Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Aikasarjat >> Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat, aikasarja-analyysi ja stokastiset prosessit 1/3 Oletetaan, että tarkastelemme muuttujan x arvojen kehittymistä ajassa. Tällöin voimme järjestää muuttujan x havaitut arvot aikajärjestykseen. Kutsumme aikasarjaksi sellaista havaintojen jonoa, jossa aika määrää havaintojen järjestyksen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 3
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat, aikasarja-analyysi ja stokastiset prosessit 2/3 Tilastollinen aikasarja-analyysi perustuu siihen, että analyysin kohteena oleva havaittu aikasarja tulkitaan jonkin stokastisen prosessin eli satunnaisprosessin realisaatioksi. Stokastinen prosessi on satunnaismuuttujien jono. Stokastiset prosessit muodostavat aikasarja-analyysissa sovellettavan tilastollisten mallien luokan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 4
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat, aikasarja-analyysi ja stokastiset prosessit 3/3 Tilastollisessa aikasarja-analyysissa ajatellaan, että analyysin kohteena olevan havaittu aikasarja on jonkin stokastisen prosessin generoima. Jos aikasarjan generoinut stokastinen prosessi tunnetaan, voidaan tietoja prosessista käyttää aikasarjan käyttäytymisen kuvaamiseen ja selittämiseen sekä aikasarjan tulevan käyttäytymisen ennustamiseen ja kontrollointiin. Tilastollisen aikasarja-analyysin perustehtävänä on löytää aikasarjan generoinut stokastinen prosessi ja selvittää sen ominaisuudet. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 5
Aikasarjat: Johdanto Stokastiset prosessit Määrittelemme stokastisen prosessin eli satunnaisprosessin tässä satunnaismuuttujien jonona. Stokastinen prosessi on satunnaisilmiönä täysin määrätty, jos kaikki prosessiin liittyvien satunnaismuuttujien yhteisjakaumat tunnetaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 6
Aikasarjat: Johdanto Stationaariset stokastiset prosessit Tässä esityksessä tarkastellaan lähinnä sellaisia aikasarjoja, joita voidaan kuvata stationaarisilla (engl. stationary = muuttumaton, kiinteä, paikallaan pysyvä) stokastisilla prosesseilla tai jotka voidaan stationarisoida. Stationaariset aikasarjat ovat muuttumattomia siinä mielessä, että vaikka niiden arvot vaihtelevat satunnaisesti ajanhetkestä toiseen, niissä ei voida nähdä mitään (selkeitä) kehityksellisiä piirteitä kuten stokastista tai determinististä trendiä, stokastista tai determinististä syklistä vaihtelua tai systemaattista rytmin vaihtelua. Stationaarisia stokastisia prosesseja käsitellään lähemmin luvussa Stationaariset stokastiset prosessit. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 7
Aikasarjat: Johdanto Aikasarja-analyysin peruskysymykset Tässä luvussa tarkastellaan seuraavia aikasarja-analyysin peruskysymyksiä: Miten aikasarjoja kerätään? Miten aikasarjoja konstruoidaan muista aikasarjoista? Miten aikasarjoja luokitellaan? Miten aikasarjoja kuvataan graafisesti? Miten ja miksi aikasarjoja esikäsitellään? TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 8
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat: Merkinnät Olkoon x tilastollinen muuttuja, jonka arvojen kehittymistä halutaan tarkastella ajassa. Aikasarja on muuttujan x havaittujen arvojen jono x 1, x 2,, x n jossa x t = muuttujan x havaittu arvo ajanhetkellä t ja aikaindeksi t = 1, 2,, n viittaa peräkkäisiin ajanhetkiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 9
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat: Kommentteja 1/2 Aikasarjassa x t, t = 1, 2,, n aikaindeksin t arvoja 1, 2,, n vastaavat peräkkäiset ajanhetket muodostavat sen havaintoperiodin, jolta havainnot on kerätty. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 10
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat: Kommentteja 2/2 Koska olemme olettaneet, että aikasarja x t, t = 1, 2,, n koostuu erillisinä ajanhetkinä t tehdyistä havainnoista, sanomme, että aikasarja x t on diskreetti. Tässä esityksessä tarkastellaan vain sellaisia diskreettejä aikasarjoja, joissa havainnot on kerätty tasaisin aikavälein. Aikasarjat voidaan luokitella havaintovälin suhteen. Esimerkkejä: Havaintovälin mukaan puhutaan esimerkiksi sekunti-, minuutti-, tunti-, vuorokausi-, viikko-, kuukausi-, 1/4-vuosi- ja vuosiaikasarjoista. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 11
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat: Taustatiedot 1/3 Ennen tilastollisten menetelmien soveltamista pitää selvittää analysoitavaan aikasarjaan liittyvät taustatiedot: (i) Mikä on ollut havaintojen kohteena ollut ilmiö? Esimerkkejä: Vuotuinen bruttokansantuote Suomessa Suomalaisten lukumäärä kunkin vuoden lopussa Vuorokautinen sademäärä Helsingin Kaisaniemessä (ii) Mikä on ollut mittauksissa käytetty mittayksikkö? Esimerkkejä: Vuotuinen bruttokansantuote: Suomalaisten lukumäärä: Vuorokautinen sademäärä: euro kpl mm jatkuu TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 12
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat: Taustatiedot 2/3 jatkuu (iii) Mikä on ollut havaintojen keräämisessä käytetty aikaväli? Esimerkkejä: vrk, viikko, kk, 1/4-vuosi, vuosi (iv) Mitä periodia (ajanjaksoa) mittaukset koskevat? Esimerkkejä: Kuukausiaikasarja 1950/II 1999/IX Vuosiaikasarja 1946-2005 (v) Millainen on ollut aikasarjan kuvaaman ilmiön historia? TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 13
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat: Taustatiedot 3/3 Kaikki kalvojen 1/3-2/3 kohdissa (i)-(v) mainitut taustatiedot ohjaavat aikasarjan analyysissa käytettävien menetelmien valintaa. Aikasarjaa ei yleensä voida analysoida järkevästi, ellei aikasarjasta ole käytettävissä kalvojen 1/3-2/3 kohdissa (i)-(v) mainittuja taustatietoja. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 14
Aikasarjat: Johdanto Varantosuureet ja virtasuureet 1/2 Aikasarjoja analysoitaessa on usein syytä erottaa varantosuureiksi ja virtasuureiksi kutsutut muuttujatyypit: (i) Varantosuureet kuvaavat tutkimuksen kohteen määrää kunakin ajanhetkenä. Esimerkkejä: Kk-tulot, Vesimäärä, Bruttokansantuote (ii) Virtasuureet kuvaavat tutkimuksen kohteen määrän muutoksia ajanhetkestä toiseen. Esimerkkejä: Kk-tulojen muutokset Veden virtausnopeus Bruttokansantuotteen kasvuvauhti TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 15
Aikasarjat: Johdanto Varantosuureet ja virtasuureet 2/2 Monissa aikasarja-analyysin tutkimusasetelmissa tutkimuksen kohdetta voidaan kuvata sekä varanto- että virtasuureilla. Muuttujatyyppi vaikuttaa mm. siihen, millaiset laskennalliset operaatiot ovat aikasarjoille mielekkäitä. Varantosuureista voidaan johtaa virtasuureita differensoimalla (laskemalla peräkkäisten havaintoarvojen erotuksia); ks. kappaletta Aikasarjojen esikäsittely. Virtasuureista voidaan johtaa varantosuureita integroimalla (laskemalla peräkkäisten havaintoarvojen kumulatiivisia summia); ks. kappaletta Aikasarjojen esikäsittely. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 16
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen kerääminen Aikasarjojen keräämisessä voidaan soveltaa kaikkia tavanomaisia tilastollisten aineistojen keruun menetelmiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 17
Aikasarjat: Johdanto Perusjoukko, tilastollinen aineisto, havainto Tilastollisen tutkimuksen kaikki mahdollisten kohteet muodostavat tutkimuksen (kohde-) perusjoukon. Tutkimuksen kohteita on aina tarkasteltava jonkin hyvin määritellyn perusjoukon muodostamassa kehikossa. Tutkimuksen kohteiksi valittuja perusjoukon alkioita kutsutaan havaintoyksiköiksi. Tilastollinen aineisto koostuu havaintoyksiköiden ominaisuuksia ja olosuhteita kuvaavista numeerisista tai kvantitatiivisista tiedoista. Havaintoyksiköitä koskevia numeerisia tai kvantitatiivisia tietoja kutsutaan havaintoarvoiksi tai havainnoiksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 18
Aikasarjat: Johdanto Miten tilastollisia aineistoja kerätään? 1/2 Muutetaanko tutkimuksessa aktiivisesti tutkimuksen kohteiden olosuhteita? (i) Tutkimus on koe, jos tavoitteena on selvittää, miten tutkimuksen kohteiden olosuhteiden aktiivinen muuttaminen vaikuttaa kohteisiin. (ii) Tutkimus perustuu suoriin havaintoihin, jos tavoitteena on seurata, miten tutkimuksen kohteiden olosuhteet ja niissä tapahtuvat muutokset vaikuttavat kohteisiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 19
Aikasarjat: Johdanto Miten tilastollisia aineistoja kerätään? 2/2 Kohdistuuko tutkimus kaikkiin perusjoukon alkioihin vai vain johonkin perusjoukon osaan? (i) Tutkimusta kutsutaan kokonaistutkimukseksi, jos kaikki perusjoukon alkiot tutkitaan. (ii) Tutkimusta kutsutaan otantatutkimukseksi, jos tutkimus kohdistuu johonkin perusjoukon osajoukkoon. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 20
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen konstruointi Tilastollisen analyysin kohteena olevat aikasarjat eivät useinkaan ole syntyneet suorien mittauksien tuloksena. Analyysi kohdistetaan usein aikasarjoihin, jotka on konstruoitu (erilaisin menetelmin) toisista aikasarjoista. Aikasarjojen konstruointimenetelmiä: Otanta ajassa Aika-aggregointi Aggregointi Disaggregointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 21
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen konstruointi: Otanta ajassa 1/2 Ajassa otannassa aikasarja konstruoidaan keräämällä aikaotannan kohteena olevasta, ajassa etenevästä satunnaisilmiöstä havaintoja tasaisin aikavälein. Monissa aikasarja-analyysin tutkimusasetelmassa tutkimuksen kohteesta voidaan kerätä havaintoja lähes jatkuvasti tai mielivaltaisen pienin (hyvin lyhyin) aikavälein. Tällöin ennen havaintojen tekemistä joudutaan valitsemaan poiminnassa käytettävä havaintoväli. Se, mitä aikasarjan kuvaamasta ilmiöstä voidaan nähdä, riippuu voimakkaasti käytetystä havaintovälistä; ks. Nyquistin frekvenssiä koskevaa kohtaa luvun Stationaariset stokastiset prosessit kappaleessa Stationaaristen stokastisten prosessien spektri. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 22
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen konstruointi: Otanta ajassa 2/2 Ajassa otannalla tarkoitetaan myös operaatiota, jossa uusi aikasarja konstruoidaan poimimalla otannan kohteena olevasta, olemassa olevasta aikasarjasta havainnot uuteen aikasarjaan tasaisin aikavälein. Esimerkki: Kuukausiaikasarjasta voidaan (tietyin, muuttujatyyppiä koskevin ehdoin) konstruoida vuosiaikasarja poimimalla kuukausiaikasarjasta joka 12. havainto kuten esimerkiksi joulukuun havainnot. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 23
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen konstruointi: Aika-aggregointi Aika-aggregoinnissa aikasarja konstruoidaan yhdistämällä aggregoinnin kohteena olevan aikasarjan peräkkäisiä havaintoja uudeksi aikasarjaksi. Varantosuureilla aika-aggregointi tehdään tavallisesti laskemalla (painotettuja) summia. Esimerkki: Vuotuinen sademäärä (varantosuure) voidaan määrätä laskemalla päivittäisten sademäärien summa. Virtasuureilla aika-aggregointi tehdään tavallisesti laskemalla (painotettuja) keskiarvoja. Esimerkki: Vuotuinen keskikorko (virtasuure) voidaan määrätä laskemalla kuukausikoroista (eräs geometrinen) keskiarvo. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 24
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen konstruointi: Aggregointi Aggregoinnissa aikasarja konstruoidaan yhdistämällä kaksi tai useampia aggregoinnin kohteena olevaa aikasarjaa yhdeksi uudeksi aikasarjaksi. Varantosuureilla aggregointi tehdään tavallisesti laskemalla (painotettuja) summia. Virtasuureilla aggregointi tehdään tavallisesti laskemalla (painotettuja) keskiarvoja. Esimerkki: Ns. yhdistetyt indeksit kuten esim. elinkustannusindeksi saadaan aggregoimalla useita kulutustarvikkeiden ja palveluiden hintoja koskevaa aikasarjaa yhdeksi aikasarjaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 25
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen konstruointi: Disaggregointi Disaggregoinnissa aikasarja konstruoidaan hajottamalla disaggregoinnin kohteena oleva aikasarja osiinsa. Esimerkki: Siirtyminen Suomen kokonaisbruttokansantuotteesta bruttokansantuotteeseen per capita (per henkilö) voidaan tulkita disaggregoinniksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 26
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjaa on usein syytä esikäsitellä ennen tilastollisten menetelmien soveltamista. Esikäsittelyn tavoitteena on helpottaa aikasarjan analysoimista. Esikäsittelymenetelmiä: Matemaattiset transformaatiot ja muunnokset Differensointi Tasoitus liukuvilla keskiarvoilla Poikkeavien havaintojen eliminointi Dekomponointi ja kausipuhdistus Ks. tarkemmin seuraavia kappaleita. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 27
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen kuvaaminen graafisesti: Aikasarjadiagrammit Aikasarjaa x t, t = 1, 2,, n kuvataan graafisesti ns. aikasarjadiagrammilla. Aikasarjadiagrammi on pistediagrammi, jossa lukuparit (t, x t ), t = 1, 2,, n esitetään pisteinä tasossa. Peräkkäisiin ajanhetkiin liittyvät pisteet (t 1, x t 1 ), (t, x t ), t = 2, 3,, n on tapana yhdistää aikasarjadiagrammissa toisiinsa janoilla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 28
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjadiagrammit: Kommentteja 1/2 Hyvin laadittuun aikasarjadiagrammiin on aina liitetty seuraavat tiedot: Kuvan otsikko Aikasarjan selite Asteikkojen nimet Selkeät asteikkomerkinnät Käytetyt mittayksiköt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 29
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjadiagrammit: Kommentteja 2/2 Diagrammin mittasuhteet ja etenkin pystyakselin skaala vaikuttavat voimakkaasti siihen mitä kuviosta on mahdollista nähdä. Jos tarkasteltavana on useita aikasarjoja, diagrammien mittasuhteet sekä vaaka- ja pystyakseleiden skaalat ja asteikot on syytä valita sellaisella tavalla, että aikasarjoja voidaan vertailla järkevällä tavalla. Sopivasti valitut matemaattiset transformaatiot kuten logaritmointi saattavat helpottaa aikasarjojen vertailua (ks. tarkemmin seuraavaa kappaletta). TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 30
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjadiagrammit: Tulkinta 1/2 Aikasarjadiagrammien käytön tavoitteena on helpottaa aikasarjojen erityispiirteiden löytämistä: (i) Onko aikasarjassa trendejä eli aikasarjan tason systemaattisia muutoksia? (ii) Onko aikasarjassa syklistä vaihtelua kuten suhdanne- ja/tai kausivaihtelua? (iii) Millainen on aikasarjan rytmi: Onko rytmi hidas vai nopea? (iv) Millainen on vaihtelukomponenttien muoto: Mikä on komponenttien nousu- ja laskunopeus? (v) Onko aikasarjassa poikkeavia havaintoja? TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 31
Aikasarjat: Johdanto Aikasarjadiagrammit: Tulkinta 2/2 On syytä huomata, että kaikilla kalvon 1/2 kohdissa (i)-(v) mainituilla tekijöillä on vaikutusta siihen, miten aikasarjaa analysoidaan: Kohdissa (i)-(v) mainitut tekijät voivat olla analyysin kohteita. Kohdissa (i)-(v) mainituilla tekijöillä saattaa olla vaikutusta analyysissa käytettävien menetelmien valintaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 32
Aikasarjat: Johdanto Aikasarja-analyysin tehtävät Aikasarja-analyysin tehtävät: (i) Aikasarjan kuvaaminen. (ii) Aikasarjan selittäminen. (iii) Aikasarjan ennustaminen. (iv) Aikasarjan kontrolli. Huomautus: Tehtävät muuttuvat vaativammiksi seuraavassa järjestyksessä: (i) (ii) (iii) (iv) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 33
Aikasarjat: Johdanto Tilastolliset aikasarjamallit Tilastolliset aikasarjamallit jaetaan usein seuraavalla tavalla kahteen ryhmään: (i) (ii) Autoprojektiiviset aikasarjamallit pyrkivät hyödyntämään pelkästään aikasarjan omaa historiaa. ARMA-malleiksi kutsuttuja autoprojektiivisia malleja käsitellään luvussa ARMA-mallit. Dynaamiset regressiomallit pyrkivät hyödyntämään aikasarjan oman historian lisäksi sen riippuvuutta muista aikasarjoista ja niiden historiasta. Dynaamisia regressiomalleja käsitellään luvussa Dynaamiset regressiomallit. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 34
Aikasarjat Aikasarjat: Johdanto >> Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 35
Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen esikäsittelyn tavoitteet ja menetelmät Ennen tilastollisten menetelmien soveltamista aikasarjoja on usein tapana esikäsitellä. Esikäsittelyn tavoitteena on helpottaa tilastollisten menetelmien soveltamista. Esikäsittelymenetelmiä: (i) Matemaattiset transformaatiot ja muunnokset (ii) Differensointi (iii) Tasoitus (iv) Poikkeavien havaintojen eliminointi (v) Dekomponointi ja kausipuhdistus; ks. kappaletta Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 36
Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen esikäsittelyn tavoitteet 1/5 Aikasarjojen esikäsittelyn spesifejä tavoitteita: Epälineaarisen trendin linearisoiminen. Lineaarisen trendin sisältävien aikasarjojen analysoiminen on tavallisesti helpompaa kuin epälineaarisen trendin sisältävien aikasarjojen analysoiminen. Esimerkiksi, jos aikasarjassa on eksponentiaalinen trendi, trendi voidaan linearisoida logaritmoimalla aikasarja. Lineaarinen trendi voidaan toisin kuin eksponentiaalinen trendi tarvittaessa eliminoida differensoimalla; ks.. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 37
Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen esikäsittelyn tavoitteet 2/5 Aikasarjojen esikäsittelyn spesifejä tavoitteita: Varianssin vakiointi. Esimerkiksi, jos aikasarjan varianssi kasvaa aikasarjan tason mukana, varianssi voidaan usein vakioida logaritmoimalla aikasarja. Aikasarjan varianssin kasvaminen aikasarjan tason mukana muodostaa aikasarjojen analyysissa samantyyppisen ongelman kuin jäännöstermin heteroskedastisuus regressioanalyysissa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 38
Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen esikäsittelyn tavoitteet 3/5 Aikasarjojen esikäsittelyn spesifejä tavoitteita: Trendin ja/tai kausivaihtelun eliminointi. Esimerkiksi, jos aikasarjassa on (selvästi) näkyvä trendi ja/tai (selvästi) näkyvää kausivaihtelua, ne voidaan usein eliminoida differensoimalla (mahdollisesti yhdistettynä logaritmointiin); differensointi: ks.. Näkyvä trendi ja/tai kausivaihtelu tekevät aikasarjasta tavallisesti epästationaarisen, mikä tekee mahdottomaksi stationaarisille aikasarjoille tarkoitettujen analyysimenetelmien soveltamisen; stationaarisuus: ks. lukua Stationaariset stokastiset prosessit. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 39
Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen esikäsittelyn tavoitteet 4/5 Aikasarjojen esikäsittelyn spesifejä tavoitteita: Aikasarjan tasoittaminen. Jos aikasarjassa on aikasarjan analyysia häiritseviä vaihtelukomponentteja, ne voidaan tasoittaa aikasarjasta liukuvilla keskiarvoilla; liukuvat keskiarvot: ks.. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 40
Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen esikäsittelyn tavoitteet 5/5 Aikasarjojen esikäsittelyn spesifejä tavoitteita: Poikkeavien havaintojen eliminointi. Vaihtoehto 1: Poikkeavat havainnot muunnetaan tavallisiksi havainnoiksi ennen aikasarjan analyysia. Vaihtoehto 2: Poikkeavat havainnot otetaan huomioon aikasarjaan sovellettavien tilastollisten mallien rakenteessa. Poikkeavat havainnot voidaan usein löytää tutkimalla aikasarjadiagrammia ja aikasarjan kuvaaman ilmiön historiaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 41
Aikasarjojen esikäsittely Logaritmointi: Perustelut Aikasarjoja analysoidaan usein logaritmisessa muodossa. Asialooginen perustelu logaritmoinnille: Muuttujan arvojen suhteelliset muutokset ovat usein tärkeämpiä kuin niiden absoluuttiset muutokset. Teknisiä perusteluita logaritmoinnille: Jos aikasarjassa on eksponentiaalinen trendi, trendi voidaan linearisoida logaritmoinnilla. Jos aikasarjan varianssi kasvaa aikasarjan tason mukana, varianssi voidaan usein vakioida logaritmoinnilla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 42
Aikasarjojen esikäsittely Logaritmointi: Suhteelliset muutokset Jos muuttujan x arvo x 0 muuttuu p %, niin uusi arvo x 1 on p x1 = 1 + x0 100 Logaritmoimalla saadaan: p log( x0 ) + 100 log( x1) = log( x0) + log 1+ 100 Siten suhteellinen muutos aikasarjan tasossa on logaritmoituna (lähes) riippumaton tasosta ja riippuu (lähes) pelkästään vain muutosprosentista p. p TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 43
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Perustelut Aikasarja halutaan usein stationarisoida eli aikasarjasta halutaan eliminoida näkyvä epästationaarinen trendi ja/tai näkyvä epästationaarinen kausivaihtelu. Stationaarisuus: ks. lukua Stationaariset stokastiset prosessit. Epästationaarinen aikasarja voidaan hyvin usein stationarisoida differensoimalla aikasarjaa sopivasti. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 44
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Viive ja differenssi Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. Määritellään viiveoperaattori L : Lx t = x t 1 Määritellään differenssioperaattori D = 1 L : Dx t = (1 L)x t = x t Lx t = x t x t 1 Operaattorit L ja D ovat lineaarisia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 45
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Viipeen ja differenssin muodostaminen t x t Lx t Dx t 1 x 1 2 x 2 x 1 x 2 x 1 3 x 3 x 2 x 3 x 2 n 2 x n 2 x n 3 x n 2 x n 3 n 1 x n 1 x n 2 x n 1 x n 2 n x n x n 1 x n x n 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 46
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Differenssin tulkinta Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. Differenssi Dx t = x t x t 1, t = 2, 3,, n kuvaa aikasarjan x t tason muutosta ajanhetkestä toiseen. Jos x t on vuosiaikasarja, niin differenssi Dx t kuvaa vuosimuutosta. Differenssin jatkuvat vastineet: (i) Derivaatta (ii) Nopeus (matkan 1. derivaatta ajan suhteen) Huomautus: Differenssi D poistaa aikasarjasta deterministisen lineaarisen trendin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 47
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Integrointi Differensoidusta aikasarjasta y t = Dx t = x t x t 1, t = 2, 3,, n saadaan alkuperäinen aikasarja x t integroimalla eli laskemalla differenssien kumulatiivisia summia: x 1 = y 1 x t = y 1 + y 2 + + y t, t = 2, 3,, n Huomautus: Huomaa, että aikasarjan x t täydellinen palauttaminen vaatii alkuarvon x 1 = y 1 tuntemista, koska se kiinnittää aikasarjan tason. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 48
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Logaritmoinnin ja differensoinnin yhdistäminen Usein aikasarja sekä logaritmoidaan että differensoidaan. Tällöin tavoitteena on kuvata aikasarjan tasossa tapahtuvia suhteellisia muutoksia. Relatiivinen differenssi xt xt 1 xt 1 kuvaa suhteellista muutosta aikasarjan tasossa. Logaritminen differenssi xt xt 1 log( xt) log( xt 1) xt 1 kuvaa likimääräisesti suhteellista muutosta aikasarjan tasossa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 49
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Korkeammat viipeet ja differenssit 1/3 Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. Määritellään viiveoperaattori L p : L p = L p 1 L = LL L (p kpl) Määritellään differenssioperaattori D p = (1 L) p : D p = D p 1 D = DD D (p kpl) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 50
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Korkeammat viipeet ja differenssit 2/3 Siten ja L p x t = x t p p p D x = (1 L) x t p = ( 1) i= 0 p i p i = ( 1) ( Lxt ) i= 0 i p i p = ( 1) x i= 0 i i t p L i x i t i t TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 51
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Korkeammat viipeet ja differenssit 3/3 Esimerkkejä: 2. viive: L 2 x t = L(Lx t ) = Lx t 1 = x t 2 2. differenssi: D 2 x t = D(Dx t ) = D(x t x t 1 ) = Dx t Dx t 1 = x t x t 1 x t 1 + x t 2 = x t 2x t 1 + x t 2 Tai: D 2 x t =(1 L) 2 x t =(1 2L + L 2 )x t = x t 2x t 1 + x t 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 52
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: 2. differenssin tulkinta Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. 2. differenssi D 2 x t, t = 3, 4,, n kuvaa aikasarjan x t tason muutoksen nopeutta ajanhetkestä toiseen. 2. differenssin jatkuvat vastineet: (i) 2. derivaatta (ii) Kiihtyvyys (matkan 2. derivaatta ajan suhteen) Huomautus: 2. differenssi D 2 poistaa aikasarjasta deterministisen 2. asteen polynomisen trendin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 53
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: p. differenssin tulkinta Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. p. differenssi D p x t, t = p + 1, p + 2,, n kuvaa aikasarjan x t tason muutoksen muutoksen muutoksen (p 1 kpl) nopeutta ajanhetkestä toiseen. p. differenssin jatkuva vastine: (i) p. derivaatta Huomautus: p. differenssi D p poistaa aikasarjasta deterministisen p. asteen polynomisen trendin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 54
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Kausidifferenssi Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. Olkoon s = 1, 2, 3, periodi eli kauden pituus. Määritellään kausidifferenssioperaattori D s = 1 L s : D s x t =(1 L s )x t = x t L s x t = x t x t s TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 55
Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Kausidifferenssin tulkinta Kausidifferenssi D s x t, t = s + 1, s + 2,, n kuvaa aikasarjan x t, t = 1, 2,, n tason muutoksia s ajanhetkeä toisistaan olevien havaintoarvojen välillä. Jos x t on kk-aikasarja, kausidifferenssi D 12 x t kuvaa vuosimuutosta. Kausidifferenssin jatkuvat vastineet: (i) Derivaatta (ii) Nopeus (matkan 1. derivaatta ajan suhteen) Huomautus: Kausidifferenssi D s poistaa aikasarjasta deterministisen kausivaihtelun, jonka periodi on s. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 56
Aikasarjojen esikäsittely Tasoitus: Perustelut Aikasarjaa halutaan usein tasoittaa eliminoimalla siitä häiritsevinä pidetyt vaihtelukomponentit. Aikasarjan tasoittamisen tapahtuu tavallisesti käyttämällä liukuvia keskiarvoja. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 57
Aikasarjojen esikäsittely Tasoitus: Liukuvat keskiarvot 1/2 Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. Muodostetaan havainnoista x t uusi aikasarja y t operaatiolla jossa r yt = ax j t+ j, t= s+ 1, s+ 2,, n r r j= s a j= s j = 1 Sanomme, että aikasarja y t on aikasarjan x t liukuva keskiarvo tai, että aikasarja y t on saatu aikasarjasta x t liukuvan keskiarvon suotimella. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 58
Aikasarjojen esikäsittely Tasoitus: Liukuvat keskiarvot 2/2 Liukuva keskiarvo r yt = ax j t+ j, t= s+ 1, s+ 2,, n r 1, n r j= s on havaintojen xt s, xt s+ 1,, xt 1, xt, xt+ 1,, xt+ r 1, xt+ r painotettu keskiarvo, jonka painorakenteen muodostavat painot (painokertoimet) a s, a s+ 1,, a 1, a0, a1,, ar 1, ar Painojen lukumäärää r + s +1 kutsutaan liukuvan keskiarvon jänteen pituudeksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 59
Aikasarjojen esikäsittely Tasoitus: Liukuvien keskiarvojen käyttö Liukuva keskiarvo r yt = ax j t+ j, t= s+ 1, s+ 2,, n r 1, n r j= s suodattaa tai eliminoi aikasarjasta sellaiset vaihtelukomponentit, joiden kesto on lyhempi kuin liukuvan keskiarvon jänteen pituus r + s +1 Esimerkki: Jos x t on kuukausiaikasarja, voidaan kausivaihtelun tasoittamiseksi käyttää liukuvaa keskiarvoa, jossa r = s = 6 jolloin jänteen pituudeksi tulee r + s +1 = 13 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 60
Aikasarjat Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen esikäsittely >> Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 61
Aikasarjojen dekomponointi Aikasarjojen dekomponoinnin perustelut Useissa aikasarjoissa voidaan nähdä seuraavia piirteitä: Trendejä eli aikasarjan tason systemaattisia muutoksia. Syklistä vaihtelua kuten suhdanne-ja/tai kausivaihtelua. Satunnaista vaihtelua. Tämä empiirinen havainto on johtanut ajatukseen, että aikasarjat kannattaa osana tilastollista analyysia yrittää dekomponoida vastaaviin komponentteihin eli osiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 62
Aikasarjojen dekomponointi Aikasarjojen dekomponoinnin tavoitteet Aikasarjan dekomponoinnin tavoitteet: (i) Aikasarjan käyttäytymisen kuvailu komponenttiensa avulla. (ii) Aikasarjan analysointi komponenttiensa avulla. (iii) Kausipuhdistus eli häiritseviksi koetun kausivaihtelun eliminointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 63
Aikasarjojen dekomponointi Aikasarjan komponentit 1/2 Aikasarjan dekomponoinnissa oletetaan, että aikasarja x t, t = 1, 2,, n voidaan esittää seuraavien komponenttien summana tai tulona: m t = trendikomponentti c t = syklinen (tai suhdanne-) komponentti s t = kausikomponentti = jäännös (tai satunnais-) komponentti e t TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 64
Aikasarjojen dekomponointi Aikasarjan komponentit 2/2 Aikasarjan x t, t = 1, 2,, n dekompositiot: (i) Additiivinen muoto: (ii) x t = m t + c t + s t + e t Multiplikatiivinen muoto: x t = m t c t s t e t Huomautus: Multiplikatiivinen muoto voidaan aina muuntaa additiiviseksi muodoksi logaritmoimalla: log(x t ) = log(m t ) + log(c t ) + log(s t ) + log(e t ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 65
Aikasarjojen dekomponointi Kausipuhdistus Aikasarjan dekomponoinnin tavoitteena on usein aikasarjan kausipuhdistus. Kausipuhdistuksessa alkuperäisestä aikasarjasta x t muodostetaan uusi aikasarja y t, josta häiritseväksi koettu kausivaihtelukomponentti s t on eliminoitu: (i) Kausipuhdistus additiivisessa muodossa: (ii) y t = x t s t = m t + c t + e t Kausipuhdistus multiplikatiivisessa muodossa: y t = x t /s t = m t c t e t TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 66
Aikasarjojen dekomponointi Dekomponointimenetelmät 1/2 Aikasarjojen dekomponointia varten on esitetty useita erilaisia menetelmiä. Yleisesti käytettyjä (ns. virallisia) dekomponointimenetelmiä: (i) X12 (iteratiivinen liukuvien keskiarvojen menetelmä). (ii) X12-ARIMA (ARIMA-mallit iteratiiviseen liukuvien keskiarvojen menetelmään yhdistävä menetelmä). (iii) Aikasarjojen rakennemallit. Emme käsittele näitä (virallisia) kausipuhdistusmenetelmiä tarkemmin tässä esityksessä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 67
Aikasarjojen dekomponointi Dekomponointimenetelmät 2/2 Huomautus: Yleisesti käytetyt tilastolliset ohjelmistot eivät useinkaan sisällä kohdissa (i)-(iii) mainittuja (ns. virallisia) dekomponointimenetelmiä. Sen sijaan ohjelmistoihin on tavallisesti implementoitu jokin yksinkertainen dekomponointimenetelmä, jota ei kuitenkaan pidä käyttää (eikä käytetä) tilastojen tuotantotyössä. Näihin yksinkertaisiin dekomponointimenetelmiin kannattaa kuitenkin tutustua, koska ne havainnollistavat hyvin myös virallisten menetelmien toimintaideaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 68
Aikasarjojen dekomponointi Dekomponoinnin kritiikki 1/4 Dekompontonointia (kausipuhdistusta) perustellaan usein sillä, että komponenttien (kausipuhdistetun aikasarjan) analysointi olisi helpompaa kuin alkuperäisen aikasarjan analysointí. Aikasarjojen dekomponointia ja kausipuhdistusta vastaan on kuitenkin esitetty varsin osuvaa kritiikkiä. Johtopäätös esitystä kritiikistä on nähdäkseni se, että aikasarjojen dekomponointia voidaan suhteellisen järkevästi käyttää osana aikasarjojen kuvailua, mutta komponenttien käyttäminen tilastollisissa malleissa on varsin arveluttavaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 69
Aikasarjojen dekomponointi Dekomponoinnin kritiikki 2/4 Esitetty kritiikki puree etenkin sellaisiin iteratiivisiin liukuvan keskiarvon menetelmiin kuin X12 (X11), mutta myös muun tyyppiset menetelmät ovat alttiita (ainakin osalle) esitetystä kritiikistä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 70
Aikasarjojen dekomponointi Dekomponoinnin kritiikki 3/4 Asialooginen kritiikki dekomponointia ja kausipuhdistusta vastaan: (i) Aikasarjan jako trendi-, suhdanne-, kausi- ja jäännöskomponentteihin on enemmän tai vähemmän mielivaltaista. (ii) Komponentit eivät ole todellisia, mitattavissa olevia suureita. Esimerkki: Työttömien määrää kuvaavat aikasarjat julkaistaan tavallisesti kausipuhdistettuina. Kysymys: Ovatko kausipuhdistetut työttömät kadonneet johonkin? TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 71
Aikasarjojen dekomponointi Dekomponoinnin kritiikki 4/4 Tilastotieteellinen kritiikki dekomponointia ja kausipuhdistusta vastaan: (i) Dekomponoinnin taustalla ei ole useinkaan (paitsi rakennemalleilla) mitään tilastollista mallia. (ii) Dekomponoinnin onnistumista on hyvin vaikeata mitata millään tilastollisilla mittareilla. (iii) Kausipuhdistus vääristää aikasarjojen autokorrelaatiorakenteen (sisäiset aikariippuvuudet). (iv) Kausipuhdistus vääristää aikasarjojen taajuusalueen ominaisuudet. (v) Kausipuhdistus saattaa vääristää aikasarjojen väliset riippuvuudet. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 72
Aikasarjojen dekomponointi Mitä kausipuhdistuksen sijasta? Kausipuhdistus voidaan tilastollisessa analyysissa (lähes) aina korvata muilla, tilastotieteen kannalta paremmin perustelluilla menetelmillä. Kausipuhdistuksen sijasta kannattaa harkita esimerkiksi seuraavien menetelmien soveltamista: (i) Ajassa aggregointi tai ajassa otanta. (ii) Kausidifferensointi. (iii) Kausivaihtelun ottaminen huomioon sovellettavien tilastollisten mallien rakenteessa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 73