Tampereen kesäyliopisto, kevät 20 1 5 Thlousmatematiikan perusteet, orrr s ro30 L. harjoitus, (la 12.11.2015) 1. Laske seuraavat laskut. Laske kukin lasku ensin käsin þnää ja paperia käyttäen. Anna vastaukset tarkkoina murtolukuina. Laske lasku myös laskimella ilman paperia ja þnää. 21 u)j++ b)2-1 "i 1+13 ' 5 ',r+i a) 2 r 4-2 3.1 8 3 11 t_t_t_ 3'4 4.3'3.4 t2'12 t2 laskimella: 2 J + 1 4 0,9166666667 b) '5555z-?:lo -1:7 t4 ---t.4 10 laskimella: 2 3 5 l14 c) t+å _ î+1 _714 _!.!_7 _, o r*or i+i- sl4-4 s-5-''- + laskimella: - 1 J 4 I + 1 4 1,4 ( ) 2. Laske seuraavat laskut. Laske kukin lasku ensin käsin þnää ja paperia käyttäen. Anna vastaukset tarkkoina murtolukuina. Laske lasku myös laskimella ilman paperia ja þnää. a)23+42 Ð'+., (, -:), a) laskimella: b) 23 + 42 :2.2.2+ 4. 4 : I I 16 : 24 2 3 + 4 2 24 2+6 I 3-3 laskimella: ( 2 + 6 ) 3 2,666666667 c) a J 1 )- (i-å) n- 3 (å) 2:+ laskimella: ( 3 1 3 ) X 2 5,333333333
3. Miten paljon on 17,2Vo luvusta 325,25? # 325,10:55,9ri2x55,9 4. Miten monta prosenttia 20,,32 on luvusta 310,10? Joskus lasketaan P-.3lo,lo : 20,32 100 roo'2!& :6,552724927 x 6,,553 ë p : -31o,lo P. to.to : 20.32 100 o * :?* : 0,06552724927= 0,06553 100 310,10 Kummassakin tapauksessa vastaus onl. 6,553Vo. 5. Tuotteen alkuperåünen hinta oli 250,00. Alennettu hinta on 195,00. Mikä on alennusprosentti? Røtkaisu: Alennus on 250,00-195,00 : 55,00. Alennusprosentti on silloin -t-tlo.oí-. rooc/o -- z2,ooro 250,00 6. Ratkaise yhtälöt a) 2x-12:7x*8 b) 6(x+ 2):5x+ t0 c) 3x* I :3(.r* l) a) 2x+2 : e2x-7x : <+ -5 : <+r : 7x*8 8-2 6-6f 5: -1,2 b) c) 6(x+2) + 6xt12 e6x-5x <+r 3x-l I : (à3x*1 : e3x-3x : <+0 : 5x-l 10 5xf 10 t0-12 -2 3(-r+ 1) 3xl3 3-1 2 epätosi -+ Ratkaisujoukko on tyhjä
Vastaus: a) x: -I,2 b) x: -2 c) Rj :Ø 7. Ratkaise yht ilöt ùb? -t3 * 1 :0 Ð 5t *x:4x2-2x+4 c) (x* 1)(r-3) : (;+ 1) a) z* +3x*r b) Sf +x : 4t 5x2-+*l-x-t?-x- -+ e 0 : o -b rlez 4. ai 4 +\E 4:2.. I -3+1-2 44 2a 2.2 tai -3-1 -4 )c 44 Vastaus: x: -0,5 tai x: -1,0-2x+4-3+1 t+zr-q : o _ -b+!/62 - ai At. _ 4 + \F - q. r:fq _ 3 + -+ ë x 2a -3 +5-2 tai x -4-5 22 22 Vastaus: Je : -1,0 tai x: -4,5 2-r -9 c) Toisen asteen yhtälöllä on korkeintaan kaksi reaalista juurta. Ne löytyvät helposti, sillä yhtälö on tosi, jos (x* 1) :0 tai (x- 3) : 1 elix: -1 tai "r:4. Siis Vastaus: a)x: -0,5 tai : -1,0 b),r: -1,0 tai x: -4,5 c)x: -1 tai x:4. 4 2 5 8. Ratkaise epäyhtälöt a)x- 1<3.r*1 b)3(x+l) >5(x-1) a) x-i e x-3x ë -2x <+.r b) 5(,r- 1) 5x-5 -B I '(-z) 4
9. Yritys myy tammikuussa 256 tuotetta. Yhden tuotteen myyntihinta on 25.20 ja tuotteen valmistaminen aiheuttaa kustannuksia I 8. 1 O (per tuote). Myyntitulo on 256. 25.20e : 6451.20e, valmistuskustannus on256. 18,10e :4633.60e. Tuotantolinjan kate on myyntitulo - valmistuskustannus = 6451.2Oe - 4633.60e: I 817,60. Kate on säs 28.17%ò myynnistä. Helmikuussa tuotteita myydään 300 kappaletta.0 Myyntihinta ei kasva, mutta valmistuskustannukset (per tuote) kasvavat IO,ÙVo. a) Laske helmikuun myyntitulo (koko tuotanto). b) Laske helmikuun valmistuskustannukset (koko tuotanto). c) Laske helmikuun kate (euroina). d) Laske helmikuun kate (prosentteina myynnistä). e) Miten monta prosenttia myyntitulo kasvoi? f) Miten monta prosenttia valmistuskustannukset kasvoivat? g) Miten monta prosenttia kate kasvoi? h) Miten monta prosenttiyksikköä kate kasvoi? Yhden tuotteen osalta myyntihinta on tammi ja helmikuussa sama p:25,20 kpl Yhden tuotteen valmistuskustannus oli tammikuuss ã c t -- 18, 10 ñ ja helmikuussâ c2 : 1, 10' 18, 10 ñ : 19,91 ñ Yhden tuotteen kate oli -ô -ô tammikuuss a k1 : p - ct: 25,20 ñ -18,lo Lpl: :7,lO -ô helmikuussakz-- p - c2:25,20ñ- t9,.ê ñ j".ê nt þr: - s,2e iër. Yhden tuotteen kate-prosentti oli tammikuussul.ro, )7o: 7'1o V{fi.100Vo:28,t77o ia p helmikuuss u þ.,ooro : *. r00va : p zo,99vo. 25,20 Yhden tuotteen euro-mä iräinen kate muuttui ja yhden tuotteen kate muuttui Koko tuotannon osalta myyntitulo oli ry -loovo :5''n=,7^''o.loovo : _25,,49vo fu 7,lo 20,997o - 28,I7 To : -7, I 8 prosenttiyksikköä. tammikuussâr1 :256H '25,20ñ : 6451,20å, ju helmikuuss a Rz - 300 H.25,20ñ : 7560,00 Ê. Koko tuotannon osalta valmistuskustannus oli tammikuuss àc1:256h.18,10ñ : 4633,60å, ju helmikuuss a C2 :300 H - lg,glñ : 5973,00 fr.
Koko tuotannosta euromä iräinen kate oli tammikuuss ã K1 :Rr -Cr : 6451,20fr -+O::,60 å : 1 817,60ft Ja helmikuuss ã K2 : Rz - Cz: 7560,00 fr - SeZf,00å : 1 587,00 fr. Koko tuotannon kate-prosentti oli tammikuuss" *. t00vo : :9.:'r'22. t00%io :28,r7%io R1 ia 6451,20 helmikuuss ^2. l00vo :=g*.t00va :20,99vo. R2 7560,00 Koko tuotannon euro-mäziräinen kate muuttui Kz- Kt.tOOVo_ 1587,00-1817,60 Ky 1817,60 ja koko tuotannon kate muuttui I00Vo: -12,687o 20,99Vo - 28,17 7o : -7,18 prosenttiyksikköä. Vastaukset þsymyksiin: a) Helmikuun myyntitulo (koko tuotanto) Rz :7560,00 kk b) Helmikuun valmistuskustannukset (koko tuotanto) Cz: 5973,00 c) Helmikuun kate (euroina) Kz:V. d) Helmikuun kate (prosentteina myynnistä) on20,99vo. e) Myyntitulo kasvoi Rz - Rt. t*ovo _ 7 560,00-6451,20 R1 645t,20 f) Valmistuskustannukset kasvoivat C2-Cr 5973,00-4633,60,., 'loova : 4633,60 g) Kate muuttui h) Kate muuttui.ê rë kk lùovo: 17,l97o IOOVI:28,91Vo IOOVo: -12,68To 20,99Vo - 28,17 Vo : -7, 1 8 prosenttiyksikköä. 10. Piinä funktion f (r) : 5 +2x - O.lx2 kuvaaja. Missä funktio on kasvava ja missä se on vähenevä? (Ohje: Piinä kuvaaja välille 0 < x < 20.) Lasketaan ensin fuktion arvoja pisteissä x :0,1,2, 20 x y: f(x):5+2x-o,tx: (*; y) x y: f (x):5*2x-0,ix: (*; y) 0 0" :5 (0; 5,0) 10 5+2 10-0,1'102: 15 1 12 :'7,1 (l; 7,1) 11 5+2 11-0,1 'II2:14,9 2 22 :8,6 (2; 8,6) l2 5+2 12-0,1'122:14,6 J 32 : l0,l (3;10,1) T3 5+2 13-0,1 '132:14,I 4 42 : ll,4 (a; n,4) t4 5+2 14-0,1 '142 : 13,4 5 +2.0-0,1 5+2.1-0,1 5 +2.2 -o,l 5+2.3-0,1 5 +2.4-0,r Kz* Kt K1 l00qc: I 587,00-1817,60 1817,60 (10; 15,0) (11; 14,9) (2; A,6) (13; 14,1) (14; 13,4)
10. Piirrä funktion f (*) :5 +2x-0.1* kuvaaja. Missä funktio on kasvava ja missä se on vähenevä? (Ohje: Piirrä kuvaaja välille 0 < x < 20.)
11. Piinä välillä 0 ( x { 5 kuvaajat funktioille!-- I x f(x):x2-x 0.0 C;t- Ò o 0.5 6<''-- o < -- -ô zç 1.0 tz - t 2.0 z? -z z 3.0 *-t < Á 4.0 r-t? - (a t? 5.0 q-o - Ç slo r-t 2Ç l,ç'- l.í. ô.ìf àç"- à f(*):*-*, )c g( ) :4x-6 0.0 u.o-6 = -b 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 4.Ç-Ç = t4. i'-. I I sq):4x-6 I '-i I I 12. Ovatko tehtåivän l l funktiot f (*) ja g(x) kasvavia välillä 0 <.r ( 5?
13. Ratkaise a) 1.05 :1.50 b) (1.05)'> (1.15)3 14. Ratkaise yhtälöt a) lo9216: x,, b) log, 100 : 2, c) loge.r : 112 Ì?a
15. Alla olevaan kuvaan on piirretty funktion f (*): x2-3x-4 avulla epäyhtälöt kuvaaja. Ratkaise kuvaajan a) x2-3x-4)0, b) f-lx-4<0, c) x2-3x-4+-4 v 1ç f(*):x2-3x-4 \i /