DMP / Kevät 2016 / Mallit Harjoitus 6 / viikko 13 / alkuviikko Alkuviikon tuntitehtävä 1: Montako kahdeksaan yhtäsuureen sektoriin leikattua pitsaa voidaan tehdä kolmesta täytteestä siten, että kukin sektori sisältää täsmälleen yhtä täytettä ja kaikkia täytteitä ei tarvitse käyttää? Koska pitsa on leikattu 8 yhtäsuureen osaan, voidaan tarkastella säännöllisen 8- kulmion symmetrioita. Koska pitsassa täytteet ovat vain pitsan päälle, sallitaan vain kiertosymmetriat. Säännöllisellä 8-kulmiolla on 8 symmetristä kiertoa: 0, ±π/4, ±π/2, ±3π/4 ja π radiaania. Jos kiertoa ϕ on tehtävä k kertaa, että päästään takaisin alkutilanteeseen, sykliesityksessä on 8/k erillistä sykliä (huomaa, että tämä toimii vain kaksiulotteisille kappaleille tasossa). Säännöllisellä kahdeksankulmiolla erillisten syklien määrä symmetrisillä kierroilla ovat: 8 0, 1 ±π/4, 2 ±π/2, 1 ±3π/4, 4 π, joissa alaindeksi kertoo, mihin kiertoon/kiertoihin luku liittyy. Nyt voidaan käyttää Burnsiden lemmaa ja laskea sen avulla "väritykset"eri erilaiset pitsat: 3 8 + 2 3 + 2 3 2 + 2 3 + 3 4 8 = 834 Alkuviikon tuntitehtävä 2: Määritellään verkko, jonka solmuina ovat kaikki kolmen pituiset bittijonot ja jossa kaksi bittijonoa on linkitetty toisiinsa täsmälleen silloin, kun ne eroavat vain yhden bitin osalta. Osoita, että tämä verkko on isomorfinen sen verkon kanssa, jonka kärjet ovat kuution kärjet ja jonka linkit ovat kuution särmät. Piiretään kuutio, ja nimetään sen kulmat kolmen pituisilla bittijonoilla siten, että linkitettyjen kulmien nimet eroavat vain yhden bitin osalta. Tämä todistaa isomorfisuuden: Tiedostoa viimeksi muokattu: 31. maaliskuuta 2016 11:55 1/6
Alkuviikon kotitehtävä 1: Tetraedrin kiertoryhmässä on 12 alkiota: identtisen kuvauksen lisäksi kahdeksan 120 kiertoa ja kolme 180 kiertoa. Monellako olennaisesti eri tavalla tetraedrin tahkot voidaan värittää viidellä värillä? Nimetään tetraedrin tahkot numeroin 1,2,3,4. 120 kierto pitää yhden tahkon paikoillaan, joten tämän kierron sykliesitys on oleellisesti muotoa (1)(234). Siten jokainen 120 kierron sykliesitys koostuu kahdesta erillisestä syklistä. Hieman vaativampi geometrinen päättelytehtävä on päätellä, että 180 kierron sykliesitys on oleellisesti muotota (12)(34). Siten jokaisen 180 kierron sykliesityksessä on kaksi erillistä sykliä. Nyt oleellisesti erilaiset väritykset saadaan Burnsiden lemmalla: 5 4 + 8 5 2 + 3 5 2 12 = 75 Alkuviikon kotitehtävä 2: Matematiikan laitoksen suunnittelija haluaa aikatauluttaa seitsemän kurssin loppukokeet siten, että yhdelläkään opiskelijalla ei ole kahta koetta samanaikaisesti. Oletetaan, että kurssit on numeroitu numeroilla 1 7, ja että seuraavilla kurssipareilla on yhteisiä opiskelijoita: 1 ja 2, 1 ja 3, 1 ja 4, 1 ja 7, 2 ja 3, 2 ja 4, 2 ja 5, 2 ja 7, 3 ja 4, 3 ja 6, 3 ja 7, 4 ja 5, 4 ja 6, 5 ja 6, 5 ja 7, ja 6 ja 7. Piirrä tilanteesta konfliktiverkko ja etsi suunnittelijalle aikataulutus mahdollisimman vähillä koetilaisuuksilla. Konfliktiverkko näyttää tältä: Tiedostoa viimeksi muokattu: 31. maaliskuuta 2016 11:55 2/6
Optimaalisen aikataulutuksen luominen voidaan mieltää verkon väritysongelmana: löydä konfliktiverkolle minimaalinen väritys. Tällöin kukin väri vastaa tiettyä ajankohtaa, jona koe voidaan pitää. Voidaan huomata, että kurssit 1 4 muodostavat täydellisen aliverkon, jossa on neljä solmua. Siten tarvitaan vähintään neljä väriä. Kuvassa on nähtävissä konfliktiverkon neliväritys. Koska tarvittiin vähintään neljä väriä, väritys on optimaalinen. Tiedostoa viimeksi muokattu: 31. maaliskuuta 2016 11:55 3/6
DMP / Kevät 2016 / Mallit Harjoitus 6 / viikko 13 / loppuviikko Loppuviikon tuntitehtävä 1: Professori Luupää ja hänen vaimonsa Sirkka kutsuvat 10 ystäväänsä luokseen päivälliselle. Tässä 12 ihmisen joukossa jokainen tuntee vähintään kuusi muuta ihmistä. Osoita, että koko seurue voidaan istuttaa pyöreän pöydän ympärille siten, että kukin tuntee molemmat vierustoverinsa. (Vihje: Dirac.) Diracin lauseen mukaan yksinkertaisessa verkossa on Hamiltonin sykli, jos verkossa on n 3 solmua, ja jokaisen solmun aste on vähintään n/2. Hamiltonin syklillä tarkoitetaan polkua, joka käy jokaisessa solmussa tasan kerran. Päivällisseurueesta voidaan tehdä verkko, jossa jokainen henkilö vastaa yhtä solmua, ja kaksi solmua yhdistetään, jos solmuja vastaavat henkilöt tuntevat toisensa. Tällöin saadaan aikaan 12 solmun verkko, jossa jokaisen solmun aste on vähintään 6 = 12/2,jolloin Diracin lauseen mukaan verkossa on Hamiltonin sykli. Täten seurue voidaan istuttaa tämän syklin mukaisesti pyöreä pöydän ympärille siten, että jokainen tuntee molemmat vierustoverinsa. Loppuviikon tuntitehtävä 2: Hiiri aikoo syödä ison, 3 3 3 -kokoisen juustokuution kokonaan. Se aloittaa ison kuution kulmasta ja nakertaa aina suupalaksi kokonaisen 1 1 1 -kuution ennen siirtymistään mihin tahansa viereiseen 1 1 1 -kuutioon. Voiko hiiren viimeinen suupala olla ison kuution keskellä? Jaetaan kuution 1 1 1 -osakuutiot kahteen ryhmään: Ryhmä 1: Kuution kulmat (8 kpl) ja kunkin tahkon keskikuutio (6 kpl) Ryhmä 2: Kaikki muut kuutiot (27-14 = 13 kpl) Hiiri aloittaa syomällä yhden kulman. Tästä hiiri siirtyy johonkin ryhmän 2 kuutioon (oletetaan että "viereiseen kuutioon"tarkoittaa ettei diagonaalinen siirtyminen ole sallittua). Siitä hiiri jatkaa taas ryhmän 1 kuutioon, ja käy koko kuution läpi syömällä vuorotellen ryhmien 1 ja 2 kuutioita. Koska ryhmässä 1 on 14 kuutiota, ryhmän 1 kuutioiden täytyy tulla sekä ensimmäisenä että viimeisenä. Keskikuutio kuuluu kuitenkin ryhmään 2, joten viimeinen suupala ei voi olla keskellä. Loppuviikon kotitehtävä 1: Todista väittämä bileistä löytyy aina kaksi ihmistä, jotka tuntevat yhtä monta ihmistä samoista bileistä eli todista, että suuntaamatto- Tiedostoa viimeksi muokattu: 31. maaliskuuta 2016 11:55 4/6
malle, yksinkertaiselle, äärelliselle verkolle, jolle V 2, löytyy aina kaksi solmua, joilla on sama asteluku. (Vihje: kyyhkyslakkaperiaate.) Olkoon G suuntamaton ja yksinkertainen verkko ja V = n 2. Jaetaan tarkastelu kahteen tapaukseen: Tapaus 1: Kaikista solmuista on polku kaikkiin muihin solmuihin. Tällöin solmujen maksimaalinen asteluku on n 1 ja minimaalinen asteluku on 1. Mahdollisten astelukujen joukko on siis S = {1, 2,..., n 1}. Nyt S = n 1, joten kaikille n solmulle ei riitä omaa astelukua, joten vähintään kahden solmun astelukujen on oltava samat. Tapaus 2: G:ssä on ainakin yksi eristyksissä oleva solmu. Tällöin mahdollisten astelukujen joukko S = {0, 1,..., n 2}, ja tässäkin tapauksessa S = n 1. Loppuviikon kotitehtävä 2: Mikä on alla olevan verkon kromaattinen luku? Perustele tarkasti. Verkon kromaattisella luvulla tarkoitetaan pienintä määrää värejä, joilla verkko voidaan värittää siten että naapurisolmut ovat aina erivärisiä. Tämä verkko sisältää viiden pituisen syklin, jonka värittämiseen (selvästikin?) tarvitaan kolme väriä. Tämä on hyvä alaraja, josta voidaan lähteä etsimään minimaalista väritystä. Oletetaanpa siis että kolmen värin väritys on olemassa. Numeroidaan solmut seuraavasti ja oletetaan että värimme ovat punainen, sininen ja vihreä: Tiedostoa viimeksi muokattu: 31. maaliskuuta 2016 11:55 5/6
Voimme olettaa että keskisolmun 11 väri on punainen. Tämä pakottaa sitä ympäröivien viiden solmun (6-10) väreiksi joko vihreän tai sinisen. Nyt meillä on neljä tapausta: Tapaus 1: Kaikki viisi solmua samaa väriä, vaikkapa sinistä. Tällöin uloimman viisisyklin väritykseen on käytössä vain punainen ja vihreä, jotka eivät riitä. Tapaus 2: yksi solmuista vihreä, muut sinisiä. Olkoon solmu 9 vihreä. Tämä pakottaa solmujen 3 ja 5 väriksi punaisen, mikä puolestaan pakottaa solmujen 1 ja 4 väriksi vihreän. Nyt solmua 2 ei enää voida värittää millään kolmesta väristä. Tapaus 3: Solmuista 6-10 valitaan kaksi vierekkäistä, jotka väritetään vihreällä, muut sinisellä. Olkoot solmut 9 ja 10 vihreitä. Tämä pakottaa solmut 1 ja 5 punaisiksi, mutta tämä on ristiriita, koska ne ovat naapureita! Tapaus 4: Kolmen sinisen solmun sekaan on ripoteltu kaksi ei-vierekkäistä vihreää, vaikkapa niin että solmut 7 ja 9 ovat vihreitä. Tämä pakottaa solmut 1 ja 5 punaisiksi, ja päädymme taas ristiriitaan. Olemme näyttäneet, ettei kolmella värillä värittäminen onnistu. Lisätään väripalettiimme keltainen ja yritetään värittää kuvio neljällä värillä. Tällainen väritys onnistuu esimerkiksi näin: Solmut 11, 1 ja 4 punaisia Solmut 3 ja 5 keltaisia Solmut 2, 9 ja 10 vihreitä Solmut 6,7 ja 8 sinisiä Näin ollen kromaattinen luku on neljä. Tiedostoa viimeksi muokattu: 31. maaliskuuta 2016 11:55 6/6