Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0 0 + = (0, ) + = 7 (, 7) + = (, ) Suorat leikkaavat pisteessä (, ). 5. a) ( x ) + (x + ) = x + x + = x b) ( x ) (x + ) = x x = 5x 5 c) ( x )(x + ) = 6x x x = 6x x 6. ( x + y) + (x y) = x + y + x y = x 8y kun x = ja y =, saadaan 8 ( ) = + 8 = 7 7. a) 5a (b + a) + ( a + 5b) + ( 0a) 6b = 5a b a a + 5b 0a 6b = 9a + 7b
b) a( b + a) ( 7b + a)( b a) = ab a (7b + 7ab ab a ) = ab a 7b 7ab + ab + a = a 7b + 8ab 8. a) (a a)(a a) = a a 6a + a = a 50a + a b) y( x + 5y) y( x + y) = 6xy + 0y + xy y = 7y xy 9. kummilapsi: 00 5 ( ) kuulovammaiset nuoret: 00 75 ( ) 6 sisällissodan lapset: 0000 ( ) diabetesliitto: 0000 ( ) syöpähoidot: 00 (5 + 50 + 75 + 00) = 50 ( ) 0. a) b) 8 7 87 6 9 5 5 5 5 8, käänteisluku 8 5 7 5, käänteisluku 5 7 5 7 ( 7) 5 : 8 7 8 5 85 0 5 0. korotus: 0,0 50 = 5,9 ( )
uusi vuokra: 50 + 5,9 = 55,90 ( ) yhdellä lausekkeella laskettuna:,0 50 = 55,90 ( ) Vastaus: Asunnon vuokra on 55,90. 00. 0,666... 7% 500 Vastaus: Vaikuttavaa ainetta on 7 %.. osia yhteensä + = tiivisteen osuus: 0,5 5% Vastaus: Tiivistettä on 5 %... alennus: 0,5 9 =,85 ( ) alennettu hinta: 9,85 = 86,5 ( ). alennus: 0,0 86,5 =,7 ( ) alennettu hinta: 86,5,7 = 8,7 8, ( ) yhdellä lausekkeella laskettuna: 0,85 0,98 9 = 8,7 8, ( ) Vastaus: Soittimesta joutuu maksamaan 8,. 5. 99 00 kulta 0 000 5 000 platina 0 000 0 000 a) 00005000 5 000 0,... % 5000 5000 b) 0000 0000 0000 0,5 5% 0000 0000 Vastaus: a) % enemmän b) 5 % vähemmän
6. a) x = 9 x + x 0x = 5 : 0 x 0,5 b) (6,x) =,7x 8,x =,7x 8,7x 5x = 0 : ( 5) x = c) 8x (6 x) = 5 (x ) 8x 6 + x = 5x 5 9x 6 = 5x 5 + 6 5x x = : x 0,5 d) x 7 x 5 5(x + 7) = (x ) 5x + 5 = x x = 7 5 x 6. a) f( ) =,5 ( ) + 6 =,5 b) f(5) =,5 5 + 6 =,5 c),5x + 6 = 0 6,5x = 6 :,5 x = d) y =,5 0 + 6 = 6 6. x + (x +,9) + (x +,9) = 6 x +,9 x +,9
x + 5,8 = 6 5,8 x = 0, : x, +,9 = 6, x =, Vastaus:, cm, 6, cm ja 6, cm 6. Merkitään Kaisan painoa x:llä. Matin paino on tällöin,5x ja Kallen,5x 8. x +,5x + (,5x 8) = 00 x 8 = 00 + 8 x = 08 : x = 5,5 5 = 78,5 5 8 = 70 Vastaus: Kaisa painoi 5 kg, Matti 78 kg ja Kalle 70 kg. 65. Paino (g) Hinta ( ) 50,60 x 5 Paino ja hinta ovat suoraan verrannolliset. 50,60 x 5,60x = 50 5,60x = 50 :,60 x = 78,5 780 Vastaus: Makkaraa saa noin 780 g. 66.
Keskinopeus (km/h) Aika (h) 90 6 70 a 00 m Kun matka pysyy samana, keskinopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset. a) 90 a 70 6 70a = 90 6 70a = 50 : 70 a = 7,78 7,7 (h) 7,7 h = 7 h + 0,7 60 min = 7 h,8 min 7 h min b) 90 m 00 6 00m = 90 6 00m = 50 : 00 m = 5, h 5, h = 5 h + 0, 60 min = 5 h min Vastaus: Matka kestää a) 7 h min b) 5 h min. Koska keskinopeus ja aika on annettu toisiaan vastaavissa yksiköissä, tehtävän voi ratkaista myös laskemalla ensin matkan pituuden 6 90 = 50 (km). 67. a) y = 0x + 50 b)
c) 7,5 kuutiota 68. Huoneistojen osuudet kustannuksista ovat 9x, 68x, 68x ja 5x. 9x + 68x + 68x + 5x = 500 x = 500 : x = 68,5 68,5 Jotta osuudet saadaan sentin tarkkuudella oikein, välituloksena kannattaa käyttää laskimen antamaa tarkkuutta. 9 68,5 = 6 0,069 6 0, 68 68,5 = 658,89 658, 89 5 68,5 = 7 879,0087 7 879,0 A:n osuus: 6 0, B:n ja C:n osuus: 658,89 D:n osuus: 7 879,0 Vastaus: Huoneistoille tulleet maksut ovat 6 0,, 658,89, 658,89 ja 7 879,0. 69. Sivujen määrä Lukuaika (min) 66 95
76 66 = 696 x Sivujen määrä ja lukuaika ovat suoraan verrannolliset. 66 95 696 x 66x = 696 95 66x = 66 9 : 66 x = 00,88... 00,8 (min) 00,8 00,8 min = h = 6,697 h 60 00,8 min 6 60 min =,8 min min Vastaus: Lukemiseen kuluu vielä 6 tuntia minuuttia. 9. a) f(5) = 5 5 = 00 ei ole nollakohta 50. x f(x) = x ( ) = ( ) = 0 0 = 0 = = x g(x) = 0 x ( ) = ( ) = 0 = 0 = =
x h(x) = x ( ) = 8 ( ) = 0 0 = 0 = = 8 5. a) f(0) = 0 = f() = = 0 f() = = 5 b) Nollakohdat ovat x = ja x = 5. a) 0 m m, x b) x( x) c) = x + x x x f(x) = x + x 0 0 + 0 = 0 + = + = 0 + = 5 + = 6 5 5 + 5 = 70 6 6 + 6 = 7 7 7 + 7 = 70 8 8 + 8 = 6 9 9 + 9 = 5 0 0 + 0 = 0 + = + = 0
5. f( ) = 8, f( ) =, f(0) = 0, f() =, f() = 0, f() = ja f() = 8 Nollakohdat ovat x = 0 ja x =. 5. a) 0x + 9x = 0 a = 0, b = 9 ja c = x 9 9 0 () 0 9 9 0 0 9 x 9 tai x 0 0 0 b) x 8x 6x + 8 = 0x + 0x + x + 6x + 60 = 0 a =, b = 6 ja c = 60
x 6 6 60 6 6 6 6 6 x 6 tai x 0 c) z z = z + 0z + 60 z 0z 60 z z 60 = 0 a =, b = ja c = 6 z () () (60) 6 9 9 9 z 5tai z Vastaus: a) x tai x, b) x = 6 tai x = 0, c) z = 5 tai z = 0 55. a) x + x + = 0 a =, b = ja c = x 5 ei ratkaisua b) x = (x + 8) x = x 56 + x + 56 x + x + 56 = 0 a =, b = ja c = 56 x 56 0 6 Vastaus: a) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) x = 6
56. a) TAPA (ratkaisukaavalla) x 8 = 0 a =, b = 0 ja c = 8 x 0 0 (8) 6 8 8 8 x tai x TAPA x 8 = 0 + 8 x = 8 : x = x x = ± b) TAPA (ratkaisukaavalla) 9x = 9x = 0 a = 9, b = 0 ja c = x 0 0 9 () 9 6 8 6 8 x 6 8 TAPA 6 tai x 8 9x = : 9 x 9
x 9 x Vastaus: a) x = tai x =, b) x tai x 57. a) TAPA (ratkaisukaava) 8x + = 0 a = 8, b = 0 ja c = x 0 0 8 8 6 6 TAPA ei ratkaisua 8x + = 0 8x = : 8 x aina epätosi, ei ratkaisua b) y(y ) = (9 y) y y = 8 y 8 + y y 8 = 0 TAPA (ratkaisukaava) a =, b = 0 ja c = 9 y 0 0 (9) 6 6 6 6 y tai y TAPA
y 8 = 0 + 8 y = 8 : y = 9 y 9 y = ± Vastaus: a) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) y = tai y = 58. a) TAPA (ratkaisukaava) x + 5x = 0 a =, b = 5 ja c = 0 x 5 5 0 5 5 5 5 5 5 5 5 x 0 tai x 5 TAPA x + 5x = 0 x(x + 5) = 0 x = 0 tai x + 5 = 0 5 x = 5 b) TAPA (ratkaisukaava) x x = 0 a =, b = ja c = 0 x () () 0 x 6 6 6 x tai x 0 6 6 TAPA
x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 tai x = 0 + c) z(z 8) + = (z + ) x = : x = z 8z + = z + z z 0z = 0 TAPA (ratkaisukaava) a =, b = 0 ja c = 0 z (0) (0) 0 0 00 00 00 00 z 5 tai z 0 TAPA z 0z = 0 z(z 0) = 0 z = 0 tai z 0 = 0 + 0 z = 0 : z = 5 Vastaus: a) x = 0 tai x = 5, b) x tai x = 0, c) z = 5 tai z = 0 59. Paraabeli sivuaa x-akselia, kun yhtälöllä x 6x + a = 0 on vain yksi ratkaisu. Sijoitetaan ratkaisukaavaan yhtälön kertoimet.
( 6) x ( 6) a 6 6a 6 Ratkaisuja on vain yksi, kun neliöjuurimerkin sisällä olevan lausekkeen arvo on nolla. 6 a = 0 6 a = 6 : ( ) a = 60. Merkitään luonnollista lukua x:llä. Seuraava luonnollinen luku on x +. Näiden neliöt ovat x ja (x + ). x + (x + ) = x + (x + )(x + ) = x + x + x + x + = x + x 0 = 0 a =, b = ja c = 0 ( 0) 6 58 x 58 58 x tai x 5 5 ei ole luonnollinen luku, se ei käy. Vastaus: Luku on ja sitä seuraava luku 5. 6. Merkitään lattian pituutta x:llä. Leveys on 0,75x. 0,75x x = 8 0,75x = 8 : 0,75 x = 0 Ratkaistaan neliöjuurella. 0,75x x x 0,659..., tai x 0,659..., Negatiivinen vastaus ei käy.
x, (m) 0,75x = 0,75,66 =,95, (m) Vastaus: Lattian mitat ovat pituus, m ja leveys, m. 6. s = 0,5v + 0,0v a) s = 0,5 70 + 0,0 70 = 5,5 6 (m) b) 0,5v + 0,0v = 60 60 0,0v + 0,5v 60 = 0 v 0,5 0,5 0,0 (60) 0,0 0,5,865 0,5,05 0,0 0,0 0,5,05 0,5,05 v 8,8775 50 taiv 6,775 60 ei käy 0,0 0,0 Vastaus: a) 6 m b) 50 km/h 6. Merkitään jokea vastaan kohtisuorien sivujen pituutta x x x:llä. Joen suuntaisen sivun 0 x pituus on tällöin 0 x. x(0 x) = 000 0x x = 000 000 x + 0x 000 = 0 a =, b = 0 ja c = 000 0 x 0 ( ) ( 000) ( ) 0 8900 070
070 x 5 tai 070 x 00 Toinen sivu: x = 5 0 x = 0 5 = 00 x = 00 0 00 = 0 Vastaus: Alueen mitat ovat 5 m ja 00 m tai 00 m ja 0 m jokea vastaan kohtisuoran sivun pituus ensin mainittuna. 6. a) x = 0 TAPA (ratkaisukaava) a =, b = 0 ja c = 0 x 0 ( ) 56 x TAPA 56 tai x 56 x x tai x b) x + x = 0 a =, b = ja c = x () 7 56 56 Vastaus: a) x tai x, b) x 7 tai x 7 65. T R T R R = 9 600 000 (km)
T = (a) a) R = 5 9 000 000 (km) T = x (a) x 9600000 x 59000000 = 9600000 5 9 000 000 59000000 x 5 9000000 9600000 x = ± 8,55 ± 9 Negatiivinen vastaus ei käy. T 9 (a) b) R = 000 000 (km) T = x x 9600000 x = 000 000 9 600 000 000 000 000000 x 000 000 9 600 000 x = ±,606... ±,6 Negatiivinen vastaus ei käy. T,6 (a) Vastaus: a) 9 vuotta, b),6 vuotta
Harjoituskokeet Koe. a) x (x + ) = x x = x b) (x )(x + ) = x + x x = x + x c) f( 5) = ( 5) ( 5) = 5 + 0 = 5 Vastaus: a) x b) x + x c) f( 5) = 5. a) (x + ) = 5x + x + = 5x + 5x x = 8 : ( ) x = b) 7x = + 7x = 6 : 7 6 x 7 c) (x + ) = 8x + 7 8x + 6 = 8x + 7 0 = epätosi ei ratkaisua 6 8x Vastaus: a) x = b) 6 x c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 7. a) TAPA 0,050 60 = 8 60 + 8 = 7 0,05 7 = 60,7 7 + 60,7 = 78,7 ( ) TAPA,05,050 60 = 78,7 ( )
b) Alennus oli 79 50 = 9 ( ). 9 0.670... 7% 79 Vastaus: a) Korotusten jälkeinen palkka on 78,7. b) Hintaa oli alennettu 7 %.. a) x + 5x 6 = 0 a =, b = 5 ja c = 6 5 x 5 ( 6) 5 9 5 7 5 7 x tai 5 7 x 6 b) 7x x = x + x x x = 0 a =, b = ja c = ( ) x 5 x 6 ( ) ( ) 5 tai x 6 6 ( 5 5 6 6 Vastaus: a) x = tai x = 6 b) x = tai 5. a) f(x) =,7 +,x b) f() =,7 +, =,50 ( ) c) Merkitään matkan pituutta x:llä.,7 +,x = 50,7, x = 5, :, x = 7,75 (km) x Vastaus: a) f(x) =,7 +,x b) Matka maksaa,50. c) Matkan pituus on 7,75 km. 6. a) Pakkaajien määrä Työn kesto (h) 8 6 x Pakkaajien määrä ja työn kesto ovat kääntäen verrannollisia.
8 x 6 x 86 x = 8 : x = Pakkaajia tarvitaan lisää 8 =. b) Pysähtymismatka (m) Nopeus (km/h) Nopeus 5 50 50 x 80 80 5 50 x 80 50 x = 5 80 500 x = 96 000 : 500 x = 8, 8 (m) Vastaus: a) Pakkaajia tarvitaan lisää. b) Pysähtymismatka on 8 m. 7. x f(x) = x + x + f( ) = ( ) + ( ) + = 0 f(0) = 0 + 0 + = f() = + + = f() = + + = f() = + + = f() = + + = Vastaus: Nollakohdat ovat x 0, ja x,. 8. Merkitään lisättävän suolan määrää x:llä. Suolaliuoksessa on ennestään suolaa 0,0 0 = (g). Lisäyksen jälkeen suolan määrä grammoina on + x ja koko liuoksen määrä 0 + x.
Suolan määrän tulee olla 8 % koko liuoksen määrästä. + x = 0,8(0 + x) + x =,6 + 0,8x 0,8x 0,7x =,6 : 0,7 x = 0 Vastaus: Suolaa tulee lisätä 0 g. 9. Merkitään x:llä navetan seinää vastaan kohtisuorassa olevien sivujen pituutta. Navetan suuntaisen sivun pituus on tällöin 0 x. x 0 x x x(0 x) = 50 0x x = 50 50 x + 0x 50 = 0 a =, b = 0 ja c = 50 0 0 ( ) ( 50) 0 00 0 0 x ( ) 0 0 0 0 x 5 tai x 5 Lasketaan toisen sivun pituus. x = 5: 0 x = 0 5 = 0. x = 5: 0 x = 0 5 = 0. Vastaus: Mitat ovat 0 m ja 5 m tai 0 m ja 5 m navetan suuntainen sivu ensin mainittuna. Koe. a) x = x + 0 + x x = : x = 7 b) ) x 5 5) x x 5x 0 0 7x 0 c) g( ) = + ( ) = 7x Vastaus: a) x = 7 b) c) g( ) = 0
. a) Torjuttuja laukauksia oli =. 0,90... 9% b) Merkitään alkuperäistä hintaa x:llä. 00 % 5 % = 85 % 0,85x = 50,5 : 0,85 x = 59 ( ) Vastaus: a) Maalivahti torjui 9 % laukauksista. b) Alkuperäinen hinta oli 59.. x x + 6 a) p = (x ) + (x + 6) = x + x + = 6x + 0 b) A = (x )(x + 6) = x + x x 6 = x + x 6 Vastaus: Piirin lauseke on 6x + 0 ja pinta-alan lauseke x + x 6.. a) f(50) = 5 0,07 50 = 7,5 (l) b) Täytyy olettaa, että auton bensatankki on aluksi täynnä. f(0) = 5 0,07 0 = 5 (l) Tuloksen voi myös päätellä suoraan funktion f(x) lausekkeesta. c) Merkitään matkaa x:llä. 5 0,07x = 0 5 0,07x = 5 : ( 0,07) x = 6,85 60 (km) Vastaus: a) Polttoainetta on 7,5 litraa. b) Bensatankin tilavuus on 5 litraa. c) Täydellä tankillisella voi ajaa 60 km. 5. a) x 8x + 6 = 0 a =, b = 8 ja c = 6 ( 8) x ( 8) 6 8 0 8 0
b) x + x = 6 + 6 x + x + 6 = 0 a =, b = ja c = 6 ( ) 6 x ( ) 7 7 x,5 tai x Vastaus: a) x = b) x =,5 tai x = 9 7 6. x y = x 5 0 y = 0 5 = 5 y = 5 = y = 5 = x y = x + 8 0 y = 0 + 8 = 8 y = + 8 = y = + 8 = 0 Vastaus: x,9 7. Merkitään Joelin kuukausipalkkaa x:llä. Annan kuukausipalkka on tällöin,0x ja Miikan 0,95x. x +,0x + 0,95x = 880,05x = 880 :,05 x = 600,0 600 = 760 0,95 600 = 50
Vastaus: Joelin kuukausipalkka on 600, Annan 760 ja Miikan 50. 8. Keskinopeus saadaan jakamalla kulunut matka siihen käytetyllä ajalla. Lasketaan matkan alku- ja loppuosaan kuluneet ajat t ja t. Puolikas matkasta on 8 km : = km. 85 t t 85t :85 t 0,97... 0,9 (h) 65 t t 65t :65 t 0,665... 0,66 (h) Koko matkaan kulunut aika: t t 0,9 0,66, (h) Keskinopeus koko matkalla: 8, 7,66... 7 (km/h) Vastaus: Keskinopeus koko mökkimatkalla oli 7 km/h. 9. Valaistusvoimakkuus (lx) Etäisyys (cm) Etäisyys 600 50 50 50 x x 600 x 50 50 50x = 600 50 50x = 500 000 : 50 x = 6 000 Ratkaistaan neliöjuuren avulla x 6000 Negatiivinen vastaus ei käy. x = 77,5 77 (cm) Yhtälön voi ratkaista myös ratkaisukaavalla. Vastaus: Valaistusvoimakkuus riittää lukemiseen vielä 77 cm:n päässä lampusta.