Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko voidaan ajatella sisältyvän kompleksilukujoukkoon R C. Matriisi- ja vektorien operaatiot toimivat vastaavalla tavalla kuten aikaisemmin kunhan kompleksilukujen laskutoimitukset otetaan huomioon. 141 / 170
Koska jatkossa tarkastellaan kompleksikertoimista polynomia p( )=a 0 n + a 1 n 1 +...+ a n 1 + a n, niin polynomi p( ) voidaan esittää astetta 1 olevien tekijöiden tulona a 0 n + a 1 n 1 +...+ a n 1 + a n = a 0 ( 1)( 2) ( n), missä a 0 6= 0ja 1, 2,..., n 2 C (kompleksilukujen kunta on ns. algebrallisesti suljettu). Jos tarkastelu rajoitetaan pelkästään reaalitapaukseen, ei kyseinen ominaisuus ole voimassa (esim. jos p( )= 2 + 1, niin yhtälöllä p( )=0eiolereaalisiaratkaisuja). 142 / 170
Kuten aikaisemmin olemme huomanneet, matriisi A 2M(n, n) on (lineaarinen) kuvaus A : C n! C n, joka kiertää ja venyttää vektoreita. Vektoreita x 2 C n,joitamatriisia pelkästään venyttää (Ax = x jollakin 2 C) ovat erityisen mielenkiinnon kohteena. Näitä vektoreita kutsutaan ns. ominaisvektoreiksi. Määritelmä 26 Olkoon A 2M(n, n). Tällöin 2 C on matriisin A ominaisarvo jos on olemassa x 2 C n (x 6= 0), jolle Ax = x. Vektori x 2 C n on puolestaan matriisin A ominaisarvoa vastaava ominaisvektori. 143 / 170
Matriisin ominaisvektorit saadaan siis yhtälöstä Ax = voidaan esittää muodossa x, joka ( I A)x = 0. Aikasemmasta tiedetään, että yhtälöllä on ei-triviaali (ts. nollavektorista eroava ratkaisu) jos ja vain jos det( I A) =0. Lause 33 Olkoon A 2M(n, n). Tällöin ja vain jos det( I A) =0. 2 C on matriisin A ominaisarvo jos Todistus. HT. 144 / 170
Esimerkki Määrää matriisin apple 1 2 1 0 ominaisarvot sekä ominaisvektorit. 145 / 170
Edellisen lauseen avulla voimme määritellä polynomin, jonka nollakohtina saamme matriisin ominaisarvot. Määritelmä 27 Matriisin A 2 K n n karakteristinen polynomi on c A ( )=det( I A) = n + a 1 n 1 +...+ a n 1 + a n. Huomautus Edellisen lauseen mukaan matriisin A 2M(n, n) ominaisarvot ovat polynomin c A ( ) nollakohdat, ts. yhtälön c A ( )=0 ratkaisut. Koska kertojakuntana on C (algebrallisesti suljetuksi), niin ( c A ( )=( 1)( 2) ( n) ja 1, 2,..., n ovat matriisin A ominaisarvot. 146 / 170
Esimerkki Olkoon A = on apple 1 1 1 1.TällöinmatriisinA karakteristinen polynomi c A ( )=det(a I ) apple 1 1 = det 1 1 =( 1 )(1 ) 1 = 2 2 p p =( 2)( + 2) Ominaisarvot ovat yhtälön 2 2 = 0ratkaisut: 1 = p 2ja 2 = p 2. Etsitään ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit. 147 / 170
(A) Ominaisarvoa 1 = p 2 vastaavat ominaisvektorit x =(x 1, x 2 ) 2 C n toteuttavat yhtälön Ax = 1 x.nyt Ax = 1 x,, apple 1 1 1 1 ( apple x1 = p apple x1 2 x 2 x 2 x 1 + x 2 = p 2x 1 x 1 + x 2 = p 2x 2, x 2 =( p 2 + 1)x 1. Siis ominaisarvoa 1 = p 2 vastaava ominaisvektorit ovat apple apple apple x1 x x = = 1 x 2 ( p = x 2 + 1)x 1 p 1 1 2 + 1 kaikilla x 1 2 C (x 1 6= 0). 148 / 170
(B) Ominaisarvoa 2 = p 2 vastaavat ominaisvektorit x =(x 1, x 2 ) 2 C n toteuttavat yhtälön Ax = 2 x.nyt apple apple 1 1 x1 Ax = 1 x, = p apple x1 2 1 1 x 2 x 2 ( x 1 + x 2 = p 2x 1, x 1 + x 2 = p, x 2 =(1 2x 2 p 2)x1. Siis ominaisarvoa 2 = p 2 vastaava ominaisvektorit ovat x = apple x1 x 2 = apple (1 x 1 p 2)x1 = x 1 apple 1 1 p 2 kaikilla x 1 2 C apple (x 1 6= 0). 1 1 Matriisin A = 1 1 ominaisarvot ovat p p 2ja 2janiitä vastaavat eräät ominaisvektorit ovat (1, p p 2 1) ja (1, 1 2). 149 / 170
Huomautus Jokaisella matriisilla A 2M(n, n) on n kappaletta ominaisarvoja (ei välttämättä erisuuria), jotka saadaan karakteristisen polynomin c A ( ) juurena. Olkoon 1, 2,..., s matriisin A 2 K n n erisuuret ominaisarvot. Tällöin ( c A ( )=( 1) k 1 ( 2) k2 ( s) k s k 1 + k 2 +...+ k s = n (k i 1) 150 / 170
Lause 34 Olkoon A 2M(n, n). Matriisin A erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Todistus. Tutkitaan tilannetta kahdella erisuurella ominaisarvolla 1 ja 2 sekä niitä vastaavilla ominaisvektoreilla v 1 ja v 2.Yleinentapaus osoitettavissa helposti vastaavasti. Nyt siis Av i = i v i kun i = 1, 2. Tarkastellaan nyt vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarista riippuvuutta: olkoon 1 v 1 + 2 v 2 = 0 missä 1, 2 2 C. Tällöin A( 1 v 1 + 2 v 2 )=0 1 Av 1 + 2 Av 2 = 0 1 1 v 1 + 2 2 v 2 = 0 151 / 170
Kertomalla yhtälöä 1 v 1 + 2 v 2 = 0 vakiolla ( 1 1 v 1 + 2 1 v 2 = 0 1 1 v 1 + 2 2 v 2 = 0 1 saadaan yhtälöt eli vähentämällä puolittain saadaan 0v 1 + 2 ( 1 2 )v 2 = 0. Koska nyt 1 2 6= 0jav 2 6= 0, niin on oltava 2 = 0. Täten sijoittamalla saadaan 1 v 1 + 0v 2 = 0elimyös 1 = 0. Siis saatiin lineaarinen riippumattomuus. 152 / 170