MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna. c) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. a) Kolmion kaksi sivua ovat cm ja 5 cm sekä sivun cm vastainen kulma on kulma 0. Laske kolmion loput sivut ja kulmat ja määritä kolmion pinta-ala. (4p) b) Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 7 ja 19. Laske kolmion hypotenuusan pituus, sekä terävien kulmien suuruudet. (p) a) Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat ja 4. Kolmioon on piirretty neliö, jonka kaksi sivua ovat kateeteilla ja yksi kärki hypotenuusalla. Laske neliön sivun pituus (4p) b) Pienoismallin tilavuus on 16,0 cm. Kuinka suuri on alkuperäisen kappaleen tilavuus, kun pienennysmittakaava on 1:10? (p) 4 Matemaatikko jakoi pizzan tällä kertaa vähän eri tavalla kuin normaalisti. Määritä minkä osan (noin) pizzasta leikkaaja sai. 5 Pyöreään tolppaan, jonka säde on 0 cm, oli kiinnitetty ilmoitus, jonka pystyi näkemään kokonaan metrin etäisyydeltä. Mikä oli ilmoituksen leveys? 6 Teollisuudessa käytetään esim. teräspalkkien asentamiseen teollisuusniittejä. Laske tämän "sienihattuisen" niitin tilavuus. Niitin hattu on puolipallon mallinen.
7 Yhden euron kolikon halkaisija on,5 mm. Neljä euron kolikkoa on aseteltu kuvan osoittamalla tavalla mahdollisimman tiiviisti ympyräpohjaiseen astiaan. (kolikot ovat tiiviisti vierekkäin, niiden reunat koskevat toisiaan) Kolikkojen keskipisteet muodostavat neliön. Määritä paljonko astian pohjalla on tyhjää tilaa. 8 Saaressa A on radiomasto, jonka korkeus 90 m. Saaressa B on lipputanko, jonka nuppi on 15 m korkeudessa. Maston huippu ja lipputangon nuppi näkyvät laivan C tähystäjälle kulmassa 66. Laivan tiedetään olevan 400 m päässä saaresta A ja 60 m päässä saaresta B. Määritä, kuinka etäällä maston huippu ja lipputangon nuppi ovat. Tangon ja maston etäisyyksinä voi käyttää saarien etäisyyksiä. jokeri 9 pistettä
RATKAISUT: 1. Ratkaisu a) Vieruskulmat muodostavat oikokulman 180astetta. b) vastainen kateetti : viereinen kateetti c) Piirretään kolmio ja lähdetään vieruskulmien, ristikulmien ja samankohtaisten kulmien kautta osoittamaan väite. 5 5sin 0 1. a) Sinilauseella sin 5sin 0 sin sin 56, 4. Kolmas sin 0 sin x sin9,6 kulma 9,6 astetta. Ja taas sinilauseella x x 6. Kolmion ala: sin9,6 sin0 sin0 1 1 absin 6sin9,6 9cm b) Puuttuva hypotenuusa x saadaan Pythagoraan lauseella: x 7 19 410 x 410 0, Toinen terävistä kulmista tangentilla: tan komplementtikulmana: 90º-0,º = 69,8º. 7 19 0,... 0, jolloin toinen on a) Ratkaisu Neliön ja kolmion kärkien välille muodostuvat kolmiot ovat yhdenmuotoisia alkuperäisen kolmion kanssa. Esimerkiksi pidemmälle kateetille jäävä kolmion sivu on 4 x, kun neliön sivun pituus on x. x 1 144 46 Verrannolla 4x 1 x 7x 1 x x. 49 4 4 x 7 49 Vastaus: a) Komion pinta-ala on 4 b) Neliön pinta-ala on 144 46. 49 49 b) Tilavuuden noudattavat yhdenmuotoisilla kappaleilla mittakaavan kuutiota. Näin saadaan verranto: 16,0cm 1 1 V 17 78000cm 1778dm 17,78m 18m. V 10 178000
4 Ratkaisu. Ensin piirretään kuvan osoittamalla tavalla suorakulmainen kolmio, josta ratkaistaan pythagoraan lauseella x. x= 47,4. Sen jälkeen määritetään kulma alfa: 16 cos 71,4, joten ympyrän keskuskulma on 50 108,66 108,66. Tätä vastaava sektorin ala on 50 70,6 + suorakulmaisen kolmion ala 60 47,4 16 80,8. Yhteensä nuo em. alat ovat leikatun pizzalohkon ala = 751,4. 751, 4 Suhteessa koko pizzan alaan: 0,50 on suurinpiirtein kolmasosa (0, ) koko pizzan 50 alasta. 5. Ratkaisu. Koska näkösäteet ovat tolpan poikkileikkausympyrän tangentteja, muodostuu tämän tangentin ja siihen sivuamispisteeseen piirretyn säteen välille suorakulma. Tästä suorakulmaisesta kolmiosta voidaan ratkaista ilmoitusta vastaavan kaaren keskuskulma kosinin avulla: 0 cos 80, 4 160,8. Ilmoituksen leveys on vastaavan kaarenpituus: 10 160,8 b 0 cm 56,1 cm. 60
6. Ratkaisu 4 16 819 Puolipallon tilavuus: 0,5, Suoran ympyrälieriön tilavuus: 5 75 1875 819 1817 Yhteensä: 1875 14500mm 14,5cm 7. Neliöstä saa neliön halkaisijan. Neliön sivu on euron kolikon säde + toisen kolikon säde = euron halkaisija,5., 5, 5 c c 1981,15. Nyt ison ympyrän säde on puolet halkaisijasta + euron kolikon säde = 1 1981,15 1, 5 1981,15 11, 65. Ison ympyrän ala = 606,07 Euron kolikon ala = 11,65 44,56 Tyhjä pinta-ala = 606,07 4 44,56 1907,8 1908mm 8. Tilanteessa syntyy ilmaan kolmio ABC, jonka kulma C tiedetään 66 astetta. Ilmassa olevat sivut AC 90 400 AC (maston huippu - laiva) ja BC (nuppi-laiva) pythagoralla: BC 15 60 Nyt Kolmiosta ABC tiedetään kaksi sivua AC ja BC sekä niiden välinen kulma. Sivu AB (maston huippu nuppi) kosinilauseella: ( BC) 90 400 15 60 90 400 15 60 cos 66 ( BC) 17775,16 BC 17775,16 41, 6m