Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Esitta ja : Sebastian Siikavirta
Johdantoa peliteoriaan - ka ytetyt termit Peliteoria tutkii pelaajien toimintaa peleissa. Mika on peli? Mika on pelaaja? Peli tarkasti ma a ritelty valintatilanne. Pelissa pa a ma a ra. Pelaaja toimija ta ssa tilanteessa. Pelaaja voi olla ihminen, tekoa ly, ela in, joukko ihmisia...
Strategiapelit Peli on strategiapeli jos siina on interaktiivista pa a to ksen tekoa. pelaajalla monta valintaa valintaa voi vaihtaa? sama kuin monta valintaa sa a nno t ja pa a ma a ra ma a ritelty ja rajattu pelaajan pa a to s vaikuttaa muihin pelaajiin pelaaja saa tieta a muiden pa a to kset, ainakin seurausten kautta muiden pa a to kset tietoon vasta oman pa a to ksen ja lkeen
Strategiapelit taulukkona A a rellinen strategiapeli voidaan esitta a taulukkona. pelaajien pa a to kset akseleilla, vain kaksi pelaajaa 2-ulotteisessa taulukossa taulukossa numerot pelaajien hyo ty pa a to ksilla t1 t2 t1 1,2 2,4 t2 1,2 2,4 t1 ja t2 mahdolliset pa a to kset 1,2, tarkoittaa etta rivin valitsija hyo tyy 1, sarakkeen 2
Nashin tasapaino Tilanne strategiapelissa jossa yksika a n pelaajan ei hanki muuttamalla strategiaansa. oletus etta pelaajia a a rellinen ma a ra, va hinta a n 1 pelaajat rationaalisia ja itsekka ita pyrkiva t jokaisella valinnalla suoraan hyo tyyn pelaajat tieta va t muutkin rationaalisiksi Pelaaja ei voi pa a sta parempaan tilanteeseen jos kaikki pyrkiva t parhaaseen.
Strategiapeli formaalisti Ma a ritelma 11.1 Strategiapeli on kolmikko hn, (Ai), ( i)i: a a rellinen joukko pelaajia N epa tyhja joukko Ai mahdollisia toimintoja i N toiminnan hyo dyn ja rjestysrelaatio i A:ssa i N
Seuraus toimien sijaan. Joskus pelaajien toimet parempi esitta a toimien seurauksina kuin itse toimina. Ma a ritella a n etta C on kaikkien toimien seurasten joukko. Kytketa a n toimet ja seuraus yhteen funktiolla: g:a C Ja ma a ritella a n hyo dyn ja rjestysrelaatio myo s seurauksille: aj i ak jos ja vain jos g(aj ) i g(ak )
Satunnaistatapahtuma Joskus teon seuraukseen vaikuttaa satunnaistapahtuma. satunnaistapahtumaa ei voi etuka teen ennustaa Funktiossa g satunnaistapahtuma on otettava huomioon. Olkoon Ω todena ko isyysavaruus satunnaistapahtumalle. Ma a ritella a n viela funktio g uudelleen: g :A Ω C Nyt g(a, ω) on seuraus kun: a A satunnaistapahtuma on ω Ω
Seuraus hyo tyna Yleensa ja rjestysrelaatio on parempi kuvata pelaajan toimintojen seurausten sijasta hyo tyna pelaajalle. Hyo ty voidaan kytkea toimintaan hyo tyfunktiolla: ui : A R Ma a ritella a n funktio ja rjestysrelaation kautta: pelaajan hyo ty ui(a) ui(b) aina kun a i b Yleensa pelia ka sitella a n ja rjestysrelaation sijasta hyo tyfunktiolla.
Nashin tasapainon ma a ritelma Nashin tasapaino strategiapelissa hn, (Ai), ( i)i on tekojen mahdollisuus(profiili) a A jolla on ominaisuus jokaiselle pelaajalle i N: (a i, a i ) i (a i, ai) : ai A a i on kaikki muut paitsi pelaajan :n toimintamahdollisuudet ai pelaajan i toiminta Tilanne on Nashin tasapaino kun: a i ei paranna pelaajan i mahdollisuuksia Siis mika a n pelaajan toiminta ei paranna ha nen asemaansa nykyisesta tilanteesta. koskee kaikkia pelaajia
Vaihtoehtoinen ma a ritelma lle Nashin tasapainon voi ma a ritella myo s vastauksena muiden tekemiin siirtoihin. Mille tahansa a i A i : B(a i) on joukko parhaita siirtoja pelaajalle i kun a i: Bi(a i) = ai A : (a i, ai) i (a i, a0i) a0i A kutsutaan Bi parhaan vastauksen funktioksi pelaajalle i a i muiden kuin pelaaja i:n teot Nyt jos a i Bi(a i) i N niin: a i on pelaaja i:n paras vastaus muiden pelaajien siirtoihin jos vain yksi alkio, Nashin tasapaino mahdollista lo yta a Jos a i ei paranna pelaajan mahdollisuuksia, on tilanne Nashin tasapaino.
Kakutanin kiintopistelause(fixed point theorem) Onko pelissa Nashin tasapaino? Kakutanin kiintopistelause kertoo. Olkoon X euklidisen avaruuden alijoukko joka on epa tyhja rajoitettu ja suljettu konveksi. Olkoon f : X X siten etta : f (x) epa tyhja konveksi kaikilla x X f :n pita a olla suljettu Jos molemmat ehdot ta yttyva t, niin pelissa on va hinta a n yksi Nashin tasapaino. kertoo olemassaolon, ei ma a ra a
Vangin dilemma Klassinen peli jossa Nashin tasapaino. Kaksi epa iltya eri eristysselleissa. jos molemmat tunnustavat, saavat molemmat 3 vuotta linnaa jos molemmat ovat tunnustamatta, saavat molemmat 1 vuoden linnaa jos toinen tunnustaa toista vastaan, vapautuu tunnustanut ja toinen saa 4 vuotta tunnustaa ei tunnusta tunnustaa 3,3 0,4 ei tunnusta 4,0 1,1
Kivi - paperi - sakset Kaikissa peleissa ei ole Nashin tasapainoa. Esimerkkina kivi-paperisakset, johon tehty muutos. Ajatuksena etta pa a to ksensa voi muuttaa. kivi paperi sakset kivi 0,0-1,1 1,-1-1,1 paperi 1,-1 0,0 sakset -1,1 1,-1 0,0 Pelaaja joka saa -1, kannattaa aina vaihtaa pa a to sta a n. Pelissa ei pa a se syntyma a n tasapainoa.
Yhteenveto Strategiapelit interaktiivisia valintatilanteita. Ne on mahdollista esitta a formaalisti kolmikkona hn, (Ai), ( i)i. Nashin tasapaino on tilanne. ei va ltta ma tta edullisin tilanne Nashin tasapaino esiintyy joissakin strategiapeleissa. Kakutanin kiintopistelause paljastaa onko sita pelissa
Kysymyksia Mihin ta ta nyt ka yteta a n? Mita hyo tya? Miten pa a dyta a n Nashin tasapainoon?