OPIÄYTETYÖ - AMMATTIKORKEAKOULUTUTKITO TEKIIKA JA LIIKETEE ALA PYÖREÄ TERÄSBETOIPI- LARI MITOITUS T E K I J Ä / T : Petteri Pakkanen
SAVOIA-AMMATTIKORKEAKOULU OPIÄYTETYÖ Tiivistelmä Koulutusala Tekniikan ja liikenteen ala Koulutusohjelma Rakennustekniikan koulutusohjelma Työn tekijä(t) Petteri Pakkanen Työn nimi Pyöreän teräsbetonipilarin mitoitus Päiväys 4.5.014 Sivumäärä/Liitteet 54/4 Ohjaaja(t) lehtori Harry Dunkel, lehtori Matti Mikkonen Toimeksiantaja/Yhteistyökumppani(t) Sormunen & Timonen Oy Tiivistelmä Tämän opinnäytetyön tavoitteena oli mitoittaa pyöreä pilari käyttämällä eurokoodin mukaista mitoitusta. Lisäksi tutkittiin hieman tarkein pilarin kestävyyttä normaalivoiman ja taivutuksen yhteisvaikutusta vastaan. Työn tarkoituksena oli tuottaa Excel-laskentapohja, joka laskee pilarin mitoitusvoimasuureet ja pilarin dimensioiden mukaisen yhteisvaikutuskäyrän. Työssä paneuduttiin eurokoodin mitoitusohjeisiin ja käytiin pilarin normaalitilanteen mitoitus vaihe vaiheelta läpi. Esimerkkinä laskettiin päistään nivelletyn pyöreän pilarin mitoitusvoimasuureet ja niitä vastaavat minimiraudoitteet. Pilarin mitoituksessa tuli ottaa lineaarisen analyysin lisäksi huomioon epälineaarinen analyysi, jossa käytettiin nimelliseen kaarevuuteen perustuvaa menetelmää. Ensiäisessä esimerkkilaskussa tarkasteltiin poikkileikkauksen kestävyyttä epäkeskistä normaalivoimaa vastaan kuankin pääkoordinaattiakselin suhteen erikseen, koska poikkileikkauksen raudoitus koostui kuudesta pystytangosta, joita ei saa molempien akselien suhteen syetrisesti. Toisessa esimerkkilaskussa käytettiin kahdeksan pystyteräksen pilaria ja sille suoritettiin täydellinen normaalitilanteen mitoitus. Lisäksi työssä tutustuttiin dimensiottomien yhteisvaikutusdiagraien laatimiseen. Työn tuloksena saatiin Rakennussuunnittelutoimisto Sormunen & Timonen Oy:lle käyttöön Excel-laskentapohja, joka näyttää kaikki laskennan väliarvot ja mahdollistaa näin laskennan seuraamisen. Laskentapohjan on tarkoitus toimia suunnittelun apuvälineenä ja sen etuna on pilarin käyttöasteen nopea tarkastelu. Lisäksi mitoitusohjeita tarkasteltaessa huomattiin pyöreän muodon aiheuttamia yksityiskohtia, joita kestävyyden mitoituksessa tulee ottaa huomioon. Avainsanat pyöreä pilari, mitoitus, yhteisvaikutusdiagrai, viruma
SAVOIA UIVERSITY OF APPLIED SCIECES THESIS Abstract Field of Study Technology, Counication and Transport Degree Prograe Degree Prograe In Construction Engineering Author(s) Petteri Pakkanen Title of Thesis Design of a Circular Reinforced Concrete Column Date 4 May 014 Pages/Appendices 54/4 Supervisor(s) Lecturer, Mr Harry Dunkel Lecturer, Mr Matti Mikkonen Client Organisation /Partners Sormunen & Timonen Oy Abstract The aim of this thesis was to dimension a circular column according to the Eurocode standards. Another purpose was to take a closer look at the resistance of the column against the interaction of axial force and bending moment. A further purpose of the thesis was to produce an Excel based calculation table, which calculates both the dimensioning force quantities of the column and the customised interaction diagram. During the project the Eurocode dimensioning instructions were examined and the dimensioning of the column in normal situation was processed in stages. The dimensioning force quantities and corresponding minimum reinforcements of the circular column with jointed ends were calculated as an example. In addition to the linear analysis in the dimensioning of the column also the nonlinear analysis had to be taken into account in which a nominal curvature method was used. In the first sample calculation the resistance of the cross-section against eccentric axial force was studied separately in relation to both main coordinate axes. This was due to the fact that the reinforcement of the cross-section included six longitudinal bars, which could not be syetrically placed regarding both axes. In the second sample calculation eight longitudinal bars were used and full dimensioning of the column in normal situation was conducted. Furthermore, the formulation of dimensionless interaction diagrams was explored. As a result an Excel based calculation table was created for Rakennussuunnittelutoimisto Sormunen & Timonen Oy. The table presents all calculation quantities and therefore enables the following of calculation. The purpose of the Excel table is to aid the design process and its advantage is the fast examination of the utilisation rate of the column. Moreover, important details which have to be taken into account in the dimensioning were noticed when studying the dimensioning instructions. Keywords circular column, design, interaction diagram, creep
5 (58) SISÄLTÖ 1 JOHDATO... 7 PILARI MITOITUS... 8.1 Pilarin mitoituksen perusperiaatteet... 8. urjahduspituus... 8.3 Hoikkuus... 9.4 Hoikkuusraja... 9.5 Betonipeitteen määrittäminen... 9.6 Lineaarinen analyysi... 1.6.1 Alkuepäkeskisyys... 1.6. Geometriset rakennepoikkeamat... 13.7 Epälineaarinen analyysi... 14.7.1 imellisen kaarevuuden menetelmä... 15.7. Viruminen... 15.7.3 Kaarevuus... 18.8 Taivutusmomentit... 19.9 ormaalivoiman ja taivutusmomentin yhteisvaikutus... 1.10 Raudoitusten määrittäminen... 3 ORMAALIVOIMA JA TAIVUTUSMOMETI YHTEISVAIKUTUKSE AALYSOITIA... 5 3.1 Betonin materiaaliominaisuudet... 5 3. Harjateräksen materiaaliominaisuudet... 6 3.3 Yhteisvaikutusdiagrain laatiminen integroimalla... 7 3.3.1 Poikkileikkauksen muodonmuutokset... 8 3.3. Puristetun betonin sekä puristus- ja vetoterästen differentiaaliset pinta-alat... 9 3.3.3 Poikkileikkauksen sisäiset jännitysresultantit... 30 3.3.4 ormaalivoima- ja momenttikestävyys... 30 3.4 Yhteisvaikutusdiagrain laatiminen erikoispisteiden A,B,C ja D avulla... 3 3.4.1 Puristetun pinta-alan laskeminen geometrisesti... 33 3.4. Puristetun segmentin pinta-alan ja painopisteen johtaminen trigonometrisin integraalein 34 3.4.3 Poikkileikkauksen muodonmuutokset, jännitykset ja voimatasapaino... 34 3.4.4 Poikkileikkaus, jossa vähän pystyteräksiä... 37 3.4.5 Esimerkkilasku kuuden pystyteräksen poikkileikkauksesta... 37
6 (58) 4 MITOITUSESIMERKKI... 4 4.1 Laskennan lähtötiedot... 4 4. Mitoituksen kulku... 43 4.3 Kestävyyden tarkastelu... 46 5 YHTEEVETO JA JOHTOPÄÄTÖKSET... 53 LÄHTEET JA TUOTETUT AIEISTOT... 54 LIITE 1: PILARI MITOITUS EXCEL-LASKETAPOHJALLA... 55
7 (58) 1 JOHDATO Ensiäiset eurokoodi-standardit otettiin käyttöön Suomessa marraskuussa 007. Tämän jälkeen on suunnittelussa käytetty rinnakkain sekä vanhaa RakMk:n osaa B, että eurokoodeja kansallisine liitteineen. Betonirakenteiden suunnittelussa on siirrytty kokonaan eurokoodin käyttöön 1.7.013 alkaen, jolloin vanha RakMk:n osa B4 poistui samalla kokonaan käytöstä. RakMk:n B osa on nyt päivitetty eurokoodin mukaiseksi, mutta mitoituksessa voidaan yhä käyttää myös eurokoodeja kansallisine liitteineen. Eurokoodin mukaiseen mitoitukseen on edelleen syytä paneutua, koska siitä on vasta muutaman vuoden kokemukset. Opinnäytetyössä käsitellään pyöreän teräsbetonipilarin mitoitusta ja tarkastellaan pilarin toimintaa osana kokonaista rakennetta. Opinnäytetyön tuloksena on tavoitteena saada aikaan Excellaskentapohja, jolla pyöreä teräsbetonipilari voidaan mitoittaa. Laskentapohjaan muodostetaan lisäksi pilarin kestävyyden ilmaiseva yhteisvaikutusdiagrai, joka muuttuu aina pilarin dimensioiden ja raudoituksen mukaan. Eurokoodin mukaisia dimensiottomia yhteisvaikutusdiagraeja, joissa on huomioitu Suomen kansalliset liitteet, ei löydy tällä hetkellä kuin kahdelle eri halkaisijan ja raudoituksen keskiöetäisyyden suhteelle, jonka vuoksi yhteisvaikutusdiagrain johtaminen on hyödyllistä. Lopuksi työssä suoritetaan esitetyn teorian pohjalta esimerkkilaskelma. Tässä opinnäytetyössä käsitellään pilaria vain yksiaukkoisena ja tuentatavaltaan mastona, päistään nivelellisenä tai toisesta päästä jäykkänä ja toisesta nivelellisenä. Yksinkertaistettuna analyysimenetelmänä käytetään nimelliseen kaarevuuteen perustuvaa menetelmää. Pilarin mitoitus palo- ja onnettomuustilanteissa jätetään myös pois. Opinnäytetyössä käytetään lähteenä Betoniyhdistyksen käsikirjoja ja suunnitteluohjeita, sekä itse eurokoodi-standardin suomenkielistä käännöstä SFS-E 199-1-1. Lisäksi yhteisvaikutuksen analysoinnissa käytetään lähteenä kahta ulkomaista artikkelia, jotka moleat ovat ilmestyneet rakennetekniikkaan erikoistuneissa julkaisuissa Graƌevinar ja Electronic Journal of Structural Engineering. Opinnäytetyön toimeksiantajana toimii kuopiolainen Rakennussuunnittelutoimisto Sormunen & Timonen Oy. Idea opinnäytetyön aiheeksi on tullut toimeksiantoyrityksen rakennesuunnittelijalta. Toimistossa nähtiin tarpeelliseksi pyöreälle pilarille tehtävä laskentapohja, koska se nopeuttaa suunnittelutyötä ja mahdollistaa pilarin käyttöasteen tarkastelun helposti. Laskentapohjasta pyritään tekemään lisäksi sellainen, että sen avulla on helppo seurata mitoituksen etenemistä ja näin pyritään pienentämään virhemitoituksen mahdollisuutta. Tässä insinöörityössä käsitellään poikkileikkaukseltaan pyöreän teräsbetonipilarin mitoitusta normaalitilanteessa. Työssä tarkastellaan mitoituksen kulku vaiheittain ja näytetään kuinka pilarin tukemistapaus vaikuttaa eri laskentasuureisiin. Lisäksi käsitellään pilarin kestävyystarkasteluissa tarvittavaa yhteisvaikutusdiagraia hieman tarkein ja laaditaan erikoispisteiden avulla likimääräinen diagrai myös itse. Omaa koulutustani ajatellen tämä työ antaa hyvän jatkumon betonirakenteiden osalta jo koulussa opitun lisäksi. Opinnäytetyön yhtenä tuloksena syntyvän yhteisvaikutusdiagrain laatimisessa pääsee pohtimaan teräsbetonirakenteen käyttäytymistä syvällisein
8 (58) PILARI MITOITUS.1 Pilarin mitoituksen perusperiaatteet Pilarit mitoitetaan murtorajatilassa, koska pilareiden pääasiallisena tehtävänä on välittää muilta rakenneosilta tulevat kuormat alas perustuksille. Pilarin mitoituksessa tulee ottaa huomioon, että jokaisella pilarin poikkileikkauksella on riittävä kestävyys paikallisia rasituksia vastaan, ja että pilari on tarpeeksi jäykkä, jotta rakennusrungon kokonaisstabiilisuus ei heikkene tai geometrisen epälineaarisuuden osuus voimasuureissa kasva liian merkittäväksi. (Leskelä 008, 417-418.) Pilari mitoitetaan aina normaalivoimalle, joka vaikuttaa mitoitusepäkeskisyyden päässä pilarin poikkileikkauksen painopisteestä sekä mahdollisten ulkoisten kuormien aiheuttamalle kiinnitysmomentille/momenteille tukemistapauksen mukaan. Mitoitusepäkeskisyys koostuu kuorman epäedullisesta sijainnista ja geometrisistä rakennepoikkeamista. Hoikan pilarin tapauksessa mittapoikkeamaan vaikuttaa lisäksi epälineaarisesta analyysistä saatava lisäepäkeskisyys. (Leskelä 008, 418.). urjahduspituus urjahduspituuteen vaikuttaa pilarin taipumaviivan muoto, joka on esitetty kuvassa 1 katkoviivalla. urjahduspituus on päistään niveltuetun poikkileikkaukseltaan vakion sauvan pituus, jonka nurjahduskuorma on sama kuin tarkasteltavalla sauvalla. (Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu, 63.) KUVA 1 Erillisten sauvojen nurjahdusmuotoja ja vastaavat nurjahduspituudet (Eurocodes.fi) urjahduspituus l 0 tässä opinnäytetyössä tarkasteltaville tukemistapauksille (Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu, 63.): l o = l kun kyseessä on päistään nivelletty pilari l 0 = l kun kyseessä on mastopilari (1) l o = 0,7 l kun pilari on toisesta päästä jäykkä ja toisesta päästä nivelletty
9 (58).3 Hoikkuus Pilarin hoikkuusparametrinä käytetään seuraavaa suhdetta: λ = l 0 /i () l o i on pilarin nurjahduspituus on halkeilemattoman betonipoikkileikkauksen A c jäyhyyssäde Jäyhyyssäde i lasketaan kaavalla: i = I c /A c (3) I c = πr 4 /4 r on halkeilemattoman betonipoikkileikkauksen jäyhyysmomentti on pyöreän pilarin poikkileikkauksen säde.4 Hoikkuusraja Toisen kertaluvun vaikutuksia ei tarvitse ottaa huomioon, jos ne ovat alle 10 % ensiäisen kertaluvun vaikutuksista tai jos pilarin hoikkuus λ λ lim. λ lim = 0 A B C Ed /A c f cd (4) 1 A = jos virumisastetta φ 1+0,φ ef ei tunneta, voidaan käyttää A:lle arvoa 0,7 ef B = 1 + ω jos mekaanista raudoitussuhdetta ω ei tunneta, voidaan B:lle käyttää C = 1,7 r m φ ef arvoa 1,1 jos päätemomenttien suhdetta r m ei tunneta, voidaan C:lle käyttää arvoa 0,7 on virumisaste ω = A s f yd A c f cd (Leskelä 008, 118). on mekaaninen raudoitussuhde r m = M 01 M 0 on päätemomenttien suhde, jossa M 01 ja M 0 ovat lineaarisen analyysin mukaiset pilarin päissä vaikuttavat momentit siten, että M 0 M 01.5 Betonipeitteen määrittäminen Betonipeitteellä tarkoitetaan betonipinnan ja sitä lähinnä olevan raudoituksen pinnan välistä etäisyyttä. Piirustuksissa esitettävä betonipeitteen nimellisarvo c nom saadaan kaavasta: c nom = c min + c dev (5)
10 (58) c min c dev on betonipeitteen vähiäisarvo on mittapoikkeama Betonipeitteen vähiäisarvolle käytetään suurinta arvoista, joka täyttää vaadittavat ympäristöolosuhteet, palonkestävyyden ja tartuntavoimien siirtymisen. Vähiäisarvoksi valitaan suurin seuraavista (Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu, 49-50). c min,b c min = maks { c min,dur + c dur,γ c dur,st c dur,add 10 c min,b c min,dur c dur,γ on tartuntavaatimuksesta johtuva betonipeitteen vähiäisarvo on ympäristöolosuhteista johtuva betonipeitteen vähiäisarvo on lisävarmuustermi, jonka suositusarvo on 0 (6) c dur,st c dur,add on ruostumattoman teräksen käytöstä johtuva betonipeitteen vähiäisarvon pienennys, jonka suositusarvo on 0 on lisäsuojauksesta johtuva betonipeitteen vähiäisarvon pienennys, jonka suositusarvo on 0 Betonipeitteen vähiäisarvo tartuntavaatimuksen c min,b mukaan on: c min,b = φ c min,b = φ n φ φ n kun käytetään erillisiä tankoja kun käytetään tankonippuja on yksittäisen tangon halkaisija on tankonipun ekvivalenttihalkaisija Lisäksi täytyy tarkistaa seuraava ehto (Suomen Betoniyhdistys 013, 7). c min,b = maks { φ päätanko φ haka φ haka (7) Ekvivalenttihalkaisija lasketaan seuraavasti: φ n = φ n b kun käytetään saman paksuisia tankoja φ n = A s π kun käytetään eripaksuisia tankoja n b on tankojen lukumäärä, joka on korkeintaan 3 A s on nipun tankojen yhteenlaskettu poikkipinta-ala
11 (58) Lisäksi tankonippujen ekvivalentti paksuus on rajoitettu arvoon φ n 55. Mikäli betonin runkoaineen maksimiraekoko on suurempi kuin 3, tulee tankopaksuuden mukaan määriteltyä betonipeitepaksuutta kasvattaa 5 :llä. (Suomen Betoniyhdistys 013, 59.) Betonipeitteen vähiäisarvo suunnittelukäyttöiän ja rasitusluokan mukaan c min,dur valitaan taulu- kosta 1. Taulukon perusarvoja käytetään 50 vuoden käyttöiälle ja ne on määritelty betonin minimilu- juusluokalle kyseisessä rasitusluokassa. TAULUKKO 1. Betonipeitteen vähiäisarvot ympäristöolosuhteiden mukaan. (Suomen Betoni- yhdistys 013, 64) Palonkestävyyden mukaan määritettävä pääteräksen keskiöetäisyys betonin reunaan käydään tässä läpi vain periaatteellisesti, koska palotilanteen mitoitustakaan ei suoriteta. Keskiöetäisyys a määritetään seuraavasti (Suomen Betoniyhdistys 013, 65.): a = c nom + (φ työtanko ) + φ haka + 1 φ päätanko (8) c nom φ työtanko φ haka φ päätanko on betonipeitteen nimellispaksuus on mahdollisen asennusraudoituksen ottama tila on hakaterästen halkaisija on pääterästen halkaisija Taulukosta saadaan pilarin vähiäismitta ja päätankojen keskiöetäisyys kussakin paloluokassa.
1 (58) TAULUKKO. Palonkestovaatimuksen toteuttavat minimipoikkileikkaukset. (Suomen Betoniyhdistys 013, 71). Taulukon mitoitustapa soveltuu vain jäykistetyille pilareille, joiden tehollinen pituus palotilanteessa on enintään L 0,fi 3,0 m ja kuormituksen epäkeskisyys on korkeintaan e 0,4 h. (Suomen Betoni- yhdistys 013, 71.).6 Lineaarinen analyysi Lineaarisessa analyysissä rakenteeseen vaikuttavien kuormien ja niiden aiheuttamien siirtymien ja jännitysten välinen yhteys on lineaarinen. Tällöin myös oletetaan, että materiaali käyttäytyy lineaarisesti kioisasti ja rakenteen muodonmuutokset jäävät niin pieniksi, ettei niillä ole merkittävää vaikutusta rakenteen käyttäytymiseen kokonaisuutena. Todellisuudessa harva rakenne käyttäytyy lineaarisesti, mutta lineaarinen käyttäytyminen on yleensä riittävän tarkka approksimaatio. (DIGMA.).6.1 Alkuepäkeskisyys Alkuepäkeskisyys e 0 ottaa huomioon pilariin kohdistuvan normaalivoiman epäkeskisyyden, vaakakuormat sekä mahdollisen kiinnitysmomentin (Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu, 8.): M d / Ed e o = max { h/30 0 (9) M d Ed h on ulkoisen kuorman aiheuttama momentti on normaalivoiman mitoitusarvo on pilarin poikkileikkauksen halkaisija
13 (58).6. Geometriset rakennepoikkeamat Pilarin geometrisillä rakennepoikkeamilla tarkoitetaan pilarin poikkeamaa ideaalimuodosta tai kuorman paikan poikkeamista oletetusta kohdasta. Poikkeamat esitetään joko kulmapoikkeamana tai sitä edustavana suurimpana mittapoikkeamana. (Leskelä 008, 116.) Kulmapoikkeama saadaan kaavasta: θ i = θ 0 α h α m (10) θ 0 = 1/00 α h α m on perusarvo on rakenteen korkeudesta aiheutuva pienennyskerroin on rakenneosien määrään perustuva pienennyskerroin Pienennyskertoimet saadaan kaavoista: α h = l ; 3 α h 1 (11) α m = 1 (1 + 1 m ) (1) l m on pilarin todellinen pituus on kokonaisvaikutuksen synnyttävän pystyosien määrä, erillispilareiden tapauksessa 1 Erillispilareihin vaikuttavia rakennepoikkeamia voidaan tarkastella joko kuorman epäkeskisyytenä e i tai pilariin maksimimomentin tuottavaan kohtaan asetettavana poikittaisvoimana H i. Epäkeskisyys e i saadaan kaavasta (Leskelä 008, 116-117.): e i = θ i l 0 l 0 θ i on pilarin nurjahduspituus on kulmapoikkeama Seinien ja jäykistettyjen kehien erillispilareiden tapauksessa voidaan käyttää myös yksinkertaistettua kaavaa (Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu, 56): (13) e i = l 0 /400 (14)
14 (58) Poikittaisvoima saadaan kaavoista (Leskelä 008, 117.): H i = θ i Ed (kun pilari on osa jäykistämätöntä kehää) (15) H i = θ i Ed (kun pilari on osa jäykistettyä kehää) (16) Ed on normaalivoiman mitoitusarvo KUVA. Poikittaisvoiman vaikutuspisteet eri tuentatavan omaavissa pilareissa. (Leskelä 008, 117)..7 Epälineaarinen analyysi Rakennesuunnittelussa käytetään usein nimitystä. kertaluvun vaikutus, kun tarkoitetaan geometrisen epälineaarisuuden vaikutuksia. imityksellä. kertaluvun vaikutus pyritään ilmaisemaan eroa lineaariseen käyttäytymiseen, jossa kuormituksen kasvaessa myös rakenteiden siirtymät kasvavat samassa suhteessa.. kertaluvun vaikutus on kuitenkin terminä harhaanjohtava, sillä rakenteen epälineaarinen käyttäytyminen voi johtua myös materiaalien epälineaarisesta käyttäytymisestä tai reunaehdoista. (Leskelä 008, 6.) Materiaalin epälineaarisuus tarkoittaa, että materiaalin konstitutiiviset yhtälöt ovat epälineaarisia. Reunaehtoihin liittyvä epälineaarisuus taas voi johtua esimerkiksi ns. kosketusongelmasta, jossa rakenteen ympäristöön tukeutuminen riippuu kuomituksen suuruudesta. Geometrinen epälineaarisuus tarkoittaa, että rakenteeseen aiheutuu kuormituksesta niin suuria siirtymiä, ettei yhteys niiden välillä ole enää riittävän tarkasti lineaarinen. (DIGMA) Tässä opinnäytetyössä tarvitsee tarkastella vain geometristä epälineaarisuutta. Pilarin hoikkuuden ollessa hoikkuusrajaa suurempi, täytyy geometrinen epälineaarisuus ottaa huomioon. Pilarin hoikkuus vähentää puristuskestävyyttä, koska epäkeskisen kuormituksen aiheuttama taipuma lisää edelleen epäkeskisyyttä ja muuttaa näin normaalivoiman ja momentin yhteisvaikutuksen epälineaariseksi, jolloin taivutusmomentti kasvaakin nopeain kuin normaalivoima. Pilarin päiden kiinnitykset ja tuennan reunaehdot vaikuttavat geometrisen epälineaarisuuden kriittisyyteen. Jos suuriat taipu-
15 (58) malisäykset eivät sijaitse kriittisissä leikkauksissa, ei pilarin puristuskestävyyskään juuri pienene. (Leskelä 008, 6.).7.1 imellisen kaarevuuden menetelmä Tässä opinnäytetyössä käytetään pilarin mitoituksessa nimelliseen kaarevuuteen perustuvaa menetelmää. Ensisijaisesti tämä menetelmä sopii erillispilareihin, joihin kohdistuva normaalivoima on vakiosuuruinen ja joiden tehollinen pituus l 0 tunnetaan. Taipumaan perustuva nimellinen lisämomentti M saadaan laskemalla taipuma nurjahduspituuden mukaan arvioitavan kaarevuuden maksimiarvon avulla. Seuraavassa on kuvattu laskentaprosessi, jossa lasketaan kaarevuuden maksimiarvo ja sitä kautta taipuman eli lisäepäkeskisyyden e arvo. Kaarevuuden laskemiseksi lasketaan ensin virumisaste, joka määritetään seuraavaksi. (Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu, 71.).7. Viruminen Betonin virumiseen vaikuttaa ympäristön kosteus, rakenneosan mitat ja betonin koostumus. Lisäksi siihen vaikuttaa betonin kovettumisaste kuormituksen alussa, kuormituksen kesto ja kuormituksen suuruus. (Suomen Betoniyhdistys 008, 3.) Virumaluku φ(t, t 0 ) voidaan määrittää standardin SFS-E 199-1-1 nomograeilla, mikäli betonin puristusjännitys σ c betonin kuormittamisiässä t 0 on enintään 0,45 f ck (t 0 ), ympäristön lämpötila on -40 C:n ja +40 C:n välillä sekä keskimääräisen suhteellisen kosteuden ollessa arvojen 40 %:n ja 100 %:n välillä. Jos betonin puristusjännitys kuormittamisiässä t 0 ylittää arvon 0,45 f ck (t 0 ), niin lasketaan virumaluvun φ(, t 0 ) korvaava epälineaarinen virumaluku φ nl (, t o ). (Suomen Betoniyhdistys 008, 3.): φ nl (, t 0 ) = φ(, t 0 ) (1,5(k σ 0,45)) (17) k σ = σ c f ck (t 0 ) f ck (t 0 ) on betonin puristuslujuuden ominaisarvo kuormittamisiässä t 0 omograia käytetään seuraavalla tavalla. Ensiäiseksi piirretään vasempaan käyrästöön vaakasuora viiva alkamaan kuormittamisiästä t 0. Tämä vaakasuora viiva piirretään käyrään S (hitaasti kovettuva sementti), (normaalisti kovettuva sementti) tai R (nopeasti kovettuva sementti) rakenteessa käytettävän sementtityypin mukaan. Seuraavaksi yhdistetään edellä piirretyn viivan ja sementtityypin käyrän leikkauspiste origoon. Tämän jälkeen piirretään oikeanpuoleiseen käyrästöön pystyviiva alkamaan rakenteen muunnetusta hoikkuudesta h 0. Seuraava viiva piirretään vaakaan edellisen viivan ja betonin lujuusluokkaa kuvaavan käyrän leikkauspisteestä. Tämä viiva piirretään vaseanpuoleiseen käyrästöön piirrettyyn vinoviivaan asti. Viimeinen viiva piirretään näiden viivojen leikkauspisteestä kohtisuoraan alas, josta saadaan virumaluku. Alla olevassa kuviossa 1
16 (58) selvennetään vielä nomograin käyttöä. Kuvion 1 tapauksessa virumaluku on φ(, 5d),3. (Suomen Betoniyhdistys 013, 46.) KUVIO 1. Viruman mitoitusnomograit sisätiloissa sijaitseville rakenneosille, jossa RH=50 %. Muokattu lähteestä (Suomen Betoniyhdistys 008). KUVIO. Viruman mitoitusnomograit ulkotiloissa sijaitseville rakenneosille, jossa RH=80 % (Suomen Betoniyhdistys 008). Jos rakenneosaan vaikuttavat olosuhteet eriävät edellämainitusta, tulee virumaluku laskea standardin SFS-E 199-1-1 liitteen B avulla. Liitteessä esitetyillä kaavoilla voidaan tarkastella virumisen kehittymistä myös ajan myötä. Liitteessä B virumaluku φ(t, t 0 ) saadaan kaavasta: φ(t, t 0 ) = φ 0 β c (t, t 0 ) (18) imelliselle virumaluvulle φ 0 lasketaan likiarvo kaavalla:
17 (58) φ 0 = φ RH β(f cm ) β(t 0 ) (19) φ RH on suhteellisen kosteuden huomioiva kerroin, joka saadaan kaavoista: φ RH = 1 + 1 RH/100 3 kun f 0,1 h cm 35 MPa 0 φ RH = [1 + 1 RH/100 3 α 0,1 h 1 ] α kun f cm > 35 MPa 0 RH β(f cm ) = 16,8 f cm f cm α 1 = [ 35 f cm ] 0,7 α = [ 35 f cm ] 0, β(t 0 ) = 1 (0,1+t 0 0,0 ) on ympäristön suhteellinen kosteus prosentteina on betonin lujuuden huomioiva kerroin on betonin keskimääräinen puristuslujuus [MPa] 8 vuorokauden iässä on betonin lujuuden vaikutuksen huomioiva kerroin on betonin lujuuden vaikutuksen huomioiva kerroin on kuormituksen alkamisajan huomioiva kerroin h 0 = A c u A c u on poikkileikkauksen muunnettu paksuus on betonipoikkileikkauksen pinta-ala on poikkileikkauksen piirin osan pituus, joka on altis haihtumiselle Kuormittumisen jälkeen tapahtuvaa virumisen kehittymistä kuvaavan kertoimen β c (t, t 0 ) likiarvo saadaan seuraavalla kaavalla: β c (t, t 0 ) = [ (t t 0 ) (β H +t t 0 ) ]0,3 (0) t on betonin ikä vuorokausina tarkasteluajankohtana t t 0 on kuormituksen kesto vuorokausina β H on suhteellisesta kosteudesta ja poikkileikkauksen muunnetusta pak suudesta riippuva kerroin, joka saadaan kaavoista: β H = 1,5[1 + (0,01RH) 18 ]h 0 + 50 1500 β H = 1,5[1 + (0,01RH) 18 ]h 0 + 50 α 3 1500 α 3 kunf cm 35 MPa kun f cm 35 MPa α 3 = [ 35 f cm ] 0,5 on betonin lujuuden vaikutuksen huomioiva kerroin Sementtityypin vaikutus betonin virumaan otetaan huomioon muuntamalla kuormittumisikää t 0 seuraavalla kaavalla: t 0 = t 0,T ( +t 1, + 1) 0,T 9 α 0,5 (1)
18 (58) t 0,T on betonin lämpötilakorjattu ikä vuorokausina kuormittumishetkellä t 0, joka lasketaan alla α on sementin tyypistä riippuva eksponentti. S-tyypin sementille α = 1, -tyypin sementille α = 0 ja R-tyypin sementille α = 1 Betonin kovettumisnopeuteen vaikuttavan korkean tai matalan lämpötilan välillä 0 C ja 80 C vaikutus huomioidaan korjaamalla betonin ikää kaavalla: t T = e ( 4000 n [73+T( t i )] 13,65) i=1 t i () T( t i ) on lämpötila [ C] aikavälillä t i t i on aika vuorokausina, jonka betoni on lämpötilassa T (Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu, 198-199.).7.3 Kaarevuus Muuttumattoman syetrisen poikkileikkauksen omaaville pilareille voidaan käyttää kaavaa: 1 r = K r K φ 1 r 0 (3) K r K φ on normaalivoimasta riippuva korjauskerroin on virumisen huomioiva kerroin 1/r 0 = ε yd /(0,45 d) d = h d c on pilarin poikkileikkauksen tehollinen korkeus h on pilarin halkaisija d c on pääteräksen keskiöetäisyys betonin reunasta ε yd = f yd /E s on teräksen mitoitusvenymä kioisalla alueella f yd E s on teräksen mitoituslujuus on harjateräksen kiokerroin ormaalivoiman huomioivalle korjauskertoimelle K r käytetään kaavaa: K r = (n u n)/(n u n bal ) 1 (4) n on suhteellinen normaalivoima, joka saadaan kaavasta: n = Ed /(A c f cd ) Ed on normaalivoiman mitoitusarvo
19 (58) n u = 1 + ω n bal = 0,4 ω = A s f yd A c f cd A s A c f cd on suhteellisen normaalivoiman arvo taivutuskestävyyden maksimiarvolla on mekaaninen raudoitussuhde on raudoituksen kokonaisala on betonipoikkileikkauksen kokonaisala on betonin puristuslujuuden mitoitusarvo Virumisen vaikutuksen huomioon ottava kerroin K φ saadaan kaavasta: K φ = 1 + β φ ef 1 (5) β = 0,35 + f ck 00 λ 150 λ f ck on hoikkuusluku on betonin lieriölujuuden ominaisarvo φ ef = φ(, t 0 ) M 0Eqp M 0Ed on virumisaste M 0Eqp on lineaarisen analyysin käyttörajatilan momentti M 0Ed on lineaarisen analyysin murtorajatilan momentti (Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu, 7-73.).8 Taivutusmomentit Jos geometristen rakennepoikkeamien vaikutukset huomioidaan poikittaisvoimana H i niin mitoitusmomentti M Ed saadaan kaavasta (Leskelä 008, 41-4.): M Ed = M 0Ed + M Ed.H + M (6) M 0Ed = e 0 Ed on ulkoisen kuormituksen aiheuttama taivutusmomentin lineaarinen mitoitusarvo, kun kyseessä on mastopilari M 0Ed = (0,6 e 0 + 0,4 e 01 ) Ed kun kyseessä on päistään niveltuettu pilari M 0Ed = 0,4 e 0 Ed kun pilari on toisesta päästä jäykkä ja toisesta nivelletty
0 (58) M Ed.H on epäkeskisyyttä kuvaavan poikittaisvoiman aiheuttama taivutusmomentti, jonka laskukaava vaihtelee tukemistapauksen mukaan M = e Ed e = (1 r ) l 0 1 r l 0 c c on epälineaarisesta analyysistä saatu lisätaivutusmomentti (Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu, 71). on epälineaarisesta analyysistä saatu taipuma on kaarevuus, ks. kohta.6.3 on pilarin nurjahduspituus on kerroin, joka riippuu kokonaiskaarevuuden jakautumasta. Vakiopoikkileikkauksen omaavalla pilarilla arvo on normaalisti 10, mutta lineaarisen analyysin momentin ollessa vakio, on syytä valita pienempi arvo, kuitenkin vähintään 8 (Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu, 7). Poikittaisvoiman H i aiheuttama momentti M Ed,H lasketaan kaavoilla: M Ed.H = H i l M Ed.H = H i l kun kyseessä on mastopilari kun kyseessä on päistään niveltuettu pilari Pilarissa, joka on tuettu toisesta päästä jäykästi ja toisesta nivelellisesti, saadaan kaksi eri taivutusmomentin arvoa kaavoista: M Ed.H1 = 0,35 H i l M Ed.H = 0,307 H i l H i l on rakennepoikkeamat huomioiva poikittaisvoima on pilarin pituus Jos geometristen rakennepoikkeamien vaikutukset huomoidaan mittapoikkeamana e i niin mitoitusmomentti M Ed saadaan kaavasta: M Ed = M 0Ed + M (7) M 0Ed = (e 0 + e i ) Ed on ulkoisen kuormituksen aiheuttama taivutusmomentin lineaarinen mitoitusarvo, jossa on mukana geometristen rakenne-
1 (58) poikkeamien vaikutukset, kun kyseessä on mastopilari M 0Ed = (0,6 e 0 + 0,4 e 01 + e i ) Ed kun kyseessä on päistään niveltuettu pilari M 0Ed = (0,4 e 0 + e i ) Ed kun pilari on toisesta päästä jäykkä ja toisesta nivelletty M = e Ed KUVA 5. Alkuepäkeskisyyden sekä poikittaisvoiman H i aiheuttamat momentit eri tuenta- tapauksissa. (Leskelä 008, 4)..9 ormaalivoiman ja taivutusmomentin yhteisvaikutus ormaalivoiman Ed ja taivutusmomentin M Ed yhteisvaikutus on aina sama kuin normaalivoimalla Ed, jonka epäkeskisyys e d = M Ed Ed. Kestävyys yhteisvaikutusta vastaan saavutetaan joko terästen vetoplastisoitumisen tai betonin puristusmurtumisen seurauksena. (Leskelä 008, 13, 3.) Huomioitavaa on, että vetoteräkset voivat olla myös puristettuina. Lisäksi täytyy huomioida, että lähempänä neutraaliakselia sijaitsevat teräkset eivät yleensä plastisoidu. Myöskään kauiaiset vetoteräkset eivät aina pastisoidu. Kestävyyttä laskiessa tulee siis ottaa huomioon, että teräkset eivät anna samaa jännitysresultanttia poikkileikkauksen eri kohdissa ja poikkileikkauksen eri murtumistapauksissa. Kaikkien edellämainittujen tapausten laskemiseksi tarvitaan tietokoneohjelma, koska mitoituslausekkeet muodostuvat liian monimutkaisiksi käsin laskettavaksi. (Juvonen 014, 49.) Käytännön mitoituksessa poikkileikkauksen kestävyyden arvot luetaan valmiiksi laadituista yhteisvaikutusdiagraeista. Yhteisvaikutusdiagraissa esitetään kaikki normaalivoiman ja taivutusmomentin arvoparit, jotka tuottavat poikkileikkauksen murtumisen. Yleensä yhteisvaikutusdiagrait esitetään dimensiottomien koordinaattien avulla, kuten kuvassa 6. Pystyakselilla on suhteellinen normaalivoima ν ja vaaka-akselilla suhteellinen taivutusmomentti μ. (Leskelä 008, 16-17.)
(58) KUVA 6. Pyöreän poikkileikkauksen yhteisvaikutusdiagrai (Betonirakenteiden suunnitteluohje:ril-0-011/by61, 98). Likimääräisen yhteisvaikutusdiagrain laskeminen onnistuu käsinkin erikoispisteiden A, B, C ja D avulla. äissä pisteissä poikkileikkauksen venymät on yksikäsitteisesti tunnettu. (Leskelä 008, 16.) Likimääräinen yhteisvaikutusdiagrai lasketaan kohdassa 4.3..10 Raudoitusten määrittäminen Raudoitusten määrittämiseksi dimensiottomasta yhteisvaikutusdiagraista täytyy normaalivoiman ja momentin mitoitusarvot muuttaa suhteellisiksi. Suhteellinen normaalivoima lasketaan kaavalla: ν = Ed π h 4 f cd (8)
3 (58) Ed h f cd on normaalivoiman mitoitusarvo on pilarin halkaisija on betonin mitoituslujuus Suhteellinen momentti saadaan kaavasta: μ = M Ed M Ed π h 4 h f cd on taivutusmomentin mitoitusarvo (9) Suhteelliset arvot muodostavat pisteen yhteisvaikutusdiagraissa. Mekaaniseksi raudoitussuhteeksi ω valitaan vähintään se arvo, jolla käyrä kiertää mitoitettavan pilarin pisteen ulkopuolelta. Mekaanisen raudoitussuhteen kaava pyöreälle poikkileikkaukselle: ω = A s f yd A s π h f yd f cd 4 on poikkileikkauksessa tarvittava pääterästen poikkileikkausala on teräksen mitoituslujuus (30) (Betonirakenteiden suunnitteluohje: RIL-0-011/by61, 98.) Tästä voidaan laskea edelleen geometrinen raudoitussuhde ja tarvittava teräsmäärä: ρ = ω f cd f yd ρ min A s = ρ π h 4 = ρ A c (31) A c (Juvonen 014, 50.) on betonipoikkileikkauksen pinta-ala Lisäksi teräsmäärää A s rajoittavat teräspinta-alan minimi- ja maksimiarvon määrittävät ehdot: 0,10 Ed (3) A s,min = maks { f yd 0,00 A c A s,max = 0,06 A c (33) Pyöreässä pilarissa pääterästen lukumäärän tulee olla vähintään kuusi kappaletta ja pääteräksen halkaisijan vähintään 8.
4 (58) Hakaterästen halkaisija määritetään seuraavalla tavalla (Eurocodes.fi.): 6 φ haka = maks { 1 φ 4 päätanko (34) Hakaväliksi valitaan pienin seuraavista: s cl,tmax = min { 15 φ päätanko 400 (35) Pilarin päissä hakavälin maksimiarvoa pienennetään kertoimella 0,6 pilarin halkaisijan mittaisella matkalla (Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu, 160).
5 (58) 3 ORMAALIVOIMA JA TAIVUTUSMOMETI YHTEISVAIKUTUKSE AALYSOITIA 3.1 Betonin materiaaliominaisuudet Betonin puristuslujuuden mitoitusarvo lasketaan seuraavalla kaavalla: f cd = α cc f ck /γ c (36) f ck γ c α cc on betonin puristuslujuuden ominaisarvo on betonin osavarmuuskerroin on kerroin, joka huomioi pitkäaikaisvaikutuksen puristuslujuuteen ja kuormitustapauksen epäsuotuisat vaikutukset. Suomessa käytetään arvoa 0,85 Betonin jännitys σ c voidaan ilmaista seuraavilla kaavoilla: σ c = f cd [1 (1 ε c ) n ] ε c kun ε c ε c 0 σ c = f cd kun ε cu ε c ε c (37) σ c = 0 MPa kun ε c > 0, koska poikkileikkausta tarkasteltaessa betonin vetolujuuden arvo on merkityksetön n on eksponentti, joka saadaan taulukosta 3. ε c ε cu ε c (Smolčić ja Grandić 01-0-15.) on betonin puristuma poikkileikkauksen painopisteessä, kun betonin puristuslujuus on saavutettu. Puristuman arvona käytetään, kun f ck 50 MPa. on betonin reunapuristuman maksimiarvo, joka on 3,5, kun f ck 50 MPa on betonin puristuma tarkasteltavassa pisteessä
6 (58) KUVIO 3. Betonin jännitys-venymäkuvaaja betonin puristukselle (Smolčić ja Grandić 01-0-15). TAULUKKO 3. Betoniin liittyviä normiarvoja (Smolčić ja Grandić 01-0-15) Taulukossa 3 esitettyjen venymien ja potenssin n arvot saadaan laskettua seuraavilla kaavoilla: (Elementtisuunnittelu.fi). ε c = 0,00 f ck 50 MPa, { n = ε cu = 0,0035 50 MPa f ck 90 MPa, { ε c = ( + 0,085(f ck 50) 0,53 ) 10 3 n = 1,4 + 3,4 ( 90 f ck 100 )4 ε cu = (,6 + 35 ( 90 f ck 100 )4 ) 10 3 (38) (39) 3. Harjateräksen materiaaliominaisuudet Terästen jännitys σ s lasketaan seuraavilla kaavoilla (Smolčić ja Grandić 01-0-15.): σ s = f yd kun ε ud ε s ε yd σ s = ε s E s kun ε yd < ε s < ε yd (40) σ s = f yd kun ε yd ε s ε ud
7 (58) ε ud ε yd ε s E s f yd on myödössä olevan teräksen rajoitettu venymä, joka on 10 (kun käytetään nousevaa käyrää, jossa teräksen annetaan mennä myötöön) (Suomen Betoniyhdistys 013, 51). on teräksen kioisan venymän maksimi mitoitusarvo, ε yd = f yd /E s on teräksen venymä tarkasteltavassa pisteessä on harjateräksen kiokerroin, joka on 00 000 MPa on teräksen mitoitusvetolujuus KUVIO 4. Teräksen jännitys-venymäkuvaaja, josta huomataan teräksen veto- ja puris- tuslujuuden olevan samanarvoiset (Smolčić ja Grandić 01-0-15). Mitoituksessa voidaan käyttää kuviossa 4 kirjaimella B esitettyjä käyriä. Yleässä käyrässä jännitysvenymäriippuvuus kasvaa myödössä, joten venymä on rajoitettava 1,0 %:iin ettei teräksen mitoituslujuus kasva kohtuuttoman suureksi. Alempaa käyrää, eli vaakasuoraa jännitysvenymäriippuvuutta käytettäessä venymää ei tarvitse rajoittaa. Tässä työssä käytetään vaakasuoraa käyrää, koska nousevassa käyrässä terästen lujuuden laskeminen myötötilassa on hankalaa, sillä sen laskemiseksi tarvitaan kerroin k, joka ilmaisee teräksen murto-myötö suhteen. Kertoimen k laskemiseksi tarvitaan siis teräksen murtolujuuden arvo f t, joka pitäisi aina tarkistaa erikseen kussakin teräslaadussa. (Suomen Betoniyhdistys 013, 49-51.) 3.3 Yhteisvaikutusdiagrain laatiminen integroimalla Seuraavassa käydään läpi yhteisvaikutusdiagrain laskemiseksi tarvittavat integraaliyhtälöt symbolisesti. Lopullisissa integraaliyhtälöissä terästen ja betonin jännitykset muuttuvat paikallisen kaarevuuden κ mukaan, joka taas muuttuu integraaliyhtälöissä esiintyvän z: n mukaan. Tämän vuoksi numeerinen ratkaisu käsin laskemalla on liian raskasta ja siksi niiden laskemiseksi tarvitaan numeerisia integraaleja ratkova tietokoneohjelma, kuten MathCAD. (Smolčić ja Grandić 01-0-15).
8 (58) 3.3.1 Poikkileikkauksen muodonmuutokset Betonin puristuma tarkasteltavassa pisteessä lasketaan kaavalla: ε c = ε c,ed + κ ( h + z) (41) ε c,ed h z κ on betonin reunapuristuma on poikkileikkauksen halkaisija on poikkileikkauksen painopisteen ja tarkasteltavan pisteen välinen etäisyys on poikkileikkauksen paikallinen kaarevuus, joka saadaan kaavasta: κ = ε s1 ε c,ed d ε s1 d on teräksen venymä vedetyssä reunassa on poikkileikkauksen tehollinen korkeus Teräksen venymä tarkasteltavassa pisteessä lasketaan kaavalla: ε s = ε c,ed + κ ( h + z) = ε c,ed + κ ( h + r s cosα) (4) r s = r d 1 r d 1 on teräksen keskiön etäisyys poikkileikkauksen painopisteeseen on poikkileikkauksen säde on teräksen keskiöetäisyys betonin pinnasta KUVIO 5. Pyöreä poikkileikkaus ja siihen kohdistuvien voimien aiheuttamat jännitys- ja venymäjakaantumat (Smolčić ja Grandić 01-0-15).
9 (58) KUVIO 6. Mahdolliset muodonmuutoksen jakaumat murtorajatilassa. Pisteellä A kuvataan betoniteräksen venymärajaa, pisteellä B betonin reunapuristumarajaa ja pisteellä C keskisesti puristetun betonin puristumarajaa. (Smolčić ja Grandić 01-0-15.) 3.3. Puristetun betonin sekä puristus- ja vetoterästen differentiaaliset pinta-alat Betonin differentiaalinen alue saadaan seuraavalla kaavalla (Smolčić ja Grandić 01-0-15.): da c = b(z) dz = ( r z )dz (43) b(z) on z:n funktiona muuttuva alueen leveys Teräksen differentiaalinen alue saadaan seuraavalla kaavalla: da s = A s ds = A s (r r s π r s π s dα) = A s dα (44) π KUVIO 7. Poikkileikkauksen betonin ja raudoituksen differentiaaliset pinta-alat (Smolčić ja Grandić 01-0-15).
30 (58) 3.3.3 Poikkileikkauksen sisäiset jännitysresultantit Poikkileikkauksessa vaikuttavat jännitysresultantit saadaan kertomalla kunkin tarkasteltavan pisteen differentiaalinen pinta-ala kussakin pisteessä vaikuttavalla jännityksellä. Betonin puristusresultantti saadaan integraalista: h F cd = σ A c c da c = h σ c [( r z )dz] (45) Terästen jännitysresultantti saadaan integraalista: π F sd = σ A s s da s = σ 0 s A s r ( A s dα) (46) π on poikkileikkauksen terästen kokonaispinta-ala on poikkileikkauksen säde Kohdan 3. venymien merkkisäännöistä johtuen terästen jännitysresultantista tulee negatiivinen, kun yli puolet teräspinta-alasta on vedossa ja positiivinen, kun yli puolet teräksistä on puristettuna. (Smolčić ja Grandić 01-0-15.) 3.3.4 ormaalivoima- ja momenttikestävyys ormaalivoiman ja taivutusmomentin yhtäaikaisesti rasittaman poikkileikkauksen tulee täyttää seuraavat ehdot: Ed Rd (47) M Ed M Rd Ed M Ed Rd M Rd on normaalivoiman mitoitusarvo on taivutusmomentin mitoitusarvo on poikkileikkauksen normaalivoimakestävyys on poikkileikkauksen taivutuskestävyys Poikkileikkauksen normaalivoimakestävyydeksi saadaan betonin ja teräksen voimaresultanttien sua: Rd = F cd + F sd (48) joten normaalivoimalle seuraa ehto Ed F cd + F sd (49)
31 (58) kun edelliseen lisätään jännitysresultanttien integraaliyhtälöt saadaan: Ed h h π 0 σ c [( r z )dz] + σ s ( A s π dα) (50) muutetaan normaalivoima suhteelliseksi normaalivoimaksi jakamalla edellinen lause tekijällä A c f cd, jolloin kaava saadaan seuraavaan muotoon: Ed A c f cd h h σ c [( r z )dz] A c f cd + A s f yd A c f cd π 0 σ 1 s ( π dα) f yd (51) Koska suhteellisen normaalivoiman kaava on: ν Ed = Ed A c f cd ja mekaanisen raudoitussuhteen kaava on: ω = A s f yd A c f cd ja edelleen Ed = Rd, saadaan suhteellisen normaalivoiman ratkaisut yhtälöstä: ν Ed = h h σ c [( r z )dz] π 0 A c f cd + ω σ s ( 1 π dα) f yd (5) Poikkileikkauksen momenttikestävyys saadaan, kun lisätään normaalivoimakestävyyden kaavaan sisäiseksi momenttivarreksi z, joka on poikkileikkauksen keskipisteen ja tarkasteltavan pisteen välinen etäisyys. Momenttikestävyyden kaava tulee muotoon: M Rd = h h π 0 σ c z [( r z )dz] + σ s z ( A s π dα) (53) muutetaan kaava vielä integroitavaan muotoon: M Rd = h h π 0 σ c z [( r z )dz] + σ s (r s cosα) ( A s π dα) (54) Kuten edellä todettiin M Ed M Rd, joten: M Ed h h π 0 σ c z [( r z )dz] + σ s (r s cosα) ( A s π dα) (55)
3 (58) Muutetaan yhtälö suhteellisen momentin yhtälöksi jakamalla se tekijällä A c h f cd : M Ed A c h f cd h h σ c z [( r z )dz] A c h f cd + A s f yd A c f cd π 0 σ 1 s (r s cosα) ( π dα) h f yd (56) yt yhtälöön saadaan sisällytettyä mekaaninen raudoitussuhde ω sekä suhteellinen momentti, jonka kaava on μ Ed = M Ed A c h f cd : μ Ed = h h σ c z [( r z )dz] (Smolčić ja Grandić 01-0-15.) π 0 1 + ω σ s (r s cosα) ( π dα) (57) A c h f cd h f yd 3.4 Yhteisvaikutusdiagrain laatiminen erikoispisteiden A,B,C ja D avulla Likimääräinen yhteisvaikutusdiagrai voidaan helposti laatia erikoispisteiden avulla, joiden muodonmuutoskuvaajat on yksikäsitteisesti tunnettu. Erikoispisteessä A poikkileikkausta rasittaa keskeinen normaalivoima, joka saa aikaan puristuman ja M Ed = 0. Pisteelle A voidaan kirjoittaa yleispätevä normaalivoimakestävyyden kaava myös pyöreän pilarin tapauksessa. Rd,A = f cd (A c A s ) + A s σ s (58) A c A s f cd σ s on poikkileikkauksen pinta-ala on poikkileikkauksen terästen pinta-ala on betonin mitoituslujuus on terästen jännitys puristumalle Erikoispisteessä D poikkileikkausta rasittaa epäkeskinen normaalivoima siten, että toinen reunapuristuma on 0 ja vastakkaisen reunan puristuma on ε cu = 3,5. Pisteiden A ja D välillä ei siis esiinny vetojännityksiä. Erikoispisteessä B normaalivoiman epäkeskisyys on kasvanut niin suureksi, että tapahtuu tasapainomurtuminen, jolloin vetoteräs myötää ja puristuspuolen betoni murtuu yhtä aikaa. Vetoteräksen venymä riippuu teräksen lujuudesta, joten se ilmoitetaan muodossa ε y = f yd E s. Puristetun reunan puristuma on edelleen ε cu = 3,5. Pisteiden A ja B välillä tapahtuu siis puristusmurtuminen.
33 (58) Erikoispisteessä C tarkastellaan poikkileikkauksen puhdasta taivutuskestävyyttä, jolloin reunapuristuma on edelleen ε cu = 3,5 ja vetoteräksen venymä on rajoitettu arvoon ε ud = 10. Pisteiden B ja C välillä tapahtuu vetomurtumiset. (Leskelä 008, 17.) 3.4.1 Puristetun pinta-alan laskeminen geometrisesti Pyöreän betonipoikkileikkauksen puristetun segmentin ala saadaan laskemalla ensin janojen OA ja OB rajaaman sektorin pinta-ala ja vähentämällä tästä keskuskolmion pinta-ala. KUVIO 8. Pyöreän betonipoikkileikkauksen puristettu osa rasteroituna (Hsiao 01) Janojen OA ja OB, sekä kaaren AB rajaaman sektorin pinta-ala saadaan laskettua seuraavalla kaavalla: ( h ) π ( α rad ) = α π rad ( h ) (59) 4 h α rad on poikkileikkauksen halkaisija on janan OA tai OB ja vaaka-akselin välinen kulma radiaaneina Janojen OA, OB ja AB rajaaman keskuskolmion pinta-ala lasketaan kaavalla: [ ( h ) sinα] [(h) cosα] 1 = h (sinα cosα) (60) 4 äin ollen puristetun segmentin pinta-ala A cc saadaan seuraavasti:
34 (58) A cc = α rad ( h ) h h (sinα cosα) = 4 4 (α rad 1 sinα) (61) 4 Pinta-alan laskentaan vaadittava kulma α saadaan kaavalla (Hsiao 01.) h α = cos 1 ( y y h ) (6) on betonin jännityssuorakaiteen korkeus 3.4. Puristetun segmentin pinta-alan ja painopisteen johtaminen trigonometrisin integraalein Puristetun segmentin pinta-ala saadaan nyt kaavalla: α A cc = ( h sinθ) 0 (h h sinθ) dθ = a sin θdθ 0 θ on kulman arvo 0:sta α:aan = h (α rad 1 sinα) (63) 4 Puristetun alueen painopisteen etäisyys koko poikkileikkauksen painopisteestä saadaan seuraavasta integraaliyhtälöstä johtamalla: (Hsiao 01.) X = a 0 ( h sinθ) (h cosθ) (h sinθ)dθ = A cc h 3 4 (sin3 α 3 ) A cc (64) 3.4.3 Poikkileikkauksen muodonmuutokset, jännitykset ja voimatasapaino Tarkastellaan poikkileikkauksen muodonmuutoksia tasapainomurtotilanteessa. Tällöin betonin reunapuristuma saa arvon 0,0035 (kunf ck 50 MPa) ja reuniainen vedetyistä teräksistä arvon: ε y = f yd E s. Kun poikkileikkausta tarkastellaan pääkoordinaatiston suhteen, ovat poikkileikkauksen vastakkaiset teräkset samassa linjassa. äin ollen teräkset voidaan jakaa vyöhykkeisiin ja niiden venymät saadaan ratkaistua muodonmuutoskuvaajasta. Muodonmuutoskuvaajaan syntyy kaksi yhdenmuotoista kolmiota, joiden avulla saadaan ratkaistua kaikki tarvittavat suureet.
35 (58) KUVIO 9. Pyöreän poikkileikkauksen muodonmuutoskuvaaja sekä voimakuvio. Poikkileikkauksen neutraaliakselin etäisyys puristetusta reunasta saadaan laskettua kaavalla: x b = 0,0035 0,0035+ε y d (65) d on poikkileikkauksen tehollinen korkeus (Hsiao, 01.) Betonin puristetun segmentin jännityssuorakaiteen korkeus lasketaan seuraavasti: y = λ x b (66) λ on 0,8 kun f ck 50 MPa (Leskelä 008, 197). Mikäli pilarissa mahdollisesti käytetään korkeampilujuuksista betonia, saadaan λ: n arvo laskettua seuraavalla kaavalla: λ = 0,8 f ck 50 00, kun 50 MPa f ck 90 MPa (67) Samoin voidaan laskea kerroin η, joka määrittää jännityssuorakaiteen tehollisen puristusjännityksen. (Elementtisuunnittelu.fi.) η = 1, kun f ck 50 MPa (68) η = 1,0 f ck 50 00, kun 50 MPa f ck 90 MPa Lisäksi pyöreän pilarin tapauksessa täytyy ottaa huomioon, että puristetun alueen leveys pienenee puristettua ulkoreunaa kohti, joten jännityssuorakaiteen intensiteettiä η f cd täytyy pienentää 10 %. (Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu, 37). Tämän vuoksi kuvan 6 jännityssuorakaiteen jännityksen arvo on 0,9 f cd. Poikkileikkauksessa esiintyvät voimat lasketaan seuraavaksi.
36 (58) Betonin puristussegmentin resultantti F c lasketaan kaavalla: F c = A cc (0,9 f cd ) (69) A cc f cd on poikkileikkauksen puristussegmentin pinta-ala on betonin mitoituslujuus Teräsvyöhykkeiden jännitysresultantit lasketaan seuraavasti: F st1 = A s f yd (70) A s on reuniaisen vetoteräsvyöhykkeen teräksen pinta-ala f yd = ε yd E s on teräksen jännityksen intensiteetti reuniaisessa vetoteräsvyöhykkeessä F st = A s ε s3 E s (71) A s ε s3 E s on keskeän vetoteräsvyöhykkeen terästen pinta-ala on kyseisen vyöhykkeen venymän arvo on harjateräksen kiokerroin 00 GPa Puristusvyöhykkeissä betonin lujuus vähennetään terästen alalta, koska puristussegmenttiä laskettaessa betonipoikkileikkaus ajatellaan yhtenäiseksi. F sc1 = A s ((ε s1 E s ) f cd ) (7) A s ε s1 on reuniaisen puristusteräsvyöhykkeen teräksen pinta-ala on kyseisen vyöhykkeen puristuman arvo F sc = A s ((ε s E s ) f cd ) (73) A s ε s on keskeän puristusteräsvyöhykkeen terästen pinta-ala on kyseisen vyöhykkeen puristuman arvo Lopuksi lasketaan poikkileikkauksen kestävyys normaalivoiman ja taivutusmomentin yhteisvaikutusta vastaan kyseisessä pisteessä, joka tässä tapauksessa on tasapainomurto. Kestävyydet saadaan statiikan laskusääntöjen avulla seuraavasti. (Hsiao, 01.) ormaalivoimakestävyys epäkeskistä puristusta vastaan lasketaan poikkileikkauksen voimaresultanttien suana, jossa puristusvoimat merkitään positiivisiksi:
37 (58) Rd = F c + F sc1 + F sc F st1 F st (74) Momenttikestävyys epäkeskisen puristuksen aiheuttamaa taivutusta vastaan saadaan momenttiehdosta poikkileikkauksen painopisteen suhteen: M Rd = F c X + (F sc1 + F st1 ) (x + x 3 ) + (F sc + F st ) (75) 3.4.4 Poikkileikkaus, jossa vähän pystyteräksiä Tasaisesti raudoitettu pyöreä teräsbetonipoikkileikkaus kestää normaalivoiman ja momentin yhteisvaikutusta kuankin pääkoordinaattiakselin suhteen lähes yhtä hyvin, kun pystyterästen määrä on suuri. Kun pystyterästen määrää vähennetään, niin tietyillä pystyteräsmäärillä muuttuu myös poikkileikkauksen kestävyysominaisuudet pääkoordinaattiakselien suhteen tarkasteltuna, koska teräksiä ei saa asetettua molempien akselien suhteen syetrisesti. Pyöreän poikkileikkauksen minimi pystyterästen määrä on kuusi kappaletta. Tällöin x- ja y-akselin suhteen saatavat normaalivoima- ja taivutuskestävyyden arvot eroavat toisistaan jo huomattavasti. Tästä syystä harvaan raudoitetun poikkileikkauksen yhteisvaikutuskestävyyttä on perusteltua tarkastella kuankin akselin suhteen. (Hsiao, 01.) 3.4.5 Esimerkkilasku kuuden pystyteräksen poikkileikkauksesta Lasketaan esimerkkinä tasapainomurtotapahtuma molempien akselien suhteen halkaisijaltaan 380 :n poikkileikkaukselle, jossa kuusi 0 :n pystyterästä tasaisesti jaettuna. Harjateräksen mitoituslujuus f yd = 434,78 / ja betonin mitoituslujuus f cd =,67 /. Tapauksessa A kaikki teräkset sijaitsevat välimatkan päässä akselista, jonka suhteen momenttia tarkastellaan. Tapauksessa B taas keskiäinen teräsvyöhyke sattuu juuri tuon akselin kohdalle.
38 (58) KUVIO 10. Sama poikkileikkaus eri akseleiden suhteen tarkasteltuna. Tapaus A: eutraaliakselin etäisyys puristetusta reunasta x b : x b = 0,0035 d = 0,0035+ f yd Es 0,0035 0,0035+0,00174 (339 ) = 09,1 Betonin jännityssuorakaiteen korkeus y: y = 0,8 09,1 = 167,3
39 (58) Betonin jännityssegmenttiin liittyvä kulma α: h α = cos 1 ( y h ) = cos 1 ( Betonin puristusjännityssegmentin pinta-ala A cc : 380 167,3 380 ) = 83,14 = 1,45 rad A cc = h (α rad 1 4 (380 ) sinα) = ( 1,45 1 sin166,03 ) = 47987 4 Puristusjännityssegmentin painopisteen etäisyys poikkileikkauksen painopisteestä X: X = h 3 4 (sin3 α 3 ) A cc = (380 ) 3 4 ( sin3 83,14 ) 3 47987 = 93,6 Teräsvyöhykkeiden venymät: 0,0035 = x b (09,1 41 ) 0,0035 ε ε s1 x b x s1 = = 0,00814 1 09,1 0,0035 ε s = ε s4 ε s3 = x b ε (09,1 (41 +74,5 )) 0,0035 x b (x 1 +x ) s = = 0,0015667 09,1 d x b (339 09,1 74,5 ) 0,00174 ε d x b x s3 = = 0,00097 339 09,1 ε s4 = 0,00174 = f yd E s Terästen jännitykset vyöhykkeittäin: σ s1 = ε s1 E s = 0,00814 00000 = 56,8 σ s1 = 434,78 / σ s = ε s E s = 0,0015667 00000 σ s3 = ε s3 E s = 0,00097 00000 σ s4 = f yd = 434,78 / = 313,3 / = 185,4 / Teräsvyöhykkeiden jännitysresultantit: F sc1 = A s1 σ s1 = π (10 ) 434,78 F sc = A s σ s = (π (10 ) ) 313,3 F st = A s3 σ s3 = (π (10 ) ) 185,4 F st1 = A s4 σ s4 = π (10 ) 434,78 = 136,6 k = 196,9 k = 116,5 k = 136,6 k Betonin puristusjännitysresultantti F c : F c = 0,9 f cd (A cc (A s1 + A s )) F c = 0,9,67 (47987 (3 π (10 ) )) = 959,8 k
40 (58) Rd = F c + F sc F st = (959,8 + 136,6 + 196,9 116,5 136,6)k = 1040, k M Rd = F c X + (F sc + F st ) x 3 + (F sc1 + F st1 ) (x + x 3 ) M Rd = 959,8 k 0,0913 m + (196,9 k + 116,5 k) 0,0745 m + (136,6 k + 136,6 k) (0,0745 m + 0,0745 m) = 151,6 km Tapaus B: eutraaliakselin etäisyys puristetusta reunasta x b : x b = 0,0035 d = 0,0035+ f yd Es 0,0035 0,0035+0,00174 (319,04 ) = 196,8 Betonin jännityssuorakaiteen korkeus y: y = 0,8 196,8 = 157,4 Betonin jännityssegmenttiin liittyvä kulma α: h α = cos 1 ( y h ) = cos 1 ( Betonin puristusjännityssegmentin pinta-ala A cc : 380 157,4 380 ) = 80,1 = 1,39 rad A cc = h (α rad 1 4 (380 ) sinα) = ( 1,39 1 sin160,4 ) = 44077 4 Puristusjännityssegmentin painopisteen etäisyys poikkileikkauksen painopisteestä X: X = h 3 4 (sin3 α 3 ) A cc = (380 ) 3 4 ( sin3 80,1 ) 3 44077 = 99,0 Teräsvyöhykkeiden venymät: 0,0035 = x b (196,8 60,96 ) 0,0035 ε ε s1 x b x s1 = = 0,00416 1 196,8 0,0035 ε s = x b ε (196,8 (60,96 +19,04 )) 0,0035 x b (x 1 +x ) s = = 0,00011 196,8 ε s4 = 0,00174 = f yd E s Terästen jännitykset vyöhykkeittäin: σ s1 = ε s1 E s = 0,00416 00000 = 483, σ s1 = 434,78 /
41 (58) σ s = ε s E s = 0,00011 00000 σ s3 = f yd = 434,78 / = 4, / Teräsvyöhykkeiden jännitysresultantit: F sc1 = A s1 σ s1 = (π (10 ) ) 434,78 F sc = A s σ s = (π (10 ) ) 4, F st1 = A s3 σ s3 = (π (10 ) ) 434,78 = 73, k = 15, k = 73, k Betonin puristusjännitysresultantti F c : F c = 0,9 f cd (A cc A s1 ) F c = 0,9,67 (44077 ( π (10 ) )) = 886,5 k Rd = F c + F sc F st = (886,5 + 73, + 15, 73,)k = 901,7 k M Rd = F c X + (F sc1 + F st1 ) x M Rd = 886,5 k 0,0975 m + (73, k + 73, k) 0,1904 m = 156,7 km Tulokset: A: Rd = 1040, k, M Rd = 151,6 km B: Rd = 886,5 k, M Rd = 156,7 km
4 (58) 4 MITOITUSESIMERKKI 4.1 Laskennan lähtötiedot Opinnäytetyössä laskettava pilari on todellisesta kerrostalokohteesta, jossa Sormunen & Timonen Oy toimii rakennesuunnittelijana. Pilari tukeutuu alapäästään suoraan anturaan. Pilarin päälle tulee parvekelaatta, jonka päälle tulee edelleen parvekkeen pielielementit, jotka myös välittävät kuormia. Pilari on tuentatavaltaan päistään nivelletty KUVA 15. Mitoitettava pilari SORTIM Pilarin lähtötiedot: Pituus: 415 Halkaisija: 380 Rasitusluokka: XC3-XF1 Betonin lujuusluokka: C40/50
43 (58) Sementtityyppi: R Toteutusluokka: 3 Toleranssiluokka: Suunnittelukäyttöikä: 50 v Harjateräkset: A500HW RH: 80 % Ed: 75 k Käyttörajatilan kuorma: 30 k Teräsmäärä arvio A s =8T5=397 4. Mitoituksen kulku Pilarin nurjahduspituus l 0 : l 0 = l = 415 Pilarin jäyhyysmomentti I c : I c = πr4 4 π (190 ) 4 = = 1,03 10 9 4 4 Pilarin poikkileikkauksen pinta-ala A c : A c = πr = π (190) = 113411 Pilarin jäyhyyssäde i: i = I c /A c = 1,03 10 9 4 /113411 = 94,97 Pilarin hoikkuus λ: λ = l 0 i 415 = = 44,38 94,97 Betonipeitteen nimellisarvo c nom : c min määrääväksi arvoksi muodostui ympäristöolosuhteet, ks. taulukko 1. c dev suositusarvo 10 c nom = c min + c dev = 5 + 10 = 35
44 (58) Alkuepäkeskisyys e 0 : e o = max { h = 380 30 30 M d Ed = 7 = 1,667 e 0 = 7 0 Pilarin kulmapoikkeama: θ i = θ 0 α h α m θ 0 = 1 00 α h = l = 4,15 m = 0974; 3 α h 1 α m = 1 (1 + 1 m ) = 1 (1 + 1 1 ) = 1 joten θ i = 1 0,974 1 = 4,87 10 3 00 Pilarin perusepäkeskisyys e i : e i = θ i l 0 = 4,87 10 3 415 = 10,64 Hoikkuusrajan tarkistus λ lim : λ lim = λ lim = 0 A B C Ed /A c f cd 0 0,7 1,1 0,7 = 3,96 75000 /(113411,67 ) λ > λ lim epälineaarinen analyysi otettava huomioon Virumaluku φ(, t 0 ): kun joten RH 80 % nomograista saadaan: Kuormitusikä t 0 = 5d Muunnettu paksuus h 0 = A c u φ(, 5d) 1,8 113411 = = 190 π 190 Lineaarisen analyysin momentit: M 0Ed = (0,6 e 0 + 0,4 e 01 + e i ) Ed
45 (58) = (0,6 0,07 m + 0,4 0,07 m + 0,01064 m) 75 k = 10,48 km M 0Eqp = (0,6 e 0 + 0,4 e 01 + e i ) Ed,k = (0,6 0,07 m + 0,4 0,07 m + 0,01064 m) 30 k = 8,571 km Kaarevuus 1 r : joten 1 r = K r K φ 1 r 0 K r = n u n n u n bal 1 K φ = 1 + β φ ef 1 1/r 0 = ε yd /(0,45 d) n u = 1 + ω = 1 + A s f yd A c f cd = 397 434,78 / 113411,67 / = 1,664 n = Ed A c f cd = 75000 113411,67 / = 0,107 K r = 1.664 0,107 0,6364 0,4 = 6,58 1 β = 0,35 + f ck 00 λ 150 φ ef = φ(, 5d) M 0Eqp M 0Ed = 0,35 + 40 K φ = 1 + 0,846 1,5054 =,7 ε yd = f yd E s = 00 8,571 km + 44,38 150 = 0,846 = 1,8 = 1,5054 10,48 km 434,78 / 00000 / = 0,00174 d = h d c = 380 55,5 = 34,5 1 = 0,00174 1 = 1,489 10 5 r 0 0,45 34,5 1 r = 1,7 1,489 10 5 1 = 3,38 10 5 1 Pilarin lisäepäkeskisyys e : e = (1 r ) l 0 c = 3,38 10 5 1 (415 ) = 60,05 10 Lisätaivutusmomentti M : M = e ed = 0,06005 m 75 k = 16,514 km Mitoitustaivutusmomentti M Ed : M Ed = M 0Ed + M = 10,48 km + 16,514 km = 6,76 km
46 (58) 4.3 Kestävyyden tarkastelu Pilarin kestävyys erikoispisteessä A, jossa kuormituksena keskeinen normaalivoima Ed ja puristuma koko poikkileikkauksessa,0. Rd,A = F s + F c = A s σ s + 0,9 f cd (A c A s ); σ s = ε s E s = 0,00 00000 = 400 / Rd,A = 397 400 + 0,9,67 (113411 397 ) = 3805 k M Rd,A = 0 Pilarin kestävyys erikoispisteessä D, jossa puristetun reunan puristuma on 3,5 ja toinen reuna neutraali ja venymä 0. KUVIO 11. Teräsvyöhykkeiden etäisyydet mallipilarissa, sekä muodonmuutokset ja sisäiset voimat erikoispisteessä D. Merkitään teräsvyöhykkeiden etäisyydet seuraavasti: x 1 = 55,5 x = 39,4 x 3 = 95,1 Teräsvyöhykkeiden venymät: ε s1 = 0,0035 ε 0,0035 (380 55,5 ) 380 55,5 380 s1 = = 0,009888 380 ε s = 0,0035 ε 0,0035 (380 (55,5 +39,4 )) 380 (55,5 +39,4 ) 380 s = = 0,00659 380 ε s3 = 0,0035 ε 380 (x 1 +x +x 3 ) 380 s3 = 0,0035 (380 (x 1+x +x 3 )) = 0,00175 380 ε s4 = 0,0035 ε 380 (x 1 +x +( x 3 ))) 380 s4 = 0,0035 (380 (x 1+x +( x 3 ))) = 0,0008741 380 ε s5 = 0,0035 ε 380 (x 1 +( x )+( x 3 ))) 380 s5 = 0,0035 (380 (x 1+( x )+( x 3 ))) = 0,0005119 380
47 (58) Terästen puristusjännitykset vyöhykkeittäin: Käytetään myötölujittumatonta mallia, joten teräsjännitykset rajoitetaan arvoon σ s 434,78 / σ s1 = ε s1 E s = 0,009888 00000 = 597,8 σ s1 = 434,78 / σ s = ε s E s = 0,00659 00000 = 55, σ s = 434,78 / σ s3 = ε s3 E s = 0,00175 00000 σ s4 = ε s4 E s = 0,0008741 00000 σ s5 = ε s5 E s = 0,0005119 00000 = 350 / = 174,8 / = 10,4 / Teräsvyöhykkeiden jännitysresultantit: F sc1 = A s1 σ s1 = π (1,5 ) 434,78 F sc = A s σ s = (π (1,5 ) ) 434,78 F sc3 = A s3 σ s3 = (π (1,5 ) ) 350 F sc4 = A s4 σ s4 = (π (1,5 ) ) 174,8 F sc5 = A s5 σ s5 = π (1,5 ) 10,4 = 13,4 k = 46,84 k = 343,61 k = 171,61 k = 50,7 k eutraaliakselin etäisyys puristetusta reunasta: x b = 0,0035 h = 0,0035 380 = 380 0,0035+0 0,0035+0 eutraaliakseli on siis poikkileikkauksen puristumattomassa reunassa. Betonin puristusjännityssuorakaiteen korkeus y: y = λ x = 0,8 380 = 304 Jännityssegmenttiin liittyvä kulma α: h α = cos 1 ( y h ) = cos 1 ( 380 304 380 ) = 16,87 =,1 rad Puristusjännityssegmentin pinta-ala A cc : A cc = h (α rad 1 (380 ) sinα) = (,1 1 sin53,74 ) = 97109 4 4 Puristusjännityssegmentin painopisteen etäisyys poikkileikkauksen painopisteestä X:
48 (58) X = h 3 4 (sin3 α 3 ) A cc = (380 ) 3 4 ( sin3 16,87 ) 3 97109 = 4,11 Betonin puristusjännitysresultantti F c : F c = 0,9 f cd (A cc (A s1 + A s + A s3 + A s4 )) F c = 0,9,67 (97109 (7 π (1,5 ) )) = 1911,1 k Pisteen D normaalivoimakestävyys saadaan voimatasapainoyhtälöstä F = 0: Rd,D = F c + F s = (1911,1 + 13,4 + 46,84 + 343,61 + 171,61 + 50,7) k = 3117 k Pisteen D momenttikestävyys saadaan momenttiyhtälöstä M = 0: M Rd,D = F c X + (F sc F sc4 ) x 3 + (F sc1 F sc5 ) (x + x 3 ) M Rd,D = 1911,1 k 0,0411 m + (46,84 k 171,61 k) 0,0951 m + (13,4 k 50,7 k) (0,0394 m + 0,0951 m) = 9,30 km Pilarin kestävyys erikoispisteessä B, jossa tapahtuu tasapainomurtuminen eli laitiainen vetoteräs myötää samaan aikaan puristetun reunan betonin materiaalimurtumisen kanssa. Betonin reunapuristuma rajoitetaan edelleen arvoon 3,5 ja laitiaisen vetoteräksen venymä saa arvon: ε s5 = f yd E s = 434,78 / 00000 / = 0,00174 KUVIO 1. Pisteen B muodonmuutos- ja jännitysresultanttikuvaajat. eutraaliakselin etäisyys puristetusta reunasta x b : x b = 0,0035 0,0035+ε s5 d = 0,0035 0,0035+0,00174 (380 55,5) = 00,17 Betonin jännityssuorakaiteen korkeus y:
49 (58) y = 0,8 03,4 = 160,14 Betonin jännityssegmenttiin liittyvä kulma α: h α = cos 1 ( y h ) = cos 1 ( 380 160,14 380 Betonin puristusjännityssegmentin pinta-ala A cc : ) = 80,96 = 1,41 rad A cc = h (α rad 1 4 (380 ) sinα) = ( 1,41 1 sin161,9 ) = 4593 4 Puristusjännityssegmentin painopisteen etäisyys poikkileikkauksen painopisteestä X: X = h 3 4 (sin3 α 3 ) A cc = (380 ) 3 4 ( sin3 80,96 ) 3 4593 = 97,4 Teräsvyöhykkeiden venymät: 0,0035 = x b (00,17 55,5 ) 0,0035 ε ε s1 x b x s1 = = 0,00530 1 00,17 0,0035 ε s = 0,0035 ε s3 = ε s5 ε s4 = x b ε (00,17 (55,5 +39,4 )) 0,0035 x b (x 1 +x ) s = = 0,0018407 00,17 x b ε (00,17 (55,5+39,4 +95,1 )) 0,0035 x b (x 1 +x +x 3 ) s3 = = 0,0001778 00,17 d x b (34,5 00,17 39,4 ) 0,00174 ε d x b x s4 = = 0,0014851 34,5 00,17 ε s5 = 0,00174 = f yd E s Terästen jännitykset vyöhykkeittäin: σ s1 = ε s1 E s = 0,00530 00000 = 506 σ s1 = 434,78 / σ s = ε s E s = 0,0018407 00000 σ s3 = ε s3 E s = 0,0001778 00000 σ s4 = ε s4 E s = 0,0014851 00000 σ s5 = f yd = 434,78 / = 368,1 / = 35,6 / = 97,0 / Teräsvyöhykkeiden jännitysresultantit: F sc1 = A s1 σ s1 = π (1,5 ) 434,78 F sc = A s σ s = (π (1,5 ) ) 368,1 F sc3 = A s3 σ s3 = (π (1,5 ) ) 35,6 = 13,4 k = 361,38 k = 34,95 k
50 (58) F st4 = A s4 σ s4 = (π (1,5 ) ) 97,0 F st5 = A s5 σ s5 = π (1,5 ) 434,78 = 91,58 k = 13,4 k Betonin puristusjännitysresultantti F c : F c = 0,9 f cd (A cc (A s1 + A s )) F c = 0,9,67 (46497 (3 π (1,5 ) )) = 918,63 k Pisteen B normaalivoimakestävyys saadaan voimatasapainoyhtälöstä F = 0: Rd,B = F c + F sc F st = (918,63 + 13,4 + 361,38 + 34,95 91,58 13,4)k = 103,4 k Pisteen B momenttikestävyys saadaan momenttiyhtälöstä M = 0: M Rd,B = F c X + (F sc + F st4 ) x 3 + (F sc1 + F st5 ) (x + x 3 ) M Rd,B = 918,63 k 0,0953 m + (361,38 k + 91,58 k) 0,0951 m + (13,4 k + 13,4 k) (0,0394 m + 0,0951 m) = 07,07 km Pilarin kestävyys erikoispisteessä C, jossa tutkitaan poikkileikkauksen puhdas taivutuskestävyys. KUVIO 13. Pisteen C muodonmuutos- ja voimakuvio. eutraaliakselin etäisyys puristetusta reunasta x b : x b = 0,0035 0,0035 d = (380 55,5) = 84,13 0,0035+0,01 0,0035+0,01 Betonin jännityssuorakaiteen korkeus y: y = 0,8 84,13 = 67,30
51 (58) Betonin jännityssegmenttiin liittyvä kulma α: h α = cos 1 ( y h ) = cos 1 ( 380 67,30 380 ) = 49,78 = 0,87 rad Betonin puristusjännityssegmentin pinta-ala A cc : A cc = h (α rad 1 4 (380 ) sinα) = ( 0,87 1 sin99,56 ) = 13608 4 Puristusjännityssegmentin painopisteen etäisyys poikkileikkauksen painopisteestä X: X = h 3 4 (sin3 α 3 ) A cc = (380 ) 3 4 ( sin3 49,78 ) 3 13608 = 149,60 Teräsvyöhykkeiden venymät: 0,0035 = x b (84,13 55,5 ) 0,0035 ε ε s1 x b x s1 = = 0,0011911 1 84,13 0,0035 ε s = 0,01 ε s3 = x b ((55,5 +39,4 ) 84,13 ) 0,0035 ε (x 1 +x ) x s = = 0,0004481 b 84,13 d x b ε (34,5 84,13 (39,4 +95,1 )) 0,01 d x b (x +x 3 ) s3 = = 0,0044045 34,5 84,13 0,01 = d x b (34,5 84,13 39,4 ) 0,01 ε ε s4 d x b x s4 = = 0,0083609 34,5 84,13 ε s5 = 0,01 Terästen jännitykset vyöhykkeittäin: σ s1 = ε s1 E s = 0,0011911 00000 = 38, σ s = ε s E s = 0,0004481 00000 = 89,6 / σ s3 = ε s3 E s = 0,0044045 00000 = 880,9 σ s3 = 434,78 / σ s4 = ε s4 E s = 0,0083609 00000 = 167, σ s4 = 434,78 / σ s5 = ε s5 E s = 0,01 00000 = 000 σ s5 = 434,78 / Teräsvyöhykkeiden jännitysresultantit: F sc1 = A s1 σ s1 = π (1,5 ) 38, F st = A s σ s = (π (1,5 ) ) 89,6 F st3 = A s3 σ s3 = (π (1,5 ) ) 434,78 F st4 = A s4 σ s4 = (π (1,5 ) ) 434,78 = 116,93 k = 87,96 k = 46,84 k = 46,84 k
Rd=k 5 (58) F st5 = A s5 σ s5 = π (1,5 ) 434,78 = 13,4 k Betonin puristusjännitysresultantti F c : F c = 0,9 f cd (A cc A s1 ) F c = 0,9,67 (13608 (π (1,5 ) )) = 67,63 k Pisteen C momenttikestävyys saadaan momenttiyhtälöstä M = 0: M Rd,C = F c X + ( F st + F st4 ) x 3 + (F sc1 + F st5 ) (x + x 3 ) M Rd,C = 67,63 k 0,1496 m + ( 87,96 k + 46,84 k) 0,0951 m + (116,93 k + 13,4 k) (0,0395 m + 0,0951 m) = 116,73 km 4000 3500 3000 500 000 1500 1000 500 -M-diagrai 0 0 50 100 150 00 50 MRd=km KUVIO 14. Esimerkkipilarin yhteisvaikutusdiagrai, johon mitoitussuureiden pis- te sijoitettuna.
53 (58) 5 YHTEEVETO JA JOHTOPÄÄTÖKSET Tämän opinnäytetyön tavoitteena oli tehdä pyöreälle teräsbetonipilarille eurokoodin mukainen mitoitus. Lisäksi oli tarkoitus johtaa pilarin kestävyyden tarkastelussa tarvittava yhteisvaikutusdiagrai. Opinnäytetyöhön tarvittavaa aineistoa löytyi sekä Savonia-aattikorkeakoulun kirjastosta, että yrityksestäkin. Lisäksi työssä käytettiin lähteenä englanninkielisiä artikkeleita, koska yhteisvaikutuksen laskemisesta löytyi suomeksi melko niukasti tietoa. Työn alussa oli hieman hankaluuksia, mutta ohjauspalaverien ja laajan aineiston tarkean tutkimisen avulla kokonaisuus alkoi hahmottua ja työ eteni lopulta hyvin. Opinnäytetyön tuloksena saatiin Excel-laskentapohja, jolla saadaan selville pilarin kapasiteetti epäkeskisen normaalivoiman rasitukselle. Laskentapohjasta saatava kapasiteettikäyrä eli yhteisvaikutuskäyrä pohjautuu geometriseen ratkaisutapaan, jossa käyrä muodostuu neljän erikoispisteen avulla, joissa muodonmuutokset ovat tunnettuja. Pilarin mitoitusvoimasuureet on ilmaistu käyrästössä pisteellä. Mikäli piste jää kapasiteettikäyrän sisäpuolelle, niin pilari kantaa sille määritetyn kuorman. Laskentapohja tehtiin aluksi laskemaan poikkileikkaukset, joissa on kahdeksan pystyterästä, mutta aikomuksenani on kehittää sitä useaille teräksille ja mahdollisesti lisätä siihen myös palo- ja onnettomuustilanteiden mitoitus. Excel-laskentapohja on hyödyllinen yritykselle, koska sillä voidaan tarkastella pilarin kapasiteettia nopeasti. Opinnäytetyön aihe oli melko haastava ja siksi erittäin mielenkiintoinen. Se oli myös toiveideni mukainen, koska samalla oppi yärtämään lisää rakenteiden mekaniikkaa. Yhteisvaikutusdiagrain laatiminen tuli täysin uutena asiana, jota opinnoissa ei ole käsitelty. Samalla tulivat tutuksi betonin ja harjateräksen tarkeat ominaisuudet ja niiden kapasiteetit eri tilanteissa. Myös pilarin pyöreä muoto toi jonkin verran haastetta ja se antoi samalla valmiudet alkaa tutkia esimerkiksi onttoa pyöreää pilaria. Työ antoi minulle erittäin paljon jo itsessään ja lisäksi sain arvokasta tietoa ohjauspalavereissa tulevaisuutta varten.
54 (58) LÄHTEET JA TUOTETUT AIEISTOT BETOIRAKETEIDE SUUITTELUOHJE: RIL 0-011/by 61. Helsinki: Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry/suomen Betoniyhdistys ry. BETOITEOLLISUUS 009. Betonirakenteiden suunnittelu eurokoodien mukaan. Osa 5. Pilarit. [verkkojulkaisu]. Eurokoodi help desk. [Viitattu 014-01-5.] Saatavissa: http://www.eurocodes.fi/199/paasivu199/sahkoinen199/leaflet_5_pilarit.pdf DIGMA. Elementtimenetelmän perusteet sessio 03: FEM-ohjelman analyysityypit. [verkkojulkaisu]. VirtuaaliAMK-verkosto. [Viitattu 014-03-05.] Saatavissa: http://www.amk.fi/digma.fi/www.amk.fi/material/attachments/vanhaamk/digma/5h5f5giaj/fes03. pdf ELEMETTISUUITTELU.FI. HI-palkkien suunnitteluohjeet [verkkojulkaisu]. [viitattu 014-03-3]. Saatavissa: http://www.elementtisuunnittelu.fi/fi/runkorakenteet/palkit/i-ja-hi-palkit EUROKOODI 005. Betonirakenteiden suunnittelu. Osa 1-1: Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt. SFS-E 199-1-1. Vahvistettu 005. Rakennustuoteteollisuus RTT ry. Helsinki: Suomen standardisoimisliitto. HSIAO, K 01. Bending-Axis Effects on Load-Moment (P-M) Interaction Diagrams for Circular Concrete Columns Using a Limited umber of Longitudinal Reinforcing Bars. Electronic Journal of Structural Engineering 1/01. [Viitattu 014-03-18.] Saatavissa: http://www.ejse.org/archives/fulltext/01/bending-axis%0effects%0on%0load- Moment%0(P- M)%0Interaction%0Diagrams%0for%0Circular%0Concrete%0Columns%0Using%0a%0L imited%0umber%0of%0longitudinal%0reinforcing%0bars%0.pdf. JUVOE, Jouni 014. Teräsbetoni- ja liitopilarin palomitoitus R180 luokkaan eurokoodin mukaisesti. Diplomityö. [viitattu 014-03-15]. Saatavissa: https://dspace.cc.tut.fi/dpub/bitstream/handle/13456789/1960/juvonen.pdf?sequence=1 LESKELÄ, Matti V. 008. Betonirakenteiden suunnittelu ja mitoitus 008 by 10. Helsinki: BYkoulutus Oy. SMOLČIĆ, Ž ja GRADIĆ, D. 01. Interaction diagrams for reinforced concrete circular crosssection. Graƌevinar 1(64), 3 31 SUOME BETOIYHDISTYS. 013. Betonirakenteiden suunnittelun oppikirja-osa 1 by 11. Helsinki: BY-koulutus Oy. SUOME BETOIYHDISTYS. 011. Betoninormit 01 by 50. Helsinki: BY-koulutus Oy. SUOME BETOIYHDISTYS. 008. Suunnitteluohje EC osat 1-1 ja 1-. by 60. Helsinki: Suomen Betoniyhdistys ry.
55 (58) LIITE 1: PILARI MITOITUS EXCEL-LASKETAPOHJALLA Lähtötiedot: Vihertävällä pohjalla Keltaisella pohjalla Valkealla pohjalla laskentapohjan oleviin soluihin olevat arvot laskemat arvot käyttäjä syöttää arvon ovat vakioita Pääraudoitus Pääterästen halkaisija ø Pääterästen lukumäärä Hakaraudoitus Hakojen halkaisija ø Hakaväli s cl,tmax Kehän jäykistämistapaus Rasitusluokka Mitoitustilanne Betonipeite c nom Betonin lieriölujuuden ominaisarvo f ck Teräksen myötölujuus f yk Pilariin vaikuttava normaalivoima Ed Pilariin vaikuttava ulkoinen momentti M d0 Käyttörajatilan normaalivoima 5 8 kpl 8 375 Jäykistetty XC/XC3 ormaalitilanne 35 40 Mpa 500 Mpa 500 k 0 km 400 k Betonin osavarmuuskerroin γ C 1,5 Teräksen osavarmuuskerroin γ S 1,15 Betonin puristuslujuuden mitoitusarvo f cd,66666667 / Teräksen mitoituslujuus f yd 434,786087 / Terästen pinta-ala A s 396,990817 Betonipoikkileikkauksen pinta-ala A c 113411,4948 Terästen vähiäis pinta-ala A s,min 6,89896 Terästen maksimipinta-ala A s,max 6804,689688 Pilarin halkaisija h Pääteräksen keskiöetäisyys betonin reunaan d' Pilarin pituus L 380 55,5 5000
56 (58) Pilarin tukemistapaus A Pilarin tehollinen pituus L 0 5000 Pilarin hoikkuus λ 5,63157895 Pilarin jäyhyysmomentti I 103538741 4 Pilarin jäyhyyssäde i 95 Mekaaninen raudoitussuhde ω 0,636508066 Harjateräksen kiokerroin E s 00000 / Pilarin alkuepäkeskisyys e 0 Pilarin alkuepäkeskisyys e 0 (epäkeskinen normaalivoima) Pilarin alkuepäkeskisyys e 01 (pilarin yläpäässä) Pilarin alkuepäkeskisyys e 0 (pilarin alapäässä) Ulkoisesta kuormituksesta aiheutuva taivutusmomentin lineaarinen mitoitusarvo M 0Ed Epäkeskisyyden aiheuttama poikittaisvoima H i Poikittaisvoiman H i aiheuttama momentti M Ed,H 0 0 0 10 36 km 5 k 1,5 km Poikittaisvoiman H i aiheuttama momentti M Ed,H1 (tukemistapaus B) 0 km Poikittaisvoiman H i, aiheuttama momentti M Ed,H (tukemistapaus B) 0 km ormaalivoimasta riippuva korjauskerroin K r 1 Viruma: Betonin keskimääräinen puristuslujuus 8 vrk:n iässä f cm Betonin ikä vuorokausina tarkasteluajankohtana t 48 Mpa 10950 vrk