Matemaattisen mallinnuksen peruskurssi: Differentiaaliyhtälöt ja systeemiteoria

Matemaattisen mallinnuksen peruskurssi: Differentiaaliyhtälöt ja systeemiteoria 22. heinäkuuta 24

2

Sisältö 1 Johdanto: muutoksen mallintaminen 5 2 Diskreettiaikainen mallintaminen 7 2.1 Differenssiyhtälöt... 8 2.2 Mallintaminen differenssiyhtälöillä... 9 2.3 Käyttäytymisen arviointi differenssiyhtälöllä... 11 2.3.1 Rajaton kasvu... 11 2.3.2 Rajattu kasvu... 12 2.4 Differenssiyhtälöryhmä... 15 2.5 Mallintaminen differenssiyhtälöryhmällä... 16 2.5.1 Kilpailevat populaatiot... 16 2.5.2 Saalis - saalistaja... 17 2.6 Ratkaisut... 19 2.6.1 Numeerinen ratkaisu ja pitkäaikainen käytös... 19 2.6.2 Analyyttinen ratkaisu... 21 2.6.3 Tasapainotilat... 24 3 Jatkuva-aikainen mallintaminen 27 3.1 Differentiaaliyhtälö... 27 3.2 Mallintaminen differentiaaliyhtälöllä... 28 3.2.1 Populaation kasvu... 28 3.3 Differentiaaliyhtälöryhmät... 3 3.4 Mallintaminen differentiaaliyhtälöryhmällä... 31 3.4.1 Interaktiiviset populaatiot...... 31 3.5 Dimensioton muoto... 32 3.6 Ratkaisut... 33 3.6.1 Numeerinen... 33 3.6.2 Analyyttinen... 34 3.6.3 Tasapainoarvot... 37 3.6.4 Graafinen tarkastelu... 39 3.7 Esimerkki - lääkekuurin määrääminen.... 41 3

4

Luku 1 Johdanto: muutoksen mallintaminen Matemaattisessa mallinnuksessa tarkoituksena on luoda malleja, joiden avulla pystytään selittämään käyttäytymistä tai ennustaa tulevaa. Monesti hyvä lähtökohta on yhtälö nykyinen arvo = vanha arvo + muutos. Usein analyysi aloitetaan tutkimalla vain muutosta. Jos asiat tapahtuvat tietyin aikavälein, tarkastellaan asiaa diskreetissä ajassa. Käytetään differenssiyhtälöitä. Jos aika on taas jatkuvaa, otetaan käyttöön differentiaaliyhtälöt. Jatkuva-aikaista käyttäytymistä voi myös arvioida differenssiyhtälöillä. Toisaalta joskus on hyödyllistä tutkia diskreettiaikaista mallia differentiaaliyhtälöillä. Interaktiivisia järjestelmiä mallintaessa tarvitaan puolestaan differenssi- ja differentiaaliyhtälöryhmiä. Differenssiyhtälöiden teoriassa ja soveltamisessa on monia yhtäläisyyksiä differentiaaliyhtälöiden teoriaan. Seurauksena muunnokset differenssi ja differentiaaliyhtälöiden välillä ovat mahdollisia. 5

6

Luku 2 Diskreettiaikainen mallintaminen Katsotaan ensin intuitiivinen esimerkki. Esimerkki - Ydinasekilpailu Maat X ja Y ovat ydinasekilpailussa keskenään. Kumpikin maa uskoo, että kunhan silläonohjuksia tietty määrä, toinen ei uskalla hyökätä. Maa Y laskee, ettäse tarvitsee 12 ohjusta vahingoittaakseen vastustajaa. Lisäksi Y laskee, että kahta X:n ohjusta vastaan se tarvitse yhden ylimääräisen. y olkoon Y :n ohjusten määrä ja xx:n ohjusten määrä, jotka Y on havainnut. Y noudattaa tällöin strategiaa y = 12 + 1 2 x. Maa X noudattaa samankaltaista strategiaa. Se laskee, ettäsetarvitsee ainakin 6 ohjusta, sekä lisäksi yhden kolmea Y :n ohjusta kohden. Olkoon x nyt X:n ydinaseiden määrä jayx:n havaitsemat Y :n ydinaseet. X:n strategia on yhtälön x =6+ 1 3 y mukaista. Miten ydinasekilpailu etenee? Ensimmäisellä askeleella Y rakentaa 12 ohjusta ja X 6. Oletetaan nyt, että X:n ja Y :n tiedustelutiedot ovat täydellisiä, eli kumpikin on tietoinen kaikista toisen maan ohjuksista. Seuraavassa vaiheessa Y lisää kapasiteettinsa y = 12 + 1 6 = 15 ohjukseen. X:n ohjuksia on taas x =6+ 1 12 = 1. Kun 2 3 merkitsemmä n:nnen vaiheen ohjusmääriä x n :llä jay n :llä, saadaan yhtälöt { yn+1 = 12 + 1x 2 n x n+1 = 6+ 1y. 3 n x =6ja y = 12 ovat mallin alkuarvot, itse yhtälöissä esiintyvät 6, 12, 1 ja 2 ovat mallin parametrejä. 1 3 7

8 Kun kilpailu jatkuu dynaamisesti (vaiheittain) samojen yhtälöiden mukaisesti tilanteet menevät seuraavasti: n 1 2 3 4 y n 12 15 17 175 178 x n 6 1 11 117 118 18 17 15 12 y y y y 2 3 y 1 x 1 x 2 (12,18) x 3 x 6 112 x Rakennettavien ohjusten määränäyttääpienenevän vaiheiden edetessä. Y näyttää päätyvän noin 18 ohjukseen, X taas 12 ohjukseen. Ennustaako malli tasapainoarvoja, joihin maat näyttävät päätyvän? Onko tasapainoasema vakaa, eli vaikuttavatko alkuarvojen muutokset paljon siihen? Kuinka herkkä lopputulos on muutoksille mallin parametreissä? Karkaako kilpavarustelu käsistä, jos jompi kumpi poikkeaa strategiastaan hiukan? 2.1 Differenssiyhtälöt Yleisesti k:nnen asteen differenssiyhtälö onmuotoa: f(n, x n+1,x n,x n 1,x n 2,...x n k+1 )= Ensimmäisen asteen differenssiyhtälö Yleensä tullaan toimeen ensimmäisen asteen differenssiyhtälöllä f(n, x n+1,x n )=,

9 joka pyritään kirjoittamaan eksplisiittiseen muotoon x n+1 = g(n, x n ). (Vastaavasti joskus käytetään muotoja f(n, x n,x n 1 )=ja x n = g(n, x n 1 ).) Autonominen yhtälö Differenssiyhtälöä kutsutaan autonomiseksi, mikäli funktio g ei suoraan riipu aikamuuttuja n:stä. x n+1 = g(x n ) Alkuarvotehtävä Alkuarvotehtäväonalkuarvojen ja differenssiyhtälön yhdistelmä. Eksplisiittiseen muotoon sijoittamalla voidaan laskea seuraava arvo. Differenssiyhtälöistä puhuttaessa käytetään usein termejä jono, dynaaminen systeemi, numeerinen ratkaisu jaanalyyttinen ratkaisu. Ensinnäkin differenssiyhtälömäärittelee jonon rekursiivisesti. Jonon termien yhteyden kuvaus on dynaaminen systeemi. Numeerinen ratkaisu on taas taulukko arvoista, jotka toteuttavat differenssiyhtälön. Analyyttinen ratkaisu on taas kaava, jolla jonon n:s alkio voidaan laskea pelkästään n:n perusteella, laskematta edellisiä jonon alkioita etukäteen. Monesti differenssiyhtälön analyyttinen ratkaisu ei ole mahdollinen. 2.2 Mallintaminen differenssiyhtälöillä Kunmuutoksia havaitaan jonkin asian käyttäytymisessä, on hyödyllistä tietää miksi muutos tapahtui kyseisellä tavalla ja mahdollisesti ennustaa mitä tapahtuu seuraavaksi. Matemaattisen mallin avulla voidaan ymmärtääkäyttäytymistä. Voidaan myös kokeilla helposti mitä tapahtuisi, jos alkuehdot tai parametrit muuttuisivat. Jonoja tarkasteltaessa puhutaan ensimmäisistädifferensseistä.jonon A = {a, a 1,a 2,...} n:s ensimmäinen differenssi on a n = a n+1 a n. Usein huomaataan datan muodostaman jonon termien yhteys tarkastelemalla näitä ensimmäisiädifferenssejä. Tämän jälkeen differenssiyhtälön kirjoittaminen onkin vähän helpompaa.

1 Käyttämällä ensimmäistä differenssiä voidaan ensimmäisen asteen differenssiyhtälöt kirjoittaa muodossa x n = g(n, x n ), josta näkyykin paremmin yhteys differentiaaliyhtälöihin. Esimerkki - Asuntolaina Otetaan asuntolaina 8 eurolle 2 vuoden ajaksi. Kuukausittain velasta maksetaan 88.87 euroa, korkoa laina kasvaa kuukausittain 1%. Lainan määrän b n muutos kuukausittain on: b n = b n+1 b n =.1b n 88.87. Lainan määrä käyttäytyy dynaamisen mallin mukaisesti: { bn+1 = 1.1b n 88.87 b = 8, jossa b n on siis lainan määrä n:n kuukauden jälkeen. Numeerinen ratkaisu saadaan sijoittamalla differenssiyhtälöön edellinen arvo. n b n 8 1 79919.13 2 79837.45 3 79754.96 4 79671.64 5 79587.48 6 7952.49 7 79416.64 8 79329.94 9 79242.37 1 79153.92 11 7964.59 12 78974.37 8 b n 4 1 2 n

11 2.3 Käyttäytymisen arviointi differenssiyhtälöllä Monesti muutoksia ei ole yhtähelppo kuvata tarkasti kuin edellisessäasuntolaina esimerkissä. Olihan kyseessä ihmisen helppoa ymmärrettävyyttä silmällä pitäen luoma tilanne. Yleensä joudutaan esittämään muutos graafisesti, löytämään jokin säännönmukaisuus ja arvioimaan tilannetta matemaattisesti. Kun huomaataan toistuva muutos, pyritään siis löytämään funktion f, joka kuvaa muutosta. Muutoksen mallintaminen onkin pitkälti funktion f löytämistä jaarvioimista. Yleensähän matemaattiset mallit eivät kuvaa tarkasti reaalimaailmaa. Tarvitaan ainakin jonkun verran yksinkertaistuksia ja arviointeja. Eliölajin populaation muutokseen vaikuttaa esimerkiksi syntyvyys, kuolleisuus, ruoan saatavuus, kilpailu ruoasta, saalistajat ja luonnon muutokset. Kaikkien tekijöiden mallintaminen on usein mahdotonta tai ei ainakaan helppoa. Valitaan mukaan helposti mitattavia, helposti mallinnettavia ja malliin vaikuttavia suureita. Samalla kun osa tekijöistäjätetään huomiotta, voidaan tarkasteltava aika muuttaa diskreetiksi, vaikka todellisuudessa tapahtumat olisivatkin luonteeltaan jatkuvia. Erityisen hyödyllistätämäontilanteissa, joissa epäjatkuvia muutoksia tapahtuu tietyin väliajoin, esimerkkinä eläimien vuotuiset lisääntymisajat. 2.3.1 Rajaton kasvu Yksinkertainen differenssiyhtälömalli saadaan, kun kasvu p n on verrannollista määrään p n : p n = p n+1 p n = αp n p n+1 = p n + αp n, missä α>.tätä kutsutaan Malthusin malliksi. p p n 1 α p n Kuvista huomataan, että malli ennustaa rajatonta kasvua.

12 Tämä malli sopii hyvin esimerkiksi populaation kasvuun alkuaikoina, kun resurssien vähyys ei vielä pääse vaikuttamaan asiaan.tällöin populaatiossa p n syntymiä tapahtuu populaatioon verrannollinen määrä eli sp n.myös kuolemia tapahtuu populaatioon verrannollinen määrä kp n.koko populaation muutos on siis p n = sp n kp n =(s k)p n = αp n. Myös säästötilin koronkasvu on Malthusin mallin mukaista. Tällöin α on prosentti, jolla korkoa annetaan ja mittausten väli on koronmaksun aikaväli(esimerkiksi kuukausittain). Esimerkki - Hiivan biomassa Halutaan sovittaa malli seuraavaan dataan ( n = aika tunneissa, p n = havannoitu biomassa, p n = p n+1 p n = biomassan muutos): 1 n p n p n 9.6 8.7 1 18.3 1.7 2 29. 18.2 3 47.2 23.9 4 71.1 48. 5 119.1 55.5 6 174.6 82.7 7 257.3 75 p 5 25 5 1 15 2 p Graafisesta esityksestä huomataan, että populaation muutos on suunnilleen verrannollinen populaation kokoon. Siis p n = α p n,jollekin α. Kunpiirretään muutosta arvoivan suoran origon kautta, saadaan kulmakertoimeksi α.5.luotu malli on siis p n = p n+1 p n =.5p n p n+1 =1.5p n 2.3.2 Rajattu kasvu Joshalutaan mallin ottavan huomioon myös resurssien äärellisen määrän, voidaan menetellä seuraavasti. Olkoon maksimipopulaatio M raja, jota suuremmaksi tutkittu määrä p n ei voi kasvaa ainakaan pysyvästi. Alussa resurssien rajallisuus ei

13 vaikuta ja p n noudattaa rajattoman kasvun mallia p n = αp n. Kun p n kasvaa suureksi, kasvun pitäisi hidastua, eli α:n pitäisi pienentyä. Otetaan malliin mukaan kerroin M p n M, jolla on ominaisuudet p n M : p n M : M p n M =1 p n M 1, M p n M. Nyt malli saa muodon p n = α M p n M p n p n+1 = p n + α M (M p n)p n. Johdettumalli pätee alun rajattomaan kasvuun ja lopun vähenevään kasvuun. Tätä mallia kutsutaan Verhulstin malliksi tai logistisen kasvun malliksi. Huomaa, että mallin yhtälön oikea puoli on kvadraattinen p n :een nähden. Tämä dynaaminen systeemi on epälineaarinen ja yleensä sitäeivoida ratkaista analyyttisesti. p p n M 1 α M p n Esimerkiksi eliöpopulaatiot noudattavat tätä mallia, kun niilläonjonkin rajallinenresurssi (esimerkiksi ruoka). Toinen esimerkki voisi ollaflunssan leviäminen kouluympäristössä.

14 Esimerkki - Hiivan biomassa Kun tarkastellaan edellisen esimerkin tilannette ajassa pidemmälle saadaan seuraavat tulokset: n p n p n 7 257.3 93.4 8 35.7 9.3 9 441. 72.3 1 513.3 46.4 11 559.7 35.1 12 594.8 34.6 13 629.4 11.4 14 64.8 1.3 15 651.1 4.8 16 655.9 3.7 17 659.6 2.2 18 661.8 7 6 5 p 4 n 3 2 1 5 1 15 2 n Näyttää selvästi siltä, että kasvuvauhti pienenee ja kasvu jopa pysähtyy, kun populaatio kasvaa tarpeeksi suureksi. Populaation koko näyttää lähenevän maksimipopulaatiota. Graafisen esityksen perusteella voitaisiin olettaa, että maksimipopulaatio on noin 665. Tämä onsiissemäärä hiivaa, jonka kyseessä oleva ympäristövoipitää kerrallaan hengissä. Korjataan malli muotoon p n = k(665 p n )p n. Koitetaan miten tämämalli selittäisi kerättyädataa. Tämävoidaan tehdäesittämällä graafisesti suure p n suureen (655 p n )p n funktiona. 1 8 6 p n 4 2 2 4 6 8 1 12 (665 p n )p n

Koepisteet ovat suunnilleen origon kautta kulkevalla suoralle. Kulmakertoimeksi saadaan k.81.malli on siis 15 p n = p n+1 p n =.81(665 p n )p n p n+1 = p n +.81(665 p n )p n Graafisesta esityksestä nähdäänmallinpätevyys. Mallinennustamat arvot ovat kohtuullisen lähellä koetulosten arvoja. 7 6 5 p 4 n 3 2 1 koetulokset mallin ennusteet 5 1 n 15 2 2.4 Differenssiyhtälöryhmä Yleisesti eksplisiittinen differenssiyhtälöryhmä onmuotoa x n+1 = g 1 (n, x n,y n,...,x n 1,y n 1,...) y n+1 = g 2 (n, x n,y n,...,x n 1,y n 1,...). eli vektorimuodossa x n+1 = g(n, x n, x n 1,...). Ensimmäisen asteen differenssiyhtälöryhmä Ensimmäisen asteen yhtälöryhmä onvektorimuodossa x n+1 = g(n, x n ). Huomaa, että x n :n komponentit voivat tietysti vaikuttaa toisiinsa.

16 Lineaarinen vakiokertoiminen yhtälöryhmä Lineaarinen differenssiyhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa x n+1 = Ax n + b. Korkeamman asteen differenssiyhtälö Oletetaan, että käytössä onk:nnen asteen differenssiyhtälö: x n+1 = g(n, x n,x n 1,...,x n k+1 ). Merkitään nyt eli x 1 n+1 = g(n, x 1 n,x 2 n,...x k+1 n ) x 2 n+1 = x 1 n x 3 n+1 = x 2 n. x k+1 n+1 = x k n x n+1 = g(n, x n ). Muunnoksella saadaan siis korkeamman asteen differenssiyhtälö muutettua yhtälöryhmäksi. x n :n ensimmäinen alkio seuraa alkuperäisen yhtälön arvoja, loput toimivat muistina. Samanlailla korkeamman asteen differenssiyhtälöryhmä voidaan muuntaa ensimmäisen asteen yhtälöryhmäksi. 2.5 Mallintaminen differenssiyhtälöryhmällä 2.5.1 Kilpailevat populaatiot Oletetaan, että meilläonesimerkiksi 2 eliölajipopulaatiota p n ja q n,jotka kilpailevatjostain yhteisestäresurssista. Toisen lajin poissa ollessa molemmat populaatiot kasvavat rajatta: p n = α 1 p n, q n = α 2 q n, missä α 1,α 2 >. Toinen populaatio hidastaa toisen kasvuvauhtia. Hidastavaa tekijää voidaan mallintaa monin tavoin. Yksinkertaisimmillaan kasvun hidastuminen on verrannollinen populaatioiden mahdollisiin kanssakäymisiin. Populaation

p n kukin yksilö voijoutua kanssakäymisiin kunkin toisen populaation q n :n yksilön kanssa. Eli kasvun hidastuminen on verrannollinen tuloon p n q n : 17 { pn = α 1 p n β 1 p n q n, q n = α 2 q n β 2 p n q n jossa β 1 ja β 2 ovat positiivisia vakioita, lajien suhteelliset haitat. Esimerkki - Pöllöt ja haukat Olkoon meilläpöllöpopulaatio P n ja haukkapopulaatio H n.nekilpailevat samasta ravinnosta (hiiristä), joten niiden voidaan olettaa noudattavan kilpailevien lajien differenssiyhtälömallia. Olkoon yhtälöt { Pn+1 = 1.2P n.1p n H n H n+1 = 1.3H n.2p n H n Katsotaan mitä tapahtuu, kun lähdetään liikkeelle populaatioista P 1 = 151, H 1 = 21. n P n H n 1 151. 21. 2 15.85 21. 3 15.76 2.26... 7 15.87 199.7... 23 175.1 163.4... 34. 498.67 9.11 35. 593.85 2.76 6 5 4 3 2 1 Pöllöt Haukat 1 2 3 4 Haukat näyttävät kuolevan vaikka niitä alussa olikin selvästi enemmän. Pöllöpopulaatiolla menee hyvin. 2.5.2 Saalis - saalistaja Olkoon nyt p n saalispopulaatio ja q n saalistajapopulaatio. Saalispopolaatio kasvaa kuten kilpailevien lajien kohdalla, kasvun hidastuminen on verrannollinen mahdollisiin kanssakäymisiin saalistajien kanssa:

18 p n = α 1 p n β 1 p n q n, Saalistajan kohdalla asiat ovat toisin. Jos saalita ei olisi, saalistajapopulaatio kuolisi pois, esimerkiksi populaatioon verrannollisella vauhdilla α 2 q n.saaliiden olemassaolo puolestaan lisää kasvuvauhtia verrannollisena mahdollisiin kanssa käymisiin β 2 p n q n : jossa siis α 2,β 2 >.Yhteensä: q n = α 2 q n + β 2 p n q n, { pn = α 1 p n β 1 p n q n q n = α 2 q n + β 2 p n q n Esimerkki - Pöllöt ja hiiret Pöllöpopulaation P n ja hiiripopulaation M n voidaan olettaa noudattavan saalissaalistaja mallia. Olkoon malli { Mn+1 = 1.2M n.1p n M n P n+1 =.7P n +.2P n M n n P n H n 1 19. 83. 2 182.4 838.3 3 178.13 853.5... 9 259.12 839.94 1 253.9 79.29 12 1 8 6 4 Hiiret Pöllöt... 2 19 268.95 1174.75 2 443.64 193.75 5 1 15 2 Yhteiselo sujuu ainakin jonkin aikaa. Kun hiiriä onpaljon pöllöpopulaatio alkaa kasvaa nopeammin. Kun pöllöjä onpaljon hiiripopulaatio vähenee, joka taas aiheuttaa pöllöpopulaation kutistumisen. n

19 2.6 Ratkaisut 2.6.1 Numeerinen ratkaisu ja pitkäaikainen käytös Differenssiyhtälön numeerinen ratkaisu on taulukko, jossa arvot on laskettu edellisten arvojen perusteella. Aikaisemmin on ollut useita esimerkkeja tästä. Pitkällä aika välillä numeerinen ratkaisu voi käyttäytyä monin tavoin: kasvaa rajatta vähenee rajatta lähenee raja arvoa värähtelee jaksottain värähtelee vaimenevasti värähtelee voimistuen Auton jousituksen mallintamisessa voimistuva tai jaksollinen värähtely ei olisi toivottavaa. Ilmaston keskilämpötilan puolestaan kuuluu värähdellä vuodenaikojen vaihtuessa. Esimerkki - Dynaamiset systeemit muotoa a n+1 = ra n Dynaaminen systeemi muotoa a n+1 = ra n, alkuehto a annettuna ratkeaa helposti analyyttisesti: a n = r n a.

2 Systeemi käyttäytyy seuraavasti: r>1 kasvaa rajatta r =1 vakioratkaisu a 1 >r> suppenee tasaisesti kohti nollaa r = vakioratkaisu >r> 1 suppenee oskilloiden kohti nollaa r = 1 oskilloi ± a r< 1 oskilloi voimistuen Esimerkki - Epälineaariset systeemit Epälineaarisilla systeemeillä eiyleensä ole analyyttistä ratkaisua. Epälineaariset systeemit ovatkin hyvin herkkiä alkuarvoista ja parametreistä. Tarkastellaan differenssiyhtälöä a n+1 = r(1 a n )a n alkuarvolla a =.2.Katsotaan mitä tapahtuu, kun r saa arvot 2, 3, 3.6 ja 3.7. 1 r=2 1 r=3.5.5 1 2 1 r=3.6 1 2 1 r=3.7.5.5 1 2 1 2 Kun r =2lähestytään tasaisesti raja-arvoa. Kun r =3tai r =3.6 systeemi värähtelee. Kun r =3.7 systeemi käyttäytyy suorastaan kaoottisesti.

21 2.6.2 Analyyttinen ratkaisu Epälineaarisillädifferenssiyhtälöilläeiole ratkaisua yleisesti. Lineaarisilla vakiokertoimisilla systeemeillä analyyttinen ratkaisu on. Yleensä hyvästrategia yksinkertaisempien differenssiyhtälöiden ratkaisussa on: 1. Kirjoita differenssiyhtälöävastaavan jonon termejä. Huomaa jokin säännönmukaisuus. 2. Kirjoita kaava päätellylle säännönmukaisuudelle, eli ehdotelma analyyttiselle ratkaisulle. 3. Varmista/todista kaavan toimivuus sijoittamalla se differenssiyhtälöön. Seuraavassa esitetään lineaaristen differenssiyhtälöiden ratkaisut suoraan kaavamuodossa. Lineaarinen vakiokertoiminen homogeninen yhtälö Yhtälön ratkaisu alkuarvolla x on selvästi Lineaarinen vakiokertoiminen yhtälö Tarkastellaan mallia x n+1 = Ax n x n = A n x. x n+1 = Ax n + b, jolle on annettu alkuarvo x.otetaan käyttöön askelfunktio { n< u n = 1 n jolloin differenssiyhtälön voi kirjoittaa muodossa Tämän yhtälön analyyttinen ratkaisu on missä x n+1 = Ax n + u n b. x n = ˆx n +(u h) n,

22 ˆx n on homogeenisen yhtälön ˆx n+1 = Aˆx n ratkaisu alkuehdolla ˆx = x.(general Solution, Yleinen ratkaisu) (u h) n on diskreetti konvoluutio (u h) n = n u i h n i, i= jossa edelleen h n on systeemin h n+1 = Ah n + δ n b ratkaisu alkuehdolla h = (Particular Solution, Erikoisratkaisu). Tässä siis δ n on diskreetti herätefunktio δ n = { 1 n = muuten Lineaarisen differenssiyhtälöryhmän ratkaisu saatiin kahden eri yhtälöryhmän ratkaisujen summaksi. Nämä yksinkertaisemmat yhtälöryhmät onkin sitten helppo ratkaista. ˆx n = A n x { n = h n = A n 1 b muuten Mikäli matriisi A on diagonalisoituva, matriisipotenssit saadaan laskettua helposti ominaisarvohajotelman kautta. A n = (PΛP 1 ) n = PΛ n P 1 = P λ n 1... λ n p P 1 Muita menetelmiämatriisipotenssin nopealle laskemiselle löytyy kirjallisuudesta.

23 Esimerkki - asuntolaina Haetaan yhtälön b n+1 =1.1b n 88.87, analyyttinen ratkaisu esitetyllä kolmivaiheisella menettelyllä, kun b = 8. 1. Kirjoitetaan jonon termejä. b = 8 b 1 = 1.1b 88.87 b 2 = 1.1(1.1b 88.87) 88.87 =1.1 2 b 1.1 88.87 88.87 2. Yhtälön ratkaisu voisi olla (sievennetään käyttäen geometrisen sarjan summakaavaa): ˆbn = 1.1 n 8 1.1 n 1 88.87 1.1 n 2 88.87... 1.1 88.87 n 1 = 1.1 n 8 88.87 1.1 i i= = 1.1 n 8 88.87 1 1.1n 1 1.1 = 1.1 n 8 88.87 1.1n 1.1 3. Todennetaan, että annettu ratkaisu ˆb n todella ratkaisee alkuarvotehtävän. Alkuarvo: ˆb =1.1 8 88.87 1.1 1.1 = 8 Rekursiokaava(oletetaan, että b n = ˆb n ja osoitetaan b n+1 = ˆb n+1 ): b n+1 = 1.1b n 88.87 = 1.1(1.1 n 8 88.87 1.1n 1 ) 88.87.1 = 1.1 n+1 8 88.87 1.1n+1 1.1.1 = 1.1 n+1 8 88.87( 1.1n+1 1.1 = 1.1 n+1 8 88.87 1.1n+1 1.1 88.87.1.1 ) 88.87 = ˆb n+1

24 Esimerkki - Ydinasekilpailu Kirjoitetaan malli ensin matriisimuodossa: ( ) ( xn+1 1 = 3 1 y n+1 x n+1 = Ax n + b 2 )( xn y n ) + ( 6 12 ) Alkuehtona siis x = (6, 12) T.Analyyttinen ratkaisu on x n = ˆx n +(u h) n n 1 = A n x +( A i ) b i= = A n x +(I A) 1 (I A n )b geometrisen sarjan summakaava Lasketaan ratkaisun arvo, kun n =4.Tarvittu matriisipotenssi saadaan ominaisarvohajotelman A = PΛP 1 avulla. Ja lopulta ratkaisun arvo 2.6.3 Tasapainotilat ( ).484 Λ =.484 ( ).6325.6325 P =.7746.7746 ( ).278 A 4 = PΛ 4 P 1 =.278 x 4 = A 4 x +(I A) 1 (I A 4 )b (118, 178) T Dynaamisen systeemin tasapainotila on jokin tila, jossa systeemin tila pysyy vakiona ajan kasvaessa. Esimmäisen asteen autonomisen differenssiyhtälöryhmän p n+1 = g(p n ) tasapainopiste( eli g:n kiinteä piste ) toteuttaa yhtälön josta se siis voidaan ratkaista. z = g(z),

Tasapainopiste on (asymptoottisesti) stabiili, jos tasapainopisteen läheisyydestä lopulta lähestytään kyseistä tasapainopistettä. Linearisoidaan funktio g tasapainopisteen z ympärillä: Linearisoitu malli ratkeaa analyyttisesti: g(p n ) g(z)+g (z)(p n z) p n = z + g (z) n (p z). p n suppenee kohti tasapainopistettä z kaikilla p, mikäli g (z) n O. Analyyttisen ratkaisun yhteydessä olleen ominaisarvohajotelman perusteella saadaan, että yksittäiset lim n λ n i =. Eli stabiilisuusehto: Esimerkki - Hiivan biomassa Hiivan biomassaa kuvasi yhtälö joten tasapainopisteet ovat yhtälön λ eig(g (z)) : λ < 1. p n+1 = p n +.82(665 p n )p n, z = z +.82(665 z)z = g(z) ratkaisut, jotka ovat selvästi z 1 =ja z 2 = 665. g :n derivaatta on g (z) =1+.82(665 z).82z. g (z 1 )=g () =1.5453 g (z 2 )=g (665) =.4547 Siis z 1 on epästabiili ja z 2 on stabiili. Jos pisteestä z 1 =poiketaan positiiviseen suuntaan, hiivan biomassa alkaa lisääntyärajusti. Jos taas pisteestä z 2 = 665 poiketaan, palautuu hiivan biomassa takaisin z 2 :een. Jos alkuarvo on p =,ei lähestytä stabiilia tasapainopistettä z 2.Josp >, niinp n z 2. Esimerkki - Ydinasekilpailu Maiden X ja Y ydinohjusmäärät mallinnettiin yhtälöillä: { xn+1 = 6+ 1 2 y n y n+1 = 12 + 1 3 x n 25

26 Ratkaistaan tasapainopiste: { x = 6+ 1 y { 2 x = 12 y = 12 + 1x y = 18 3 Jacobin matriisi on ( 1 3 1 2 jolla on ominaisarvot λ 1 = 1/ 6.41 ja λ 2 = 1/ 6.41. Tasapainopiste on siis stabiili. Tämä huomattiin jo numeerisen ratkaisun yhteydessä, ohjusmäärät näyttivät lähenevän tässä selvitettyä tasapainopistettä. ),

Luku 3 Jatkuva-aikainen mallintaminen 3.1 Differentiaaliyhtälö k:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälö onyleisesti muotoa f(t, x(t),x (t),x (t),...,x (k) (t)) =. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Ensimmäisen kertaluvun yhtälö f(t, x(t),x (t)) = pyritään kirjoittamaan eksplisiittiseen muotoon x (t) =g(t, x(t)). Yleensä oletetaan vielä, että funktio g on sopivan säännöllisesti käyttäytyvä. Autonominen yhtälö Autonomisessa yhtälössä g ei riipu suoraan ajasta x (t) =g(x(t)). Differentiaaliyhtälölläonanalyyttinen ratkaisu, aina tätäeikuitenkaan voi kirjoittaa missään eksplisiittisessä muodossa. Alkuarvotehtävässä etsitään ratkaisua, joka kulkee annetun alkupisteen kautta. Numeerinen ratkaisu merkitsee differentiaaliyhtälön numeerista arviointia esimerkiksi differenssiyhtälöllä. Myös graafisesti saadaan paljon kvalitatiivista tietoa systeemin käyttäytymisestä. 27

28 3.2 Mallintaminen differentiaaliyhtälöllä Differentiaaliyhtälöt ovat käteviä mallintamisen apuvälineitä, kun meilläontietoa jonkin riippuvan muuttujan muutoksesta toisten riippumattomien muuttujien arvojen vaihtuessa. Differentiaaliyhtälöitäkäytetään yleensä, kun muutos on jatkuvaaikaista. Kun riippuvan muuttujan muutoksesta on malli, tulevan käyttäytymisen ennustaminen on helpompaa. Yleensäpärjätään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöillä. Tällöin derivaatta f (t) =df /dt merkitsee hetkellistä muutosnopeutta. Tällöin muutoksen keskiarvo ajan t aikana on suure: f t eli keskinopeus. Tilanteesta riippuu kuinka nämä suureet suhtautuvat reaalimaailmaan. Esimerkiksi mallinnettaessa kaloja, jotka lisääntyvät vain keväisin, koko vuoden keskilisääntymisnopeudella ei oikein ole merkitystä. Toisaalta joskus on hyödyllistä käyttää differentiaaliyhtälöitä diskreetin systeemin mallintamisessa. Tällöin derivaattalla df /dt arvioidaan muutoksen keskinopeutta. Differentiaalilaskennan teoria saadaan käyttöön, ja muuttujien funktionaalisen suhteen selvittäminen voi olla helpompaa. Differentiaaliyhtälöä ei monesti saada ratkaistua analyyttisesti. Tällöin joudutaan arvioimaan differentiaaliyhtälöädiskreetillädifferenssiyhtälölläjasennumeerisella ratkaisulla. Tietenkäänei ole järkevää ensinarvioida differenssiyhtälöä differentiaaliyhtälölläjasitten käyttääjälleen differenssiyhtälöitä numeerisen ratkaisun saamiseksi. Parempi on käyttää suoraan differenssiyhtälöitä. 3.2.1 Populaation kasvu Edellisen luvun diskreettiaikaiset mallit voidaan kirjoittaa jatkuvassa muodossa (M oli maksimipopulaatio, α kasvukerroin): p (t) =αp(t) (Malthusin malli / rajaton kasvu) p (t) = α (M p(t))p(t) (Verhulstin malli / rajattu kasvu / logistinen kasvu) M Perustelut jatkuva-aikaisille malleille ovat samat kuin diskreettiaikaisille. Kuten aiemmin on todettu sammakoiden ja kalojen populaatiota kannattaa mallintaa differensseillä kutuaikojen jälkeen, hiivan kasvuun differentiaaliyhtälöiden käyttö on perusteltua.

29 Esimerkki - Hiivan biomassa Sovitetaan hiivan biomassalle jatkuva-aikainen Verhulstin malli ja tutkitaan kuvaako se paremmin populaation kasvuprosessia kuin aiemmin luotu diskreettiaikainen malli. Edelleen maksimipopulaatio M = 665. Myöhemmin annettavan analyyttisen ratkaisun yhteydessä saadaan differentiaaliyhtälölle muoto joten piirretään suure ln ln p(t) M p(t) = αt + C, p(t) aikamuutujan t funktiona. 665 p(t) 6 ln(p(t)/(665 p(t))) 4 2 2 4 6 5 1 15 2 t Saadaan α.53 ja C 4.16. Malli on ja sen analyyttinen ratkaisu p (t) =.53 (665 p(t))p(t), 665 p(t) = MCeαt C = e C =.156 1+Ce αt 665.156e.53t = = 1.37e.53t 1+.156e.53t 1+.156e.53t Jälleen kuvasta nähdään mallin pätevyys:

3 7 6 5 4 p(t) 3 2 1 mallin ennusteet koetulokset 5 1 15 2 t Malli on huomattavasti parempi, kun aiemmin esitetty differenssiyhtälömalli. Voidaan päätellä, että hiivalla populaation kasvu on luonteeltaan jatkuvaa ja toisaalta differenssiyhtälömallin termien aikaväli on liian suuri. 3.3 Differentiaaliyhtälöryhmät Yleinen k:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä onmuotoa f(t, x(t), x (t),...x (k) (t)) =. Tämä pyritään kirjoittamaan eksplisiittiseen muotoon x (k) (t) =g(t, x(t), x (t),...,x (k 1) (t)). Lineaarinen vakiokertoiminen yhtälöryhmä Ensimmäisen asteen lineaarinen vakiokertoiminen yhtälöryhmä onmuotoa: x (t) =Ax(t)+b. Korkeamman asteen differentiaaliyhtälö Kuten differenssiyhtälöilläkin korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöä voidaan tarkastella ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Eksplisiittisestä p:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälöstä x (p) (t) =g(t, x(t),x (t),...,x (p 1) (t))

31 merkitään x 1 (t) = x(t) x 2 (t) = x (t). x p (t) = x (p 1) (t) saadaan alkuperäinen differentiaaliyhtälö kirjoitettua differentiaaliyhtälöryhmänä x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 3 (t). x p 1(t) = x p (t) x p(t) = g(t, x 1 (t),x 2 (t),...,x p (t)) eli vektorimuodossa x (t) =g(t, x(t)). 3.4 Mallintaminen differentiaaliyhtälöryhmällä Differentiaaliryhmiä tarvitaan interaktiivisten systeemien jatkuva-aikaiseen mallintamiseen. Hyviä sovellusaloja voisi olla taloustiede, ekologia, sähkötekniikka, erilaiset mekaaniset systeemit, taivaankappaleiden liikeradat ja erilaiset säätösysteemit. Kuten diskreettiaikaisessa mallintamissa yhtälöistä muodostuu usein epälineaarisia, joille ei ole helppo löytää analyyttisia ratkaisuja. Tällöin joudutaan taas turvautumaan numeeriseen arviointiin sekä tasapainopistetarkasteluihin (linearisoimalla yhtälöitä). Myös graafisista esityksista on usein suurta apua. 3.4.1 Interaktiiviset populaatiot Diskreettiaikaiset mallit voidaan kirjoittaa jatkuvassa muodossa: { p (t) = α 1 p(t) β 1 p(t)q(t) q (t) = α 2 q(t) β 2 p(t)q(t) (kilpailevat populaatiot) { p (t) = α 1 p(t) β 1 p(t)q(t) q (t) = α 2 q(t)+β 2 p(t)q(t) (q saalistaa p:tä) Jatkossa on analysoitu varsinkin kilpailevien populaatioiden mallia monin tavoin. Näissäsysteemistä ainakin keskinäisiähaittoja voisi pitää jatkuva-aikaisina.

32 3.5 Dimensioton muoto Yhtälöitä kannattaa kirjoittaa dimensiottomaan muotoon, mikäli parametrejä on liian monta. Kun parametrien määrää saadaan vähennettyä, esimerkiksi graafinen tarkastelu käy helpommaksi. Yleensä tarkasteltava yhtälöryhmän yhtälöt kannattaa jakaa jollain parametreistä. Sitten suureiden y(t) paikalle kirjoitetaan Y (t) = y(t)/y,jossa y on alkuarvotehtävän alkuarvo. Lopulta valitaan uudet parametrit ja muokataan aikamuuttujaa t siten, että derivaatat pitävät paikkaansa. Myös differenssiyhtälöitä voi kirjoittaa dimensiottomaan muotoon. Esimerkki - Kilpailevat populaatiot Tarkastellaan kilpailevien populaatioiden differentiaaliyhtälömallia, jossa on alunperin 6 parametria (alkuarvot p ja q mukaanlukien). Kirjoitetaan malli edelleen dimensiottomaan muotoon. { p (t) =α 1 p(t) β 1 p(t)q(t) /p α 1 q (t) =α 2 q(t) β 2 p(t)q(t) /q α 1 { p (t)/(α 1 p )=p(t)/p (β 1 /α 1 )q (p(t)/p )(q(t)/q ) q (t)/(α 1 q )=(α 2 /α 1 )(q(t)/q ) (β 2 /α 1 )p (p(t)/p )(q(t)/q ) Kirjoitetaan nyt P (T ) = p(t/α 1) p p:n suhteellinen määrä Q(T ) = q(t/α 1) q q:n suhteellinen määrä γ = α 2 α 1 q:n suhteellinen kasvu δ 1 = β 1 q α 1 q:n suhteellinen haitta p:lle δ 2 = β 2 α 1 p p:n suhteellinen haitta q:lle jolloin selvästi: P (T ) = p(t/α 1) α 1 p Q (T ) = q(t/α 1) α 1 q

33 Malli saadaan lopulta kirjoitettua muotoon { P (T ) = P (T ) δ 1 P (T )Q(T ) Q (T ) = γq(t ) δ 2 P (T )Q(T ), jossa on enää 3parametria. Alkuehdoiksi saadaan P () = p()/p =1,Q() = q()/q =1. 3.6 Ratkaisut 3.6.1 Numeerinen Olkoon käytössä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö x (t) =g(t, x(t)), alkuarvolla x() = x.monissa tapauksissa tätä alkuarvotehtävää eivoida ratkaista analyyttisesti. Numeerinen ratkaisu(approksimointi) voidaan suorittaa yksinkertaisimmillaan seuraavasti. Valitaan askelpituus t. Lasketaan funktion x(t) derivaatan arvo pisteessä t =, x () = g(, x ).Siirrytään sitten derivaatan suuntaan askelpituus t. Päädytään pisteeseen x + t g(, x ).Tässä pisteessä lasketaan taas derivaatta ja jatketaan sen suuntaan. Differentiaaliyhtälöä voidaan näin arvioida differenssiyhtälöllä: x = x x n+1 = x n + t g(n t, x n ) Jos yhtälöitä onvähän arviointia on hyvä tarkastella graafisesti. Muuten differenssiyhtälöryhmän numeerinen ratkaisu on esitettävä taulukkona. Selvästi mitä pienemmäksi askelpituus t valitaan sitä tarkempi ratkaisu on. g( t,x 1 ) x 1 x(t) g(2 t,x 2 ) x 2 g(,x ) x t 2 t t