Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna on sama.
. a) Vektorin 4i komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion, onka kateetit ovat 4 a. Vektorin 4i pituus on suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus. 4 + = x x = 0 x = 0 5 (tai x = 0 5 ) Vektorin 4i. pituus on 0 5 b) Vektorin xi y komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion, kuten a-kohdassa. vektorin xi y pituus saadaan Pythagoraan lauseella. x y xi y xi y x y
. Kaksiulotteisen koordinaatiston kantavektorit YDINTEHTÄVÄT 0. a) a5i, b 4i a c b 4i 4i 4 4 a c b) 0. a) ui 4 HUOM! Vektoreiden siainnilla koordinaatistossa ei ole merkitystä. u ( 4) 96 5 5 0 u i 4 u i 4 u 5 5 5 b) Vektorin v pituus on 5, oten sen pituus on kolminkertainen vektorin u pituuteen verrattuna. Koska v on vastakkaissuuntainen vektorin u kanssa, tulee olla vu (i4 ) 9i.
c) 0. a) OA 4i b) B = ( 5, ) 04. a) ai 5 a bi 7 ab(i5 ) ( i7 ) i5 i7 5i ab 5 ( ) 5 44 69 b) ab(i5 ) ( i7 ) 6i0i7 4i ab 4 ( ) 69 5 5
05. a) b) OA i 7 OB OA AB i 7 8i 5i 5 Pisteen B koordinaatit ovat (5, 5). c) Pisteen B etäisyys origosta on paikkavektorin OB pituus. OB 5 5 55 5 5 7,07... 7 (cm) Pisteen B etäisyys origosta on 7 cm. 06. a) Pisteen A paikkavektori on OA i 5. Määritetään pisteen C paikkavektori. OC OA AB BC i57i5i4 i4 Piste C on (, 4).
b) 07. a) AB (6 ( )) i ( 4) 8i b) Piste P akaa anan AB suhteessa :, oten AP AB. Määritetään piste P muodostamalla sen paikkavektori. OP OA AP OA AB i4 (8i ) i4 6 i 0 i Piste P on 0,,.
Piirretään kuva dynaamisen matematiikan ohelmalla. Geogebra:. Piirretään pisteet A a B: A= (, 4) a B=(6, ). Piirretään vektori AB onka nimeksi tulee : u=vektori(a,b). Piirretään piste P: P = A+/u
VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 08. a) AB (0 ( 5)) i ( 0) 5i 8 CD (5 ( 9)) i (5 ( )) 4i 7 AB 5 ( 8) 7 CD 4 7 5 b) Määritetään vektorin CD suuntainen yksikkövektori. 0 CD 4i 7 CD 4 i 7 CD 5 5 5 Määritetään sen pisteen koordinaatit, ohon päädytään. Merkitään pistettä kiraimella P. OP OB 5CD 0i 5( 4 i 7 ) 5 5 0 0i 5 4 i 57 5 5 0i 7 i 5 5 i 8 5 5 4 i6 5 5 5 5 Piste, ohon päädytään on F = (4,6 ) 5 5.
09. a) Määritetään vektorin a suuntainen yksikkövektori. a 6 ( 8) 00 0 0 a 6i 8 a 6 i 8 i 4 a 0 0 0 5 5 Määritetään vektorin b suuntainen yksikkövektori. b ( 5) 5 44 69 0 b 5i b 5 i b Määritetään pisteen P paikkavektori. 0 0 OP OA 5a 6b i 5( i 4 ) 6( 5 i ) 5 5 i i40i4 i7 Pisteen P koordinaatit on (, 7).
b) Geogebra:. Määritä vektorit a a b: a=(6, 8) a b=( 5, ).. Määritä vektoreiden a a b suuntaiset yksikkövektorit: u = Yksikkövektori[a] a v = Yksikkövektori[b]. Määritä piste P: P = A + 5u 6v
0. Määritetään vektorin a suuntainen yksikkövektori. 5 5 a ( ) ( ) 4 9 6 44 i 0 a a 4 ( i ) 4 i a 5 5 4 5 5 Koska vektori v on vektorin a kanssa vastakkaissuuntainen pitää vektorin a suuntainen yksikkövektori kertoa luvulla 6, otta saadaan vektori v. 0 v 6a 6( 4 i ) 4 i 8 5 5 5 5
. a) 0 minuutin aikana una etenee vektorin (46 0) i( 0) 6i. 5 minuutin aikana una kulkee,5 kertaa tämän vektorin verran, eli vektorin,5(6i ) 40i 0. Kun pisteestä (0, 0) siirrytään vektori 40i 0, päädytään pisteeseen, onka x-koordinaatti on 0 + 40 = 70 a y-koordinaatti on 0 + 0 = 50, eli pisteeseen (70, 50). Juna on 5 minuutin kuluttua pisteessä (70, 50) b) Viiden minuutin aikana una kulkee vektorin, onka pituus on puolet vektorista 6i, eli vektorin 8i 6. Kun pisteestä (0, 0) siirrytään vektori 8i 6 unan tulosuuntaan, päädytään pisteeseen, onka x-koordinaatti on 0 8 = a y- koordinaatti 0 6 = 4, eli pisteeseen (, 4). Juna oli viisi minuuttia sitten pisteessä (, 4). c) 0 minuutin aikana una etenee vektorin 6i. Lasketaan vektorin pituus. 6 400 0 Koordinaatiston yksikkö on km, oten una etenee 0 minuutin aikana 0 km. Tunnissa, eli 60 minuutin aikana, una etenee 6 0 km = 0 km, eli unan nopeus on 0 km/h.
. a) wu v b) Jaetaan vektori w komponentteihin. wrusv i 5 ri ( ) si ( ) i 5 ri r si s ) i 5 ( rs) i( rs) Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan r a s. r s r s 5 r 4 : r Sioitetaan r ylempään yhtälöön a ratkaistaan s. + s = s = Komponentteihin aettu muoto on wu v.
. Piirretään kuva. AB (6 ( )) i (4 0) 8i 4 AC (0 ( )) i (6 0) i 6 BC (0 6) i (6 4) 6i Vektorien AC a BC kertoimien itseisarvot ovat samat, oten niiden pituudetkin ovat samat. Lasketaan kaikkien vektorien pituudet. AB 8 4 64 6 80 4 5 AC 6 4 6 40 0 BC ( 6) 6 4 40 0 Vektorit AC a BC ovat yhtä pitkät, oten kolmio ABC on tasakylkinen.
4. a) OA i 4 a OB i Piste A = (, 4) a B = (, ). Muodostetaan vektori AB. AB ( ( )) i ( 4) 5i Jos AP : PB = :, akaa piste P anan AB suhteessa :. Tällöin AP AB. 4 Määritetään pisteen P paikkavektori. OP OA AP OA AB 4 i4 (5 i ) 4 i4 5 i 4 4 7 i 4 4 Piste P on 7,,. 4 4 4 4 b) Jos AB AP, on AP AB. Määritetään pisteen P paikkavektori. OP OA AP OA AB i4 (5 i ) i4 5 i i Piste P on,,.
5. a) Vektorit u a v ovat yhdensuuntaiset, os on olemassa luku t, siten että v tu. 60i8 t(0i 6 ) Kun t =, yhtälö toteutuu, eli v u. Vektorit u a v ovat yhdensuuntaiset. b) Jos vektorit u a w ovat erisuuntaiset, ei ole olemassa lukua t, siten että u tw. u tw 0i6 t(6i0 ) 0i6 6ti0t Vektoreiden yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t. 6t 0 : 6 0t 6 : ( 0) 0 0 t 6 t 6 0 5 Ei ole olemassa sellaista lukua t, että olisi u tw. Vektorit u a w ovat erisuuntaiset.
6. a) r =,, vektorit a a b ovat vastakkaissuuntaiset b) Vektorit a a b ovat yhdensuuntaiset, os on olemassa luku t, siten että a tb. a tb ri t(i 5 ) ri ti 5t Vektoreiden yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t a r. r t 5t Alemmasta yhtälöstä saadaan t. Sioitetaan tämä ylempään 5 yhtälöön. r 6 5 5 Vektorit a a b ovat yhdensuuntaiset, kun r = 6. 5 5 Tällöin t, oten vektorit a a b ovat vastakkaissuuntaiset. 5
7. Vektorit u a b ovat vastakkaissuuntaiset, os on olemassa luku t < 0, siten että u tb. u tb ( r) i t( rir ) ( r) i tritr Vektoreiden yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t a r. r tr tr Sioitetaan alemman yhtälön = tr ylempään yhtälöön r = tr. r = r = 4 + r = 5 Ratkaistaan alemmasta yhtälöstä t a sioitetaan lausekkeeseen saatu r. tr : r t r t 5 Luvun t piti olla negatiivinen, otta vektorit u a b olisivat on positiivinen, oten ei myöskään vastakkaissuuntaiset. Luku t = 5 voida valita lukua r siten, että vektorit u a b olisivat vastakkaissuuntaiset.
8. Vektorit u a v ovat yhdensuuntaiset, os on olemassa luku t, siten että u tv. u tv ki 4 t( 9 ik ) ki 4 9ti kt Vektoreiden yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan k a t. 9 k t 4 kt Sioitetaan ylemmän yhtälön k alempaan. 49tt 49 t : 9 t 4 9 t tai t Kun t =, k 9 6. Kun t =, k 9 ( ) 6. Vektorit u a v ovat yhdensuuntaiset, kun k = 6 tai k = 6.
9. Merkitään pisteen A koordinaattea (x, y). Muodostetaan pisteen C paikkavektori, kun kierretään pisteiden A a B kautta. OA xi y 0 AB 0u a BC 4v Määritetään yksikkövektorit 9 0 0 u a 0. v u 8 64 7 5 5 5 i 8 0 u u 5 5 8 5 8 i 7 7 5 i u 7 7 5 5 5 v ( ) 6 6 4 5 i6 0 v v 5 5 i6 i v OC OA AB BC 0 0 OA 0u 4v xi y0 i 4 i 7 7 xi y 00 i 60 0 i 48 7 7 x i y 5 8 5 00 0 60 48 7 7 x 560 i 64 y
Toisaalta OC 5i 4. Saadaan yhtälöpari. 560 x 5 y 64 4 45 x y 48 Piste A = 45, 48.
0. Merkitään loppupistettä kiraimella C. Määritetään pisteen X paikkavektori kahdella eri tavalla, pisteen A kautta kiertäen a pisteen C kautta kiertäen. OA 4i 5 OC 5i 4 0 OX OA re OX OC s f 0 Määritetään vektoreiden e a f suuntaiset yksikkövektorit. e 4 9 0 e i e i e f ( ) 0 f i f i f OX OA re 0 4i 5 r i 4 5 r i r OX OC s f 0 5i 4 s i 5 4 s i s
Merkitään vektorit OX yhtä suuriksi a ratkaistaan s a r. 4 r i 5 r 5 s i 4 s 4 r 5 s 5 r 4 s r s 7 0 OX OA re 4i5 i 4i54i6 8i Piste X on (8, ) Piirretään kuva.
. Piirretään kuva. Vektori, oka osoittaa lounaaseen on u i. Määritetään vektorin u suuntainen yksikkövektori. u ( ) ( ) 0 u i u i u Vektori, oka osoittaa pohoiseen on. Vektorin pituus on. Vektori, oka osoittaa luoteeseen on v i. Määritetään vektorin v suuntainen yksikkövektori. v ( ) 0 v i v i v
Merkitään pistettä, ohon laiva päätyy, kiraimella P. Määritetään pisteen P paikkavektori. 0 0 OP 5u 5 0v 5 5 0 5 i 0 i 5 5 0 5 i 5 5 4,74... i8,5... i i Piste P on noin ( 4,7; 8,5) Pisteen P etäisyys origosta on 4,74... 8,5... 6,7... 6 km. Laiva on lähtöpisteestä 6 km:n etäisyydellä.
SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT. a) Ovat. uvwii45i 0 Koska vektorit eivät ole yhdensuuntaiset a niiden summa on nolla, on summavektorin alkupiste sama kuin loppupiste a muodostuu kolmio. b) Sivuvektorit ovat erisuuntaiset vektorit, oista saa yhdisteltyä nollavektorin käyttäen vektoreille kertoimia a. Kolmiota ei muodostu, os näin ei ole tai os vektoreista vähintään kaksi ovat yhdensuuntaisia. Kolmion sivuvektoreita ovat esimerkiksi vektorit ai, bi aci 4, koska abc 0. Kolmion sivuvektoreita eivät ole vektorit ai, bi ac7i 6.
. a) Kun kolmiota siirretään vektorin s i verran, okainen piste siirtyy tämän verran. Piste A on (, ). Pisteen A paikkavektori on OA i. Pisteen A paikkavektori on OA' OA s i i i 4. Piste A on (, 4). Pisteen B paikkavektori on OB OA AB i i 4i. Piste B on (4, ). Pisteen B paikkavektori on OB' OB s 4i i i 6. Piste B on (, 6). Pisteen C paikkavektori on OC OA AC i i i. Piste C on (, ). Pisteen C paikkavektori on OC ' OC s i i 4i 5. Piste C on ( 4, 5).
b) siirtovektori Pisteen Q kuvapisteen Q paikkavektori on Piste Q on (6, 0). Vektori ei riipu paikasta. Pisteiden P a Q välinen vektori on sama vektori, vaikka pisteitä siirretäänkin, kunhan molempia siirretään yhtä palon a samaan suuntaan. 4. a) Kolmion ABC peilikuvan A B C kärkipisteet saadaan, kun pisteestä edetään ensin pisteeseen S a sen älkeen samaan suuntaan yhtä pitkä matka pisteen S toiselle puolelle. Pisteen A paikkavektori on OA' OA AS. Vastaavasti saadaan muiden pisteiden paikkavektorit. b) Määritetään pisteet A a B paikkavektoreiden avulla. AS ( ( )) i (45) 4i OA' OA AS i 5 (4 i ) i 5 8i 6i Piste A on (6, ). AS ( ( )) i (45) 4i OA' OA AS i 5 (4 i ) i 5 8i 6i Piste B on (, ).
5. a) Piste (, ). b) Pisteen P koordinaattea ei tunneta, oten olkoon piste P = (x, y). Määritetään vektorit PA, PB a PC. PA ( x) i ( y) PB ( x) i (5 y) PC ( x) i (5 y) Lasketaan vektorien summa. PA PB PC ( x) i ( y) ( xi ) (5 y) ( xi ) (5 y) (xx x) i( y5 y5 y) ( xi ) (9 y) Jotta summa olisi nollavektori, tulee olla x = 0 a 9 y = 0 x = y = 9 x = y = Piste P on (, ).
6. a) Geogebra:. Tee liukusäädin t.. Piirrä vektori u komennolla u = t(, ). Piirrä vektorin u loppupisteeseen piste. Laita pisteelle älki käyttöön a siirrä liukusäädintä t, olloin syntyy kuvaaa. Jos vektorin u alkupiste on origo, on vektorin u päätepisteen paikkavektori myös u. Kun t =, päätepisteen paikkavektori on i, oten päätepiste on (, ). Kun t =, päätepisteen paikkavektori on ( i ) i 4, oten päätepiste on (, 4). Kun t =, päätepisteen paikkavektori on ( i ) i 6, oten päätepiste on (, 6). Vektorin päätepisteet siaitsevat suoralla, oka kulkee origon kautta, a onka kulmakerroin on, eli suoralla y = x.
b) Jos vektorin u alkupiste on (, ), on loppupisteen paikkavektori i u i t( i ) ( t) i( t). Kun t =, päätepisteen paikkavektori on ( ) i( ) i, oten päätepiste on (, ). Kun t =, päätepisteen paikkavektori on ( ) i( 4) i, oten päätepiste on (, ). Kun t =, päätepisteen paikkavektori on ( ) i( 6) 4i 5, oten päätepiste on (4, 5). Vektorin päätepisteet siaitsevat suoralla, oka kulkee pisteen (, ) kautta, a onka kulmakerroin on. Suoran yhtälö on y = (x ) y = x.
7. Pisteen A koordinaatit ovat (x, 0). Kolmio on tasasivuinen, os kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Muodostetaan kolmion sivuvektorit AB, AC a BC. AB (0 x) i (6 0) xi 6 AC ( 4 x) i (0) ( 4 x) i BC ( 4 0) i ( 6) 4i Vektoreiden tulee olla yhtä pitkät. Lasketaan vektoreiden pituudet. AB ( x) 6 x 6 AC ( 4 x) 68x x 9 x 8x 5 BC ( 4) ( ) 69 5 5 Tulee siis olla AB BC x 6 5 x 6 5 x 9 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, oten sivut AB a BC eivät voi koskaan olla yhtä pitkät a siten kolmio ei voi olla tasasivuinen. Tutkitaan, voivatko sivut AC a BC tai AB a AC olla keskenään yhtä pitkät, olloin kolmio olisi tasakylkinen. AC BC x 8x5 5 x 8x55 x 8x0 xx ( 8) 0 x 0 tai x8
AB AC x 6 x 8x5 x 6 x 8x5 8x x 8 Tutkitaan vielä, muodostuuko kaikissa tapauksissa kolmiota. Jotta kolmio muodostuisi, ei sivuvektori voi olla nollavektori, eivätkä vektorit saa olla yhdensuuntaisia. Kun x = 0, AB 6, AC 4i a BC 4i. Kolmio muodostuu. Kun x = 8, AB 8i6, AC 4i abc 4i. Vektorit ovat yhdensuuntaiset, oten kolmiota ei muodostu.
Kun x = 8, AB i 6, AC 4 i a BC 4i. Kolmio 8 8 muodostuu. Kolmio ei ole milloinkaan tasasivuinen. Kolmio on tasakylkinen, kun A = (0, 0) tai ( 8, 0).
8. a) Piste on funktion f(x) = 6 x kuvaaalla, oten sen y-koordinaatti on 6 x. P = (x, 6 x ) Paikkavektori OP on yhdensuuntainen vektorin i kanssa, os on olemassa luku t siten, että OP ti. OP ti xi(6 x ) ti Vektoreiden komponentteihin aon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan x. x t 6 x 0 Alemmasta yhtälöstä saadaan 6 x = 0 x = 6 x = x = tai x = t = tai t = On siis olemassa luku t siten, että vektorit OP a i ovat yhdensuuntaisia. Kun x =, Kun x =, y 6 ( ) 66 0. Piste P on (, 0). y 6 ( ) 66 0. Piste P on (, 0). b) OP t xi(6 x ) t x 0 6 x t Kun x = 0, y = 6 0 = 6. Piste P on (0, 6).
c) OP t( i ) xi (6 x ) ti t x t 6 x t Sioitetaan x = t alempaan yhtälöön. 6 x = x x x + 6 = 0 ( ) ( ) 4 ( ) 6 x 49 7 ( ) 4 4 x 8 tai x 6 4 4 Kun x =, y = 6 ( ) = 6 8 =. Piste P on (, ). Kun x =, y 6 ( ) 6 9. Piste P on (, ). Piirretään vielä kuva kohtien a, b a c tilanteesta.
. Geometriaa vektoreilla YDINTEHTÄVÄT 9. a) Keskipiste on 7 ( ) (, ) (9, 5). b) ( 5 7, 4 ) (, 5 ) 0. a) B = (, 0), C = (, ), D = (0, ) b) OB OA AB i i i B = (, 0) OD OA AD i i D = (0, ) Koska kuvio ABCD on suunnikas, sen vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhdensuuntaiset. Tällöin BC AD. OC OBBC ii i C = (, )
. Piirretään kuva. Kolmion kolmas sivuvektori on uv4i 4 i. Lasketaan sivuvektoreiden pituudet. u ( 4) 6 7 v uv ( 4) ( ) 6 7 Kolmio on tasakylkinen, koska u u v.. Määritetään pisteiden B a C koordinaatit paikkavektoreiden OB a OC avulla. OB OA AB i 4i i Piste B on (, ). OC OB BC i i 4 5i Piste C on (5, ).
. a) Suorakulmion ABCD vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhdensuuntaiset. Tällöin AB DC a DA CB. DC ( 0) i (4 ) i CB (5 ) i ( 4) i Määritetään pisteen A paikkavektori. OA OD DA i i Piste A on (, ).
b) Piirretään kuva. Suorakulmion lävistäät puolittavat toisensa, oten DP DB. DB (5 0) i ( ) 5i Määritetään pisteen P paikkavektori OP. OP OD DP OD DB (5 i ) 5 i Piste P on ( 5, ) (, ). c) Pinta-alan laskemiseksi tarvitaan vektoreiden DC a CB pituudet. DC 8 CB ( ) 44 8 Suorakulmion pinta-ala on 6.
VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 4. a) Suunnikkaan lävistäät puolittavat toisensa. Merkitään lävistäien leikkauspistettä kiraimella P. AC 4i 9 a BD i AP AC ( 4i 9 ) i 9 BP BD ( i ) 6i Muodostetaan sivuvektorit AB a AD. AB AP PB AP BP i 9 ( 6 i ) 4i AD AP PD AP BP i 9 6i 8i 6
b) Määritetään pisteet C a D muodostamalla niiden paikkavektorit. OC OAAC i 4i 9 6i 0 OD OAAD i 8i 6 0i 7 Piste C on ( 6, 0) a piste D on ( 0, 7). 5. a) Piirretään kuva. P = (;,)
b) Piste P on mediaanien leikkauspiste. Mediaanilauseen mukaan piste P akaa mediaanit suhteessa :. Merkitään anan AB keskipistettä kiraimella Q. Määritetään pisteen P paikkavektori. OP OQ QP OA AQ QP OA AB QC OA i AB (6 ( )) i (0 ) 8i Määritetään pisteen Q koordinaatit paikkavektorin avulla. OQ OA AQ OA AB i (8i ) i4i i Piste Q on (, ). QC ( ) i (5) i 4
OP OQ QP OQ QC i ( i4 ) i i 4 i 7 Piste P on (, 7 ) = (, ). 6. a) Piirretään kuva. AB 9i a AC 6i 8 BC BA AC AB AC (9i ) 6i 8 i 6 Piste P on sivun AC keskipiste, oten AP PC AC. Piste Q akaa sivun BC suhteessa :, oten BQ BC a QC BC. PQ PC CQ PC QC AC BC
b) Janan PQ pituus on sama kuin vektorin PQ pituus. PQ AC BC (6i8 ) ( i6 ) i4i 4i PQ 4 64 0 5 Janan PQ pituus on 0 5. c) Määritetään piste Q muodostamalla sen paikkavektori. OQ OA AQ OA AP PQ OA AC PQ 4i (6i8 ) 4i i4 Piste Q on (, 4).
7. a) Piirretään kuva. Merkitään sivun AB keskipistettä kiraimella D. Mediaanilauseen mukaan piste P akaa anan DC suhteessa :. Tällöin DP DC. Koska piste D on sivun AB keskipiste, on AD AB. Muodostetaan vektori AP. AP AD DP AB DC AB ( DA AC ) AB ( AB AC) AB AB AC 6 AB AC
b) Pisteen P etäisyys origosta on sama kuin sen paikkavektorin pituus. Määritetään paikkavektori OP. OP OA AP OA AB AC i4 ( 4i ) (4i6 ) i4 4 i 4 i i OP ( ) 9 0 Pisteen P etäisyys origosta on 0.
8. a) Piirretään kuva. Nelikulmio ABCD on suunnikas, os sen vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhdensuuntaiset. Pitää siis osoittaa, että AB DC a AD BC. AB (4 ( )) i () 6i DC ( ( 5)) i (5 4) 6i AD ( 5 ( )) i (4) i BC (4) i (5 ) i Koska AB DC a AD BC, on nelikulmio ABCD suunnikas.
b) Piirretään kuva. Nelikulmio ABCD on puolisuunnikas, os sen kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset. Pitää siis osoittaa, että toinen seuraavista ehdoista pätee: AB DC tai BC AD. AB (5 4) i ( 5 ) i 8 i 4 DC (8 5 ) i (0 ) i AB DC, oten AB DC. Osoitetaan vielä, että BC AD. BC (8 5) i (0 ( )) i AD ( 5 4) i (4) 7 i BC AD, koska vektorin BC komponenttien kertoimet ovat saman merkkiset a vektorin AD eri merkkiset, ei ole olemassa sellaista lukua t, että BC t AD.
9. Piirretään kuva. Merkitään suunnikkaan kärkiä kiraimilla A, B, C a D a lävistäien leikkauspistettä kiraimella P. AC i 5 a BD 5i Suorakulmion pinta-alan laskemiseksi tarvitaan suorakulmion sivuen pituudet. Suorakulmion lävistäät puolittavat toisensa, oten AP PC AC a BP PD BD. Määritetään suorakulmion sivuvektorit BC a BA a lasketaan niiden pituudet. BC BP PC BD AC (5 i ) ( i5 ) 5 i i 5 i
BA BP PA BD CA BD AC (5 i ) ( i 5 ) 5 i i 5 i BC 99 9 BA 44 4 Suorakulmion pinta-ala on 6.
40. Piirretään kuva. Nimetään piste A = (, 4 ) 4 loppupiste B, olloin AB v. a sivuvektorin v 4 i Nimetään piste C = (, ). Suunnikas voi muodostua kahdella tavalla. Vektori AC voi olla suunnikkaan sivuvektori tai halkaisiavektori. Suunnikkaan neläs kärkipiste on D. Määritetään piste B paikkavektorin avulla. OB OA v i 4 4i 4 i 4 4 Piste B on (4, ). 4 Jos vektori AC on suunnikkaan sivuvektori, on CD AB v (vasemmanpuoleinen kuva). Määritetään piste D paikkavektorin avulla OD OC CD OC v i 4i 7i Piste D on (7, 0). Jos vektori AC on suunnikkaan halkaisiavektori, on DC AB v (oikeanpuoleinen kuva). Määritetään piste D paikkavektorin avulla OD OC CD OC DC OC v i (4 i ) i Piste D on (, ). Suunnikkaan muut käret ovat (4, ) 4 a (7, 0) tai (4, ) a (, ). 4
4. Piirretään kuva. Merkitään suunnikkaan ABCD lävistään DB keskipistettä kiraimella E a lävistään AC keskipistettä kiraimella F. Pitää osoittaa, että E a F ovat sama piste. Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhdensuuntaiset. Merkitään AB DC a a DA CB b. Määritetään vektori AE vektoreiden a a b avulla. AE AD DE AD DB AD ( DC CB ) b ( ab ) a b Määritetään vektori AF vektoreiden a a b avulla. AF AC ( AD DC) ( b a) a b Koska AE AF ovat pisteet E a F sama piste. Näin ollen vektorin lävistäät leikkaavat toisensa kummankin lävistään keskipisteessä. Lävistäät puolittavat toisensa.
4. a) Piirretään kuva. Merkitään sivun AB keskipistettä kiraimella G a sivun CD keskipistettä kiraimella H. Pitää osoittaa, että DG HB. Nelikulmio ABCD on suunnikas, oten AB DC a a DA CB b. Koska piste G on sivun AB keskipiste a H on sivun CD keskipiste on AG GH AB a a DH HC DC a. Määritetään vektorit DG a HB vektoreiden a a b avulla. DG DA AG b a a b HB HC CB a b Koska DG HB, oten anat DG a HB ovat yhdensuuntaiset a yhtä pitkät.
b) Merkitään anan DG a lävistään AC leikkauspistettä kiraimella P a anan HB a lävistään AC leikkauspistettä kiraimella J. Voidaan merkitä AP s AC. Pitää osoittaa, että s =. Kiroitetaan vektori AP kahdella eri tavalla. AP s AC s( AD DC) s( b a) sa sb AP AG GP AB tgd AB t( GA AD) at( ab) a tatb ( ta ) tb sa sb ( t) a tb Vektoreiden yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan s. s t s t
Yhtälöparin alemmasta yhtälöstä saadaan s = t. Sioitetaan tämä ylempään. t t t t t : t s Samoin voidaan osoittaa, että JC AC. Tällöin lävistää AC on aettu kolmeen osaan.
4. Piirretään kuva. CB tcd, pitää määrittää t. CD (8 ) i ( 5) 6i AC ( ) i (5) i 4 Kiroitetaan vektori CB kahdella eri tavalla. CB tcd t(6i ) 6ti t CB CA s( i ) ( i 4 ) s( i ) ( s) i ( 4 s) 6ti t ( s) i ( 4 s) Vektoreiden yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t. 6t s t 4 s ( ) 6t s 6t 8s t 7 : t 7 Saatiin CB 7 CD, oten piste B akaa anan CD suhteessa 7 : 5.
SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 44. Piirretään kuva. Nimetään sivun BC keskipiste D a keskianan AD a anan PC leikkauspiste Q. Merkitään AB a a AC b. BC BA AC a b Tiedetään, että AP AB a a 4 4 BD DC BC ( a b) a b. AQ t AD, pitää ratkaista t. Kiroitetaan vektori AQ kahdella eri tavalla. AQ t AD t( AB BD) t( a a b) ta tb AQ AP PQ AP spc AP s( PA AC) as( ab) 4 4 ( sa ) sb 4 4 ta tb ( s) a sb 4 4
Vektoreiden komponentteihin aon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t. t s 4 4 4 t s t s t s 5 t : 5 t 5 Saatiin AQ AD, oten piste Q akaa anan AD suhteessa :. Jana PC 5 akaa kärestä A lähtevän keskianan suhteessa :.
45. Piirretään kuva. Merkitään puolisuunnikkaan käret kiraimilla A, B, C a D sekä lävistäien leikkauspiste P. Tiedetään, että DC AB. Merkitään AP t AC a BP sbd. Pitää osoittaa, että t a s. Kiroitetaan vektori AP kahdella eri tavalla. AP t AC t( AB BC) t AB tbc AP AB BP AB sbd AB s( BC CD) AB s( BC DC) AB s( BC AB) ( sab ) sbc tabtbc( s) AB sbc
Vektoreiden komponentteihin aon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t a s. t s t s s s s s s : s t = s = Saatiin AP AC a BP BD, oten puolisuunnikkaan lävistäät akavat toisensa suhteessa : käristä A a B lukien.
46. Piirretään kuva. Tiedetään, että DR RC DC, AS SD AD. CQ QB CB, BP PA BA a Nelikulmio on suunnikas, os sen vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhdensuuntaiset. Pitää osoittaa, että PQ SR a PS QR. PQ PB BQ AB BC ( AB BC) AC SR SD DR AD DC ( AD DC) AC PS PA AS BA AD ( BA AD) BD QR QC CR BC CD ( BC CD) BD On saatu, että PQ SR a PS QR. Varignonin suunnikaslause pätee.
47. a) Uusi kärkipiste on paikassa, oka siaitsee samassa suunnassa a k- kertaisella etäisyydellä pisteestä S kuin alkuperäinen kärkipiste. Muodostetaan vektori pisteestä S kärkipisteeseen A. Kun halutaan tehdä k-kertainen suurennus, on pisteen A paikkavektori OA' OS k SA.
b) OA' OS SA OS i SA ( ) i ( ) i OA' i ( i ) i i6 i 7 A' = (, 7) OB' OS SB SB (4 ) i ( ) i OB' i ii 6i8i B = (8, )
48. a) Suurennos kaksinkertaiseksi: OS i SA ( ) i ( ) i SB ( ) i ( ) SC ( ) i ( ) i OA' OS SA i ( i) i 4i i OB ' OS SB i ( ) i 4 i 5 OC ' OS SC i ( i ) i 4i 4 i 5 A = (, ), B = (, 5) a C = (, 5) Siirto vektorin s5i verran: OA'' OA' s i 5i i OB'' OB' s i 5 5i 6i OC '' OC ' s i 5 5i i
Suurennetun a siirretyn kolmion käret ovat A = (, ), B = (6, ) a C = (, ). b) Piirretään kuva siten, että ensin siirretään a sitten suurennetaan. Siirretty a suurennettu kolmio A B C ei siaitse samassa kohdassa kuin b-kohdan suurennettu a siirretty kolmio. Järestyksellä näyttäisi olevan väliä. Osoitetaan tämä vielä yleisesti.
. Muodostetaan siirretyn a suurennetun kuvion pisteen P paikkavektori. OP ' P s OP'' OS k SP' OS k( SO OP') OS kos kop ' ( kos ) kop ( s) ( kos ) kopks. Muodostetaan suurennetun a siirretyn kuvion pisteen P paikkavektori. OP ' OS kp OP'' OP' s OS k SP s OS k( SO OP) s ( kos ) kops Paikkavektorit eivät ole samat muulloin kuin arvolla k =, olloin ei kyseessä ole suurennos. Koska paikkavektorit eivät ole sama vektori, on ärestyksellä väliä.
. Kolmiulotteinen koordinaatisto YDINTEHTÄVÄT 49. a) b)
50. a) P = (4,, 8), Q = (4, 4, 7) 5. a) b) Pisteen etäisyys origosta on paikkavektorin pituus. OP 4 ( ) 8 6 64 8 9 OQ 4 ( 4) 7 6649 8 9 Molemmat ovat yhtä kaukana. b) AB ( 4) i ( ( )) ( 5) k i 6k AB ( ) 6 496 49 7 AC (74) i ( 7 ( )) (75) k i 6 k AC ( 6) 964 49 7 BC (7 ) i( 7 ) (7 ) k 5i9 4k BC 5 ( 9) ( 4) 5 86 Sivut AB a AC ovat yhtä pitkät, oten kolmio on tasakylkinen.
5. a) Hahmotellaan kuva. Määritetään pisteen D koordinaatit muodostamalla paikkavektori OD. OD OA AD Koska kuvio on suunnikas on AD BC. AD BC ( ( )) i (64) ( ( )) k 4i 5k OD OA AD i k 4i 5k i 8k b) Piste D on (,, 8).
5. a) u i k u ( ) 44 9 0 u i k u i k u b) Koska v u kerrotaan vektori u negatiivisella luvulla. Koska v 5 a 0 u on yksikkövektori, on 0 v5u 5( i k) 0i5 0k. c) Merkitään pistettä, ohon päädytään, kiraimella P. Kun edetään 5 yksikköä vektoria u vastakkaiseen suuntaan, edetään 0 b-kohdan vektori v 5 u. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP OA v i 5k 0i 5 0k 8i 5 5k Päädytään pisteeseen ( 8, 5, 5).
VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 54. A II, III a IV B I a II C II D III 55. a) P = (4, 5, ) b) Pisteen P proektio xy-tasolla on (4, 5, 0). 56. a) Pisteen (4, 5, ) etäisyys xy-tasosta on pisteen z-koordinaatti. b) Pisteen (4, 5, ) etäisyys xz-tasosta on pisteen y-koordinaatti 5. c) Pisteen (4, 5, ) etäisyys yz-tasosta on pisteen x-koordinaatti 4. 57. a) Tosi xy-tason pisteiden x- a y-koordinaatit voivat olla mitä tahansa lukua, mutta z koordinaatin tulee olla 0. b) Epätosi. x-akselin pisteiden x-koordinaatti voi olla mikä tahansa luku, mutta y- a z-koordinaatti on 0. Esimerkiksi piste (, 0, 0) on x-akselin piste. c) Tosi. Piste on koordinaattiakselilla, kun se on muotoa (x, 0, 0), (0, y, 0) tai (0, 0, z).
58. a) Koska piste P akaa anan AB suhteessa :, on AP AB. 5 AB (0 0) i (9 ( )) (0 5) k 0i 0 5k Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP OA AP OA AB 5 0i 5 k ( 0i0 5 k) 5 0i 5k 4i k 6i k Piste P on (6,, ). b) Hahmotellaan kuva. Merkitään sivun AB keskipiste D, sivun BC keskipiste E a sivun AC keskipiste F sekä mediaanien leikkauspiste P. Mediaanilauseen mukaan kolmion mediaanien leikkauspiste akaa mediaanit suhteessa : kärestä lukien. Tällöin AP AE. Piste E on sivun BC keskipiste, oten E (, 4, ) (,, ). Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP OA AP OA AE
AE ( ( )) i( ( )) ( ) k 4i 5 k OP OA AE i k (4 i 5 k) ik 8 i 5 k i k Mediaanien leikkauspiste on (,, ).
59. Hahmotellaan kuva. a7i k a b 5i9 k Kolmion kolmas sivuvektori on a b. a b (7i k) 5i 9 k 7i k 5i9 k i6 k Kolmannen sivun pituus on sama kuin vektorin a b pituus. a b ( ) ( 6) 4 6 9 49 7 Kolmannen sivun pituus on 7.
60. Hahmotellaan kuva. AC 6i 4k Suunnikkaan lävistäät puolittavat toisensa, oten AP AC. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP OA AP OA AC i75 k (6i4 k) i75k i k 5i67k Lävistäien leikkauspiste P on (5, 6, 7). Muodostetaan pisteen B paikkavektori. OB OP PB PB DP (5 7) i (6 0) (7 ) k i 4 6k OB OP PB 5i 6 7k i 4 6k i k Piste B on (,, ).
6. a) Proektiopisteet xy-tasossa ovat A = (,, 0), B = (, 4, 0), C = ( 4, 4, 0) a D = ( 4,, 0) b) Alueen sivuvektorit ovat AB ' ' () i(4 ( )) (00) k 5 D' C' ( 4 ( 4)) i (4 ( )) (00) k 5 A' D' ( 4) i ( ( )) (00) k 5i BC ' ' ( 4 ) i(4 4) (0 0) k5i Sivuen pituus on 5. Sivuvektorit ovat yhtä pitkät a kohtisuorassa toisiaan vastaan, oten alue on neliö. Pinta-ala on 5 5 = 5. c) Lyhin etäisyys maanpinnasta on, koska pisteiden C a D z- koordinaatti on. 6. a) i 4 b) i 7k c) 4 7k
6. a) Määritetään pisteet A, B a C paikkavektorien avulla. OA OP PA 6k i 6k i Piste A on (, 0, 0). OB OP PB 6k 6k Piste B on (0,, 0). OC OP PC 6k 6k Piste C on (0,, 0).
b) Pyramidin tilavuuden laskemiseksi tarvitaan pyramidin korkeus a pohan pinta-ala. Määritetään pohan sivuvektorit a niiden pituudet. AB(0 ) i( 0) (0 0) k i AB ( ) 8 AC (0 ) i( 0) (0 0) k i AC ( ) ( ) 8 BC (0 0) i ( ) (0 0) k 4 BC ( 4) 6 4 Kolmion sivuen pituuksille on voimassa AB AC BC 8 8 4 886 6 6 Kolmio on suorakulmainen. Lasketaan kolmion pinta-ala. A 8 8 8 4 Pyramidin poha on xy-tasossa. Pyramidin korkeus on huippupisteen P z-koordinaattin arvo 6. Lasketaan pyramidin tilavuus. V 4 6 8 Pyramidin tilavuus on 8.
SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 64. a) Määritetään vektori AB paikkavektorien avulla. OA xi y zk OB xi y zk AB AOOBOAOBOBOA xi y zk( xi y zk) ( x x ) i( y y ) ( z z ) k b) Merkitään anan AB keskipiste P. AP AB Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP OA AP OA AB xi y zk (( x x ) i ( y y ) ( z z ) k ) ( x x) i( y y) ( z z) k xx y y zz i k x x y y z z Janan AB keskipiste on (,, ).
65. Merkitään aritmeettisen lukuonon erotuslukua d. Pisteen P koordinaatit ovat aritmeettisen lukuonon lukua. Jos x-koordinaatti on x, y-koordinaatti on x + d a z-koordinaatti on x + d. Tällöin P = (x, x + d, x + d). Koordinaattien summa on, eli x + x + d + x + d = x + d =. Etäisyys xy-tasosta on pisteen z-koordinaatti, eli x + d = tai x + d =. Saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan x a d. Jos x + d = : xd xd ( ) xd x 6d 9 d :( ) d 4 Sioitetaan d alempaan yhtälöön. x + 4 = x + 8 = x = 5 Piste P on ( 5, 5 + 4, 5 + 4) = ( 5,, ). Jos x + d = : xd xd ( ) xd x 6d 9 d 6 :( ) d
Sioitetaan d alempaan yhtälöön. x + ( ) = x 4 = x = Piste P on (,, + ( )) = (,, ). Piste P on ( 5,, ) tai (,, ). 66. Piste P on y-akselilla, oten sen koordinaatit ovat (0, y, 0). Määritetään vektorit AP a BP, a merkitään niiden pituudet yhtä suuriksi. AP(0 ) i( y) (0 0) k i( y) AP ( ) ( y ) 4 y y y y 5 BP(0 0) i( y0) (0 ) k y k BP y ( ) y 9 AP BP y y5 y 9 y y5 y 9 y 4 : ) y Piste P on (0,, 0).
67. Pallo liikkuu ylöspäin, eli vektorin k suuntaan nopeudella 5 m/s. Nopeusvektorilla on siis komponentti 5 k. Tuulee lounaasta, olloin pallo liikkuu koilliseen, eli vektorin i suuntaan. Vektorin i pituus on. Tuuli liikuttaa palloa nopeudella m/s, eli nopeusvektorilla on komponentti, oka on kertaa i vektorin i yksikkövektorin pituinen: i. Palon nopeusvektori on i 5 k. Nopeusvektorin pituus ilmoittaa pallon etenemän matkan metreinä yhden sekunnin aikana. Lasketaan vektorin pituus. Minuutin aikana, eli 60 sekunnissa pallo liikkuu vektorin 60( i 5 k) 0 i 0 00 k. 0 0 ( ) ( ) 00 60 9,... 0 (m) Pallo etenee minuutin aikana 0 metriä lähtöpisteestä. Pallo on pisteessä ( 0, 0,00) (84,8...; 84,8...; 00) (85, 85, 00).
68. Muodostetaan kolmion sivuvektori BC. BC BA AC AB AC ( ti k) i ( t ) k ti k i ( t ) k ( t ) i( t ) 4k ( t ) i( t ) 4k Lasketaan sivuvektoreiden pituudet. AB t ( ) t AC ( ) ( t ) t t9 t t BC ( t ) ( t ) 4 t tt 4t46 t t Pitää osoittaa, että BC AB a BC AC kaikilla t:n arvoilla. BC AB kun t t + > t + eli t t + 9 > 0. Juurrettavalla ei ole nollakohtia, koska sen diskriminantti ( ) 4 9 = 7 on negatiivinen. Kuvaaa on ylöspäin aukeava paraabeli, oten lauseke t t + 9 0 kaikilla t:n arvoilla. Tällöin BC AB kaikilla t:n arvoilla. BC AC kun t t + > t t + eli t + 0 > 0. Juurrettavalla ei ole nollakohtia, koska yhtälö t = 0 ei toteudu millään t:n arvolla. Tällöin BC AC kaikilla t:n arvoilla. Sivu BC on kolmion pisin sivu.