otavan matematiikka Luvut ja lukujonot Hanna Halinen Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Sampsa Kurvinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Jukka Ottelin Kati Parmanen Terhi Raittila Tommi Tauriainen Tommi Tikka Sari Vallineva Helsingissä Kustannusyhtiö Otava
Sisällys Kirjan rakenne Kertaa tarvittaessa 5 Tuntisuunnitelma 75 min 5 min. Luvut ja lukualueet 6. Laskutoimituksia kokonaisluvuilla 8. Laskutoimituksia reaaliluvuilla 6. Lukujonot 6 7. Lukujonon muodostaminen 8. Lukujonon yleinen jäsen 6. Aritmeettinen lukujono 7. Prosentti ja geometrinen lukujono 58 5. Prosenttikerroin 60. Prosentuaalisia muutoksia 67. Geometrinen lukujono 75. Summa 8. Aritmeettinen summa 86. Geometrinen summa 95 5. Eksponenttiyhtälö ja logaritmi 0 5. Eksponenttiyhtälö 06 5. Logaritmi 6. Funktiot 0 6. Funktio 6. Funktion kuvaajan tulkinta Kertaus Kokoavia tehtäviä 9 Vihjeet 5 Vastaukset 55 Hakemisto 68
Kirjan rakenne Luvun aloitusaukeama esittelee luvun aiheeseen liittyvän sovelluksen, johon palataan luvun viimeisen sivun tehtävissä. Tehtävät on mahdollista ratkaista luvussa opittujen tietojen avulla. Johdanto on uuteen asiaan johdatteleva selittävä esimerkki, joka aloittaa alaluvun teorian. Teoria sisältää myös muita esimerkkejä ja keskeisimmät asiat kokoavia väripohjia. Harjoitustehtävät on jaoteltu kolmeen osioon. Luo perusta -tehtävät on tarkoitettu kaikille, ja niissä kohdataan keskeiset uudet asiat. Vahvista osaamista -tehtävät lujittavat osaamista ja antavat pohjan tulevien asioiden ymmärtämiselle. Syvennä ymmärrystä -tehtäviä on syytä tehdä, jos tavoitellaan aiheen perusteellista hallintaa. Teknisten apuvälineiden käytöstä on mainittu harjoitustehtävässä erikseen, jos tehtävä on tarkoitus ratkaista ilman teknisiä apuvälineitä tai sopivalla ohjelmalla. Teknisellä apuvälineellä tarkoitetaan ohjelman toimintoa, josta on matematiikan kannalta apua. Muilta osin tietokoneen tai muun laitteen käyttäminen ratkaisun kirjaamisessa on aina sallittua. Kertausosiossa kurssin keskeiset ideat esitellään tiiviissä muodossa ja niitä harjoitellaan muutamalla tehtävällä. Kertausosion lopussa on kokoavia tehtäviä koko kurssista. Logojen merkitykset ovat seuraavat: Asiaan liittyy appletti tai video osoitteessa www.otava.i/maydigi. Tehtävään on vihje kirjan lopussa.
Kertaa tarvittaessa Voit kerrata tämän sivun sisältämät asiat aluksi tai palata niihin tarvittaessa myöhemmin. Sivunumero kertoo, missä asia tulee vastaan. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku Murtoluvut lavennetaan ensin samannimisiksi. Esimerkiksi ) ) 5 + = + = + = 6 6 6 6 ) ) 5 0 9 0 9 = = = 6 Katso s. 7 ja Lausekkeiden sievennykset Yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään termit, joilla on sama muuttujaosa. Esimerkiksi n n n = n n Kertolaskussa sulkeiden edessä olevalla termillä kerrotaan kaikki sulkeiden sisällä olevat termit. Esimerkiksi n(n ) = n n + n ( ) = n 6n Katso s. 8 Yhtälön ratkaiseminen Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä tai molemmilta puolilta vähentää sama luku tai lauseke. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa nollasta poikkeavalla luvulla. Esimerkiksi x + = 5 x + = 5 x = : x = Katso s. 50 Murtolukujen kertolasku Kertolaskussa osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät keskenään. Esimerkiksi = = = Katso s. 7 ja 5 Murtolukujen jakolasku Jaettava murtoluku kerrotaan jakajan käänteisluvulla. Esimerkiksi 5 6 : 5 6 6 = = = = 6 5 5 Katso s. 7 ja 76 5 Samankantaisten potenssien tulo 7 7= 7 7 = 7 7 7 7 = 7 kpl Yleisesti am an = am + n Katso s. 07 kpl + 5 Potenssin potenssi (7 ) = 7 7 7 = 7 + + = 7 = 7 6 Yleisesti m n ( a ) a m n = Katso s. 07 Tulon potenssi (5 ) = 555 = 555 = 5 Yleisesti (ab)n = an bn Katso s. 08 Samankantaisten potenssien osamäärä 5 7 7 kpl = 7 7 7 7 7 = 7 = 7 7 7 7 Yleisesti m a m a n a kpl n = Katso s. 08 5 kertaa tarvittaessa 5
. LUKUJONOT Opitaan, miten lukujonojen sääntöjä muodostetaan eri tavoin miten lukujonoja voidaan jatkaa sääntöjen mukaan miten lukujonoja tutkitaan teknisillä apuvälineillä mikä on aritmeettinen lukujono.
Tässä luvussa opitaan, miten seuraavat ongelmat voidaan ratkaista. kuvio kuvio kuvio Kuinka monta appelsiinia olisi ylhäältä lukien 6. kerroksessa? Miten kuvio jatkuu? Kuinka monta neliötä olisi 00. kuviossa? Lukujen luetteloita eli lukujonoja käytetään kuvaamaan tilanteita tai ilmiöitä, jotka noudattavat jotain matemaattista sääntöä. Lukujonoja hyödynnetään monissa sovelluksissa, joissa halutaan ennakoida tulevaa kehitystä. Eräs kuuluisimmista lukujonoista on Fibonaccin lukujono. Sen avulla voidaan kuvata esimerkiksi kanipopulaation kasvua: Kuvitellaan, että kanipari saa kaksi poikasta ensimmäisen kerran kahden kuukauden iässä ja siitä eteenpäin kuukauden välein uuden poikasparin. Poikasparit alkavat lisääntyä samalla tavalla. Parien lukumäärät,,, ja 5 ovat Fibonaccin lukujonon viisi ensimmäistä lukua. Kolmannesta luvusta alkaen luku on aina kahden edellisen luvun summa. Kaavio esittää kaniparien lukumäärää viiden ensimmäisen kuukauden aikana. Fibonaccin luvut näkyvät luonnossa monella mielenkiintoisella tavalla. Esimerkiksi auringonkukan mykerössä siemenet sijoittuvat myötä- ja vastapäivään kulkeviin kierteisiin, joiden lukumäärät esiintyvät Fibonaccin lukujonossa. Sama ilmiö näkyy myös esimerkiksi männynkävyn ja ananaksen pintakuvioinnissa. Luvun lopussa esitellään toinen matemaattinen malli, jonka avulla voidaan ennustaa populaation koko.. Lukujonot 7
. Lukujonon muodostaminen JOHDANTO Kuviojono muodostuu tietyn säännön mukaan piirretyistä kuvioista. kuvio kuvio kuvio a) Piirrä kuviojonon seuraava eli neljäs kuvio. b) Luettele kuviojonon viiden ensimmäisen kuvion sinisten kuusikulmioiden lukumäärät. c) Kuinka monta sinistä kuusikulmiota on 0. kuviossa? RATKAISU a) Neljäs kuvio saadaan lisäämällä edelliseen eli kolmanteen kuvioon yksi vihreä kuusikulmio ja neljä sinistä kuusikulmiota. b) Ensimmäisessä kuviossa on kuusi sinistä kuusikulmiota. Seuraavissa kuvioissa niitä on aina neljä edellistä enemmän. Sinisten kuusikulmioiden lukumäärät ovat 6, 0,, 8 ja. c) Kymmenennessä kuviossa on b-kohdan perusteella 6+++++++++.... 5. 6. 7. 8. 9. 0. 9kpl =+ = 6 9 sinistä kuusikulmiota. Johdannon kuviojonoa ja sinisten kuusikulmioiden lukumäärien luettelemista voitaisiin jatkaa loputtomiin. Tällaista tietyssä järjestyksessä olevien lukujen luetteloa kutsutaan lukujonoksi. 8
Lukujono Lukujono on järjestetty ja päättymätön luettelo reaalilukuja. Lukujonon lukuja kutsutaan jäseniksi. lukujono,, 5, kolmas jäsen Lukujonoja ovat esimerkiksi parittomat luonnolliset luvut,, 5, 7, vuorotteleva lukujono, 0,, 0,, 0, vakiojono,,,, jono,,,,... 5 luvun π numeroiden jono,,,, 5, 9, Kolme pistettä luettelon perässä kuvaa sitä, että lukujono ei pääty, vaan lukujonon jäseniä voidaan kirjoittaa lisää. ESIMERKKI RATKAISU Jatka lukujonoa kolmella jäsenellä. a),, 6, b),, 5, c) π, π, π, d),,,,... a) Lukujono,, 6, näyttää muodostuvan suuruusjärjestyksessä olevista parillisista luonnollisista luvuista. Lukujono on,, 6, 8, 0,, b) Lukujono,, 5, näyttää muodostuvan parittomista, negatiivisista kokonaisluvuista, jotka on lueteltu suuruusjärjestyksessä suurimmasta alkaen. Lukujono on,, 5, 7, 9,, c) Lukujono π, π, π, näyttää olevan vakiojono. Näin ollen lukujono on π, π, π, π, π, π, d) Lukujono,,,,... näyttää muodostuvan :n välein valituista rationaaliluvuista. Lukujono on siis,,,,,,,... Lukujonoa voi yleensä jatkaa usealla eri tavalla. Esimerkin jonoja voi jatkaa myös muilla kuin ratkaisussa esitetyillä tavoilla.. Lukujonot Lukujonon muodostaminen 9
ESIMERKKI Lukujono on,,,, 5, Määritä lukujonon a) 9. jäsen b) 00. jäsen c) sanallinen sääntö, jolla voidaan laskea mikä tahansa jäsen. RATKAISU a) Eräs tapa jatkaa lukujonoa on lisätä edelliseen jäseneen luku. + + + + 5. jäsen. jäsen. jäsen. jäsen 5. jäsen Lukujonon yhdeksän ensimmäistä jäsentä ovat tällöin,,,, 5, 7, 9, ja. Lukujonon 9. jäsen on. b) Lukujonon toinen jäsen saadaan lisäämällä ensimmäiseen jäseneen yhden kerran luku. Kolmas jäsen saadaan lisäämällä ensimmäiseen jäseneen kaksi kertaa luku. Neljäs jäsen saadaan lisäämällä ensimmäiseen jäseneen kolme kertaa luku. Samalla päättelyllä jonon 00. jäsen saadaan lisäämällä ensimmäiseen jäseneen 99 kertaa luku. Lukujonon 00. jäsen on tällä perusteella + 99 = + 98 = 95. c) Edellisen kohdan perusteella lukujonon mikä tahansa jäsen saadaan, kun ensimmäiseen jäseneen lisätään luku yhden kerran vähemmän kuin lukujonon jäsenen järjestysluku. Tarinan mukaan Akhilleus ei pysty koskaan ohittamaan etumatkan saanutta kilpikonnaa, sillä hänen on ensin juostava siihen, missä kilpikonna on. Kun Akhilleus saapuu tähän paikkaan, on kilpikonna aina liikkunut eteenpäin. 0
ESIMERKKI Lukujonon ensimmäinen jäsen on. Toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. a) Laske lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä. b) Kuinka monta positiivista jäsentä lukujonossa on? RATKAISU a) Lasketaan lukujonon peräkkäisiä jäseniä säännön mukaisesti. ensimmäinen jäsen toinen jäsen ) = = kolmas jäsen = neljäs jäsen = viides jäsen = 5 Toista jäsentä laskettaessa huomattiin, että =. Lukujonon jäsen voidaan siis laskea vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. Lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä ovat,,, ja. 5 b) Koska lukujonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä positiivinen luku, jokainen uusi jäsen on aina edellistä pienempi. Lukujonossa on näin ollen vain kaksi positiivista jäsentä, ja. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku Murtoluvut lavennetaan ensin samannimisiksi. Esimerkiksi ) ) 5 + = + = + = 6 6 6 6 ) ) 5 0 9 0 9 = = = 6. Lukujonot Lukujonon muodostaminen
Harjoitustehtävät luo perusta Ratkaise tehtävät 0 05 ilman teknisiä apuvälineitä. 0. Lukujonon ensimmäinen jäsen on. Kirjoita lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä, kun toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan a) lisäämällä edelliseen jäseneen luku b) kertomalla edellinen jäsen luvulla c) vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. 0. Määritä lukujonon viides ja kuudes jäsen. a), 7, 0,, b) 7,, 8, 56, c), 6,,, 0. Muotoile lukujonolle sääntö, jolla lukujonon jäsen saadaan edellisestä jäsenestä. Laske puuttuvat jäsenet. a), 7,,, 5, b),, 9,, 8, c) 6,, 6,,,, 0. Lukujonon jäsen saadaan kertomalla järjestysluku viidellä ja vähentämällä tuloksesta luku. Täydennä taulukko. Järjestysluku Lauseke Jäsen 5 00 05. a) Piirrä kuviojonon seuraava kuvio. kuvio kuvio kuvio b) Kuinka monta neliötä on kymmenennessä kuviossa? c) Kuinka monta neliötä on sadannessa kuviossa? d) Muotoile sääntö, jolla kuvion muodostavien neliöiden lukumäärä saadaan laskettua kuvion järjestysluvun perusteella.
vahvista osaamista 06. Lukujonon kaksi ensimmäistä jäsentä ovat 5 ja. Selvitä ilman teknisiä apuvälineitä lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä, jos kolmannesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen on kahden edellisen jäsenen a) summa b) tulo. 07. a) Kirjoita kuviojonon viiden ensimmäisen kuvion pisteiden lukumäärät lukujonona. kuvio kuvio kuvio kuvio b) Muotoile sääntö, jolla kuvion pisteiden lukumäärä saadaan edellisen kuvion pisteiden lukumäärästä. c) Kuinka monta pistettä on kuviojonon sadannessa kuviossa? d) Muotoile sääntö, jolla saadaan kuvion pisteiden lukumäärä kuvion järjestysluvun perusteella. 08. Jalkapalloturnauksen ensimmäinen ottelu alkaa klo 0.0. Jokainen ottelu kestää 0 minuuttia, ja otteluiden välissä on 0 minuutin tauko. a) Luettele viiden ensimmäisen ottelun alkamisajat. b) Mihin aikaan alkaa päivän viimeinen eli 9. ottelu? Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä. 09. Luettele järjestyksessä pienimmästä suurimpaan a) kolmella jaolliset lukua 0 pienemmät luonnolliset luvut b) yksinumeroiset negatiiviset kokonaisluvut c) lukua 5 pienemmät alkuluvut eli lukua suuremmat kokonaisluvut, jotka ovat jaollisia vain itsellään ja luvulla. 0. Lukujonojen A, B, C ja D alku on yhteinen, mutta kolmannet jäsenet eivät enää ole samoja. Lukujono A,,,, Lukujono B,,, 5, Lukujono C,,, 7, Lukujono D,,, 8, a) Muotoile kullekin lukujonolle sääntö, jolla lukujonon jäsen saadaan edellisestä jäsenestä. b) Kirjoita kunkin lukujonon kolme seuraavaa jäsentä.. Lukujonot Lukujonon muodostaminen
. Muodosta jokin sääntö lukujonolle, jonka ensimmäinen jäsen on 00 ja yhdestoista jäsen 00. Selvitä lukujonon kolme ensimmäistä ja sadas jäsen.. Lukujonon viides jäsen on. Lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku. Selvitä ilman teknisiä apuvälineitä lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä.. Lukujonon,,... jäsen saadaan lisäämällä sama luku edelliseen jäseneen. a) Mikä on tämä vakiolisäys? b) Laske lukujonon. ja 5. jäsen. Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä.. Jatka lukujonoa,,, ainakin kolmella eri tavalla. Muotoile kukin sääntö sanallisesti. 5. Keksi ainakin kaksi säännönmukaista tapaa täydentää lukujonon,,, 7,, puuttuvat jäsenet. syvennä ymmärrystä 6. Saksalainen matemaatikko Lothar Collatz esitti vuonna 97 seuraavanlaisen säännön eräälle lukujonolle: Valitaan ensimmäiseksi jäseneksi mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan i) jakamalla edellinen jäsen kahdella, jos se on parillinen ii) kertomalla edellinen jäsen kolmella ja lisäämällä tuloon yksi, jos edellinen jäsen on pariton. Tarkastele lukujonoa erilaisilla aloitusluvuilla. Millainen ominaisuus lukujonoon näyttää liittyvän? 7. Lukujonon ensimmäinen jäsen on 5 6, ja lukujonon jokainen uusi jäsen saadaan lisäämällä sama luku edelliseen jäseneen. Lukujonon 6 kolmas jäsen on. Laske ilman teknisiä apuvälineitä lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä.
8. Kirjoita viisi ensimmäistä jäsentä ja kymmenes jäsen lukujonosta, joka ilmaisee oheisten kuutioiden a) pikkukuutioiden lukumäärän b) sivutahkot peittävien pikkuneliöiden lukumäärän. kuvio kuvio kuvio 9. Lukujonossa,,,,,... jokainen jäsen on toisesta jäsenestä alkaen edellisen ja seuraavan jäsenen keskiarvo. a) Laske. ja 5. jäsen. b) Muotoile sääntö, jolla voidaan laskea mikä tahansa lukujonon jäsen, jos tunnetaan jäsenen järjestysluku. Ratkaise ilman teknisiä apuvälineitä. 0. Tarkastele lukujonoa,,, a) Kirjoita lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä kokonaislukuina. b) Millainen säännönmukaisuus liittyy jonon yhdeksään ensimmäiseen jäseneen, jos ne kirjoitetaan ilman potenssimerkintää? c) Miten jonon jäsenet näyttävät käyttäytyvän 0. jäsenestä alkaen?. Päättele belgialaisen Eugène Catalanin 800-luvulla kehittämän kolmion pohjalta, kuinka jatkuu lukujono a),,, 5,, b),, 5,, c),, 9, d), 5, 9,, e) Kuvaile sanallisesti, miten Catalanin kolmio muodostetaan. 5 5 9. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Millaisen säännön mukaan lukujono muodostuu? a),,,,,,, b),,, 5, 0,, 9,, 7,. Lukujonot Lukujonon muodostaminen 5
. Lukujonon yleinen jäsen JOHDANTO Kuviojonon kuviot muodostuvat neliönmuotoisista ruuduista. kuvio kuvio kuvio a) Kuinka monta ruutua on neljännessä kuviossa? b) Kuinka monta ruutua on 0. kuviossa? c) Muodosta sääntö, jolla voidaan laskea ruutujen lukumäärä, kun kuvion järjestysluku on n. RATKAISU a) Kuviojonon jokaisen kuvion keskusosa on neliö ja reunaosat ovat suorakulmioita. Neljännen kuvion keskusneliössä on ruutua ja jokaisessa neljässä reunaosassa ruutua. Koko kuviossa on siis + = ruutua. b) Taulukoidaan ruutujen lukumääriä kuvion järjestysluvun perusteella. Järjestysluku Keskusneliö Reunaosat Koko kuvio + = 5 + = + = + = Taulukon perusteella järjestysluvultaan 0. kuvion keskusneliössä on 0 0 ruutua ja jokaisessa neljässä reunaosassa 0 ruutua. Koko kuviossa on siis 0 0 + 0 = 00 + 0 = 0 ruutua. c) Jos kuvion järjestysluku on n, sen keskusneliössä on n n ruutua ja jokaisessa neljässä reunaosassa n ruutua. Koko kuviossa on siis n n + n = n + n ruutua. 6
Johdannossa kuvion järjestysluvun avulla muodostettiin lauseke, jolla voidaan laskea jonon minkä tahansa kuvion ruutujen lukumäärä. Järjestyslukua n kutsutaan muuttujaksi ja lukujonon n. jäsentä yleiseksi jäseneksi. Jotta jatkossa voidaan helposti viitata lukujonon tiettyyn jäseneen tai jonon yleiseen jäseneen, tarvitaan seuraavia merkintöjä. Lukujonoihin liittyviä merkintöjä Lukujonon nimeämisessä käytetään yleensä aakkosten alkupään pieniä kirjaimia a, b, c jne. Jos lukujonon nimeämisessä käytetään kirjainta a, niin merkintä a tarkoittaa lukujonon. jäsentä n. jäseneen eli yleiseen jäseneen viitataan merkinnällä a n koko lukujonoon viitataan merkinnällä (a n ). Lukujonon n. jäsen voidaan usein esittää lausekkeena. Esimerkiksi johdannossa n. jäsen oli a n = n + n. ESIMERKKI RATKAISU n Lukujonon n. jäsen on an = + n. Laske lukujonon neljä ensimmäistä jäsentä. Lukujonon ensimmäinen jäsen saadaan, kun muuttujan n paikalle sijoitetaan jäsenen järjestysluku : = + a =. Lasketaan vastaavalla tavalla kolme seuraavaa jäsentä: = + 5 a = 6 a a ( = + 6 = = 9 = + 7 =. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen 7
ESIMERKKI Johdannossa kuviojonon n. kuvion ruutujen lukumäärälle muodostettiin sääntö a n = n + n. Eräät opiskelijat ovat ehdottaneet myös sääntöä a n = n(n + ) + n. Onko sääntö oikea? Jos on, miten tällaiseen sääntöön voidaan päätyä? kuvio kuvio kuvio RATKAISU Kerrotaan ehdotetun lausekkeen n(n + ) + n sulkeet auki ja katsotaan, sieveneekö sääntö muotoon n + n. a n = n(n + ) + n = n n + n + n = n + n + n = n + n Sääntö on sama kuin johdannossa muodostettu sääntö. Sääntöön voi päätyä esimerkiksi jakamalla kuvion oheisella tavalla. Jos kuvion järjestysluku on n, kuvion keskellä olevassa sinisessä suorakulmiossa on n (n + ) ruutua ja violeteissa reunaosissa yhteensä n ruutua. n ruutua Appletti havainnollistaa kuvion jakamista. Lausekkeiden sievennykset Yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään termit, joilla on sama muuttujaosa. Esimerkiksi n n n = n n Kertolaskussa sulkeiden edessä olevalla termillä kerrotaan kaikki sulkeiden sisällä olevat termit. Esimerkiksi n(n ) = n n + n ( ) = n 6n 8
Kun kappale heijastuu kahden peilin kautta, syntyy useita peräkkäisiä peilikuvia. Lukujonon analyyttinen ja rekursiivinen sääntö Sääntö on analyyttinen, jos lukujonon jäsen voidaan laskea sen järjestysluvun n avulla. Analyyttisellä säännöllä voidaan laskea mikä tahansa lukujonon jäsen. Sääntö on rekursiivinen, jos lukujonon jäsen voidaan laskea edeltävien jäsenien avulla. Rekursiivista sääntöä ei voi käyttää, jos edeltäviä jäseniä ei tiedetä. n Esimerkin sääntö an = + on analyyttinen. Sitä käyttäen voidaan n laskea suoraan esimerkiksi jäsen a 00 sijoittamalla muuttujan n paikalle arvo 00. Rekursiivinen sääntö voi olla esimerkiksi Ensimmäinen jäsen a =, ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku. Sääntöä voidaan havainnollistaa seuraavasti: + + + + a = a a a a n a n Kuvassa merkintä a n tarkoittaa n. jäsentä ja merkintä a n tätä edeltävää jäsentä. Lukujonon rekursiivinen sääntö voidaan kirjoittaa muodossa a = ja a n = a n +, kun n =,,,. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen 9
ESIMERKKI RATKAISU Lukujono alkaa,, 8, 6, Muotoile lukujonolle jokin sääntö, joka on a) rekursiivinen b) analyyttinen. a) Näyttää siltä, että toisesta jäsenestä alkaen jonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla. Lukujonoa voidaan siis jatkaa esimerkiksi luvuilla, 6, 8, Lukujonon ensimmäinen jäsen on a =. Toinen jäsen saadaan kertomalla ensimmäinen jäsen luvulla eli a = a. Vastaavasti a = a eli kerrotaan edellinen jäsen luvulla. Merkitään jäsentä a n edeltävää jäsentä a n. Tällöin toisesta jäsenestä alkaen a n = a n. Lukujonon rekursiivinen sääntö on siis a = ja a n = a n, kun n =,,, b) Lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla. Jonon toinen jäsen voidaan kirjoittaa ensimmäisen jäsenen avulla muodossa a =. Vastaavasti kolmas jäsen 8 saadaan kertomalla lukujonon toinen jäsen a luvulla. Taulukoidaan lukujonon jäseniä järjestysluvun perusteella. n Lauseke Vaihtoehtoinen esitysmuoto Lukujonon jäsen ( ) = 8 ( ) = 6 Taulukosta nähdään, että lukujonon kukin jäsen saadaan, kun luku korotetaan järjestysluvun osoittamaan potenssiin. Lukujonon analyyttinen sääntö on siis a n = n. 0
ESIMERKKI Fibonaccin lukujonon ensimmäinen ja toinen jäsen on. Kolmannesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen on kahden edellisen jäsenen summa. a) Laske Fibonaccin lukujonon kuusi ensimmäistä jäsentä. b) Määritä lukujonon 50. jäsen. c) Muotoile lukujonon rekursiivinen sääntö. RATKAISU a) Merkitään a = ja a =. Lukujonon kolmas jäsen on ensimmäisen ja toisen jäsenen summa eli a = a + a = + =. Neljäs jäsen on toisen ja kolmannen jäsenen summa eli a = a + a = + =. Lasketaan vastaavalla tavalla lukujonon viides ja kuudes jäsen: a 5 = a + a = + = 5 a 6 = a + a 5 = + 5 = 8 Fibonaccin lukujonon kuusi ensimmäistä jäsentä ovat,,,, 5 ja 8. b) Kolmannesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen on kahden edellisen jäsenen summa. Koska 50. jäsenen selvittäminen olisi työlästä ilman teknisiä apuvälineitä, lasketaan lukujonon jäseniä taulukkolaskentaohjelmalla. Taulukon perusteella Fibonaccin lukujonon 50. jäsen on 586 69 05. Videossa näytetään, miten lukujonon jäseniä voidaan laskea taulukkolaskentaohjelman avulla. c) Merkitään n. jäsentä a n edeltävää jäsentä a n ja tätä edeltävää jäsentä a n. Lukujonon rekursiivinen sääntö on a =, a = ja a n = a n + a n, kun n =,, 5,. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen
Harjoitustehtävät luo perusta Ratkaise tehtävät 8 ilman teknisiä apuvälineitä.. Lukujonon n. jäsen an =. Laske lukujonon neljä ensimmäistä jäsentä. n. Lukujonon jäsen saadaan lisäämällä sen järjestyslukuun n luku 5. a) Laske lukujonon jäsenet a, a ja a sekä sadas jäsen a 00. b) Kirjoita lukujonon n. jäsen a n. 5. Kirjoita lukujonon n. jäsen a n sekä 0. jäsen a 0, kun jäsen saadaan a) korottamalla järjestysluku n potenssiin b) kertomalla järjestysluku n luvulla ja vähentämällä tulosta luku. 6. Mikä on lukujonon 5, 0, 5, 0, a) sadas jäsen a 00 b) n. jäsen a n? 7. Selvitä lukujonon neljä ensimmäistä jäsentä, kun jonon rekursiivinen sääntö on seuraava: Ensimmäinen jäsen a =, ja toisesta jäsenestä alkaen jonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. 8. Muotoile lukujonon,, 7, 0, rekursiivinen sääntö sanallisesti. 9. Lukujonon ensimmäinen jäsen a = 5, ja toisesta jäsenestä alkaen jonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä luku. Laske oheisen laskentataulukon avulla lukujonon 0 ensimmäistä jäsentä. vahvista osaamista 0. Laske lukujonon (a n ) neljä ensimmäistä jäsentä ilman teknisiä apuvälineitä. a) a n n n = b) an = + c) a 6 n n = n. a) Kirjoita kuviojonon neljän ensimmäisen ja 00. kuvion neliöiden lukumäärät. b) Muodosta sääntö a n, jolla voidaan laskea n. kuvion neliöiden lukumäärä. kuvio kuvio kuvio
. Mikä on lukujonon,, 6, 8, a) sadas jäsen a 00 b) n. jäsen a n?. Määritä lukujonon 0. jäsen a 0 sekä n. jäsen a n, kun lukujono on a),, 9, 6, b), 5, 0, 7,. Lukujonon rekursiivinen sääntö on a) a = 5 ja a n = a n + b) a = ja a n = a n. Kirjoita lukujonon neljä ensimmäistä jäsentä, kun n =,,, 5. Esitä lukujonon rekursiivinen sääntö lausekkeena, kun a) lukujonon ensimmäinen jäsen a = ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku b) lukujonon ensimmäinen jäsen a = 5 ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla 0. 6. Esitä lukujonolle 7,, 7,, rekursiivinen sääntö a) sanallisesti b) lausekkeena. 7. a) Kirjoita kuviojonon viiden ensimmäisen kuvion janojen lukumäärät lukujonona. b) Esitä kuviojonon janojen lukumäärän ilmaiseva rekursiivinen sääntö lausekkeena. kuvio kuvio kuvio kuvio 8. Onko sääntö rekursiivinen vai analyyttinen? Perustele. a) Lukujonon jäsen saadaan, kun järjestysluku kerrotaan kahdella. b) Lukujonon ensimmäinen jäsen on ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan vähentämällä edellisestä jäsenestä luku 7. 9. Muodosta lauseke lukujonon, 6, 9,, a) rekursiiviselle säännölle b) analyyttiselle säännölle.. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen
0. Lukujonon ensimmäinen jäsen on, ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen luku. a) Jos laskentataulukon solussa A on luku, millä kaavalla soluun A saadaan laskettua lukujonon toinen jäsen? b) Laske taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon viisitoista ensimmäistä jäsentä.. Laske taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon a = ja a n = a n kymmenen ensimmäistä jäsentä, kun n =,,,. Suomalaisten vastasyntyneiden odotettavissa oleva elinikä kasvaa noin kahdella kuukaudella joka vuosi. Vuonna 00 syntyneiden elinajan odote oli noin 80 vuotta. Muodosta taulukkolaskentaohjelman avulla taulukko, jonka sarakkeessa A on allekkain syntymävuodet 00 00 ja sarakkeessa B vastaavat oletettavat eliniät.. Kuinka monta a) keltaista b) oranssia neliötä on kuviojonon 0. jäsenessä a 0 ja n. jäsenessä a n? kuvio kuvio kuvio. Mikä on lukujonon n. jäsenen lauseke a n, kun lukujonon muodostavat a) parilliset positiiviset kokonaisluvut b) parittomat positiiviset kokonaisluvut c) kolmella jaolliset positiiviset kokonaisluvut d) positiivisten kokonaislukujen neliöt? 5. Lukujonon ensimmäinen jäsen on 5 6, ja kukin seuraava jäsen saadaan vähentämällä edellisestä luku. a) Laske lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä. b) Kirjoita lukujonon sääntö sekä rekursiivisesti että analyyttisesti. 6. Päättele lukujonon,,,,... 9 6 5 a) 0. jäsen a 0 b) n. jäsen a n.
syvennä ymmärrystä 7. a) Miten kuvio liittyy Fibonaccin lukujonoon,,,, 5, 8,,? b) Piirrä vastaava kuvio ja jatka sitä ainakin yhdellä kaarella. 8. Kuinka monta neliötä on kuviojonon n. kuviossa? Muodosta sääntö ainakin kahdella eri tavalla. kuvio kuvio kuvio 9. Johdannossa kuviojonon n. kuvion ruutujen lukumäärälle muodostettiin sääntö a n = n + n. Onko myös seuraava sääntö oikea? Jos on, miten siihen voidaan päätyä? a) a n = (n + )n b) a n = n(n + ) + n(n + ) n kuvio kuvio kuvio 50. a) Kirjoita lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä, kun a =, a = ja a n = a n a n, n =,, 5, b) Esitä lukujonon rekursiivinen sääntö lausekkeena, kun ensimmäinen jäsen a =, toinen jäsen a = 7 ja kolmannesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan laskemalla kahden edellisen jäsenen summa. 5. Rekursiivisen lukujonon (a n ) kaksi ensimmäistä jäsentä ovat ja ja kolmannesta jäsenestä alkaen uusi jäsen saadaan kaavalla a n = a n a n. a) Jos taulukkolaskentaohjelman soluissa A ja A on luku, millä kaavalla soluun A saadaan lukujonon kolmas jäsen? b) Laske lukujonon peräkkäisiä jäseniä taulukkolaskentaohjelmalla ja kuvaile lukujonon käyttäytymistä. c) Miten lukujonon käyttäytyminen muuttuu, jos lukujonon kaksi ensimmäistä jäsentä ovat a = ja a =? Käytä b-kohdan taulukkoa vaihtamalla pelkästään ensimmäisten solujen arvot. Kokeile myös muita ensimmäisten jäsenten a ja a arvoja.. Lukujonot Lukujonon yleinen jäsen 5
5. a) Laadi taulukkolaskentaohjelmalla oheinen taulukko. Kirjoita luvut aluksi soluihin A ja B. Käytä muilta osin kaavoja ja soluviittauksia. b) Ilmoita sarakkeessa B olevan lukujonon (b n ) rekursiivinen sääntö. 5. a) Kirjoita lukujonon a n = ( ) n viisi peräkkäistä jäsentä. b) Mikä on lukujonon,,,,... n. jäsen a n? c) Mikä on lukujonon 0,, 0,, n. jäsen a n? Entä mikä on lukujonon, 0,, 0, n. jäsen a n? 5. Lukujonon (a n ) sääntö on ilmaistu rekursiivisesti muodossa a = ja an= an, ( + a ) kun n =,,, n a) Laske lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ilman teknisiä apuvälineitä. Laske tämän jälkeen taulukkolaskentaohjelmalla lisää lukujonon jäseniä kymmenen desimaalin tarkkuudella. Miten jono käyttäytyy? b) Vertaa lukujonon jäseniä luvun neliöjuureen. c) Muokkaa lukujonon sääntöä siten, että saat laskettua luvun 5 neliöjuuren. Pohdi, mitä käyttöä tämänkaltaisella lukujonolla voi olla. 55. a) Täydennä taulukko. Pohdi erityisesti, miten lausekkeen arvo liittyy Fibonaccin lukujonon jäseniin. 6 Kolme peräkkäistä Fibonaccin lukujonon jäsentä Sääntö,, =,, + =,, 5 5 =, 5, 8 5, 8, 8,, b) Muotoile yhtälö, joka kuvaa taulukon perusteella havaittua säännönmukaisuutta. Käytä yhtälössä merkintöjä F n, F n ja F n kuvaamaan Fibonaccin lukujonon kolmea peräkkäistä jäsentä.