Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava
Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua -tehtävät palauttavat mieleen aiempien kurssien asioita. Ennakkotehtäviä on jokaisen luvun aloitusaukeamalla kaksi: helpompi ja vaikeampi. Tehtävät on mahdollista ratkaista aiempien tietojen avulla. Digijohdanto ja johdanto aloittavat jokaisen alaluvun. Digijohdanto on appletti, jossa ratkaistaan alaluvun uuteen asiaan johdattava tehtävä. Johdannossa uuteen asiaan tutustutaan selittävän esimerkin avulla. Johdannon keskeiset havainnot kootaan lauseessa tai määritelmässä. Harjoitustehtävät on jaoteltu ydintehtäviin, vahvistaviin tehtäviin ja syventäviin tehtäviin. Ydintehtävät on tarkoitettu kaikille, ja niissä kohdataan keskeiset uudet asiat. Ydintehtäviä monipuolisemmat vahvistavat tehtävät lujittavat osaamista ja antavat vankan pohjan tulevien asioiden ymmärtämiselle. Aiheen perusteellista hallintaa tavoiteltaessa on syytä tehdä syventäviäkin tehtäviä. Ylioppilastehtävän tiedot on merkitty hakasulkeisiin. Esimerkiksi [K5/] on kevään 05 pitkän matematiikan kokeen tehtävä. Teknisten apuvälineiden käytöstä on mainittu harjoitustehtävässä erikseen, jos tehtävä on tarkoitus ratkaista ilman teknisiä apuvälineitä tai sopivalla ohjelmalla. Teknisellä apuvälineellä tarkoitetaan ohjelman toimintoa, josta on matematiikan kannalta apua. Muilta osin tietokoneen tai muun laitteen käyttäminen ratkaisun kirjaamisessa on aina sallittua. Kertausosiossa kurssin keskeiset ideat esitellään tiiviissä muodossa ja niitä harjoitellaan muutamalla tehtävällä. Kertausosion perässä on kokoavia tehtäviä koko kurssista. Logojen merkitykset ovat seuraavat: Asiaan liittyy appletti osoitteessa www.otava.i/juuridigi. Tehtävään on vihje kirjan lopussa. SYVENNÄ Asiaan liittyviä tehtäviä on vain syventävissä tehtävissä. 4
Aiemmin opiskeltua Kertaa aiempien kurssien asioita, joita tarvitset tällä kurssilla. Vastausosiossa on tehtävien ratkaisut.. Derivoi. a) 3 6 + 5 b) (4 7) 5. Funktion f arvo on erään kaupan myynti euroina tuntia kaupan aukeamisesta, kun 0 < <. Määritä myynnin muutosnopeus tunnin kuluttua kaupan aukeamisesta. a) f () = 60 + 70 b) y 500 (4, 400) 000 500 (, 800) y = f() 0 0 4 6 8 0 3. Ohessa on polynomifunktion f derivaattafunktion f merkkikaavio. Hahmottele jokin mahdollinen funktion f kuvaaja. 3 f () + + 4. Ratkaise annetun funktion derivaattafunktion nollakohdat. a) f () = e 3 b) g( ) = sin + 3 5. Kuvassa on erään toisen asteen polynomifunktion f kuvaaja. Piirrä samaan kuvaan derivaattafunktion f kuvaaja. 3 y y = f() (, 0) (3, 0) 3 4 3 (0, 3) 6. Suora y = + 4 rajaa koordinaattiakseleiden sekä suoran = 3 kanssa puolisuunnikkaan. Määritä tämän puolisuunnikkaan pinta-ala. 5
Integraalilaskenta K urssissa MAA6 tutustuttiin matemaattisen analyysin yhteen kulmakiveen, derivaattaan. Derivaatan eli muutosnopeuden avulla voidaan tutkia funktion kulkua ja ratkaista monenlaisia ääriarvoihin liittyviä ongelmia. Tässä kurssissa ajattelu käännetään: miten funktion lauseke voidaan määrittää, jos sen derivaattafunktion lauseke tunnetaan? Tähän kysymykseen vastaaminen ei ole pelkkää matemaattista ajanvietettä, vaan derivoinnille käänteisen operaation, integroinnin, avulla saadaan ratkaistua monta käytännön ongelmaa. Pinta-aloja ja tilavuuksia Oheisessa kuvassa on sovitettu karttapohjalle Temppeli aukion kirkkoa ympäröivän puiston rajoja mukailevat käyrät. Tällä kurssilla opitaan, miten käyrien rajoittaman alueen eli tässä tapauksessa puiston pinta-ala voidaan laskea. y y = 0,4 +,7 +,3 4 0 8 6 A 4 y = 0,04( ) y = 0,6 6,8 C 300 m B 4 6 8 0 4 6 8 0 Jos Eiffel-tornin ulkopinta peitettäisiin metallilevyillä, kuinka suuri olisi levyjen rajaaman kappaleen tilavuus? Tällä kurssilla opittavilla tiedoilla voidaan laskea muidenkin kuin tavallisten geometristen kappaleiden tilavuuksia. 6 y = 4,5e,67 0,0089
Käyttöä tekniikan sovelluksissa Monien lääketieteessä käytettävien kuvantamis laitteiden kuva muodostetaan integraalimuunnosta käyttäen. Muunnos mahdollistaa eri poikki leikkaustasoissa tehtyjen mittaustulosten yhdistämisen (engl. integrate) yhdeksi kaksi- tai kolmiulotteiseksi kuvaksi. Aerobisessa urheilusuorituksessa kuluva energiamäärä voidaan laskea, jos tiedetään, kuinka paljon happea kulutetaan suorituksen aikana. Kokonaishapen kulutus on mahdollista selvittää analyysilaitteiden antamien tietojen ja integraalilaskennan avulla. Integraalimerkki Derivaatan on alkujaan tulkittu kertovan funktion muutoksen hyvin pienellä välillä. Käänteinen operaatio integrointi puolestaan pohjautuu ajatukseen näiden hyvin pienten muutosten laskemisesta yhteen. Tästä syystä integroinnin merkintätavaksi on vakiintunut summaan viittaava pidennetty S-kirjain eli. Integraalimerkki on peräisin Gottfried Leibnizilta (646 76). Leibnizia ja Isaac Newtonia (64 76) pidetään integraalilaskennan tärkeimpinä kehittäjinä. 7
Integraalifunktio Ilmiöitä tutkittaessa tulee vastaan tilanteita, joissa tiedetään jonkin suureen muutosnopeus mutta ei itse suuretta. Tiedetään esimerkiksi populaation koon muutosnopeus eli derivaatta mutta ei populaation kokoa. Tässä luvussa opitaan määrittämään funktioita, kun niiden derivaattafunktio tunnetaan. 8
Ennakkotehtävät Uusi asia on helpompi ymmärtää, kun sitä on jo pohtinut ennakkotehtävissä.. Tarkastellaan funktiota f, jonka derivaattafunktio on f () = 3. a) Määritä yksi mahdollinen funktion f lauseke. b) Määritä kaksi muuta mahdollista funktion f lauseketta. c) Piirrä a- ja b-kohdissa muodostamiesi funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon. Mitä havaitset? Selitä, mistä havaintosi johtuu.. Biologit voivat luoda matemaattisen mallin jonkin populaation koon muutosnopeudesta eli derivaatasta. Muutosnopeus ei kaikissa malleissa ole vakio vaan muuttuu. Hahmottele applettiin populaation suuruuden kuvaaja neljässä eri muutosnopeuden mallissa. 9
. Integraalifunktion määritelmä Digijohdanto: Muodosta funktio, kun derivaattafunktio tiedetään. Johdanto Määritä jokin funktio F, jonka derivaattafunktio on f () = 8 3 5. Ratkaisu Funktio F on sellainen, että se derivoimalla saadaan 8 3 5. Tutkitaan ensin, mikä termi derivoimalla saadaan 8 3. Derivoitaessa polynomifunktion asteluku pienenee yhdellä, joten lausekkeen pitää olla neljännen asteen polynomi. Kokeillaan termiä 4 : D 4 = 4 4 = 4 3. D n = n n Lisätään sopiva kerroin: D( 4 ) = 4 3 = 8 3. Lisäksi D(5) = 5, joten D( 4 5) = 8 3 5. Funktioksi F käy siis esimerkiksi F() = 4 5. Funktiota, jonka derivaattafunktio on f, sanotaan funktion f integraalifunktioksi. Määritelmä Funktion f integraalifunktio on funktio F, jolle F () = f () kaikissa pisteissä, joissa f on määritelty. Jatkossa oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin avoimella välillä, ellei toisin mainita. 0 Integraalifunktio
Esimerkki Ovatko funktiot F () = sin + 3 ja F () = sin funktion f () = cos integraalifunktioita? Ratkaisu Funktio F on funktion f integraalifunktio, jos F () = f (). Selvitetään derivoimalla funktio F, onko näin: F () = D(sin + 3) = cos + 0 = cos. D sin = cos Siis F on funktion f integraalifunktio. Vastaavasti F () = D(sin ) = cos 0 = cos. Molemmat funktiot F ja F ovat funktion f integraalifunktioita. Esimerkissä havaittiin, että annetulla funktiolla voi olla useita integraalifunktioita. Eri integraalifunktiot poikkeavat kuitenkin toisistaan vain vakion verran. Tulos pätee yleisestikin. Jatkossa tämä ilmaistaan toteamalla, että integraalifunktio on vakiota vaille yksikäsitteinen. Lause Olkoon F funktion f eräs integraalifunktio. Funktio G on funktion f integraalifunktio, jos ja vain jos G() = F() + C, jossa C on vakio. Todistus Osa Oletetaan, että G() = F() + C. Pitää osoittaa, että funktio G on funktion f integraalifunktio eli G () = f (). Tämä nähdään derivoimalla funktio G: G () = D(F() + C) = DF() + D(C) = f () + 0 = f (). Osa Oletetaan, että funktio G on funktion f integraalifunktio. Määritelmän mukaan tämä tarkoittaa, että G () = f (). Pitää osoittaa, että funktion G lauseke on muotoa G() = F() + C jollakin vakiolla C. Osoitetaan tämä näyttämällä, että funktioiden G ja F erotus eli funktio G() F() on vakiofunktio. Koska sekä F että G ovat funktion f integraalifunktioita, niin D(G() F()) = DG() DF() = f () f () = 0. Jos avoimen välin kaikissa pisteissä g () = 0, niin g() = C (vakio). Funktion G() F() derivaatta on siis koko määrittelyvälillä nolla. Kurssilla MAA6 esitetyn lauseen mukaan tästä seuraa, että funktio G() F() on vakiofunktio. Siis G() = F() + C jollakin vakiolla C.. Integraalifunktion määritelmä
Esimerkki Olkoon funktio f () =. a) Määritä funktion f kaikki integraalifunktiot. b) Piirrä funktion f neljän eri integraalifunktion kuvaajat. c) Määritä funktion f se integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, 5) kautta. Ratkaisu a) Kun tehtävänä on etsiä jonkin funktion kaikki integraalifunktiot, edellisen lauseen mukaan riittää löytää yksi sen integraalifunktioista. Muut integraalifunktiot saadaan lisäämällä tähän funktioon vakioita. Funktion f eräs integraalifunktio on, sillä D( ) =. Funktion f kaikki integraalifunktiot ovat F() = + C, jossa C voi olla mikä tahansa reaaliluku. b) Piirretään funktion f integraalifunktioiden kuvaajat esimerkiksi vakion C arvoilla, 0, ja 3. F () = F () = F 3 () = + F 4 () = + 3 4 3 y y = F 4 () y = F 3 () y = F () y = F () 3 4 5 Funktion f integraalifunktioiden kuvaajat saadaan toisistaan y-akselin suuntaisilla siirroilla. Appletti havainnollistaa syntyvää käyräparvea. c) Koska kysytyn integraalifunktion kuvaaja kulkee pisteen (, 5) kautta, funktio F() = + C saa kohdassa = arvon 5. F( ) = ( ) ( ) + C = + + C = + C Ratkaistaan ehdosta F( ) = 5 integroimisvakion C arvo. + C = 5 C = 3 Kysytty integraalifunktio on F() = + 3. Integraalifunktio
Esimerkki 3 a) Osoita derivoimalla, että funktiot F( ) =, > G( ) =, > b) Esitä G() muodossa F() + C., ja, ovat saman funktion integraalifunktioita. Ratkaisu a) Näytetään, että funktioilla F ja G on sama derivaattafunktio. F ( ) = D = D( ) = ( ) = ( ) G ( ) = D ( ) = ( ) = ( ) Du(s()) = u (s())s () Molemmat funktiot F ja G ovat funktion f( ) = ( ) integraalifunktioita. b) Ehto G() = F() + C on toisin sanottuna G() F() = C. Lasketaan funktioiden erotus. G( ) F( ) = = = Näin ollen G ( ) = F ( ) + = +. D f ( ) f ( ) g( ) f( ) g ( ) = g( ) ( g( )) Tämäkin lasku riittäisi osoittamaan, että F ja G ovat saman funktion integraalifunktioita.. Integraalifunktion määritelmä 3
Harjoitustehtävät YDINTEHTÄVÄT 0. Onko funktio F funktion f integraalifunktio? Perustele. a) F() = 3 + + ja f () = 3 + b) F() = 4 + + ja f () = 4 3 Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä. 0. Määritä funktion f () = 3 a) jokin integraalifunktio b) kaikki integraalifunktiot c) se integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, 3) kautta. 03. Määritä jotkin kolme funktion f () = integraalifunktiota ja piirrä niiden kuvaajat samaan koordinaatistoon sopivalla ohjelmalla. 04. Onko väittämä oikein vai väärin? Perustele. a) Funktiolla voi olla kaksi eri integraalifunktiota. b) Saman funktion kahden eri integraalifunktion kuvaajat eivät voi leikata toisiaan. 05. Päättele kuvaajien perusteella, mikä funktioista F, F ja F 3 voi olla polynomifunktion f integraalifunktio. Perustele. y y = f() y y = F () y y = F () y y = F 3 () 4 Integraalifunktio
VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. Osoita, että funktio F( )= + 3 on funktion 3 6 5 5 3 f () = 5 4 + 6 integraalifunktio. Määritä myös jokin toinen funktion f integraalifunktio. Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä. 07. Arvioi appletin avulla, mikä on se funktion f () = sin integraalifunktioista, jonka a) kuvaaja kulkee pisteen (π, 3) kautta b) suurin arvo on. 08. Määritä funktion f se integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, kun 0 a) f () = 4 3 b) f () = 5 4 c) f () = e. 09. Tarkastele funktiota f () =. a) Määritä jotkin kolme funktion f integraalifunktiota ja piirrä niiden kuvaajat samaan koordinaatistoon. b) Laske funktion f integraalifunktioiden arvojen erotus F(3) F() a-kohdan funktioille. Mitä huomaat? c) Päteekö päätelmäsi kaikille funktion f integraalifunktioille? Perustele. 0. Hahmottele ilman teknisiä apuvälineitä kuvaajan perusteella funktion f kolmen eri integraalifunktion kuvaajat. y y = f(). Ohessa on osa funktion f erään integraalifunktion F kuvaajasta. a) Minkä funktion integraalifunktioita G() = F() + ja H() = F() ovat? Perustele. b) Hahmottele funktion f kuvaaja ilman teknisiä apuvälineitä. y y = F() π π 3π π 5π 3π. Muuta pisteitä liikutellen appletin funktio f sellaiseksi, että sen a) kaikilla integraalifunktioilla F on paikallinen minimi kohdassa = ja paikallinen maksimi kohdassa = b) jollakin integraalifunktiolla on paikallinen maksimiarvo 0 c) kaikki integraalifunktiot ovat kasvavia vain välillä [, ].. Integraalifunktion määritelmä 5
3. Tutki funktion f () = integraalifunktioita F. Määritä kaikki mahdolliset seuraavista funktion F ominaisuuksista: ääriarvokohdat, ääriarvot ja ääriarvojen laatu. 4. Mitkä funktioista F( )=, F( )= + ja F3( )= ovat funktion f( )= integraalifunktioita, kun > 0? Esitä, jos mahdollista, funktioiden F ja F 3 lausekkeet muodossa F () + C. Käytä tarvittaessa apuna symbolisen laskennan ohjelmaa. 5. Vakiofunktiolla f () = on integraalifunktio F, jonka kuvaaja rajoittaa koordinaattiakselien kanssa 9 pinta-alayksikön suuruisen kolmion. Määritä F(). SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 6. Funktion f kuvaajalle pisteeseen (, y) piirretyn tangentin kulmakerroin on yhtä suuri kuin pisteen -koordinaatti. Lisäksi funktion pienin arvo on. a) Määritä f (). b) Mikä on kuvaajalle kohtaan = 3 piirretyn tangentin yhtälö? 7. Osoita, että funktiot F() = ln ja G() = ln(k) ovat saman funktion integraalifunktioita, kun > 0 ja k on positiivinen vakio. Esitä funktion G lauseke muodossa F() + C. 8. Funktion f derivaattafunktio on 3 +. Kuinka paljon funktion f arvo muuttuu kohdasta = kohtaan = 3 siirryttäessä? 9. Funktion f derivaattafunktion muutosnopeus kohdassa on 6. Tiedetään, että funktion f muutosnopeus on pienimmillään. Lisäksi funktiosta f tiedetään, että f () =. Määritä f (). 0. a) Olkoon F () = f (). Osoita, että funktion k f () integraalifunktiot ovat k F() + C, jossa C on vakio. b) Olkoon F () = f () ja G () = g(). Etsi funktion f () + g() jokin integraalifunktio. Perustele. 6 Integraalifunktio
. Polynomifunktion integrointi Digijohdanto: Muodosta integraalifunktiot. Johdanto Määritä funktion f () = n kaikki integraalifunktiot, kun n on positiivinen kokonaisluku. Ratkaisu Päätellään derivoimissääntöjen avulla funktio, jonka derivaattafunktio on f () = n. Listataan kokeilun tuloksia. derivointi derivointi D n = n n 3 3 3 3 4 4 3 Lisätään 4 4 3 sopiva 5 5 4 kerroin. 5 5 4 6 6 5 6 6 5 Kokeilun perusteella voidaan tehdä arvaus funktion n integraalifunktiosta: eksponentti kasvaa yhdellä ja kertoimeksi tulee uuden eksponentin käänteisluku. Integraalifunktio on siis n+. n + Tarkistetaan derivoimalla: D n + n = n + ( + ) =. n+ n+ n Funktion f () = n n+ kaikki integraalifunktiot ovat F( ) = + C. n + Funktion f kaikkien integraalifunktioiden muodostamista kutsutaan integroimiseksi ja integraalifunktioita merkitään symbolilla f ( ) d. Merkintä luetaan integraali f d. Merkintä d ilmaisee muuttujan, jonka suhteen integroidaan. 7 d integrointi 7 8 8 + C ( ) D 8 8 + C derivointi. Polynomifunktion integrointi 7
Seuraava lause sisältää polynomifunktioiden integroimiseen tarvittavat integroimissäännöt. Lause n n+ a) d = + C, kun n =,, 3, n + b) kd = k + C, kun k on vakio. c) kf( ) d = k f( ) d, kun k on vakio. ( ) = + d) f( ) + g( ) d f( ) d g( ) d Todistus a) Todistettiin johdannossa. b) Koska D(k) = k, funktio k on vakiofunktion f () = k integraalifunktio. Näin ollen funktion f () = k kaikki integraalifunktiot ovat muotoa F() = k + C, ts. kd = k + C. c) Jos F on funktion f jokin (mikä tahansa) integraalifunktio, niin D(kF()) = kf () = kf(). Näin ollen funktio kf on funktion kf integraalifunktio. Funktion kf kaikki integraalifunktiot ovat muotoa kf + C, eli kf( ) d = kf( ) + C. Tämä sääntö voidaan esittää muodossa kf( ) d = k f( ) d. d) Todistus on harjoitustehtävänä. 8 Integraalifunktio
Esimerkki Määritä. a) ( 3 + + 5d ) b) ( t+ ) dt Ratkaisu a) Edellisen lauseen perusteella polynomit voidaan integroida termeittäin ja kertoimet siirtää integrointimerkin eteen. ( 3 + + 5) d = 3 d+ d+ 5d + + = 3 + + 5+ C + + = 3 3 3 3 + + 5+ C = + + 5+ C Riittää lisätä yksi integroimisvakio C koko lausekkeen loppuun. b) Merkintä dt ilmaisee, että integroidaan muuttujan t suhteen. Kirjaimella ei sinänsä ole merkitystä: ( t+ ) dt lasketaan täysin samalla tavalla kuin ( + ) d. Aiemmin todistettuja sääntöjä ei nyt voida käyttää suoraan, vaan sulkeet on avattava, jotta integroitavaksi saadaan polynomilauseke. (t + ) = 4t + 4t + (a + b) = a + ab + b Polynomilauseke voidaan integroida muuttujan t suhteen edellä esitettyjä integrointisääntöjä käyttäen. ( t+ ) dt = ( 4t + 4t+ ) dt + + = 4 t + 4 t + t+ C + + 4 3 3 = t + t + t+ C Appletissa näytetään, miten integraalit voidaan laskea symbolisen laskennan ohjelmalla.. Polynomifunktion integrointi 9
Esimerkki Integroi funktio f, kun 3 4 a) f( )=, > b) f + 3 ( )=, <. + Ratkaisu a) Aiemmin todistettuja sääntöjä ei nyt voida käyttää suoraan, vaan lauseketta on sievennettävä, jotta integroitavaksi saadaan polynomilauseke. Funktion f lauseke voidaan sieventää polynomiksi funktion määrittelyjoukossa >. f( ) = 4 ( )( + ) = = + a b = (a b)(a + b) Siis f 4 ( ) d = d = ( ) d C + = + +, kun >. b) Jotta aiemmin todistettuja sääntöjä voidaan käyttää, funktion f lauseke on supistettava polynomiksi. 3 + 3 ( + 3 ) = + + = ( + )( ) + = ( ) = Tekijöihin jakaminen nollakohtien avulla: a + b + c = a( )( ) 3 + 3 Siis f( ) d = d = ( ) d + = 3 + C kun <. 3, 0 Integraalifunktio
Kirjaimet tulevat englannista: t = time s = space v = velocity a = acceleration Sovelluksissa tiedetään usein jonkin suureen muutosnopeus eli derivaatta. Tällöin suure voidaan selvittää integroimalla. Esimerkiksi kappaleen nopeus v on paikan s muutosnopeus: v(t) = s (t), kun t on aika. Näin ollen paikka s on jokin funktion v integraalifunktio. Vastaavasti kappaleen kiihtyvyys a on kappaleen nopeuden v muutosnopeus eli a(t) = v (t). Esimerkki 3 Pesäpallolukkari syöttää pallon suoraan ylöspäin alkunopeudella 0 m/s. Pallo irtoaa lukkarin kädestä metrin korkeudella maanpinnasta. Kappaleen putoamiskiihtyvyys maanpinnan läheisyydessä on vakio, noin 9,8 m/s. a) Määritä pallon nopeus t:n sekunnin kuluttua irtoamishetkestä. b) Kuinka korkealle pallo nousee? Ratkaisu a) Pallon irrottua sen nopeus vähenee 9,8 m/s sekunnissa (= 9,8 m/s ). Näin ollen pallon nopeuden v muutosnopeus on 9,8 m/s eli v (t) = 9,8. Tällöin vt () = 9,8dt = 9, 8t+ C. Alkunopeus on 0 m/s, joten v(0) = 0. Ratkaistaan tästä integroimisvakio. Koska v(0) = 9,8 0 + C = C, niin C = 0. Nopeus on siis v(t) = 9,8t + 0. Appletissa havainnollistetaan pallon liikettä. Selvyyden vuoksi yksiköt jätetään laskuista pois.. Polynomifunktion integrointi
b) Selvitetään ensin pallon paikan s eli korkeuden lauseke. Paikan derivaatta on nopeus eli s (t) = v(t), joten st () = vt () dt = ( 9,8t+ 0) dt = 98, t + 0t+ D = 4, 905t + 0t+ D. Pallo lähtee metrin korkeudelta, joten s(0) =. Ratkaistaan tästä ehdosta vakio D. Koska s(0) = 4,905 0 + 0 0 + D = D, niin D =. Pallon paikka hetkellä t on siis s(t) = 4,905t + 0t +. Ratkaistaan hetki, jolloin pallo on lakipisteessä eli jolloin sen nopeus on nolla: v(t) = 9,8t + 0 = 0, josta t =,09,0 (sekuntia). Kysytty pallon lakikorkeus saadaan laskemalla pallon paikka kyseisellä hetkellä: s(,09 ) = = 6,096 6 (metriä). Pallo nousee 6 metrin korkeudelle. Merkintä ilmaisee, että ratkaisusta on jätetty pois mekaanisia välivaiheita. Integraalifunktio
Harjoitustehtävät YDINTEHTÄVÄT. Yhdistä sanallinen esitysmuoto A C, symbolinen esitysmuoto I III sekä integraalifunktio 3. Ratkaise ilman teknisiä apuvälineitä. A. Funktion + integraali muuttujan suhteen. B. Funktion + integraali muuttujan suhteen. C. Funktion t + integraali muuttujan t suhteen. I. ( + ) d. t + t + C II. ( t+ ) dt. + + C III. ( + ) d 3. 3 3 + + C Määritä tehtävien 4 integraalit ilman teknisiä apuvälineitä.. a) 6 d b) 5 4 d c) 4d 3. a) 4d b) ( 3 + 3) d c) 4. Määritä funktion f kaikki integraalifunktiot, kun 3 3 a) f( )= 4 b) f () = 6 3 +. 4 3 d 5. a) Määritä ilman teknisiä apuvälineitä funktion f () = 6 4 + se integraalifunktio F, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta. b) Tarkista a-kohdan vastaus sopivalla ohjelmalla. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 6. Määritä ilman teknisiä apuvälineitä. 5 3 a) ( 8 5 + ) d b) ( 3 + ) d c) ( + )( 3 4d ) 7. a) Määritä ( t+ 3) d t ilman teknisiä apuvälineitä. b) Määritä funktion f (t) = 6t 3 + t se integraalifunktio F, jolle F(0) =. 8. Lue tarvittavat tiedot polynomifunktion f kuvaajalta ja määritä a) funktion f lauseke f () b) funktion f kaikki integraalifunktiot c) kohta, jossa saavutetaan funktion f jokaisen integraalifunktion pienin arvo. y y = f() 3 4. Polynomifunktion integrointi 3
9. a) Etsi appletin avulla se funktion f () = + 6 integraalifunktio F, jonka suurin arvo on 4. Mikä on funktion f arvo kohdassa, jossa F saavuttaa suurimman arvonsa? Miksi? b) Määritä ilman teknisiä apuvälineitä funktion h() = 4 8 se integraalifunktio H, jonka pienin arvo on 6. Määritä tehtävien 30 ja 3 integraalit ilman teknisiä apuvälineitä. 30. a) ( ) 3 9+ d b) ( t )( t+ ) d t c) d 6 3. a) ( ) d b) ( t) d t c) ( + 4)( )( + ) d 3. Integroi funktio f ilman teknisiä apuvälineitä, kun 8 + 5 3 a) f( ) =, < 3 b) f( ) =, >. 3 6 3 33. Määritetään funktion f () = 3 se integraalifunktio F, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = 3. a) Etsi F appletin avulla. Mikä on funktion f arvo sivuamiskohdassa? Miksi? b) Määritä funktio F laskemalla ilman teknisiä apuvälineitä. 34. Levosta lähtevän vapaasti putoavan kappaleen nopeus hetkellä t on likimain v()= t 0t t (m/s), kun 0 s t 0 s. a) Mikä on kappaleen nopeus 0 sekunnin kuluttua? b) Kuinka pitkän matkan kappale etenee ensimmäisten 0 sekunnin kuluessa? 35. a) Kuinka korkealle ihmisen on mahdollista heittää kappale? Ota lähtökohdaksi huippupesäpalloilijan heittonopeus, noin 50 km/h eli noin 4 m/s ( m/s = 3,6 km/h). Putoamiskiihtyvyys on maanpinnan läheisyydessä noin 9,8 m/s. b) Olympiastadionin tornin korkeus on 7 metriä. Pohdi a-kohdan tuloksen avulla, olisiko mahdollista heittää pesäpallo tornin yli. 36. Määritä ilman teknisiä apuvälineitä se funktion f () = 3 + 6 integraalifunktio F, jolla on paikallinen maksimiarvo 6. Tarkista ratkaisusi sopivan ohjelman avulla. 37. Määritä ne funktion f () = 3 + integraalifunktiot, jotka saavat pelkästään negatiivisia arvoja. 4 Integraalifunktio
SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 38. Metro kiihdyttää tasaisesti kiihtyvyydellä,0 m/s, ajaa tämän jälkeen tasaisella nopeudella 60 km/h ja jarruttaa lopuksi pysähdyksiin hidastuvuudella,0 m/s. Pysäkkien väliseen matkaan kuluu 3 minuuttia. Laske pysäkkien välimatka. 39. Funktio F on funktion f ja funktio G funktion g integraalifunktio. Onko väittämä tosi vai epätosi? Perustele. ( ) = + ( ( ) ( )) d = ( ) ( ) + a) f( ) g( ) d F( ) G( ) C b) f g F G C c) f( ) F( ) d = + C, k k k 40. Millä funktion f () = + integraalifunktiolla nollakohtien välisen janan pituus on 4? 4. Funktion f toisen kertaluvun derivaattafunktio on f () = 48 50. Funktiolla on maksimi f (0) = 36. Määritä funktion f nollakohdat ja ääriarvopisteet. Käytä tarvittaessa symbolisen laskennan ohjelmaa. ( ) = + 4. Todista teoriaosan lauseen kohta f( ) + g( ) d f( ) d g( ) d. n n+ 43. a) Osoita, että d = + C myös silloin, kun n =, 3, 4, n + Määritä 0 5 d. b) Miksi a-kohdan integrointikaava ei päde funktioon? Määritä d.. Polynomifunktion integrointi 5