Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2. Osoita, että kuvaus Df(a)u = 2(a u) kaikille u R n. f : R R, f(x) = (x 1 x 2 2, x 2 cos x 1, x ) on jatkuvasti differentioituva. Laske myös kuvauksen f Jacobin determinantti pisteessä x R. Mikä on kuvauksen f Jacobin matriisin aste pisteessä a = (0, 0, 0)?. Määritä kuvauksen f : R R, f(x) = (e x, cos x, sin x) derivaatta ja Jacobin matriisi pisteessä a = 0. Mikä on kuvauksen f Jacobin matriisin aste origossa? 4. Määritä funktion f : R 2 R, f(x) = 4 x 2 1 x 2 2 (a) derivaattakuvaus ja derivaatan matriisi pisteessä x R n. (b) gradienttivektori pisteessä x R 2. (c) Hessen matriisi pisteessä x R 2. (d) kriittiset pisteet joukossa R 2. (e) kohdassa (d) löytämiesi kriittisten pisteiden laatu. (f) Hahmottele graafit funktioille f ja sen lineaariaffiinille approksimaatiolle pisteessä a = (0, 1). h : R 2 R, h(x) = f(a) + Df(a)(x a) 5. Määritellään kuvaus f : R R 2 asettamalla { (x cos x, x 2 sin(1/x)), jos x 0 f(x) = (0, 0), jos x = 0. Osoita, että kuvaus f on differentioituva ja määritä sen derivaatta pisteessä a R. 6. Tarkastellaan kuvausta f : R 2 R 2, f(x) = (x 1 x 2, x 2 1 + x 2 2). (a) Määritä kuvauksen f suunnattu derivaatta pisteessä a = (1, 2) vektoreiden suuntaan. v 1 = (1, 1), v 2 = (, 4), v = ( 1, 1) ja v 4 = (, 4) (b) Määritä kuvauksen f Jacobin matriisi pisteessä x R 2. (c) Missä pisteissä kuvaus f on lokaalisti kääntyvä? (d) Onko kuvaus f diffeomorfismi?
7. Tutki seuraavien kuvauksien lokaalia injektiivisyyttä: (a) (b) 8. Tutki kuvauksen f : R 2 R 2, f(x 1, x 2 ) = (x 2 1, x 2 1 + x 2 ). g : R 2 R 2, g(x 1, x 2 ) = (x 2 1 + x 2 2, x 1 x 2 ). f : R 2 \ {0} R 2, f(x 1, x 2 ) = (x 2 1 x 2 2, 2x 1 x 2 ) lokaalia injektiivisyyttä. Onko f injektio? 9. Määritä funktion f : R n R, f(x) = cos(sin x 2 ) derivaatta ja gradientti pisteessä a R n. 10. Olkoot U ja V avaruuden R n avoimia joukkoja, ja olkoon f : U V diffeomorfismi. Osoita, että (a) Df(x) : R n R n on bijektio kaikilla x U. (b) (c) 11. Tarkastellaan yhtälöä Df 1 (f(x)) = Df(x) 1 kaikilla x U. J f (x)j f 1(f(x)) = 1 kaikilla x U. cos(x 1 + x 2 ) + 2 sin(x 2 + x ) + x = 1. (a) Osoita, että tällä yhtälöllä on pisteen a = (0, 0, 0) ympäristössä muotoa x = g(x 1, x 2 ) ja x 2 = g(x 1, x ) olevat jatkuvasti differentioituvat ratkaisut. (b) Ratkaise myös gradientit g (0, 0) ja g 2 (0, 0). (c) Mitä implisiittifunktiolause sanoo muotoa x 1 = g(x 2, x ) olevan ratkaisun olemassaolosta? 12. Osoita, että yhtälöllä x + y xy 2 + y 5 = 0 on origon ympäristössä täsmälleen yksi jatkuvasti derivoituva ratkaisu modossa y = y(x). Osoita myös, että y (0) = 1.
1. Tarkastellaan yhtälöparia { xyu + yuv = 0 xy + yu + uv = 2 pisteen z 0 := (x 0, y 0, u 0, v 0 ) = ( 2, 0, 2, 1) ympäristössä. (a) Osoita, että tällä yhtälöparilla on pisteen z 0 ympäristössä muotoa (y, u) = g(x, v) ja (y, v) = h(x, u) olevat jatkuvasti differentioituvat ratkaisut. (b) Ratkaise myös matriisit mat Dg( 2, 1) ja mat Dh( 2, 2). (c) Mitä implisiittifunktiolause sanoo muotoa olevien ratkaisuiden olemassaolosta? 14. Tarkastellaan yhtälöparia (x, u) = f(y, v) { sin(x + y) + cos u = 1 sin(y + u) + cos v = 1. (a) Osoita, että kyseisellä yhtälöparilla on pisteen a = (0, 0, 0, 0) ympäristössä muotoa (x, y) = g(u, v) oleva jatkuvasti differentioituva ratkaisu. (b) Määritä (a)-kohdan kuvaukselle g lineaarikuvauksen Dg(0, 0) matriisi. 15. Osoita, että joukko S = {R : x 1 = x 2, x = x 4 2} on avaruuden R sileä yksiulotteinen alkeispinta. Määritä lisäksi pinnan S tangenttisuora T b ja normaalitason N b pisteessä b = (a, a, a 4 ). 16. Osoita, että joukko S = {R : x = x 2 1 + x 2 2} on avaruuden R sileä kaksiulotteinen graafipinta. Määritä lisäksi pinnan S tangenttitaso T b ja normaalisuora N b pisteessä b = (1, 1, 2). 17. Osoita, että joukko S = {R : x = 1, x 1 > 0} on avaruuden R sileä kaksiulotteinen graafipinta. Määritä lisäksi pinnan S tangenttitaso T b ja normaalisuora N b pisteessä b = ( 1 1,, 1 ). 18. Olkoon f : R R 2 jatkuvasti differentioituva kuvaus, jolle psiteessä b = (1, 0, 1) on f(b) = 0 ja [ ] 0 2 1 mat Df(b) =. 1 5 Osoita, että tällöin joukko S = f 1 (0) on pisteen b ympäristössä sileä käyrä. Määritä lisäksi joukot T b ja N b ja piirrä ne.
19. Tarkastellaan reaaliarvoista funktiota f : R R, f(x) = 4x 2 1 8x 1 x 2 + 4x 2 2 + x x 1 x. Määritä funktion f kriittiset pisteet ja niiden laatu. 20. Osoita, että funktiolla ei ole ääriarvopisteitä. 21. Määritä funktion f : R R, f(x) = x 1 x 2 2 x 2 f : R R, f(x) = x 2 1 6x 1 x 2 x 2 2 + x + x 1 x kriittiset pisteet ja tutki niiden laatua. 22. Mikä on avaruuden R tasojen T 1 = {x R : x 1 + 2x 2 = 6} ja T 2 = {x R : x 1 x 2 x = } leikkaussuoran etäisyys origosta? Entä pisteestä a = (1, 1, 1)? 2. Tarkastellaan polkuja γ : [0, 1] R 2, γ(t) = (1 t, t) ja γ : [π, 2π] R 2, η(t) = (sin t, cos t). Muodosta polut γ, η ja γ η. Laske lisäksi funktion integraali polun γ η suhteen. 24. Määritä poluille f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 γ : [ π, 1 2 π] R2, γ(t) = (2 cos t, 2 sin t) ja η : [ 1, 1] R 2, η(t) = (2t, 4 4t 2 ) yhdistetty polku γ η ja hahmottele siitä kuva. Laske myös funktion integraali polun γ η suhteen. f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = x 1 25. Laske polun γ : [0, π] R 4, γ(t) = (sin t, cos t, sin t, cos t) pituus. Onko polku γ Jordan-polku? Entä onko se sileä?
26. Laske paraboloidin pinta-ala. Laske lisäksi funktion T = {(x, y, z) R : x 2 + y 2 + z = 2, z 0} f : R R, f(x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z pintaintegraali yli joukon T. (Vinkki: Käytä apunasi napakoordinaattimuunnosta, sekä sijoitusta t = 1 + 4r 2. Ratkaisuksi tulee 1 71 π ja π) 0 27. Laske funktion h : B 2 (0, 1) \ {0} R, h(x, y) = graafin G h pinta-ala. Laske lisäksi funktion 1 x2 + y 2 f : R R, f(x, y, z) = (x 2 + y 2 ) 2 + 2 z 4 integraali yli pinnan G h. (Vinkki: tehtävässä tarvitsee ainoastaan tehdä napakoordinaattimuunnos. Vastaukseksi tulee π(2 2 1)). 28. Joukko E R syntyy, kun pallonpuolikas B + := {x R : x = 2, x > 0} leikataan sylinterillä H := {x R : x 2 1 + x 2 2 2}. Osoita, että reunajoukon E pinta-ala on Ala( E) = π(14 4 2).