Sisällysluettelo Laskutoimituksia Laskutoimitukset luvuilla Lausekkeiden sieventäminen 8 Yhtälöitä ja prosenttilaskentaa Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälö Prosenttilaskenta Tasogeometriaa Tasogeometrian perusteita Suorakulmainen kolmio 8 Kuvioita 9 KOONTITEHTÄVÄT LUVUISTA 6 Lisää yhtälöitä 60 Kahden muuttujan yhtälö 60 Potensseihin liittyvät yhtälöt 7 Matemaattisia malleja 8 Verrannollisuus ja lineaarinen malli 8 Eksponentiaalinen malli 88 6 Avaruusgeometria 96 KOONTITEHTÄVÄT LUVUISTA 6 0 7 Todennäköisyys ja tilastot 6 Todennäköisyys ja lukumäärät 6 Tilastot ja normaalijakauma 8 Lukujonoja ja epäyhtälöitä 0 Lukujonoja ja summia 0 Epäyhtälöitä 9 9 Funktion kulun tutkiminen 9 Derivaatta ja funktion kulku 9 Ääriarvot ja haarukointi 68 KOONTITEHTÄVÄT LUVUISTA 9 8
Laskutoimituksia Laskutoimitukset luvuilla. a) 9 = b) ( ) = + = c) + 6 = 9 d) + ( ) = = 8 e) 7 ( 7) = 7 + 7 = 0 f) + 0 = 8 + 0 = 8. a) 9 ( ) = b) ( 8) = 6 c) 7 6 d) 60 e) 00 : ( ) = 0 f) : ( ) =. a) = = 8 b) ( ) = ( ) = c) = = 9 d) 6 = 6 e) 6 = = f) 0 = 0 0 0 = 0. a) + 6 = + 8 = b) ( + 6) = = c) = 6 = d) ( 6) = ( ) = ( ) = e) ( ) 8 = ( )... ( ) = (parillinen määrä negatiivisia tulon tekijöitä) 8 kpl f) ( ) 7 = ( )... ( ) = (pariton määrä negatiivisia tulon tekijöitä) 7kpl
. Laskimeen syötettynä: a) 6 ( 6) : 0 b) 00 00 : ( ) c) 8 8 (8 8) : ( ) 8 6. a) b) c) ( 0 6 ( 0 0 ( 6 7 7. a) b) 7 7 7 6 ( c) : 6 6 6 6 ( 8. a) ) 7 7 0 (. painoksen kirjan takana on väärä vastaus.) 9 9 9 9 9 b) c) 6 ) 6 7 7 9 9 9 6 ( 7 9. a) ( ) + = 8 + = 7 b) 7
0. a) 6 b) c) 8 8. ( 6) 8 (. Lavennetaan murtoluvut samannimisiksi. 9) 6 7 6 7) 9 6 6, joten luku on suurempi. 6 6 7. a) + ( ) = = 7 b) 6) ) 8 6 0 0 0 9 c) : 9 d) 7 7 7 6 6 6 6. a) 6 0 6 6 b) ( ) : : c) 9 9. a) 9) ) 9 9 6 0 6 6 8 9 8 98 7 b) 9 8 9 89 7 c) 8 : 9 9 9 8 8 ( 9 7 6 6
6 6. a) 7 7 7 7 7 9 9 b) c) 6 ) 8 6 6 8 6 6 6 ( (6 7. Lavennetaan murtoluvut samannimisiksi. ) 6 0 ) 6 0 6, joten luku on suurempi. 0 0 8. a) + = + = 9 + = 6 b) ( 6) + ( 6) = ( 6) ( 6) 6 = 6 6 = c) Muutetaan :n arvo ensi murtolukumuotoon. ) 6 9 6 9 9 9 9. 6 7 9 6 7 7 7 7 9 9 9 9 : 7 9 7 9 9 7 8 7 8 7 7 8 0. a) itseisarvo, vastaluku ja käänteisluku 8 8 7 b) itseisarvo, vastaluku ja käänteisluku 7 (Käänteisluvun määrittämistä varten luku kirjoitetaan ensin murtolukumuodossa: 7 ). 6 6 0
7. a) 8 + ( ) = 8 = b) 6 c) 8 8 0 : 8 d) ( ) ( ) 9 9 9 6 9 (. a) Laskimeen syötettynä: 9 6 9 : 6 9 08 Jos laskimessa ei ole erillistä murtolukutoimintoa, sekaluku on muutettava ensin 9 murtolukumuotoon 9. 9 b) 9 6 9 9 6 9 : 9 9 9 9 9 08 9 08
8 Lausekkeiden sieventäminen. a) + ( ) = = b) 8 = 0 c) ( ) = +. a) a + (a 6) = a + a 6 = 8a 6 b) (8 ) = 8 + = + c) (y 9) = y 6 6. a) ( ) + ( 7) = + 7 = 7 0 b) (s ) (s + ) = s s = s c) ( ) = 7. a) p = a + 7b = 6a + b b) A = a 7b = ab 8. a) ( 8) = b) ( + )( ) = + = c) 0a a(a + 6) = 0a 6a 8a = a 8a 9. P() = 8 + = 6 + = 9 P( ) = ( ) 8 ( ) + = + 8 + = 0. a) () = = 9 b) a a = aaaa aaaaa = a 9 c) 6 6. a) 8 8 b) c) Tehtävien 0 ja lausekkeiden sieventämisessä voi myös käyttää potenssikaavoja sen sijaan, että purkaa potenssit tuloiksi.
9. a) + ( ) = + = 7 b) ( ) = + = + c) ( ) = 0. a) ( ) + ( ) = + 0 = + 0 b) ( )( + ) = + + = + +. a) b) a 6 a 6 a c) ) 6 6 6 6. a) ( b) c) 0 a a a a : a 7 7 a 7 a 7a 7 6. a) p = ( + 9) + (7 ) = + 8 + = 6 + b) A = ( + 9)(7 ) = 7 + 6 8 = 7 + 6 8 7. a) 7 ( 8) = 7 + 0 = + 7 b) ( ) = ( )( ) = + 9 = 6 + 9 c) 9 ( )( + ) = 9 (6 + 8 ) = 9 (6 + ) = 9 6 + = + 8. a) (6 + ) + ( + ) = 6 + + = 6 + b) (6 + ) ( + ) = 6 + + = 6 + c) (6 + )( + ) = 8 + 0 + = 8 + 7 +
0 Tehtävien 0 ja lausekkeiden sieventämisessä voi myös käyttää potenssikaavoja sen sijaan, että purkaa potenssit tuloiksi. 9. Q( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( ) = 6 = 8 9 8 9 9 9 Q 0. a) ( a) = a ( a) = 6a b) = = 8 c) 6 y y y y y y y y y y y y y y. a) 7 7 (7 b) ( a a a a a a a a c) 0 0. a) ) b) y y y 9 c) 9 7 ). a) 7 6 ( b) 6 6 6 6 ( a a a a a a c) 0 0 0 0 :
. a) 6 ) 6( 6 6 ( ab b a b a b a b a b) ) ( ) ( 8 ( c) ) ( (
Yhtälöitä ja prosenttilaskentaa Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälö. a) = + = + = : = b) 8 = 7 + 0 7 = 0 + 8 6 = 8 : ( 6) = 6. a) + 0 + 9 = 0 a =, b = 0, c = 9 0 0 9 0 6 0 8 0 8 0 8 8 tai 9 b) + = + = 0 a =, b =, c = ( ) 6 6 6 6 tai 6 6 6 6
7. a) 8( ) = + 8. a) 8 6 = + 8 = + 6 = 0 : = b) ( ) = 9 b) 7 6 = 9 6 9 = + = :( ) 9 0 0 = 9 7 = 0 = 6 :0 = 6, 6 = 6 = 78 : = 78 =,6 Verranto ratkaistaan kertomalla ristiin. 9. a) + = + = 0 a =, b =, c = ( ) ( ) ( ) 8 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 6
b) ( ) = 0 Tapa Yhtälö voidaan ratkaista ratkaisukaavalla: = 0 a =, b =, c = 0 ( ) ( ) 0 Tapa 0 tai 0 Yhtälö voidaan ratkaista tulon nollasäännöllä. = 0 tai = 0 = 0. a) y = y y + y = + 7y = :7 y = 7 b) 6 6 6 6 + = 0 = 0 : = 6. a) 9 + = 6 9 6 + = 0 a = 9, b = 6, c = ( 6) ( 6) 9 9 6 0 8 6 8
b) ( + ) = 8 + 8 = 0 a =, b =, c = 8 6 ( 8) 6 6 6 6 tai. a) Ratkaistaan kertomalla ristiin. ( + ) = + 6 = = 6 : ( ) = b) ( ) = ( +) = 6 = 0 :6 = 0. a) ( + ) = 7 = 7 9 b) = 0 : ( ) 9 = ( ) 9 = 6 = 6 9 0 = ( ) = : ( ) =
6. a) = 6 Tapa 6 = 0 a =, b = 0, c = 6 0 0 ( 6) Tapa = 6 6 6 6 6 8 tai 8 = 6 8 = 8 tai = 8 s b) Verranto ratkaistaan kertomalla ristiin. s Tapa s = 00 s 00 = 0 a =, b= 0, c= 00 s 0 0 ( 00) 00 0 s 0 0 s 0 tai s 0 Tapa s = 00 s = 00 0 s = 0 tai s = 0. Sijoitetaan =. ( ) ( ) = 8 + 0 = = toteuttaa yhtälön. 6. Merkitään kolmion kantaa :llä. Kyljen pituus on. Piirin lauseke on + +.
7 + + =, 7 =, :7 =, (cm) =, = 0, (cm) Kyljet ovat 0, cm pituiset ja kanta, cm pituinen. 7. Merkitään ajettuja kilometrejä :llä. Autovuokraamo A: 0 +,0 Autovuokraamo B:,0 0 +,0 =,0,0,0 = 0 0,8 = 0 :( 0,8) = 6, (km) Kun ajokilometrejä on yli 6,, liikkeen A tarjous on edullisempi. 8. Tytöt tekevät töitä yhteensä + = 7 tuntia. Tuntipalkka on. 7 Minttu saa palkkaa = 60 ( ) ja Sahrami = 7 ( ). 9. Nopeus,,0 t s v, jossa s on kuljettu matka ja t = siihen käytetty aika. t t,0t =, :,0, t 0,6 (h),0 0,6 h = 60 0,6 min = 7, min
8 60. Merkitään lyhyttä sivua :llä. Pitkän sivun pituus on +. ( + ) = 60 + 60 = 0 a =, b =, c = 60 ( 60) 8 8,86... 8,86... 8,... 8, (m) tai 8,86... 0,... 0, (m) negatiivinen vastaus ei käy. Pidemmän sivun pituus on 8, + = 0, (m). Kentän mitat ovat 8, m ja 0, m. 6. a) Sijoitetaan = yhtälöön + 00 = 0. ( ) + ( ) 00 = 00 0 Luku ei ole yhtälön juuri. b) Sijoitetaan = yhtälöön 9 +6 = 0. 9 6 9 7 6 0 9 Luku on yhtälön juuri. 6. a) + = 0 a =, b =, c = ( ) 6 8 0 0 8 6 tai 0 0 8 0 0 0
9 b) = ( ) = 9 = :( 9) = 9 9 6. a) t ( t + ) = 7t t + t = 7t 7t 7t = + 0 = 0 Yhtälö toteutuu kaikilla t:n arvoilla. b) ( + )( ) = 0 ( + ) = 0 + + = 0 + = 0 = : = 6. a) = 0 8 = 0 : 8 = 0 8 b) (y + )(y ) = y y + y y 9 = y y y + 6 = 0 a =, b =, c = 6 y ( ) ( ) 6 8 y Yhtälöllä ei ole ratkaisua.
0 6. a) ( + ) = 0 ( + ) ( + ) = 0 + + + 0 = 0 0 + = 0 a =, b = 0, c = y ( 0) ( 0) 0 y 0 0 b) + 7 = 0 a =, b = 7, c = 7 7 7 ( ) 7 tai 7 66. a) 0 = 0 a =, b = 0, c = 0 0 0 ( 0) b) 0 00 0 0 0 0 tai ( ) = 0 0 = 0 a =, b =, c = 0 ( ) ( ) ( 0) 9 7 7 7 tai
67. Inarin ikä nyt on vuotta. Viidentoista vuoden kuluttua Inari on + vuotta. Yksitoista vuotta sitten hän oli vuotta. + = ( ) + = = = 8 : ( ) = Inarin ikä nyt on vuotta. 68. Merkitään Taiston osuutta :llä. Irmelin osuus on silloin 6. Koska lasku jaetaan kuukausipalkkojen suhteessa, osien suuruudet voidaan ratkaista verrannon avulla. 80 6 = 80 (6 ) = 07 6 80 = 07 6 : 07 6,066...,07 ( ) 6,07 = 6,9 ( ) Taiston osuus laskusta on,07 ja Irmelin 6,9. 69. Merkitään abien määrää :llä. Matkan kokonaishinnasta saadaan yhtälö. 0 =,0 ( 6) 0 =,0,0 = : (,0) = 6 = 8 Risteilylle lähti 8 abiturienttia.
70. Merkitään lukuja :llä ja + :lla. ( + ) = + = 0 a =, b =, c= ( ) 00 89 7 7 8, jolloin toinen luku on 9 7 tai 9, jolloin toinen luku on 8. Luvut ovat joko 8 ja 9 tai 9 ja 8. 7. Merkitään koko matkaan kuluvaa aikaan t:llä. Ratkaistaan aika nopeuden kaavasta t t t = : t =,0869,087 (h),087 h = 60,087 min = 6, min s v. t Loppumatkaan kuluva aika on 6, min 8 min = 7, min 7 min.
7. Taulun pinta-ala on 60 = 00 (cm ). Taulun ja kehyksen pinta-ala yhteensä on, 00 = (cm ). Merkitään kehyksen leveyttä :llä. Kehys on taulun kaikilla sivuilla. ( + )( + 60) = + 70 + 0 + 00 = 0 + 90 = 0 a =, b = 90, c = 90 90 ( ) 90 0 90 0,89... 8 8 90 0,89...,60...,6 (cm) 8 90 0,89... tai 9,0... negatiivinen ratkaisu ei käy. 8 Kehyksen leveys on,6 cm. 7. Merkitään rannan suuntaista sivua :llä. Rantaa vastaan kohtisuora sivu on 77, 0, pituinen. (77, 0,) = 00 0, + 77, 00 = 0 a = 0,, b = 77,, c = 00 77, 77, ( 0,) ( 00) ( 0,) 77, 006, 77,,7... 77,,7...,778... 6 (m), jolloin toinen sivu on 77, 0, 6 =, (m), tai 77,,7... 09,... 09 (m), jolloin toinen sivu on 77, 0, 09 = m. Alueen mitat ovat 6 m ja, m tai 0 m ja m.
7. = a + 0 = a a + a = 6 0 7a = : 7 a = 7 7. a) = 0 tai + = 0 tai 6 = 0 = : = 6 = : 6 = 0, = b) + 6 = 0 ( + 6) = 0 = 0 tai + 6 = 0 a =, b =, c = 6 ( 6) 9 7 7 7 tai 6
Prosenttilaskenta 76. a),6 0, %, b) 60 % = 0,60 0,60, = 88, 88,,6 = 9,99 ( ) 77. a) 9 00 600 = 700 700 0,978... 0,0 9 00 0,0 = 0 % b) Kuinka monta prosenttia pienempi on luku 00 kuin 600? 00 600 = 00 Erotusta verrataan lukuun 600. 00 0,666... 0,7 600 0,7 = 7 % (Jos erotus lasketaan aina niin, että lopputuloksesta vähennetään alkuperäinen arvo, etumerkki ilmoittaa muutoksen suunnan.) Kuinka monta prosenttia suurempi on luku 600 kuin 00? 600 00 = 00 Erotusta verrataan lukuun 00. 00 00 0, 0, = 0 % 78. a) 00 % +, % = 0, % =,0,0,0 =,00,0 ( ) b) Merkitään alkuperäistä hintaa :llä. 0, = 900 : 0, = 7 00 ( )
6 79. a) 0,078 0,078 7,8 % 6 b) 9 % = 0,9 0,9 6 =,6 80. a) 00 % + % = % =,,,80 = 7,696 7,70 ( ) b) 00 % % = 69 % = 0,69 0,69,80 = 0,90 0,90 ( ) 8. a) Kysytty luku on. 7 % = 0,7 0,7 = 6 : 0,7 = 8 b) Merkitään alkuperäistä hintaa h:lla. 00 % % = 8 % = 0,8 0,8h =,90 : 0,8 h = ( ) 8. a) 0 = 7 7 0,60... 0, 0, = % b) 0 = 7 7 0 0,0... 0, 0, = % 8. a) Voitto euroina on = 0,6 60 % b) Voitto euroina on 0 = 0, 0 % 0
7 8. a) % 0 % = % yksikköä. b) Rasvaa ennen muutosta oli 0,, = 0,7 (dl) Rasvaa muutoksen jälkeen on 0,, = 0, (dl). 0, 0,7 = 0, 0, 0,... 0, 0,7 0, = % 8. 00 % +,8 % = 0,8 % =,08 00 % +,7 % =,7 % =,7 00 %, % = 96,8 % = 0,968 00 % 0,6 % = 99, % = 0,99 00 % +,8 % = 0,8 % =,08,08,7 0,968 0,99,08, =,80 (miljoonaa euroa),8,679...,7,,7 = 7 % 7 % 00 % = 7 % Tulos parani 7 % 86. Merkitään verotonta hintaa :llä.,09 =,90 :,09 = 0,097 0,09 Veron määrä euroina on,90 0,09 =,8 ( ). 87. a) 0,8 0, = 0,9 (l) b) Boolin tilavuus yhteensä on 0, + 0, +, =, (l). 0,9 0,0796... 0,079, 0,079 = 7,9 %
8 88. Merkitään hintaa h:lla ja myyntiä m:llä. Tuotto on hinnan ja myynnin tulo hm. 00 % +, % =, % =, 00 % 0 % = 90 % = 0,9 Uusi hinta on,h ja uusi myynti 0,9m. Uusi tuotto on,h 0,9m =,00hm.,00 = 0,0% Tuotto nousi 0,0 % 00 % =,0 %, %. 89. a) 70 00 = 0 0 00 0, 0 % b) 00 % % = 9 % = 0,9 0,9 70 = 6,0 ( ) 90. a) 6 8 = 6 0,786... 0,8 0,8 = 8 % b) 7 = 86 86 7,0877...,, = % 9. a) 0,06 98 000 = 68 b) Merkitään myyntihintaa :llä. 0,0 = 8 000 : 0,0 = 0 000 ( ) 9. Merkitään alkuperäistä hinta a:lla. 00 % % = 7 % = 0,7, 00 % 0 % = 60 % = 0,6 0,6 0,7 a = 76,0 0,a = 76,0 : 0, a= 69 ( )
9 9. Tilavuokrat 0, 0 000 = 8 00 ( ) Tilavuokrien korotus 0, 8 00 = 760 ( ) Muutos prosentteina 760 0 000 0,08,8 % 9. 00 % +, % =, % =, 00 % + 6, % = 6, % =,6 00 % +, % = 0, % =,0 Merkitään kävijämäärää alussa a:lla. Uusi kävijämäärä on,,6,0 a =,997 a,997,00 = 0,0 % Kävijämäärä kasvoi kaikkiaan 0,0 %. k k a,00a,00,7...,7, =, % Keskimääräinen vuotuinen kasvu on, %.
0 9. Uusi arvonlisävero on % 9 % = %. Merkitään verotonta hintaa :llä. 00 % + % = % =, Hinta, ennen veron alennusta on,. 00 % + % = % =, Hinta veron alennuksen jälkeen,. Uusi hinta on vanhasta hinnasta, 0,96..., 0,96 = 0,96 = 9,6 %. Hinnan muutos prosentteina on 00 % 9,6 % = 7, %. 96. Olkoon palkan suuruus ennen vuodenvaihdetta. Veron alennuksen jälkeen käteen jää 7,8 %. Uusi ennakonpidätysprosentti on 00 % 7,8 % = 6, % 7,8 % = 0,78 7 % = 0,7 0,78 ( + ) = 0,7 + 9,60 0,78 +, = 0,7 + 9,60 0,008 = 6,9 : 0,008 = 08,7 ( ) Uusi palkka on 08,7 + = 09,7 ( )
97. Merkitään alkuperäistä matkan hintaa h:lla. Laivamatkan hinta on 0,h ja hotellihuoneen 0,7h. Hinnan korotuksen jälkeen laivamatkan hinta on,8 0,h. Uusi hotellihuoneen hinta on k 0,7h. Kootaan tiedot taulukkoon laivamatka hotellihuone yhteensä ennen korotusta 0,h 0,7h h muutosten jälkeen,8 0,h k 0,7h h Taulukon alemmalta riviltä saadaan yhtälö:,8 0,h + k 0,7h = h : h 0,9 + 0,7k = 0,7k = 0,9 0,7k = 0,70 : 0,7 k = 0,9 0,9 = 9 % 00 % 9 % = 6,0 %
Tasogeometriaa Tasogeometrian perusteita 98. a) 000 cm = 0, km b) 0,0098 dm = 0,98 mm c) 00 000 mm =, km d) 0,000 076 m = 0,0076 cm 99. a) 00 a = 0, km b) 0,000 000 07 ha = 70 mm 00. a) b), 7, 0,9 7, =, 0,9 7, = 6,68 :7, = 9,67 9, (cm) 0 0 = 0 = 9 :0 = 8,8 8 (mm) 0. a) mittakaava tuntosarvi (cm) kuva 0, luonto 0, 0 =, : 0 = 0,06 (cm) 0,06 cm = 0,6 mm
b) mittakaava silmä (mm) kuva 0 y luonto 0, 0 y 0, y = 0 0, = 8,0 (mm) 0., 7, =,7 (m ),7 m =,7 a, a 0. korkeus (m) varjo (m) keppi,,9 puu,8,,9,8,9 =,,8,9 =,76 :,9 =,0,0 (m) 0. a) mittakaava järvi (km) kartta luonto 00 000, 00 000, 00 000 =, : 00 000 = 0,0000 (km) 0,0000 km =, cm
b) mittakaava välimatka (cm) kartta luonto 00 000 y 00 000 y y = 00 000 (cm) 00 000 cm = km 0. Talon omistajan mittaustuloksilla,6,0 =,0,0 (m ),0 m = 0 000 cm Rakennusmiehen mittaustuloksilla 67 = 790 00 000 (mm ) 00 000 mm = 000 cm Lasketaan erotus pyöristämättömillä arvoilla. 7,90 cm 0 0 cm = 077,9 cm 080 cm 06. a) mittakaava mittakaavan neliö pinta-ala (km) kartta luonto 0 000 0 000, 0 000, 0 000 =, : 0 000, 0000 0, 0, 0 0 km =, cm
b) mittakaava mittakaavan neliö pinta-ala (cm) kartta, luonto 0 000 0 000 y 0 000, y y =, 0 000 y =, 0 0 (cm ), 0 0 cm =, km, km 07. a) 0,6, = 0,7 (km ) b) 0,7 km = 700 000 m 9 78 = (cm ) cm = 0, m 0, m 08. Lamppu ja Kerttu sekä lamppu ja Kertun varjo muodostavat kaksi kolmiota, jotka ovat yhdenmuotoisia. Lamppu on molempien kolmioiden kärkenä. Vastaisena kateettina on toisessa kolmiossa Kerttu ja toisessa Kertun varjo. Kerttu / varjo lampun etäisyys Kertusta / varjosta pieni kolmio (Kerttu) iso kolmio (Kertun varjo) = : = 6, (m)
6 09. Huoneen seinien pinta-ala ikkunoiden ja ovien kanssa neliömetreinä on,00,80 +,60,80 = 8,86. Pinta-ala ilman ovia ja ikkunoita on 0,7 8,86 = 6,6 (m ). Maalin kulutus on, 6,6 8 = 0,076 0, (litraa). 0. mittakaava matka kartta, cm luonto n km = 00 000 cm n, 00 000,n = 00 000 :, n = 00 000, = 000 000 Mittakaava on : 000 000. mittakaava mittakaavan neliö pinta-ala (km) kartta luonto 000 000 000 000 00 000 000 00 000 000 = 00 : 000 000 00, 0 000000, 0 km = 0, cm
7. pituus pinta-ala lankamäärä pieni haalari 0 0 0 iso haalari 80 0 0 80 0 = 00 80 = = 00 80 0 00 80 0 = 99,7 00 (cm)
8 Suorakulmainen kolmio. Sivun pituus ratkaistaan Pythagoraan lauseella. a) 9 + 6 = = 6 66 6 66 Koska kyseessä on pituusmitta, negatiivinen ratkaisu ei ole järkevä. = 8,0 8 (cm) b) +, = 6, = 6,, =,76,76 Koska kyseessä on pituusmitta, negatiivinen ratkaisu ei ole järkevä. =,87,9 (cm). a) tan 0 b) cos tan 0 =,7,7 (m) 8, cos 8, = 6,880 6,9 (m). a) b) sin tan, 7, α = sin 0,666 = 7,8 8,, α = tan,0 = 7,70 7
9. Lasketaan ensin sen kulman α suuruus, joka on 7, cm pituista kateettia vastapäätä. sin 7, 9,8 α = sin 0,76 = 7,8 7 Kolmion kulmien summan on 80. Kolmas kulma β saadaan yhtälöstä β + 7 + 90 = 80 β = Kulmien suuruudet ovat 90, 7 ja. 6. tan, tan,, tan =,0, (cm) 7. a) Lävistäjä jakaa suorakulmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Lävistäjän pituus lasketan Pythagoraan lauseella.,7 + 7, = = 6, = 6, 6 Koska kyseessä on pituus, negatiivinen vastaus ei käy. = 7,97 8,0 (cm)
0 b) Piirretään mallikuva. Korkeusjana jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Suorakulmaisen kolmion kanta on cm : =, cm. h 9 cm Korkeus lasketaan Pythagoraan lauseen avulla., + h = 9 h = 9, h = 0,7 h = 0,7 8,86... 8 (cm) 8,9 A = 00,0 00 (cm ) cm 8. a) b) cos 60 sin 9, =, cos 60 =, (m) 7, sin 9 = 7, = 7, sin 9 =,9 (m)
9. Piirretään kolmio koordinaatistoon. Kolmion pinta-ala saadaan, kun kolmion ympärille piirretyn suorakulmion pinta-alasta vähennetään nurkan kolmioiden pinta-alat. 9 7 A 7 9 7 7, 0. Rinteen pituus saadaan Pythagoraan lauseen avulla. = + = 60 60 60,... 60 (m) Negatiivinen vastaus ei käy. Keskinopeus on 60, v,08,0 (m/s).
. Kulman A suuruus saadaan laskettua, kun 90 kulmasta vähennetään kulmien α ja β suuruudet. tan tan 0, α = tan 0, =,80 7, β = tan, =,6 Kulman A suuruus on 90,80,6 =,7 Sivun BC pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. = + = = Negatiivinen vastaus ei käy.,60...,6
. Piirretään tilanteesta mallikuva. m Lasketaan pienemmästä kolmiosta tornin korkeus h. tan h h = tan = 8, 8, (m) Suuremmasta kolmiosta saadaan Matiaksen ja tornin välinen etäisyys. tan 8, tan = 8, : tan 8, tan = 8,89 8,8 (m) 8,8 = 7,8 8 (m)
. a) Lasketaan sivun AB pituus apukolmion I avulla. + = = Negatiivinen vastaus ei käy. b) Lasketaan kulman B suuruus apukolmioiden I ja II avulla. tan tan = 8,9 8, tan tan = 6,8698 6,87 Kulman B suuruus on 80 8, 6,87 =,7 c) Kolmion ABC pinta-ala saadaan, kun kolmion ympärille piirretyn suorakulmion pinta-alasta vähennetään kolinoiden I, II ja III pinta-alat. 7 A 7 6 6,
. Korkeus seinää pitkin, etäisyys maanpintaa pitkin ja tikkaat muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka hypotenuusana on tikkaat ja kateetteina seinä ja maanpinta. Tehtävä ratkaistaan Pythagoraan lauseen avulla. Alkutilanne: Tikkat : c = m Etäisyys seinästä: a = 0 cm =,0 m Korkeus: b = a + b = c,0 + = =,,7,769696...,7697 (m) Tikkaiden pitäisi yltää,77 m + m =,77 m korkeudella. Lopputilanne: Tikkaat: c = y Etäisyys: a =,0 m Korkeus: b =,7697 m,0 +,7697 = y y =,9809 y,9809,96...,96 Tikkaita tuli pidentää 0,96 m = 96 cm.
6. Piirretään tilanteesta mallikuva. Kuvassa on yhden suunnan vanha ja uusi vaijeri. 0,0 m 0 60 Lasketaan kiinnityskohdan korkeus h alkuperäisen vaijerin muodostaman kolmion avulla. sin 60 h 0,0 h = sin 60 0,0 = 8,660 8,660 (m) Uuden vaijerin pituus saadaan toisesta kolmiosta. sin 0 8,660 sin 0 8,660 8,660 =,0, (m) sin 0 6. Pythagoraan lauseen mukainen yhtälö: + ( ) = 7 + ( )( ) = 89 + + = 89 88 = 0 Ratkaistaan ratkaisukaavalla: a =, b =, c = 88 ( ) ( ) ( 88) 76 76 8 tai 7, 0 0 8 = Sivujen pituudet ovat 8, ja 7. 776 76 0 0 Negatiivinen vastaus ei käy.
7 7. Etu- ja takaseinän korkeuden ero on,6, = 0, (m) Lasketaan katon kaltevuuskulma. tan 0, α = tan - 0, =,06 Katon reunan vaakasuora leveys on 0, +,0 + 0, =,9 (m). Katon lappeen pituus on cos,0,9 cos,0 =,9,9 =,989 (m) cos,0 Lappeen leveys on 0, +,0 + 0, =,9 (m) Pinta-ala on A =,9,989 =,6 (m ) 8. Piirretään tilanteesta mallikuva. Lasketaan minuutin aikana kuljettu matka. min = h h 60 h 0 km/h km tan = = tan 0,7 km = 70 m = 0,708 0,7 (km) min 0 km/h Vesitorni
8 9. Kun henkilö on,0 m etäisyydellä valonheittimestä, muodostavat etäisyys valonheittimestä henkilöön ja hänen pituutensa sekä etäisyys valonheittimestä seinämään ja varjonpituus kahden yhdenmuotoisen kolmion kateetit. Tehtävä ratkaistaan verrannon avulla. henkilö varjo korkeus 7 cm =,7 m etäisyys valonheittimeen,0 m m,7,0,0 = :,0 =, Henkilö liikkuu 9 m/min = 9 : 60 m/s =,8,8 m/s. Kahdessa sekunnissa hän liikkuu,8 m =,666 m, jolloin hän on,0 m +,666 m = 7,666 m etäisyydellä valonheittimestä. henkilö varjo korkeus 7 cm = y,7 m etäisyys valonheittimeen 7,666 m m,7 7,666 7,666 = : 7,666 =,90,9 (m) Varjo lyhenee,,9 =, (m)
9 Kuvioita 0. A= π 6,8 = 7, 7 (cm ) p = π 6,8 =,09,0 (cm). a) 00 b,7 9,7... 9 (cm) 60 b) 00 A,7 S,8... 6 (cm ) 60. a) 6 6 = 96 90 (cm ) b),8,,6 6,89 6, 9 (cm ). Jaetaan säännölliset monikulmiot tasakylkisiksi kolmioiksi niin, että kolmioiden kärjet ovat monikulmion keskipisteessä. a) Kuusikulmio muodostuu kuudesta tasakylkisestä kolmioista. Tasakylkisen kolmion huippukulma on 60. 6 60 80 60 Kantakulmat α ovat suuruudeltaan 60. Kuusikulmion kulman suuruus on 60 = 0. b) Viisikulmio muodostuu viidestä tasakylkisestä kolmioista. Tasakylkisen kolmion huippukulma on 60. 7 80 7 Kantakulmat α ovat suuruudeltaan. Viisikulmion kulman suuruus on = 08.. a) p = π =,9 0 (cm) b) π d = 6 : π 6 d = 9,6... 0 (cm)
0. a) A,0 S,7..., (m ) 60 b) 60 96 60 60 96 60 : 96π 60 = 8,70 9 96 6. a) Kulmasta piirretty korkeusjana erottaa puolisuunnikkaasta suorakulmaisen kolmion. Kolmion toisen kateetin pituus on,0,0, (cm)., cm Korkeus h voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. h +, =, h,0 cm,0 cm h,,,87...,8 (cm),0,0 Puolisuunnikkaan pinta-ala on A,86,... (cm ). b) Lävistäjät puolittavat toisensa ja leikkaavat suorassa kulmassa. Neljäkäs jakaantuu neljäksi yhteneväksi kolmioksi. Kunkin kolmion kateettien pituudet ovat,7 cm ja,0 cm. Kolmion pinta-ala on,7,0 A K 0,987 (cm ). Neljäkkään pinta-ala on A 0,987,67,7 (cm ).
6, cm 7. A = ah 6,h = :6, h = 0,7 0, (cm) sin 0, 0, sin,0... β = 80 = 6 cm h α β 8. a) A = ah,0 m =,h :, h = 7,80 7,9 (m) b) Lävistäjän d pituus lasketaan Pythagoraan lauseen avulla., + 7,8 = d d = 7,6076 d 7,6076 8,0... 8, (m) 9. Säännöllinen 9-kulmio koostuu yhdeksästä tasakylkisestä kolmiosta, joiden huippukulma on 60. 9 0 Kolmion korkeus saadaan yhtälöstä tan 0 tan 0 6, h h 6,. 6, h tan 0 = 7,8860 7,89 (cm),0 7,89 A 9 0,7 00 (cm ) h 0 6, cm,0 cm
0. a) Sivun pituus lasketaan Pythagoraan lauseen avulla. + = = 9 8 b) A 8 8 8 c) Lävistäjän pituus d lasketaan Pythagoraan lauseen avulla. 8 8 d d = 6 d 6. Suunnikkaan korkeus h saadaan,9 cm suorakulmaisen kolmion, jonka toinen h kateetti on korkeusjana, avulla. 0 h 6, cm sin 0,9 h = sin 0,9 =,0687,07 (cm) Pinta-ala on A =,07 6, =,97 (cm ). Suunnikkaan vierekkäisten kulmien summa on 80. 80 0 = 0. Kulmien suuruudet ovat 0, 0, 0 ja 0.. Neljäkkään korkeus h saadaan sinin avulla sin 8 h. 98, h = sin 8 98, = 97,87 97, (m) Neljäkkään pinta-ala on 98, 97, = 98,0 980 (m ) 980 m = 0,98 ha 0000 Neliömetrihinta on,08..., 0 ( /m ) 980
. A r 60 S 60 π r = 60 : ( π) r 60 60 r Negatiivinen vastaus ei käy. r = 6, 6 (cm). Ympyrän säde saadaan kaaren pituuden yhtälöstä. 9 60 r 7,8 60 9 π r = 7,8 60 : (9 π) 9 7,8 60 r =,, (cm) 9, cm Kaksi sädettä ja jänne muodostavat tasakylkisen kolmion, jonka huippukulma on 9. Kolmio voidaan jakaa kahdeksi yhteneväksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Suorakulmaisen kolmion kanta on puolet jänteestä ja huippukulma puolet keskuskulmasta. sin 9,, = sin 9,, =,88,9 (cm) Jänteen pituus on,9 = 7,8 (cm) 9,
. Ympyrän säde on 0,. Ympyrän kehän pituus on π 0, = π (,). Kahdeksankulmion halkaisija on. Kahdeksankulmio voidaan jakaa kahdeksaksi yhteneväksi tasakylkiseksi kolmioksi. Kolmion huippukulma on 60 ja kylki 0,. 8 Kannan pituus saadaan yhtälöstä sin,. 0, = sin, 0, 0, Kanta on sin, 0, = sin,. Kahdeksankulmion piirin pituus viiden desimaalin tarkkuudella on 8 sin, =,0667,067.,067 0,979... 0,97 00 % 97, % =,6 % 0000 6. Maan säde on R 666,9... 670 (km). Katseen suunta Maapallon pintaa pitkin kulkee ympyrän tangenttia pitkin. Tangentti ja ympyrän säde ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tangentin osa hypotenuusana ja säde toisena kateettina muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka toinen terävä kulma on,. Toinen kateetti muodostuu Maan säteestä R ja etäisyydestä satelliitista Maan pinnalle. sin, sin, (R+ ) = R sin, R + sin, = R R R sin, = R sin, R R sin, R = 060, 000 (km) sin,
7. a) b) Janan keskipisteen koordinaatit (,y) saadaan päätepisteiden koordinaattien keskiarvosta. 7 7 9 y c) Pisteen D koordinaatit saadaan, kun pisteen A koordinaatteihin lisätään kaksi kertaa pisteen A ja janan BC keskipisteen koordinaattien erotus. D ( ) 696 y D 7 ( 7) 97 D = (696,97)
6 Koontitehtäviä luvuista 8. a) 0 = ( + 0) 0 = + 60 = 0 : = 0 b) ( ) ( ) = + = 6 c) ) 9 9. a) 89 69 = 0 0 0,7... 0, % 89 ( ) (,), 7, b) ( ) (,) 6,, c) + 7 = + 7 = 0 a =, b =, c =7 ( ) ( ) 7 7 tai 69 0. a) Muutetaan mittojen yksiköt vastaamaan toisiaan. 7 km = 7 000 m 6,8 ha = 680 a = 68 000 m. 7 000 = 68 000 : 7 000 = (m) m = 000 mm A = 68 000 m 7 000 m
7 b) Lävistäjän pituus lasketaan Pythagoraan lauseen avulla. = + 8 = 60 = 60 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. = 6,87 7 (m) 8 m m. 0 + ( + 0 ) + ( + 0 ) = 80 0 + + 0 + + 0 = 80 + 0 = 80 = 70 : =, Kulmien suuruudet ovat 0 =, 0 = 7 + 0 =, + 0 =,. Kolmio on tasakylkinen. 7, Kannan puolikas on, 7 (cm). Korkeus lasketaan tangentin avulla. h tan, =,7, 7 h =,7 tan, h =,88709,887 (cm) Kolmion pinta-ala on, o,7 cm h 7,,887 8,6 8 (cm ).. Merkitään opiskelijoiden määrää :llä. 6) ) 0) 7 0 6 0 7 60 60 60 60 6 + + 0 + 0 = 60 9 = 0 : ( 9) = 80 Lukiossa on 80 opiskelijaa.
8. Varjon pituus alussa: 0 tan = tan = 0 : tan 0 tan 68,098... 68,0 (cm) 0 cm 6 cm Varjon pituus lopussa: 6 tan = y y o y tan = 6 : tan 6 y = 8,87... 8, 8 (cm) tan y o Varjon pituuden muutos: y = 8,8 68,0 = 6,80 7 (cm). Neliön sivun pituus: = 6,0 = 6, 0 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. =,0 (cm) Ympyrän halkaisija on sama kuin neliön sivun pituus.,0 Ympyrän säde: r =, 0 (cm) Ympyrän pinta-ala: y y A = r =,0 =,66,6 (cm) Pienemmän neliön sivun pituus saadaan Pythagoraan lauseella. y + y =,0 y = 6 : y = 8 y = 8 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. y =,88,88 (cm) Neliön ala: A =,88 = 7,9978 8,0 (cm )
9. Tilanne Litrahinta ( ) Päivämyynti (l) Päivämyynnin tulot ( ) Alussa h m hm Lopussa,00h m 0,97hm Ratkaistaan yhtälön avulla kerroin.,00h m = 0,97hm : hm,00 = 0,97 :,00 = 0,97 0,97 Hinnankorotuksen jälkeinen päivämyynti 0,97m on 9,7 % aiemmasta päivämyynnistä m. Myynti pieneni 00 % 9,7 % = 7, % 7, %. 6. ( + ) = 87,6 + 87,6 = 0 a =, b =, c = 87,6 8,8 ( 87,6), 8,8 8,8 8, tai 0, (ei kelpaa) Leveys on 8, m ja korkeus 8, m + m = 0, m. A = 87,6 +