Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1
Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän periaate Dynaamisen systeemin stabiilisuus Dynaamisen systeemin esitystavat: tilayhtälömalli ja siirtofunktio PID-säädin ja tilatakaisinkytkentä Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 2
Säätötekniikka Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa dynaamisen systeemin toimimaan halutulla tavalla. - Servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti, esim. teollisuusrobotin asennonsäätö. - Stabilointiongelma: ulostulon oltava vakio systeemiin vaikuttavista häiriöstä riippumatta, esim. säiliön pinnankorkeuden säätö, vaihtovirtageneraattorin kierrosluku. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 3
Takaisinkytkentä Takaisinkytkentä ulostulosta erosuureen e(t) muodossa. - Jos e(t) = 0 OK! Muuten korjaa u(t):tä kunnes e(t) = 0. Säätöongelma: valitse säädin - Rakenne: PID, tilatakaisinkytkentä, sumea logiikka... - Parametrit säätimelle Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 4
Avoin ohjaus vs. takaisinkytkentä Avoin silmukka (open loop): ei takaisinkytkentää. - Ohjaus muodostetaan ilman ulostuloa. - Esim. Auton ohjaus silmät kiinni kartassa olevan tien muodon perusteella. - Ongelma: Häiriöitä ei voida kompensoida. Suljettu silmukka (closed loop): takaisinkytkentä. - Hyödynnetään systeemin ulostuloa ohjauksen muodostamisessa. - Esim. Autolla ajo: Muodostetaan ohjaus näköhavaintojen perusteella s.e. pysytään tiellä. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 5
Mielenkiintoisia kysymyksiä Onko systeemi rakenteeltaan sellainen, että sitä voidaan hallita? - Systeemi on ohjattava, jos se voidaan palauttaa nollatilaan (äärellisessä ajassa). Tarvitseeko systeemi erityistä hallintaa? (stabiilius) Miten sitä hallitaan? (säätöteoria/ -tekniikka) Miten hallitaan parhaalla mahdollisella tavalla? (dynaaminen optimointi) Mitä systeemin sielunelämästä voidaan sanoa? - Systeemi on tarkkailtava, jos tila voidaan rekonstruoida ohjauksen ja ulostulon perusteella. Miten sielunelämää havaitaan? (tilahavaitseminen) - Kalman-suodin (Käytetään mm. GPS-paikantimissa) Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 6
Stabiilisuus 1/3 Klassisen mekaniikan stabiilisuuskäsitys: tasapainosta häirityn systeemin käyttäytyminen (ilman ohjausta) - Jos vaste (ulostulo) pysyy rajoitettuna, systeemi on stabiili. Muussa tapauksessa systeemi on epästabiili. - Asymptoottinen stabiilius: Vaste lähestyy nollaa ajan myötä. - Marginaalinen stabiilius: Vaste ei mene nollaan, mutta ei myöskään kasva rajatta. Esim. harmoninen värähtelijä. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 7
Stabiilisuus 2/3 BIBO-stabiilius (Bounded Input, Bounded Output), (=sisäänmeno-ulostulo stabiilisuus) - Pysyykö ulostulo rajoitettuna mielivaltaisella rajoitetulla ohjauksella (lähdettäessä mistä tahansa tilasta)? Säädön tavoitteena on saada epästabiilista systeemistä stabiili. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 8
Stabiilisuus 3/3 Asymptoottisesti stabiili systeemi 10 Ulostulo 5 0 Aika Marginaalisesti stabiili systeemi 10 Ulostulo 0 10 Epästabiili systeemi Aika Ulostulo 1000 500 0 Aika Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 9
Lineaarinen tilayhtälömalli Lineaarinen tilayhtälömalli (state space) on muotoa: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Tilayhtälömalli on dynaamisen systeemin esitysmuoto aikatasossa. Vaihtoehtoinen tapa on dynaamisen systeemin esittäminen Laplace-tasossa siirtofunktion avulla. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 10
Laplace-muunnos Signaalin f(t) Laplace-muunnos määritellään seuraavasti: F(s) = - Oletetaan f(t) = 0 kun t < 0. Esim. f(t) = c (vakio) 0 f(t)e st dt F(s) = 0 ce st dt = c s 0 se st dt =... = c s Laplace-muunnos on lineaarinen operaatio: L[a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t)] = a 1 F 1 (s) + a 2 F 2 (s) - Laplace-muunnos voidaan siis tehdä termeittäin. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 11
Derivaatan Laplace-muunnos Derivaatan Laplace-muunnos: L[f (t)] = sf(s) f(0) - Yleistettynä korkeampiin derivaattoihin: [ ] [ ] L f (n) (t) = s n F(s) s n 1 f(0) +... + f (n 1) (0) Kun oletetaan alkuarvojen f(0)...f (n 1) (0) olevan nollia: - Derivointi: s:llä kertominen - Integrointi: s:llä jakaminen Vrt. Integrator-lohko Simulinkissä. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 12
Siirtofunktio 1/2 Systeemiä kuvaava differentiaaliyhtälö voidaan saattaa siirtofunktiomuotoon (transfer function) Laplace-muuntamalla. Esim. 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö: ẏ(t) + ay(t) = u(t) Laplace-muunnetaan termeittäin: sy (s) y(0) + ay (s) = U(s) Siirtofunktiota muodostettaessa systeemin alkuarvot oletetaan nolliksi: y(0) = 0. (s + a)y (s) = U(s) Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 13
Siirtofunktio 2/2 Siirtofunktioksi G(s) kutsutaan ulostulon Y (s) ja sisäänmenon U(s) osamäärää: G(s) = Y (s) U(s) = 1 s + a Y (s) = G(s)U(s) Siirtofunktioesityksen hyöty: Differentiaaliyhtälöt muutettu algebrallisiksi yhtälöiksi helpompi käsitellä! Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 14
PID-säädin 1/3 P=proportionaalinen, I=integroiva, D=derivoiva P-säädin: u(t) = K P e(t), missä K P on säätimen parametri. - Suhteellinen takaisinkytkentä - Yksinkertaisin mahdollinen säädin. Ongelma: P-säädin ei osaa kompensoida askelmaista häiriötä. - Syntyy pysyvä poikkeama ulostuloon Idea: kasvatetaan ohjausta kunnes e(t) = 0. - Asetetaan u(t) riippumaan e(t):n integraalista. t PI-säädin: u(t) = K P e(t) + K I 0 e(τ)dτ Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 15
PID-säädin 2/3 Kun K I kasvaa, vaste (eli ulostulo) nopeutuu MUTTA: - Suljetun silmukan systeemi muuttuu eräällä parametriyhdistelemällä epästabiiliksi. - Syy: luotetaan liian vanhaan informaatioon (integrointi). (Eräs) ratkaisu: derioiva takaisinkytkentä; perustetaan u(t) e(t):n derivaatalle (vrt. ennustaminen). PID-säädin: u(t) = K P e(t) + K I t 0 e(τ)dτ + K D d dt e(t) Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 16
PID-säädin 3/3 Tehtävä: Valitse sopivat parametrit K P, K I, K D. - K P suuri nopea vaste, mutta epästabiilisuus vaanii. - K P suuri nopea vaste, pysyvät poikkeamat kompensoituvat (epästabiilisuus!) - K P : käyttö esim. stabilointi (ongelma: kohina) PID-säädin on yleisesti käytetty säädintyyppi teollisuudessa. PID-säätimen virittämiseen eli parametrien määrittämiseen on olemassa erilaisia tekniikoita. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 17
PID-säädin Simulinkissä Simulinkissä PID-säädin löytyy kohdasta Simulink Extras Additional Linear. Säätimen rakennetta voi tutkia Look Under Mask-kohdasta. (Oikealla hiiren näppäimellä aukeava valikko) Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 18
Tilatakaisinkytkentä Vaihtoehtoinen tapa PID-säätimelle. Lineaarinen systeemi on muotoa ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Muodostetaan ohjaus u(t) = K x(t) ẋ(t) = Ax(t) + B ( Kx(t)) = (A KB)x(t) Tehtäväksi jää valita matriisi K s.e. systeemi käyttäytyy halutulla tavalla. Suositeltava lähestymistapa erityisesti MIMO-malleilla (Multiple-input multiple-output) Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 19
Kysymyksiä 1. Mitä eroa on servo- ja stabilointiongelmilla? 2. Mitä tarkoitetaan käsitteillä ohjattavuus ja tarkkailtavuus? 3. Mitä eroa on avoimen ja suljetun silmukan systeemeissä? 4. Miksi takaisinkytkentää käytetään säätötekniikassa? 5. Millainen on asymptoottisesti stabiili systeemi? 6. Mainitse kaksi erilaista säädintyyppiä. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 20