Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y ( 5) = 6 ( y ) y y + + 5 = 6 keskipistemuoto + + + 5 = 6 + y + y = normaalimuoto ( 6 + y ) = 6 + ( y+ ) = keskipistemuoto 6 + 9+ + + = y y 6 + + + = + + + = y y y 8 y 7 normaalimuoto 6 9 6 + + = + y 8+ y+ 7 = c)
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) Keskipiste on (, ) ja säde on pisteiden (, ) ja (, ) välinen etäisyys eli. + y = + y = keskipistemuoto + y = normaalimuoto b) Keskipiste on (, ) ja säde kuten a)-kohdassa eli. + = ( ) + y = keskipistemuoto + + y = Vastaus a) y + = normaalimuoto + y = + y = b) + y = + y = 7 a) + 8 = 6 + 8 = keskipiste,8, säde b) + + y 7 = ( ) + y 7 = keskipiste,7, säde = Vastaus a) keskipiste (,8 ) ja säde b) keskipiste,7 ja säde =
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) y y y y y y = = + + 6 = + + 6 = + + = + + + y y + = + + = + + = + + + + = 5 ( ) + + = 5 keskipiste,, säde 5 b) y y y y y y + 8 9 = + 8 9 = + 6 + 9= = = + 6+ 6 6 + y y + 9= 6 6 + 9= 6 + = 6 + + 9 6 + = 8 6 + = 9 keskipiste 6,, säde 9 Vastaus a) keskipiste (,) ja säde 5 b) keskipiste ( 6, ) ja säde 9
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 75 a) y y y y y y + + + y y + + = = = + + + = + + + = + + + = + + ( y ) + = + + ( y ) = + 9 + + ( y ) = 5 + + ( y ) = 5 + + ( y ) = 5 keskipiste,, säde b) y y y y + + 6= : y y 6 + y y+ = + + = + + = + + y y + + = = = + y + = + y = + ) 9 + y = + + y = keskipiste,, säde Vastaus a) keskipiste, ja säde 5 b) keskipiste, ja säde
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 75 Päivitetty 9..6 76 a) + y + 6y+ = + + + y y + + = b) y y + + + = + + + + = + + + = Keskipiste (,) ja säde, joten kyseessä on piste (,). y y + 5 + 7= 5 5 5 + + + 7= 5 5 5 + y + 7= + 7 5 5 8 + y = 5 ( ) + y = < Epätosi, joten ei ole ympyrä. c) + y + y+ = 5 8 : y y + + 5 + 6= 5 5 5 + + y + y + + 6= d) 5 5 + y+ + 6= y + = y = Ei ole ympyrä, koska termien merkkiset. 5 5 + y+ = + 5 + y + = 5 + y+ = 5 Keskipiste, ja säde ja y kertoimet ovat eri Vastaus a) ei b) ei c) kyllä d) ei ) 6
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 76 Päivitetty 9..6 77 a) Säde on pisteiden (,) ja (,) välinen etäisyys. r = ( ( ) ) + ( ) = + = 8 = Ympyrän yhtälö on ( ) + y = 8 y y + + + 6 + 9= 8 + y + 6y+ = b)säde on pisteen (,) r = Ympyrän yhtälö on ( + ) + ( y ) = etäisyys -akselista. + + + y 6y+ 9= 9 + y + 6y+ = c)säde on pisteen (,) etäisyys y-akselista. r = Ympyrän yhtälö on ( + ) + ( y ) = + + + y 6y+ 9= + y + 6y+ 9= Vastaus a) b) c) + + y = y y + + 6 + = + + y = + y + 6y+ = + + y = + y + 6y+ 9=
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 77 Päivitetty 9..6 78 Ympyrän halkaisija on 5 ( ) + = 6+ 6 =, joten säde on r = 5. 5 + Keskipiste on, = (,). Ympyrän yhtälö on + y = 5 + + + = 5 y y y y + = Vastaus (eli + = 5 y y + = ) 79 Olkoon A (,7 ) ja B (, ) = =. Lasketaan janan AB keskipiste. y = = 6 7 = = Siis ympyrän keskipiste on P (, y ) ( 6,) = =. Ympyrän säde on r = ( 6+ ) + ( + ) =. Ympyrän yhtälö on + y y = r + 6 + y = + + 6 + + = y y + + = y y Vastaus ( + 6) + ( y ) = ( ) ( eli y y + + = )
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 78 Päivitetty 9..6 7 + y 6 y+ = 6+ 9+ y y+ = + + y y + + = + + + = Ympyrän keskipiste on (, ) ja säde. Lasketaan origon etäisyys ympyrän keskipisteestä. d d = + = d = ± Koska d >, niin origo on ympyrän ulkopuolella. Tällöin ympyrän etäisyys origosta on = d =,6 Vastaus 7 + + y = + + y = + + + y = + + ( y ) = + Ympyrän keskipiste on + + ( y ) =, ja säde. Lasketaan pisteen (, ) etäisyys ympyrän keskipisteestä d = + ( ) = + 9 ) = + 5 5 = = > r,.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 79 Päivitetty 9..6 Pisteen (, ) etäisyys d ympyrän keskipisteestä on suurempi kuin ympyrän säde, joten piste on ympyrän ulkopuolella. Siten pisteen etäisyys ympyrän kehästä on 5 d r = = = Vastaus Keskipiste on,, säde on, etäisyys 7 y y y y y y y y + + 6 + = : + + 5 + = + + 5 + = 5 5 5 + + + + + = 5 ) 5 + + y = + + 5 + + y = = = Keskipiste on, ja säde on r =. a) Pisteen P, etäisyys keskipisteestä on d 5 5 = + = + = = > =, joten pisteen P etäisyys ympyrän kehästä on d r =.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 9..6 b) P = (, ), keskipiste on, Pisteen P etäisyys keskipisteestä on d ( 7 7 ) = + = 9+ = = < 7 Pisteen P etäisyys ympyrän kehästä on r d =. 7 y y + 8 + 6 + 9= + + y + y + + 9= Keskipiste on (, ) + + + 9= + + = + 9 ja säde on r =. Lasketaan pisteen P etäisyys keskipisteestä. + + = 6 Vastaus a) b) 7 a) P = (,) ( ) + ( ) = 9+ 6 = 5> = r Piste (, ) on ympyrän ulkopuolella. b) P = ( 6, 5) Piste ( 6, 5) on ympyrän sisäpuolella. ( 6 ) + 5 ( ) = + = 8 < 6 = = r c) P = (, ) ( ) + 5 ( ) = 6+ = = r Piste (, ) on ympyrän kehällä. Vastaus Piste on ympyrän a) ulkopuolella b) sisäpuolella c) kehällä.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 9..6 7 Ympyrän yhtälön yleinen muoto on + y + a+ by+ c= Kunkin pisteen koordinaatit toteuttavat ympyrän yhtälön. Saadaan yhtälöryhmä Piste (, ) + ( ) + a b+ c= Piste (, ) ( ) + ( ) a b+ c= Piste ( 6,) 6 + + 6a+ b+ c= () a b+ c= 5 ( ) a b + c = ( ) ( ) 6a+ b+ c= 7 Sijoitetaan a = yhtälöön (). ( ) b= + 7a = + 7 ( ) = Sijoitetaan a = ja b= yhtälöön (). ( ) c = a+ b 5= ( ) + ( ) 5= Ympyrän yhtälö on + y y = + + y y + = + = + = 5 a+ b c= 5 a+ b c= + a b+ c= + 6a + b+ c= 7 ( ) 7a + b = ( 5) 9a + b = Vastaus + = 5 ( + y y = ) ( ) 7a+ b= ( ) a b= 6 ( 5) 9a+ b= + 9a+ b= a = 6 ( 6) a =
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 9..6 75 Ympyrän yhtälön yleinen muoto on + y + a+ by+ c= Kunkin pisteen koordinaatit toteuttavat ympyrän yhtälön. Saadaan yhtälöryhmä Piste (,) + + a+ b+ c= Piste (, ) + ( ) + a b+ c= Piste ( 5, 5) ( 5) + ( 5) 5a 5b + c = () a+ b+ c= ( ) a b+ c= ( ) ( ) 5a 5b + c = 5 a b c= a+ b c= + a b+ c= + 5a 5b+ c= 5 ( ) a 7b = ( 5) 7a b = 7a 9b= 7 + 7a b= 5b = ( 6) b = Sijoitetaan yhtälöön ( ). ( ) a = + 7b= + 7 = Sijoitetaan b= ja a = yhtälöön (). ( ) c = b a = = Ympyrän yhtälö on + y + + y = + + y y + = + = + = 5 ( ) a 7b= 7 ( 5) 7a b = Vastaus + y = 5 ( + y + + y = )
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 9..6 76 Ympyrän yhtälön yleinen muoto on + y + a+ by+ c= Kunkin pisteen koordinaatit toteuttavat ympyrän yhtälön. Saadaan yhtälöryhmä Piste ( 8,98) 8 + 98 + 8a+ 98b+ c= Piste ( 7,) 7 + + 7a+ b+ c= Piste ( 6,8) 6 + 8 + 6a+ 8b+ c= () 8a+ 98b+ c= 88 ( ) 7a+ b+ c= 7 ( ) ( ) 6a+ 8b+ c= 9 8a 98b c= 88 7a b c= 7 + 7a+ b+ c= 7 + 6a+ 8b+ c= 9 ( ) a+ b = 756 ( 5) 56a 8b = 588 ( ) a+ b= 756 b= 756 a a= b = 756 ( ) b = 76 : b = 8 () 8a+ 98b+ c= 88 a=, b= 8 c = 88 8 ( ) 98 ( 8) c = 76 Ympyrän yhtälö on + y 8y+ 76 = 7 + 7 7 + y y + + 76 = 7 + 7 + 76 = 7 + = 7 ( ) a+ b= 756 ( 5) 56a 8b= 588 Ympyrän säde on 7. Tämä vastaa luonnossa matkaa 7 5 m = 75 m 8a+ 8b= + 56a 8b= 588 a = 96 ( 6) a = Vastaus 75 metriä
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 9..6 77 + y + a y a+ 6= + a+ a a + y y + a+ 6= + a + y a a+ 6= + a + y = a + + a 6 + a + y = a + a ) Kun a + a >, niin kuvaaja on ympyrä. Nollakohdat: a + a = ± ( ) a = ± 7 = 8 6 a= = tai a= = Kun a< tai a>, kuvaaja on ympyrä, jonka keskipiste on ( a,) ja säde a + a. ) Kun < a <, yhtälöllä ei ole kuvaajaa. a =, kuvaaja on piste a =, kuvaaja on piste (,). ) Kun kun, ja 78 y a y a + + = a a a + + y + y + = a a a + y = a Yhtälö esittää ympyrää, jos a + a + > > a + a+ > Nollakohdat: a + a+ = ± a = a a + y = a+ + a a + y = + a+ ± ± a = = = ± Vastaus a< tai a> +
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 85 Päivitetty 9..6 79 a y y + a+ ( a) ( a) + y + y + = + + + = + a + y+ a = ( a) ( y ) ( a) ( a) ( y ) a + + + = + + + + + = + Koska a + >, kuvaaja on ympyrä kaikilla parametrin a arvoilla. Lasketaan pisteen (, ) etäisyys ympyrän a,. keskipisteestä ( ( a) ) + ( ( ) ) = ( + a) + = + + + a a 9 = a + a+ Piste (, ) on ympyrän ulkopuolella, jos sen etäisyys ympyrän keskipisteestä on sädettä suurempi. a + a+ > a + a + a+ > a + a > 6 a > Vastaus Kuvaaja on ympyrä kaikilla a:n arvoilla. Piste (, ) ympyrän ulkopuolella, kun a >. 7 Ympyrä + y = 9 keskipiste (, ) säde r = 9 Ympyrä a+ y + 6ay+ = a+ a a + y + y a+ ( a) ( a) + = ( a+ a ) + y + y a+ ( a) = + a + a keskipiste ( a, a) a + y+ a = a säde r = a, missä a > nollakohdat: a = a = a =± =± Siis a< tai a> Sama pinta-ala, kun
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 86 Päivitetty 9..6 πr = πr r = r 9 = a = a = a = a =± a, <, joten < ja > Siis arvot a =± kelpaavat. Vastaus a =± 7 + y 5 = ( ) + y + 6y = y + = + + y + y = 5 6 6y + 5 = 6y = y = Sijoitetaan yhtälöön (). + ( ) 5= = 9 =± Leikkauspisteet ovat (, ) ja (, ) Vastaus (, ) ja (, )
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 87 Päivitetty 9..6 7 Yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla yhtälöpari + y + 6+ y+ = + y 6y 6 = ( ) + y + 6+ y+ = + y + + 6y + 6 = + y+ = : + y+ = y= Sijoitetaan y= yhtälöön () + ( ) + 6+ ( ) + = + + + + 6 8+ = + 6= ( + ) = = tai + = = tai = Sijoittamalla muuttujan arvot yhtälöön y= saadaan y= = tai y= ( ) = Pisteet ovat (, ) ja (,) 7 Ratkaistaan yhtälöryhmä + 8+ y + 6y+ 9= + y y = ( ) + 8+ y + 6y+ 9= + + y + y + = + y+ = y= + 8+ ( ) + 6( ) + 9= + 8+ + 6+ 9 6 8+ 9= + 8= ( + ) = = tai = Jos =, niin y= =. Jos =, niin y= = ( ) = Vastaus Leikkauspisteet ovat (, ) ja (,). Sijoitetaan yhtälöön (). Vastaus (, ) ja (,)
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 88 Päivitetty 9..6 7 Keskipiste (, ), säde on + y = Keskipiste ( 5, ), säde on 5 + y = Yhtälöstä () saadaan = ± < y y y = y = = 5,98... ( km) Ympyröiden leikkauspisteet: Vastaus ( km, 5 km) + y = ( 5) + y = 6 () y = Sijoitetaan yhtälöön ( ). ( 5) + y = 6 ( 5) + = 6 + 5 + = 6 = = ( km)
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 89 Päivitetty 9..6 75 Hahmotellaan rajattu alue ) + y 6 < keskipiste, + y < säde r = Ympyrän sisäpuolinen alue. ) + y + y + + + y y + + + + + + + + + 5 keskipiste, ja säde r = 5 5,9 Ympyrän kehä ja ulkopuolinen alue. Vastaus Väritetty alue, jonka katkoviivalla piirretty reuna ei kuulu ratkaisualueeseen. 76 Alkuperäinen ympyrä O: + y = r r = + y = 9 Leikkauspisteet akseleilla: + y = 9 y = + = y y = 9 =±, joten O =, ja O =, 9 = = 9 y= ±, joten O =, ja O =, Ympyröiden yhtälöt: O : ( ) + y = 9 : + = 9 O y O : ( + ) + y = 9 : + + = 9 O y
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 9..6 Vastaus Yhteinen alue voidaan ilmoittaa epäyhtälöryhmien avulla seuraavasti: + y + y tai tai + ( y ) ( + ) + y ( + ) + y ( ) + y tai + ( y+ ) + ( y+ ) eli + y 6 + y 6y tai tai + y 6y + y + 6 + y + 6 + y 6 tai + y + 6y + y + 6y 77 a) Ratkaistaan yhtälö muuttujan y suhteen. y + + = 8 y = + 8 y =± + 8 b) Ratkaistaan yhtälö muuttujan y suhteen. + y + 6 y 8= + + 6 8 = y y ± + 6 8 y = ± 6 + y = ± 8 y = ± 6 y = y= ± 6
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 9..6 c) Ratkaistaan ympyrän yhtälö muuttujan y suhteen. + y y+ = + + = y y ± + y = y = 6 6 ± + ± + + 96 y = y = 96 ± + + 96 y= ± + + 78 Saadaan yhtälö = 5 = 5 = ± 5 y ympyrän suoralla y= oleva keskipiste. Siis y =. Ympyrän säde Olkoon (, ) r = + y = + y sijoitetaan y = = + = = = =. Ympyrän yhtälö Siis (, y ) ( 5, 5 ) tai (, y ) ( 5,5) () Sijoitetaan + y y = r = 5 ja y= 5 = 5 ja y= 5 () + 5 + y+ 5 = 5 y y + + 5 + + + 5 = 5 y y + + + =
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 9..6 Vastaus 5 + y 5 = 5 y y + 5 + + 5 = 5 y y + = ( + 5) + ( y+ 5) = ( 5 ) ja ( 5) + ( y 5) = ( 5) ( + y + + y= ja + y y= ) 79 Voidaan olettaa, että k >, koska se on janan pituus. Olkoon janan päätepisteet A = ( a, ) ja B= (, b). Janan keskipiste on a+ + b, =, a b, =, ( y) ( y) Siis a= ja b= y. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pythagoraan lauseen mukaan + y = k + y = k : k + y = k + = Origokeskinen ympyrä, jonka säde on k. Vastaus Keskipiste liikkuu ympyrän kehää k y k + =, >, pitkin.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 9..6 7 Keskipiste (,), säde 5. Vastaus Etäisyyksistä saadaan yhtälö AP= BP ( 6) + ( y ) = + ( y ) + 6 + y = ( + y 6y+ 9) 6 + y = + y y y y + 6 + = + + 6 + y + y= : y y + + 8 = + + + y y + = + + = ( + ) + ( y ) = + + + = + + y = 5 keskipistemuoto ( + ) + ( y ) = ( 5) ( + y + 8y= )
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 9..6 7 AP BP AP = + + y ( ) BP = + y Rajakäyrän + ( y ) = kuvaaja on ympyrä, jonka keskipiste on, ja säde r =. + + y + y y y y y y y y y + + 8 : y y + + + + + 6 + 9 + + + 6 + 6+ + 6 + 8 + 6 + = eli + y y+ 8 = ja sen ulkopuolella olevat pisteet. Vastaus Ympyrä ( y ) + + y y + + 6 + ( y ) + 6 + ( y )
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 95 Päivitetty 9..6 7 Täydennetään ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + + + + + 6 + = y a ay y a + a+ y + ( a+ ) y= 6a + a+ a a + y + y ( a+ ) + ( a+ ) ( a+ ) = 6a + a + y+ a+ = 5a a Saadussa yhtälössä säteen neliö on on ympyrä, jos 5a a>. Nollakohdat: 5a a= a( 5a ) = = 5, joten kyseessä r a a a= tai a= 5 Siis a< tai a>. 5 Ympyräparven ympyröiden keskipisteet toteuttavat yhtälöparin a< tai a> = a eli a= 5 < tai > 5 > tai < 5 Vastaus Ympyrä, kun a< tai a>. 5 Keskipisteiden joukko muodostuu niistä suoran y= pisteistä, missä > tai <. 5 () Sijoitetaan yhtälöön ( ). = a y = a y = Koska parametri a toteuttaa epäyhtälöt a< tai a>, saadaan 5
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 96 Päivitetty 9..6 7 Selvitetään yhteiset pisteet laskemalla ympyräparven kahden mielivaltaisen ympyrän leikkauspisteet. Kun a =, saadaan ympyrä Kun a =, saadaan ympyrä + = y + + = y y Ympyröiden leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla yhtälöpari + y = + y + y = ( ) + y = y + y + = y + = y = + = y = Sijoitetaan yhtälöön (). = ( ) = = tai = Ympyräparveen kuuluvat kaksi ympyrää leikkaavat pisteissä (, ) ja (, ). On vielä osoitettava, että ympyräparven kaikki ympyrät kulkevat pisteiden (, ) ja (, ) kautta. Sijoitetaan pisteiden koordinaatit ympyräparven yhtälöön. Piste, : Vasen puoli on + + a a = Oikea puoli on Piste (, ) on siis jokaisella parven ympyrällä. Piste (, ): Vasen puoli on + + a a = 6 + 6 + a a = Oikea puoli on Piste (, ) on siis jokaisella parven ympyrällä. Piirtämistä varten muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y + ay a = + + y + y a+ a a a = Ympyrän keskipiste on (, a) + y+ a = a + a+ 5 eli keskipiste sijaitsee aina suoralla =. Parvi muodostuu ympyröistä, joiden keskipiste on suoralla =, ja, kautta. ja jotka kulkevat pisteiden
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 97 Päivitetty 9..6 Vastaus (, ) ja (, ) 7 + y + + y : + y y : : + y + + y + y y Muunnetaan yhtälöt keskipistemuotoon. + + y + + + y + y y +
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 98 Päivitetty 9..6 + y + + + y + + y + + y kp A=,, r = + + y kp B=,, r = + y kp C =,, r = Tutkitaan kolmiota ABC. AB = = AC = + = = BC = + = = Kolmio on tasasivuinen, joten aluetta rajaavat ympyränkaaret ovat 6 6 π kaaria. Vastaavan sektorin ala on π =. 6 6 Kolmion ABC ala on =. Reuleau n kolmion ala saadaan laskemalla kolme sektoria yhteen ja vähentämällä summasta kolmion ABC ala kahdesti. A= A A sektori kolmio π π = = 6 = ( π ) Vastaus π
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 99 Päivitetty 9..6 75 () + y = 5 y = 7 + 5 Sijoitetaan yhtälöön (). + ( 7+ 5) = 5 + 9 5+ 65 = 5 5 5+ 6 = : 5 7+ = 7± ( 7) = 7± = = tai = Kun =, niin yhtälöstä () saadaan y = 7 + 5= Vastaavasti, kun =, niin y = 7 + 5= Vastaus Leikkauspisteet ovat (, ) ja (, ). 76 Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y + 6 y = + + + y y + = + + = Siis keskipiste on (,) ja säde on. + + = 9+ + + + = Lasketaan keskipisteen etäisyys suorista. a) Suoran yhtälö + y = a + by + c d = a + b + d = a=, b=, c= + = 5 = =,99... > 5 Koska d (, y ) = (,) > r, suora on ympyrän ulkopuolella.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 b) Muunnetaan suoran yhtälö yleiseen muotoon. y= y = a + by + c d = a + b ( ) d = a=, b=, c= + ( ), y =, Koska d = = =,79... < < r, suora on ympyrän sekantti. c) Muunnetaan suoran yhtälö yleiseen muotoon. y = y + = a + by + c d = a + b ( ) + + d = a=, b=, c= +, y =, = = = r Koska d = r, suora on ympyrän tangentti. Vastaus a) ulkopuolella b) sekantti c) tangentti 77 Ympyrän + y = 5 keskipiste on origo (, ) ja säde 5. Tangentti kulkee pisteen (, ) muotoa kautta, joten sen yhtälö on ( ) ( ) y = k y y = k y+ = k k k y k = Tangentti on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä, joten saadaan yhtälö k k k + ( ) k = 5 k + 9k + k + 6= 5k + 5 ± ( 6) ( 9) k = ( 6) ± k = = = a + by + c d = = 5 a + b a = k, b=, c= k (, y ) = (,) k = 5 k + k + 6k + k 9 = a = a
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 Tangentin yhtälö on k y k = y = y 9 6= y 5= Vastaus y 5 = 5 y= 78 Määritetään ympyrän keskipiste ja säde. + y y = + + y y + = + = + + + = 5 Ympyrän keskipiste on (, ) ja säde on 5. Säteen päätepisteiden (, ) ja (,6 ) kautta kulkevan suoran kulmakerroin on y 6 k = = = Ympyrän tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan, joten kt = kt = Tangentti kulkee pisteen (,6 ) kautta ja sen kulmakerroin on joten tangentin yhtälö on y 6= y y = k y 6= + + y 9= + y 6= Vastaus + y 6 = y= + 9,
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 79 Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y + y 5= + + y + y + 5= Keskipiste on (, ) ja säde on r =. + + = + + 5 + y+ = a + by + c d = a + b k ( ) + d = = a = k, b=, c= k + ( ), y =, k + = k + k + k + = k + 6 6 k k = 6 6 6 : k k = 8 8± ( 8) ( ) 8± k = = 6 k = tai k = Tangentin yhtälö on y= + tai y= +,, joten tangentin yhtälö on y= k+ eli k y+ =. Tangentti leikkaa y-akselin pisteessä on säteen r = etäisyydellä tangentista, joten saadaan yhtälö Keskipiste (, ) Vastaus Tangentin yhtälö on y+ = tai + y 9 = y= + tai y= +.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 7 Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y 6y 6= + + y y + 6= + 6= Keskipiste on (, ) ja säde on r =. + = a) Lasketaan pisteen (, 7 ) etäisyys keskipisteestä (, ). d = ( ) + ( 7) = + = = r Piste (,7 ) on säteen etäisyydellä keskipisteestä ja sen -koordinaatti on sama kuin keskipisteellä, joten tangentti on vaakasuora suora y = 7. b) Lasketaan pisteen (,) etäisyys keskipisteestä (, ). d = ( ) + ( ) = = = r Piste (,) on säteen etäisyydellä keskipisteestä ja sen y-koordinaatti on sama kuin keskipisteellä, joten tangentti on pystysuora suora =. c) Lasketaan pisteen (, ) etäisyys keskipisteestä (, ). d = ( ) + ( ) = + = 5< r, on ympyrän sisäpuolella, joten tangenttia ei ole. Piste Vastaus a) y = 7 b) = c) ei ole 7 Määritetään ympyrän keskipiste. y y + + + 6= + + + y + y + 6= + + y+ = + + 6 7 + + y+ = Keskipiste on, ja säde on 7,. Lasketaan säteen kulmakerroin. A=,, B= (, ) 5 + 5 k AB = = = + Säde on kohtisuorassa tangenttia vastaan, joten kab kt = kt = = = k 5 AB 5
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 Tangentin yhtälö on y y = k y+ = ( + ) 5 6 y+ = 5 5 5 5y+ = 6 + 5y+ 6= Vastaus + 5y + 6 = y= 5 5 5 Pisteen (, ) kautta kulkevan tangentin yhtälö on y ( ) = k( ) y y = k( ) y+ = k k k y k = Tangentti on säteen etäisyydellä keskipisteestä. Saadaan yhtälö a + by + c d = a b k ( ) ( ) + + = a = k, b =, c = k k + ( ), y =, 5k = k + k + 7 Ympyrän ( + ) + ( y+ ) = keskipiste on (, ) säde on. Lasketaan pisteen (, ) ja etäisyys ympyrän keskipisteestä. d = ( ( ) ) + ( ( ) ) = 5 + ( ) = 6 > 5 k = k +, a = a k + k + = k + 5 k + k = : k + k = 6 5 6 Piste, on ympyrän ulkopuolella, joten sen kautta kulkee kaksi ympyrän tangenttia.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitetty 9..6 5± 5 6 ( 6) k = 6 5± k = k = tai k = Kun k =, tangentin yhtälö on y = y y = k y+ = + 6 + y = + y 8= Kun k =, tangentin yhtälö on y = y y = k 8 y+ = y+ 6= 8 + y = Vastaus + y 8= tai + y = y= + tai y= 7 + y+ = Sijoitetaan pisteen ( 5, ) koordinaatit yhtälöön. Vasen puoli on 5 + + = + ( ) = 9+ = Oikea puoli on = Koska >, piste on ympyrän ulkopuolella, ja sen kautta kulkee kaksi ympyrän tangenttia. Pisteen ( 5, ) kautta kulkevan suoran yhtälö on y = k 5 y y = k y+ = k 5k k y 5k = Tangentti on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä. Ympyrän keskipiste on (, ) ja säde on. Saadaan yhtälö a + by + c d = a + b k ( ) 5k = a = k, b=, c= 5k k + ( ), y =, k + 5k k + k = + 9k + k + = k + 9k + k + = k + = k + k
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitetty 9..6 5k + k = k( 5k + ) = k = tai 5k + = k = 5 Tangentit: k y 5k = k = : y = eli y= 7 Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y 8y = + + y y + = + = + + + y = k = : 5 y 5 = ( 5) 5 5 + 5y 6 + 5 = + 5y 5 = Lasketaan pisteen (, ) etäisyys ympyrän keskipisteestä (, ) ja verrataan sitä ympyrän säteeseen. Vastaus y+ = tai + 5y 5 = y= tai y= + 9 5 d = ( ) + ( ) = + 6 = 68 > Siis piste on ympyrän ulkopuolella ja saadaan kaksi tangenttia., kautta kulkevien tangenttien yhtälöt ovat Pisteen y ( ) = k( ) y+ = k k k y k =
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 Keskipiste, on säteen r = etäisyydellä tangenteista, joten saadaan yhtälö k k k + ( ) 8 (, y ) = (,) 6 5 6 5 a + by + c d = a + b = a = k, b=, c= k k = k + k 8 = k + a = a k + k + = k + k k k = k = 6 ± ( 6) 5 ( 5) k = 5 6 ± 56 6 ± = = 6 + 5 5 6 8 k = = = tai k = = = 5 ( ) Tangenttien yhtälöt ovat y y k( ) = : 5 k = : k = : 5 5 y+ = y+ = ( ) 5 5 y= y= + 5 5 5 8 y= y= 5 5 y= 5 5y= 8 5 y = + 5y+ 8= Vastaus Tangenttien yhtälöt ovat 5 y = ja + 5y+ 8= 5 y= ja y= 5 5
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 9..6 75 ( ) + ( y+ ) = 5 keskipiste on (, ) ja säde on 5. Lasketaan pisteen ( 7, ) ja keskipisteen (, ) etäisyys. d = ( 7 ) + ( ) välinen d = 5 + 9 = > 5 = r Siis piste ( 7, ) on ympyrän ulkopuolella. Tangentin yhtälö on y+ = k( 7 ) eli k y 7k =. Keskipiste (, ) on säteen etäisyydellä tangentista. Saadaan yhtälö k ( ) 7k k + a + by + c d = a + b = 5 a = k, b=, c= 7k (, y ) = (, ) 7 + = 5 + k k k k = k + 5 5 5 + + 9 = 5 + 5 k k k k = 6 6 8 k = = 5 Tangentin yhtälö on 8 y+ = ( 7) y y = k( ) 5 8 56 8 6 y = = 5 5 5 5 8 y = 7 eli 8 5y 6= 5 5 Koska ympyrän ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää kaksi tangenttia, on etsittävä vielä toinen tangentti. Koska keskipiste on (, ) ja säde on 5, niin pisteen ( 7, ) kautta kulkeva pystysuora suora = 7 on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä ja siksi ympyrän tangentti. Vastaus tangenttien yhtälöt ovat 8 5y 6= ja 7= 8 y= 7 ja = 7 5 5
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 9..6 76, etäisyys suorasta y= +. Muunnetaan suoran yhtälö yleiseen muotoon. y + = Ympyrän säde on pisteen a + by + c d = a + b + r = a =, b=, c= + ( ), y =, = 5 Ympyrän yhtälö on + ( y ) = keskipistemuoto 5 9 + + y 6y+ 9= 5 9 + y 6y+ = 5 5 + y y+ = 5 5 65 9 + y y+ = 5 5 56 normaalimuoto + = 5 5 + 5y y+ 56 = Vastaus 77 Tapa Lasketaan leikkauspisteet. () + y 8 y = y = Sijoitetaan yhtälöön (). + 8 = + + + 8+ + = 5 5+ 5= 5 + = ( ) = = = Sijoittamalla = yhtälöön y= saadaan y = = Saadaan yksi leikkauspiste (, ) tangentti., joten suora on ympyrän
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 Tapa Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. + y 8 y = + + y y + = + = + + + y = Keskipiste on (, ) ja säde on r = = 5. Suora y= on tangentti, jos keskipisteen etäisyys suorasta on säde. Muunnetaan suoran yhtälö yleiseen muotoon. y= y= + y+ = Keskipisteen (, ) etäisyys suorasta on Siis d a + by + c d = a + b + + d = a =, b=, c= + 5 = = = 5 5 5 (, y ) = (,) = r, joten suora on ympyrän tangentti. 78 Ympyrän ja suoran yhteiset pisteet ( ) + y t+ y+ t+ = y = Sijoitetaan yhtälöön (). + ( ) t+ + t+ = + + + + + = t t 5 + ( t ) + t+ = a) Kaksi ratkaisua, kun D > D = b ac ( t ) 5 ( t + ) > ( t + ) 5 ( t + ) > ( t+ ) ( t + ) > ( t + )( t + ) > ( t + )( t 8) > nollakohdat: t = ja t = 8. Siis D >, kun t < tai t > 8. b) Yksi ratkaisu, kun D =. t = tai t = 8 c) Ei ratkaisua, kun D < < t < 8 Vastaus a) t < tai t > 8 b) t = tai t = 8 c) < t < 8
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 79 Ympyrän yhtälö + y = + y = Ympyrän ja suoran leikkauspisteet: ( ) + y = y = Sijoitetaan yhtälöön (). + ( ) = + 6+ 6= 5 6 8 = 6 ± ( 6) 5 ( 8) = 5 6 ± 86 = = 6,96... tai =,76... Sijoitetaan yhtälöön. y = 9,8... tai y =,...,7... ( km) d = + y y = 75 Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon + y + y+ = 7+ 7 7 + y + y + + = 7 + + = 7 + ( 7) + ( y+ ) = Keskipiste ( 7, ) ja säde. Origon kautta kulkeva suora y= k on säteen etäisyydellä ympyrästä eli ympyrän keskipisteen etäisyys suorasta k y = on r = = =. Vastaus,7 km
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 Saadaan yhtälö a + by + c d = a + b k 7+ = a = k, b=, c= k + k 7 + = + ( ) ( ) 7k + = k + k k k 9k + k 9= 9 + + = + k (, y ) = ( 7, ) ± 9 ( 9) ± 6 ± k = = = 9 8 8 + 6 k = = tai k = = = 8 8 8 9 Siis y= eli + y= tai y= eli 9y= 9 Vastaus + y= tai 9y= y= tai y= 9 75 Ympyrän tangentti on säteen etäisyydellä keskipisteestä. Tangentti on suora + y 5 =. Merkitään ympyrän keskipistettä (, y ) ja säde on 5. Saadaan yhtälö + y 5 + a + by + c d = a + b = 5 a =, b=, c= 5 (, y ) = (, y) + y 5 = 5 5 5 + y 5 = 5 + y 5 =± 5 + y 5 = 5 tai + y 5 = 5 + y = tai + y+ = Siis ympyrän keskipiste (, y ) toteuttaa toisen edellä saaduista suoran yhtälöistä eli keskipiste on suoralla + y = tai + y+ =. Toisaalta keskipiste on myös säteellä, joka on tangentin + y 5= pisteeseen (, ) piirretty normaali. Muodostetaan tämän normaalin yhtälö. Muunnetaan ensin tangentin yhtälö ratkaistuun muotoon, josta saadaan tangentin kulmakerroin. + y 5= y= + 5 5 y= +
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 k t =, joten k n =. Pisteen (, ) kautta kulkeva normaali on y = ( ) y y = k( ) y = y+ 5= Keskipiste on siis toisella edellä saaduista suorista ja nyt saadulla normaalilla. Saadaan kaksi yhtälöparia. I ( ) + y = y+ 5= 9+ y = + 6 y+ = 5 = 5 = = Sijoitetaan yhtälöön (). + y = y = y = 8 y = 7 Siis keskipiste (,7 ) Saadaan ympyrän yhtälö y y y y + y 7 = 5 8 + 6+ + 9= 5 + 8 + = II ( ) + y+ = y+ 5= 9+ y+ = + 6 y+ = 5 + 5 = 5 = 5 = Sijoitetaan yhtälöön (). ( ) + y + = y = 6 y = Siis keskipiste (, ) Saadaan ympyrän yhtälö + + y+ = 5 + + + y + y+ = 5 + y + + y = Vastaus + 7 = 5 tai + + + = 5 ( + y 8 y+ = tai + y + + y = )
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 75 Tapa Keskipiste on säteen etäisyydellä tangenteista eli tangenttisuorien muodostamien kulmien puolittajilla. Selvitetään kulmien puolittajien yhtälöt. Kulmanpuolittajan mielivaltainen piste (, y ) on yhtä etäällä kulman kyljistä. Saadaan yhtälö + y+ y 5 = + + ( ) + y+ = y 5 + y+ =± ( y 5) + y+ = y 5 tai + y+ = + y+ 5 () + 5y+ 7= tai ( ) 5 y+ 7= Keskipisteet sijaitsevat suoran + y = ja kulmien puolittajien leikkauspisteissä. Keskipiste (): + 5y+ 7= ( ) + y = 5 5y 5= y = + + y = + 5+ y 5= y 5 = 9 = y= 5 = 9 Keskipiste () on y= =,. Keskipiste (): 5 y+ 7= ( ) + y = 5 y+ = 5+ y = + + y = + 5+ y 5= + = y 6 = = y= 6 = y=,. Keskipiste () on Vastaus Ympyrän keskipiste on (, ) tai (, ).
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitetty 9..6 Tapa + Keskipiste on suoralla + y = eli suoralla y =. Siis se on, +. Keskipiste on säteen etäisyydellä tangenteista + y+ = ja y 5=. Saadaan yhtälö + + + + 5 a + by + c = d = + + ( ) a + b 9 + 5 + + = 9 + + = + 5 = 6 6 6 6 =± 6 6 = tai 6 6 = 6 = 9 tai 6 = 6 = tai = + Sijoittamalla muuttujan arvot yhtälöön y = saadaan + 8 ( ) + y= = = tai y= = = Vastaus Ympyrän keskipiste on (, ) tai (, ). 75 Tangentti + y = y= k t =, joten sivuamispisteessä olevan säteen kulmakerroin k r =. Säteen yhtälö: y = ( ) () 5 y = Olkoon ympyrän keskipiste ( ab, ). Pisteet (, ) ja (, ) ovat säteen etäisyydellä keskipisteestä. Saadaan yhtälö
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitetty 9..6 ( a) + ( b) = ( a) + ( b) a+ a + + b+ b = 6 8a+ a + b+ b 5 a+ b= 7 8a b 6a= 6b a= b keskipiste on b, b Keskipiste toteuttaa säteen yhtälön (). Saadaan 5 b= ( b) b 5 b = b = b = Keskipiste on ( bb, ) (, ) (, ) ja (, ) välinen etäisyys = ja säde on pisteiden r = ( ) + ( ) = + = 5 Ympyrän yhtälö on ( ) + ( y+ ) = ( 5) y y 6 + 9+ + + 5= + y 6+ y+ 5= Vastaus ( ) + ( y+ ) = ( 5) ( + y 6+ y+ 5= ) 75 Määritetään ympyrän K keskipiste ja säde. + y + y = : + y 6+ 5y = 5 5 5 + + y + y + = 5 5 ( ) + y+ = + + 5 + y+ = Siis keskipiste on, ja säde on r =. Pisteiden, ja, kautta kulkevan suoran yhtälö on 5 5 y y y+ = + k = ja y y = k( ) 5 y+ = ( + ) 5 y+ = + y =
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 Ympyrän K keskipiste on 5, =, säde on 6 = yhtälö on 5 + y+ = 6 5 6+ 9+ y + 5y+ = 6 5 + y 6+ 5y = 6 9 8 + y 6+ 5y = Ympyrän K ja suoran leikkauspisteet 8 () + y 6+ 5y = y = Sijoitetaan yhtälöön (). 8 + 6+ 5 = ) 9 5 8 + + 6+ 5 = 6= : = ± + 5 ± 56 = = ± ( ± ) = = = ± Leikkauspisteen y-koordinaatti saadaan yhtälöstä = y = = = + y = + = + y=. Vastaus Pisteissä, ja +, +
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 9..6 755 Sijoitetaan kuvio koordinaatistoon seuraavasti: Eturattaan yhtälö: + y = 8 Takarattaan yhtälö: + y =,5 Määritetään rattaiden yhteisen tangentin yhtälö: Olkoon se y= k+ b eli k y+ b=. Pisteen, etäisyys suorasta k y + b = on 8, joten k + b k + ( ) b = 8 k + b = + 8 k = 8 d = b= k + b= k + 8 tai 8 a + by + c a + b Toisaalta pisteen, etäisyys suorasta k y + b = on,5 : k + b = k + ( ) k + b = k + k + b = k + k + b= k + tai k + b= k + b= k + k tai b= k + k Koska b:llä on kaksi ratkaisua, jotka ovat toistensa vastalukuja, ratkaistaan tapaus, jossa b > : 8 k + = k + k k < k + = k 8 ( k + ) = 9k 8( k + ) = 6k 59k = 8 8 k = 59 9 k ± 59 = < k
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty 9..6 b= k + b> k < 8, 8 = 8 + 59 6 8 6 8 = 8 = = 59 59 59 y= k+ b 9 8 y = + eli 59 59 y=,57... + 8,95... Etsitään tangentin y=,57... + 8,95... ja ympyröiden leikkauspisteet A ja B. ) Ympyrä + y = 8 + = 8 sijoitetaan =,57... + 8,95... y y ( ) +,57... + 8,95... = 6 +,...,55... + 65,7... = 6,...,55... +,7... =,55... ±,55...,...,7... =,,55... ± = =,, jolloin,... y=,57..., + 8,9... = 7,99... Siis A = (,;7,99... ) ) Ympyrä + y =,5 ( ) + y =,5 sijoitetaan y=,57... + 8,95... ( ) ( ) +,57... + 8,95... =,5 6+ 9 +,...,55... + 65,7... =,5,... 6,55... + 95,... = 6,55... ± 6,55...,... 95,... =,... 6,55... ± =,... =,55 y =,57...,55 + 8,9... =,6... Siis B = (,55;,6... ) AB =,55, +,6... 7,99... = 9,66... Kaari AC: A = (,;7,99... ) 7,99... tanα =, josta α = 8,7..., 6 8,7... AC = π 8= 7,5... 6 Kaari BD: 8,7... BD = π,5 = 9,9... 6 Vastaus Ketjujen pituus on AB+ AC+ BD 96,8 cm.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty 9..6 756 Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. y y + = ( ) + y y + = + = Ympyrän tangentteja ovat esimerkiksi suorat y= ja =, joiden leikkauspisteestä (, ) ympyrä näkyy suorassa kulmassa. Tämän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on + = Annetaan ympyrän kiertyä tangentteineen keskipisteensä ympäri. Tällöin ympyrä näkyy koko ajan suorassa kulmassa ja tangenttien leikkauspiste on koko ajan etäisyydellä ympyrän keskipisteestä. Näin pisteet, joista ympyrä näkyy suorassa kulmassa, muodostavat ympyrän, jonka keskipiste on sama kuin alkuperäisen ympyrän keskipiste ja säde on. Saadaan ( y ) + = Vastaus + ( y ) = ( + y y = )