28. elokuuta 2012
Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät
Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan tangenttitaso ja normaali Korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat Ketjusääntö Lineaarinen approksimaatio Gradientti ja suunnattu derivaatta Taylor-polynomi ja approksimointi
Kurssin sisältö 2/2 Ääriarvot Lagrangen menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Newtonin menetelmä
Sisältö Osittaisderivointi 1 Osittaisderivointi 2
Sisältö Osittaisderivointi 1 Osittaisderivointi 2
Usean muuttujan funktioista 1/2 Lieriön tilavuus on V on V = πr 2 h, r > 0, h > 0. V on KAHDEN toisistaan riippumattoman muuttujan r ja h funktio. V(r,h) = πr 2 h, D(V) = {(r,h) R 2 r > 0,h > 0} Määritelmä n:n muuttujan reaaliarvoinen funktio f liittää jokaiseen pisteeseen (x 1,...,x n ) D(f) R n täsmälleen yhden arvon f(x 1,...,x n ) = y
Usean muuttujan funktioista 2/2 Kahden muuttujan funktion f kuvaaja z = f(x,y) on R 3 :n pistejoukko (x,y,f(x,y)), missä (x,y) D(f) R 2. Kuvaaja on R 3 :n pinta Esimerkki Määritä se funktio f, jonka kuvaaja on pisteiden (2,0,0), (0,4,0), (0, 0, 3) rajoittama kolmionpinta Esimerkki Funktion f(x,y) = 9 x 2 y 2 Määrittelyjoukko ja graafi
Tasa-arvokäyrät Tasa-arvokäyrät ovat funktion f(x,y) kuvaajan ja tason z = c xy-tasoon piirrettyjä leikkauskäyriä f(x,y) = c, missä c on vakio kullakin käyrällä (korkeuskäyriä) Esimerkki Funktion f(x,y) = 9 x 2 y 2 tasa-arvokäyrät
Raja-arvo Osittaisderivointi Määritelmä lim f(x,y) = L jokaiselle ǫ > 0 on olemassa δ(ǫ) > 0 (x,y) (a,b) siten, että f(x,y) L < ǫ aina kun 0 < (x a) 2 +(y b) 2 < δ L ei saa riippua lähestymisen valinnasta Esimerkki Määritä lim (x,y) (0,0) xy x 2 +y 2
Jatkuvuus Osittaisderivointi Määritelmä Funktio f(x,y) on jatkuva pisteessä (a,b) f(x,y) = f(a,b) Esimerkki lim (x,y) (a,b) Miten funktio f(x,y) = x4 y 4 x y tulisi määritellä suoralla y = x, jotta siitä tulisi jatkuva koko R 3
Osittaisderivaatta Määritelmä Osittaisderivaatta f 1 (a,b) ilmoittaa funktion f(x,y) muutosnopeuden tasossa y = b pisteessä (a,b,f(a,b)) ja f 2 (a,b) vastaavasti x = a pisteessä (a,b,f(a,b)) Funktion f(x, y, z) 1. kertaluvun osittaisderivaatta muuttujan y suhteen merkitään mm. f y, f 2, f y, D 2 f, D y f
Pinnan tangenttitaso ja normaali Funktion f(x,y) kuvaajan z = f(x,y) normaalivektori pisteessä (a,b,f(a,b)) on n = f 1 (a,b)ī +f 2 (a,b) j k eli Normaalivektori n = (f 1 (a,b),f 2 (a,b), 1) Tangenttitason yhtälö z = f(a,b)+f 1 (a,b)(x a)+f 2 (a,b)(y b) Normaalin yhtälö x a f 1 (a,b) = y b f 2 (a,b) = z f(a,b) 1
Korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat Jos funktion f(x,y) 1. kertaluvun osittaisderivaattoja f 1 (x,y) ja f 2 (x,y) osittaisderivoidaan edelleen x:n ja y:n suhteen, saadaan neljä 2. kertaluvun osittaisderivaattaa: f 11 (x,y), f 22 (x,y), f 12 (x,y), f 21 (x,y) Jos z = f(x,y), niin 2 z x 2 = z x x = f 11(x,y) 2 z y 2 = z y y = f 22(x,y) 2 z x y = ( ) z = f 21 (x,y) x y 2 z y x = ( ) z = f 12 (x,y) y x
Ketjusääntö Osittaisderivointi Ketjusääntö yhden muuttujan yhdistetylle funktiolle on: d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x) Usean muuttujan yhdistetty funktiota koskeva derivoimissääntö: Jos z = f(x,y) ja f(x,y):llä on jatkuvat osittaiderivaatat ja jos x ja y ovat derivoituvia t:n funktioita, niin dz dt = z dx x dt + z dy y dt
Lineaarinen approksimaatio Kahden muuttujan funktion likiarvon määrittäminen tangenttitason avulla: Pisteen (a, b) ympäristössä jatkuvan funktion f kuvaajan pisteeseen (a, b, f(a, b)) piirretyn tangenttitason yhtälö on z(x,y) = f(a,b)+f 1 (a,b)(x a)+f 2 (a,b)(y b) jos (x,y) on lähellä (a,b):tä niin f(x,y) z(x,y) eli f(x,y) f(a,b)+f 1 (a,b)(x a)+f 2 (a,b)(y b) Esimerkki Arvioi likimääräisesti funktion f(x,y) = x 3 +e 3y arvoa pisteessä (1.1, 2.01) pisteeseen (1, 2) kautta kulkevan tangenttitason avulla
Differentiaali Osittaisderivointi Olkoon f n:n muuttujan funktio f(x 1,x 2,...,x n ), jolla on kaikki osittaisderivaatat f x 1, f x 2,..., f x n. Tällöin f:n kokonaisdifferentiaali df on df = f x 1 dx 1 + f x 2 dx 2 +...+ f x n dx n Jos muuttujien x 1,x 2,...,x n mittaus- tai arviointivirhe on x 1, x 2,..., x n :n suuruinen, niin kokonaisvirhe [ ] [ ] [ ] f f f [ f] = x 1 + x 2 +...+ x n x 1 x 2 x n
Gradientti Osittaisderivointi Määritelmä Funktion f(x,y) osittaisderivaattojen f 1 (x,y) ja f 2 (x,y) muodostamaa vektoria sanotaan GRADIENTIKSI ja merkitään f(x,y) = f 1 (x,y)ī +f 2 (x,y) j Gradientti f(a, b) on normaalivektori pisteen (a, b) kautta kulkevalle funktion f tasa-arvokäyrälle.
Gradientin ominaisuuksia pisteessä (a, b) 1 Pisteessä (a,b) funktio f kasvaa nopeiten f(a, b):n suuntaan ja suurin kasvunopeus on f(a,b) 2 Pisteessä (a,b) funktio f vähenee nopeiten f(a, b):n suuntaan ja suurin vähenemisnopeus on f(a, b) 3 Funktion f muutosnopeus pisteessä (a, b) on nolla pisteen (a, b) kautta kulkevan f:n tasa-arvokäyrän tangenttisuoran suuntaan
Suunnattu derivaatta Suunnattu derivaatta D v f(a,b) ilmoittaa, mikä on funktion v f(x, y) muutosnopeus pisteessä (a, b) annetun xy-tason vektorin v suuntaan Määritelmä Esimerkki Dˆv f(a,b) = ˆv f(a,b) Laske funktion f(x,y) = y 4 +2xy 3 +x 2 y 2 muutosnopeus pisteessä (0,1) vektorin v = ī + j suuntaan
Taylor-polynomi ja approksimointi Mitä korkeampi on pisteen (a, b) ympäristössä jatkuvan funktion f(x, y) taylor-polynomin P n (x,y) = n j=0 ( 1 h j! x +k ) j f(a,b), y { h = x a k = y b asteluku n, sitä tarkemmin polynomi approksimoi funktiota f(x, y) pisteen (a,b) läheisyydessä f(x,y) P n (x,y)
Sisältö Osittaisderivointi 1 Osittaisderivointi 2
Ääriarvot Osittaisderivointi Jatkuvasti derivoituvalla funktiolla f(x, y) voi olla lokaali tai absoluuttinen ääriarvo pisteessä (a,b) D(f) vain jos (a,b) on Kriittinen piste eli f(a,b) = 0 D(f):n reunapiste f(a, b) on funktion lokaali maksimiarvo (minimiarvo), jos pisteen (a,b) jossakin ympäristössä f(x,y) f(a,b) (f(x,y) f(a,b)) ja f(a, b) on funktion f absoluuttinen maksimiarvo (minimiarvo), jos jokaiselle (x,y) D(f) pätee f(x,y) f(a,b) (f(x,y) f(a,b))
Ääriarvot sisäpisteissä ja niiden luokittelu 1 { Etsitään kriittiset pisteet yhtälöryhmästä fx = 0 f y = 0 f = 0 2 Lasketaan kussakin kriittisessäpisteessä (a,b) : D = f xx f yy (f xy ) 2 (a) D > 0 ja f xx < 0, niin (a,b) on lokaali maksimipiste (b) D > 0 ja f xx > 0, niin (a,b) on lokaali minimipiste (c) D < 0, niin (a,b) on satulapiste (d) D = 0, niin on käytettävä muita keinoja (ei informaatiota)
Määrittelyjoukko on suljettu ja rajoitettu R 2 :n osajoukko Tutkitaan erikseen funktion sisäpisteet ja määrittelyalueen reuna Esimerkki Etsi funktion f(x,y) = 2xy pienin ja suurin arvo joukossa A = {(x,y) x 2 +y 2 4}
Sidotut ääriarvot Kahden muuttujan funktioiden sidotuilla ääriarvoilla tarkoitetaan sellaisia ääriarvoja, jotka funktio saa määrittelyjoukkoonsa sisältyvällä käyrällä Määritelmä Lagrangen menetelmä etsii ääriarvoja funktiolle f(x, y) rajoitteella g(x,y) = 0 seuraavasti Mikäli rajoitteita on useampia: L(x,y,λ) = f(x,y)+λg(x,y) L(x,y,λ,µ) = f(x,y)+λg(x,y)+µh(x,y)
Pienimmän neliösumman menetelmä Määritelmä Määrätään funktion f(x) parametrit siten, että summa S = n (y i f(x i )) 2 i=1 on pienin Esimerkki Etsi vakioiden a ja b arvot siten, että suora y = ax +b parhaiten liittyy data-pisteisiin (0, 2.10),(1, 1.92),(2, 1.84),(3, 1.71) ja (4, 1.64)