Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi termistä säteilyä (lämpösäteilyä), jonka spektri riippuu ainoastaan kappaleen lämpötilasta. Säteilyyn ei vaikuta lainkaan kappaleen materiaali ja muoto. Mustan kappaleen lähettämä lämpösäteily on jatkuvaspektristä sähkömagneettista säteilyä. Vaikka musta kappale on ideaalinen säteilijän malli, käytännössä monet kappaleet säteilevät lähes kuten musta kappale. Esimerkiksi uuni, jossa on pieni reikä, keittolevy, Aurinko ja muut tähdet säteilevät mustan kappaleen tavoin. Myös avaruudesta tuleva ja maailmankaikkeuden varhaisajoilta peräisin oleva ns. kolmen kelvinin (2,73 K) terminen taustasäteily noudattaa varsin tarkoin mustan kappaleen säteilyspektriä. Mustan kappaleen säteily syntyy (reiällisessä) ontelossa, jonka seinämät absorboivat kaiken niihin osuvan säteilyn. Säiliön sisällä oleva säteily ja seinämät ovat termodynaamisessa tasapainotilassa. Lämpötila pysyy vakona ja ympäristön lämpötilassa oleva musta kappale säteilee yhtä paljon kuin se absorboi energiaa. Koska säteilyenergia muuttuu koko ajan seinämien atomien lämpöliikkeeksi ja tämä takaisin säteilyksi, käytetään säteilystä Kuva 1. Musta kappale nimitystä terminen säteily. Säteilystä käytetään muulloinkin nimitystä terminen säteily, jos se noudattaa likimain Planckin säteilylakia. Musta kappale nimitys ei siis tarkoita väriltään mustaa kappaletta, vaan se on ainoastaan nimitys. Tiettyä lämpötilaa vastaa aina tietty säteilyn jakauma, joka noudattaa Planckin säteilylakia. Planckin laki voidaan johtaa kvanttistatistiikasta: Max Planck johti tämän lain vuonna 1900 olettamalla atomaariset kiinteän aineen lämpövärähtelyt kvantittuneiksi. Kvanttifysiikan perusprinsiippi on, että säteilijän, atomin, energia on kvantittunut. Säteilykvantin eli fotonin energia saadaan Planckin vakion h ja taajuuden f tulona E = hf (Planckin laki). Planckin säteilylain mukaan lämpötilassa T oleva kappale säteilee taajuudella ν intensiteetillä
/ (1) missä If = säteilyn intensiteetti (energiatiheys, W/m 2 ), f = säteilyn taajuus (Hz), (λ = aallonpituus, c = valon nopeus), T = mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila (K), h = Planckin vakio = 6,6260755 10-34 Js, c = valon nopeus = 2,99792458 10 8 m/s, k = Boltzmannin vakio = 1,380658 10-23 J/K, e = Neperin luku = 2,718281828 Plancin säteilylaki voidaan kirjoittaa myös aallonpituuden funktiona, kun asetetaan: (2) Miinusmerkki johtuu siitä, että aallonpituus λ pienenee, kun taajuus f kasvaa aaltoliikeopin yhtälön f = c/ λ mukaisesti., joten yhtälöstä (1) saadaan: Planckin säteilylaki (1) saadaan näin muotoon 2 / / 2 / 2. / (3) Kuva 2. Mustan kappaleen säteilyspektri eri lämpötiloissa. Planckin lain (3) keksiminen ja säteilyn kvantittumisen periaate ratkaisi klassista fysiikkaa vaivaan ns. ultraviolettikatastrofiongelman, jonka mukaan lyhyillä aallonpituuksilla lämpösäteilyn intensiteetti olisi noussut äärettömän suureksi ns. Rayleigh n Jeansin lain mukaan:
(4) Kuva 3. Mustan kappaleen säteilyspektri (Planck) ja ultraviolettikatastrofi klassisen mallin mukaan. T1 < T2 < T3. Rayleigh n Jeansin laki on approksimaatio eli likimääräistys Planckin säteilylaista (3), kun aallonpituus λ on suuri (λ >> λ max ). Suurilla aallonpituuksilla (λ >> λ max ) on / << 1 ja sarjakehitelmällä saadaan / 1 /11 / (MAOL s. 21 (25)), jolloin Planckin säteilylaki laki (3) tulee muotoon / joka on Rayleigh n Jeansin laki., Klassinen fysiikka antoi mustan kappaleen säteilylaiksi pelkästään Rayleig n Jeansin lain. Rayleigh n Jeansin laista (4) nähdään, että aallonpituuden pienentyessä säteilyn intensiteetti kasvaa rajatta (lähenee ääretöntä! ks. kuva 3). Havaintojen mukaan näin ei käynyt. Tämä ristiriita oli nimeltään ultraviolettikatastrofi, johon vasta Planckin kvanttihypoteesi E = hf ja kvanttimekaaninen Planckin säteilylaki (3) antoi ratkaisun.
Planckin säteilylaista voidaan johtaa myös ns. Wienin siirtymälaki, joka ilmoittaa mustan kappaleen säteilyn intensiteetin maksimikohtaa vastaavan aallonpituuden λ max yhteyden annetussa lämpötilassa T. Wienin siirtymälaki voidaan kirjoittaa muotoon: (5) missä T = mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila (K), λ max = säteilyn intensiteetin maksimikohtaa vastaava aallonpituus (m), c = λf (aaltoliikeopin perusyhtälö), b = Wienin siirtymälain vakio = 2,897768 10-3 m K. (MAOL s.71 (71)) Wienin siirtymälain avulla voidaan määrittää esim. tähtien pintalämpötiloja. Kuva 4. Wienin siirtymälaki ilmoittaa mustan kappaleen spektrin intensiteetin maksimikohtaa vastaavan aallonpituuden λmax ja absoluuttisen lämpötilan T yhteyden. Wienin siirtymälaki (5) voidaan puolestaan johtaa Planckin säteilylaista (3) derivoimalla. Intensiteettijakauman maksimikohta löydetään derivaatan / nollakohdasta, joka saadaan riittävällä tarkkuudella käyttämällä likimääräistystä: / 1. Tällöin saadaan / 1 /, kun aallonpituus λ on sopivan pieni. Derivoidaan Planckin säteilylaki / aallonpituuden suhteen, jolloin saadaan
2 / 2 1 2 5 1 1 2 5 1 1 Derivoinnissa on käytetty derivoimissääntöjä: Dkf = kdf, Dfg = Df+Dg, Dx n = nx n-1, Dg(f(x)) = g (f(x))f (x), De f(x) = e f(x) f (x). (ks. MAOL s. 41 (47)). Sieventämällä (ottamalla yhteinen tekijä) edellä olevaa lauseketta saadaan edelleen 2 1 5 1 2 1 5 2 5 / 1 / (λ pieni) 2 5 2 5 Derivaatan nollakohta: 0 Derivaatan yhtälössä sulkulausekkeen edessä olevat termit ovat kaikki positiivisia, joten derivaatan nollakohta 0 on likimain
sulkulausekkeen sisällä olevan yhtälön 5 0 ratkaisu. 5 0 5. Funktion 5 + kuvaaja on laskeva suora, koska suoran kulmakerroin k = -5 < 0. Derivaatan nollakohta = on maksimikohta, koska derivaatta muuttaa tässä kohdassa etumerkkinsä positiivisesta negatiiviseksi (ks. merkkikaavio). MAX + - λ Kuva 5. Kulkukaavio. Wienin siirtymälaki saadaan tästä derivaatan nollakohdasta: = T Sijoitetaan tarvittavat luonnonvakiot h, c ja k (MAOL s. 70 (71)) edellä olevaan yhtälöön, jolloin saadaan = h 5 = 6,6260755 10 2,99792458 10 5 1,380658 10 2,877537321 10 2,878. Tämä on Wienin siirtymälaki, joka on muotoa =, missä b = Wienin siirtymälain vakio = 2,897768 10-3 m K. (MAOL s. 71 (71)).
Mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetille pätee ns. Stefanin ja Boltzmannin laki = (6) missä I on mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetti (W/m 2 ) T = mustan kappaleen termodynaaminen lämpötila (K) σ = Stefanin-Boltzmannin vakio; =5,670400 10 (MAOL s. 71(71)). Mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetti on siis suoraan verrannollinen absoluuttisen lämpötilan neljänteen potenssiin. Johdetaan Stefanin ja Boltzmannin laki Planckin säteilylaista. Kummankin funktion ja avulla voidaan laskea mustan kappaleen säteilijän kokonaisintensiteetti integroimalla. = Kokonaisintensiteetti I on suoraan verrannollinen säteilyspektrin I = I(λ) pinta-alaan. Kuva 6. Mustan kappaleen säteilyspektri. Integroidaan Planckin laki (3) / kokonaisintensiteetin laskemiseksi. / (*) Otetaan uudeksi integroimismuuttajaksi =/, jolloin = =.Taajuus = ja. Näillä sijoituksilla integraali (*) tulee muotoon b
= (**) Yhtälön oikea puoli on standardi-integraali, jonka arvo on =. Sijoittamalla tämä integraalin arvo edellä olevaan lausekkeeseen (**) saadaan mustan kappaleen kokonaisintensiteetille lauseke = = Edellä olevassa kokonaisintensiteetin lausekkeessa esiintyy lukuun ottamatta tekijää T 4 pelkkiä vakioita, joten kokonaisintensiteetille pätee lauseke =, missä I(T) = mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetti (W/m 2 ), = on vakio, T = mustan kappaleen säteilijän absoluuttinen lämpötila (K). Mustan kappaleen säteilemän energiavuon tiheys on isotrooppiselle eli suunnasta riippumattomalle säteilylle on π, joten Stefanin Ja Boltzmannin laki voidaan nyt kirjoittaa muotoon = missä σ = = Stefanin-Boltzmannin vakio; =5,670400 10. (MAOL s. 71(71)). Mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetti on siis suoraan verrannollinen absoluuttisen lämpötilan neljänteen potenssiin. Lasketaan vakio A ja Stefanin Boltzmannin vakio σ =. = 2 15 h = 2 1,380658 10 / 15 2,99792458 10 / 6,6260755 10 =1,804978927 10. = = 1,804978927 10,.
Yksikkötarkastelu. = 2 15. σ = = Stefanin-Boltzmannin vakio; 5,67051 10. Oikein. ******************************************************************************** Esim. 1. 1) Mikä on Rigel-tähden lämpötila, kun sen säteilyn intensiteetillä on maksimi aallonpituudella 145 nm? Ratkaisu. Tähteä voidaan pitää ns. mustan kappaleen säteilijänä, jolla säteilyn intensiteetin maksimikohtaa vastaava aallonpituus ja lämpötila noudattavat Wienin siirtymälakia: =. =, K 19984,52 20 000. Vastaus: Rigel-tähden lämpötila on 20 000 K.
Esim. 2. Wienin siirtymälaki = ilmoittaa mustan kappaleen absoluuttisin lämpötilan T ja säteilyn intensiteettijakauman maksimikohtaa vastaavan aallonpituuden λmax välisen riippuvuuden. Millä aallonpituuden arvolla kosmisella taustasäteilyllä, joka vastaa lämpötilaa 2,73 K, on intensiteettimaksiminsa? =2,897756 10 K. Ratkaisu. = = =,, 1,017 10 λmax 1,1 mm. (Radioaallot, ks. MAOL s. 88 (87)). Vastaus: 1,1 mm. Esim. 3. Maanpinnan nopea jäähtyminen kirkkaina talviöinä johtuu siitä, että maanpinnasta säteilee energiaa avaruuteen. Jos taivas on pilvessä, suuri osa säteilystä heijastuu pilvistä, jolloin lämpöenergian menetys pienenee. Oletetaan, että maanpinnan lämpötila on 10 o C ja se säteilee kuin musta kappale. Mikä on maanpinnan lähettämän säteilyn kokonaisintensiteetti eli säteilyteho neliömetriä kohti? Ratkaisu. Stefanin ja Boltzmannin lain mukaan kokonaisintensiteetti on suoraan verrannollinen absoluuttisen lämpötilan neljänteen potenssiin: =. Lämpötila T = (10 + 273,15) K = 283,15 K. = 5,67051 10 8 2 4 283,15 4 364,49 2. I(T) 364 W/m 2. Vastaus: Kokonaisintensiteetti eli säteilyteho neliömetriä kohti on noin 360 W/m 2.