Yleiset lineaarimuunnokset

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29

Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos TUOMINEN, KARI: Yleiset lineaarimuunnokset Pro gradu -tutkielma, 43 s. Matematiikka Toukokuu 29 Tiivistelmä Tässä tutkielmassa tarkastellaan yleisiä lineaarimuunnoksia. Ensimmäisessä luvussa käydään läpi joitain oleellisia esitietoja. Toisessa luvussa määritellään yleinen lineaarimuunnos sekä tutustutaan erilaisiin lineaarimuunnoksiin. Kolmannessa luvussa määritellään lineaarimuunnoksen ydin ja arvojoukko sekä näiden ominaisuuksia, sekä todistetaan yleisten lineaarimuunnosten dimensiolause. Neljännessä luvussa määritellään käänteiset lineaarimuunnokset. Viidennessä luvussa tutustutaan lineaarimuunnosten matriiseihin sekä niiden hyötyyn. 2

Sisältö Johdanto 4 1 Esitiedot 5 2 Yleiset lineaarimuunnokset 8 2.1 Yleisen lineaarimuunnoksen määritelmä............. 8 2.2 Erilaisia lineaarimuunnoksia................... 9 2.3 Lineaarimuunnoksien ominaisuuksia............... 13 2.4 Lineaarimuunnosten löytäminen kantavektorien kuvista.... 14 2.5 Lineaarimuunnosten yhdistelmät................ 15 3 Lineaarimuunnoksen ydin ja arvojoukko 18 3.1 Ydin ja arvojoukko........................ 18 3.2 Ytimen ja arvojoukon ominaisuuksia.............. 19 3.3 Lineaarimuunnoksen aste ja nulliteetti............. 2 3.4 Lineaarimuunnosten dimensiolause............... 21 4 Käänteiset lineaarimuunnokset 24 4.1 Injektiiviset lineaarimuunnokset................. 24 4.2 Käänteiset lineaarimuunnokset.................. 27 4.3 Käänteismuunnosten yhdistelmät................ 29 5 Yleisten lineaarimuunnosten matriisit 31 5.1 Lineaarimuunnosten matriisit.................. 31 5.2 Lineaarioperaattorien matriisit.................. 33 5.3 Identiteettioperaattorien matriisit................ 37 5.4 Lineaarimuunnosten matriisien hyöty.............. 38 5.5 Yhdistelmien ja käänteismuunnosten matriisit......... 4 Kirjallisuutta 43 3

Johdanto Yleisillä lineaarimuunnoksilla on monia tärkeitä sovelluksia fysiikassa, tekniikassa ja matematiikan eri aloilla. Tässä tutkielmassa tutustutaan yleisiin lineaarimuunnoksiin mielivaltaisesta vektoriavaruudesta V mielivaltaiseen vektoriavaruuteen W. Ensimmäisessä luvussa käydään läpi joitain tutkielman sisällön kannalta oleellisia määritelmiä ja käsitteitä. Toisessa luvussa määritellään yleinen lineaarimuunnos, tutustutaan erilaisiin lineaarimuunnoksiin sekä niiden ominaisuuksiin, käydään läpi lineaarimuunnosten löytäminen kantavektorien kuvista ja määritellään lineaarimuunnosten yhdistelmät. Kolmannessa luvussa määritellään lineaarimuunnosten ydin ja arvojoukko, joiden avulla saadaan määriteltyä lineaarimuunnosten aste ja nulliteetti. Lopuksi käydään läpi lineaarimuunnosten dimensiolause. Neljännessä luvussa määritellään ensin injektiiviset lineaarimuunnokset, joiden avulla saadaan määriteltyä käänteiset lineaarimuunnokset. Lopuksi määritellään käänteisten lineaarimuunnosten yhdistelmät. Viidennessä luvussa tutustutaan erilaisten lineaarimuunnosten matriiseihin sekä niiden hyötyyn. Lukijalta oletetaan lineaarialgebran perusteiden tuntemusta. Useat tulokset pohjautuvat lineaarialgebran kursseilla esitettyihin tuloksiin, jotka tässä tutkielmassa yleistetään mielivaltaisille vektoriavaruuksille. Lähdeteoksena toimii Howard Antonin kirja Elementary linear algebra, jota tutkielma seuraa melko suoraan. Tutkielman todistukset ovat lähdeteoksesta, mutta niitä on saatettu täydentää. Esimerkit ovat tutkielman kirjoittajan omia, ellei toisin mainita, mutta niihin on otettu mallia lähdeteoksen esimerkeistä. 4

Luku 1 Esitiedot Käydään ensin lävitse joitain tutkielmassa esiintyviä määritelmiä ja käsitteitä. Määritelmä 1. Olkoon V mielivaltainen epätyhjä joukko vektoreita, jossa on määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen. Jos seuraavat aksioomat ovat voimassa joukon V kaikille vektoreille u, v ja w ja kaikille skalaareille k ja l, niin joukko V on vektoriavaruus. 1. Jos vektorit u ja v kuuluvat joukkoon V, niin myös niiden summa u+ v kuuluu joukkoon V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w) = ( u + v) + w 4. joukko V sisältää sellaisen vektorin, että + u = u + = u kaikilla vektoreilla u joukossa V, ja jota kutsutaan joukon V nollavektoriksi 5. jokaisella vektorilla u joukossa V on olemassa vastavektori u siten, että u + ( u) = ( u) + u = 6. jos k on jokin skalaari ja u jokin joukon V vektori, niin myös vektori k u kuuluu joukkoon V 7. k( u + v) = k u + k v 8. (k + l) u = k u + l u 9. k(l u) = (kl)( u) 1. 1 u = u. 5

Määritelmä 2. Vektoriavaruuden V osajoukkoa W sanotaan vektoriavaruuden V aliavaruudeksi, jos osajoukko W on itse vektoriavaruus vektoriavaruudessa V määriteltyjen yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Määritelmä 3. Jos v on jokin vektoriavaruuden V vektori ja k on jokin skalaari, niin k v = jos k = tai v =. lineaari- Määritelmä 4. Vektoria w kutsutaan vektoreiden v 1, v 2,..., v r kombinaatioksi, jos se voidaan esittää muodossa missä k 1, k 2,..., k r ovat skalaareja. w = k 1 v 1 + k 2 v 2 + + k r v r, Määritelmä 5. Jos S = { v 1, v 2,..., v r } on joukko vektoreita vektoriavaruudessa V, niin vektoriavaruuden V aliavaruutta W, joka sisältää vain joukon S vektoreiden lineaarikombinaatioita, kutsutaan vektoreiden v 1, v 2,..., v r virittämäksi avaruudeksi. Toisin sanoen tällöin vektorit v 1, v 2,..., v r virittävät aliavaruuden W. Määritelmä 6. Jos S = { v 1, v 2,..., v r } on epätyhjä joukko vektoreita, niin vektoriyhtälöllä k 1 v 1 + k 2 v 2 + + k r v r = on ainakin yksi ratkaisu, nimittäin k 1 =, k 2 =,..., k r =. Jos tämä on ainut ratkaisu, niin joukkoa S kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi joukoksi. Jos muita ratkaisuja on olemassa, niin joukkoa S kutsutaan lineaarisesti riippuvaiseksi joukoksi. Määritelmä 7. Jos V on vektoriavaruus ja S = { v 1, v 2,..., v n } on jokin joukko vektoreita vektoriavaruudessa V, niin joukko S on vektoriavaruuden V kanta, jos seuraavat kaksi ehtoa ovat voimassa: (a) joukko S on lineaarisesti riippumaton (b) joukko S virittää vektoriavaruuden V. Määritelmä 8. Vektoriavaruuden V sisätulo on funktio, joka liittää reaaliluvun < u, v > jokaiseen vektoripariin u ja v vektoriavaruudessa V siten, että seuraavat aksioomat ovat tosia kaikille vektoreille u, v ja w vektoriavaruudessa V ja kaikille skalaareille k. 1. < u, v >=< v, u > 6

2. < u + v, w >=< u, w > + < v, w > 3. < k u, v >= k < u, v > 4. < v, v > ja < v, v >=, jos ja vain jos v =. Vektoriavaruutta, jolla on sisätulo, kutsutaan sisätuloavaruudeksi. Määritelmä 9. Olkoot u ja v vektoreita sisätuloavaruudessa V. Jos < u, v >=, niin vektoreita u ja v kutsutaan ortogonaalisiksi. Lisäksi, jos vektori u on ortogonaalinen jonkin joukon W jokaisen vektorin kanssa, sanotaan, että vektori u on ortogonaalinen joukolle W. Määritelmä 1. Joukkoa vektoreita sisätuloavaruudessa kutsutaan ortogonaaliseksi joukoksi, jos mitkä tahansa kaksi eri vektoria joukossa ovat keskenään ortogonaaliset. Ortogonaalista joukkoa, jossa jokaisen vektorin normi on 1, kutsutaan ortonormaaliksi. Määritelmä 11. Olkoon V sisätuloavaruus ja sisältäköön se ortonormaalin joukon vektoreita { v 1, v 2,..., v r }. Jos W on vektoreiden v 1, v 2,..., v r virittämä avaruus, niin jokainen vektori u avaruudessa V voidaan ilmaista muodossa u = w 1 + w 2, missä w 1 kuuluu avaruuteen W ja w 2 on ortogonaalinen avaruuden W kanssa asettamalla ja w 1 =< u, v 1 > v 1 + < u, v 2 > v 2 + + < u, v r > v r w 2 = u < u, v 1 > v 1 < u, v 2 > v 2 < u, v r > v r. Vektoria w 1 kutsutaan vektorin u ortogonaaliprojektioksi avaruudessa W ja sitä merkitään proj w u. Vektoria w 2 = u proj w u kutsutaan vektorin u ortogonaalikomponentiksi avaruudelle W. 7

Luku 2 Yleiset lineaarimuunnokset 2.1 Yleisen lineaarimuunnoksen määritelmä Lineaarimuunnos avaruudesta R n avaruuteen R m on määritelty funktiona T (x 1, x 2,..., x n ) = (w 1, w 2,..., w m ), missä jonoja x 1, x 2,..., x n ja w 1, w 2,..., w m koskevat yhtälöt ovat lineaarisia. Vastaavasti on määritelty, että muunnosfunktio T : R n R m on lineaarinen jos ja vain jos seuraavat yhtälöt ovat tosia kaikilla vektoreilla u ja v avaruudessa R n ja jokaisella skalaarilla c: T ( u + v) = T ( u) + T ( v) T (c u) = ct ( u). Seuraavaksi määritellään näiden ominaisuuksien avulla yleinen lineaarimuunnos. Määritelmä 12. Jos T : V W on funktio vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen W, niin funktiota T kutsutaan lineaarimuunnokseksi vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen W, jos kaikille vektoreille u ja v vektoriavaruudessa V ja kaikille skalaareille c pätee 1. T ( u + v) = T ( u) + T ( v) 2. T (c u) = ct ( u). Erikoistapauksessa V = W lineaarimuunnosta T : V V kutsutaan vektoriavaruuden V lineaarioperaattoriksi. 8

2.2 Erilaisia lineaarimuunnoksia Koska edeltävä yleisen lineaarimuunnoksen määritelmä perustui lineaarimuunnokseen avaruudesta R n avaruuteen R m, on tämä lineaarimuunnos myös yleisen määritelmän mukaan. Jatkossa lineaarimuunnoksia avaruudesta R n avaruuteen R m kutsutaan matriisimuunnoksiksi, sillä ne voidaan suorittaa matriisien kertolaskulla. Määritelmä 13. Olkoot V ja W mitkä tahansa kaksi vektoriavaruutta. Kuvaus T : V W, jossa T ( v) = kaikilla vektoreilla v vektoriavaruudessa V, on lineaarimuunnos, jota kutsutaan nollamuunnokseksi. Osoitetaan, että kuvaus T on lineaarinen. Koska niin selvästi T ( u + v) = T ( u) =, T ( v) = T (k u) =, T ( u + v) = T ( u) + T ( v) T (k u) = kt ( u). Määritelmä 14. Olkoon V jokin vektoriavaruus. Määritellään kuvaus I : V V funktiolla I( v = v) ja kutsutaan sitä vektoriavaruuden V identiteettioperaattoriksi. Täten Osoitetaan vielä, että I on lineaarinen. Määritelmästä seuraa, että T ( u + v) = u + v T ( u) = u, T ( v) = v T (k u) = k u. T ( u + v) = T ( u) + T ( v) T (k u) = kt ( u). Määritelmä 15. Olkoon V jokin vektoriavaruus ja k jokin kiinnitetty skalaari. Tällöin funktio T : V V, missä T ( v) = k v, on vektoriavaruuden V lineaarioperaattori, sillä T ( u + v) = k( u + v) = k u + k v = T ( u) + T ( v) 9

ja T (j v) = jk v = jt ( v), missä j on jokin skalaari. Tätä lineaarioperaattoria kutsutaan vektoriavaruuden V laajennukseksi kertoimella k, jos k > 1. Jos < k < 1, sitä kutsutaan avaruuden V supistukseksi kertoimella k. Geometrisesti laajennus venyttää jokaista vektoriavaruuden V vektoria kertoimen k verran, ja vektoriavaruuden V supistus tiivistää sen jokaista vektoria kertoimen k verran. Määritelmä 16. Ortogonaaliprojektiot avaruudesta R m aliavaruudelle W voidaan määritellä yleisillä sisätuloavaruuksilla seuraavasti: Oletetaan, että sisätuloavaruuden V aliavaruuden W dimensio on äärellinen. Tällöin avaruuden V ortogonaaliprojektiota aliavaruudelle W merkitään T ( v) = proj W v. Jos S = { w 1, w 2,..., w r } on mikä tahansa ortonormaali kanta aliavaruudelle W, niin funktio T ( v) saadaan kaavasta T ( v) = proj W v =< v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w 2 + + < v, w r > w r. Todistus, että funktio T on lineaarimuunnos, seuraa sisätulon ominaisuuksista. Esimerkiksi T (k u) =< k u, w 1 > w 1 + < k u, w 2 > w 2 + + < k u, w r > w r = k < u, w 1 > w 1 + k < u, w 2 > w 2 + + k < u, w r > w r = kt ( u). Vastaavasti T ( u + v) = T ( u) + T ( v). Esimerkki 1. Erikoistapauksena edeltävästä määritelmästä olkoon vektoriavaruus V = R 3 Euklidisella sisätulolla. Vektorit w 1 = (, 1, ) ja w 2 = (,, 1) muodostavat ortonormaalin kannan yz-tasolle. Tällöin, jos v = (x, y, z) on mikä tahansa avaruuden R 3 vektori, niin avaruuden R 3 ortogonaaliprojektio yz-tasoon saadaan kaavasta T ( v) =< v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w 2 = y(, 1, ) + z(,, 1) = (, y, z). 1

Esimerkki 2. Olkoon S = { w 1, w 2,..., w n } kanta jollekin n-dimensionaaliselle vektoriavaruudelle V, ja olkoon v jokin vektori avaruudessa V. Nyt vektori v voidaan ilmaista kantavektorien lineaarikombinaationa Tällöin v = k 1 w 1 + k 2 w 2 + + k n w n. k 1 k 2 [ v] S =. on vektoriavaruuden V vektorin v kantaa S vastaava koordinaattimatriisi. Määritellään T : V R n funktioksi, joka kuvaa vektorin v kantaa S vastaavalle koordinaattimatriisilleen. Siis k n k 1 k 2 T ( v) = [ v] S =.. Kyseinen funktio T on lineaarimuunnos. Tämän osoittamiseksi oletetaan, että u ja v ovat vektoreita vektoriavaruudessa V ja että u = c 1 w 1 + c 2 w 2 + + c n w n ja v = d 1 w 1 + d 2 w 2 + + d n w n. k n Täten c 1 c 2 [ u] S =. c n d 1 d 2 [ v] S =.. d n Mutta u + v = (c 1 + d 1 ) w 1 + (c 2 + d 2 ) w 2 + + (c n + d n ) w n k u = (kc 1 ) w 1 + (kc 2 ) w 2 + + (kc n ) w n, 11

joten c 1 + d 1 c 2 + d 2 [ u + v] S =. c n + d n kc 1 kc 2 [k u] S =.. kc n Täten [ u + v] S = [ u] S + [ v] S ja [k u] S = k[ u] S. Kun ilmaistaan nämä yhtälöt funktion T avulla, saadaan T ( u + v) = T ( u) + T ( v) ja T (k u) = kt ( u), joten funktio T on lineaarimuunnos. Esimerkki 3. Olkoon vektori p = p(x) = c + c 1 x + + c n x n polynomi avaruudessa P n ja määritellään funktio T : P n P n+2 kaavalla T ( p) = T (p(x)) = x 2 p(x) = c x 2 + c 1 x 3 + + c n x n+2. Funktio T on lineaarimuunnos, sillä millä tahansa skalaarilla k ja kaikilla polynomeilla p 1 ja p 2 on voimassa ja T ( p 1 + p 2 ) = T (p 1 (x) + p 2 (x)) = x 2 (p 1 (x) + p 2 (x)) = x 2 p 1 (x) + x 2 p 2 (x) = T (p 1 (x)) + T (p 2 (x)) = T ( p 1 ) + T ( p 2 ) T (k p) = T (kp(x)) = x 2 (kp(x)) = k(x 2 p(x)) = kt (p(x)) = kt ( p). Esimerkki 4. Olkoon vektori p = p(x) = c + c 1 x + + c n x n polynomi avaruudessa P n ja olkoot a ja b mitkä tahansa skalaarit. Olkoon funktio T määritelty kaavalla T ( p) = T (p(x)) = p(ax + b) = c + c 1 (ax + b) + + c n (ax + b) n. 12

Funktio T on lineaarioperaattori, sillä ja T ( p 1 + p 2 ) = T (p 1 (x) + p 2 (x)) = p 1 (ax + b) + p 2 (ax + b) = T (p 1 (x)) + T (p 2 (x)) = T ( p 1 ) + T ( p 2 ) T (k p) = T (kp(x)) = kp(ax + b) = kt (p(x)) = kt ( p). Jos lisäksi olisi ax+b = 2x 4, niin lineaarioperaattori T : P 3 P 3 saataisiin kaavasta T (c + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) = c + c 1 (2x 4) + c 2 (2x 4) 2 + c 3 (2x 4) 3. 2.3 Lineaarimuunnoksien ominaisuuksia Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin kaikille vektoreille v 1 ja v 2 vektoriavaruudessa V ja kaikille skalaareille c 1 ja c 2 on voimassa T (c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = T (c 1 v 1 ) + T (c 2 v 2 ) = c 1 T ( v 1 ) + c 2 T ( v 2 ), ja yleisemmin, jos v 1, v 2,..., v n ovat vektoreita vektoriavaruudessa V ja c 1, c 2,..., c n ovat skalaareja, niin (2.1) T (c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c n v n ) = c 1 T ( v 1 ) + c 2 T ( v 2 ) + + c n T ( v n ). Kaavaa (2.1) kuvaillaan joskus sanomalla, että lineaarimuunnos säilyttää lineaarikombinaatiot. Seuraava lause listaa kolme lineaarimuunnosten perusominaisuutta. Lause 1. Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin (a) T ( ) = (b) T ( v) = T ( v) kaikilla vektoreilla v vektoriavaruudessa V (c) T ( v w) = T ( v) T ( w) kaikilla vektoreilla v ja w vektoriavaruudessa V. Todistus. Olkoon v mikä tahansa vektori vektoriavaruudessa V. Koska v =, niin T ( ) = T ( v) = T ( v) =, mikä todistaa kohdan (a). Lisäksi T ( v) = T (( 1) v) = ( 1)T ( v) = T ( v), 13

mikä todistaa kohdan (b). Lopuksi, v w = v + ( 1) w. Täten T ( v w) = T ( v + ( 1) w) = T ( v) + ( 1)T ( w) = T ( v) T ( w) Toisin sanoen, kohta (a) edeltävässä lauseessa toteaa, että lineaarimuunnos kuvaa vektorin vektorille. Tämä ominaisuus on hyödyllinen epälineaaristen muunnosten tunnistamisessa. Esimerkiksi, kun x on määrätty nollavektorista poikkeava vektori vektoriavaruudessa R 2, niin muunnoksella T ( x) = x + x on geometrinen vaikutus, joka siirtää jokaisen vektorin x etäisyyden x verran yhdensuuntaisesti vektorin x kanssa. Tämä ei ole lineaarimuunnos, sillä T ( ) = x, joten funktio T ei kuvaa vektoria vektorille. 2.4 Lineaarimuunnosten löytäminen kantavektorien kuvista Jos funktio T on matriisimuunnos, niin muunnoksen T standardimatriisi saadaan standardikantavektorien kuvista. Toisin sanoen, standardikantavektorien kuvat määrittelevät matriisimuunnoksen. Tämä on erikoistapaus seuraavasta yleisemmästä tuloksesta. Jos T : V W on lineaarimuunnos, ja jos { v 1, v 2,..., v n } on jokin kanta avaruudelle V, niin minkä tahansa avaruuden V vektorin v kuva T ( v) saadaan laskettua kantavektorien kuvista T ( v 1 ), T ( v 2 ),..., T ( v) n. Tämä voidaan tehdä, kun ensin ilmaistaan vektori v kantavektorien lineaarikombinaationa, esimerkiksi v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c n v n, ja sitten kirjoittamalla tämä muotoon T ( v) = c 1 T ( v 1 ) + c 2 T ( v 2 ) + + c n T ( v n ). Siis mitkä tahansa kantavektorien kuvat määrittelevät lineaarimuunnoksen. 14

Esimerkki 5. Olkoon S = { v 1, v 2, v 3 } kanta avaruudelle R 3, missä v 1 = (1,, 1), v 2 = (, 1, ) ja v 3 = (1, 1, ). Olkoon T : R 3 R 2 lineaarimuunnos siten, että T ( v 1 ) = (1, 1), T ( v 2 ) = (3, 1) ja T ( v 3 ) = (, 3). Etsitään kaava lineaarimuunnokselle T (x 1, x 2, x 3 ) ja lasketaan sillä muunnos T (3, 2, 1). Ilmaistaan ensin vektori x = (x 1, x 2, x 3 ) kantavektorien v 1 = (1,, 1), v 2 = (, 1, ) ja v 3 = (1, 1, ) lineaarikombinaationa, eli (x 1, x 2, x 3 ) = c 1 (1,, 1) + c 2 (, 1, ) + c 3 (1, 1, ). Yhdistämällä vastaavat komponentit saadaan tästä, että x 1 = c 1 + c 3 x 2 = c 2 + c 3 x 3 = c 1, ja edelleen c 1 = x 3, c 2 = x 1 + x 2 + x 3 ja c 3 = x 1 x 3. Nyt Täten (x 1, x 2, x 3 ) = x 3 (1,, 1) + ( x 1 + x 2 + x 3 )(, 1, ) + (x 1 x 3 )(1, 1, ) = x 3 v 1 + ( x 1 + x 2 + x 3 ) v 2 + (x 1 x 3 ) v 3. T (x 1, x 2, x 3 ) = x 3 T ( v 1 ) + ( x 1 + x 2 + x 3 )T ( v 2 ) + (x 1 x 3 )T ( v 3 ) Tällä kaavalla saadaan, että = x 3 (1, 1) + ( x 1 + x 2 + x 3 )(3, 1) + (x 1 x 3 )(, 3) = ( 3x 1 + 3x 2 + 4x 3, 2x 1 + x 2 x 3 ). T (3, 2, 1) = (1, 7). 2.5 Lineaarimuunnosten yhdistelmät Määritelmä 17. Jos funktiot T 1 : U V ja T 2 : V W ovat lineaarimuunnoksia, niin lineaarimuunnosten T 1 ja T 2 yhdistelmä, merkitään T 2 T 1, on funktio, jonka määrittelee kaava (2.2) (T 2 T 1 )( u) = T 2 (T 1 ( u)), missä u on vektori vektoriavaruudessa U. 15

Huomautus 1. Huomioidaan, että tämä määritelmä vaatii, että funktion T 2 lähtöjoukko (joka on vektoriavaruus V ) sisältää funktion T 1 arvojoukon. Tämä on oleellista, että kaava T 2 (T 1 ( u)) olisi mielekäs. Seuraava tulos osoittaa, että kahden lineaarimuunnoksen yhdistelmä on lineaarimuunnos. Lause 2. Jos funktiot T 1 : U V ja T 2 : V W ovat lineaarimuunnoksia, niin myös funktio T 2 T 1 : U W on lineaarimuunnos. Todistus. Jos u ja v ovat vektoreita vektoriavaruudessa U ja c on jokin skalaari, niin kaavasta (2.2) ja funktioiden T 1 ja T 2 lineaarisuudesta seuraa, että ja (T 2 T 1 )( u + v) = T 2 (T 1 ( u + v)) = T 2 (T 1 ( u) + T 1 ( v)) = T 2 (T 1 ( u)) + T 2 (T 1 ( v)) = (T 2 T 1 )( u) + (T 2 T 1 )( v) (T 2 T 1 )(c u) = T 2 (T 1 (c u)) = T 2 (ct 1 ( u)) = ct 2 (T 1 ( u)) = c(t 2 T 1 )( u). Täten T 2 T 1 täyttää lineaarimuunnoksen määritelmän vaatimukset. Esimerkki 6. Olkoot T 1 : P 1 P 2 ja T 2 : P 2 P 2 lineaarimuunnoksia siten, että T 1 (p(x)) = 2xp(x) ja T 2 (p(x)) = p(x + 1). Tällöin yhdistelmä (T 2 T 1 ) : P 1 P 2 saadaan kaavasta (T 2 T 1 )(p(x)) = T 2 (T 1 (p(x))) = T 2 (2xp(x)) = 2(x + 1)p(x + 1). Erityisesti, jos p(x) = c + c 1 x, niin (T 2 T 1 )(p(x)) = (T 2 T 1 )(c + c 1 x) = 2(x + 1)(c + c 1 (x + 1)) = 2c (x + 1) + 2c 1 (x + 1) 2. Esimerkki 7. [1, s. 393, esimerkki 16.] Jos T : V V on jokin lineaarioperaattori ja I : V V on identiteettioperaattori (Määritelmä 14.), niin kaikille vektoreille v vektoriavaruudessa V on voimassa Tästä seuraa, että (T I)( v) = T (I( v)) = T ( v) (I T )( v) = I(T ( v)) = T ( v). T I = T I T = T. 16

Lineaarimuunnosten yhdistelmät voidaan määritellä myös useammalle kuin kahdelle lineaarimuunnokselle. Jos esimerkiksi T 1 : U V, T 2 : V W ja T 3 : W Y ovat lineaarimuunnoksia, niin yhdistelmä T 3 T 2 T 1 määritellään (T 3 T 2 T 1 )( u) = T 3 (T 2 (T 1 ( u))). 17

Luku 3 Lineaarimuunnoksen ydin ja arvojoukko Tässä luvussa kehitetään joitain lineaarimuunnosten perusominaisuuksia yleistämällä matriisimuunnosten ominaisuuksia. 3.1 Ydin ja arvojoukko Jos A on m n-matriisi, niin matriisin A nolla-avaruus koostuu kaikista sellaisista vektoreista x avaruudessa R n, joilla on voimassa A x =. Matriisin A sarakeavaruus koostuu kaikista vektoreista b avaruudessa R m, joille on olemassa ainakin yksi sellainen vektori x avaruudessa R n, että A x = b on voimassa. Matriisimuunnosten näkökulmasta matriisin A nolla-avaruus koostuu kaikista niistä vektoreista avaruudessa R n jotka kertominen matriisilla A kuvaa nollavektorille, ja sarakeavaruus kaikista niistä vektoreista avaruudessa R m jotka ovat ainakin yhden avaruuden R n vektorin kuvia kertomisessa matriisilla A. Seuraavaksi laajennetaan nämä määritelmät yleisille lineaarimuunnoksille. Määritelmä 18. Jos funkio T : V W on lineaarimuunnos, niin joukkoa vektoreita vektoriavaruudessa V, jotka funktio T kuvaa vektorille, sanotaan funktion T ytimeksi, jota merkitään ker(t ). Vektoriavaruuden W kaikkien niiden vektoreiden joukko, joilla on alkukuva vektoriavaruudessa V, sanotaan funktion T arvojoukoksi, jota merkitään R(T ). Esimerkki 8. [1, s. 395, esimerkki 1. ] Jos lineaarimuunnos T A : R n R m on kertominen m n -matriisilla A, niin lineaarimuunnoksen T A ydin on matriisin A nolla-avaruus, ja arvojoukko matriisin A sarakeavaruus. 18

Esimerkki 9. [1, s. 395, esimerkki 2. ] Olkoon T : V W nollamuunnos (Määritelmä 13.) Koska muunnos T kuvaa vektoriavaruuden V jokaisen vektorin nollavektorille, niin ker(t ) = V. Lisäksi nollavektori on vektoriavaruuden V vektorien muunnoksen T ainoa kuva, joten R(T ) = { }. Esimerkki 1. [1, s. 395, esimerkki 3. ] Olkoon I : V V identiteettioperaattori (Määritelmä 14.) Koska I( v) = v jokaisella vektorilla v vektoriavaruudessa V, jokainen vektori vektoriavaruudessa V on jonkin vektorin kuva (itseasiassa itsensä kuva). Täten R(I) = V. Ainoa vektori, jonka identiteettioperaattori I kuvaa nollavektorille, on nollavektori. Siis ker(i) = { }. Esimerkki 11. Olkoon lineaarimuunnos T : R 3 R 3 ortogonaaliprojektio yz-tasoon. Lineaarimuunnoksen T ydin on se pistejoukko, jonka lineaarimuunnos T kuvaa nollavektorille = (,, ). Kyseisen joukon muodostavat kaikki x-akselin pisteet. Koska lineaarimuunnos T kuvaa avaruuden R 3 jokaisen pisteen yz-tasoon, täytyy lineaarimuunnoksen T arvojoukon olla jokin tämän tason aliavaruus. Kuitenkin jokainen piste (, y, z ) yz-tasossa on lineaarimuunnoksen T jostain pisteestä (x, y, z ) muodostama kuva. Siis lineaarimuunnoksen T arvojoukon muodostaa koko yz-taso. Esimerkki 12. Olkoon T : R 2 R 2 lineaarioperaattori, joka muuttaa jokaisen vektorin v xy-tasossa vastavektorikseen v. Koska jokainen vektori xytasossa on jonkin vektorin vastavektori, saadaan arvojoukoksi R(T ) = R 2. Ainoa vektori, jonka lineaarimuunnos T muuttaa nollavektoriksi, on nollavektori itse, joten ker(t ) = { }. 3.2 Ytimen ja arvojoukon ominaisuuksia Edeltävissä esimerkeissä ydin ja arvojoukko osoittautuivat aliavaruuksiksi. Tämä ei ollut sattumaa, vaan seuraus seuraavasta yleisestä tuloksesta. Lause 3. Jos funkio T : V W on lineaarimuunnos, niin (a) funktion T ydin on vektoriavaruuden V aliavaruus (b) funktion T arvojoukko on vektoriavaruuden W aliavaruus. Todistus (a). Että osoitettaisiin ytimen ker(t ) olevan aliavaruus, täytyy näyttää, että se sisältää ainakin yhden vektorin ja on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Lauseen 1 kohdan (a) mukaan vektori on ytimessä ker(t ), joten tämä joukko sisältää ainakin yhden vektorin. Olkoot v 1 ja v 2 vectoreita ytimessä ker(t ) ja olkoon k jokin skalaari. Tällöin T ( v 1 + v 2 ) = T ( v 1 ) + T ( v 2 ) = + =, 19

joten v 1 + v 2 on ytimessä ker(t ). Samoin T (k v 1 ) = kt ( v 1 ) = k =, joten k v 1 on ytimessä ker(t ). Todistus (b). Koska T ( ) =, niin on olemassa ainakin yksi vektori funktion T arvojoukossa R(T ). Olkoot w 1 ja w 2 vektoreita lineaarimuunnoksen T arvojoukossa, ja olkoot k jokin skalaari. Tämän kohdan todistamiseksi osoitetaan, että lineaarimuunnoksen T arvojoukko on sulkeutuva yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. On siis löydettävä vektorit a ja b vektoriavaruudessa V siten, että T ( a) = w 1 + w 2 ja T ( b) = k w 1. Koska vektorit w 1 ja w 2 kuuluvat lineaarimuunnoksen T arvojoukkoon, on olemassa sellaiset vektorit a 1 ja a 2 avaruudessa V, että T ( a 1 ) = w 1 ja T ( a 2 ) = w 2. Olkoot a = a 1 + a 2 ja b = k a 1. Tällöin ja T ( a) = T ( a 1 + a 2 ) = T ( a 1 ) + T ( a 2 ) = w 1 + w 2, T ( b) = T (k a 1 ) = kt ( a 1 ) = k w 1. Täten funktion T arvojoukko on vektoriavaruuden W aliavaruus. 3.3 Lineaarimuunnoksen aste ja nulliteetti Matriisin aste on sen sarakeavaruuden (tai riviavaruuden) dimensio ja nulliteetti sen nolla-avaruuden dimensio. Yleistetään nämä yleisille lineaarimuunnoksille. Määritelmä 19. Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin funktion T arvojoukon dimensiota kutsutaan funktion T asteeksi, merkitään rank(t ). Funktion T ytimen dimensiota kutsutaan funktion T nulliteetiksi, merkitään nullity(t ). Jos A on m n -matriisi ja lineaarimuunnos T A : R n R m on kertominen matriisilla A, niin esimerkin 8 mukaan lineaarimuunnoksen T A ydin on matriisin A nolla-avaruus ja arvojoukko matriisin A sarakeavaruus. Täten saadaan seuraava suhde matriisin asteen ja nulliteetin välille sekä vastaavan matriisimuunnoksen asteen ja nulliteetin välille. Lause 4. Jos A on m n -matriisi ja lineaarimuunnos T A : R n R m on kertominen matriisilla A, niin: (a) nullity(t A ) = nullity(a) 2

(b) rank(t A ) = rank(a). Esimerkki 13. Olkoon lineaarimuunnos T A : R 6 R 4 kertominen matriisilla 1 12 8 3 A = 1 7 11 7 1 6 3 2. Tällöin matriisin A aste rank(a) = 3 ja nulliteetti nullity(a) = 3. Täten lauseen 4 mukaan lineaarimuunnoksen T A aste rank(t A ) = 3 ja nulliteetti nullity(t A ) = 3. Esimerkki 14. Olkoon funktio T : R 3 R 3 ortogonaaliprojektio yz-tasolle. Esimerkin 11 mukaan lineaarimuunnoksen T ydin on x-akseli, joka on yksidimensionaalinen. Lineaarimuunnoksen T arvojoukko on yz-taso, joka on kaksidimensionaalinen. Siis, nullity(t ) = 1 ja rank(t ) = 2. 3.4 Lineaarimuunnosten dimensiolause Matriisien dimensiolauseen mukaan, jos A on n-sarakkeinen matriisi, niin rank(a) + nullity(a) = n. Seuraava lause laajentaa tämän tuloksen yleisille lineaarimuunnoksille. Lause 5 (Lineaarimuunnosten dimensiolause). Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos n-ulotteisesta vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen W, niin rank(t ) + nullity(t ) = n. Todistus. On osoitettava, että dim(r(t )) + dim(ker(t )) = n. Oletetaan ensin, että dim(ker(t )) = r, missä 1 r < n, ja muodostakoot vektorit v 1,..., v r jonkin kannan kyseiselle ytimelle. Koska joukko { v 1,..., v r } on lineaarisesti riippumaton, yleisten vektoriavaruuksien aliavaruuksien dimensioiden ominaisuuksista seuraa, että on olemassa vektorit v r+1,..., v n siten, että joukko { v 1,..., v r, v r+1,..., v n } muodostaa avaruuden 21

V kannan. Osoitetaan, että n r vektoria joukossa S = {T ( v r+1 ),..., T ( v n )} muodostavat kannan funktion T arvojoukolle. Siitä seuraa, että dim(r(t )) + dim(ker(t )) = (n r) + r = n. Osoitetaan ensin, että joukko S virittää funktion T arvojoukon. Jos b on jokin vektori funktion T arvojoukossa, niin b = T ( v) jollain vektorilla v avaruudessa V. Koska joukko { v 1,..., v r, v r+1,..., v n } on avaruuden V kanta, voidaan vektori v kirjoittaa muodossa v = c 1 v 1 + + c r v r + c r+1 v r+1 + + c n v n. Koska vektorit v 1,..., v r kuuluvat funktion T ytimeen, saadaan, että T ( v 1 ) = = T ( v r ) =, joten b = T ( v) = cr+1 T ( v r+1 ) + + c n T ( v n ). Täten joukko S virittää funktion T arvojoukon. Osoitetaan sitten, että joukko S on lineaarisesti riippumaton ja että se muodostaa kannan funktion T arvojoukolle. Oletetaan, että jokin joukon S vektorien lineaarikombinaatio on yhtä kuin nollavektori, eli (3.1) k r+1 T ( v r+1 ) + + k n T ( v n ) =. On osoitettava, että skalaarit k r+1 = = k n =. Koska funktio T on lineaarinen, kohta (3.1) voidaan kirjoittaa muotoon T (k r+1 v r+1 + + k n v n ) =, mikä tarkoittaa, että vektori k r+1 v r+1 + + k n v n kuuluu funktion T ytimeen. Täten tämä vektori voidaan ilmaista kantavektorien { v 1,..., v r } lineaarikombinaationa, esimerkiksi Siis k r+1 v r+1 + + k n v n = k 1 v 1 + + k r v r. k 1 v 1 + + k r v r k r+1 v r+1 k n v n =. Koska joukko { v 1,..., v r } on lineaarisesti riippumaton, kaikki skalaarit k ovat yhtä kuin nolla, erityisesti k r+1 = = k n =. Tarkastellaan vielä tapaukset r = ja r = n. Jos r =, eli dim(ker(t )) = (Esimerkki 1.), niin dim(r(t )) + dim(ker(t )) = (n ) + = n. Jos r = n, eli dim(ker(t )) = n (Esimerkki 9.), niin dim(r(t )) + dim(ker(t )) = (n n) + n = n. 22

Toisin sanoen tämä lause toteaa, että lineaarimuunnoksen asteen ja nulliteetin summa on yhtä kuin sen määrittelyjoukon dimensio. Esimerkki 15. Olkoon T : R 2 R 2 lineaarioperaattori, joka muuttaa jokaisen vektorin v xy-tasossa vastavektorikseen v. Esimerkin 12 mukaan ker(t ) = { } ja R(T ) = 2. Tällöin rank(t ) + nullity(t ) = + 2 = 2, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että lineaarimuunnoksen T lähtöjoukko on kaksidimensionaalinen. 23

Luku 4 Käänteiset lineaarimuunnokset Tässä luvussa laajennetaan injektiivisiä lineaarimuunnoksia avaruudesta R n avaruuteen R m koskevat tulokset yleisille lineaarimuunnoksille. 4.1 Injektiiviset lineaarimuunnokset Lineaarimuunnosta avaruudesta R n avaruuteen R m sanotaan injektiiviseksi lineaarimuunnokseksi, jos se kuvaa avaruuden R n eri vektorit avaruuden R m eri vektoreille. Seuraava määritelmä yleistää tämän tuloksen. Määritelmä 2. Funktiota T : V W sanotaan injektiiviseksi lineaarimuunnokseksi, jos lineaarimuunnos T kuvaa avaruuden V eri vektorit avaruuden W eri vektoreille. Esimerkki 16. Olkoon funktio T : P n P n+2 esimerkin 3 lineaarimuunnos Jos T ( p) = T (p(x)) = x 2 p(x). p = p(x) = c + c 1 x + + c n x n ja q = q(x) = d + d 1 x + + d n x n ovat eri polynomit, ne eroavat toisistaan ainakin yhdessä kertoimessa. Tällöin myös lineaarimuunnokset T ( p) = c x 2 + c 1 x 3 + + c n x n+2 ja T ( q) = d x 2 + d 1 x 3 + + d n x n+2 eroavat toisistaan ainakin yhdessä kertoimessa. Siis T on injektiivinen lineaarimuunnos, sillä se kuvaa eri polynomit p ja q eri polynomeille T ( p) ja T ( q). 24

Lause 6. Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä: (a) T on injektiivinen lineaarimuunnos (b) lineaarimuunnoksen T ydin sisältää vain nollavektorin, eli ker(t ) = { } (c) nullity(t ) =. Todistus. Osoitetaan, että (a) ja (b) sekä (b) ja (c) ovat ekvivalentteja. (a) (b): Oletetaan, että T on injektiivinen lineaarimuunnos, ja olkoon v jokin vektori ytimessä ker(t ). Koska vektorit v ja kuuluvat molemmat ytimeen ker(t ), niin T ( v) = ja T ( ) =, joten T ( v) = T ( ). Koska T on injektiivinen lineaarimuunnos, niin tällöin v =. Täten ydin ker(t ) sisältää vain nollavektorin. (b) (a): Oletetaan, että ker(t ) = ja että v ja w ovat eri vektoreita avaruudessa V, eli (4.1) v w. Todistamiseksi, että funktio T on injektiivinen lineaarimuunnos, täytyy osoittaa, että T ( v) ja T ( w) ovat eri vektoreita. Tehdään vastaoletus, että näin ei ole. Tällöin T ( v) = T ( w) T ( v) T ( w) = T ( v w) =, mistä seuraa, että erotus v w kuuluu funktion T ytimeen. Koska ker(t ) = { }, tästä seuraa, että v w =, mikä on ristiriita kohdan (4.1) kanssa. Siis vastaoletus on väärä ja täten T ( v) ja T ( w) ovat eri vektoreita. (b) (c): Oletetaan, että ker(t ) = { }. On osoitettava, että nullity(t ) =, toisin sanoen, että ytimen ker(t ) dimensio on yhtä kuin. Koska dim(ker(t )) = dim({ }) =, niin nullity(t ) = dim(ker(t )). (c) (b): Oletetaan, että nullity(t ) =. On osoitettava, että ker(t ) = { }. Koska oletuksen mukaan dim(ker(t )) =, niin tästä seuraa suoraan, että ker(t ) = { }. 25

Esimerkki 17. Tutkitaan ovatko seuraavat lineaarimuunnokset injektiivisiä muunnoksia selvittämällä ydin tai nulliteetti ja käyttämällä lausetta 6: (a) lineaarimuunnos T : R 2 R 2 muuttaa jokaisen vektorin vastavektorikseen (b) lineaarimuunnos T : R 3 R 3 on ortogonaaliprojektio yz-tasolle (c) lineaarimuunnos T : R 6 R 4 on kertominen matriisilla 1 12 8 3 A = 1 7 11 7 1 6 3 2. Ratkaisu (a): esimerkin 12 mukaan ker(t ) = { }, joten funktio T on injektiivinen lineaarimuunnos. Ratkaisu (b): esimerkin 11 mukaan ydin ker(t ) sisältää nollavektorista poikkeavia vektoreita, joten funktio T ei ole injektiivinen lineaarimuunnos. Ratkaisu (c): esimerkin 13 mukaan nullity(t ) = 3, joten T ei ole injektiivinen lineaarimuunnos. Erikoistapauksessa, jossa funktio T on äärellisdimensionaalisen vektoriavaruuden lineaarioperaattori, voidaan lauseeseen 6 lisätä neljäs ekvivalentti kohta. Lause 7. Jos V on äärellisdimensionaalinen vektoriavaruus ja funktio T : V W on lineaarioperaattori, niin seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä: (a) T on injektiivinen lineaarimuunnos (b) ker(t ) = { } (c) nullity(t ) = (d) funktion T arvojoukko on vektoriavaruus V, eli R(T ) = V. Todistus. Kohdat (a), (b) ja (c) on jo osoitettu ekvivalenteiksi, joten todistetaan vielä kohtien (c) ja (d) yhtäpitävyys. (c) (d): Oletetaan, että dim(v ) = n ja nullity(t ) =. Dimensiolauseesta (lause 5) seuraa, että rank(t ) = n nullity(t ) = n. 26

Määritelmän mukaan rank(t ) on funktion T arvojoukon dimensio, joten funktion T arvojoukon dimensio on n. Koska funktion T arvojoukolla R(T ) ja vektoriavaruudella V on sama dimensio, niin R(T ) = V. [1, s. 254, lause 5.4.7.] (d) (c): Oletetaan, että dim(v ) = n ja R(T ) = V. Tällöin dim(r(t )) = n, eli rank(t ) = n. Dimensiolauseen mukaan nyt nullity(t ) = n rank(t ) = n n =. Esimerkki 18. Olkoon matriisioperaattori T A : R 5 R 5 kertominen matriisilla 1 3 4 2 4 2 6 8 4 8 A = 3 5 3 2 6 4 2 3 1 2. 5 5 2 8 8 Matriisin A determinantti det(a) =, sillä matriisin A kaksi ensimmäistä riviä ovat verrannollisia, ja täten matriisi A ei ole kääntyvä eikä T A ole injektiivinen matriisioperaattori. [1, s. 21, lause 4.3.1.] 4.2 Käänteiset lineaarimuunnokset Injektiivisen matriisioperaattorin T A : R n R n käänteisfunktio on matriisioperaattori T A 1 : R n R n, ja jos vektori w on kuva, jonka funktio T A on muodostanut vektorista x, niin käänteisfunktio T A 1 kuvaa vektorin w takaisin vektorille x. Laajennetaan tämä tulos yleisille lineaarimuunnoksille. Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin funktion T arvojoukko on avaruuden W aliavaruus, ja se koostuu kaikista funktion T avaruuden V vektoreista muodostamista kuvista. Jos funktio T on injektiivinen lineaarimuunnos, niin jokaisella vektorilla v avaruudessa V on yksikäsitteinen kuvavektori w = T ( v) arvojoukossa R(T ). Kuvavektorin yksikäsitteisyyden vuoksi voidaan määritellä lineaarimuunnoksen T käänteismuunnos, jota merkitään T 1, ja joka kuvaa vektorin w takaisin vektorille v. Käänteismuunnoksen määritelmästä seuraa, että T 1 (T ( v)) = T 1 ( w) = v T (T 1 ( w)) = T ( v) = w, ja täten, kun lineaarimuunnokset T ja T 1 suoritetaan peräkkäin kummassa tahansa järjestyksessä, ne kumoavat toisensa. 27

Huomautus 2. On tärkeää huomata, että jos funktio T : V W on injektiivinen lineaarimuunnos, niin käänteismuunnoksen T 1 lähtöjoukko on lineaarimuunnoksen T arvojoukko. Kyseinen arvojoukko ei välttämättä ole koko avaruus W. Erikoistapauksessa, jossa funktio T : V V on injektiivinen lineaarioperaattori, käänteismuunnoksen T 1 lähtöjoukko on koko avaruus V, sillä lauseen 7 mukaan R(T ) = V. Esimerkki 19. Esimerkissä 16 osoitettiin, että lineaarimuunnos T : P n P n+2, missä T ( p) = T (p(x)) = x 2 p(x), on injektiivinen lineaarimuunnos. Täten lineaarimuunnoksella T on käänteismuunnos. Tässä lineaarimuunnoksen T arvojoukko ei ole koko avaruus P n+2, vaan arvojoukko R(T ) on avaruuden P n+2 aliavaruus, joka koostuu polynomeista joilla ei ole vakiotermejä. Tämä selviää lineaarimuunnoksen T kaavasta T (c + c 1 x + + c n x n ) = c x 2 + c 1 x 3 + + c n x n+2. Tämän seurauksena käänteismuunnos T 1 : R(T ) P n saadaan kaavasta T 1 (c x 2 + c 1 x 3 + + c n x n+2 ) = c + c 1 x + + c n x n. Esimerkiksi tapauksessa n = 3 saadaan, että T 1 (3x + 4x 2 2x 3 ) = 3 + 4x 2x 2. Esimerkki 2. Määritellään lineaarioperaattori T : R 2 R 2 kaavalla T (x 1, x 2 ) = (2x 1 x 2, x 1 + x 2 ). Tällöin lineaarimuunnoksen T standardimatriisi on [ ] 2 1 [T ] =. 1 1 Tämä matriisi on kääntyvä, ja käänteismuunnoksen T 1 standardimatriisiksi saadaan [ ] 1 1 [T 1 ] = [T ] 1 =, 1 2 sillä käänteismuunnoksen T 1 standardimatriisi on lineaarimuunnoksen T standardimatriisin käänteismatriisi. [1, s. 22, kaava (1)] Tästä seuraa, että ([ ]) [ ] [ ] [ ] [ ] T 1 x1 = [T 1 x1 1 1 x1 x1 + x ] = = 2. x 2 x 2 1 2 x 2 x 1 + 2x 2 Siis lineaarioperaattori T on injektiivinen lineaarimuunnos, ja käänteismuunnos T 1 määritellään kaavalla T 1 (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, x 1 + 2x 2 ). 28

4.3 Käänteismuunnosten yhdistelmät Seuraava lause osoittaa, että injektiivisten lineaarimuunnosten yhdistelmä on injektiivinen lineaarimuunnos, ja että yhdistelmän käänteismuunnos palautuu yksittäisten lineaarimuunnosten käänteismuunnoksiin. Lause 8. Jos funktiot T 1 : U V ja T 2 : V W ovat injektiivisiä lineaarimuunnoksia, niin (a) T 2 T 1 on injektiivinen lineaarimuunnos (b) (T 2 T 1 ) 1 = T 1 1 T 1 2. Todistus (a). On osoitettava, että yhdistelmä T 2 T 1 kuvaa avaruuden U eri vektorit avaruuden W eri vektoreille. Jos u ja v ovat eri vektoreita avaruudessa U, niin myös T 1 ( u) ja T 1 ( v) ovat eri vektoreita avaruudessa V, sillä T 1 on injektiivinen lineaarimuunnos. Koska myös T 2 on injektiivinen lineaarimuunnos, niin tällöin myös T 2 (T 1 ( u)) ja T 2 (T 1 ( v)) ovat eri vektoreita. Yllä olevat vektorit voidaan kirjoittaa myös muotoon (T 2 T 1 )( u) ja (T 2 T 1 )( v), joten yhdistelmä T 2 T 1 kuvaa vektorit u ja v avaruuden W eri vektoreille. Todistus (b). On osoitettava, että (T 2 T 1 ) 1 ( w) = (T 1 1 T 1 2 )( w) pätee jokaiselle vektorille w yhdistelmän T 2 T 1 arvojoukossa. Olkoon (4.2) u = (T 2 T 1 ) 1 ( w) ja osoitetaan, että Kohdasta (4.2) seuraa, että tai vastaavasti u = (T 1 1 T 1 2 )( w). (T 2 T 1 )( u) = w, T 2 (T 1 ( u)) = w. Suoritetaan nyt käänteismuunnokset T 1 2 ja T 1 1 tässä järjestyksessä edeltävän yhtälön molemmille puolille. Saadaan, että u = T 1 1 (T 1 2 ( w)), 29

tai vastaavasti u = (T 1 1 T 1 2 )( w). Toisin sanoen lause 8 toteaa, että yhdiselmän käänteismuunnos on käänteismuunnosten yhdistelmä käänteisessä järjestyksessä. Tulos on voimassa myös kolmen tai useamman lineaarimuunnoksen yhdistelmälle, esimerkiksi (T 3 T 2 T 1 ) 1 = T 1 1 T 1 2 T 1 3. Erikoistapauksessa, jossa T A, T B ja T C ovat avaruuden R n matriisioperaattoreita, voidaan edeltävä kaava kirjoittaa muodossa tai vastaavasti (T C T B T A ) 1 = T 1 A T 1 B (T CBA ) 1 = T A 1 B 1 C 1. T 1 C, Siis tämän kaavan mukaan yhdistelmän käänteismuunnoksen standardimatriisi on yksittäisten operaattorien standardimatriisien käänteismuunnosten tulo käänteisessä järjestyksessä. 3

Luku 5 Yleisten lineaarimuunnosten matriisit Tässä luvussa osoitetaan, että jos V ja W ovat äärellisdimensionaalisia vektoriavaruuksia, voidaan mikä tahansa lineaarimuunnos T : V W huomioida matriisimuunnoksena. Perusideana on työstää vektoreiden koordinaattimatriiseja itse vektoreiden sijaan. 5.1 Lineaarimuunnosten matriisit Olkoot V ja W n- ja m-dimensionaaliset vektoriavaruudet ja funktio T : V W lineaarimuunnos. Jos B ja B ovat vektoriavaruuksien V ja W kannat, niin jokaisella vektorilla x avaruudessa V koordinaattimatriisi [ x] B on avaruuden R n vektori, ja koordinaattimatriisi [T ( x)] B on avaruuden R m vektori. Nyt myös kuvaus avaruudesta R n avaruudelle R m on lineaarimuunnos. Olkoon A tämän lineaarimuunnoksen standardimatriisi. Tällöin (5.1) A[ x] B = [T ( x)] B. Matriisia A kaavassa (5.1) kutsutaan lineaarimuunnoksen T kantoja B ja B vastaavaksi matriisiksi. Osoitetaan seuraavaksi, miten kaavan (5.1) matriisi A voidaan laskea. Olkoon B = { u 1, u 2,..., u n } kanta n-dimensionaaliselle vektoriavaruudelle V ja B = { v 1, v 2,..., v m } kanta m-dimensionaaliselle vektoriavaruudelle W. Etsitään siis m n -matriisia a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn 31

siten, että kaava (5.1) on voimassa kaikille vektoriavaruuden V vektoreille x. Erityisesti halutaan, että kaava on voimassa kantavektoreille u 1, u 2,..., u n, siis että (5.2) A[ u 1 ] B = [T ( u 1 )] B, A[ u 2 ] B = [T ( u 2 )] B,..., A[ u n ] B = [T ( u n )] B. Mutta joten 1 1 [ u 1 ] B =, [ u 2 ] B =,..., [ u n ] B =,... 1 1 a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A[ u 1 ] B = =.... a m1 a m2... a mn a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n 1 A[ u 2 ] B = =.... a m1 a m2... a mn. a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A[ u n ] B = =.... a m1 a m2... a mn 1 Sijoittamalla nämä kohdan (5.2) kaavaan saadaan a 11 a 21. a m1 = [T ( u 1)] B, a 12 a 22. a m2 = [T ( u 2)] B,..., a 1n a 2n. a mn a 11 a 21. a m1 a 12 a 22. a m2 a 1n a 2n. a mn. = [T ( u n)] B, mikä osoittaa, että matriisin A sarakkeet ovat lineaarimuunnoksen T kantaa B vastaavia koordinaattimatriiseja T ( u 1 ), T ( u 2 ),..., T ( u n ). 32

Täten lineaarimuunnoksen T kantoja B ja B vastaava matriisi on A = [ [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B... [T ( u n )] B ]. Tätä matriisia merkitään yleisesti symbolilla [T ] B, B, joten edeltävä kaava voidaan kirjoittaa myös muotoon (5.3) [T ] B, B = [ [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B... [T ( u n )] B ], ja kohdan (5.1) perusteella tällä matriisilla on ominaisuus (5.4) [T ] B, B[ x] B = [T ( x)] B. Huomautus 3. Huomioidaan, että merkinnässä [T ] B, B oikeanpuoleinen alaindeksi on funktion T lähtöjoukon kanta ja vasemmanpuoleinen alaindeksi on funktion T kuva-avaruuden kanta. 5.2 Lineaarioperaattorien matriisit Erikoistapauksessa, jossa vektoriavaruuksille V ja W on voimassa V = W eli funktio T : V V on lineaarioperaattori, oletetaan yleensä, että B = B, kun funktion T matriisia konstruoidaan. Tällöin muodostuvaa matriisia kutsutaan lineaarioperaattorin T kantaa B vastaavaksi matriisiksi ja sitä merkitään [T ] B. Jos kanta B = { u 1, u 2,..., u n }, niin kaavat (5.3) ja (5.4) saadaan muotoihin (5.5) [T ] B = [ ] [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B... [T ( u n )] B ja (5.6) [T ] B [ x] B = [T ( x)] B. Epämuodollisesti voidaan todeta, että kohtien (5.4) ja (5.6) mukaan funktion T ja vektorin x koordinaattimatriisin tulo muodostaa funktion T ( x) koordinaattimatriisin. Esimerkki 21. Olkoon lineaarimuunnos T : P 2 P 3 määritelty kaavalla T (p(x)) = xp(x). 33

Etsitään lineaarimuunnoksen T standardikantoja B ja B vastaava matriisi, missä B = { u 1, u 2, u 3 } ja B = { v 1, v 2, v 3, v 4 } ja u 1 = 1, u 2 = x, u 3 = x 2, v 1 = 1, v 2 = x, v 3 = x 2 ja v 4 = x 3. Lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan, että T ( u 1 ) = T (1) = (x)(1) = 1 T ( u 2 ) = T (x) = (x)(x) = x 2 T ( u 3 ) = T (x 2 ) = (x)(x 2 ) = x 3. Tällöin lineaarimuunnosten T ( u 1 ), T ( u 2 ) ja T ( u 3 ) kantaa B vastaaviksi koordinaattimatriiseiksi saadaan [T ( u 1 )] B = 1, [T ( u 2)] B = 1 ja [T ( u 3)] B =. 1 Täten lineaarimuunnoksen T kantoja B ja B vastaava matriisi on [T ] B, B = [ [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B [T ( u 3 )] ] B = 1 1. 1 Esimerkki 22. Olkoon T : P 2 P 3 edellisen esimerkin lineaarimuunnos. Osoitetaan, että matriisi [T ] B, B = 1 1 1 toteuttaa kaavan (5.4) avaruuden P 2 jokaisella vektorilla v = a + bx + cx 2. Koska x = p(x) = a + bx + cx 2, niin T ( x) = xp(x) = ax + bx 2 + cx 3. 34

Edellisessä esimerkissä määritellyillä kannoilla B ja B saadaan, että a [ x] B = [a + bx + cx 2 ] B = b c [T ( x)] B = [ax + bx 2 + cx 3 ] B = a b. c Täten [T ] B, B[ x] B = 1 a 1 b = a b = [T ( x)] B, c 1 c joten kaava (5.4) on voimassa. Esimerkki 23. Olkoon lineaarimuunnos T : R 2 R 3 määritelty kaavalla ([ ]) x 1 x1 T = 4x x 1 + 5x 2. 2 6x 1 + 12x 2 Etsitään lineaarimuunnoksen T kantoja B ja B vastaava matriisi, kun B = { u 1, u 2 } on avaruuden R 2 kanta ja B = { v 1, v 2, v 3 } on avaruuden R 3 kanta, missä u 1 = [ ] 2, u 1 2 = [ ] 4, v 3 1 = 2 2 1, v 2 = ja v 3 = 1 1 Lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan, että 2 4 T ( u 1 ) = 3 ja T ( u 2 ) = 1. 12 Kun ilmaistaan nämä vektorit vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatioina, saadaan T ( u 1 ) = v 1 + v 2 ja T ( u 2 ) = v 1 v 2 + 2 v 3. Täten 1 1 [T ( u 1 )] B = 1 ja [T ( u 2 )] B = 1. 2 35 1 6.

Siis [T ] B, B = [ ] 1 1 [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B = 1 1. 2 Esimerkki 24. Olkoon lineaarioperaattori T : R 2 R 2 määritelty kaavalla ([ ]) [ ] x1 8x1 4x T = 2 x 2 2x 1 + 2x 2 ja olkoon B = { u 1, u 2 } kanta, missä [ ] 1 u 1 = ja u 1 2 = (a) Etsitään matriisi [T ] B. [ ] 2. 1 (b) Todistetaan, että kaava (5.6) on voimassa avaruuden R 2 jokaisella vektorilla x. Ratkaisu (a): lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan [ ] [ ] 4 12 T ( u 1 ) = = 4 u 4 1 ja T ( u 2 ) = = 6 u 6 2. Täten ja edelleen Ratkaisu (b): Jos vektori [T ( u 1 )] B = [ ] 4 ja [T ( u 2 )] B = [ ] 6 [T ] B = [ [ ] ] 4 [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B =. 6 (5.7) x = [ x1 on jokin avaruuden R 2 vektori, niin lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan [ ] 8x1 4x (5.8) T ( x) = 2. 2x 1 + 2x 2 Matriisien [ x] B ja [T ( x)] B löytämiseksi on ilmaistava kohtien (5.7) ja (5.8) vektorit vektorien u 1 ja u 2 lineaarikombinaatioina. Tällöin saadaan vektoriyhtälöt [ ] [ ] [ ] x1 1 2 = k x 1 + k 2 1 2 1 [ ] [ ] [ ] 8x1 4x 2 1 2 = c 2x 1 + 2x 1 + c 2 1 2. 1 x 2 ] 36

Nämä tuottavat lineaarisysteemit ja k 1 + 2k 2 = x 1 k 1 + k 2 = x 2 c 1 + 2c 2 = 8x 1 4x 2 c 1 + c 2 = 2x 1 + 2x 2. Ratkaisemalla ensimmäinen lineaarisysteemi saadaan joten k 1 = x 1 + 2x 2 ja k 2 = x 1 x 2, [ ] x1 + 2x [ x] B = 2, x 1 x 2 ja ratkaisemalla jälkimmäinen lineaarisysteemi saadaan joten Täten c 1 = 4x 1 + 8x 2 ja c 2 = 6x 1 6x 2, [ ] 4x1 + 8x [T ( x)] B = 2. 6x 1 6x 2 [ ] [ ] [ ] 4 x1 + 2x [T ] B [ x] B = 2 4x1 + 8x = 2 = [T ( x)] 6 x 1 x 2 6x 1 6x B, 2 joten kaava (5.6) on voimassa. 5.3 Identiteettioperaattorien matriisit Olkoon B = { u 1, u 2,..., u n } jokin kanta jollekin äärellisdimensionaaliselle vektoriavaruudelle V ja olkoon I : V V tämän vektoriavaruuden identiteettioperaattori. Tällöin I( u 1 ) = u 1, I( u 2 ) = u 2,..., I( u n ) = u n. Täten 1 1 [I( u 1 )] B =, [I( u 2 )] B =,..., [I( u n )] B =.... 1 37

Siis 1... 1... [I] B =... = I....... 1 Edelleen mitä tahansa kantaa vastaavan identiteettioperaattorin matriisi on n n -identiteettimatriisi. Kaavan (5.6) mukaan [I] B [ x] B = [I( x)] B = [ x] B, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että [I] B = I. 5.4 Lineaarimuunnosten matriisien hyöty Yleisten lineaarimuunnosten matriisien tutkimiselle on kaksi pääasiallista syytä, joista toinen on teoreettinen ja toinen hyvin käytännöllinen: Vastaukset teoreettisiin kysymyksiin yleisten lineaarimuunnosten rakenteista äärellisdimensionaalisissa vektoriavaruuksissa voidaan usein saada selville tutkimalla matriisimuunnoksia. Nämä matriisit mahdollistavat vektorien kuvien laskemisen käyttämällä matriisien kertolaskua. Tietokoneet pystyvät suorittamaan tällaiset laskutoimitukset hyvin nopeasti. Tarkastellaan seuraavaksi lähemmin jälkimmäistä ideaa. Olkoon T : V W lineaarimuunnos. Tällöin lineaarimuunnos T ( x) voidaan laskea matriisin [T ] B,B avulla kolmessa vaiheessa seuraavalla epäsuoralla tavalla: 1. Lasketaan koordinaattimatriisi [ x] B. 2. Kerrotaan matriisi [ x] B vasemmalta matriisilla [T ] B,B matriisin [T ( x)] B tuottamiseksi. 3. Rekonstruoidaan lineaarimuunnos T ( x) sen koordinaattimatriisista [T ( x)] B. Esimerkki 25. Määritellään lineaarioperaattori T : P 3 P 3 kaavalla T (p(x)) = p(2x 4), jolloin T (c + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) = c + c 1 (2x 4) + c 2 (2x 4) 2 + c 3 (2x 4) 3. 38

(a) Etsitään kantaa B = {1, x, x 2, x 3 } vastaava matriisi [T ] B. (b) Lasketaan epäsuoralla tavalla T (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 ). (c) Tarkistetaan kohdan (b) tulos laskemalla suoraan T (1+2x+3x 2 +4x 3 ). Ratkaisu (a): lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan T (1) = 1 T (x) = 2x 4 T (x 2 ) = (2x 4) 2 = 4x 2 16x + 16 T (x 3 ) = (2x 4) 3 = 8x 3 48x 2 + 96x 64, joten 1 4 16 64 [T (1)] B =, [T (x)] B = 2, [T (x2 )] B = 16 4 ja [T (x3 )] B = 96 48. 8 Täten 1 4 16 64 [T ] B = 2 16 96 4 48. 8 Ratkaisu (b): vektorin p = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 kantaa B vastaava koordinaattimatriisi on 1 [ p] B = 2 3. 4 Täten kaavasta (5.6) saadaan [T (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 )] B = [T ( p)] B = [T ] B [ p] B 1 4 16 64 1 215 = 2 16 96 2 4 48 3 = 34 18, 8 4 32 mistä seuraa, että T (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 ) = 215 + 34x 18x 2 + 32x 3. 39

Ratkaisu (c): suoraan laskemalla saadaan T (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 ) =1 + 2(2x 4) + 3(2x 4) 2 + 4(2x 4) 3 =1 + 4x 8 + 12x 2 48x + 48 + 32x 3 192x 2 + 384x 256 = 215 + 34x 18x 2 + 32x 3, kuten saatiin myös kohdassa (b). 5.5 Yhdistelmien ja käänteismuunnosten matriisit Seuraavat lauseet yleistävät tuloksia, jotka koskevat lineaarimuunnoksia avaruudesta R n avaruudelle R m. Niiden todistukset sivuutetaan. Lause 9. Jos funktiot T 1 : U V ja T 2 : V W ovat lineaarimuunnoksia ja B, B ja B ovat kannat vektoriavaruuksille U, V ja W, niin (5.9) [T 2 T 1 ] B, B = [T 2 ] B, B [T 1] B, B. Lause 1. Jos funktio T : V V on lineaarioperaattori ja jos B on kanta vektoriavaruudelle V, niin seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä: (a) funktio T on injektiivinen lineaarioperaattori (b) matriisi [T ] B on kääntyvä. Lisäksi, kun nämä ekvivalentit kohdat ovat voimassa, niin (5.1) [T 1 ] B = [T ] 1 B. Huomautus 4. Kaavassa (5.9) sisempi alaindeksi B näyttää häviävän, jättäen yhdistelmän alaindekseiksi vain lähtöjoukon ja kuva-avaruuden kannat. Tämän häviämisen pohjalta saadaan kaavaan (5.9) laajennus kolmen lineaarimuunnoksen yhdistelmälle seuraavasti: [T 3 T 2 T 1 ] B, B = [T 3 ] B, B [T 2] B, B [T 1] B, B. Seuraava esimerkki havainnollistaa lausetta 9. 4

Esimerkki 26. Olkoon T 1 : P 2 P 3 lineaarimuunnos siten, että T 1 (p(x)) = xp(x) ja olkoon T 3 : P 3 P 3 lineaarioperaattori siten, että T 2 (p(x)) = p(2x 4). Tällöin yhdistelmä (T 2 T 1 ) : P 2 P 3 saadaan kaavasta (T 2 T 1 )(p(x)) = T 2 (T 1 (p(x))) = T 2 (xp(x)) = (2x 4)p(2x 4). Täten, jos p(x) = c + c 1 x + c 2 x 2, niin (T 2 T 1 )(c + c 1 x + c 2 x 2 ) = (2x 4)(c + c 1 (2x 4) + c 2 (2x 4) 2 ) = c (2x 4) + c 1 (2x 4) 2 + c 2 (2x 4) 3. Tässä esimerkissä avaruus P 2 on lauseen 9 avaruuden U roolissa ja avaruus P 3 on sekä avaruuden V että W rooleissa. Täten kaavassa (5.9) on B = B, joten kyseinen kaava yksinkertaistuu muotoon (5.11) [T 2 T 1 ] B, B = [T 2 ] B [T 1 ] B, B. Valitaan B = {1, x, x 2 } avaruuden P 2 kannaksi ja B = {1, x, x 2, x 3 } avaruuden P 3 kannaksi. Esimerkeissä 21 ja 25 osoitettiin, että 1 4 16 64 [T 1 ] B, B = 1 1 ja [T 2] B = 2 16 96 4 48. 1 8 Täten kohdasta (5.11) seuraa, että 1 4 16 64 [T 2 T 1 ] B, B = 2 16 96 1 (5.12) 4 48 1 8 1 4 16 64 = 2 16 96 4 48. 8 Tarkistetaan tämä vielä laskemalla [T 2 T 1 ] B, B suoraan kaavalla (5.3). Koska B = {1, x, x 2 } on kanta, niin vektoreilla u 1 = 1, u 2 = x ja u 3 = x 2 kaavasta (5.3) saadaan (5.13) [T 2 T 1 ] B, B = [ [(T 2 T 1 )(1)] B [(T 2 T 1 )(x)] B [(T 2 T 1 )(x 2 )] B ]. 41