läheisyydessä. Suurennoksia tarkastelemalla huomataan, että tutkittavan funktion kuvaaja ei lähene suoraa origon ympäristössä eli että se ei ole derivoituva origossa. Kuitenkin funktio on jatkuva origossa jatkuvien funktioiden tasaisena raja-arvona. Jatkuvuutta voi tarkastella opiskelijoiden kanssa funktion kuvaajista toteamalla esimerkiksi, että kuvien perusteella funktio näyttää olevan jatkuva. On syytä kuitenkin muistaa, että kaikki edellä käsitellyt osasummat ovat todellisuudessa derivoituvia äärellisen monen derivoituvan funktion summana. Osasummia tarkastelemalla voidaan kuitenkin luoda mielikuva siitä miksi Weierstrassin funktiosta lopulta tulee ei-missään derivoituva. Analyyttinen todistus jatkuvuudesta ja epäderivoituvuudesta löytyy esimerkiksi lähteestä Heiskanen (). Sama tarkastelu voidaan tehdä missä kohdassa tahansa, ja päädytään samaan tulokseen. Kun vastaava tarkastelu tehdään useammassa opiskelijoiden mielivaltaisesti valitsemassa kohdassa ja tarkastellaan,
kuinka kuvaajan perusteella funktio on jatkuva mutta epäderivoituva näissä kohdissa, muodostuu opiskelijoille mielikuva, että on olemassa jatkuvia ei-missään derivoituvia funktioita. Tarkoituksena ei ole, että opiskelijat ymmärtävät funktioiden analyyttisen rakenteen tai että funktioiden ominaisuuksia todistetaan analyyttisesti, vaan että heille muodostuu mielikuva tällaisten funktioiden rakenteesta ja olemassaolosta. Epäderivoituvuuskohdissa Weierstrassin funktion kuvaajaan muodostuu piikki. Tällöin siis funktio vaihtuu epäderivoituvuuskohdassa kasvavasta laskevaksi tai päinvastoin. CND-funktio on rakenteeltaan sahalaitainen, eli se ei voi olla monotoninen. On syytä tuoda esille, että Weierstrassin funktio ei ole ainoa CND-funktio. Muita vastaavia funktioita voidaan esitellä opiskelijoille lyhyesti ja tarkastella samalla, kuinka näiden kaikkien rakenne on sahalaitainen. Esimerkkejä löytyy esimerkiksi lähteistä Thim (3) ja Heiskanen (). Lukion oppikirjoissa ei mainita lainkaan erikoistapauksia, kuten CND-funktioita. Mielestäni tällaisten erikoistapausten esitteleminen lukion pitkän matematiikan opiskelijoille selvittäisi jatkuvuuden ja derivoituvuuden ominaisuuksia sekä niiden välistä yhteyttä. Vaikka funktioita ei voida käydä tarkasti analyyttisesti läpi, niiden geometrinen tarkastelu auttaisi käsitteiden hahmottamisessa. Jos opiskelija tietäisi, että on olemassa funktioita, jotka ovat kaikkialla jatkuvia mutta eivät ole missään derivoituvia, ja ymmärtäisi, millaisia ne ovat rakenteeltaan, olisi hänellä jo varsin paljon tietoa käsitteistä jatkuvuus ja derivoituvuus Viitteet: Gaul, R. & Kim, N.. How Many continuous Nowhere Differentiable Functions Are There? Nebraskan yliopisto: Mathematics Awareness Month. http://www.unomaha.edu/wwwmath/mam//poster/contnondiff.pdf (..). Heiskanen, P. 5. Derivaatta antiikista nykyaikaan. Matematiikan LuK-tutkielma, Jyväskylän yliopisto: Matematiikan ja tilastotieteen laitos. http://personal.inet.fi/koti/paavoheiskanen/opiskelu/luk.pdf (..). Heiskanen, P.. Jatkuvuus- ja derivoituvuus-käsitteet lukion pitkässä matematiikassa. Matematiikan pro gradu -työ, Jyväskylän yliopisto: Matematiikan ja tilastotieteen laitos. http://personal.inet.fi/koti/paavoheiskanen/opiskelu/gradu.pdf (..). Tall, D.. Using Technology to Support an Embodied Approach to Learning Concepts in Mathematics. Teoksessa Carvalho, L.M. & Guimarães, L.C.: História e Tecnologia no Ensino da Matemática, vol., pp. -, Rio de Janeiro, Brasil. Saatavana sähköisenä: http://www.warwick.ac.uk/staff/david.tall/pdfs/dot3a-rio-plenary.pdf (..). Thim, J. 3. Continuous Nowhere Differentiable Functions. Master Thesis, Luleå tekniska universitet. www.ludd.luth.se/~ivileel/master_thesis.pdf (..).