Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää 2A, A + B ja 2C 3E T. 2. Laske (mikäli mahdollista) BA, AB T ja EF. 3. Laske (mikäli mahdollista) AB, CE, EC ja F T E T. 4. Keksi nollamatriisista poikkeavat 3 3-matriisit a) A ja B, joille AB = 0 3 3 (=nollamatriisi). b) A, B ja C, joille AC = BC, mutta A B. 5. Matriisi on permutaatiomatriisi, jos se saadaan yksikkömatriisista kahden tai useamman rivin tai sarakkeen paikkaa vaihtamalla. Olkoon permutaatiomatriisi 1 0 0 0 a b c d P = 0 0 1 0 0 1 0 0 ja matriisi e f g h i j k l. 0 0 0 1 m n o p a) Miten poikkeavat matriisit P A ja AP matriisista A? b) Muodosta permutaatiomatriisi, jonka avulla voidaan matriisin A ensimmäisen ja viimeisen rivin paikka vaihtaa. c) Muodosta permutaatiomatriisi, jonka avulla voidaan matriisin A toisen ja neljännen sarakkeen paikka vaihtaa. 6. Eräs yritys valmistaa kolmentyyppisiä ikkunoita ja eri tyypit vaativat ikkunaa kohti metalliosia, puuta, lasia ja työtä seuraavasti: Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 Raaka-aineiden yksikköhinnat ovat euroissa lausuttuina metalli puu lasi työ 20 9 6 10 Kuinka paljon kunkin ikkunatyypin raaka-aineet maksavat? Eräänä päivänä on toimitettava 50 kpl tyyppiä I, 70 kpl tyypiä II ja 90 kpl tyyppiä III olevia ikkunoita. Kuinka paljon näihin kuluu raaka-aineita? Kuinka paljon raaka-aineet maksavat? Suorita laskut matriisilaskennan merkinnöin! 7. Eläintarhassa on lintuja (2-jalkaisia) ja elukoita (4-jalkaisia). a) Jos siellä on 15 päätä ja 40 jalkaa, niin kuinka monta lintua ja kuinka monta elukkaa siellä on? b) Jos jalkoja on 40, niin mitkä ovat mahdolliset lintujen ja elukoiden lukumäärät? 8. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 1 + 2x 2 x 3 = 5, 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 2

9. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 3x 1 + 5x 2 + x 3 = 3, 2x 1 + 6x 2 + 7x 3 = 1 10. Kalankasvatusaltaassa on kolmea eri lajia kaloja. Lajin 1 jokainen kala tarvitsee viikossa 1 yksikön ruokaa A, 1 yksikön ruokaa B ja 2 yksikköä ruokaa C. Vastaavat yksikkömäärät lajin 2 kaloille ovat 3,4, ja 5 sekä lajin 3 kaloille 2,1 ja 5. Joka viikko altaaseen sijoitetaan 25 000 yksikköä ruokaa A, 20 000 yksikköä ruokaa B ja 55 000 yksikköä ruokaa C. Kuinka monta kalaa kutakin lajia altaassa voi olla, jos oletetaan että kaikki ruoka tulee syödyksi ja jokainen kala syö täsmälleen tarvitsemansa yksikkömäärät? Ratkaise tehtävä sopivan yhtälöryhmän avulla käyttäen Gaussin menetelmää. 11. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + 4x 2 + 2x 3 = 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 1, x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 4 3x 1 + x 2 x 3 = 2 12. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + x 2 x 3 + 2x 4 = 1 2x 1 + 2x 2 = x 3 2x 4 + 3 2x 2 + x 3 x 4 = x 1 2 13. Määrää A:n käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin matriisista (A I), kun 0 1 2 1 0 3 4 3 8 14. Määrää matriisin 0 1 0 1 1 1 1 8 0 0 1 2 1 1 2 1 käänteismatriisi. 15. Etsi matriisin ratkaisu. 1 1 3 0 1 2 käänteismatriisi ja määrää sen avulla yhtälöryhmän 3 5 1 x 1 + x 2 + 3x 3 = a x 2 + 2x 3 = b 3x 1 + 5x 2 x 3 = c 16. Olkoon D = (d ij ) 300 300 diagonaalimatriisi, missä d ii = ix i 3 aina kun i = 1, 2,..., 300. Määrää D:n käänteismatriisi, kun x = 0. Millä x:n arvoilla D:lla ei ole käänteismatriisia? 17. Määrää matriisin 3 7 2 2 3 5 1 0 6 4 0 5 9 5 5 12 se LU-hajotelma, missä matriisin L diagonaalialkiot ovat ykkösiä.

18. Olkoon a) Määrää matriisin A LU-hajotelma. 1 4 5 4 18 26 3 16 30 b) Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 6 4x 1 + 18x 2 + 26x 3 = 0 3x 1 + 16x 2 + 30x 3 = 6 kerroinmatriisin LU-hajotelman avulla. c) Ratkaise A:n LU-hajotelman avulla yhtälöryhmä Ax = b, kun b = ( 6 6 12 ) T. 19. Ovatko seuraavat joukot vektoriavaruuksia? a) Tason 1. neljänneksen vektorit, operaatioina vektoreiden yhteenlasku ja luvulla kertominen. b) Parillista astetta olevat polynomit, operaatioina polynomien yhteenlasku ja luvulla kertominen. c) 3 3 yläkolmiomatriisit operaatioina matriisien yhteenlasku ja luvulla kertominen. 20. Onko U vektoriavaruuden V aliavaruus, kun a) V = R 3 ja U = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 2 = 0, x 1 = 4x 3 } b) V = R 2 ja U = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} c) V = P 3 ja U = {p(t) P 3 p(0) = 0} d) V = reaaliset n n matriisit ja U = reaaliset n n matriisit, joilla jokainen päälävistäjän alkio on 0. 21. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a) V = R 3 ja S = {(1, 0, 1), (2, 0, 4), ( 5, 0, 2), (0, 0, 1)} b) V = P 2 ja S = {t + 1, t 2 + 1, t 2 t} ( ) ( ) 1 1 0 0 c) V = reaaliset 2 2 matriisit ja S = {,, 0 0 1 1 ( ) 1 0, 1 0 ( ) 0 1 }. 0 1 22. a) Selvitä onko vektorijoukko {(1, 1, 2, 2), (3, 2, 4, 5), (0, 2, 3, 2), (1, 1, 0, 3)} R 4 :n vapaa (=lineaarisesti riippumaton) vektorijoukko. Jos on, niin lausu vektori (0, 0, 1, 0) vektorijoukon vektoreiden lineaarikombinaationa. b) Selvitä onko matriisijoukko ( ) 1 1 {, 2 2 ( ) 3 2, 4 5 ( ) 0 2, 3 2 ( ) 1 1 } 0 3 vapaa ( ) reaalisten 2 2 matriisien muodostamassa vektoriavaruudessa. Jos on, niin lausu matriisi 0 0 matriisijoukon matriisien lineaarikombinaationa. 1 0 23. Tutki, muodostavatko vektorit (0, 1, 0, 1), (0, 0, 2, 0), (1, 0, 1, 0) ja (0, 1, 0, 2) R 4 :n kannan. Jos muodostavat, niin etsi vektorin (1, 2, 5, 5) koordinaatit tämän kannan suhteen. 24. Määrää kaikki sellaiset reaaliluvut k, että vektorijoukko {(0, 1, 0, k), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (k, 0, 2, 1)}. on R 4 :n kanta. 25. a) Vektorijoukko S = {(0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2), (1, 0, 2, 0))} on lineaarisen vektoriavaruuden R 4 kanta. Vektorin u koordinaatit kannassa S ovat 1, 2, 5 ja 0. Määrää vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa. b) Polynomijoukko {t, 1 + t 2, t + 2t 3, 1 + 2t 2 } on polynomiavaruuden P 3 kanta. Polynomin p(t) koordinaatit tässä kannassa ovat 1, 2, 5 ja 0. Määrää polynomin p(t) koordinaatit kannassa {1, t, t 2, t 3 }. 26. Vektorijoukot S 1 = {(0, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 0, 1)} ja S 2 = {(1, 1, 0), ( 1, 0, 0), (1, 0, 1)} ovat R 3 :n kantoja. Vektorin v koordinaatit kannassa S 2 ovat 1, 1 ja 2. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S 1. 27. Vektorijoukot S 1 = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3)} ja S 2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 1)} ovat R 3 :n kantoja. Vektorin u koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 2 ja 1. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla u:n koordinaatit kannassa S 2.

28. Onko kuvaus F : R 2 R 3, F (x 1, x 2 ) = (x 1 + 4x 2, 5x 1, x 1 + 6x 2 ) lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen. Jos ei ole, niin perustele miksi ei. 29. Tutki onko kuvaus F : R 4 R 3 lineaarinen kuvaus. Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen ja määrää matriisin avulla vektorin F (u) koordinaatit luonnollisessa kannassa, kun vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 1, 2, 1 ja 0. Jos kuvaus ei ole lineaarinen kuvaus, niin perustele miksi ei. a) F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( x 1 2x 2 + 4x 3, 6x 1 2x 2 + x 4, x 3 ) b) F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (3x 1 x 2 + 4x 3 + x 4, 2, x 1 3x 2 ) 30. Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. a) Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään j-akselin suunnassa 5-kertaiseksi ja k-akselin suunnassa 4-kertaiseksi ja sitten kierretään kulman π 2 verran i-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). b) Mikä on muunnosmatriisi, jos kohdan a muunnosten kuva vielä peilataan yz-tason (=jk-tason) suhteen ja sitten kierretään kulman 3 2π verran i-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna i- akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin)? 31. Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään i-akselin suunnassa 3-kertaiseksi, peilataan xz-tason (=ik-tason) suhteen ja ja lopuksi kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). 32. Kun kuvankäsittelyssä tehdään peräkkäin kaksi venytystä (esim. venytys z-akselin suunnassa ja sitten venytys x-akselin suunnassa), niin voidaanko venytysten järjestystä vaihtaa ja jos voidaan, niin miksi? Voidaanko kahden kierron (esim. kierto π 2 :n verran myötäpäivään x-akselin ympäri ja sitten π 2 :n verran myötäpäivään y-akselin ympäri) järjestystä vaihtaa ja jos voidaan niin miksi? Edelleen voidaanko kierron ja venytyksen järjestystä vaihtaa? Perustelut! 33. Määritä lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 + x 2 3x 3, x 1 2x 2 + x 3 ) matriisi kantojen S 1 = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} ja S 2 = {(0, 1), ( 1, 1)} suhteen ja laske sen avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun vektori u = 2i + 3j k, missä i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1). 34. a) Määrää lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 3x 3, 2x 1 + x 2 2x 3 ) matriisi A kantojen S 1 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} ja S 2 = {(1, 1), (2, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 3 ja 2. b) Määrää lineaarikuvauksen F : P 2 R 2, F (a + bt + ct 2 ) = (a 3c, 2a + b 2c) matriisi A kantojen S 1 = {1, 1 + t, 1 + t + t 2 } ja S 2 = {(1, 1), (2, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F (p(t)) koordinaatit kannassa S 2, kun polynomin p(t) koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 3 ja 2. 35. Olkoon matriisi 2 1 1 4 2 1, 8 4 1 Onko vektori ( 2, 4, 0) T a) A:n ytimen, b) A:n kuva-avaruuden vektori?

36. Olkoon matriisi 9 3 3 6 2 3 1 3 2 2, 3 1 6 2 4 Onko vektori (1, 5, 2, 1, 3) T a) A:n ytimen, b) A:n kuva-avaruuden vektori? 37. Määrää seuraavien matriisien aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta (jokin niistä, jos mahdollista): a) 2 1 2 1 1 1, 6 0 2 b) 9 3 3 6 2 3 1 3 2 2, 3 1 6 2 4 38. Määrää matriisin 1 1 1 0 1 1 0 1 2 1 1 1 4 1 2 2 aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta. 39. Määrää matriisin 1 2 0 1 B = 1 1 1 3 4 6 2 8 0 1 1 2 aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta. 40. Tutki onko allaolevalla yhtälöryhmällä ratkaisuja. x 1 + x 2 x 3 = 7 4x 1 x 2 + 5x 3 = 4 6x 1 + x 2 + 3x 3 = 20. 41. Tarkastellaan 6 8 matriiseja. Mikä on pienin arvo, mikä tällaisen matriisin nulliteetilla voi olla? Mikä on suurin? Konstruoi esimerkki matriisista, jolla on pienin mahdollinen nulliteetti ja esimerkki matriisista, jolla on suurin mahdollinen nulliteetti. 42. Määrää 0 1 2 1 2 5 7 3 0 3 6 2. 2 5 4 2 43. Määrää det(a), kun 2 0 1 3 1 4 9 0 2 1 3 1. 4 0 3 2 44. Määrää kaikki sellaiset k:n arvot, että yhtälöryhmällä x 1 + kx 2 = 2 kx 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 on yksikäsitteinen ratkaisu.

45. Olkoon (a ij ) = 2 3 5 1 2 1. 0 7 1 Laske matriisin A alkion a 12 kofaktori. Laske adjungoitu matriisi adj A ja määrää sen avulla matriisin A käänteismatriisi. 46. Etsi matriisin A ominaisarvot ja -vektorit, kun 47. Laske matriisin ominaisarvot ja kaikki ominaisvektorit. ( ) 1 2 3 2 1 16 8 4 1 4 4 8 13 48. Etsi matriisin A ominaisarvot ja -vektorit, kun 7 8 6 8 9 6 0 0 1 49. Laske matriisin ominaisarvot ja kaikki ominaisvektorit. 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1. 0 0 1 1 50. Olkoon A tehtävän 47 matriisi. Määrää matriisien A 3, A 1 ja A + 5I ominaisarvot ja ominaisvektorit. 51. Matriisin A ominaisarvot ovat 4 ja 1 ja vastaavat ominaisvektorit ovat u 1 = ( 2, 3) ja u 2 = (1, 5). Määrää vektori A( 2u 1 + 5u 2 ). 52. Olkoon Tutki, onko A diagonalisoituva. Perustelu! 2 0 4 0 6 0. 4 0 2 53. Olkoon A tehtävän 47 matriisi. Onko A diagonalisoituva? Jos on, niin määrää matriisi D = T 1 AT ja siihen liittyvä matriisi T. 54. Matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä vastaavat ominaisvektorit ( 1, 0, 1), ( 1, 4, 0) ja (1,2,1). Määrää A. 55. Matriisi A on nollamatriisista eroava reaaliset ominaisarvot omaava diagonalisoituva n n matriisi, jolle on voimassa A 8 = A. Mitkä luvut voivat olla A:n ominaisarvoja? Määrää A:n itseisarvoltaan suurin ominaisarvo. 56. Ratkaise matriisiyhtälö AX + I = A 101, missä ( ) 1 0. 1 2

57. Kahden kilpailevan populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1 (t) = 3x 1(t) x 2 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + 2x 2 (t) Ratkaise x 1 (t) ja x 2 (t) (käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia), kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 150 ja toisen 60. Millä ajan t hetkellä populaatio S 2 häviää? 58. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä x 1 (t) = 2x 1(t) + x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t) 2x 2 (t) + x 3 (t) x 3 (t) = x 2(t) 2x 3 (t) alkuehdoilla x 1 (0) = 2, x 2 (0) = 0, x 3 (0) = 2 käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia. 59. Kahden kilpailevan populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1(t) = x 1 (t) 2x 2 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + x 2 (t) Ratkaise x 1 (t) ja x 2 (t) käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia, kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 30 ja toisen 50. 60. Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin 0 1 1 1 + j 1 0 0 1 1 j ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva ja määrää kuvan perusteella väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon reaaliosa kuuluu sekä väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon imaginaariosa kuuluu. 61. Laske matriisin 2 2 1 1 3 1 2 4 3 itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (1, 1, 1). Likiarvo λ (3) riittää. Mikä on vastaava ominaisvektori? 62. Laske matriisin ( ) 6 5 1 2 itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (0, 1). Likiarvo λ (4) riittää. Mikä on vastaava ominaisvektori?

63. Laske 1-, - ja Frobenius normi matriisille 2 0 3 2 1 1 1 5 3 2 1 1. 1 4 1 1 64. Laske e A, kun ( ) 4 6. 2 3 65. Onko matriisi ( ) 1 2 2 1 diagonalisoituva? Jos on, niin laske siirtomatriisi e At. Jos ei, niin perustele miksi ei. 66. Olkoon matriisi Laske siirtomatriisi e ta. 1 1 0 1 1 1 0 2 1 67. Kahden symbioosissa elävän populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1(t) = 1 2 x 1(t) + 1 4 x 2(t) x 2 (t) = x 1(t) 1 2 x 2(t). Laske populaatioiden koot hetkellä t, kun x 1 (0) = 100 ja x 2 (0) = 400. Käytä ratkaisukaavaa missä siirtomatriisi e At lasketaan kaavalla x(t) = e At x(0), e t T e td T 1, e td = diag (e λ1t, e λ2t ). 68. Sähköisen piirin kondensaattorin C 1 jännitteelle v 1 (t) ja kondensaattorin C 2 jännitteelle v 2 (t) on voimassa differentiaaliyhtälöryhmä: { v 1(t) = 3 2 v 1(t) + 1 2 v 2(t) v 2 (t) = v 1(t) v 2 (t) Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä alkuehdoilla v 1 (0) = 5 ja v 2 (0) = 4 käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia e ta tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 69. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä x 1(t) = 3x 1 (t) + 2x 2 (t) + 2x 3 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + 2x 2 (t) x 3 (t) = 2x 1(t) + 4x 3 (t) käyttämällä hyväksi siirtomatriisia. 70. Ratkaise alkuarvotehtävä y + y 2y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0 palauttamalla se 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmäksi ja käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia.

71. Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 6x 2 = 1 x 1 2x 2 = 2 x 1 + x 2 = 1 x 1 + 7x 2 = 6 pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin r normi r 1. 72. Tarkastellaan ylideterminoitua systeemiä x 1 2x 2 = 3 x 1 + 2x 2 = 1 3x 2 = 4 2x 1 + 5x 2 = 2 a) Määrää systeemin kerroinmatriisi A ja laske sen normit A 1 ja A. b) Laske systeemin pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin r normi r F r. 73. Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 5, kun 1 0 1 0 1 0. 0 0 1 74. a) Olkoon 2 1 0 1 2 0. 0 0 1 Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1. b) Olkoon A n n matriisi, jolla on n erisuurta ominaisarvoa. Osoita, että matriisin A determinantti on A:n ominaisarvojen tulo. 75. Laske e A Cayley - Hamiltonin lauseen perusteella, kun ( ) 3 2. 1 4 76. Olkoon 2 1 0 1 2 0. 0 0 2 Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1 ja sin( π 2 A). 77. 3 3 -matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä A 2 6 0 0 0 0 0. 4 0 2 Laske A:n käänteismatriisi ja determinantti sekä tan( π 4 A 1 ).

MATRIISIALGEBRA 1. Välikoe 19.10.2013 VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! 1. Olkoot ( a b c d ), B = ( 1 3 8 ) 4 2 4 9 5 matriiseja, missä a, b, c ja d ovat reaalilukuja. a) Tarkastellaan laskutoimituksia A T +B ja B T A. Määrää kunkin laskutoimituksen tulos, jos kyseinen laskutoimitus on määritelty. Jos jokin laskutoimituksista ei ole määritelty, niin perustele miksi ei. (3p) b) Olkoon B ylläoleva matriisi. Matriisissa C on 4 riviä ja 2 saraketta. Onko matriisitulo BC määritelty? Jos on, niin määritä montako riviä ja saraketta on matriisissa BC. Jos ei ole, niin perustele miksi ei. (3p) 2. Olkoon matriisi 1 2 0 0 1 1 2 5 x Määrää vaakarivimuunnoksin matriisin A käänteismatriisi kun x = 1 2. Millä x:n arvolla A:lla ei ole käänteismatriisia? 3. a) Polynomijoukko {t, 1 + t 2, t + 2t 3, 1 + 2t 2 } on polynomiavaruuden P 3 kanta. Polynomin p(t) koordinaatit tässä kannassa ovat 1, 2, 5 ja 0. Määrää polynomin p(t) koordinaatit kannassa {1, t, t 2, t 3 }. (2p) b) Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta.muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään i-akselin suunnassa 3-kertaiseksi, peilataan xz-tason (=iktason) suhteen ja ja lopuksi kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). (4p) 4. Määrää matriisin aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta. 1 2 3 1 1 5 1 2 1 4 7 1 Kaavoja: q 1 = a 1 a 1, q = v k k v k, k = 2, 3,..., n, v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

MATRIISIALGEBRA Välikoe 2 23.11.2013 1. Laske matriisin VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! ominaisarvot ja kaikki ominaisvektorit. 1 16 8 4 1 4 4 8 13 2. Kahden kilpailevan populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1 (t) = x 1 (t) 2x 2 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + x 2 (t) Ratkaise x 1 (t) ja x 2 (t) käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia, kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 30 ja toisen 50. 3. Tarkastellaan ylideterminoitua systeemiä x 1 2x 2 = 3 x 1 + 2x 2 = 1 3x 2 = 4 2x 1 + 5x 2 = 2 a) Määrää systeemin kerroinmatriisi A ja laske sen normit A 1 ja A. (2p) b) Laske systeemin pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin r normi r F r. (4p) 4. Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin 0 1 1 1 + j 1 0 0 1 1 j ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva ja määrää kuvan perusteella väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon reaaliosa kuuluu sekä väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon imaginaariosa kuuluu. 5. a) Olkoon Kaavat 2 1 1 2 0 0. 0 0 1 Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1. (2p) b) Olkoon A n n matriisi, jolla on n erisuurta ominaisarvoa. Osoita, että matriisin A determinantti on A:n ominaisarvojen tulo. (4p) D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A 2 + + d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

MATRIISIALGEBRA 1. Välikoe 13.10.2012 VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! 1. Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä { 2x1 x 2 + 3x 3 x 4 = 3 3x 1 + 2x 2 + x 3 5x 4 = 6 x 1 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 6. 2. Olkoon matriisi 0 1 0 1 1 1 0 1 0 2 1 1 1 1 2 8 Määrää vaakarivimuunnoksin matriisin A käänteismatriisi. 3. Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi kierretään kulman π verran j-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna j-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin), sen jälkeen kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin) ja lopuksi venytetään j-akselin suunnassa 3-kertaiseksi. 4. a) Olkoon U vektorijoukon S = {(1, 1, 1), (2, 5, 2), (3, 11, 5)} virittämä R 3 :n aliavaruus. Eli U = L(S). Onko vektorijoukko S aliavaruuden U kanta? Jos on, niin perustele miksi on. Jos ei ole, niin määrää jokin U:n kanta. (3p) b) Olkoon P n (R) korkeintaan astetta n olevien polynomien muodostama vektoriavaruus. Olkoon polynomin p(t) derivaatta polynomi p (t). Määrää yhtälöllä F (p(t)) = p (t) määritellyn lineaarikuvauksen F : P 4 (R) P 3 (R) matriisi kantojen {1, t, t 2, t 3, t 4 } ja {1, t, t 2, t 3 } suhteen.(3p) Kaavoja: q 1 = a 1 a 1, q = v k k v k, k = 2, 3,..., n, v k = a k (q T a 1 k)q 1 (q T a k 1 k)q k 1, k = 2, 3,..., n.

MATRIISIALGEBRA Välikoe 2 1.12.2012 1. Määrää matriisin VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta. 2. Laske matriisin ominaisarvot ja kaikki ominaisvektorit. 3. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä 1 2 6 4 1 1 3 1 2 0 1 7 2 3 3 1 2 3 1 1 2 { x 1 (t) = 3x 1 (t) + x 2 (t) x 2 (t) = x 1(t) + 3x 2 (t) alkuehdoilla x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 0 käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 4. Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 x 3 = 4 x 1 3x 3 = 6 x 2 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2 pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske residuaalivektorin r normi r. 5. a) Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla cos (πa), kun ( ) 1 0. 3 1 Kaavat b) Vektorijoukko {x, y} on sidottu, eli lineaarisesti riippuva täsmälleen silloin kun on olemassa sellainen luku a, että x = ay. Olkoon A n n matriisi, n 2, jolla on kaksi erisuurta ominaisarvoa λ 1 ja λ 2. Olkoon x 1 ominaisarvoon λ 1 ja x 2 ominaisarvoon λ 2 liittyvä matriisin A ominaisvektori. Osoita, että vektorijoukko {x 1, x 2 } ei ole sidottu vektorijoukko. D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A 2 + + d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

MATRIISIALGEBRA Loppukoe 16.8.2014 1. a) Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä x 1 x 2 x 3 = 4 2x 1 5x 2 + 4x 3 = 4 3x 1 x 2 7x 3 = 20 x 1 2x 2 + x 3 = 0 b) Laske a)-kohdan yhtälöryhmän kerroinmatriisin aste, nulliteetti ja ydin. 2. a) Määrää lineaarikuvauksen F : R 2 R 3, F (x 1, x 2 ) = (2x 1 x 2, x 2, x 1 + 3x 2 ) LASKUT NÄKYVIIN! matriisi kantojen {(0, 1), (1, 1)} ja {(1, 0, 1), (0, 0, 1), (0, 1, 0)} suhteen a) b) Polynomijoukko {t, 1 + t 2, t + 2t 3, 1 + 2t 2 } on polynomiavaruuden P 3 kanta. Polynomin p(t) koordinaatit tässä kannassa ovat 1, 2, 5 ja 0. Määrää polynomin p(t) koordinaatit kannassa {1, t, t 2, t 3 }. 3. Kahden kilpailevan populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1 (t) = x 1 (t) 2x 2 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + x 2 (t) Ratkaise x 1 (t) ja x 2 (t) käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia, kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 30 ja toisen 50. 4. 3 3 -matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä A 2 6 0 0 0 0 0. 4 0 2 Kaavoja: Laske A:n käänteismatriisi ja determinantti sekä tan( π 4 A 1 ). D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A 2 + + d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

MATRIISIALGEBRA Loppukoe 8.2.2014 1. Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä x y z + 4 = 0 2x 5y + 4z 4 = 0 3x y 7z + 20 = 0 x 2y + z = 0 LASKUT NÄKYVIIN! 2. a) Määrää lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3 ) matriisi A kantojen S 1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} ja S 2 = {(1, 1), (1, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat 4, 1 ja 5.(3p) b) Vektorijoukot S 1 = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3)} ja S 2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 1)} ovat R 3 :n kantoja. Vektorin v koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 2 ja 1. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S 2. 3. Kappaleeseen vaikuttaa sellainen voimakenttä, että kappaleen x ja y koordinaatit ( z koordinaatti jätetään huomiotta) toteuttavat ajan t suhteen differentiaaliyhtälöryhmän: { x (t) = 4x(t) 5y(t) y (t) = 2x(t) + y(t) Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä, kun alkuhetken koordinaatit olivat x(0) = 2 ja y(0) = 1. Käytä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 4. a) Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin 0 1 1 1 1 + j 0 0 1 1 j ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva ja määrää kuvan perusteella väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon reaaliosa kuuluu sekä väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon imaginaariosa kuuluu. b) Määrää pienimmän neliösumman ratkaisu yhtälöryhmälle x 1 + 2x 2 = 1 x 1 2x 2 = 2 2x 1 + 3x 2 = 1. Kaavoja: D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A 2 + + d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1