1.3. Reaaliluvun sini ja ksini 1.3. Reaaliluvun sini ja ksini Näissä yhteyksissä puhutaan varsin usein yksikköympyrästä. Tällä tarkitetaan sellaista ympyrää, jnka keskipiste n rig ja säde = 1. Kun ympyrän keskipiste-mutiseksi yhtälöksi muistetaan yleisessä tapauksessa ( x x ) + ( y y ) R = ja kun tähän sijitetaan keskipisteen krdinaateiksi x ykkönen (R = 1), niin yksikköympyrän yhtälö n = y = 0 ja säteeksi x + y = 1 Kulman (reaaliluvun) trignmetristen funktiiden määrittelemiseksi n vielä svittava kulman standardisijitustapa: kulman kärki tulee rign ja kulman ikea kylki yhtyy x-akselin psitiiviseen suuntaan eikä siitä liiku. Kulman vasemman kyljen vidaan ajatella mudstuvan siten, että rigsta alkava ja pisteen P = (1,0) kautta kulkeva pulisura lähtee pyörimään rign ympäri vieden pistettä P mukanaan. Mikäli pyöriminen tapahtuu vastapäivään eli psitiiviseen kiertsuuntaan, pidetään näin syntynyttä kulmaa psitiivisena. Js taas pyöriminen tapahtuu myötäpäivään eli negatiiviseen kiertsuuntaan, pidetään syntynyttä kulmaa negatiivisena. Sitä taivalta, minkä piste P matkaa yksikköympyrän kehällä, pidetään siis psitiivisena, mikäli kulku n tapahtunut vastapäivään ja negatiivisena, js myötäpäivään. PISTEEN P NÄIN KULKEMA MATKA (ETUMERKKI HUOMIOIDEN) = SYNTYVÄN KULMAN SUURUUS RADIAANEISSA, kska säde = 1. Sitä pistettä, mihin P yksikköympyrän kehällä pysähtyy kulman mudstuessa, santaan (kulman) kehäpisteeksi, jnka krdinaattien avulla määritellään kulman (laajennetut) trignmetriset funktit. Merkitään tätä pistettä kirjaimella Q. Kannattaa humata, että kuvatun pulisuran ttamien kierrsten määrää ei mitenkään rajiteta, eikä näin llen pisteen Q pelkkä sijainti määrää kierrsten lukumäärää llenkaan yksikäsitteisesti, eikä tämä siten lainkaan le pisteen Q paikan funkti. u > 0 Q P Q u < 0 1(1)
1.3. Reaaliluvun sini ja ksini MÄÄRITELMÄ 3: Olkt kulman α kehäpiste Q = (x,y). Tällöin sin α = y α cs α = x tan α = y x Q = (x,y) Määritelmän mukaan Q = (x,y) = (cs α, sin α)!!!!!!! Kannattaa humata, että esitetty uusi määritelmä sulkee sisäänsä määritelmän 1, jssa rajituttiin pelkästään teräviin kulmiin. Kun reaaliluku (kulma) kasvaa nllasta π :een, niin sen kehäpiste lähtee pisteestä (1,0) ja liikkuu pitkin yksikköympyrän kehää pisteeseen (0,1). Kehäpisteen x-krdinaatti vähenee tällöin ykkösestä nllaan, mutta sen y- krdinaatti päinvastin kasvaa nllasta ykköseen. Tämä kert saavalla lukijalle j paljn funktiiden sin x ja cs x käyttäytymisestä. Kun kulma edelleen kasvaa π π : sta : hin (eli 90 : sta 180 : een ), niin kehäpisteen x-krdinaatti vähenee nllasta 1:een ja y-krdinaatti pulestaan vähenee ykkösestä nllaan. Tämä kaikki tapahtuu siis liikuttaessa pitkin yksikköympyrän kehää krdinaatistn II neljänneksessä. 3π Kulman yhä kasvaessa π :stä : een (eli 180 : sta 70 : een) kehäpisteen x- krdinaatti kasvaa -1:stä nllaan, mutta sen y-krdinaatti pienenee, nllasta -1:een. Tämä krdinaatistn III neljänneksessä.kulman edelleen kasvaessa 3π : sta π: hin kehäpisteen x-krdinaatti juksee nllasta ykköseen ja y- krdinaatti -1:stä nllaan, IV neljännes Kun kehäpiste jatkaa matkaansa pisteestä (1,0) tultuaan tähän yhden kierrksen kumpaan tahansa suuntaan kierrettyään, se ei kskaan saata pysähtyä sellaiseen khtaan, jssa se ei lisi ainakin kertaalleen käynyt. Tästä aiheutuu mnta (1)
1.3. Reaaliluvun sini ja ksini seikkaa, mm. trignmetristen funktiiden jaksllisuus. Edelleen vat funktiiden y = sin x ja y = cs x arvjukt heti selvillä: LAUSE 1. Funktit y = sin x ja y = cs x vat määritellyt kaikilla muuttujan x reaaliarvilla ja kummankin funktin arvjukk Vsin x = Vcs x = { y R 1 y 1} missä R tarkittaa reaalilukujen jukka., seuraa heti esimerkiksi sellainen seikka, että yhtälöllä sin x = ei le reaalista ratkaisua Siitä, että näiden funktiiden saamat arvt vat välillä [ 1,1] lainkaan, kuten yhtälöllä x = 1 ei myöskään le. Funktit sin x ja cs x vat siis jaksllisia funktiita. Tämä jhtuu yksinkertaisesti siitä, että kun luku (kulma) kasvaa, sen kehäpiste tulee aina samaan khtaan, kun se n yksikköympyrän kehällä taivaltanut π :n verran. Näiden funktiiden kuvaajat siten kstuvat äärettömän mnesta keskenään yhteneväisestä sasesta. Yleisesti vidaan kirjittaa sin( x + nπ ) = sin x, n = ± 1, ±, ± 3,... cs( x + nπ ) = cs x, n = ± 1, ±, ± 3,... taikka peruskulumaisesti sin( α + n 360 cs( α + n 360 ) = sinα, n Z, ) = csα, n Z. Varsinkin trignmetrisia yhtälöitä ratkaistaessa judutaan määräämään kulma, kun tunnetaan sen trignmetrisen funktin arv. Tällaisia tehtäviä n aiemminkin suritettu ratkaistaessa surakulmaisen klmin teräviä kulmia. Kun laskimen näyttöön n syötetty kulman trignmetrisen funktin arv ja 1 1 1 sitten painettu jtakin nappulista sin,cs tai tan, niin näyttöön n ilmestynyt jnkin terävän kulman asteluku. Kuitenkin j tässä vaiheessa vi aavistaa, että esimerkiksi yhtälöllä sin x = 0.775 n äärettömän mnta ratkaisua, 3(1)
1.3. Reaaliluvun sini ja ksini sillä kierrettäessä yksikköympyrän kehää lputtmasti tullaan aina vähän väliä kehäpisteeseen, jnka y-krdinaatti n 0,775. Mitä näistä äärettömän mnesta ratkaisusta millinkin tarkitetaan, selvitetään jskus tehtäväasettelun yhteydessä, mutta yleensä n pidettävä mielessä se aikaisemminkin puheena llut perus-periaate, jnka mukaan yhtälöt n ratkaistava täydellisesti. On siis pyrittävä ilmittamaan esimerkiksi yhtälön sin x = 0,775 ratkaisuksi kaikki luvut (yleensä radiaaneissa), jtka sen tteuttavat. Kvin mnta pistettä et saa, js tehtävän sanamut n llut ratkaise yhtälö sin x = 0,7743 ja ilmitat vain laskimen antaman 0,884187...rad, asteissa 50. 66.... Tässä yhteydessä ei vielä varsinaisesti le tarkitus ratkaista yhtälöitä, vaan esitellään trignmetristen funktiiden ns. palautuskaavja. Tällä tarkitetaan muun kuin krdinaatistn I neljänneksessä levan kulman sinin (ksinin, tangentin) lausumista I neljänneksessä sijaitsevan kulman sinin tai ksinin avulla. Tätä varten piirretään yksikköympyrä, sen ensimmäiseen neljännekseen mielivaltaisen kulman kehäpiste ja tämän pisteen kanssa krdinaattiakseleiden ja rign kanssa symmetriset pisteet. B = ( k,s) A = (k,s) α C = ( k, s) D = (k, s) Olkt A = (k,s) kulman α kehäpiste, jllin k,s > 0 krdinaatistn I neljänneksen pisteinä. Tällöin n siis sin α = s ja cs α = k. Oheisessa kuvissa symmetrian njalla A ja D vat vastakulmien α ja α kehäpisteet ja tisaalta vat B ja C erään kulman ja sen vastakulman kehäpisteet. Kuvaajan njalla havaitaan heti, että kulman ja vastakulman (luvun ja vastaluvun) kehäpisteiden x-krdinaatit aina vat samat ja y-krdinaatit aina vat tistensa vastalukuja. Vidaan siis kirjittaa 4(1)
1.3. Reaaliluvun sini ja ksini LAUSE. Vastalukujen ksinit vat samat ja vastalukujen sinit tistensa vastalukuja, ts. cs( x) = cs x ja sin( x) = sin x tai sin( x) = sin x. Tämän minaisuuden njalla santaan, että ksini n parillinen funkti ja sini n paritn funkti. Parillisen funktin kuvaaja n symmetrinen y-akselin suhteen (kuten esimerkiksi y = x ) ja parittman funktin kuvaaja n symmetrinen rign suhteen (kuten esimerkiksi y = x 3 ). Kahta kulmaa, jiden summa n π (tai 180 astetta), santaan tistensa supplementtikulmiksi. Edellä levasta kuvista saadaan heti päätellyksi tärkeitä palautuskaavja symmetrian njalla. Pisteet A ja B vat tistensa supplementtikulmien kehäpisteet, samin C ja D keskenään vat erään kulman ja sen supplementtikulman kehäpisteet. LAUSE 3. Supplementtikulmien sinit vat yhtä suuret ja niiden ksinit tistensa vastalukuja: sin( π x) = sin x cs( π x) = cs x sin(180 cs(180 x) = sin x x) = cs x Vielä nähdään edellisen sivun kuvista se, että js mihin tahansa lukuun lisätään π, niin kehäpisteen mlemmat krdinaatit muuttuvat aina vastaluvukseen. Saadaan siis LAUSE 4. sin( π + x) = sin x cs( π + x) = cs x 5(1)
1.3. Reaaliluvun sini ja ksini Lauseilla - 4 ei le kvinkaan suurta merkitystä puhtaasti sillin, kun n kyseessä kulman (luvun) trignmetrisen funktin arvn määrittäminen, kska sen (likiarvna) saa aina laskimesta. Käänteisessä mielessä asialla n merkitystä erityisesti, millin etsitään nimenmaan tiettyyn neljännekseen kuuluvaa kulmaa. Ennen laskinten valtaantulaikaa lauseilla li paljnkin käyttöä myös laskettaessa trignmetristen funktiiden arvja, sillä lgaritmitaulujen avulla päästiin ainastaan terävien kulmien trignmetristen funktiiden likiarvihin taikka niiden lgaritmien likiarvihin. Kun yksikköympyrän yhtälö n x + y = 1 ja kun tisaalta yksikköympyrän kehän piste (cs x, sin x) n luvun (kulman) x kehäpiste, niin vidaan kirjittaa kenties tärkein trignmetrisista peruskaavista njautuen siihen, että käyrällä sijaitsevan pisteen krdinaatit tteuttavat käyrän yhtälön: LAUSE 5 sin x + cs x = 1 Humaahan tarkin, että merkintä sin x tarkittaa samaa kuin (sin x ), säästetään siis sulkumerkeissä. Js esimerkiksi sin x = 0.65, niin sin x = 0. 65 = 0. 45. Merkintä sin x tarkittaa pulestaan sitä, että luku x n ensin krtettava tiseen ja saadusta tulksesta tetaan sini laskimen llessa RAD-asennssa, sillä asteiden neliöille ei trignmetrisia funktiita taida llakaan. Humaa myös se, että lause 5 sisältää tisen asteen yhtälön sekä sinin että ksinin suhteen. Tästä yhtälöstä vidaan aina tinen ratkaista, js tinen tunnetaan. Muista vain ratkaista yhtälö täydellisesti! Yhtälö ei kuitenkaan ensi vaiheessa anna lukua x, vaan sen sinin tai ksinin, ja tämänkin täsmällistä ratkaisua varten n yleensä aina tiedettävä, missä neljänneksessä luku (kulma) x sijaitsee. 1 π Esim. 4. Laske cs x (tarkka arv), kun sin x = ja < x < π. (Kevät 75). 13 Lauseen 5 njalla saadaan yhtälö 1 144 + cs x = 1 cs x = 1 eli 13 169 6(1)
1.3. Reaaliluvun sini ja ksini 5 cs x =, jsta cs x = ± 169 5 13. Kumpi etumerkki??? Annetun alkuehdn njalla tiedetään, että luvun x kehäpiste sijaitsee krdinaatistn tisessa neljänneksessä, jssa ksini n negatiivinen. 5 Siispä n cs x =. 13 ERITYISESTI KANNATTAA PAINAA MIELEEN MELKO VISUSTI, JOTTA JOS LASKINTA KÄYTTÄEN SUORITAT TEHTÄVÄN NÄPPÄILEMÄLLÄ (vähän laskimesta riippuen) SEURAAVAN SARJAN, 1 / 1 3 = SIN -1 ANS = COS ANS = SAAT ikean vastauksen LIKIARVON VASTALUVUN JA NOLLA PISTETTÄ! Edellä esitetyillä kaavilla (lauseet - 5) kyetään minkä tahansa luvun sini tai ksini (myöhemmin tullaan näkemään, että myös tangentti, sikäli kun se n lemassa) lausumaan sellaisen luvun trignmetrisen funktin avulla, jnka kehä-piste sijaitsee krdinaatistn I neljänneksessä. Mikäli luvun (kulman) trignmetrisen funktin arvn laskeminen pystytään π π π palauttamaan luvun, tai (30, 45 tai 60 ) trignmetrisen funktin 6 4 3 määrittämiseen, ei laskimella tettuja likiarvja hyväksytä; vaaditaan tarkat arvt. Tällaisissa tehtävissä tehtävän 1 yhteydessä laatimasi taulukn ulka saaminen ei suurestikaan haittaa. Näitä tällaisia palautettavia kulmia tisesta neljänneksestä vat supplementtikulmat 5 π 3π, ja π, klmannesta 6 4 3 neljänneksestä ne, jihin tullaan lisäämällä a. ensimmäisen neljänneksen kulmiin π ja vielä ne neljännen neljänneksen kulmat, jtka vat ensimmäisessä neljänneksessä levien kulmien vastakulmia. Esim. 5. sin660 3 = sin( 60 + 360 ) = sin( 60 ) = sin 60 =. Esim. 6. sin ( 4) = [ sin( 4) ] = (0,75680495...) = 0,5775001... 0.57. Esim. 7. sin [( 4) ] = sin16 = -0,879033... - 0.9. 7(1)
1.3. Reaaliluvun sini ja ksini Esim. 8. cs { sin[ cs( 0,500) ]} = cs[ sin( 0,87758... )]= = cs( 0,7691963...) = 0,7184698834... 0,718. Trignmetriaa hyväksi käyttäen saadaan klmin pinta-alalle pikkeuksellinen, kenties ennestään tuttu tuls: LAUSE 6. Klmin ala n pulet kahden sivun ja niiden välisen kulman sinin tulsta. Td.: Piirretään sekä teräväkulmainen että tylppäkulmainen klmi C C b a b a h h α β α β A c B A c B Oheisissa kuvissa krkeusjana n piirretty kantasivua c vastaan, mutta krkeusjana n lunnllisesti piirrettävissä kahta muutakin sivua vastaan. h Teräväkulmaiselle klmille saadaan suraan: = sin α, jsta h = bsin α. b h Tylppäkulmaiselle klmille pulestaan: = sin( π α) = sin α, kska b supplementtikulmien sinit vat aina yhtäsuuret. Kummassakin tapauksessa klmin krkeusjana h = b sin α ja ala siten A = 1 1 ch = bcsinα. Valitsemalla klmin jkainen sivu vurllaan kannaksi ja laskemalla jkaisessa tapauksessa krkeusjana edellä esitetyllä tavalla trignmetriaa käyttäen saadaan A = 1 bcsin α = 1 acsin β = 1 absin γ, 8(1)
1.3. Reaaliluvun sini ja ksini ja kun saatu yhtälöketju vielä kerrtaan lausekkeella, abc kaksisyhtälöön tullaan sinα sin β sinγ = =. a b c Kun tiedetään kahden murtlausekkeen yhtäsuuruudesta seuraavan niiden käänteislausekkeiden yhtäsuuruus (ellei esiinny nllia), niin katsellaan sinilauseen tavallisinta esitysmuta: LAUSE 7. SINILAUSE Missä tahansa klmissa n sivun ja vastaisen kulman sinin suhde vaki a sin α = b sin b = c. sin γ Esim. 9. Klmissa ABC n α = 30 ja β = 45 ja AB =c. Laske muut sivut. Klmin klmas kulma ja 75 γ = 105 sin105 = sin(180 75 ) = sin. Sinilauseen avulla saadaan suraan kaksi yhtälöä: BC c csin30 c =, jsta BC = a = =. sin30 sin105 sin105 sin 75 AC c csin 45 c =, jsta AC = b = = = a. sin 45 sin105 sin105 sin 75 Kun ns. yhteenlaskukaavjen avulla pystytään tteen näyttämään, 6 + että sin 75 =, niin hiukan asiiden edelle mennen saadaan, 4 jtta c c c( 6 ) c( 6 ) a = = = =, 6 + 6 + ( 6 + )( 6 ) 4 jnka likiarv n nin 0,518c. 9(1)
1.3. Reaaliluvun sini ja ksini c ( 6 ) c( 1 ) c( 3 ) b = a = = = = c( 3 1), jnka likiarv pulestaan n nin 0,73c. Sinilausetta vidaan käyttää vinkulmaisen klmin ratkaisemiseen siinä tapauksessa, että tunnetaan klmista klme saa, jista ainakin yksi n kulma. Kska sinilause saattaa jhtaa näissä yhteyksissä perusyhtälöön sin x = a, missä 0 < a < 1, laskimella saadaan terävä kulma x = sin 1 a. Täytyy kuitenkin lla tarkkana, että tutkii, nk saadun kulman supplementtikulman määräämä klmi myös kelvllinen. Kertaa gemetrian kurssista se tsiasia, että piirtämistehtävä, jssa tunnettiin klmin kaksi sivua ja tisen vastainen kulma, saatti jhtaa kahteen kelvlliseen lpputulkseen. Asiaan liittyy harjitustehtävä 4. Mnenlaisissa käytännön tilanteissa sinilauseen sveltaminen n hyvin käyttökelpista. Periaatteessa nämä tehtävät palautuvat vinkulmaisen klmin ratkaisemiseksi. Esimerkiksi klmin kulmanpulittajalause vidaan mukavasti tdistaa ikeaksi sinilauseen avulla. LAUSE 8. Kulmanpulittajalause Klmissa kulmanpulittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteeseen. Funktiiden y = sin x ja y = cs x kuvaajien piirtämistä varten n eräitä tietja j käsitelty. J asianmaisten funktiiden määritelmästä vidaan päätellä kuvaajain merkit, elikkä sijainti x-akseliin nähden. Funkti y = sin x saa psitiivisia arvja, kun 0 < x < π ja ellei rajituta tarkastelemaan yksikköympyrän kehällä ainastaan nllasta alkavaa kierrsta, niin sinin jaksllisuus humiiden vidaan kirjittaa, että y = sin x > 0, kun nπ < x < π + nπ ja y = sin x < 0, kun π + nπ < x < π + nπ = (n + 1) π taikka peruskulumaisesti sin x > 0, kun n 360 < x < 180 + n 360 ja 10(1)
1.3. Reaaliluvun sini ja ksini sin x < 0, kun 180 + n 360 < x < 360 + n 360 = ( n + 1) 360 Kun tarkastellaan kehäpisteen krdinaattien muuttumista sitä vastaavan luvun kasvaessa, vidaan suraan tdeta, että π π y = sin x n aidsti kasvava, kun + nπ < x < + n π ja y = sin x n aidsti vähenevä, kun π 3π + nπ < x < + n π. Vastaavat tarkastelut n helpp surittaa myös funktille y = cs x. Ktaan tulkset ja piirretään kuvaajat: SINI KOSINI II I II I vähenee kasvaa vähenee vähenee + + - + - - - + vähenee kasvaa kasvaa kasvaa III IV III IV 1,5 1 0,5 0-11 -6-1 4 9-0,5-1 -1,5 Kuva. y = sin x. 11(1)
1.3. Reaaliluvun sini ja ksini 1,5 1 0,5 0-11 -6-1 4 9-0,5-1 Kuva. y = cs x -1,5 Humataan, että sin x:n kuvaaja läpäisee x-akselin aina, kun x n jkin π:n mnikerta. Olisikin mnesti hyvä mitittaa vaaka-akseli π:n mnikerrilla ja tasasilla. Humaa myös, että mlemmilla krdinaattiakseleilla ei yllä levissa esityksissä le (saisi lla) sama mittakaava. Funktin y = cs x kuvaaja saadaan sin x:n kuvaajasta siirtämällä tätä π/:n verran vasemmalle päin. Tämä asia n myöhemmin helpp matemaattisestikin perustella yhteen- ja vähennyslaskukaavjen yhteydessä. Js asettelet sin x:n kuvaajaa esittävään piirrkseen vaikkapa suran y = 0,35, niin vit hyvin kuvitella, että mainittu sura leikkaa sinifunktin kuvaajaa äärettömän mnessa pisteessä, jista jkaisen x-krdinaatti n yhtälön sin x = 0,35 ratkaisu. Tätäkin kautta näiden funktiiden jaksllisuus tulee ymmärretyksi. Yleisesti funktin, minkä tahansa, jaksllisuus määritellään seuraavasti: MÄÄRITELMÄ 4. Funkti f n jaksllinen ja reaaliluku a n sen jaks, js kaikilla määritysjukkn kuuluvilla alkiilla x ja x + a n vimassa eht f(x + a) = f(x). Pienintä psitiivista lukua santaan funktin perusjaksksi. Js reaaliluku a n funktin f jaks, niin myös luvun a mikä tahansa kknainen mnikerta na n funktin jaks. Sekä sin x:n että cs x:n perusjaks n π. 1(1)