Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen! Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2012 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6. 1. Ratkaise yhtälöt 2 a) x x 6 = 0 x x 3 7 b) = 0 6 2 9 x 2 c) 2 x = 0. 15 6 2. a) Laske lausekkeen 4 3 arvo. b) Laske lausekkeen 6 (3!) 6 arvo. x c) Sievennä lauseke ln ln 2. 2 + 2 2 d) Sievennä lauseke sin x + cos ( x + 2 π ). e) Laske integraali f) Laske funktion 1 0 2 ( x + 1) dx. 2x f ( x) = 4e derivaatta kohdassa x = 0. 3. Näytä, että pisteet A = (2,1),, B = (4,0) ja C = (5,7) ovat suorakulmaisen kolmion kärjissä. 4. Määritä kaikki vektorit a = xi + yj + zk, joiden pituus on 22 ja joiden kohtisuora projektio xy-tasolle on vektori 2i + 3 j. 5. Määritä funktion ln x f ( x) = x suurin arvo, kun x > 0. 6. Ringettejoukkueen kolmen hyökkääjän todennäköisyydet tehdä maali rangaistuslaukauksella ovat 65 %, 75 % ja 54 %. Kukin kolmesta hyökkääjästä saa yhden yrityksen. a) Millä todennäköisyydellä ainakin yksi hyökkääjä tekee maalin? b) Laske rangaistuslaukausmaalien lukumäärän odotusarvo.
2 7. Olkoon t > 0. Paraabeli 1 0, kautta ja sivuaa x-akselia pis- t teessä ( t,0). 2 y = ax + bx + c kulkee pisteen a) Määritä kertoimet a, b ja c parametrin t avulla lausuttuna. b) Näytä, että paraabelin ja koordinaattiakselien rajoittaman alueen pinta-ala ei riipu parametrin t arvosta. 8. Eräässä huippuyliopistossa on 5 000 opiskelijaa, joista yksi sairastuu hiihtolomalta palattuaan influenssaan. Virus alkaa levitä kampuksella, ja siihen sairastuneiden opiskelijoiden lukumäärää kuvaa funktio 5000 f ( t) = 0,8 1 + 4999 t, e jossa aika t 0 lasketaan vuorokausina ensimmäisestä sairastumisesta alkaen. a) Luennot peruutetaan, jos yli 50 % opiskelijoista on sairaana. Kuinka monen vuorokauden kuluttua ensimmäisestä sairastumisesta näin tapahtuu? b) Näytä, että f ( t ) on kasvava funktio, kun t > 0. c) Laske lim f ( t). t 9. Suoran ympyräkartion korkeus on 5,0 cm, ja sen pohjan säde on 2,0 cm. Kartio katkaistaan niin, että yläreunan säde on 1,0 cm. Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan siniseksi ja sitä pyöritetään kyljellään paperilla. Määritä näin saadun sinisen rengasalueen pintaala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella. 10. Ratkaise yhtälöt x a) 3tan 3 0 2 + = b) 2 2sin x + 3cos x 3 = 0.
3 11. Tasasivuisen kolmion K 1 sivun pituus on a. Sen sisään asetetaan ympyrä Y 1, joka sivuaa kolmion kylkiä. Tämän ympyrän Y 1 sisään asetetaan tasasivuinen kolmio K 2, jonka kärjet ovat ympyrällä Y 1. Jatkamalla näin saadaan oheisen kuvan mukainen päättymätön jono ympyröitä Y1, Y 2, Laske ympyröiden pinta-alojen summa. 12. Tuotteen hinta- ja muut tiedot voidaan tallentaa viivakoodiin (UPC = Universal Product Code). Numeerisessa muodossa viivakoodi on lukujono ( d1, d2,, d 12),, jossa kukin d i { 0,1,2,,9 }. Viimeinen luku d 12 on tarkistusmerkki, joka määräytyy ehdosta 3( d + d + d + d + d + d ) + d + d + d + d + d + d 0 (mod 10). 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12 a) Tuotteen viivakoodi on (1, 4, 2,6,8, 2,5,9,0,3, 2, d 12). Mikä on tarkistusmerkki d 12? b) Näytä, että viivakoodi (1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3) on virheellinen. c) Määritä b-kohdan oikea koodi, kun tiedetään, että virhe on kolmannessa merkissä. <http://en.wikipedia.org/wiki/barcode>. Esimerkki Luettu viivakoodista 29.3.2011. <http://en.wikipedia.org/wiki/barcode>. Luettu 29.3.2011. 13. Funktioiden f ( x) = 1 x ja g ( x ) = 3cos x kuvaajilla on kolme leikkauspistettä. Laske niiden Funktioiden koordinaateille f ( kaksidesimaaliset x) = 1 x ja g ( x ) likiarvot = 3cos x valitsemallasi kuvaajilla on numeerisella kolme leikkauspistettä. menetelmällä. Laske niiden koordinaateille kaksidesimaaliset likiarvot valitsemallasi numeerisella menetelmällä.
4 *14.. Hyperbolinen kosini cosh x ja hyperbolinen sini sinh x määritellään kaavoilla 1 cosh = ( x x 1 x x x e + e ) ja sinh x = ( e e ), 2 2 kun x R. 2 2 a) Näytä, että (cosh x) (sinh x ) = 1 kaikilla x R. (2 p.) d b) Näytä, että (sinh x) = cosh x. (2 p.) dx c) Näytä, että funktiolla sinh x on käänteisfunktio, ja määritä sen lauseke logaritmin avulla lausuttuna. (3 p.) d) Mikä on c-kohdan käänteisfunktion määrittelyjoukko? (2 p.) *15. a) Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan ja x-akselia kuvan 1 mukaisesti. Määritä ympyröiden keskipisteiden vaakasuora etäisyys d niiden säteiden avulla lausuttuna. (3 p.) Kuva 1 r 1 r 2 d b) Kolme ympyrää sivuaa toisiaan ja x-akselia kuvan 2 mukaisesti. Määritä keskimmäisen ympyrän säde r 3 kahden reunimmaisen ympyrän säteiden avulla lausuttuna. (3 p.) Kuva 2 r 1 r 2 c) Todista René Descartesin (1596 1650) keksimä b-kohdan ympyröihin liittyvä kaava 2 2 2 2 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3 ( k k k ) 2( k k k ),, jossa k i 1 =, i = 1,2,3. r i (3 p.)
www.mafyvalmennus.fi Pitkä matematiikka, kevät 2012 Mallivastaukset, 23.3.2012 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Teemu Kekkonen on opettanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Antti on toiminut neljä vuotta tuntiopettajana Teknillisessä korkeakoulussa ja sen jälkeen lukiossa. Antti ja Teemu ovat perustaneet MAFYvalmennuksen ja opettavat sen kaikilla kursseilla ympäri vuoden. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta. MAFY-valmennus on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat TKK-pääsykoekurssit arkkitehtiosastojen pääsykoekurssit yo-kokeisiin valmentavat kurssit yksityisopetus Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta www.mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina lukiokursseilla. MAFY-valmennuksen yhteystiedot: internet: www.mafyvalmennus.fi s-posti: info@mafyvalmennus.fi puhelin: (09) 3540 1373 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri
www.mafyvalmennus.fi 1. a) x 2 x 6 = 0 x = 1 ± ( 1) 2 4 1 ( 6) 2 1 x = 1 ± 25 2 x = 1 ± 5 2 x = 1 + 5 tai x = 1 5 2 2 x = 3 tai x = 2 b) 3 18 x 6 1 x 6 x 3 7 2 9 = 0 18 9 18(x 2 3) 18 7 = 0 2 1 9 1 3x 9(x 3) 14 = 0 3x 9x + 27 = 14 6x = 14 27 6x = 13 x = 13 6 : ( 6) x = 2 1 6 c) x 2 2 = 0 x, määrittelyehto: x 0 x x 2 2 2 = 0 x 2 2 = 2 2 x 2 = 4 x = ± 4 x = ±2 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 1