Rubikin kuutio ja ryhmät Johanna Rämö Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Kehittäjä unkarilainen Erno Rubik kuvanveistäjä ja arkkitehtuurin professori 1974 Halusi leikkiä geometrisilla muodoilla. Miten pikkukuutiot voi saada liikkumaan ilman, että iso kuutio hajoaa? Markkinoille 1980. Sai nimekseen Rubikin kuutio.
Parhaat ratkojat ratkaisevat kuution muutamassa sekunnissa. Kuutiota ratkotaan sokkona, jaloilla, jne. Näissä kalvoissa käydään läpi eräs algoritmi, jolla kuution voi ratkaista. Lisätietoa löytyy esimerkiksi sivuilta http://www.mv.helsinki.fi/home/jramo/rubik_2010/rubik_2010.html http://users.utu.fi/lahtonen/rubik.html
Perussiirrot
Matemaatikkoja kiinnostava kysymys: Mikä on pienin määrä perussiirtoja, joka kuution ratkaisemiseen tarvitaan? On olemassa kombinaatio, jonka ratkaisemiseen tarvitaan välttämättä vähintään 26 siirtoa. Toisaalta jokainen kombinaatio ratkeaa vähintään 29 siirrolla.
Rubikin kuution siirrot Rubikin kuution siirto on mikä tahansa yhdistelmä perussiirroista. Erilaisia siirtoja on 43252003274489856000 eli noin 4, 3 10 19 kappaletta.
Rubikin ryhmä Rubikin kuution kuution siirroille voidaan määritellä laskutoimitus. Jos a ja b ovat jotkin siirrot, niiden tulo a b on siirto, joka saadaan tekemällä ensin siirto a ja sitten siirto b. Rubikin kuution siirroista muodostuu niin kutsuttu Rubikin ryhmä.
Ryhmän laskutoimituksen on oltava liitännäinen eli kaikilla siirroilla a, b ja c pitää päteä a (b c) = (a b) c. Ryhmässä on oltava neutraalialkio. Rubikin ryhmässä neutraalialkio on siirto, jossa ei tehdä mitään. Tätä merkitään symbolilla 1. Ryhmässä jokaisella alkiolla on oltava käänteisalkio. Rubikin ryhmässä siirron käänteisalkio on saadaan tekemällä kaikki välivaiheet päinvastaisessa järjestyksessä päinvaistaiseen suuntaan. Siirron a käänteisalkiota merkitään a 1
Perussiirrot
Valesiirrot
Tehtäviä: 1. Mikä on perussiirron R käänteisalkio R 1? 2. Entä perussiirron B käänteisalkio B 1? 3. Entä siirron B 1 käänteisalkio? 4. Mikä on siirron a = R B käänteisalkio a 1? Tarkista kuutiolla, että a a 1 = 1. 5. Mikä on siirron R 1 U L 1 B L kääteisalkio?
6. Keksi jokin siirto a, jolle pätee a a a a = 1. Tällöin siis neljän siirron sarja a a a a ei tee kuutiolle mitään. 7. Millainen siirto on tällöin a 1? 8. Keksi jokin siirto b, jolle pätee b b = 1. 9. Millainen siirto on tällöin b 1? 10. Olkoon x jokin siirto. Kuinka monta kertaa siirto x L x 1 on tehtävä, jotta päästään neutraalialkioon?
11. Olkoon x jokin siirto. Mikä on siirron x U x 1 käänteisalkio? 12. Onko Rubikin ryhmä vaihdannainen, eli päteekö a b = b a kaikilla siirroilla a ja b? 13. Keksi jotkin siirrot a ja b, joille pätee a b = b a.
Muita ryhmiä Asentoryhmä R a koostuu siirroista, jotka pitävät palat paikallaan, mutta saattavat muuttaa niiden asentoja. Voidaan myös unohtaa kuution ruudut ja ajatella vain paloja. Palojen siirrot muodostavat paikkaryhmä R p.
Ratkaisustrategia Laitetaan ensin palat paikalleen. (Toimitaan paikkaryhmässä R p.) Laitetaan sitten palat oikeisiin asentoihin. (Toimitaan asentoryhmässä R a.)
Algoritmi 1: nurkkapalojen kolmisykli Merkitään a = R 1 D R ja b = U 1. Siirto a b a 1 b 1 on kulmapalojen kolmisykli. Katso kuva!
Kokeile kolmisykliä. Miten sen saisi pyörimään toiseen suuntaan? Keksitkö kaksi eri tapaa toteuttaa tämän?
Huomaa, että kolmisykli on muodostuu siirtojen ja niiden käänteisalkioiden tuloista. Jos Rubikin ryhmä olisi vaihdannainen, tämä tulo olisi neutraalialkio: a b a 1 b 1 = a a 1 b b 1 = 1 1 = 1. Rubikin ryhmä ei kuitenkaan ole vaihdannainen!
Kolmisykli muilla kulmilla
Kokeile kolmisykliä muille kulmille. (Katso taululla olevaa kuvaa.) Tee itsellesi (tai kaverillesi) tehtävä. Merkitse kolme kulmaa ja yritä saada aikaan niiden kolmisykli.
Miten kulmapalat saadaan paikoilleen? Kolmisykleillä yritetään saada kaikki kulmat paikoilleen. Joskus se ei onnistu. Tällöin minkä tahansa perussiirron tekeminen muuttaa tilannetta niin, että kulmat saadaan pakoilleen kolmisykleillä. Yritä siis kolmisykleillä. Jos se ei onnistu, tee jokin perussiirto, ja jatka sen jälkeen kolmisykleillä.
Algoritmi 2: särmäpalojen kolmisykli Merkitään a = F U S L 1 ja b = U. Siirto a b a 1 b 1 on kulmapalojen kolmisykli. Kannattaa katsoa kuvaa ja siihen piirrettyjä nuolia. Tässä saattaa hämätä se, että kuution etutahko kääntyy sivuun ja siksi siirtojen nimet näyttävät oudoilta.
Laitetaan särmäpalat oikeille paikolle kolmisyklien avulla. Kolmisykliä voi soveltaa mihin tahansa kolmeen särmään samalla tavalla kuin nurkkienkin kolmisykliä. Tämän jälkeen kaikki palat ovat oikeilla paikoillaan.
Algoritmi 3: nurkkapalojen kierto Nurkkapalat kierretään pareittain oikeisiin asentoihin.
Algoritmi 4: särmäpalojen kierto Särmäpalat kierretään pareittain oikeisiin asentoihin.
Korttipakka ja ryhmät Tutkitaan eri tapoja sekoittaa kortit. Aloitetaan yksinkertaisuuden vuoksi kolmesta kortista. (Tämä tehdään liitutaululla.)
Sekoituksilla laskeminen Sekoituksia voi kertoa keskenään tekemällä sekoitukset peräkkäin. Kerrotaan keskenään sekoitukset ( ) ( 1 2 3 1 2 3 ja 1 3 2 2 1 3 ). Minkälainen sekoitus saadaan? Miltä sen taulukko näyttää? Voiko tuloksen päätellä suoraan taulukosta?
Sekoituksilla laskeminen Sekoituksia voi kertoa keskenään tekemällä sekoitukset peräkkäin. Kerrotaan keskenään sekoitukset ( ) ( 1 2 3 1 2 3 ja 1 3 2 2 1 3 ). Minkälainen sekoitus saadaan? Miltä sen taulukko näyttää? Voiko tuloksen päätellä suoraan taulukosta?
Sekoitusryhmä Sekoitukset muodostavat ryhmän. Neutraalialkiona on sekoitus, joka ei tee mitään. Kunkin sekoituksen käänteisalkio on sekoitus, joka palauttaa järjestyksen ennalleen.
Tutkitaan sekoituksia ( 1 2 3 a = 3 1 2 ) ja b = Määritä seuraavat sekoitukset: ( ) 1 2 3. 3 2 1 a b b a a a a
Miltä näyttää neutraalialkion taulukko? Määritä sekoituksen b = ( ) 1 2 3. käänteisalkio. 3 2 1 Miten käänteisalkion voi päätellä suoraan taulukosta?
Onko sekoitusryhmä vaihdannainen? Määritä kaikki mahdolliset kolmen kortin sekoitukset. Montako erilaista sekoitusta saadaan, jos kortteja onkin neljä?
Millaisista sykleistä koostuu sekoitus ( ) 1 2 3 4 5? 3 1 2 5 4 Entä sekoitus ( ) 1 2 3 4 5 6 7? 6 5 2 4 3 7 1
Montako kertaa seuraava sekoitus on tehtävä, jotta palataan takaisin lähtötilanteeseen: ( ) 1 2 3 4 5? 3 2 4 1 5 Entä sekoitus ( ) 1 2 3 4 5 6? 6 1 2 5 4 3
Tutkitaan korttipakkaa, jossa on kymmenen korttia. Alla on kuvailtu kaksi korttipakan sekoitustapaa. Kirjoita kummassakin tapauksessa sekoitusta vastaava taulukko. Selvitä, kuinka monen sekoituskerran jälkeen ollaan takaisin lähtötilanteessa. Otetaan pakan päältä neljän kortin pino ja laitetaan se pakan alle. Jaetaan pakka kahteen yhtä suureen osaan ja asetetaan näiden kahden osan kortit vuorotellen toistensa lomaan niin, että päällimmäisen osan ensimmäinen kortti on uudessa pakassa ensimmäisenä.