Integraalifunktio. Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5

Samankaltaiset tiedostot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Matematiikan tukikurssi

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

Testaa taitosi Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

Talousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä

Yleisiä integroimissääntöjä

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

Matematiikan tukikurssi

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi

Yhdistetty funktio. Älä sekoita arvo- eli kuvajoukkoa maalijoukkoon! (wikipedian ongelma!)

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

Matematiikan tukikurssi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

Matematiikan tukikurssi

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA

Matematiikan tukikurssi

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

cos x cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä

Matematiikan tukikurssi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / 3

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: /10000=10

Kompleksianalyysi, viikko 4

Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille

3 Määrätty integraali

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

5. OSITTAISINTEGROINTI

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)

Rationaalilauseke ja -funktio

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Koontitehtäviä luvuista 1 9

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!

1 Di erentiaaliyhtälöt

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

Matematiikan peruskurssi MATY020

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

Transkriptio:

Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5

Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? Derivaatta a) 3x 2 Funktio MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5

Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? Derivaatta Funktio a) 3x 2 x 3 MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5

Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? Derivaatta Funktio a) 3x 2 x 3 b) 2x MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5

Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? Derivaatta Funktio a) 3x 2 x 3 b) 2x x 2 tai x 2 + C, C R MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5

Määritelmä Funktio F on funktion f integraalifunktio, jos jokaisessa f :n määrittelyjoukon pisteessä x (lyhyesti: kaikilla x). MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 2 / 5

Määritelmä Funktio F on funktion f integraalifunktio, jos jokaisessa f :n määrittelyjoukon pisteessä x (lyhyesti: kaikilla x). E1) Onko F (x) = 1 5 x 5 + 8 funktion f (x) = x 4 integraalifunktio? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 2 / 5

Määritelmä Funktio F on funktion f integraalifunktio, jos jokaisessa f :n määrittelyjoukon pisteessä x (lyhyesti: kaikilla x). E1) Onko F (x) = 1 5 x 5 + 8 funktion f (x) = x 4 integraalifunktio? V: F (x) = 1 5 5x 4 = x 4 = f (x) MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 2 / 5

Määritelmä Funktio F on funktion f integraalifunktio, jos jokaisessa f :n määrittelyjoukon pisteessä x (lyhyesti: kaikilla x). E1) Onko F (x) = 1 5 x 5 + 8 funktion f (x) = x 4 integraalifunktio? V: On F (x) = 1 5 5x 4 = x 4 = f (x) MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 2 / 5

Palataan alun pohdintatehtävään: Derivaatta Funktio 2x x 2 + C, C R MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 3 / 5

Palataan alun pohdintatehtävään: Derivaatta Funktio 2x x 2 + C, C R f (x) F (x) + C MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 3 / 5

Palataan alun pohdintatehtävään: Derivaatta Funktio 2x x 2 + C, C R f (x) F (x) + C Lause Jos f :n määrittelyjoukko on väli ja F on eräs funktion f integraalifunktio, niin tällöin kaikki f :n integraalifunktiot ovat muotoa (Perustelut kirjan kappaleessa) F (x) + C, C R. MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 3 / 5

E2) Määritä funktion f (x) = 4x + 1 a) kaikki integraalifunktiot, b) se integraalifunktio F, jolle F (2) = 0. MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 4 / 5

E2) Määritä funktion f (x) = 4x + 1 a) kaikki integraalifunktiot, b) se integraalifunktio F, jolle F (2) = 0. Ratk. a) F (x) = 4x + 1, joten F (x) = MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 4 / 5

E2) Määritä funktion f (x) = 4x + 1 a) kaikki integraalifunktiot, b) se integraalifunktio F, jolle F (2) = 0. Ratk. a) F (x) = 4x + 1, joten F (x) = 2x 2 + x MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 4 / 5

E2) Määritä funktion f (x) = 4x + 1 a) kaikki integraalifunktiot, b) se integraalifunktio F, jolle F (2) = 0. Ratk. a) F (x) = 4x + 1, joten F (x) = 2x 2 + x + C, C R MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 4 / 5

E2) Määritä funktion f (x) = 4x + 1 a) kaikki integraalifunktiot, b) se integraalifunktio F, jolle F (2) = 0. Ratk. a) F (x) = 4x + 1, joten F (x) = 2x 2 + x + C, C R Huom! Tarkastus derivoimalla! (Siis että ) MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 4 / 5

E2) Määritä funktion f (x) = 4x + 1 a) kaikki integraalifunktiot, b) se integraalifunktio F, jolle F (2) = 0. Ratk. a) F (x) = 4x + 1, joten F (x) = 2x 2 + x + C, C R Huom! Tarkastus derivoimalla! (Siis että ) b) F (2) = 2 2 2 + 2 + C MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 4 / 5

E2) Määritä funktion f (x) = 4x + 1 a) kaikki integraalifunktiot, b) se integraalifunktio F, jolle F (2) = 0. Ratk. a) F (x) = 4x + 1, joten F (x) = 2x 2 + x + C, C R Huom! Tarkastus derivoimalla! (Siis että ) b) F (2) = 2 2 2 + 2 + C = 0 MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 4 / 5

E2) Määritä funktion f (x) = 4x + 1 a) kaikki integraalifunktiot, b) se integraalifunktio F, jolle F (2) = 0. Ratk. a) F (x) = 4x + 1, joten F (x) = 2x 2 + x + C, C R Huom! Tarkastus derivoimalla! (Siis että ) b) F (2) = 2 2 2 + 2 + C = 0 8 + 2 + C = 0 MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 4 / 5

E2) Määritä funktion f (x) = 4x + 1 a) kaikki integraalifunktiot, b) se integraalifunktio F, jolle F (2) = 0. Ratk. a) F (x) = 4x + 1, joten F (x) = 2x 2 + x + C, C R Huom! Tarkastus derivoimalla! (Siis että ) b) F (2) = 2 2 2 + 2 + C = 0 8 + 2 + C = 0 C = 6 MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 4 / 5

E2) Määritä funktion f (x) = 4x + 1 a) kaikki integraalifunktiot, b) se integraalifunktio F, jolle F (2) = 0. Ratk. a) F (x) = 4x + 1, joten F (x) = 2x 2 + x + C, C R Huom! Tarkastus derivoimalla! (Siis että ) b) F (2) = 2 2 2 + 2 + C = 0 8 + 2 + C = 0 C = 6 Siis F (x) = MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 4 / 5

E2) Määritä funktion f (x) = 4x + 1 a) kaikki integraalifunktiot, b) se integraalifunktio F, jolle F (2) = 0. Ratk. a) F (x) = 4x + 1, joten F (x) = 2x 2 + x + C, C R Huom! Tarkastus derivoimalla! (Siis että ) b) F (2) = 2 2 2 + 2 + C = 0 8 + 2 + C = 0 C = 6 Siis F (x) = 2x 2 + x + 6. MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 4 / 5

Tehtäviä: s. 25 26, teht. 24 27 ja 32 (ks. Esim. 3 s.23) MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 5 / 5

Tehtäviä: s. 25 26, teht. 24 27 ja 32 (ks. Esim. 3 s.23) Kotiin teht. 35 38, 40 MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 5 / 5