Koontitehtäviä luvuista 1 9

11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause: x =,8 + 5,1 x = 33,85 x = 33, 85 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. x = 5,818 5,8 (cm) x 5,1 cm,8 cm b) x 5 ) 1 3 5 7 : 7 1 7 1 7 1 c) a 3 3 18 18 3. a) f( 1) 4 ja f () 1 b) nollakohdat x, x 1 ja x 3 c) kun < x < 1 tai x > 3 4. Tasakylkisessä kolmiossa kantakulman ovat yhtä suuret ja kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kannan. 5,0,5 (cm) Kantakulmien suuruus: cos,5 7,8 = 71,300 71,31 Huippukulman suuruus: 180 71,31 = 37,38 Kulmien suuruudet ovat 71, 71 ja 37. 7,8 cm,5 cm h

117 Kolmion korkeusjanan pituus saadaan Pythagoraan lauseella: h +,5 = 7,8 h +,5 = 0,84 h = 54,59 h = 54, 59 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. h = 7,38850 7,389 (cm) Kolmion pinta-ala: 5,0 7,389 A 18,475 18(cm ) 5. a) P(kaikki toimivat) = P(1. toimii) P(. toimii) P(3. toimii) = 0,94 0,94 0,94 = 0,94 3 = 0,830584 0,83 b) Vastatapahtuma: mikään automaatti ei toimi. Kunkin automaatin kohdalla P(ei toimi) = 1 0,94 = 0,0. P(mikään automaatti ei toimi) = P(1. ei toimi) P(. ei toimi) P(3. ei toimi) = 0,0 0,0 0,0 = 0,0 3 = 0,0001 P(ainakin yksi toimii) = 1 0,0001 = 0,999784 0,9998. Perunoiden määrä: x (kg) Jauhelihan määrä: y (kg) x y 1 ( 3,5) 0,5x 3,5 y 18,0 3,5x 3,5 y 4 0,5x 3.5y 18,0 3,5x = 3,40 : ( 3,5) x = 7, (kg) 7, + y = 1 y = 4,8 (kg) Perunoita ostettiin 7, kg ja jauhelihaa 4,8 kg. 7. f(x) = x(x x) = x 3 x f (x) = 3x x = 3x 1x Derivaatan nollakohdat: 3x 1x = 0 a = 3, b = 1, c = 0

118 ( 1) ( 1) 4 3 0 1 x 3 1 1 1 1 x 4 tai x 0 Kulkukaavio: 144 1 1 0 4 Funktio on kasvava väleillä x 0 ja x 4 ja vähenevä välillä 0 x 4. 8. Kahden peräkkäisen viivan välinen osa pullosta on suora ympyrälieriö, jonka tilavuus on 5 ml = 5 cm 3. 4, Pohjan säde:, 3 (cm) Suoran ympyrälieriön tilavuus: V = A P h = r h =,3 h Ratkaistaan korkeus h yhtälön avulla.,3 h = 5 5,9 h = 5 : 5,9 5 h 5,9 h = 1,504 1,5 (cm) Peräkkäisten viivojen etäisyys on 1,5 cm = 15 mm. 9. Auton arvosta jää joka vuosi jäljelle 100 % 19 % = 81 % eli se tulee 0,81- kertaiseksi. Auton arvo kahden vuoden kuluttua: 0,81 000 =17 058,0 17 100 ( ) Auton arvo x:n vuoden kuluttua on 0,81 x 000 ( ). Ratkaistaan yhtälön avulla, millä x:n arvolla auton arvo on 10 000.

119 0,81 x 000 = 10 000 : 000 x 10 000 0,81 000 Supistetaan oikea puoli luvulla 1 000 x 0,81 10 10 lg0,81 x 10 10 lg 10 lg xlg0,81 10 10 10 x lg 0,81 lg : lg 0,81 10 lg x lg 0,81 x = 4,534 4,5 Ratkaistaan logaritmin avulla. Auton arvo laskee koko ajan, joten se alittaa 10 000 viiden vuoden kuluttua. Vuoden voi selvittää myös laskemalla taulukkoon auton arvon joka vuodelta niin kauan, kunnes se on riittävän alhainen. 10. Neljässä pullossa siideriä on alkoholia 4 1 = 48 (g). Kolmen tunnin aikana alkoholia palaa 3 5,8 = 17.4 (g). Alkoholin määrä Viivin elimistössä viimeisen siiderin nauttimisen jälkeen: 48 17,4 = 30, (g) Siis a = 30, g ja m = 58 kg = 58 000 g Veren alkoholipitoisuus: a 30, 0,0007993... 0, 0008 0,m 0, 58000 0,8 11. Myytyjen puhelimien määrät muodostavat aritmeettisen lukujonon, jonka yleinen jäsen on a n = 45 + (n 1) 15. Yhdeksännen viikon myynti: a 9 = 45 + (9 1) 15 = 45 + 8 15 = 15 (puhelinta). Muodostetaan lukujonon n:n ensimmäisen jäsenen summan lauseke ja ratkaistaan yhtälön avulla, millä n:n arvolla se saa arvon 000.

10 S n a n a 45 (45 ( n 1) 15) 45 45 15n 15 15n 75 n n n 1 n 15n 75 n 000 n(15n + 75) = 1 000 15n + 75n 1 000 = 0 a = 15, b = 75, c = 1 000 75 75 4 15 ( 1000) 75 70000 n 15 30 75 70000 75 70000 n 5,784... 5,8 tai n 30.784... 30, 8 30 30 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. Summan arvo suurenee, kun yhteenlaskettavien määrä kasvaa, joten se ylittää arvon 000, kun n =. Erä on myyty loppuun. viikolla. 1. Rajasuorien yhtälöt: x + y = 10 x + 3y = 15 x = 0 y = 0 y = x + 10 3y = x + 15 : 3 1 y x 5 3 Piirretään suorat ja perustellaan testipisteen (5, 5) avulla, että epäyhtälöiden rajaama tasoalue on kuvan mukainen. Pisteen koordinaatit toteuttavat epäyhtälöt x 0 ja y 0.

11 x y 10 5 5 10 15 10 tosi x 3y 15 5 35 15 0 15 tosi Koordinaattien summa x + y on pienin jossakin alueen kärkipisteistä. Ratkaistaan niiden koordinaatit. Piste A on suoran y = x + 10 ja y-akselin leikkauspiste. Sen koordinaatit (0, 10) nähdään suoran yhtälöstä. Piste B: y x 10 1 y x 5 3 1 x 10 x 5 3 3 x + 30 = x + 15 5x = 15 : ( 5) x = 3 y = 3 + 10 = 4 Siis B = (3, 4). Piste C: 1 y x 5 3 y 0 1 x 5 0 3 3 x + 15 = 0 x = 15 : ( 1) x = 15 Siis C = (15, 0). Lasketaan koordinaattien summa kussakin kärkipisteessä. A = (0, 10): 0 + 10 = 10

1 B = (3, 4): 3 + 4 = 7 C = (15, 0): 15 + 0 = 15 Koordinaattien summa pienin arvo 7 on alueen pisteessä (3, 4). Kärkipistearvoista löytyy tässä tilanteessa vain pienin arvo. Koordinaattien summalla ei ole alueessa suurinta arvoa, koska summa kasvaa siirryttäessä alueen sisällä kauemmas rajasuorista. 13. Muokataan yhtälöä niin, että sen oikealle puolelle saadaan nolla. x 4 3x = 1 x 4 3x 1 = 0 Väli ], 1[ tarkoittaa väliä < x < 1, jossa päätepisteet eivät kuulu mukaan väliin. Lasketaan funktion f(x) = x 4 3x 1 arvot välin < x < 1 päätepisteissä. f( ) = ( ) 4 3 ( ) 1 = 19 (merkki +) f( 1) = ( 1) 4 3 ( 1) 1 = (merkki ) Koska arvot ovat erimerkkiset, funktiolla on nollakohta (ja alkuperäisellä yhtälöllä juuri) välillä < x < 1. Lasketaan funktion f(x) arvoja välillä olevilla x:n yksidesimaalisilla arvoilla alkaen päätepisteen 1 puolelta, koska arvo f( 1) = on lähempänä arvoa 0. x f(x) = x 4 3x 1 Merkki 1 1,1 ( 1,1) 4 3 ( 1,1) 1 = 1,7018 1, ( 1,) 4 3 ( 1,) 1 = 1,178 1,3 ( 1,3) 4 3 ( 1,3) 1 = 0,3578 1,4 ( 1,4) 4 3 ( 1,4) 1 = 0,803 + Nollakohta on kohtien x = 1,4 ja x = 1,3 välissä, koska funktion arvot näissä kohdissa ovat erimerkkiset. Lasketaan vielä funktion arvo kohdassa x = 1,35, jotta saadaan selville, kumpaan arvoon nollakohdan yksidesimaalinen likiarvo pyöristyy. x f(x) = x 4 3x 1 Merkki 1,3 0,3508 1,35 ( 1,35) 4 3 ( 1,35) 1 = 0,175515 + 1,4 0,003 + Nollakohta on kohtien x = 1,35 ja x = 1,3 välissä. Sen ja samalla alkuperäisen yhtälön juuren yksidesimaalinen likiarvo x 1,3.

13 14. Tehtävä on syventävän kurssin Talousmatematiikka aihepiiristä. Korkopäivien määrä (talletuspäivä ei ole korkopäivä, mutta päättymispäivä on). Maaliskuu: 31 15 = 1 Huhtikuu: 30 Toukokuu 31 Kesäkuu: 15 Yhteensä: 1 + 30 + 31 + 15 = 9 Vuotuinen korko lähdeveron vähentämisen jälkeen: 100 % 8 % = 7 % 0,7,15 % = 1,584 % Koron määrä: 9 30 0,01584 400 1,19 1, ( ) Merkitään 5 euron koron tuottavaa talletussummaa x:llä ja ratkaistaan se yhtälön avulla. 9 30 0,01584 x 5 30 9 0,01584 x = 1800 1,4578x = 1800 : 1,4578 x = 135,1778 135,18 ( ) 15. Tehtävä ratkeaa helpoiten syventävän kurssin Matemaattisia malleja III tiedoilla.

14 Merkitään A = (, 1), B = (5, 8) ja C = ( 4, 1). Kuvion perusteella kulma A on suora. Osoitetaan se vektoreiden avulla. AB ( 5 ) i (8 ( 1)) j 3i 9 j AC ( 4 ) i (1 ( 1)) j i j Lasketaan vektoreiden pistetulo. AB AC 3( ) 9 18 18 0 Koska pistetulon arvo on 0, vektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Kulma A on siten suora, joten kolmio on suorakulmainen. Koska kolmion sivut AB ja AC ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, ne voidaan valita kannaksi ja korkeudeksi pinta-alan laskemista varten. Lasketaan sivuvektoreiden AB ja AC pituudet. AB 3 9 90 AC ( ) 40 Kolmion pinta-ala on A 90 40 30.

15 Ilman vektorilaskentaa kolmion suorakulmaisuus voidaan osoittaa laskemalla suorakulmaisten apukolmioiden avulla kolmion sivujen pituudet ja osoittamalla, että niiden tarkat arvot toteuttavat Pythagoraan lauseen ehdon. Kolmas tapa on muodostaa kolmion sivujanoja AB ja AC pitkin kulkevien suorien kulmakertoimet ja osoittaa, että ne toteuttavat taulukkokirjasta löytyvän suorien kohtisuoruusehdon. Kolmion pinta-alan voi laskea myös ympäröimällä kolmion suorakulmiolla ja vähentämällä sen alasta kolmion ulkopuolelle jäävien osien alat.