Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.

Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen avaruuden osajoukko, ja kuvajoukko on m-ulotteinen. Tällaisia funktioita sanotaan vektorifunktioiksi. Määritellään vektorifunktion derivaatta. Keskeinen ajatus: Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella. Tavoite on oppia laskemaan osittaisderivaattoja, usean muuttujan reaalifunktion derivaatta ja gradientti. CDH: 7.7 (n-ulotteiset vektorit) CDH: 26.1-26.3 (osittaisderivaatat ja gradientti) 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/24 24

Lineaarialgebraa (MApu I) Tason R 2 vektorit: a = a 1 i + a 2 j voidaan esittää lukuparina a (a 1, a 2 ) a 1 = a i, a 2 = a j. a + b = (a 1, a 2 ) + (b 1, b 2 ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2 ), λa = λ(a 1, a 2 ) = (λa 1, λa 2 ), a = a a = a 2 1 + a 2 2. a b = a 1 b 1 + a 2 b 2. Vastaavasti kolmiulotteiset vektorit: a = a 1 i + a 2 j + a 3 k (a 1, a 2, a 3 ). 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 2/24 24

Vektoriavaruus R n (CDH: 7.7) Avaruus R n koostuu vektoreista x = (x 1, x 2,..., x n ). Vektoreiden x ja y summa ja reaaliluvulla kertominen: x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ), λx = (λx 1, λx 2,..., λx n ). Vektorit ovat {v 1, v 2,..., v m } ovat lineaarisesti riippumattomat (LI), jos niitä ei voida lausua toistensa lineaarikombinaationa. a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a m v m = 0 a 1 = a 2 =... a m = 0. Avaruudessa R n n LI vektorin joukko on kanta. 3 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 3/24 24

Kanta Standardikanta: {e 1, e 1,..., e n }, missä e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1). Tällöin jokainen x R n voidaan esittää n x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n = x k e k. vrt R 3 : e 1 = i, e 2 = j, e 3 = k. k=1 4 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 4/24 24

Sisätulo ja normi Vektorien x, y R n sisätulo: Vektorin x normi: n x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n = x k y k. k=1 x = x x = Ortogonaalisuus: x y = 0. x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n = n x 2 n. k=1 Erityisesti standardikanta: e i e j = δ ij, (i, j = 1,..., n). 5 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 5/24 24

Lineaarikuvaukset Kuvaus F : R n R m on lineaarinen jos kaikille x, y R n ja λ, µ R pätee F (λx + µy) = λf (x) + µf (y). Esimerkkejä: Skaalaus F : R n R n, F (x) = αx. Tutkitaan määritelmän avulla: F (λx + µy) = α(λx + µy) = λ(αx) + µ(αy) = λf (x) + µf (y). Projektio: F : R 3 R 2, F (x, y, z) = (x, y). Vastaavasti: F (λx+µy) = (λx 1 +µx 2, λy 1 +µy 2 ) = λ(x 1, y 1 )+µ(x 2, y 2 ) = λf (x)+µf (y). Lisää esimerkkejä: harjoitus 5/ tehtävä 1. Lineaarikuvauksiin (ja matriiseihin) palataan MApu III:lla. 6 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 6/24 24

Johdantoa CDH: 26.1-26.3 Tarkastellaan kuvausta f : G R m, f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)), missä G R n. Kuvaukset f i : G R m ovat funktion f komponenttifunktiot. n = 1 = m: reaalifunktio (MApu I), m > 1 tai n > 1: f on vektorifunktio. m > 1: f on vektoriarvoinen Miten raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan käsitteet yleistyvät vektorifunktioille? 7 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 7/24 24

Yhden muuttujan vektorifunktiot (vektorikenttä) Tarkastellaan funktiota f : R m, f(t) = (f 1 (t), f 2 (t),..., f m (t)). Nyt raja-arvon, jatkuvuuden ja derivoituvuuden käsitteet palautuvat komponenttifunktioiden kautta reaalifunktioiden tilanteeseen (MApu I). Raja-arvo a R m pisteessä t 0 : lim t t0 f(t) = a, jos jokaiselle f i, i = 1,..., m pätee lim t t0 f i (t) = a i. f on derivoituva pisteessä t, jos raja-arvo f(t + t) f(t) lim t 0 t on olemassa. Raja-arvoa merkitään f (t). Funktio f on derivoituva pisteessä t aina ja vain kun jokainen komponenttifunktio f i on derivoituva pisteessä t ja f (t) = (f 1(t), f 2(t),..., f m(t)). Korkeammat derivaatat kuten reaalifunktioille. 8 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 8/24 24

Usean muuttujan funktion raja-arvo Tarkastellaan funktiota f : A R m, missä A R n. Funktiolla f on pisteessä x 0 raja-arvo a jos etäisyys f(x) a saadaan mielivaltaisen pieneksi missä tahansa pisteessä x x 0, joka on riittävän lähellä pistettä x 0, eli x x 0 on riittävän pieni. Taas tarkastelu palautuu komponenttifunktioihin: funktiolla f on raja-arvo a lim x x 0 f(x) = a, täsmälleen silloin, kun jokaiselle komponenttifunktiolle lim f i (x) = a i. x x 0 9 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 9/24 24

Usean muuttujan funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktio f : A R m, missä A R n on jatkuva pisteessä x 0 A jos lim x x 0 f(x) = f(x 0 ), ja jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa pisteessä x A. Vektoriarvoinen funktio on jatkuva täsmälleen silloin, kun jokainen komponenttifunktio on jatkuva. 10 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 10/24 24

Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota f(x, y). Pidetään y vakiona ja merkitään g y (x) = f(x, y). Funktion osittaisderivaatta x:n suhteen on g y(x). Osittaisderivaatta y:n suhteen vastaavati. Lasketaan funktion osittaisderivaatat f(x, y) = { xy x 2 +y 2, kun (x, y) (0, 0) 0, kun (x, y = (0, 0). Ratkaisu: Tarkastellaan aluksi tilannetta (x, y) 0 ja lasketaan osittaisderivaatat f x (x, y) = y3 x 2 y (x 2 + y 2 ) 2, f y (x, y) = x3 y 2 x (x 2 + y 2 ) 2. Pisteessä (x, y) = (0, 0) osittaisderivaatat saadaan erotusosamäärän raja-arvoina: x f(0, 0) = 0 = y f(0, 0). 11 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 11/24 24

Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus...esimerkki jatkuu Esimerkin funktiolla on siis olemassa osittaisderivaatat kaikkialla. Tarkastellaan funktion jatkuvuutta: Jos lähetymme origoa koordinaattiakselin suunnissa, niin funktion arvo origon lähellä on nolla. Jos lähestymme origoa suoraa y = x pitkin, on funktion arvo 1/2. Näin ollen funktiolla ei siis ole raja-arvoa origossa, eikä se ole jatkuva. Siis: pelkkä osittaisderivaattojen olemassaolo ei ole hyvä derivoituvuuden määritelmä, koska haluttaisiin, että derivoituva funktio on myös jatkuva (kuten yhden muuttujan reaalifunktio). 12 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 12/24 24

Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus Haluamme, että derivoituva funktio on aina jatkuva (kuten reaalifunktion tapauksessa). Merkitään h x x 0. Silloin reaalifunktion derivaatan määritelmä sanoo f(x 0 + h) f(x 0 ) f (x 0 )h lim h 0 h = 0, ja tarkoittaa, että voimme approksimoida funktiota pisteen x 0 ympäristössä ensimmäisen asteen polynomilla. Yleistetään tämä: f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) ah bk lim (h,k) (0,0) (h, k) missä a, b R. Erityisesti havaitaan, että a = f x (x 0, y 0 ) b = f y (x 0, y 0 ). (Tarkastele määritelmää akselien suunnassa, eli kun k = 0 tai h = 0) = 0, 13 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 13/24 24

Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus Kahden muuttujan funktio f on differentioituva pisteessä (x 0, y 0 ), jos sillä on olemassa osittaisderivaatat pisteessä (x 0, y 0 ) ja lisäksi pätee f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) f(x 0,y 0 ) h f(x 0,y 0 ) k x y lim (h,k) (0,0) (h, k) = 0. Lineaarikuvausta (h, k) f x (x 0, y 0 )h + f y (x 0, y 0 )k kutsutaan f:n differentiaaliksi eli derivaataksi pisteessä (x 0, y 0 ) ja merkitään df(x 0, y 0 ). 14 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 14/24 24

Differentioituvuus geometrisesti Tarkastellaan edelleen kahden muuttujan funktiota f(x, y). Differentioituvuus tarkoittaa, että funktion kuvaajalla z = f(x, y) on pisteessä (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) tangenttitaso. Tämä taso on 1. asteen polynomin T (x, y) = f(x 0, y 0 ) + df(x 0, y 0 )(x x 0, y y 0 ), kuvaaja. Vertaa: = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) Reaalifunktion f : R R approksimaatio pisteen x 0 ympäristössä: tangenttisuora. Vektorifunktion f : G R 2 R approksimaatio pisteen (x 0, y 0 ) G ympäristössä: tangenttitaso. 15 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 15/24 24

Esimerkki Esimerkki Tutki funktion f(x, y) = x 2 + y 2 differentioituvuutta. Ratkaisu: Osittaisderivaatat: differentioituvuutta laskemalla f f x (x, y) = 2x, y (x, y) = 2y. Selvitellään f(x + h, y + k) f(x, y) f f x (x, y)h y (x, y)k, (h, k) = (x + h)2 + (y + k) 2 x 2 y 2 2xh 2yk h2 + k 2, = h2 + k 2 = (h, k), h2 + k2 ja tämä lähestyy nollaa kun (h, k) (0, 0). Siis funktio on differentioituva kaikkialla ja sen differentiaali pisteessä (x, y) on df(x, y)(h, k) = 2xh + 2yk. 16 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 16/24 24

Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus n-ulotteinen tapaus Seuraavissa määritelmissä esiintyy muutamia topologisia käsitteitä; määritellään ne tässä. Olkoon A R n joukko. Piste x A on joukon A sisäpiste, jos jokin x-keskinen avoin pallo B(x, r) = {x R n : x x 0 < r} sisältyy joukkoon A. Joukko A on avoin, jos sen jokainen piste on sisäpiste. Piste x A on joukon A reunapiste, jos jokainen avoin pallo B(x, r) leikkaa sekä joukkoa A, että sen komplementtia. Joukko A on suljettu, jos se sisältää kaikki reunapisteensä. Avoimen joukon käsitettä tarvitaan raja-arvotarkasteluissa, jotta tarkastelupisteen ympärille saadaan tilaa. HUOM: seuraavissa määritelmissä x R n, eli x on n-komponenttinen vektori. 17 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 17/24 24

Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus n-ulotteinen tapaus Seuraavissa määritelmissä oletetaan, että G R n on avoin joukko ja t R. Funktion f : G R osittaisderivaatta muuttujan x i suhteen pisteessä x on f f(x + te i ) f(x) (x) = lim, x i t 0 t mikäli raja-arvo on olemassa. = lim t 0 f(x 1,..., x i + t,... x n ) f(x 1,..., x i,..., x n ) t Osittaisderivaatta x i :n suhteen lasketaan siis kuten tavallinen derivaatta pitämällä muut muuttujat vakioina. Osittaisderivaatta toteuttaa reaalifunktiolle tutut derivointisäännöt. Osittaisderivaattaa merkitään mm. f x i (x) = i f(x) = xi f(x) = D xi f(x). Osittaisderivaatta i f(x) kertoo funktion kasvunopeuden x i -akselin suuntaan pisteessä x. 18 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 18/24 24

Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus n-ulotteinen tapaus Funktion kasvunopeuden mielivaltaiseen suuntaan antaa suunnattu derivaatta: Funktion f : G R suunnattu derivaatta yksikkövektorin e suuntaan pisteessä x on f(x + te) f(x) e f(x) = lim, t 0 t mikäli raja-arvo on olemassa. Suunnattu derivaatta vektorin a 0 suuntaan on suunnattu derivaatta a:n suuntaisen yksikkövektorin suuntaan. 19 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 19/24 24

Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus n-ulotteinen tapaus Differentioituvuus: Funktio f : G R on differentioituva pisteessä x G, jos sillä on olemassa kaikki osittaisderivaatat i f(x) ja lisäksi lim u 0 f(x + u) f(x) n i=1 if(x)u i = 0. u Lineaarikuvausta df(x) : R n R, df(x)u = n i=1 if(x)u i sanotaan f:n differentiaaliksi eli derivaataksi pisteessä x. Funktio on differentioituva, jos se on differentioituva jokaisessa Differentioituvuus siis tarkoittaa sitä, että erotusta f(x + u) f(x) voidaan approksimoida pisteen x lähellä lineaarikuvauksella: f(x + u) = f(x) + df(x)u + O( u ). Erityisesti siis differentioituva funktio on jatkuva. 20 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 20/24 24

Esimerkki Differentiaalin avulla voidaan mm. tehdä virhearvioita: Esimerkki Suorakulmion muotoisen levyn sivujen pituudet x ja y on mitattu 0.5% tarkkuudella. Mikä on näiden perusteella lasketun pinta-alan tarkkuus? Ratkaisu: Pinta-ala on A(x, y) = xy, joka on differentioituva funktio. Lasketaan siis A = A(x + x, y + y) A(x, y) da(x, y)( x, y) = A x A x + y = y x + x y. y Tästä saadaan suhteelliselle virheelle A A x x + y y = 1%. 21 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 21/24 24

Reaalifunktion f gradientti Funktion f : G R gradientti pisteessä x G on vektori gradf(x) = f(x) = ( 1 f(x), 2 f(x),..., n f(x)). Gradientin avulla differentiaali voidaan kirjoittaa: df(x)u = f(x) u. Fysiikassa differentiaalia merkitään usein: n df(x) = i f(x)dx i. i=1 22 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 22/24 24

Reaalifunktion f gradientti Jos funktio f : G R on differentioituva, niin sen suunnattu derivaatta yksikkövektorin e suuntaan on e f(x) = f(x) e. Gradientin geometrinen tulkinta: f(x) antaa funktion f nopeimman kasvun suunnan pisteessä x. Huom: Osittaisderivaattojen jatkuvuus takaa funktion differentioituvuuden. Funktiota, jolla on olemassa jatkuvat osittaisderivaatat sanotaan jatkuvasti differentioituvaksi. Useimmat fysiikassa kohtaamamme funktiot ovat tällaisia. 23 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 23/24 24

Derivointisääntöjä Kootaan vielä lopuksi derivointisääntöjä. Olkoot funktiot f ja g : G R (jatkuvasti) differentioituvia ja λ R sekä h : R R (jatkuvasti) derivoituva. Tällöin f + g, λf, fg ja h f ovat (jatkuvasti) differentioituvia ja d(f + g) = df(x) + dg(x), d(λf)(x) = λdf(x), d(fg)(x) = f(x)dg(x) + g(x)df(x), d(h f)(x) = h (f(x))df(x). Jos yhden muuttujan funktio g : G R n ja funktio f : G R ovat (jatkuvasti) differentioituvia, niin yhdistetty kuvaus f g : R on (jatkuvasti) derivoituva ja (f g) (t) = f(g(t)) g (t). 24 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 24/24 24