Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin algoritmilla voidaan etsiä yhtälölle f(x)=0 ratkaisua aloittaen alkuarvauksesta x 0 ITERAATIOKAAVA: Hyvällä alkuarvauksella jono suppenee kohti funktion nollakohtaa.
Newtonin algoritmi - valitaan alkuarvo - uusi arvo saadaan lausekkeesta: x-f(x)/f '(x) Jos alkuarvaus on hyvä, arvo suppenee kohti funktion nollakohtaa. Numeerinen integrointi Määrätyn integraalin arvoa voidaan approksimoida erilaisilla numeerisilla menetelmillä. Ideana on korvata alkuperäinen funktio sen arvopisteiden perusteella jollain muulla funktiolla. Esimerkiksi yhdistetään peräkkäiset arvot suoralla, tai kolme peräkkäistä arvoa toisen asteen käyrällä. Menetelmää sovelletaan käytännössä silloin, kun alkuperäistä, tai integraalifunktiota ei tunneta.
Puolisuunnikassääntö Antaa määrätyn integraalin likiarvon. Virheen suuruus: Sellaisten pylväiden yhteispinta-ala, joiden leveys on h ja korkeus on f(x i ). Reunimmaisten pylväiden leveys on puoli h. Puolisuunnikassääntö Esimerkki: Junan nopeutta tarkkailtiin 30 sekunnin ajan liikkeellelähtöhetkestä ja saatiin seuraavat arvot: t [s] 0 5 10 15 20 25 30 v(t) [m/s] 0 2,5 7,5 13 17 20 22 Junan kulkema matka on nopeuden integraali ajan suhteen tarkasteluvälillä. Osavälin leveys h on 5 sekuntia.. Integraalin likiarvo saadaan pinta-alasta: Junan kulkema matka oli siis noin 360 metriä.
Simpsonin menetelmä Antaa määrätyn integraalin likiarvon. Virheen suuruus: Antaa tarkan arvon korkeintaan kolmannen asteen polynomeille. Välejä on parillinen määrä. Reunimmaisten arvojen kerroin on yksi, väliin jäävien arvojen kertoimet ovat 4,2,4,2...2,4. Summa kerrotaan h/3 :lla Simpsonin menetelmä Laske Simpsonin menetelmällä likiarvo määrätylle integraalille välillä [1,4] funktiolle ln(x). Käytä kuutta jakoväliä. n=6, a=1, b=4, h=(b-a)/n = 3/6 = 1/2. Virhetarkastelu: funktion ln(x) neljäs derivaatta on -6/x 4. Virheen itseisarvo on suurimmillaan, kun t 4 on pienimmillään. Välillä [1,4] maksimivirhe saadaan, kun t=1. Virhe on 1/160=0,00625. Integraalin likiarvo pyöristettiin kolmen desimaalin tarkkuuteen, ilmoitetaan vastaus muodossa 2,545+-0,007.
Määrätty integraali ja pinta-alan laskeminen Laskettaessa yksiköllisiä pinta-aloja määrätyn integraalin avulla, on syytä tarkistaa, että pinta-alan yksiköksi tulee halutun suureen yksikkö. Tämä tulee esiin varsinkin fysiikan ilmiöihin liittyvissä pinta-aloissa, kuten vaikkapa matka = aika nopeus. Integroitaessa koordinaatistossa, jossa x-akselina on aika ja y-akselina nopeus, tarkista, että yksiköt on valittu niin, että ajan yksikkö supistuu pinta-alaa laskettaessa pois, ja jäljelle jää matkan yksikkö. Esimerkki: Jos x-akselin yksikkö on tunti, ja y-akselin yksikkö on kilometrejä tunnissa. saadaan [km / h] [h] = [km], eli pinta-ala ilmoittaa matkan kilometreinä. Yksikkötarkastelulla voi myös aina tarkistaa antaako integraali vastaukseksi kysytyn suureen, kun kertoo vaakaja pystyakselin yksiköt keskenään. Määrätty integraali vai pinta-ala? Muista myös, että määrätty integraali saa negatiivisen arvon, kun kuvaaja on x-akselin alapuolella. Jos tehtävässä kysytään kuvaajan ja x-akselin rajoittamaa pinta-alaa, muista vaihtaa intgégraalin merkki sillä osavälillä, joka rajoittuu x-akselin alapuolelle.
Kuljettu matka vai etäisyys lähtöpisteestä? Jos Pekka kulkee ensin nopeudella v viisi minuuttia ja sitten nopeudella -v viisi minuuttia, integraali nollasta kymmeneen minuuttiin antaa tulokseksi nolla, Pekka on edennyt nolla metriä lähtöpisteestä, mutta toisaalta Pekka on kävellyt kymmenen minuuttia vauhdilla v, ja askelmittarin lukema näyttää jotain muuta kuin nollaa.