YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 3 4 + 3 + = 0
Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen laskemalla Muhammad Bin Musa Al-Khwarizmi (syntyi 770 jkr Hivassa, toimi Bagdadissa) Nimittäjät pois (laventamalla samannimisiksi Sulut pois (kertomalla) ja kertomalla nimittäjä pois) Siirrot ( -termit vasemmalle,vakiot oikealle) (huom! siirrettyjen merkki vaihtuu) Yhdistelyt (-termit yhteen, muut yhteen) Jako :n kertoimella
Ratkaise yhtälö 3( 5) = (4 - ) 5 Sulut: 3 + 15 = 8-5 (Huom! siirrettyjen merkki vaihtuu) Siirrot: 3 + + 5 = 8-15 Yhdistelyt: 6 = -7 Jako :n kertoimella: -7 = 6 7 = - 6
Ratkaise yhtälö: 6 1 6 4 4 1 1 1. Nimittäjät pois laventamalla samannimisiksi yhteiseksi nimittäjäksi tulee 1 3) 1) 1) 6 1 6 4 1 4 1 1 sekä osoittaja, että nimittäjä kerrotaan laventajalla 18 3 6 4 144 Kerrotaan 1:lla, jolloin 1 1 1 nimittäjät saadaan pois (18 + 3) (6-4) = 144. Sulut pois Jatkuu...
Jatkoa... (18+3) (6-4) = 144. Sulut pois: 18 + 3 6 + 4 = 144 3. Siirrot: -termit vasemmalle, vakiot oikealle 18 + 3 6 + 4 = 144 18 6 144 = - 3-4 4. Yhdistelyt: -termit keskenään, vakiot keskenään -13 = -7 5. Jako :n kertoimella 7 7 = = 13 13
Tehtävä 1-4 3 - (kerrotaan ) 6 - (1-4) = sulut pois 6-1 + 4 = (Siirrot) 6 + 4 - = 1 8 = 1 (yhdistelyt) 1 = 8
Ei ratkaisua tai Kaikki käyvät Jos yhtälöstä katoaa, saadaan vastaukseksi joko EI RATKAISUA tai KAIKKI KÄYVÄT Esim 1: 5 = 8 + Siirrot: = 8 + 5 Yhdistelyt: 0 = 13 katosi, saatiin EPÄTOSI yhtälö Vastaus: Ei ratkaisua
Ei ratkaisua tai Kaikki käyvät Jos yhtälöstä katoaa, saadaan vastaukseksi joko EI RATKAISUA tai KAIKKI KÄYVÄT Esim : 8 + 6 = (4 + 3) 1. Sulut: 8 + 6 = 8 + 6. Siirrot: 8 8 = 6-6 3. Yhdistelyt: 0 = 0 katosi, saatiin AINA TOSI yhtälö Vastaus: kaikki käyvät ratkaisuksi
LAUSEKKEEN NOLLAKOHTA tarkoittaa sitä muuttujan arvoa, jolla lauseke saa arvon nolla. Lauseke merkitään nollaksi, ratkaistaan Esimerkiksi: Mikä on lausekkeen 5 nollakohta? 5 = 0 = 5 5 V: Nollakohta on 5
:n korkein eksponentti on Toisen asteen yhtälö a +b + c = 0 Kolme vaihtoehtoa vakiot a, b, c 1. vaillinainen toisen asteen yhtälö, -termi puuttuu: 3 5 = 0. vaillinainen toisen asteen yhtälö, vakiotermi puuttuu: 5 + 3 = 0 3. Täydellinen: kaikki mukana: 3 4 + = 0
Vaillinainen toisen asteen yhtälö -termi puuttuu ratkaistaan Minkä luvun neliö on 49? = 49 Ratkaistaan neliöjuuren otolla 7 49 Vastaus: = -7 tai = 7
Vaillinainen toisen asteen yhtälö -termi puuttuu ratkaistaan - 8 = 0 (ratkaistaan ) = 8 = 4 = 4 (jaetaan.lla) (otetaan neliöjuuri) = - TAI =
Vaillinainen toisen asteen yhtälö -termi puuttuu ratkaistaan Määritä funktion f() = 9 4 nollakohdat Funktion nollakohta tarkoittaa niitä :n arvoja, joissa funktion lauseke = 0. Merkitään funktion lauseke nollaksi: 9 4 = 0 9 = 4 4 9 Vastaus 4 9 3 : =- tai = 3 3
Esim. 9 0 16 0 9 16 9 3 3 tai = 3 16 Ei ratkaisua!
Yhtälö valmiina tulon muodossa (3 + 6)( 1) = 0 tulontekijät nolliksi 3+6 = 0 1 = 0 3 = -6 = - = 1 1 = ratkaistaan yhtälöt 1 Vastaus: = - TAI =
Vaillinainen toisen asteen yhtälö vakiotermi puuttuu tulon muotoon 9 = 0 (vakiotermi puuttuu) Tulon muotoon ottamalla eteen ( 9) = 0 tulon tekijät merkitään nolliksi = 0 9 = 0 = 9 ratkaistaan yhtälöt Vastaus: = 0 TAI = 9
Tehtävä Määritä funktion f() = + 8 nollakohdat Merkitään funktion lauseke nollaksi ja ratkaistaan :n arvot. + 8 = 0 ( + 8) = 0 = 0 + 8 = 0 = -8 Vastaus: Nollakohdat ovat = 0 TAI = -8
Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen (täydellinen yhtälö) a + b + c = 0 katsotaan a, b ja c ja käytetään ratkaisukaavaa (katso taulukkokirjan sivu ) = -b ± b - 4ac a
Esimerkki täydellisestä. asteen yhtälöstä + 6 = 0 a=1 b=1 c=-6 b b 4ac a 1 1 4 1 ( 6) 1-5 1 1 1+4 1 5 1 5 3 V: = -3 TAI =
Ei ratkaisua Jos ratkaisussa neliöjuuren alla on negatiivinen luku, toisen asteen yhtälöllä ei ole ratkaisua. + + 10 = 0 a=1 b = c = 10 b b 4ac a 4 1 10 1 36 negatiivinen V: Ei ratkaisua
Tehtävä Määritä funktion f ( ) 6 10 nollakohdat Merkitään funktion lauseke nollaksi: 6 10 0 a = 1 b = -6 c = 10 b b 4ac a ( 6) ( 6) 4 1 10 1 6 4 Ei ratkaisua!
Toisen asteen yhtälön ratkaisut Paraabelin kuvaaja Ratkaisukaavan neliöjuurimerkin alle tulee positiivinen luku Ratkaisukaavan neliöjuurimerkin alle tulee nolla Ratkaisukaavan neliöjuurimerkin alle tulee negatiivinen luku Kaksi ratkaisua Yksi ratkaisu Ei ratkaisuja Yhtälöiden ratkaiseminen