Pitkän matematiikan kertaustehtävät

Transkriptio

1 Pitkän matematiikan kertaustehtävät Kurssit 1-10 Tehtäväpaketti soveltuu erityisen hyvin koko pitkän matematiikan pakollisen oppimäärän kertaamiseen lyhyessä ajassa. Asioiden käsittelyjärjestys ja kappalejako on tehty tätä tarkoitusta varten. Kappalejako eroaa lukiokurssien järjestyksestä ja numeroinnista. Tehtäväpaketin laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Heidät tunnetaan muun muassa yo-kirjoitusten mallivastauksista ja pistearviosta, jotka MAFY-valmennus julkaisee aina yo-koepäivää seuraavaan aamuun mennessä. Teemu ja Antti ovat perustaneet MAFY-valmennuksen ja opettavat sen kaikilla kursseilla ympäri vuoden. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta. MAFY-valmennus on erikoistunut matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin ja toimii Helsingin seudulla. Palveluitamme ovat TKK-pääsykoekurssit arkkitehtiosastojen pääsykoekurssit valmennuskurssit yo-kirjoituksiin yksityisopetus Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina lukiokursseilla. MAFY-valmennuksen yhteystiedot: internet: s-posti: puhelin: (09) TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri

2 1 Funktiot ja yhtälöt 1.1 Potenssien laskutoimitukset 1.1. Sievennä lausekkeet a) (ab) 5 b) ( 5x) 2 c) a 2 a 3 a 4 ( x ) ( 2 d) e) 2 ) 3 f) (2x2 ) 4 3 x 2x Rationaalilukujen laskutoimitukset 1.2. Laske yhteen- ja vähennyslaskut (ilman laskinta) a) b) c) d) a b + c e) a d b c f) x x d 2 x 1.3. Laske kerto- ja jakolaskut (ilman laskinta) a) b) c) 2 9 : 5 3 d) a b c e) a d b : c f) 2x 3 d Sievennä lausekkeet kohdissa a) ja b). ( ) 2 3(x 1) a) 6 6x + x b) 1 c) Olkoon x = 1 t2 t 2 : 5 + x 3x x + 1 x 1 + x 2 x Muodosta ( 3(x 1) a) luvun 6 6x + x ) 2 käänteisluku, 2 b) luvun x + 1 x ja y = 1 t 2t 2, sievennä lausekkeet x y ja y x. x x 1 vastaluku. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 1

3 1.3 Polynomien laskutoimitukset 1.6. Sievennä annetut lausekkeet a) 2x(5x 3 + x 2 3x 10) 3(2x 4 6x 3 + x 2 1) b) (x 2 1)(x 1)(x + 1) c) 4x4 + 6x 2 10x 3 2x 2 d) (6x + 5y)( 3y 2 + 2xy 5x 3 ) e) 2x(3x + 1) 2 f) (x 2)(2 x) Jaa tekijöihin a) x 2 + x b) 4x 3 + 6x c) z 3 + 2z 2 + z +d) x 3 + 4x 2 + 3x e) 2x 2 4xy + 2y 2 +f) 5ax 3 + 5a 2 x x 2 a 1.4 Prosenttilaskut 1.8. Laske a) 5,1 % luvusta 2300, b) 5,1 % luvusta a Kuinka monta prosenttia c) 5 on luvusta 250, d) 300 on luvusta 250, e) luku 60 on lukua 140 pienempi, f) luku 140 on lukua 60 suurempi? 1.9. Tuotteen arvonlisäverollinen hinta saadaan, kun nettohintaan lisätään 22 % arvonlisäveroa. Mikä on nettohinta, kun tuote maksaa kaupassa 185,95 e? Mikä on tuotteen hinta kuluttajalle, jos sen nettohinta on 73,73 e? a) Hintaa nostetaan p prosenttia. Mikä on uusi hinta? b) Hintaa lasketaan q prosenttia. Mikä on uusi hinta? a) 3 kg sokeria liuotetaan 7 litraan vettä. Mikä on liuoksen sokeripitoisuus painoprosentteina? b) Päärynöissä on 75 % vettä ja 5 % sokeria. Kuinka monta prosenttia sokeria on päärynöissä, jotka on kuivattu siten, että vesipitoisuus on 25 %? TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 2

4 1.5 Reaaliluvut Esitä ilman itseisarvoa a) 5 b) 25 c) x, kun x R d) x + 3, kun x R e) x 3, kun x R f) 2x 7, kun x R Merkitse lukusuoralle seuraavat lukujoukot a) x > 2, b) x 5 c) 1 < x 4, d) x < 0 tai 1 x < 3, kun x R 1.6 Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Määritä kohta, jossa funktio f(x) = 9x + 4 saa arvon a) 0 (nollakohta), b) 1, c) 5. d) Ratkaise yhtälö 2x = x Ratkaise yhtälö a) x 2 + x 6 = 0, b) x = 2x 2 4x, c) 2x 2 + 3x = 0, d) 4x = 12x Kuinka monta reaalista ratkaisua on yhtälöllä a) x 2 2x + 6 = 0 b) 2x 2 + 4x = Määritä vakio a siten, että yhtälöllä a 2 x 2 + 3x 5 1 a = 0 on a) kaksi, b) yksi, c) ei yhtään reaalista ratkaisua 1.7 Verrannollisuus Ratkaise verrantomuotoinen yhtälö a) x 6 = 2 b) 2 4x = 3x + 1 c) x x + 1 = Ilotulitusraketin ääni kuuluu 2 km:n etäisyydellä 6 sekunnin kuluttua välähdyksestä. Kuinka kaukana raketti räjähtää, kun sen ääni kuuluu 13 sekunnin kuluttua välähdyksestä? TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 3

5 1.20. Kappaleen paino(voima) on kääntäen verrannollinen maan keskipisteen ja kappaleen välisen etäisyyden neliöön. Maan säde on 6370 km. Kuinka monta prosenttia ihmisen paino on Mount Everestillä (korkeus 8850 m) verrattuna painoon meren pinnan tasolla? Kappaleen gravitaatio (painovoima) toisen kappaleen kanssa on suoraan verrannollinen toisen kappaleen massaan ja kääntäen verrannollinen kappaleiden välisen etäisyyden neliöön. Ihmisen gravitaatio maan pinnalla on 850 N. Mikä on ihmisen gravitaatio kuun pinnalla? Kaiken kappaleen massan voidaan tässä ajatella keskittyneen sen keskipisteeseen. Maan massa on 5, kg ja säde 6370 km. Kuun massa on 7, kg ja säde 1740 km. 1.8 Ensimmäisen ja toisen asteen epäyhtälöt Ratkaise ensimmäisen asteen epäyhtälöt a) 3x + 4 < 6 + 2x, b) 20x 5 10, c) 12 3x Ratkaise toisen asteen epäyhtälöt a) 3x 2 7x 2, b) 10x 4x 2 < 6x, c) x 2 + 7x 10 > Korkeamman asteen yhtälöt ja epäyhtälöt Ratkaise yhtälöt a) 2x 3 9x 2 = 4x, b) x 4 + x 2 2 = 0, +c) x 3 20 = 4x 2 + 5x Ratkaise epäyhtälöt a) 2x 3 9x 2 4x, +b) x 4 + x 2 2 < 0, +c) x 3 20 > 4x 2 + 5x 1.10 Rationaaliyhtälöt ja -epäyhtälöt Ratkaise yhtälöt a) x 1 x + 1 = 2x 1 x Ratkaise epäyhtälöt a) x2 + 2x x b) x3 3x 2 x + 1 x 2 + 2x 1 1 +b) x 1 x + 1 2x 1 x 2 = x TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 4

6 1.11 Itseisarvoyhtälöt ja -epäyhtälöt Ratkaise yhtälöt a) 2x + 1 = 3 b) x + 4 = 1 c) 3x + 1 = 4 x d) x 2 = 5x Ratkaise epäyhtälöt a) 3x 2 6 b) x + 3 < 2 2x 1.12 Yleinen juuri, juuriyhtälöt ja -epäyhtälöt Sievennä 27 a) 3 b) 32 c) 4 81a Merkitse murtopotenssina a) c 2 a 3 b) 3 c) b 5 4 c Ratkaise yhtälöt a) x + 1 = 5 b) x 2 = 3 c) 3 6x x 2 = x +d) x = 2x Ratkaise epäyhtälöt a) 4 x x b) 3 3x x 1.13 Eksponentti- ja logaritmifunktiot Mikä on funktion määrittelyehto, kun f(x) on a) ln(2x) b) lg(x 2 1) c) log 3 (5x + 4) Kirjoita yhtäpitävänä yhtälönä ilman logaritmia a) ln 5 = x b) lg x = 8 c) log 3 x = 4 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 5

7 1.14 Eksponenttiyhtälöt ja -epäyhtälöt Ratkaise yhtälöt a) 3 x 1 = 81 b) 80 1,05 n = Ratkaise epäyhtälöt a) 5 4 x 2 < 5120 b) ( ) x TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 6

8 2 Trigonometriset funktiot ja yhtälöt 2.1 Trigonometriset funktiot 2.1. Ilmoita kulmat radiaaneina a) 90 b) 125 c) 30 d) Muunna asteiksi a) 2π b) π c) 17π d) π a) Laske sin x, cos x, tan x sekä kulma x. ) ( 2 1 1, 2 x 1 b) Määritä pisteen P koordinaatit P Määritä funktion suurin ja pienin arvo, kun a) f(x) = (sin x + cos x)(sin x cos x), b) f(x) = sin 2 x + cos 2 x + 2 sin x Laske lausekkeen sin x cos x arvo, kun 2 sin 2x = Trigonometriset yhtälöt 2.6. Ratkaise yhtälöt a) sin x = 1 b) sin 2x = 1 c) cos x = d) cos 3x = e) tan x = 1 f) tan 4x = 3 2 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 7

9 2.7. Ratkaise yhtälöt a) sin α = sin 40 b) cos x = cos 5π 4 c) tan α = tan 60 d) 3 sin x = 2 cos x +e) cos 2 x = 2 sin x cos x +++f) sin 2 x + sin x cos x = 3(sin x cos x + cos 2 x) Vihje: 1 1 Muokkaa yhtälö toisen asteen yhtälöksi ja tee tarvittava muuttujan vaihto. Lisävihje: Neliöi diskriminantti. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 8

10 3 Geometria 3.1 Kulmat tasossa 3.1. Suorat L ja m ovat yhdensuuntaiset. Laske α ja β. l m 26 β α 3.2. Laske α α 3.3. Määritä viisikulmion kulmien summa jakamalla viisikulmio kolmioihin sopivalla tavalla. α ε β δ γ 3.4. Aseta kolmion kulmat suuruusjärjestykseen. 5 β 4 α 6 γ TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 9

11 3.2 Yhdenmuotoisuus ja mittakaava 3.5. Mitkä alla olevista kolmioista ovat yhdenmuotoisia? Missä mittakaavassa ne ovat yhdenmuotoisia? C 4 55 B 30 A F Yhdenmuotoisten öljykanisterien tilavuudet ovat 4 litraa ja 20 litraa. Pienemmän korkeus on 25 cm. Kuinka korkea on suurempi öljykanisteri? E 3.7. Edellisen tehtävän öljykanisterit suojataan ruostumiselta maalaamalla ne. Montako prosenttia vähemmän kuluu maalia pienemmän kanisterin maalaamiseen? 3.3 Pythagoraan lause 3.8. Onko kolmio suorakulmainen ja minkä sivujen välissä suora kulma on, kun sivujen pituudet ovat: a) 3, 4 ja 7 b) 2, 3 ja Laske sivun AB pituus. B 5 D I 3 H G A 7 C 3.4 Suorakulmaisen kolmion trigonometria Laske x:llä merkityn sivun pituus kahden desimaalin tarkkuudella tai tarkkana arvona. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 10

12 3.20. Aurinko paistaa 40 asteen kulmassa vaakatasoon nähden. Pystysuorasta sähkötolpasta lankeaa varjo vaakasuoralle maalle. Auringon laskettua 30 asteen kulmaan, sähkötolpan varjo pitenee 3,0 metriä. Mikä on sähkötolpan korkeus? 3.6 Ympyrä Ympyrän säde on 20 cm. Kuinka pitkä on 50 asteen keskuskulmaa vastaava kaari? Mikä on 50 asteen keskuskulmaa vastaava sektorin ala? Pallon muotoinen teräskuula pudotetaan hiekkaan ja nostetaan pois. Kuula jättää maahan kuopan, jonka syvyys on 4 cm ja halkaisija 16 cm. Mikä on teräskuulan säde? Kuinka kauas merelle näkee rannalla olevan tornin huipulta, joka on 150 metrin korkeudella meren pinnasta. Maapallon säde on 6370 km Ympyräkartion muotoisen pikarin korkeus on 200 mm ja suuaukon halkaisija 60 mm. Pikarin sisään asetetaan pingispallo, jonka halkaisija on 40 mm. Kuinka kauas pingispallo jää pikarin pohjalta? P on alla olevan ympyrän keskipiste. Laske kulmat α ja β. β 30 P α 3.7 Avaruusgeometria Säännöllisen nelisivuisen pyramidin kaikki särmät ovat saman pituisia. Laske vierekkäisten sivusärmien kulma Suorakulmaisen särmiön sivut ovat 3, 4 ja 5. Laske avaruuslävistäjän pituus. Piirrä kuva Pellistä valmistetaan suoran ympyrälieriön muotoinen säilykepurkki. Purkin tilavuus on 2 litraa ja korkeus 20 cm. Kuinka paljon yhden purkin valmistamiseen tarvitaan peltiä? Suoran ympyräkartion sisään on mahdutettu mahdollisimman suuri suora ympyrälieriö, jonka korkeus on 20 cm. Kartion korkeus on 60 cm ja pohjan halkaisija 20 cm. Laske lieriön tilavuus. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 12

13 3.30. Kuinka suuri osuus maapallon pinta-alasta on 66 pohjoisen leveyspiirin pohjoispuolella? Maapallon säde on 6370 km Kuinka suuri on teräskuulan tekemän kuopan tilavuus tehtävässä 3.22? TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 13

14 4 Analyyttinen geometria 4.1 Lineaarinen yhtälöryhmä 4.1. Ratkaise yhtälöpari { 2x + 3y 19 = 0 a) 3x y + 11 = 0 { x 2y 4 = 0 2x 3y 2 = 3 b) 1 2 x + y + 7 = 0 c) 4x + 6y + 3 = Ratkaise yhtälöryhmä x y + 2z = 4 3x 2y + z = 1 2x + y z = Suoran yhtälö 4.3. Suora kulkee pisteiden (3, 4) ja (5, 10) kautta. Mikä on suoran kulmakerroin? 4.4. Piirrä suora, jonka yhtälö on a) y = 2x 3 b) 2x 3y + 2 = 0 c) 2x + 4 = 0 d) y 5 = Suoran kulmakerroin on 5 ja se leikkaa y-akselin pisteessä (0, 3). Mikä on suoran yhtälö? 4.6. Määritä suoran yhtälö tehtävässä Kulmakertoimen ominaisuuksia 4.7. Osoita, että suorat 2x 3y + 2 = 0 ja 6x + 4y 7 = 0 ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa Suoran yhtälö on y = 3x 5. Määritä tälle suoralle pisteen ( 4, 3) kautta piirretyn normaalin yhtälö Pystysuora suora L kulkee pisteen (3, 5) kautta. Määritä suoran L yhtälö ja suoralle L pisteeseen (3, 5) piirretyn normaalin yhtälö Määritä sen suoran yhtälö, joka on yhdensuuntainen suoran 2x 5y = 3 kanssa ja kulkee pisteen (1, 2) kautta Määritä suoran kulmakerroin, kun sen suuntakulma on a) 45 b) 30 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 14

15 4.12. Määritä suoran suuntakulma 0,1 asteen tarkkuudella, kun sen kulmakerroin on a) 2 b) Määritä janan AB keskinormaalin yhtälö, kun A = (3, 1) ja B = ( 1, 7). 4.4 Ympyrä Mikä on pisteiden (2, 3) ja (5, 1) välinen etäisyys? Ympyrän yhtälö on (x 3) 2 + (y + 1) 2 = 25. Mikä on ympyrän säde ja keskipisteen koordinaatit? Ympyrän keskipiste on (1, 2) ja säde 7. Määritä ympyrän yhtälö Määritä ympyrän keskipiste ja säde, kun ympyrän yhtälö on a) x 2 + y 2 4x + 2y 4 = 0 b) x 2 + y 2 3x + 4y 3 4 = Millä parametrin a arvoilla yhtälö x 2 + y 2 2x 4ay + 5a 2 + 2a = 0 esittää ympyrää? [K04] 4.5 Pisteen etäisyys suorasta. Ympyrän tangentti Kuinka kaukana piste (5, 2) on suorasta y = 3x 7? Määritä pisteen (6, 1) kautta ympyrälle x 2 + y 2 2x 4y 3 = 0 piirrettyjen tangenttien yhtälöt Määritä ympyrälle x 2 + y 2 + 2x 2y 2 = 0 piirrettyjen suoran 2x + y 2 = 0 suuntaisten tangenttien yhtälöt Ympyrän keskipiste on (2, 1) ja ympyrä sivuaa suoraa y = x 2. Mikä on ympyrän yhtälö? Etsi yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on suoralla y = 1 x ja joka 2 sivuaa x-akselia ja suoraa 4x+3y 24 = 0. Määritä kaikki tehtävän ratkaisut. [K06] 4.6 Paraabeli Muodosta sen käyrän yhtälö, jonka pisteet ovat yhtä kaukana pisteestä (3, 2)ja suorasta y = Y -akselin suuntainen paraabeli kulkee pisteiden ( 2, 0), (0, 2) ja (1, 3) kautta. Määritä paraabelin yhtälö. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 15

16 4.7 Käyrien leikkauspisteet Määritä suorien leikkauspiste, kun suorien yhtälöt ovat a) 2x + y + 7 = 0 ja x + y 3 = 0 b) y = 3x + 8 ja y = 2 c) y = 5x + 5 ja x = 2 d) y = 7 ja x = Missä pisteissä suora x+3y 6 = 0 leikkaa ympyrää (x 3) 2 +(y+1) 2 = 18? Missä pisteissä ympyrät (x 1) 2 +(y 3) 2 = 4 ja x 2 +y 2 4x 2y+4 = 0 leikkaavat toisensa? Laske paraabelien y = x 2 3 ja y = x 2 + 2x + 1 leikkauspisteiden koordinaatit. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 16

17 5 Vektorit 5.1 Vektorikäsite, yhteenlasku ja kertominen luvulla 5.1. Määritä annettujen vektorien väliset kulmat a) ā ja c b) b ja c c) ā ja b b 55 a 45 c Ilmaise annetut vektorit vektorien ā, b ja c avulla. Kuvassa oleva kappale on suuntaissärmiö. a) EB b) F H c) DF C B G F D c a A H b E 5.3. Vektorin ā pituus on 5. a) Kuinka pitkä on vektori tā? b) Määritä ā:n suuntainen yksikkövektori. 5.2 Vektorin komponentit 5.4. Jaa vektori 5ā 8 b vektorien 2ā+ b ja ā b suuntaisiin komponentteihin Piste Q jakaa kolmion ABC sivun BC suhteessa 4 : 1. Missä suhteessa jana AQ jakaa kolmion ABC sivulle AC piirretyn keskijanan? 5.6. Ovatko vektorit yhdensuuntaiset? a) ā = 5ū + 3 v ja b = 15ū 6 v b) c = 21ū 3 v ja d = 28ū + 4 v 5.7. Määritä parametri t siten, että vektorit ā = 5ī 2 j ja b = 3ī + t j ovat yhdensuuntaiset. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 17

18 5.3 Vektorin pituus ja avaruusvektorit 5.8. Laske vektorin ā = 5ī 2 j pituus Määritä pisteiden A(2, 3, 7) ja B( 7, 2, 5) paikkavektorit, vektori AB ja vektorin AB pituus Suunnikkaan kolme kärkeä ovat A(3, 7, 5), B( 5, 10, 8)ja C( 4, 6, 6). a) Määritä suunnikkaan ABCD kärkipiste D. b) Määritä a-kohdan suunnikkaan lävistäjien keskipisteet. 5.4 Suora ja taso Onko piste B(10, 12, 17) pisteiden A( 5, 10, 14) ja C(40, 16, 23) kautta kulkevalla suoralla? Määritä jokin pisteiden A = (2, 3, 6) ja B = (4, 7, 3) kautta kulkevan suoran suuntavektori ja muodosta suoran parametriesitys. Määritä suoran ja xy-tason leikkauspiste Suora S 1 on vektorin ū = 2ī j + k suuntainen ja kulkee pisteen A(3, 2, 4) kautta. Suora S 2 on vektorin v = ī + 3 j k suuntainen ja kulkee pisteen B(4, 8, 0) kautta. Leikkaavatko suorat toisensa? Määritä leikkauspiste, jos sellainen on olemassa Ovatko pisteet P (3, 3, 15) ja Q( 3, 3, 5) pisteiden A(3, 0, 2), B(1, 2, 3) ja C(7, 1, 5) määräämässä tasossa? Suora on vektorin 3ī + j + 3 k suuntainen ja kulkee pisteen (2, 3, 7) kautta. Määritä sen ja tason x + 2y + z = 1 leikkauspiste. 5.5 Pistetulo Määritä vektorien ā ja b välinen kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella, kun a) ā = 4ī + 2 j + 3 k ja b = ī + j + 2 k b) ā = 3ī + 7 k ja b = 2ī + 5 j 3 k Millä parametrin t arvolla vektorit ā = 5ī 2 j ja b = 3ī + t j ovat kohtisuorat? TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 18

19 5.18. Osoita, että pisteiden ( 2, , 2) ja ( 4, 1 2, 1) kautta kulkeva suora on kohtisuorassa pisteiden (5, 2, 0), (1, 1, 1) ja (4, 1, 3) kautta kulkevaa tasoa vastaan Määritä suorien 2x y + 5 = 0 ja 5x + 7y 10 = 0 välinen kulma asteen sadasosan tarkkuudella. Määritä ensin suorien suuntavektorit Suora L kulkee origon ja pisteen P (3, 2, 7) kautta. Laske pisteen E(10, 12, 10) etäisyys suorasta L. Mikä suoran L piste on lähinnä pistettä E? TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 19

20 6 Raja-arvot ja derivaatta 6.1 Raja-arvo 6.1. Määritä raja-arvot (Huom! Tämä on kurssin 13 asiaa.) 5x 2 + 2x + 3 4x 3 + 2x + 7 3x a) lim b) lim c) lim x 2x 2 x x 3 + 9x 2 + x x 3x 3 + 2x 2 ( d) lim x ) x 2 + 2x x 6.2. Määritä raja-arvot a) lim x 2 2x 2 3x 2 x 2 x 3 + 4x 2 5x 20 +d) lim x 4 x Funktion jatkuvuus 6.3. Onko funktio f(x) = jatkuva kaikilla x:n reaaliarvoilla? 3x 2 + x b) lim x 0 2x 2 + 2x + 1 { x 2 + 5, kun x < 2 3x + 3, kun x 2 c) lim x 1 x 1 x a) Anna esimerkki epäjatkuvasta funktiosta. { 2ax 3, kun x < 1 b) Määritä sellainen vakio a, että funktio f(x) = x 2 + a, kun x 1 on kaikkialla jatkuva. 6.3 Derivaatan määritelmä ja derivoituvuus 6.7. Määritä sellaiset vakiot a ja b, että funktio { b 2 f(x) = x2 + (a 2), kun x > 2 ax 2b, kun x 2 on kaikkialla derivoituva Muodosta derivaatan määritelmän avulla funktion f(x) = x 2 + 2x a) derivaatta kohdassa x = 2, b) derivaattafunktio f (x). TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 20

21 6.4 Derivointi 6.9. Derivoi a) 5x 2 + 2x b) ( 5x 2 + 2x ) 2 c) 5x2 + 2x 2x d) 1 2x 3 + 5x e) 1 (6x + 1) 4 f) ( 2x + 3) 2 3 g) ( 3 3x 3) 2 h) 1 (4x + 2) 5 2 i) 3 (x + 2) 4 j) Derivoi a) e 2x b) 2e 2x2 c) 1 k) 1 (x 5) 3 x 1 3e x2 2x l) ( x 2 + 8x ) 1 d) 5 x e) 5 x2 +2 f) 4 2x 2 3x Derivoi a) ln(2x) b) lg(2x) c) (ln x) 5 d) ln x Derivoi a) sin 2x b) 3 cos x 2 c) tan x 2 d) cos x 2 sin x e) tan x cos x f) cos2 x sin x Määritä korkeammat derivaatat, kun f(x) = cos 2x a) f (x) b) f (x) c) f (4) (x). 6.5 Derivaatan sovelluksia Määritä käyrän y = x 3 2x 2 + x 1 kohtaan x = 2 piirretyn tangentin ja normaalin yhtälöt Määritä käyrälle y = x 2 +2x+5 pisteestä ( 3 2, 6) piirrettyjen tangenttien yhtälöt Määritä funktion f(x) = 1 2 x x3 2x 2, x R ääriarvot Tutki funktion kulkua a) f(x) = x 3 2x 2 + x, b) g(x) = x2 + 2x x TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 21

22 6.18. Määritä funktion f(x) = ln x suurin arvo. x Osoita oikeaksi epäyhtälö (x 2) 6 > 2 6x Suorakulmion muotoisen levyn ympärysmitta on 100 cm. Mitkä ovat levyn mitat, kun sen pinta-ala on mahdollisimman suuri? Edellisen tehtävän 6.20 pinta-alaltaan suurimmasta mahdollisesta levystä leikataan jokaisesta kulmasta pois yhtä suuri neliön muotoinen palanen. Leikatusta levystä taitellaan kanneton suorakulmainen särmiö kuvan mukaisesti. Mitkä ovat suorakulmaisen särmiön mitat, kun sen tilavuus on mahdollisimman suuri? Anna vastaus 0,1 cm tarkkuudella Suoran ympyräkartion korkeus ja pohjaympyrän halkaisija ovat yhtä pitkät (d). Mitkä ovat tilavuudeltaan suurimman neliöpohjaisen suorakulmaisen särmiön mitat, joka voidaan asettaa kartion sisään? Särmiö asetetaan kartion sisään siten, että neliöpohja on yhdensuuntainen kartion pohjan kanssa. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 22

23 7 Integraalilaskenta 7.1 Integraalifunktio 7.1. Osoita, että funktio x ln x x on funktion ln x integraalifunktio. 7.2 Integroiminen 7.2. Määritä funktio f(x), kun f (x) = x 2 2x + 2 ja kuvaaja y = f(x) kulkee pisteen (3, 9) kautta Määritä integraalifunktiot 1 a) 3 dx b) x 2 dx c) x e) sin x dx f) x 1 dx d) (x + 1)(x 1) cos x dx g) dx x 2 [Vihje 1 sivun alalaidassa] e x dx 7.3 Funktion f (x)g(f(x)) integroiminen 7.4. Määritä integraalifunktiot a) (2 5x) 5 dx b) 5e 2x dx c) (cos 2x x sin x 2 ) dx d) +g) 3x sin x cos 3 x dx e) 2 dx f) ( ) 2 dx [Vihje 2 sivun alalaidassa] 5x Määrätty integraali 7.5. Laske määrätyt integraalit a) 3 1 x 2 dx b) 3 0 2x 4 dx c) 3 1 e x2 dx + x 2x dx 1 3 e x2 dx 1 Laske auki ennen integrointia. Lisäohje: Laske kertolasku osoittajassa ja jaa saatu polynomi termeittäin nimittäjällä. 2 Laske auki toinen potenssi ennen integrointia. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 23

24 7.6. Auto lähtee paikaltaan liikkeelle tasaisesti kiihtyen. Auton nopeus on siten suoraan verrannolinen lähtöhetkestä kuluneeseen aikaan. Auton nopeus 5 sekuntia lähtöhetkestä on 15 m/s. Kuinka pitkän matkan auto on kulkenut 10 sekunnin kuluttua lähtöhetkestä? Ohje: Nopeus on matkan derivaatta, eli v(t) = s (t), jossa v(t) on nopeus ja s(t) on kuljettu matka ajan funktiona. 7.5 Pinta-alojen laskeminen integroimalla 7.7. Laske käyrän y = x 2 3x ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala välillä [0, 5] Laske käyrän y = e x, suoran y = 3 ja y-akselin rajaaman alueen pintaala integroimalla a) muuttujan x suhteen b) muuttujan y suhteen 7.9. Laske sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrät y = sin x ja y = cos x, suora x = π sekä y-akseli Tilavuuksien laskeminen Astian korkeus on 30 cm. Astian vaakasuora poikkileikkaus on suorakulmio, jonka sivumitat ovat x + 5 ja x + 10 senttimetriä mitattuna x senttimetrin korkeudella astian pohjasta. Mikä on astian tilavuus? Näyttelyhallin pohja on ympyrä, jonka halkaisija on 100 m. Näyttelyhallin katto ja seinät muodostavat alla olevan kuvan mukaisen pinnan, jossa halkaisijaa AB vastaan kohtisuorat leikkauskuviot ovat suorakulmioita, joiden korkeuden suhde leveyteen on 1 : 2. Laske hallin tilavuus. B A TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 24

25 7.7 Pyörähdyskappaleen tilavuus Laske sen kappaleen tilavuus, joka muodostuu, kun käyrän y = e x välilllä [0, 2] oleva osa pyörähtää a) x-akselin ympäri. b) suoran y = 2 ympäri Käyrän y = 2x 1 välillä x [0, 3] oleva osa pyörähtää y-akselin ympäri. Laske muodostuvan kappaleen tilavuus integroimalla Käyrän y = 2 ln(x + 1), 0 x e 1, pyörähtäessä y-akselin ympäri syntyy suppilomainen astia. Laske sen tilavuus. Ilmoita tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 25

26 8 Lukujonot ja summat 8.1 Lukujono 8.1. Kirjoita lukujonon 5 ensimmäistä jäsentä. a) a 1 = 3, a n+1 = 2a n 1 b) a 1 = 1, a 2 = 1, a n+2 = a n + a n+1 c) a 1 = 5, a n = a 1 2 n 1 d) a 1 = 2, a n = a 1 + 3(n 1) 8.2. Päättele lukujonon kaksi seuraavaa jäsentä ja yleinen jäsen a n. a) 3, 6, 9, 12,... b) 1, 2, 4, 8,... c) 1 11, 3, 2 2, 8,... d) 1, 1, 1, 1,... e) 1, 0, 1, 0,... f) 1, 1, 3, 9, Tutki onko lukujono aidosti monotoninen sekä onko se ylhäältä tai alhaalta rajoitettu. n = 1, 2, 3,... a) a n = 2n 1 n b) a n = 3 1 n c) a n = 2n n Aritmeettinen lukujono ja summa 8.4. Tutki onko lukujono aritmeettinen a) 1, 3, 5, 7,... b) a 1 = 3, a n+1 = 3(a n 2) 8.5. Kuinka moni aritmeettisen jonon 3, 8, 13,... jäsenistä on pienempi kuin 1000? 8.6. Esitä summamerkinnän avulla ja laske aritmeettinen summa. a) b) Aritmeettisen jonon 1. jäsen on 4 ja yksi sen jäsen on 247. Summa = Kuinka monta jäsentä on summassa ja mikä on lukujonon perättäisten jäsenten erotus? 8.8. Elokuvateatterissa on viimeisellä penkkirivillä 56 paikkaa. Ensimmäisellä penkkirivillä on 22 paikkaa ja seuraavalla rivillä on aina 2 paikkaa enemmän. a) Kuinka monta penkkiriviä on teatterissa? b) Kuinka monta paikkaa on teatterissa? TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 26

27 8.3 Geometrinen lukujono ja summa 8.9. Onko lukujono geometrinen? a) 1 2, 1 4, 1 8, 1 16,... b) a 1 = 3, a 2 = 1, a n+2 = a n+1 a n Geometrisen jonon 7. jäsen on ja 4. jäsen on. Laske jonon suhdeluku ja 1. jäsen Laske geometrinen summa, kun siihen otetaan a) 15 ensimmäistä termiä lukujonosta 2 7, 4 7,... b) 15 ensimmäistä termiä lukujonosta 7, 21, 63,... c) 16 ensimmäistä termiä b-kohdan lukujonosta Olli alkaa tallettaa pankkiin jokaisen vuoden alusssa e. Tilin vuosikorko on lähdeveron jälkeen 2,13 %. Kuinka paljon tilillä on rahaa 15. vuoden lopussa? Kuinka paljon Olli on saanut verotonta korkotuottoa tältä ajalta? TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 27

28 9 Todennäköisyyslaskenta 9.1. Korttipakassa on neljää maata (hertta, ruutu, risti ja pata), joissa kaikissa on 13 korttia. Ässä on 1 tai 14, jätkä on 11, rouva on 12 ja kuningas 13. a) Mikä on todennäköisyys saada yhdellä nostolla kuningas? b) Mikä on todennäköisyys saada kaksi kuningasta, kun nostetaan kaksi korttia? c) Mikä on todennäköisyys, että yhdellä nostolla tulee ässä tai hertta? 9.2. Radiossa kaksi eri radiokanavaa soittaa saman 3 minuutin pituisen kappaleen kerran kahden tunnin aikana. Kaksi radiota avataan samaan aikaan ja näiltä eri kanavilta. Millä tn. molemmilta kanavilta kuuluu tämä sama kappale? 9.3. Mikä on todennäköisyys saada kuudella nopanheitolla ainakin yksi kuutonen? 9.4. Kolikon säde on 10 mm. Mikä on todennäköisyys, että neliöruutuiselle suurelle pöytäliinalle heitetty kolikko jää kokonaan ruudun sisään? Ruudun sivun pituus on 30 mm Heitetään kahta noppaa. Millä todennäköisyydellä saadaan silmälukujen summaksi enemmän kuin 7? 9.6. Susannalla on vaatekaapissaan 54 paitaa, 26 housut ja 108 kenkäparia. Kuinka monta erilaista vaateyhdistelmää (paita, housut, kengät) hän voi valita kaapistaan? 9.7. Sukkulaviestiin valittiin 4 tyttöä ja 4 poikaa. Kuinka monta erilaista juoksujärestystä voidaan muodostaa, jos a) juoksijat voidaan järjestää miten tahansa, b) kaikki tytöt ovat ennen poikia, c) joka toinen on tyttö ja joka toinen on poika? 9.8. Kaverukset Erkki, Keijo ja Jorma ovat osallistuneet työpaikallaan arvontaan etelänmatkasta 20 muun henkilön kanssa. Kolme ihmistä voittaa matkan. Millä tn. kaikki kolme kaverusta voittavat? 9.9. Korttipakka on samanlainen kuin tehtävässä 9.1. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 28

29 a) Mikä on tn. saada neloset (neljä samaa numeroa) viidellä kortilla? b) Mikä on tn. saada värisuora (esim. ässä, 2, 3, 4, 5 tai 10, 11, 12, 13, ässä eli peräkkäiset numerot ja samaa maata) viidellä kortilla? Valtuustossa on 12 naista ja 11 miestä. Valtuustosta valitaan 4 hengen työryhmä arpomalla. Millä tn. a) kaikki ovat naisia, b) ryhmässä on kaksi naista ja kaksi miestä, c) ryhmässä on yksi nainen ja kolme miestä? Jussi ja Paavo kuuluvat kahdeksan sepän veneilyseuraan. 8 hengen seurasta valitaan 5 jäsentä viestikilpailun joukkueeseen. Millä todennäköisyydellä Jussi ja Paavo ovat joukkueessa peräkkäisillä osuuksilla, jos joukkue ja järjestys arvotaan? Laatikossa on kaksi valkoista ja kolme mustaa palloa. Laatikosta otetaan umpimähkään kaksi palloa. Olkoon satunnaismuuttuja X nostossa saatujen mustien pallojen lukumäärä. Laske todennäköisyydet P(X = k), k = 0, 1, 2. Määritä odotusarvo E(X) Matematiikan pääsykokeessa epäonnistuu 20 % ja fysiikan pääsykokeessa 15 %. Molemmissa kokeissa epäonnistuu 9 %. 1) Millä todennäköisyydellä matematiikan kokeessa epäonnistunut henkilö epäonnistuu myös fysiikan kokeessa? 2) Millä todennäköisyydellä pyrkijä epäonnistuu ainakin toisessa kokeessa? Arpajaisissa, joissa on paljon arpoja, 30 % arvoista voittaa. Ostetaan kuusi arpaa. a) Millä todennäköisyydellä tulee 0, 1, 2, 3, 4 voittoa? b) Millä todennäköisyydellä tulee enintään kaksi voittoa? Eräässä keskikokoisessa etelä-suomalaisessa kaupungissa miesten keskipituus on 180,5 cm ja pituuden keskihajonta 6,1 cm. Oletetaan miesten pituus normaalisti jakautuneeksi. a) Millä todennäköisyydellä kyseisestä kaupungista satunnaisesti valitun miehen pituus on alle 185 cm? TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 29

30 b) Kuinka monta prosenttia kyseisen kaupungin miehistä on lyhyempiä kuin 170 cm? c) Kyseisen kaupungin asukkaista valitaan 200 henkilön satunnaisotos. Arvio kuinka monen miehen pituus tässä otoksessa on välillä cm Yritys valmistaa palloja, joiden tilavuus on tarkoitus olla 5000 l. Enintään 65 litran poikkeama jompaan kumpaan suuntaan hyväksytään. Laske tavoitteena olevan pallon halkaisija ja virherajojen mukaiset halkaisijat. Millä tn. prosessissa syntyy hyväksyttäviä säiliöitä, kun halkaisijoiden poikkeamat ovat normaalisti jakautuneet parametrein µ = 0 cm, σ = 1,75 cm. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 30

31 Harjoitustehtävien 1 vastaukset 1.1. a) a 5 b 5 b) 25x 2 c) a 3 d) x2 9 e) 8 x 3 f) 8x a) b) c) d) ad + bc bd e) ad bc bd f) x2 + 3x + 4 2x 1.3. a) 3 10 b) c) 2 15 d) ac bd e) ad bc f) 6x2 9x 2x a) x 2 x a) 4 x 2 2x + 1 b) 0 c) x y = 2t + 2 ja y x = 1 2t + 2 b) 1 x 2 x 1.6. a) 4x x 3 9x 2 20x + 3 b) x 4 2x c) 2x 2 5x + 3 d) 30x 4 25x 3 y + 12x 2 y 8xy 2 15y 3 e) 18x x 2 + 2x f) x 3 6x x a) x(x + 1) b) 2x(2x 2 + 3) c) z(z + 1) 2 d) (x 2 + 3)(x + 4) e) 2(x y) 2 f) (x 2 + a)(5ax 1) 1.8. a) 117,3 b) 0,051a c) 2 % d) 120 % e) 57 % f) 133 % ) 152,42 e 2) 89,95 e a) ( ) ( 1 + p 100 a b) 1 q 100) a a) 30 % b) 15 % TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 31

32 1.12. a) 5 b) 25 c) x = { x, kun x 0 x, kun x < 0 d) x + 3 = { x + 3, x 3, kun x 3 kun x < 3 e) x 3 = f) 2x 7 = { x 3, kun x 3 3 x, kun x < 3 { 2x 7, kun x x, kun x < a) x = 4 9 b) 5 9 c) x = 1 d) x = a) x = 3 tai x = 2 b) ei reaalisia ratkaisuja c) x = 0 tai x = 3 2 d) x = a) ei reaalisia ratkaisuja b) 1 ratkaisu a) x > 9 20 b) x = 9 20 c) x < a) x = b) x = 4 13 c) x = Vastaus: 4,3 km etäisyydellä Vastaus: 99,7 % Vastaus: 140 N a) x > 2 b) x 1 4 c) x a) 1 3 x 2 b) x < 0 tai x > 1 c) 2 < x < a) x = 0 tai x = 1 2 tai x = 4 b) x = 1 tai x = 1 c) x = 4 tai x = ± 5 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 32

33 1.25. a) 0 x 1 2 tai x 4 b) 1 < x < 1 c) 4 < x < 5 tai x > a) x = 2 7 tai x = b) Vastaus: yhtälöllä ei ole ratkaisuja a) x 1 tai x 0 b) x 2 7 tai 1 < x tai x > a) x = 1 tai x = 2 b) ei ratkaisua c) x = 3 2 tai x = 5 4 d) x = 2 tai x = a) x 4 3 tai x 8 3 b) x < 1 3 tai x > a) 3 4 b) 4 2 c) 3a a) a 3 4 b) b 5 3 c) c a) x = 24 b) ei ratkaisua c) x = 3 tai x = 0 tai x = 2 d) x = a) 3 x 1 3 b) 5 3 x a) x > 0 b) x < 1 tai x > 1 c) x > a) e x = 5 b) x = 10 8 c) x = a) x = 5 b) x = a) x < 7 b) x 8 ln 110 ln 1,05 = lg 110 lg 1,05 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 33

34 Harjoitustehtävien 2 vastaukset 2.1. a) π 2 b) 25π 36 c) π 6 d) 3π a) 120 b) 90 c) 612 d) 22, a) sin x = 1 2, cos x = 1 2, tan x = 1 ja x = 3π 4 b) ( 1 2, ) a) pienin arvo 1, suurin arvo 1 b) pienin arvo 1, suurin arvo sin x cos x = a) x = π 2 + n 2π b) x = π 8 + nπ tai x = 3π 8 + nπ c) x = π + n 2π d) x = ± 5π 18 + n 2π 3 e) x = π 4 + nπ f) x = π 12 + n π a) α = 40 + n 360 tai α = n 360 b) x = ± 5π 4 + n 2π c) α = 60 + n 180 d) x = 33,7 + n 180 e) x = 26,6 + n 180 tai x = ±90 + n 360 f) x = 3π 4 + nπ tai x = π 3 + nπ TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 34

35 Harjoitustehtävien 3 vastaukset 3.1. β = 26 ja α = α = Jaetaan viisikulmio kolmeen kolmioon, joiden kulmien summa on = β > γ > α 3.5. ABC GHI, mittakaava k = 4 : cm % 3.8. a) ei ole b) On. Suora kulma kateettien 5 ja 2 välillä a) x = 5 2 b) x = 2,31 c) x = 6, a) α = 30 tarkka arvo b) α = 68,0 c) α = 63, α = 47, h = 3,5 m ,9 cm ,6 cm kulma B = 49,8 tai kulma B = 130, kulma B = ,1 cm ,5 ; 53, 1 ja 35, ,6 m kaari 17 cm ja pinta-ala 170 cm 2 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 35

36 cm km mm α = 60 ja β = cm ,8 dm ,3 % cm 3 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 36

37 Harjoitustehtävien 4 vastaukset 4.1. a) x = 2, y = 5 b) ei ratkaisuja c) Ratkaisuja ovat kaikki suoran 2x 3y 5 = 0 pisteet x = 2, y = 4 ja z = k = a) b) c) d) 4.5. y = 5x y = 3x k 1 k 2 = 2 ( 3 3 ) = y = 1 3 x Suoran L yhtälö on x = 3 ja normaalin y = y = 2 5 x a) k = 1 b) k = 1 3 0,5773 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 37

38 4.12. a) n. 63,4 b) n. 18, y = 2 3 x keskipiste (3, 1) ja säde (x 1) 2 + (y + 2) 2 = a) keskipiste (2, 1) ja säde 3 b) keskipiste ( ) 3 2, 2 ja säde < a < (Ympyrän yhtälö keskipistemuodossa: (x 1) 2 + (y 2a) 2 = a 2 2a + 1, josta vaaditaan r 2 > 0, eli a 2 2a + 1 > 0) Tangentteja on kaksi. y = x + 7 ja y = 7 17 x y = 2x tai y = 2x (x 2) 2 + (y 1) 2 = (x 8) 2 + (y 4) 2 = 16 tai (x 3) 2 + ( y 3 ) 2 = paraabeli y = 1 8 x2 3 4 x y = 2x 2 + 3x 2 ( ) a) 3, 1 b) 3 ( 10 ) 3, Leikkauspisteitä on kaksi: (0, 2) ja (1, 1) ja ( 13 5, 9 ) (2, 1) ja ( 1, 2) c) (2, 5) d ( 3, 7) ( ) 36 5, 2 5 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 38