B(kL) B(0) B B. L/b < 2

Samankaltaiset tiedostot
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

ε y = v ε z = w γ yz = v z + w γ xz = u e = ε x + ε y + ε z. y ε y x 2 = 2 γ xy x y, y 2 = 2 γ yz z ε z y z, z x x ε x z 2 = 2 γ zx

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø


Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

139/ /11034 = 0.58

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)


139/ /11034 = 0.58

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º


ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý


Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½


N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,

¾º C A {N A } K N A º A B N B

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ö ØØ ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì ÃÆÁÄÄÁË Æ ËÁÁÃ Æ Â Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ ÇË ËÌÇ Ì Ç ØÓ È Ò Ë ÚÙ Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÖÓ ÙÙÖ Ò ÓÓ Ò Ñ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÌÝ Ò Ó ÂÙ Ó Ã ÒÒ Ì Ò

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode

P(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ).

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon

MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Transkriptio:

Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð B(kL) B() ½º¼ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º¾ ¼º½ ¼ ¼º½ Ð Ù ÚÓ Ñ ÚÒØ ¼º¾ ¼º ¼º ¼º ½ Ý Ø ØØÝ ÚÒØ ÔÙ ÚÒØ M m B B B ¾ kl 4 ½¼ ¾¼ ¼ L/b < 2 b ¼ ¼ ½¼¼

Ë ÐØ ½ à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø ½ ½º½ ÂÒÒ ØÝ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ý ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ð Ø ØØÝ ÀÓÓ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ë ÖØÝÑÑ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ê ÙÒ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Î ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ô Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½¼ Ò Ö Ô Ö ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½¼º½ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½¼º¾ ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö Ø º º º º º º º º º º º º ½ ½º½¼º Ê ØÞ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Î Ô ÚÒØ ¾ ¾º½ ÓÙÐÓÑ Ò Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÎÒÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ º º º º º º º º ¾ ¾º Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ Ò ÚÒØ Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ Äº ÈÖ Ò ØÐ ½ ¼ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÎÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Î Ô Ò ÚÒÒ Ò Ö Ø Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö ØØ ÐÐ º º º º º ½ ¾º Ê Ø Ù ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö ØØ ÐÐ º º º º º º º º º ¾º Ê ÒØ Ò Ý ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½¼ à ÐÚÓ Ò ÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓØ ÐÓ ÙÚÓ Ò Ú Ô ÚÒØ º½ ÅÓÒ ÓÒØ ÐÓ Ø ÙÚ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÚÓ Ñ Ò Ó ÙØ ÒÑ Ø Ò ÙÚÓ Ò ÚÒØ º½ Ë ÖØÝÑØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÆÓÖÑ Ð ÒÒ ØÝ σ z º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÒØ ØÓÖ Ð Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÔ Ø º º º º º º º º º º º º º ¾

ËÁË ÄÌ º Ä Ù ÒÒ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä Ù ÚÓ Ñ Ø Q Q ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ M ω º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÒØ ÙÐÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ö Ø Ý ØÝ Ö Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ê ÙÒ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÒÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ö Ø ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ ½¼ º½ Â Ø ÙÚ ÚÒØ ÙÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º½º½ ÃÙÓÖÑ ØÙ Ø ÖÑ Ø α º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Ë ÙÚ Ò Ð Ò ÙÙÒØ Ø ÙÓÖÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º Ç ØØÙ Ø ÚÙØÙ ÚÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º½ ÎÒØ ÒÒ ØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º¾ Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ó ØØÙ ÚÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ ÃÓØ ÐÓ ÙÚ Ò ÚÒØ ½¾ º½ Ä Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ ÃÓØ ÐÓÒ ÔÐ Ò Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ à ÑÑÓ Ò Ð Ø Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø ½ º½ Ä Ø Ò Ò Ñ ØØ Ø Ý ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÅÓÑ ÒØØ Ò ÝÖ ØÝÑ Ò ÚÐ Ø Ý ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ä Ù ÚÓ Ñ Ø Ø ÔÙÑ Ò ÚÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ÃÓÖÚ Ð Ù ÚÓ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ä Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÔÙÑ Ò ÚÙÐÐ Ö ÙÒ ÓØ º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º º½ Ê ÙÒ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º ÅÓÑ ÒØØ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ú Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÅÓÑ ÒØØ ÙÑÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Æ Ú Ö Ò Ö Ø Ù Ú Ô Ø ØÙ ØÙÐÐ ÙÓÖ Ð Ø ÐÐ ½ º½ Ì Ø ÙÓÖÑ Ø ØØÙ Ú Ô Ø ØÙ ØØÙ Ð ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ È Ð ÙÓÖÑ p ÙÓÖ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ Ä ÚÝÒ Ö Ø ÙÑ Ò Ø ÐÑ ½ º½ ØÝ Ö Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ä ÚÝÒ Ö Ø Ù Ø Ô Ù p(,) = p() º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ê ÙÒ ÑÓÑ ÒØ Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ð ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ê ÙÒ ÑÓÑ ÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ø ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ð ØØ º º º º º º º º º º ½ º º¾ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ø Ö ÙÒ ÑÓÑ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ËÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÝÚ ÝØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ä ÚÝÒ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ò Ö Ð ÐÐ ØÙ ÒØ ¹ ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ÐÐ º ½

ËÁË ÄÌ ½¼ Ä ØØ Ø ½ ½¼º½ Î Ô Ø ØÙ ØØÙ Ö Ø Ò Ð ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º½º½ Î Ú ÙÓÖÑ p() Ð ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º½º¾ Ì Ò Ò ÙÓÖÑ ÐÙ u c u+c ja d Ô Ð ÙÓÖÑ µ½ ½ ½¼º½º ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ô Ð ÙÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º¾ Ê Ø Ù ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º Î Ô Ø ØÙ ØØÙ Ð ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º º½ Ð Ò Ù Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÙÓÖÑ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º º¾ Ð Ò Ù Ø Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÙÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º ¾¼½ ½¼º Î Ô Ø ØÙ ØØÙ ÔÙÓÐ Ö Ø Ò Ð ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½¼º Ä ÚÝÒ Ñ Ò Ø ÐÑ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÐÐ ÔÙÓÐ Ö ØØ ÑÐÐ Ð ØØ Ø ÐÐ º º º ¾¼ Ä ØØ Ø ¾½ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ¾½ º½ È Ö ÐÐ Ò ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º¾ È Ö ØØÓÑ Ò ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º Ã Ó Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾¼ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ¾¾½

Ú ËÁË ÄÌ

ÄÙ Ù ½ à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø ½º½ ÂÒÒ ØÝ Ø Ð Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÐÑ ÙÐÓØØ Ú ÖÙÙ ÔÔ Ð ØØ B ÓÒ Ñ Ø Ö Ð ÓØ ÙØ Ò Ó¹ ÑÓ Ò ÑÑÓ º ÃÙÓÖÑ ØÙ Ò Ú ÙØÙ Ø ÔÔ Ð Ò B ÝÒØÝÝ ÒÒ ØÝ ¹ Ø Ð º Ä Ø Ò B Ó Ò B B 2 Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ Ô ÒÒ ÐÐ º È ÒÒ Ò Ð ÓÓÒ Ú ÙØØ ÚÓ Ñ F ÓØ Ú Ø ÒÒ ØÝ Ú ØÓÖ F t(n) = lim. ½º½µ ÃÓ Ú ØÓÖ t Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø Ô ÒÒ Ò ÒÓÖÑ Ð Ø n Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò Ô ¹ Ø Ò Ó ÐÐ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø ØÝ ÐÐ ÑÑ Ò t = t(n)º Â Ø Ò ÚÓ Ñ Ú ØÓÖ F Ô ÒÒ Ò ÒÓÖÑ Ð Ò n ÙÙÒØ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò F σ Ô Ò¹ Ò Ò Ø Ò ÒØØ Ø ÓÒ ÙÙÒØ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò F τ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÓÖÑ Ð ÒÒ ØÝ F σ σ = lim ½º¾µ Ð Ù ÒÒ ØÝ F τ τ = lim. ½º µ ÃÙÚ Ò ½º¾ ØØÑ Ø Ô Ù Ð Ù Ô ÒØ Ò ÓÚ Ø ÚÙÓÖÓÒÔ ÖÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò F σ = F σ n P 3 F τ F P ½ F ¾ P 2 n ÃÙÚ ½º½ à ÔÔ Ð B Ô ÒØ ¹ Ð ÓÓÒ Ó ØÙÚ ÚÓ Ñ F º ½

¾ ÄÍÃÍ ½º à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø σ τ τ z τ σ d τ z τ z τ z σ z dz z d ÃÙÚ ½º¾ ÂÒÒ ØÝ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÙÓÖ ÙÐÑ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ º ÓÓÖ Ò Ø ØÓÒ ÓÓÖ Ò ØØ Ú ÚÓ z Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ Ø Ô ÒÒ Ø Ø Óص Ø Ø Ô Ù Ø Ú Ø ÒÒ ØÝ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÚÓ Ò ÓÓØ Ñ ØÖ Ò σ τ τ z σ = τ σ τ z. τ z τ z σ zz ÅÓÑ ÒØ Ò Ø Ô ÒÓ Ó Ø Ð Ò z ÝÑÔÖ ½º µ Mz = ½º µ ÙÖ Ý ØÐ (τ ddz)d (τ ddz)d =, ½º µ ÓØ Ò Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ø Ò τ = τ. τ z = τ z, τ z = τ z. ½º µ ½º µ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÒÒ ØÝ Ñ ØÖ ÓÒ Ø Ò ÙÙ ÔÔ Ð ØØ º ½º¾ ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ð ÌÙØ Ø Ò ÙÚ Ò ½º Ò Ò PP Ô ØÙÙ Ò ÑÙÙØÓ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò P P PP = ( + u + d + u u d) ( + u + d) = d. ½º µ

½º¾º ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ð, v P 2 (, + d, z) P P ( + d,, z) P 3 (,, z + dz), u z, w P P P P ÃÙÚ ½º Â Ò Ò PP Ú ÒÝѺ ÅÖ Ø ÐÐÒ ¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ú ÒÝÑ ε = u. ½º½¼µ Ð Ò z ÙÙÒÒ Ò Ú Ø Ú Ø ε = v, ½º½½µ ε z = w z. ½º½¾µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÒÓ Ò PP PP 2 ÚÐ Ò ÙÓÖ Ò ÙÐÑ Ò ÑÙÙØØÙÑ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò º ÃÙÚ Ò ½º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÙÖ Ò Ñ ÐØÒ Ð Ù ÙÑ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò γ = u + v, γ z = v z + w, γ z = u z + w. ÃÓÓØ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ε i ε ii γ ij 2ε ij ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ñ ØÖ Ò ε ε = Å ØÖ ε ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð ε ij = ε ji º ε 2 γ 2 γ ε 2 γ z 2 γ z 2 γ z 2 γ z ε z ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ. ½º½ µ

ÄÍÃÍ ½º à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø d u d u v d γ = u + v v d ÃÙÚ ½º Ä Ù ÙÑ (,)¹Ø Ó º Ö ÒØ Ó Ñ ÐÐ ÖØÝÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø u v w ØÙÐ u u u du z dv dw = v v v z w w w z d d dz ½º½ µ Ð ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ñ Ö ØØÝÒ du = U d. ½º½ µ Å ØÖ U ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ ÖØÝÑ Ö ÒØØ º U ÚÓ Ò Ó Ò Ñ U = D + Å, D = 2 (U + U T ), ½º½ µ ½º¾¼µ Å = 2 (U U T ). ½º¾½µ Å ÓÒ ÖÓØ Ø ÓÑ ØÖ Å = 2 v u w u z u v w v z u z w v z w. ½º¾¾µ ÊÓØ Ø ÓÑ ØÖ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÝ ÑÙÓ Ó ω 3 ω 2 Å = ω 3 ω, ½º¾ µ ω 2 ω Ñ ω = 2 ( w v ), ω 2 = ( u z 2 z v ), ω 3 = ( v 2 u ). ½º¾ µ

½º º Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ý ØÐ Ø u du d ω 3 = 2 ( v u ) v dv d ÃÙÚ ½º ÊÓØ Ø Ó ω 3 º Å ÓÒ Ú ÒÓ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð Å = Å T. ½º¾ µ ÂÝ Ò ÔÔ Ð Ò ÖØÝÑ Ñ Ö Ð Ò z ÝÑÔÖ ω 3 = v = u. ½º¾ µ ½º Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ý ØÐ Ø Ë ÖØÝÑ ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÓÒ ÓÐÑ u v wº ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÓÒ ÙÙ Ô¹ Ô Ð ØØ ε ε ε z γ γ z γ z º ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ε ij ÚØ ÓÐ ØÓ Ø Ò Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ Ú Ò Ò Ò ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØ Ú Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ý ØРغ Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ú ÒÝÑ Ò ε ε ÚÓ Ò Ò Ò ε = u, 2 ε 2 = 3 u 2, ØØ Ò Ð Ù ÙÑ Ò γ ÑÖ ØØ ÐÝ Ú Ø ε = v 2 ε 2 = 3 v 2, ½º¾ µ ½º¾ µ ÙÖ γ = u + v 2 γ = 3 u 2 + 3 v 2. à ÚÓ Ø ½º¾ µ ½º ¼µ ÙÖ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓ 2 ε 2 + 2 ε 2 = 2 γ. ½º¾ µ ½º ¼µ ½º ½µ Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ø Ò 2 ε z 2 + 2 ε z 2 = 2 γ z z, 2 ε z 2 + 2 ε z 2 = 2 γ z z. ½º ¾µ ½º µ

ÄÍÃÍ ½º à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø ÌÓ ÒÐ Ø ÓÐÑ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ý ØÐ ÚÓ Ò Ó Ø Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ¹ Ø Ò ε γ z γ z γ Ú Ø ÓÔ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ 2 γ z = 2 γ z 2 2 γ z = 2 ε z = ( 2 u z ( v = 2 2 2 3 u z, + v ) z + w ) ( w + u ) z = 3 u z + 3 v 2 z, = 3 v 2 z + 3 w 2, = 3 w 2 + 3 u z. ½º µ ½º µ ½º µ ½º µ Ä Ñ ÐÐ Ý Ø Ò Ú Ø ½º µ ½º µ ½º µ ½º µ ØÓ Ø Ò ØØ 2 γ z 2 γ z 2 + 2 γ z = 2 3 u z = 2 2 ε z ½º µ Ð Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ø Ò ( γ z γ z + γ ) z = 2 2 ε z. ( γz γ z + γ ) = 2 2 ε z z, ( γz z γ z + γ ) z = 2 2 ε z. ½º µ ½º ¼µ ½º ½µ Ã Ú Ø ½º ½µ ½º ¾µ ½º µ ½º µ ½º ¼µ ½º ½µ ÚØ ÓÐ ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º ½º Ð Ø ØØÝ ÀÓÓ Ò Ð Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÖÑ Ø Ó ÓÒ Ú ÙØØ ÒÒ ØÝ Ø Ð (σ,σ,σ z )º Á ÓØÖÓÓÔ¹ Ô Ò ÑÑÓ Ò Ò Ò Ø Ô Ù ÒÒ ØÝ Ø σ Ú Ø ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ε = σ E. ½º ¾µ Î Ø Ú Ø σ Ò σ z Ò Ú ÙØÙ Ø Ñ ν ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÐÙ Ùº Ø Ò ε = νσ E, ε = νσ z E, ½º µ ε =ε + ε + ε = E [σ ν(σ + σ z )]. ½º µ

½º º Ð Ø ØØÝ ÀÓÓ Ò Ð νε σ σ σ z σ ½ d z σ z d σ dz ½ ε ÃÙÚ ½º ÆÓÖÑ Ð ÒÒ ØÝ Ø σ σ σ z ÒÒ ØÝ Ò σ ÙØØ Ñ Ø Ú ÒÝÑØ (,)¹Ø Ó º Ë Ñ ÒÐ Ø Ú Ø ÚÓ Ò Ó Ø ¹ z¹ Ð Ò ÙÙÒØ ÐÐ Ú ÒÝÑ ÐÐ º Ä Ù ÙÑ Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ Ò ÚÐ Ò Ò ÑÑÓ Ò Ò Ý Ø Ý (,)¹Ø Ó ÓÒ γ = G τ, ½º µ Ñ G ÓÒ Ð Ù ÙÑÓ ÙÙÐ º Ë Ñ ÒÐ Ø Ý Ø Ý Ø ÓÚ Ø ÚÓ Ñ (,z)¹ (,z)¹ø Ó º Ð Ø ØØÝ ÀÓÓ Ò Ð ¹ÙÐÓØØ ÓØÖÓÓÔÔ Ø Ô Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ ε = E [σ ν(σ + σ z )], γ = G τ, ε = E [σ ν(σ + σ z )], γ z = G τ z, ½º µ ε z = E [σ z ν(σ + σ )], γ z = G τ z. ÅÖ Ø ÐÐÒ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ø Ð ÚÙÙ Ò ÑÙÙØÓ e = ε + ε + ε z. ½º µ ÀÓÓ Ò Ð Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ã Ú Ø ½º µ ÙÖ e = 2ν E (σ + σ + σ z ) = 2ν s, ½º µ E s = σ + σ + σ z. σ + σ z = ½º µ Ee 2ν σ. ½º ¼µ

ÄÍÃÍ ½º à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ú ½º ¼µ ε Ò Ú Ò ØÙÐ Ó Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø ε = E σ = [ σ νee ] 2ν + νσ = + ν E σ E + ν ε + E ( + ν) νe 2ν, ½º ½µ ν ( 2ν) e = 2Gε + λe, ½º ¾µ Ñ ÓÒ Ð Ù ÙÑÓ ÙÙÐ ÓÒ Ä Ñ Ò Ú Óº λ = G = E 2( + ν) νe ( + ν)( 2ν) Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ø Ò Ú Ø ÒÒ ØÝ ÐÐ σ σ z Ò ÖÝ Ñ σ = λe + 2Gε, σ = λe + 2Gε, σ z = λe + 2Gε z. ½º µ ½º µ ½º µ ½º µ ½º µ Ä Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ð Ù ÙÑ Ò ÚÐ Ø ÑÑÓ Ø Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø τ = Gγ, τ z = Gγ z, τ z = Gγ z. ½º µ Ñ Ö ½º½ ÅÖ Ø ØÒ Ý ÖÓ Ø ØØ ÒÒ ØÝ Ø Ð Ô Ò Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ø Ð ÚÙÙ ÒÑÙÙØÓ Ò ÚÐ Ò Ò Ý Ø Ý º ÀÝ ÖÓ Ø ØØ ÒÒ ØÝ Ø Ð σ = σ = σ z = p. ½º µ ËÙ Ø ÐÐ Ø Ð ÚÙÙ ÒÑÙÙØÓ e = ε + ε + ε z = 2ν E s ½º ¼µ Ò ÒÝØ Ó Ø Ö Ø Ø Ò e = 2ν ( 3p), ½º ½µ E p = E 3( 2ν) e tai p = (λ + 2G 3 )e = Ke, ½º ¾µ Ñ ÓÒ Ø Ð ÚÙÙ ÒÑÙÙØÓ ÖÖÓ Òº K = ( λ + 2G 3 ) ½º µ

½º º Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ø F b F z a c ÃÙÚ ½º ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÖÑ abc ÓØ ÙÓÖÑ ØØ ÚÓ Ñ F º Ñ Ö ½º¾ ÌÙØ Ø Ò ÙÚ Ò ½º ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÖÑ Ø abc ÓØ ÙÓÖÑ ØØ ÚÓ Ñ F ¹ Ð Ò ÙÙÒÒ º ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò ÖÑ Ò Ø Ð ÚÙÙ Ð ÙØ Ð ÓÒ V = abcº ÓÖÑÓ ØÙÒ Ø Ð Ò Ø Ð ÚÙÙ ÓÒ V =a( + ε)b( νε)c( νε) ½º µ =V ( + ε)( νε) 2. Ì Ð ÚÙÙ Ò ÖÓØÙ ÓÒ V = V V = V ε( 2ν). ½º µ ÃÓ V > ε > Ò Ò 2ν > ν < /2 Ø º ÈÓ ÓÒ Ò ÐÙÚÙÒ ÙÙÖ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ /2º ½º Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ø Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÚÓ Ò Ó Ø ØÙØ Ñ ÐÐ Ø Ð ÚÙÙ Ð ÓÒ dd dz Ø Ô ÒÓ (,,z)¹ Ú ÖÙÙ ÙÚ ½º º Ì Ð ÚÙÙ Ð ÓÓÒ Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ð ÚÙÙ ÚÓ Ñ Ú ØÓÖ Ò f ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÚ Ø f f f z º Ð Ò ÙÙÒÒ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ( ) ( ) ( ) σ d τ ddz + d τz ddz + z dz dd + f dddz =, Ð σ + τ + τ z z + f =, ½º µ ½º µ Ñ f ÓÒ ¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ø Ð ÚÙÙ ÚÓ Ñ Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ º Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ø Ò Ø Ô ÒÓ ÓØ Ð Ò z ÙÙÒÒ º Ð Ò z ÙÙÒØ Ø Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÓÚ Ø σ + τ + τ z z + f =, ½º µ

½¼ ÄÍÃÍ ½º à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø d σ τ τ z σ z + σz z dz τ z + τz d τ τ z τ z + τz z dz τ z + τz z dz σ σ + σ d τ z τ + τ d τ z σ z τ + τ d σ σ + d τ z + τz d dz z d ÃÙÚ ½º Ì Ô ÒÓ Óغ τ + σ + τ z z + f =, τ z + τ z + σ z z + f z =. ØØ Ñ ÐÐ Ú Ø ÚÙÙ Ø 2 z 3 Ñ Ö Ø ÑÐÐ σ, σ, σ 2,2 τ,, σ 33,3 σ z z ½º µ ½º ¼µ ½º ½µ ÚÓ Ò Ø Ô ÒÓ ÓØ Ö Ó ØØ ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ò ÑÙÓ Ó 3 σ ij,j + f i =, i =,...,3. j= ½º ¾µ ÂØØÑÐÐ ÙÑÑ Ñ Ö ÔÓ ÑÙ Ø Ñ ÐÐ ÙÑÑ Ö Ø ØÓ ØÙÚ Ò Ò Ò Ù Ø Ò Ô ¹ ØÒ Ú Ð Ò ÐÝ Ý ÑÔÒ Ñ Ö ÒØØ Ô Ò σ ij,j + f i =, i =,...,3. ½º µ Ñ Ö ½º à ÔÔ Ð Ò Ô Ø P ØÙÒÒ Ø Ò ÒÒ ØÝ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø σ = 2 + 2, σ = 2 + z 2, σ z = z 2 + 2, τ =, τ z = z, τ z = z. ½º µ ÅÖ Ø ØÒ Ò Ò Ò Ø Ô ÒÓ ÓÐ Ú Ø Ø Ð ÚÙÙ ÚÓ Ñ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Øº

½º º Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ½½ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ½º µ ½º µ ½º ¼µ Ò 2 + + + f =, + 2 + + f =, ½º µ z + z + 2z + f z =, ÓØ Ò Ø Ð ÚÙÙ ÚÓ Ñ Ø ÓÚ Ø f = 4, f = 4, f z = 4z. ½º µ ÂÓ Ø Ò ÙÖ Ú Ø Ô ÒÓ ÓØ ÔÔ Ð Ò Ö ÙÒ ÐÐ º Ø ÐÐ Ò Ö ÙÒ Ò Ð Ýݹ Ø Ð ØÙ Ò Ò Ø Ñ Ð Ò Ò Ö ÒØ Ð Ò Òµ Ø ØÖ Ö Ò ÑÙÓØÓ Ò Ò ÔÔ Ð ÓÒ Ø Ó Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø ÓÚ Ø z º È ÒÒ Ò Ø ÓÒµ BC Ý ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ ÓÒ n = n i + n j + n z k, ½º µ Ñ i j k ÓÚ Ø Ð Ò z ÙÙÒØ Ø Ý Ú ØÓÖ Ø n n n z ÓÚ Ø Ý ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Øº Å ØÖ Ñ Ö ÒÒÐÐ n n = n n. z Ë Ñ Ò Ø ÓÓÒ Ú ÙØØ Ú Ô ÒØ ÚÓ Ñ Ú ØÓÖ ÓÒ ½º µ t = t i + t j + t z k, ½º µ Ñ t t t z ÓÚ Ø ØÙÒÒ ØÙØ Ô ÒØ ÚÓ Ñ Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Øº Î Ú ÙÙÖ Ò ÔÐÐ Ø Ö Ó ØØ Ø Ý Ø Ý ØÙÒÒ ØØÙ ÙÙÖ ØØ º Å ØÖ Ñ Ö ÒÒÐÐ t t = t t. z ÃÙÚ Ò ½º Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ð Ò ÙÙÒØ Ø Ô ÒÓ Ó ½º ¼µ t σ τ τ z z =. ½º ½µ Ì Ð ÚÙÙ ÚÓ Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò f Ó ÙÙ ÚÓ Ò ØØ ÔÓ Ó Ñ Ò ÑÙ Ò Ø ÖÑ Ò Ö ÒÒ ÐÐ Ñ Ö ØÝ ØØ Ñ Ø Ð ÚÙÙ Ð ÓØ Ô Ò ÒÒ ØØ º ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓØ n = cos(n,) =, n = cos(n,) =, ½º ¾µ n z = cos(n,z) = z,

½¾ ÄÍÃÍ ½º à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø B n t k j O i z z C ÃÙÚ ½º Ê ÙÒ Ò Ø Ô ÒÓ Óغ ÓØ Ò Ñ ÐÐ Ô ÒØ ¹ Ð ÐÐ Ò ¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ÑÙÓØÓÓÒ σ n + τ n + τ z n z = t. ½º µ Ë Ñ ÒÐ Ø Ö ÙÒ Ò Ø Ô ÒÓ ÓØ Ó Ø Ò ÑÝ ¹ z¹ Ð Ò ÙÙÒÒ Ô Ý¹ ØÒ Ø Ô ÒÓ ØÓ Ò ÖÝ ÑÒ σ n + τ n + τ z n z = t, τ n + σ n + τ z n z = t, ½º µ τ z n + τ z n + σ z n z = t z. ÁÒ Ñ Ö ÒÒÐÐ Ö ÙÒ Ò Ø Ô ÒÓ ÓØ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó σ ij n j = t i, i =,2,3, ½º µ Ó ÙÑÑ Ø Ò ØÓ ØÙÚ Ò Ò Ò j ÝÐ º ½º Ë ÖØÝÑÑ Ò Ø ÐÑ ÃÓÐÑ ÙÐÓØØ ÑÑÓØ ÓÖ ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÙÙÖ Ø ½ ÔÔ Ð ØØ {u,v,w} {ε,ε,ε z,γ,γ z,γ z } {σ,σ,σ z,τ z,τ z,τ } Ó Ò Ö Ø Ñ Ò ÓÒ ÝØ ØØÚ Ý Ø ÑÓÒØ Ý ØÐ Ú ÒÝÑ Ò Ú Ø ½º½¼µ ½º½½µ ½º½¾µ Ð Ù ÙÑ Ò Ú Ø ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ÝÐ Ø ØØÝ ÀÓÓ Ò Ð ½º µ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ½º µ ½º µ ½º ¼µº Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ ÑÙÙØ Ô Ø ÖØÝÑØ ÔÓ Ô ÝØÒ ÖØÝÑÑ Ò Ø ÐÑÒº Ä Ù ÙÑ ÐÐ ÀÓÓ Ò Ð

½º º ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ ½ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÖØÝÑ Ò ÚÙÐÐ Ò σ = λe + 2G u, σ = λe + 2G v, τ = G ( u + v ), ( u τ z = G z + w ), σ z = λe + 2G w ( v z, τ z = G z + w ). ½º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÒÒ ØÝ Ø Ò σ τ τ z Ú Ø Ò ÑÑ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ØÙÐ Ð λ e ( + u 2 ) ( 2G 2 2 + G u 2 + 2 v 2 ) u + G z 2 + 2 w + f = ½º µ z ( 2 ) u G 2 + 2 u 2 + 2 u z 2 + (λ + G) e + f =. ½º µ ÅÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ Ñ ÒÐ Ø Ý ØÐ Ø Ò z Ò ÙÙÒÒ Ò Ý Ø Ò ÓÐÑ Ä Ñ Ò Ð Æ Ú Ö Ò Ý ØÐ Ñ ÓÒ Ä ÔÐ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ º G u + (λ + G) e + f =, G v + (λ + G) e + f =, G w + (λ + G) e z + f z =, ( ) = 2 ( ) 2 + 2 ( ) 2 + 2 ( ) z 2 ½º µ ½º ¼µ ½º ½µ ½º ¾µ ½º ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ Ô ÖÙ ØÙÙ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓ Ò ½º ½µ ½º ¾µ ½º µ Ø ½º µ ½º ¼µ ½º ½µº Æ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ð Ù ÙØ Ò ÀÓÓ Ò Ð Ò ÙØØ ÒÒ ØÝ Ø Ò ÚÙÐÐ º ÇØØ ¹ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø Ô ÝØÒ ÐØÖ Ñ Ò¹Å ÐÐ Ò Ý ØÐ Ò σ + 2 s + ν 2 = ν ν divf 2 f, σ + 2 s + ν 2 = ν ν divf 2 f, σ z + 2 s + ν z 2 = ν ν divf 2 f z z, τ + 2 s + ν = f f, ½º µ ½º µ ½º µ ½º µ

½ ÄÍÃÍ ½º à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø S t t n d α n α d n t τ t t S u P s t n σ ds σ ÃÙÚ ½º½¼ à ÔÔ Ð Ò Ö ÙÒ Óغ τ z + 2 s + ν z = f z f z, τ z + 2 s + ν z = f z f z, ½º µ ½º µ Ñ ÓÒ Ä ÔÐ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ div ( ) = ( ) ÓÒ Ú Ö Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ð divf = f, +f, +f z,z Ø Ð ÚÙÙ ÚÓ Ñ Ú ØÓÖ ÓÒ f = [f,f,f z ] T º ÐØÖ Ñ Ò¹Å ÐÐ Ò Ý ØÐ ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒØ ÒÒ ØÝ ÓÑÔÓÒ ÒØØ º ½º Ê ÙÒ ÓØ Ë ÖØÝѹ Ø ÚÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ñ ÓÒ ØÙÒÒ ØØ Ú ÖØÝÑ Ò Ø ÒÒ ØÝ Ø Ò ÖÚÓ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò ÔÔ Ð Ò Ö ÙÒÓ ÐÐ ½º ÌÙ ØÙÐÐ Ö ÙÒ Ò Ó ÐÐ S u ØÙÒÒ Ø Ò ÖØÝÑØ Ð u = ū, v = v, w = w, ½º µ Ñ Ú Ú ÙÙÖ Ò ÔÐÐ Ø Ö Ó ØØ ÒÒ ØØÙ ØÙÒÒ ØÙ µ ÖÚÓ º ¾º ÃÙÓÖÑ Ø ØÙÐÐ Ö ÙÒ Ò Ó ÐÐ S t ØÙÒÒ Ø Ò Ö ÙÒ ÙÓÖÑ Ð n σ + n τ + n z τ z = t, n τ + n σ + n z τ z = t, n τ z + n τ z + n z σ z = t z, ½º½¼¼µ ½º½¼½µ ½º½¼¾µ Ó Ñ t, t, t z ÓÚ Ø Ö ÙÒ Ò Ó ÐÐ S t ÒÒ ØÙØ Ô ÒØ ÚÓ Ñ Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø n,n,n z ÓÚ Ø Ô ÒÒ Ò Ý ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Øº ÃÙÚ Ò ½º½¼ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø Ò Ø ÓØ Ô Ù ¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ø Ô ÒÓ ¹ σ d + τ ( d) t ds = ½º½¼ µ

½º º Î ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ô Ö Ø ½ Ð ( d σ ds + τ d ) = t, ½º½¼ µ ds Ó d ds = cos α = n, Ö ÙÒ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ Ò ÑÙÓØÓÓÒ d ds = sin α = n, ½º½¼ µ σ n + τ n = t. ½º½¼ µ Î Ø Ú Ø ¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ø Ô ÒÓ Ó Ò τ n + σ n = t. ½º½¼ µ ½º Î ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ô Ö Ø Ã ÖØÓÑ ÐÐ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÚÓ Ñ Ò Ö ÙÒ ÓØ Ú ÖØÙ Ð ÐÐ ÖØÝÑ ÐÐ δu δv δw ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÝÐ ÔÔ Ð Ò Ø Ð ÚÙÙ Ò Ö ÙÒ Ò Ó Ò S t ÓÐÐ Ö ÙÒ ÚÓ Ñ Ø ØÙÒÒ Ø Ò Ò Ý ØÐ V V V ( σ + τ + τ ) z z + f δudv + ( τ + σ + τ ) z z + f δv dv + ( τz + τ z + σ ) z z + f z δw dv + S t [( t + t )δu + ( t + t )δv + ( t z + t z )δw] ds =. ½º½¼ µ Ê ÙÒ Ò Ó ÐÐ S u δu = δv = δw = Ó u = ū v = v w = w Ð ÖØÝÑØ ØÙÒÒ Ø Òº ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ u v ØÙÐÓÒ Ö ÚÓ Ñ Ú (uv) = u v + uv u v = (uv) uv, ½º½¼ µ Ñ u v ÓÚ Ø Ñ Ð Ú ÐØ ÙÒ Ø Ó Ø Ô Ð Ù Ø Ö Ó ØØ Ö Ú ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ò

½ ÄÍÃÍ ½º à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø Ø z Ù Ø Ò Ò Ú ½º½¼ µ ÑÙÙÒÒ ØØÙ ÑÙÓØÓÓÒ [ V (σ δu) + (τ δu) + ] z (τ zδu) dv V V V [ (τ δv) + (σ δv) + ] z (τ zδv) dv V [ (τ zδw) + (τ zδw) + ] z (σ zδw) dv V (f δu + f δv + f z δw)dv + V S t [( t + t )δu + ( t + t )δv + ( t z + t z )δw] ds =. ( δu σ + τ δu + τ z ( δv τ + σ δv + τ z ) δu dv + z ) δv dv + z ( ) δw τ z + τ δw z + σ δw z dv + z ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ù Ò ÒØ ÖÓ Ñ Ú Ø Ð Ù ØØ ÓÒ ÑÙ Ò ( f + g + h ) dv = (fn + gn + hn z )ds, z V S ½º½½¼µ ½º½½½µ Ñ f g h ÓÚ Ø Ñ Ð Ú ÐØ ÙÒ Ø Ó Ø n n n z ÓÚ Ø Ö ÙÒ Ô ÒÒ Ò Ý ÒÓÖ¹ Ñ Ð Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò Ú ½º½½¼µ ÐÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ (σ n + τ n + τ z n z )δuds ( ) δu σ S V + τ δu + τ δu z dv + z (τ n + σ n + τ z n z ) δv ds V S (τ z n + τ z n + σ z n z )δw ds V S (f δu + f δv + f z δw)dv + V ( δv τ + σ δv + τ z ( δw τ z + τ δw z + σ z S t [( t + t )δu + ( t + t )δv + ( t z + t z )δw] ds =. ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ö ÙÒ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø t = n σ + n τ + n z τ z, ) δv dv + z ) δw dv + z ½º½½¾µ t = n τ + n σ + n z τ z, ½º½½ µ Ö ÙÒ Ò Ó Ò S t ÚÓ Ñ Ò Ö ÙÒ ÓØ t z = n τ z + n τ z + n z σ z, t = t, t = t, t z = t z ½º½½ µ

½º½¼º Ò Ö Ô Ö ØØ Ø ½ σ τ σ d dz d σ z τ z τ z τ z τ σ τ z O B ε d dz z d ÃÙÚ ½º½½ ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö º ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ú Ø δε = δu, δε = δv, δγ = δu + δv, δγ z = δv z + δw, ½º½½ µ δε z = δw z, δγ z = δ z + δw, Ò ÐÓÔÙÐØ Ú ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ý ØÐ ÑÙÓØÓÓÒ (σ δε + σ δε + σ z δε z + τ δγ + τ z δγ z + τ z δγ z )dv V (f δu + f δv + f z δw)dv ( t δu + t δv + t z δw)ds =. V S t ½º½½ µ Î ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ý ØÐ Ø ½º½½ µ ÚÓ Ò Ó Ø Ø Ô ÒÓÝ ØРغ ½º½¼ Ò Ö Ô Ö ØØ Ø ÂÒÒ ØÝ Ò σ Ø Ñ ØÝ ÓÒ ÙÚ Ò ½º½½ ÓÐÑ ÓÒ OB Ô ÒØ ¹ Ð du σ = 2 σ ε dddz = 2 σ ε dv, ½º½½ µ

½ ÄÍÃÍ ½º à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø Ñ dv = dddzº Ø Ò Ø Ð ÚÙÙ Ð ÓÒ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö ÓÒ du = 2 (σ ε + σ ε + σ z ε z + τ γ + τ z γ z + τ z γ z )dv. ½º½½ µ à ÔÔ Ð Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÝÐ ÔÔ Ð Ò Ø Ð ÚÙÙ Ò V º Ä Ù ÙÑ ÐÐ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÒÒ ØÝ Ø Ò ÚÙÐÐ ε = E [σ ν(σ + σ z )], γ = G τ, ε = E [σ ν(σ + σ z )], γ z = G τ z, ½º½½ µ ε z = E [σ z ν(σ + σ )], γ z = G τ z, ØÙÐ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ U = Ũ = 4G V [σ 2 + σ2 + σ2 z ν + ν (σ + σ + σ z ) 2 + 2(τ 2 + τ2 z + τ2 z )]dv. ½º½¾¼µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ú ØÓ ØÓ Ø Ú Ò ½º½½ µ σ = 2Gε + λe, τ = Gγ, σ = 2Gε + λe, τ z = Gγ z, ½º½¾½µ Ò U = G V σ z = 2Gε z + λe, τ z = Gγ z, [ε 2 + ε2 + ε2 z + νe2 2ν + 2 (γ2 + γ2 z + γ2 z )]dv. ½º½¾¾µ ÍÐ Ó Ø Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ÐÐ V = V (f u + f v + f z w)dv S t ( t u + t v + t z w)ds. ½º½¾ µ ½º½¼º½ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö Ø Ã ÔÔ Ð Ò Ó ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÐÐ Π = U + V ½º½¾ µ ÓÒ Ñ Ò Ñ ÖÚÓ Ø Ô ÒÓØ Ð Ð Π = Π min. ½º½¾ µ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ ØÐÐ Ò ÒÓÐÐ Ð δπ =. ½º½¾ µ

½º½¼º Ò Ö Ô Ö ØØ Ø ½ ½º½¼º¾ ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö Ø Ã ÔÔ Ð Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÐÐ Ò Ö ÐÐ Π = Ũ + Ṽ ÓÒ Ñ Ò Ñ ÖÚÓ Ø Ô ÒÓØ Ð º Ä Ù ½º½¾ µ ÙÐ Ó Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ Ṽ = (ūt + vt + wt z )ds, S u Ñ t = n σ + n τ + n z τ z, t = n τ + n σ + n z τ z, ½º½¾ µ ½º½¾ µ ½º½¾ µ t z = n τ z + n τ z + n z σ z. ½º½¼º Ê ØÞ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Î Ð Ø Ñ ÐÐ ÖØÝÑ ÐÐ u v w Ø ÙÚÙÙ ¹ Ò Ñ ØØ Ø Ö ÙÒ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ¹ Ø ÐÑØ u = ϕ (,,z) + a k ϕ k (,,z), k v = ψ (,,z) + k b k ψ k (,,z), ½º½ ¼µ w = θ (,,z) + k c k θ k (,,z), Ó ϕ k ψ k θ k ÓÚ Ø ÒØ ÙÒ Ø Ó Ø a k b k c k ÓÚ Ø ÖØÓ Ñ Ó ØØ Ñ ÐÐ Ö Ø ÐÑØ ½º½ ¼µ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Π Ð Ù Ò ØÙÐ Π = Π(a k,b k,c k ). ½º½ ½µ à ÑÑÓØ ÓÖ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ø Ù Ò ÒÝØ Ñ Ò ÑÓ Ñ ÐÐ Π ÖØÓ Ñ Ò a k b k c k Ù Ø Òº Å Ò Ñ Ò ÚÐØØÑØØ ÑØ ÓØ ÓÚ Ø Π a k =, k =,...,K a, Π b k =, k =,...,K b, ½º½ ¾µ Π c k =, k =,...,K c, Ñ K a K b K c ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖØ Ù Ò ÖØÝÑÒ Ø ÐÑ º à ÚÓ Ø ½º½ ¾µ ÙÖ Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÖØÓ Ñ Ò a k b k c k Ö Ø Ñ º ÂÓ ÒØ ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ØÝ ÐÐ Ò Ø ÐÑÒ Ò Ò Ö Ø ÙÒ Ú Ö Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð Ò Ö Ø Òغ

¾¼ ÄÍÃÍ ½º à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø k m k u 2 m u 2 ÃÙÚ ½º½¾ Ã Ò ÓÙ Ò Ñ Ò Ý Ø Ñ º Ñ Ö ½º ÌÙØ Ø Ò Ò Ö Ò ÝØ ØÝÒ ÓÙ Ò Ñ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ý Ø Ñ Ó ÓÒ Ö ÔÙ Ø ØØÙ ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò ÝÐÔ ØÒº ÇØ ÙØ Ò ÓÙ Ò ÓÙ Ú ÓØ ÑÓ Ð k = k 2 = kº Å Ó Ò ÚÓ Ñ Ø ÓÚ Ø F = F 2 = F = mgº Å Ò ÖØÝÑ ÓÒ u Ñ Ò 2 ÖØÝÑ ÓÒ u 2 º ÈÓØ ÒØ ¹ Ð Ò Ö Ò Ð Ù ØÙÐ ÒÝØ Π = 2 ku2 + 2 k(u u 2 ) 2 Fu Fu 2. ÙÒ Ø ÓÒ Π Ñ Ò Ñ Ò ÚÐØØÑØØ ÑØ ÓØ ÓÚ Ø Π u = 2ku ku 2 = F, Π u 2 = ku + ku 2 = F, ½º½ µ ½º½ µ Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö Ø Ø Ò u = 2 F k, u 2 = 3 F k. ½º½ µ Ì Ô ÒÓØ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ ÒÓÐÐ Ð δπ = Π u δu + Π u 2 δu 2 =. ½º½ µ ÃÓ δu δu 2 ÓÚ Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ú Ö Ø Ó Ø ÔØ ÐÐÒ ØØ δπ = Π u =, Π u 2 =. ½º½ µ ÈÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Π Ð Ù ØØ Ñ Ö Ò Ø Ô Ù (u, u 2, Π)¹ Ú ÖÙÙ Ô Ö ÓÐÓ ÓÒ Ñ Ò Ñ Ò ÚÐØØÑØØ ÑØ ÓØ ÓÚ Ø ÙÙÖ ÐÐ Ø ØÝØ Ø Ô ¹ ÒÓ ÓØ ½º½ µº Ñ Ö ½º ÅÖ Ø ØÒ ÙÐÓ Ô Ð Ò Ø ÔÙÑ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö ¹ ØØ Ò ÚÙÐÐ º ÍÐÓ Ô Ð Ò Ô ØÙÙ ÓÒ L Ò Ô Ó = L ÓÒ ÙÓÖÑ P º ÇØ ÙØ Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ Ø ÐÑ v(ξ) = a + a ξ + a 2 ξ 2 + a 3 ξ 3, ½º½ µ

½º½¼º Ò Ö Ô Ö ØØ Ø ¾½ L ÃÙÚ ½º½ ÍÐÓ Ô Ð Ô Ø ÙÓÖÑ P Ô = Lº P Ñ ξ = /L (, ) ÓÒ Ð ÙØÓÒ ÓÓÖ Ò ØØ º ÍÐÓ Ò ØÙ ÐÐ = Ö ÙÒ ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ v() = a =, v () = a =, ½º½ µ Ñ ( ) d( )/d Ô Ð Ò Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ÓÒ Ø Ò v(ξ) = a 2 ξ 2 + a 3 ξ 3. ½º½ ¼µ Ñ Ö Ò ÙÐÓ Ô Ð Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù ÓÒ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ Π = 2 L Ò ÙÐÓ Ò ÝÖ ØÝÑÒ Ð Ù EI(v ) 2 d Pv(L). d( ) d = d( ) L dξ, v = L 2 (2a 2 + 6a 3 ξ). ½º½ ½µ ½º½ ¾µ ½º½ µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÝÖ ØÝÑÒ Ð Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ú Ò ½º½ ½µ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ d = Ldξ ØÙÐ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Π = EI L 3 (2a2 2 + 6a 2 a 3 + 6a 2 3) P(a 2 + a 3 ). ÙÒ Ø ÓÒ Π Ñ Ò Ñ Ò ÚÐØØÑØØ ÑØ ÓØ ÓÚ Ø Ó Ø Ö Ø Ø Ò Π a 2 = Π a 3 = 4a 2 + 6a 3 = PL3 EI, 6a 2 + 2a 3 = PL3 EI, a 2 = PL3 2EI, a 3 = PL3 6EI. Ì ÔÙÑ Ò Ð Ù Ò ξ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ v(ξ) = (3ξ 2 ξ 3 ) PL3 6EI v() = (3L 2 3 ) P 6EI. ½º½ µ ½º½ µ

¾¾ ÄÍÃÍ ½º à ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø Ì ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØ Ò ÙÑ ÓÒ M() = EIv () = P( L), ½º½ µ Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØ Ò ÖÚÓ ØÙ ÐÐ = ÓÒ M() = PLº Ì Ø Ô Ù Ø Ò Ø Ö ØÙÐÓ ÓØ ÙÑ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÐÐ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ º Ð Ò Ò Ö Ñ ¹ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò Ú Ò Ð Ö Ø Ùº

ÄÙ Ù ¾ Î Ô ÚÒØ ¾º½ ÓÙÐÓÑ Ò Ø ÓÖ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÚ Ò ¾º½ ÙÚ ÓÒ ÔÓ Ð Ù ÓÒ ÝÑÔÝÖº Ë ÙÚ ÙÓÖÑ ØØ ÚÒ¹ Ø ÑÓÑ ÒØØ M = Mz (L)º ÈÝ Ö Ò Ð Ò ÚÒÒ ÔÓ Ð Ù Ø ÓØ ÐÝÚØ Ø Ó Ò º ÎÒØ ÙÐÑ ϕ ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò ÖØÝѺ ÎÒØ ÙÐÑ Ò Ö Ú ØØ ÙÚ Ò ¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò z Ù Ø Ò ÓÒ ÚÒØÝÑ ÃÙÚ Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò θ = dϕ dz. dϕ r = γ(r)dz, ¾º½µ ¾º¾µ ÓØ Ò ÚÒÒ Ò ÙØØ Ñ Ð Ù ÙÑ ÙÚ ÓÒ γ(r) = dϕ dz r = θr. ¾º µ Ä Ù ÒÒ ØÝ Ø τ Ú Ø Ú ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M z = R τr d = 2π τr 2 dr. ¾º µ R ϕ z M γ(r) dϕ r dz L dz γ(r), τ(r) ÃÙÚ ¾º½ ÈÝ Ö Ò ÙÐÓ ÙÚ Ò ÚÒØ º ¾

¾ ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ M m M M M + M 45 z ÃÙÚ ¾º¾ ÎÒÒ ØÝ ÔÝ Ö ÙÚ Ú ÐÐ Ø Ú ÔÙ Ð Ù ÙÚ Ò Ð¹ ÓÒ z Ø Ô ÒÓº Å Ö ØÒ ÙÖ Ú ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ z¹ Ð Ò ÝÑÔÖ µ ÐÝ Ý ÑÑ Ò M M z º ÃÙÚ Ò ¾º½ Ø ØØ Ø ÑÖØÝÒ ÙÐÓ ÙÚ Ò Ø Ô Ù Ò Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ Ó ÔÓ Ð Ù Ñ Ù Ò ÙÐ Ó Ò Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ Ð M(z) = Mº ÀÓÓ Ò Ð Ò ÑÙ Ò ÑÑÓ ÙÚ Ð Ù ÒÒ ØÝ Ò Ð Ù ÙÑ Ò ÚÐ Ò Ò ÑÑÓ Ò Ò Ý Ø Ý ÓÒ τ = Gγ = Gθr. ¾º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð Ù ÒÒ ØÝ Ò Ð Ù ÚÒØ ÑÓÑ ÒØ Ò Ú Ò ØÙÐ M = Gθ2π R r 3 dr = GθI p, ¾º µ Ñ I p ÓÒ ÔÓÐ Ö Ò Ò Ý ÝÝ ÑÓÑ ÒØØ I p = r 2 d = 2π R r 3 dr = π R4 2. ¾º µ ËÙÙÖ GI p ÓÒ ÔÝ Ö Ò Ð Ò ÚÒØ Ý ÝÝ º ÑÔÝÖÔÙØ Ò Ø Ô Ù I p = π 2 (b4 a 4 ), ¾º µ Ñ b ÓÒ ÔÙØ Ò ÙÐ Ó a ÓÒ Ú Ø Ú Ø º ËÙÙÖ Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ ÔÓ ¹ Ð Ù ÝÒØÝÝ ÐÐ r = R Ó τ ma = GθR = MR I p. ¾º µ Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ γ ÒÒ ØÝ τ ÒØÙÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ø Ò ÙÙÒÒ ÓÓÖ¹ Ò Ø Ò r ÙÒ Ø ÓÒ º Ë ÙÚ Ú ÐÐ Ø Ú ÒÒ ØÝ Ø Ð ÓÒ Ò º ÔÙ Ð Ù ÙÚ ¾º¾º ÃÙÚ Ò ¾º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ Ò Ð ÓÒ z Ø Ô ÒÓÝ ØÐ m z + M =, ¾º½¼µ Ó Ø ÙÖ dm dz + m =, Ñ m(z) ÓÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÙÚ Ò Ô ØÙÙ Ý Ó Ø Ð ØØÙ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ º ¾º½½µ

¾º½º ÓÙÐÓÑ Ò Ø ÓÖ ¾ M ϕ = ÃÙÚ ¾º Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ Óغ ½ a M 2 L a z ÃÙÚ ¾º È Ø ÚÒØ ÑÓÑ ÒØ Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ ÙÚ º Ë ÖØÝÑÑ Ò Ø ÐÑÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ð Ù ÙÑ ÐÐ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ M ÚÒ¹ ØÝÑÒ θ = ϕ ÚÙÐÐ ÑÙÓ Ó d dz (GI dϕ p dz ) + m =. ¾º½¾µ ÂÓ ÚÒØ Ý ÝÝ GI p ÓÒ Ú Ó Ò Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ý Ò ÖØ ØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ d 2 ϕ GI p + m(z) =. dz2 ¾º½ µ Ì Ú ÐÐ ÑÑ Ø Ö ÙÒ ØÓØ Ô Ù Ø ÓÚ Ø ½º Î Ô Ø ÖØÝÚ Ô ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ M = M Ñ Ú Ú ÙÙÖ Ò ÔÐÐ Ø Ö Ó ØØ ÒÒ ØØÙ ÖÚÓ º ¾º à ÒÒ Ø ØÝ Ô ÚÒØ ÙÐÑ ϕ = º Ñ Ö ¾º½ È ØÒ ÒÒ Ø ØÝÒ ÙÚ Ò Ó z = a Ú ÙØØ Ô Ø Ñ Ò Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ Mº ÅÖ Ø ØÒ ÚÒØ ÙÐÑ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØ Ò ÙÑ º Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø ϕ() =, ϕ(l) =. ¾º½ µ Â Ø Ò ÙÚ Ó Ò (, a) (a, L) ÙÚ ¾º º ÃÙÑÑ ÐÐ Ò Ó ÚÐ ÐÐ ÓÐ Ù¹ ØÙÒÙØØ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ ÚÒØ ÙÐÑ Ø ϕ (z) ϕ 2 (z) ÚÐ ÐÐ 2 Ò¹ Ø ÖÓ Ò ÒÝØ ÓÑÓ Ò Ø Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ GI p ϕ =, GI p ϕ 2 =, ¾º½ µ GI p ϕ + C =, GI p ϕ 2 + D =, ¾º½ µ GI p ϕ + C z + C 2 =, GI p ϕ 2 + D z + D 2 =, ¾º½ µ ( ) ( ) z. ¾º½ µ ÁÒØ ÖÓ Ñ Ú ÓØ C C 2 D D 2 Ö Ø Ø Ò Ò Ö ÙÒ ÓÒ Ý Ò Ø Ù¹ ÚÙÙ ÓÒ Ó z = a Ð Ù ÙØÙÒ ÑÓÑ ÒØ Ò Ø Ô ÒÓ ÓÒ ÚÙÐÐ ϕ () = C 2 =, ¾º½ µ

¾ ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ M a L ÃÙÚ ¾º ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÚ Óº M L a L ϕ 2 (L) = D L + D 2 =, ¾º¾¼µ ϕ (a) = ϕ 2 (a), M + GI p θ 2 GI p θ =. ¾º¾½µ ¾º¾¾µ Ë ÙÚ Ò ÚÒØ Ý ÝÝ ÓØ ÙØ Ò Ú Ó Ð (GI p ) = (GI p ) 2. ¾º¾ µ Â Ø ÙÚÙÙ Ó Ø ¾º¾½µ ÙÖ Ò Ò Ý ØÐ C a = D a + D 2, ¾º¾ µ ØØ Ò Ö ÙÒ ÓÒ ¾º¾¼µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÙÐ C a + (L a)d =. ¾º¾ µ Ì Ô ÒÓ ÓÒ ¾º¾¾µ ÚÙÐÐ Ò Ý ØÐ C + D = M. ¾º¾ µ Ã Ò Ú Ñ ÑÑÒ Ý ØÐ Ò ÚÙÐÐ Ò Ö Ø ØÙ Ú ÓØ D = a L M, C = M ( a L ). ¾º¾ µ ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ M(z) = GI p θ(z) ÓÒ ÚÐ ÐÐ (, a) ( ) M = GI p θ = C = M L a L ¾º¾ µ ÚÐ ÐÐ (a, L) M = GI p θ 2 = D = M ( a ). ¾º¾ µ L ÃÙÚ Ò ¾º ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÑ ÓÒ Ñ ÒÑÙÓØÓ Ò Ò Ù Ò Ð Ù ÚÓ Ñ Ò ÙÑ ØÙ Ô Ð º ÎÒØ ÙÐÑ Ò Ð Ù ÚÐ ÐÐ (, a) (a, L) ØÙÐ ϕ = (C z) = M ( a ) z, ¾º ¼µ GI p GI p L ϕ 2 = (D z + D 2 ) = D (z L) = GI p GI p M a GI p ( z L ). ¾º ½µ

¾º¾º ÎÒÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ¾ m(z) M k ϕ z M v M v z k GI v ½ θ = ϕ ½ ¾ N N ½ ¾ E ÃÙÚ ¾º ÎÒØ ÙÚ Ò Ð Ñ ÒØØ Ñ ÐÐ º ¾º¾ ÎÒÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø Ð¹ ÑÐÐ Ã ÔÔ Ð Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π = U + V, ¾º ¾µ Ñ U ÓÒ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö V ÓÒ ÙÐ Ó Ø Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð º ÎÒØ ÙÚ Ò Ø Ô Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö ÓÒ U = L 2 M vϕ dz, ¾º µ Ñ ϕ = dϕ/dz ÓÒ ÚÒØÝÑ ÙÐ Ó Ø Ò ÚÓ Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ L V = m(z)ϕ(z)dz i M i ϕ(z i ), Ñ m(z) ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÙØÙÒÙØ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ ¾º µ M i ÓÒ Ô Ø ÚÒØ ÑÓÑ Òع Ø ÙÓÖÑ Ó z = z i º ÃÓ M v = GI v ϕ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö ÐÐ Ð Ù U = 2 GI v(ϕ ) 2 dz. ¾º µ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÙÚ Ø Ò Ó Ò Ð Ð Ñ ÒØØ Ò,2,3,...,Eº ËÓÐÑÙ ÓÒ Ø Ø Ô Ù N = E+ ÔÔ Ð ØØ º Å Ö ØÒ ØØ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò Ð Ñ ÒØ Ò e Ô ØÙÙ ÓÒ L e L ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò Ð Ñ ÒØ Ò e ÐÙ ÐÐ Ð ÙØÓÒ ÓÓÖ Ò ØØ s = z/lº ÌÐÐ Ò s (,) z (,L) dz = Ldsº ÃÙÒ Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÐÙ ÐÐ ÚÒØ ÙÐÑ ϕ(s) = ϕ(z) ÒØ ÖÔÓÐÓ Ò Ð Ò Ö ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ϕ(s) =( s)ϕ + sϕ 2 =N (s)ϕ + N 2 (s)ϕ 2 ¾º µ

¾ ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ ϕ(s) ϕ ϕ 2 s ½ ¼ N (s) ½ N 2 (s) ½ ½ ½ ÃÙÚ ¾º ÎÒØ ÙÐÑ Ò ϕ ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ò ÝØ ØØÚØ Ð Ò Ö Ø ÑÙÓØÓ ÙÒ Ø Óغ ½ N (s) Ñ (z) ½ ½ s = z L z L ÃÙÚ ¾º Ä Ò Ö Ò Ò ÑÙÓØÓ ÙÒ Ø Ó N (s) ÓÓÖ Ò Ø Ò s ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÒ ¹ Ø Ó Ñ(z) ÓÓÖ Ò Ø Ò z = Ls ÙÒ Ø ÓÒ º Ð [ ϕ(s) = N (s) N 2 (s) ] { ϕ ϕ 2 }, ¾º µ Ñ N (s) N 2 (s) ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ ÙÒ Ø ÓØ ϕ ϕ 2 ÓÚ Ø ÚÒØ ÙÐÑ Ò ÖÚÓØ Ð Ñ ÒØ Ò ÓÐÑÙ 2º Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ð Ñ ÒØ Ò e ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö ÓÒ U e = Ñ L L e ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò e Ô ØÙÙ θ = ϕ ÓÒ ÚÒØÝÑ L 2 GI vθ 2 dz, ¾º µ θ = ϕ = dϕ dz = dϕ ds ds dz = dϕ ds L. ¾º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÚÒØÝÑÒ Ú Ò ÚÒØ ÙÐÑ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ØÙÐ [ ϕ = N ϕ + N 2 ϕ 2 = ] { } ϕ. ¾º ¼µ L L ϕ 2 Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ Ø Ò ÚÒØÝÑÒ θ = ϕ Ú ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò U e Ð Ù ¹

¾º¾º ÎÒÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ¾ Ò Ò ½ U e = 2 LGI v [ ϕ ϕ 2 ] { L L } [ L L ] { ϕ ϕ 2 } = 2 ϕet K e ϕ e, ¾º ½µ Ñ K e = [ GIv L GIv L GIv L GI v L ], ϕ e = { ϕ ϕ 2 }. ¾º ¾µ Å ØÖ K e ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò e Ý ÝÝ Ñ ØÖ ϕ e ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÚÒØ ÙÐÑ Ò Ú ØÓÖ º Ð Ñ ÒØ Ò e Ó ÙÙ ÙÐ Ó Ø Ò ÚÓ Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÓÒ V e = L e m(z)ϕ(z)dz i M i ϕ(z i ), ¾º µ Ñ L e = L ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò e Ô ØÙÙ M i ÓÚ Ø Ð Ñ ÒØ Ò ÐÙ ÐÐ Ð Ñ ÒØØ Ó Ø ¹ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ ÚÐ ÐÐ [,L e ] ÑÖ Ø ÐÐÝØ Ô Ø Ñ Ø ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ Øº È ¹ Ø Ñ Ò Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÚÓ Ò ØØ Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ø ÙÚ ÙÓÖÑ Ö ³ Ò δ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÑÙÓ Ó m i = M i δ(z z i ), ¾º µ Ñ δ(z) = ÙÒ z δ(z)dz =. ¾º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÚÒØ ÙÐÑ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó [ ϕ(s) = z z ] { } ϕ L L ϕ 2 Ð Ñ ÒØ Ò e ÙÐ Ó Ø Ò ÚÓ Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ó ÙÙØ Ò V e ØÙÐ [ V e = ϕ ] Le ϕ 2 z L z L ( m(z) + m i )dz ¾º µ ¾º µ Ð [ V e = ϕ ϕ 2 ] { f f 2 } ϕ et f e, ¾º µ Ñ f e ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò e ÓÐÑÙÚÓ Ñ Ú ØÓÖ { f f 2 } = L e z L z L ( m(z) + m i )dz ¾º µ Ñ Ö ¾º¾ ÅÖ Ø ØÒ Ð Ò Ö Ø ÙØÙÒ Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ Ò Ú ¹ Ú Ð ÒØØ ÙÓÖÑ Ú ØÓÖ º ½ Ä Ò Ö Ò ÚÒØ ÙÐÑ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÚÒØÝÑ θ Ú Óº

¼ ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ m m 2 ÃÙÚ ¾º Ä Ò Ö Ø ÙØÙÒÙØ ÒÒ ØØÙ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ m(s)º ÂÓ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ m(s) ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ð Ò Ö Ø ÙØÙÒÙØ Ð m(s) = ( s) m + s m 2, ¾º ¼µ Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò V e = ϕ et f e Ð Ù Ò ÙÓÖÑ Ú ØÓÖ f e ØÙÐ ÒØ ÖÓ ÒÒ Ò Ð Ò f e = { ( s) s } [ s s ] dsl { m m 2 } = L { 2 m + m 2 6 m + 2 m 2 }. ¾º ½µ Ì Ò ÙÓÖÑ Ò Ø Ô Ù m = m 2 = m ÙÓÖÑ Ú ØÓÖ ØÙÐ f e = ml { 2 2 }. ¾º ¾µ Ñ Ö ¾º ÅÖ Ø ØÒ Ô Ø ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ Ò Ú Ú Ð ÒØØ ÙÓÖÑ Ú ØÓ¹ Ö º ÂÓ Ð Ñ ÒØ Ò e Ô Ø z = z i ÓÒ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ Ò Ò ÙÓÖÑ Ú ØÓÖ f e ØÙÐ z f e = z L L m i = M i δ(z z i ), M i δ(z z i )dz = M i z i L z i L ¾º µ ¾º µ Ö ³ Ò δ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ¾º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÂÓ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ M i ÓÒ ÒØ Ò ÐÐ z = L/2 Ò Ò ÙÓÖÑ Ú ØÓÖ ØÙÐ f e = M i { 2 2 }. ¾º µ Ë ÙÚ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ñ ÐÐ Ð Ñ ÒØØ Ò Ò Ö Ó ÙÙ Ø Ý Ø Ò ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö E Π = Π e. e= Π = 2 ϕt Kϕ ϕ T f ¾º µ ¾º µ Ñ Ò Ñ ÖÚÓÒ Ø Ô ÒÓØ Ð º ÌÐÐ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ ÒÓÐÐ Ð δπ =, ¾º µ

¾º¾º ÎÒÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ½ ½ ¾ M 2 L L M/2 M/2 ÃÙÚ ¾º½¼ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ö Ø ØÙ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÚ Óº Ñ Ø ÙÖ δπ = δϕ T (Kϕ f ) =. ¾º µ ÃÓ δϕ ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÐÑÙÚÒØ ÙÐÑ Ò Ú Ö Ø Ó Ò Ú ØÓÖ Ò Ó Ø δπ = Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Kϕ = f, ¾º ¼µ Ó Ø Ö Ø Ø Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò Ó ØØ Ñ Ò Ð Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø ÓÐÑÙ Ò ÚÒØ Ùй Ñ Øº Ó Ø δπ = ÙÖ Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÓØ Ò Ð Ñ ÒØØ Ò m =,...,E Ó ÙÙ Ø 2 K K2 3 8 9 8 f K2 K22 + K 2 K2 2 K2 2 K22 2 + K 3 K2 3 7 6 4 K2 3 K22 3 + K 4 º º º º º ºº K E 22 + K E K2 E K2 E K22 E >< 7 5 >: ϕ ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 º ϕ N ϕ N >= >< = >; >: f 2 + f 2 f 2 2 + f 3 f 3 2 + f 4 º f E 2 + f E f2 E ¾º ½µ Ñ Kij e, e =,...,E ja i,j =,2 ÓÚ Ø Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ fe i, e =,...,E ja i =,2 ÓÚ Ø ÙÓÖÑ Ú ØÓÖ Ò Ð Óغ ÂÓ ÓÐÑÙÙÒ k Ú ÙØØ Ô Ø ÑÓÑ ÒØØ Mk Ð ØÒ ÐÐ Ò Ò Ö Ú ÐÐ k Ú ØÓÖ Ò f º Ñ Ö ¾º È ØÒ ÒÒ Ø ØÝÒ ÙÚ Ò Ó z = L Ú ÙØØ Ô Ø Ñ Ò Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ Mº ÅÖ Ø ØÒ ÚÒØ ÙÐÑ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØ Ò ÙÑ Ð Ñ Òع Ø Ñ Ò Ø ÐÑÐк Â Ø Ò ÙÚ Ø Ò Ð Ñ ÒØØ Òº Ð Ñ ÒØØ Ñ ÐÐ ÓÒ ÓÐÑ ÓÐÑÙ º ËÓÐÑÙ ¾ ÓÒ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ Mº Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø 9 >=, >; ϕ =, ϕ 3 =. ÃÓÓØ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÐÐ Ø ØÝÐÐ Ô Ö ØØ ÐÐ GI ϕ v + ϕ L 2 ϕ 3 = M. ¾º ¾µ ¾º µ Ê ÙÒ ØÓ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ñ Ò Ð Ò Ú Ò Ý Ý ØÐ GI v L 2ϕ 2 = M ϕ 2 = ML 2GI v. ¾º µ

¾ ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ Ð Ñ ÒØ ÚÒØÝÑ ÓÒ θ = L ϕ + L ϕ 2 = M 2GI v, ¾º µ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ Ð Ñ ÒØ 2 Ú Ø Ú Ø M v = GI v θ = M 2. ¾º µ θ = L ϕ 2 + L ϕ 3 = M 2GI v ¾º µ M v = GI v θ = M 2. ¾º µ ¾º Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ Ò ÚÒØ Ø ÓÖ ÈÝ Ö Ò ÙÚ Ò ÚÒÒ ÙÚ Ò ÔÓ Ô ÒØ ÐÝÝ Ø ÓÒ º ÅÙ ÙÚÓ ÚÒØ ¹ ÙØØ ÔÓ Ô ÒÒ Ò ÝÖ ØÝÑ Ø ÔÐ Ò Ø Óµº ÂÓ ÝÖ ØÝÑ Ò Ò Ø Ô ØÙ Ú Ô ¹ Ø ÙÚ Ò ÝÒØÝÝ Ú Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ Ý ÓÒ Ú Ô ÚÒØ Ð Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ Ò ÚÒØ º ÂÓ ÝÖ ØÝÑ Ò Ò ÓÒ Ø ØØÝ ÝÒØÝÝ ÙÚ Ò ÑÝ Ð Ò ÙÙÒØ ÒÒ ØÝ Ø ØØÝ ÚÒØ µº ÅÝ ÚÒØ ÙÚ Ò ØÙ ÒÒ Ò ÓÒ ÐÐ ØØ Ú Ú Ô ÔÐ Ò Ø Ó ÓØØ Ú Ô ÚÒØ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ò Òº Ñ Ö ÙÚ Ò Ô ÓÐ Ú Ò Ô Ø Ñ Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØ Ò ÙÓÖÑ ØØ ¹ Ñ Ò ÙÐÓ Ò Ø Ô Ù ÚÓ Ò Ø ÐÐ ØØ ØÙ ÐÐ ÖØÝÑ ÓÒ Ø ØØÝ ÑÙØØ ÔÓ ¹ Ô ÒÒ Ò ÝÖ ØÝÑ Ò Ò Ø Ô ØÙ Ú Ô Ø º ÌÓ ÐØ Ú ØÙ ÒØ ÙÚ Ò Ô ÓÐ Ò Ý ÒÒ ØÝ Ó Ø Ò ÙØÙÙ ÔÓ Ô ÒÒ Ò ÝÖ ØÝÑ Ò ØÑ Ø Ë Òع Î Ò ÒØ Ò Ô Ö ØØ Ò ÑÙ Ò Ú Ò Ô ÐÐ Ò Ò Ö Ó Ú Ñ Ò ÒÓÔ Ø ØÙ ÐØ ØÒ¹ ÒÝØØ Ú Ô Ò ÚÒÒ Ò Ø ÓÖ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ ÑÙÙ ÐÐ Ô Ø ØÙ Ò Ð ÝÝ º ÔÐ Ò Ø ÓÒ ØÑ Ò Ò ØÙ ÐÐ Ý Ø ÙÚ ÚÒÒ Ò Ù Ø Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ý Ø Ò Ø ÔÓ Ð Ù Ø (,)¹Ø Ó Ó ÓÒ Ó Ø ÙÓÖ ÙÚ Ò Ð z Ú Ø Òº ÃÓÓÖ Ò ØØ Ð Ò z ÙÙÒØ Ø ÖØÝÑØ ÓÚ Ø u v wº Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ Ò Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ½ µ ÑÙ Ò ÓØ ÙØ Ò ÒÒ ØÝ Ø ØØ σ z = σ = σ = τ =, ¾º µ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ØØ ε z = w z =, ε = v =, Ë ÙÚ Ò ÔÓ ØØ Ø Ð Ù ÙÑ Ø ÓÚ Ø ε = u =, γ = u + v =. ¾º ¼µ γ z = w + u z, γ z = w + v z. ¾º ½µ

¾º º Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ Ò ÚÒØ Ø ÓÖ s d τ z τ z M v, ϕ ÃÙÚ ¾º½½ ÎÒØ ÙÚ Ò ÔÓ Ð Ù ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ º ÀÓÓ Ò Ð Ò ÑÙ Ò ÑÑÓ Ò ÙÚ Ò Ø Ô Ù ÔÓ ØØ Ø Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø ÓÚ Ø ÃÓÓÖ Ò ØØ Ð Ò z ÙÙÒØ Ò Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ τ z = Gγ z, τ z = Gγ z. ¾º ¾µ τ z + τ z + σ z z + f z = ¾º µ Ý Ò ÖØ ØÙÙ ÒÝØ ÑÙÓØÓÓÒ τ z + τ z =. ¾º µ ÃÓÓÖ Ò ØØ Ð Ò ÙÙÒØ Ø Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÙÖ ( τ z u z = τ z = G z + w ) = f (,) ¾º µ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ú Ø Ú Ø Ò ÙÙÒÒ ØÙÐ τ z z = τ z = G ( v z + w ) = f 2 (,). ¾º µ à ÚÓ Ò ¾º ¼µ ÚÙÐÐ Ó Ø Ò ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÖØÝÑ ÐÐ u v Ð Ù Ø u = Cz( v ), v = Cz( v ), ¾º µ Ñ ( v, v ) ÓÚ Ø ÚÒØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø C ÓÒ Ú Óº ÈÓ Ð Ù Ò Ò Ò Ø ¹ Ñ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÖÓØ Ø Ó z¹ Ð Ò ÝÑÔÖ ÓÒ ϕ z = ( v 2 u ), ¾º µ ÓØ Ò ÖØÝÑ Ò ÚÓ Ø ¾º µ ÙÖ ϕ z = Cz. ¾º µ

ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ Ë ÙÚ Ò ÚÒØÝÑ ÓÒ ÚÒØ ÙÐÑ Ò Ö Ú ØØ z Ò Ù Ø Ò θ = ϕ z z = C. ¾º ¼µ Ä Ù ÙÑ Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò ÚÐ Ø Ò ÑÑÓ Ø Ò Ý Ø Ý Ò ¾º ¾µ ÚÓ Ò ¾º ½µ ¾º µ ÚÙÐÐ Ò w = τ z G + θ( v), w = τ z G + θ( v). ¾º ½µ ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÚÓ Ø ¾º ½µ ÙÖ ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ò Ú Ø ¾º µ ¾º µ ØØ Ð Ò z ÙÙÒØ Ò Ò ÖØÝÑ ÓÒ w(,) = θψ(,) + θ( v v ), ¾º ¾µ Ñ θψ(,) ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò ÝÖ ØÝÑ ψ(,) ÓÒ ÓÑ Ò ÝÖ ØÝÑ ÝÖ Øݹ Ñ»Ý ÚÒØÝѵ Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò ÔÐ Ò Ø Óº ÂÓ ÓÖ Ó Ø ÚÒØ Ò Ò ÖØÝÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÚ Ø Ú Ô ÚÒÒ ÙÒ ÔÐ Ò Ø Ó Ø Ô ØÙ Ú Ô Ø u = (θz), v = (θz), w = θψ(,). ¾º µ Ä Ù ÒÒ ØÝ Ø Ð Ù ÙØØÙÒ ÖØÝÑ Ò ÚÙÐÐ ÓÚ Ø ( w τ z = G + u ) ( ) ψ = Gθ z, ( w τ z = G + v ) ( ) ψ = Gθ z +. ¾º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ú Ø ÙÚ Ò Ð Ò z ÙÙÒØ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ ¾º µ ÙÖ Ð ( 2 ) ψ Gθ 2 + 2 ψ 2 = ¾º µ 2 ψ 2 + 2 ψ 2 =. ÂÓ ÙÚ Ò Ú ÔÔ ÓÒ ÙÓÖÑ ØØ Ñ ØÓÒ Ò Ò Ö ÙÒ Ò Ø Ô ÒÓ ÓÒ ¾º µ t z = τ z n + τ z n + σ z n z = ¾º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÒ σ z = Ò Ý ØÐ τ z n + τ z n =, ¾º µ Ñ n = cos α n = sin α = cos β ÓÚ Ø ÙÚ Ò Ú Ô Ò Ý ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø α ÓÒ ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ Ò n ¹ Ð Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ º Ë Ñ Ò Ý ØÐ Ò Ô ÝØÒ ÑÝ ØØ Ñ ÐÐ ÔÓ Ô ÒÒ Ò Ö ÙÒ ÐÐ Ð Ù ÒÒ ØÝ τ n ÒÓÐÐ ÙÒ ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÐÐ ÓÐ ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ð τ n = τ z cos α + τ z cos β =. ¾º µ

¾º º Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ Ò ÚÒØ Ø ÓÖ s τ z d ds α β d n β α n n τ z ÃÙÚ ¾º½¾ ÈÓ Ð Ù Ò Ö ÙÒ ÝÖ Ú Ô Ò Ý ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ º Ä Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò ÚÓ Ò ¾º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ö ÙÒ ØÓ ÑÙÓØÓÓÒ ( ) ( ) ψ ψ cos α + + cos β =. ¾º ¼µ ÃÙÚ Ò ¾º½¾ ÚÙÐÐ Ó Ø Ò ÓÑ ØÖ Ø Ý Ø Ý Ø n = cos α = d dn = d ds, n = cos β = d dn = d ds. à ÚÓ Ò ¾º ½µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö ÙÒ ØÓ ¾º ¼µ ØÙÐ ÑÙÓØÓÓÒ ψ d dn + ψ d dn d ds + ( d ds ) =, ¾º ½µ ¾º ¾µ Ó Ø ÙÖ Ø Ù Ö ÚÓ ÒØ Ú ÐÐ µ ÐÓÔÙÐØ ÑÙÓØÓ dψ dn d 2 ds (2 + 2 ) =. Ë ÖØÝÑÑ Ò Ø ÐÑÒ Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø Ø Ò ÒØØÝ ØÐ 2 ψ 2 + 2 ψ 2 =, ¾º µ ¾º µ Ó ÓÒ Ä ÔÐ Ò Ý ØÐ Ö ÙÒ ØÓ dψ dn d 2 ds (2 + 2 ) = Ö ÙÒ ÐÐ s Γº Ä Ù ÚÓ Ñ Ø Q Q ÑÖ Ø ÐÐÒ ÚÓ ÐÐ Q = τ z d, Q = τ z d, ÔÓ Ð Ù Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ ÙÚ ¾º½½µ M v = ( τ z + τ z )d. ¾º µ ¾º µ ¾º µ

ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ Î Ô Ò ÚÒÒ Ò Ø Ô Ù Ð Ù ÚÓ Ñ Ø ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ð Q = Q = M v ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÓÓÖ Ò ØØ Ð Ò ÒÒ Ø º ÃÝÖ ØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ψ ÚÙÐÐ Ð Ù ÙØØÙ ÚÒØ ÑÓÑ ØØ M v ÓÒ ËÙÙÖ M v =Gθ =Gθ =GθI v. { ( ) ( ) } ψ ψ + + d ( ψ + ψ ) + 2 + 2 d I v = I p + ( ψ + ψ ) d ¾º µ ¾º µ ÓÒ ÙÚ Ò ÚÒØ Ý ÝÝ º ÈÝ Ö ÐÐ ÙÚ ÐÐ Ø ÔÙØ ÐÐ ψ = I v = I p ÔÓÐ Ö Ò Ò Ý ÝÝ µº ¾º ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ Äº ÈÖ Ò ØÐ ½ ¼ µ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÒ ØÝ Ù Ø Ó φ = φ(,) Ø Ò ØØ τ z = φ, τ z = φ. ¾º½¼¼µ ÌÐÐ Ò ÙÚ Ò Ð Ò z ÙÙÒØ Ø Ø Ô ÒÓ Ó Ø ÙÖ τ z + τ z = 2 φ 2 φ =, Ð ÓÓÖ Ò ØØ Ð Ò z ÙÙÒØ Ò Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ØÓØ ÙØÙÙ ÒØØ Ø º Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ( γ z + γ ) z = ( γ z + γ ) z = γ z γ z = C = vakio. ¾º½¼½µ ¾º½¼¾µ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ð Ù ÙÑ Ò ÖØÝÑ Ò ÚÐ Ø Ý Ø Ý Ø ( ) ( ) ψ ψ γ z = θ, γ z = θ +, ¾º½¼ µ ØÙÐ γ z γ z = 2θ. Ä Ù ÙÑ ÐÐ Ð Ù ÙÑ Ø Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò ÚÙÐÐ ÚÓ ÐÐ ¾º½¼ µ γ z = G τ z, γ z = G τ z, ¾º½¼ µ

¾º º ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ Äº ÈÖ Ò ØÐ ½ ¼ µ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÝØ ØÝØ Ú Ø ¾º½¼¼µ Ô ÝØÒ ÐÓÔÙÐØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò 2 φ 2 + 2 φ 2 = 2Gθ, Ó ÓÒ ÚÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÒØØÝ ØÐ ÐÙÓÒØ ÐØ Ò Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓº ¾º½¼ µ ØÐ Ò ¾º½¼ µ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓÐÙÓÒÒ Ý ÐÑ ÙÖ Ú Ø Ø Ö Ø ÐÙ Ø º Ë ÙÚ Ò Ð Ò ÙÙÒØ Ò ÖØÝÑÒ w Ö ÒØ Ð ÓÒ dw = w w d + d. ¾º½¼ µ à ÖÖ ØØ ÙÐ ØØÙ Ð Ò Γ ÔÓ Ð Ù ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÚÓ Ñ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ¹ ØÓ Γ dw ds =, ds ¾º½¼ µ Ó ÐÙ ÓÐ ÐÓ Ø Ó Ø º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓÓÒ dw ds = w d ds + w d ds Ñ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÝÚ Ý ØÐ Ø ( ) ( φ = G + θ n + G w = γ z + θ = τ z G + θ, ) φ θ n, w = γ z θ = τ z G θ, n = d ds, n = d ds ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÚÓ ¾º½¼¼µ ØÙÐ dw Γ ds ds = {( ) ( } φ Γ G + θ φ n + )n G + θ ds = G Ñ ÓÒ ÔÓÐÙÒ Γ Ò Ú ÐÙ º ( 2 ) φ 2 + 2 φ 2 + 2Gθ d =, ¾º½¼ µ ¾º½½¼µ ¾º½½½µ ¾º½½¾µ ÐÐ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÑÝ Ù Ò Ð Ù ØØ ÑÙÙÒØ Ñ Ò Ú Ú ÒØ Ö Ð Ô ÒØ ÒØ Ö ¹ Ð º Ù Ò¹ Ö Ò Ò Ú Ò ÑÙ Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ f(,) g(,) ÐÙ ÓÒ Ö Ù¹ Ò ÝÖ ÓÒ Γ ( f + g ) d = Γ (fn + gn )ds, Ñ n n ÓÚ Ø Ö ÙÒ ÝÖÒ Γ Ý ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Øº ¾º½½ µ ÂÓØØ Ý Ø ÒÒ ÓÔ ÚÙÙ ØÓ ØÓØ ÙØÙ ØÝØÝÝ ÒØ Ö Ò Ò Ú Ø ÐÐ ÒØ Ö Ð ØÐÐ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú ÚÓ Ñ Ý ØÐ ¾º½¼ µ 2 φ 2 + 2 φ 2 = 2Gθ. ¾º½½ µ

ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ n t t t n s n n t s s s ÃÙÚ ¾º½ ÇÒØ ÐÓ Ø ÐØÚ ÔÓ Ð Ù º ÚÙÐÐ Ê ÙÒ Ó Ø τ n = τ n = ¾ Ø Ö ÙÒ ÚÓ Ñ Ò Ú Ø t z = ÙÖ ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ τ n =τ z n + τ z n =τ z cos α + τ z cos β = φ φ cos α cos β ¾º½½ µ = φ d ds + φ = dφ ds =, ÓØ Ò ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó φ ÓÒ Ú Ó ÔÓ Ô ÒÒ Ò Ö ÙÒ ÐÐ º Ø Ý Ø Ò ÐÐ ÐÙ ÐÐ Ú Ð ¹ Ø Ò φ = Ö ÙÒ ÐÐ º ÂÓ ÐÙ ÓÐ Ý Ø Ý Ø Ò Ò Ò Ú Ò Ò ÓÒ ÓÒØ ÐÓ Ø Ò Ò φ ÓÒ Ú Ó Ö ÙÒ Ú ÚÓ ÐÐ ÑÙØØ Ö ÙÙÖ Ö ÙÒ ÐÐ ÓÒØ ÐÓ Ò Ö ÙÒÓ ÐÐ º ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ú Ø ÓÚ Ø ÒØØÝ ØÐ d ds 2 φ 2 + 2 φ = 2Gθ,, ¾º½½ µ 2 Ö ÙÒ ØÓ φ(s) = reunalla s Γ. ¾º½½ µ Ä Ù ÚÓ Ñ Ø Q Q ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ú Ô Ò ÚÒÒ Ò Ø Ô Ù Ó Ð Ò z ¾ τ n = (τ zi + τ zj) (n i + n j)º

¾º º ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ Äº ÈÖ Ò ØÐ ½ ¼ µ ÙÙÒØ Ò Ø Ô ÒÓ ÓÒ ¾º µ Ö ÙÒ Ò Ø Ô ÒÓ ÓÒ ¾º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Q = τ z d = = [ ( τz τ z + + τ )] z d [ (τz ) + (τ ] z) d ¾º½½ µ = (τ z n + τ z n )ds = Γ Q = τ z d = = [ ( τz τ z + + τ )] z d [ (τz ) + (τ ] z) d ¾º½½ µ = (τ z n + τ z n )ds =. Γ ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ M v Ð Ø Ò Ú ÐÐ M v = (τ z τ z )d = = { φ φ } d { (φ) + } (φ) d + 2φd ¾º½¾¼µ = {(φ)n + (φ)n } ds + 2φd. Γ ÐÐ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØØÙ Ó ØØ Ö ÚÓ ÒØ Ú u v = (uv) uv ¾º½¾½µ Ù Ò¹ Ö Ò Ò Ú ¾º½½ µ ÎÒØ ÑÓÑ ÒØ Ò Ú Ò Ó Ò ÔÙÓÐ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ø ÖÑ Ú Ú ÒØ Ö Ð µ ÓÒ Ý Ø Ý Ø Ò ÐÐ ÔÓ Ð Ù ÐÐ ÒÓÐÐ Ó Ö ÙÒ ÝÖÐÐ ÚÓ Ò ØØ φ(s) = Ø Ò M v = 2 φ(, )d, ¾º½¾¾µ

¼ ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ Ð ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ ÚÒØ ÙÒ Ø Ó Ù ÙÐ Ò Ø Ð ÚÙÙ Ò ÖØ Ò º Î ÖØ Ñ ÐÐ ¹ Ú Ò M v = GI v θ Ò Ò ØØ I v = 2 φ(, )d. ¾º½¾ µ Gθ ÂÓ ÔÓ Ð Ù ÐØ ÓÒØ ÐÓ Ø Ò Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M v = (τ z τ z )d = = { φ φ } d { (φ) + } (φ) d + 2φd ¾º½¾ µ = n φ i (n + n ) ds + 2φd, i= Γ i Ñ Γ Γ ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò ÙÐ ÓÖ ÙÒ ÓÒØ ÐÓ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÚ Ø Γ i,,...,nº ÈÓ ¹ Ð Ù Ò ÙÐ ÓÖ ÙÒ ÐÐ ÚÓ Ò ØØ ÐÐ Ò φ = º ÇÒØ ÐÓ Ò Ö ÙÒÓ ÐÐ φ i = vakioº ÃÓ ÓÒØ ÐÓ Ò Ö ÙÒ Ø ÖÖ ØÒ ÑÝ ØÔ ÚÒ Ò Ù Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ φ i (n + n ) ds = φ i ¾º½¾ µ Γ i i 2d = 2 i φ i, Ñ i ÓÒ ÓÒØ ÐÓÒ i Ò Ú Ô ÒØ ¹ Ð ÚÒØ ÑÓÑ ÒØ Ò Ú ØÙÐ n M v = 2φd + 2φ i i. i= ¾º½¾ µ ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ Ø Ò ÑÝ ÓÒØ ÐÓÔÓ Ð Ù Ò Ø Ô Ù ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó Ù ¹ ÙÐ Ò Ø Ð ÚÙÙ Ò ÖØ Ò ÙÒ Ø Ð ÚÙÙØ Ò Ð Ø Ò ÑÙ Ò ÓÒØ ÐÓ Ò Ó ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ø Ò Ó Ò ÐÐ ÚØ Ø Ð ÚÙ٠غ Ñ Ö ¾º ÅÖ Ø ØÒ Ø ÚÙ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ò ÔÓ Ð Ù Ò Ð ¹ Ù ÒÒ ØÝ Ø ÚÒØ Ý ÝÝ º ÈÓ Ð Ù Ò Ö Ú Ø ÙÓÖ Ø ÂÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó : 3 3 a + a = eli f (, ) =, 2 : 3 a + 3 a = eli f 2(, ) =, 3 : 2 3 a = eli f 3() =. φ = k f f 2 f 3, ¾º½¾ µ ¾º½¾ µ

¾º º ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ Äº ÈÖ Ò ØÐ ½ ¼ µ ½ ( ) a, 3 ¾ ½ ( a ) 3, ÃÙÚ ¾º½ (, a ) 2 3 Ì ÚÙ Ò ÙÓÐÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ò Ò ÔÓ Ð Ù º Ó ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÖØÓÑ ÐÐ Ö ÙÒ Ú ÚÓ Ò Ý ØÐ Ø ÒÒ ØÓØ ÙØØ ÚÒÒ Ò ÒØØÝ ØÐ Ò ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ ÒÓÐÐ º È Ö Ñ ØÖ k Ö Ø Ø Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓØ ÙØØÙ ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÒØØÝ ØÐ Ò 2 φ 2 + 2 φ 2 = 2Gθ, ¾º½¾ µ ÓÐÐÓ Ò ÙÖ 36 k = 2Gθ k = Ga2 θ. ¾º½ ¼µ a2 8 Ä Ù ÒÒ ØÝ Ø ÓÚ Ø τ z = φ ( = Gaθ 3 2 3 a 2 + 3 ) a + 32 a 2, τ z = φ (2 = Gaθ 3 ) a a +. ¾º½ ½µ Ê ÙÐØÓ Ú Ð Ù ÒÒ ØÝ ÓÒ τ r = τ 2 z + τ2 z. ¾º½ ¾µ ËÙÙÖ Ò ÒÒ ØÝ ÝÒØÝÝ ÚÙ Ò Ðк Ñ Ö ÃÓÐÑ ÓÔÓ Ð Ù Ò ÚÒØ Ý ÝÝ ÓÒ ( τ z, a ) 3 2 = Gaθ. ¾º½ µ 3 4 I v = 2 Gθ φ(, )d = ÎÒØÝÑ ÙÙÖ Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ ÓÚ Ø ÒÝØ 3 8 a4. ¾º½ µ θ = M v GI v = 8M v 3a4 G, τ ma = 2M v a 3. ¾º½ µ

¾ ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ τ z ÃÙÚ ¾º½ ÃÓÐÑ ÓÔÓ Ð Ù Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ Ò τ z ÙÑ Ð Ù Ò¹ Ò ØÝ Ò Ñ Ñ Ò Ô Øº f b 2 b 2 a a 2 ¼ ¾ 2 a 2 a ÃÙÚ ¾º½ a 2 a 2 ËÙÓÖ ÔÓ Ð Ù º ÈÓ Ð Ù Ò ÙÙÖ Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ ÑÖ Ø ØÒ Ú ÐÐ τ ma = M v W v, ¾º½ µ Ñ W v ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò ÚÒØ Ú ØÙ º Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ÓÒ Ó Ø ÒÙØ Ð Ú Ò I v 4 4I p. ¾º½ µ Ô ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ð Ù ÚÓ Ò Ó Ò Ó Ò ÚÒØ Ý ÝÝ Ø ØÙÒÒ Ø Òº ÌÐÐ Ò ÓÒ Ð ÑÖ Ò I v I vi = Ĩv, (I v > Ĩv). ¾º½ µ Ñ Ö ¾º ÅÖ Ø ØÒ ÙÓÖ ÔÓ Ð Ù Ò ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó ÚÒØ ¹ Ý ÝÝ º  ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f() ÚÐ ÐÐ [ L, L] f( L) = f(l) ÚÓ Ò ØØ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÑÙÓ Ó f() = 2 a + a m cos mπ L + b m sin mπ L, ¾º½ µ Ñ Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø a m = L L L m= f()cos mπ L m= d, m =,, 2,... ¾º½ ¼µ

¾º º ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ Äº ÈÖ Ò ØÐ ½ ¼ µ b m = L L L f()sin mπ L d, m =, 2, 3,.... ¾º½ ½µ È Ö ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f() = f( ) ÓÙÖ Ö¹ Ö ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó f() = a m cos mπ L, ¾º½ ¾µ Ñ a m = 2 L L f()cos mπ L d, m =,, 2,.... ¾º½ µ ÃÙÚ Ò ¾º½ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù a m = 2 a = 2 a = 2 a [ ] a/2 ( 2)cos mπ a d + a 2 cos mπ a/2 a d [ 2 a/2 / a mπ sin + 2 / a mπ a a/2 ] a mπ sin mπ a [ 2 a mπ (sin mπ 2 ) + 2 a mπ ] (sin mπ sin mπ 2 ) ¾º½ µ = 8 mπ mπ sin, kun m =,, 2, 3,..., 2 ÓØ Ò a m = m 8 mπ ( ) 2, kun m =, 3, 5,...,, kun n =, 2, 4,.... ¾º½ µ Å Ö ØÒ n = m 2 Ð m = 2n + ÓÐÐÓ Ò 8 a n = (2n + )π ( )n, kun n =,, 2,.... ¾º½ µ ËÙÓÖ ÔÓ Ð Ù Ò ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó Ø ØÒ ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò φ(, ) = Gθ Y n ()cosα n, α n = (2n + ) π a. ¾º½ µ n= Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ φ Ö Ø ÐÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò 2 φ 2 + 2 φ 2 = 2Gθ ¾º½ µ Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÚ Ò ¾º½ ÙÒ Ø ÓÒ f() Ó Ò Ö f() = 8 π n= ( ) n (2n + ) cosα n ¾º½ µ

ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ ÒØØÝ ØÐ Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ØÙÐ [ Gθ Y n α 2 ny n + 8 ( ) n ] cosα n =, π (2n + ) n= Y n α 2 ny n = 8 ( )n, n =, 2,..., π (2n + ) ¾º½ ¼µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ( ) = d d ( ). ¾º½ ½µ Ë ÙÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ¾º½ ¼µ Ö Ø Ù ÓÒ Y n = n coshα n + B n sinhα n + 8 π α 2 n ( ) n (2n + ). ¾º½ ¾µ Ê ÙÒ Ó Ø ( Y n ± b ) = ¾º½ µ 2 ÙÖ n = 8 π ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó ØÙÐ φ = Gθ 8a2 π 3 n= α 2 n ( ) ( n ), B n =, ¾º½ µ αn b (2n + )cosh 2 ( ) n (2n + ) 3 coshα n ( ) b cosα n, cosh α n 2 ¾º½ µ Ó ÚÓ Ò ÑÙÙÒØ ÐÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ φ = Gθ a 2 4 2 8a2 ( ) n coshα n ( ) π 3 (2n + ) 3 cosα n αn b. n= cosh 2 Ä Ù ÒÒ ØÝ Ø ÓÚ Ø τ z = φ = Gθ 8a ( ) n cosh α n 2 ( ) π 2 (2n + ) 2 sin α n αn b, n= cosh 2 ¾º½ µ ¾º½ µ τ z = φ = Gθ8a π 2 ( ) n sinhα n ( ) (2n + ) 2 cosα n. ¾º½ µ αn b cosh 2 n= ÂÒÒ ØÝ ÓÒ ÙÙÖ Ò Ô Ø Ò ÚÙ Ò Ô Ø Ñ ( a ) τ z 2, = Gθa 8 ( ) π 2 (2n + ) 2 αn b. n= cosh 2 ¾º½ µ

¾º º ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ Äº ÈÖ Ò ØÐ ½ ¼ µ b a ÃÙÚ ¾º½ ÐÐ Ô ÔÓ Ð Ù º Ä Ù ÒÒ ØÝ Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö ÙÔÔ Ò ÒÓÔ Ø Ý Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ñ ØÙÐÓ ÔÓ Ò ÒØÒ % Ø Ö Ø ÖÚÓ Ø º Ë Ø Ò τ ma Gθa 8 π 2 cosh πb. 2a ËÙÓÖ ÔÓ Ð Ù Ò ÚÒØ Ý ÝÝ ÓÒ I v = 2 φd = ba3 92a Gθ 3 π 5 b n= ¾º½ ¼µ tanh α nb 2 (2n + ) 5. ¾º½ ½µ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ñ ØÙÐÓ I v = ba3 3 ( 92a ) πb π 5 tanh b 2a ¾º½ ¾µ ÔÓ Ø Ö Ø ÖÚÓ Ø Ú ÑÑÒ Ù Ò, 5%º Ñ Ö ¾º ÅÖ Ø ØÒ ÐÐ Ô ÔÓ Ð Ù Ò ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó Ð Ù ÒÒ ØÝ ¹ Ø ÚÒØ Ý ÝÝ º ÐÐ Ô ÔÓ Ð Ù Ò Ö ÙÒ ÝÖÒ ÐÐ Ô Òµ Ý ØÐ ÓÒ f(, ) = 2 a 2 + 2 b 2 =. ¾º½ µ ÂÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ö ÙÒ ÝÖÒ ÚÙÐÐ ( ) 2 φ = C a 2 + 2 b 2. ¾º½ µ Ë Ó Ø Ø Ò ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó ¾º½ µ ÒØØÝ ØÐ Ò φ, + φ, = 2Gθ, ¾º½ µ Ó Ø Ö Ø Ø Ò Ú ÓÐÐ C ÖÚÓ C = a2 b 2 Gθ a 2 + b 2. ¾º½ µ ( ), Ø Ö Ó ØØ Ó ØØ Ö Ú ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ù Ø Òº

ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ ÐÐ Ô ÔÓ Ð Ù Ò Ø Ô Ù M v = 2 φd = 2Gθa2 b 2 a 2 + b 2 a 2 2 dd + b 2 2 dd dd. ¾º½ µ ÐÐ Ô ÔÓ Ð Ù ÐÐ I = 2 d = πa3 b 4, I = 2 d = πab3 4, ¾º½ µ ÓØ Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØ Ò Ð Ù ÓÒ = d = πab, M v = πgθa3 b 3 a 2 + b 2 = GI vθ. ¾º½ µ ÂÒÒ ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ù Ò Ú ÓÒ C Ú Ò ÚÙÐÐ Ò C = M v πab ja φ = M ( ) v 2 πab a 2 + 2 b 2. ¾º½ ¼µ Ä Ù ÒÒ ØÝ Ø ÓÚ Ø ÙÙÖ Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ ÓÒ Ó = = bº Ë ÙÚ Ò ÖØÝÑØ ÓÚ Ø Ú Ô ÚÒÒ τ z = φ = 2M v πab 3, τ z = φ = 2M v πa 3 b, τ ma = 2M v πab 2 ¾º½ ½µ ¾º½ ¾µ u = θz, v = θz, w = θψ(, ). ¾º½ µ ÃÝÖ ØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÒØ ÖÓ Ò ÚÓ Ø ψ = φ Gθ + = ( 2M ) v πab 3 Gθ ¾º½ µ Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÙÐ ψ = ( ) φ Gθ = 2Mv πa 3 bgθ, ¾º½ µ ψ = b2 a 2 a 2 + vakio. + b2 ¾º½ µ ÂÓ Ø Ø Ò w(, ) = Ò Ò Ò Ð Ò z ÙÙÒØ ÐÐ ÖØÝÑÐÐ Ú w = θ(b2 a 2 ) a 2 + b 2. ¾º½ µ

¾º º ÎÒØ ¾º ÎÒØ Î Ô ÚÒÒ Ð Ù ÚÓ Ñ Ø Q Q Ú ÚØ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ¹ ØÓÒ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÒ (,) Ú Ð ÒÒ Ø º Ã Ó ÝÑÑ ØÖ Ò ÔÓ Ð Ù Ò ÚÒØ Ø Ô ÒÓÔ Ø º Ò ÚÒØ Ò Ñ Ù Ø Ò Ò Ø Ø ØÙ Ø Ò ÓØ Ò Ð ÐÑ Ø ÓÒ Ø ØÚ Ó Ò Ú Ð ØÙ (,)¹ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ º Ä ÒØ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Ó ÔÓ Ð Ù Ò Ø ØØ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø ¹ Ú ÚØ Ð S = d = S = d = Ø Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ô ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Ó Ð I = d = º Î Ð ØÙ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ ÔÓ Ð Ù Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò (,) ÖØÝÑØ ØÓ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÚÒØ Ð Ò ( v, v ) Ù Ø Ò ÓÚ Ø ū = θz( v ), v = θz( v ), w(,) = θ ψ(,), ¾º½ µ Ñ θ = vakio ÓÒ ÚÒØÝѺ Ë ÙÚ Ò ÚÒÒ ÚÒØ Ð ÔÝ ÝÝ ÙÓÖ Ò ÑÙØØ ÑÙÙØ ÙÚ Ò Ð Ò ÙÙÒ¹ Ø Ø ÙÓÖ Ø ÖØÝÚØ ÖÙÙÚ Ú ÚÓ º Î ÓÚÒØÝÑÒ θ = vakio Ø Ô Ù Ó Ø u z =, v z = ¾º½ µ ÙÖ = v, = v ¾º½ ¼µ ÙÓÖ Ò ÔÝ ÝÚÒ Ò ÓÓÖ Ò Ø º ÎÒØ Ò Ù Ø Ò Ð Ù ÙØØÙ Ò ÖØÝÑ Ò ÚÓ Ò ÚÙÐÐ Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ð Ù ¹ ØÙÐ ÅÙÙØ ÒÒ ØÝ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ð ( w τ z = G + ū ) ( ) ψ = Gθ z + v, ( w τ z = G + v ) ( ) ψ = Gθ z + v. ¾º½ ½µ σ = σ = σ z = τ =. ¾º½ ¾µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ú Ø ÙÚ Ò Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ ¾º µ ØÙÐ Ê ÙÒ Ò Ø Ô ÒÓ Ó Ø 2 ψ 2 + 2 ψ 2 =. τ z n + τ z n =, ¾º½ µ ¾º½ µ Ñ n = d dn, n = d dn ¾º½ µ

ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ ÓÚ Ø ÔÓ Ð Ù Ò Ö ÙÒ ÝÖÒ Ý ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÙÖ Ð ¹ Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò ÚÓ Ò ÚÙÐÐ ( ) ( ) ψ + ψ v n + + v n = Ð ( ψ ) d ( ψ ) d + v dn + v dn n + n =, Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ d dn ( ψ + v v ) = n n. ¾º½ µ ¾º½ µ ¾º½ µ ÙÒ Ø Ó ψ+ v v ØÓØ ÙØØ ÖØÝÑÑ Ò Ø Ø ÐÑÒ ÒØØÝ ØÐ Ò Ö ÙÒ ÓÒ ÓØ Ò ÖÓ ÝÖ ØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ø ψ(,) Ú Ò Ú ÓÒ C Ú ÖÖ Ò Ð ψ = ψ + v v + C. ¾º½ µ ÎÒØ Ò Ñ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ñ Ò ÑÓ Ñ ÐÐ ÔÓ Ô ÒÒ Ò ÚÖ ØÝÑ Ò ¹ ØÓÙØÙÚ Ò Ö º Å Ò ÑÓ Ø Ú Ð Ù Ò F( v, v,c) = ψ 2 (,)d = [ ψ(,) + v v + C] 2 d. ¾º½ ¼µ Å Ò Ñ Ò ÚÐØØÑØØ ÑØ ÓØ ÓÚ Ø F( v, v,c) F( v, v,c) =, =, v v Å Ò ÑÓ ÒØ Ó Ø ÙÖ Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ñ I I S I I S S S = d, S = v v C d, = F( v, v,c) C =. ¾º½ ½µ ψ d ψ d, ¾º½ ¾µ ψ d S = d, I = 2 d, I = 2 d, I = d. ¾º½ µ È ÒÓÔ Ø ÓÓÖ Ò Ø ØÓ S = S = Ô ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Ð I = º ÌÐÐ Ò ÚÒØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ψ d ψ d v =, v =, ¾º½ µ I I Ú Ó C ÓÒ ψ d C =, ¾º½ µ ÓÐÐÓ Ò Ø Ô Ù S = S = ÙÒ Ø Ó ψ ØÓØ ÙØØ ÓÒ ψ d = ( ψ + C)d =. ¾º½ µ

¾º º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ φ ½ ¾ a k ¾ φ m φ m+ φ m h ½ m h m m + a ÃÙÚ ¾º½ Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ð º ¾º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÒØØÝ ØÐ ÔÓ Ð Ù Ð ÐÙ Ö ÙÒ ÓÐÐ φ(,) = 2Gθ,,, ¾º½ µ φ(s) = reunalla s Γ ¾º½ µ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ð ÑÖ Ø Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк ÌÐÐ Ò Ó ØØ Ö Ú Ø Ø ÓÖÚ ¹ Ø Ò Ö Ò Ó ÑÖ Ðк ÙÒ Ø ÓÒ φ() Ò ÑÑ Ò Ö Ú Ø Ò Ö Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÒ ÙÚ Ò ¾º½ Ð φ 2 (φ m+ φ m ) ¾º½ µ Ø ÑÓÐ ÝÝÐ ÑÙÓ Ó 2h φ ¹½ ¼ ½, ¾º¾¼¼µ Ñ h = ÓÒ Ð ÚÐ ÓÓÖ Ò Ø Ò ÙÙÒÒ º Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ØÓ ÐÐ Ö Ú ØÓ ÐÐ ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓØ 2 φ 2 h 2(φ m+ 2φ m + φ m ), 2 φ 2 k 2(φ n+ 2φ n + φ n ), ¾º¾¼½µ ¾º¾¼¾µ ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÙÙÒÒ Ñ k = ÓÒ Ð ÚÐ Ð Ò ÙÙÒÒ º ÅÓÐ ÝÝÐ ¹ ÑÙÓ Ó h 2 2 φ 2 2, k 2 2 φ 2 2 ¾º¾¼ µ. ¾º¾¼ µ

¼ ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ ÂÓ Ð ÚÐ Ø ÓÚ Ø Ñ Ø Ð k = = h = Ò Ò Ò Ä ÔÐ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò Ö Ò ÑÓÐ ÝÝÐ h 2 φ 4. ¾º¾¼ µ Ñ Ö ¾º Ä Ø Ò Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò Ð ÔÓ Ð Ù Ò ÚÒØ ÑÓ¹ Ñ ÒØØ ÚÒØ Ý ÝÝ º ÃÙÚ Ò ¾º½ ÔÓ Ð Ù Ò Ø Ô Ù Ò Ð Ô Ø (i, j) Ö Ò Ý Ø¹ Ð Ø (2, 2) : 4φ 22 + φ 2 + φ 32 + φ 23 + φ 2 = 2Gθh 2, (3, 2) : 4φ 32 + φ 3 + φ 42 + φ 33 + φ 22 = 2Gθh 2, (2, 3) : 4φ 23 + φ 22 + φ 33 + φ 24 + φ 3 = 2Gθh 2 ¾º¾¼ µ, (3, 3) : 4φ 33 + φ 32 + φ 43 + φ 34 + φ 23 = 2Gθh 2. ÈÓ Ð Ù Ò Ö ÙÒ ÐÐ φ = ÓØ Ò φ = φ 2 = φ 3 = φ 4 = φ 42 = φ 43 = φ 44 = φ 34 = φ 24 = φ 4 = φ 3 = φ 2 =. ¾º¾¼ µ ÃÓÓØ Ò Ö Ò Ý ØÐ Ø ÖÝ Ñ 4 4 4 4 ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ φ 22 φ 32 φ 23 φ 33 ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ Ð Ø Ò Ú Ø M v = 2 φ d, = 2Gθh 2, ¾º¾¼ µ φ 22 = φ 32 = φ 23 = φ 33 = a2 Gθ. ¾º¾¼ µ 9 ¾º¾½¼µ Ð M v ÓÒ ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó Ù ÙÐ Ò φ¹ Ù ÙÐ Òµ Ò ÖØ Ò Ò Ø Ð ÚÙÙ º Ñ Ö Ò Ø Ô Ù { M v = 2 3 3 a2 2 φ ( a ) } [ 2 3 3 2 φ = 2a 2 φ 2 ] ( ) 26 = a 4 Gθ.7a 4 Gθ, 54 243 ¾º¾½½µ I v =.7a 4 ÙÒ Ø Ö ÖÚÓ ÓÒ.4a 4 º ÃÙÚ Ò ¾º¾¼ 5 5 Ð Ò Ø Ô Ù ÓØØ Ñ ÐÐ Ö ÙÒ ÓØ ÝÑÑ ØÖ ÙÓÑ ÓÓÒ Ó Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò ÒÙÑ ÖÓ ÒÒ Ò Ý ØÐ Ø 4φ + 4φ 2 = 2h 2 Gθ, 4φ 2 + 2φ 3 + φ = 2h 2 Gθ, 4φ 3 + 2φ 2 = 2h 2 Gθ, ¾º¾½¾µ Ó Ò Ö Ø Ù ÓÒ φ = 2.25Gθh 2, φ 2 =.75Gθh 2, φ 3 =.375Gθh 2. ¾º¾½ µ ÎÒØ Ý ÝÝ Ò Ð ÖÚÓ ÓÒ ÙÚ Ò ¾º¾¼ Ð Ú Ö ÓÐÐ I v =.5a 4. ¾º¾½ µ

¾º º Î Ô Ò ÚÒÒ Ò Ö Ø Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö ØØ ÐÐ ½ φ 2 φ φ ÃÙÚ ¾º½ Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ØÙ ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Óº ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¾ ½ ¾ ¼ ¼ h = 4 a ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ÃÙÚ ¾º¾¼ À Ð Ú Ö Ó 5 5º ¾º Î Ô Ò ÚÒÒ Ò Ö Ø Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô ¹ Ö ØØ ÐÐ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÚ Ò ¾º¾½ ÑÙ Ø ÙÐÓ ÙÚ º Ë ÙÚ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù ÚÓ ¹ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ Π = L 2 G (γ 2 z + γ 2 z)ddz M v ϕ(l), ¾º¾½ µ Ñ M v ÓÒ ØÙÒÒ ØØÙ ÙÐ Ó Ò Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÚ Ò Ô z = Lº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ¹ Ú Ò ¾º¾½ µ ÔÓ Ð Ù Ø ÓÒ Ð Ù ÙÑ Ò Ú Ø ( γ z = + ψ ) ( θ, γ z = + ψ ) θ ¾º¾½ µ ØÙÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù Π = [ ( ψ ) 2 ( ) ] ψ 2 2 GLθ2 + + d M v Lθ. ¾º¾½ µ Î Ö Ó Ò ÑÙÙØ Ø Òµ ÖØÝÑ ÙÙÖ Ø ÚÒØÝÑ θ ÔÓ Ô ÒÒ Ò ÝÖ ØÝÑ ψ Ø Ò ØØ θ θ + αˆθ, ψ ψ + ǫ ˆψ, ¾º¾½ µ

¾ ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ s z M d τ z τ z ϕ() = M v, ϕ ÃÙÚ ¾º¾½ ÍÐÓ ÙÚ Ò ÚÒØ º Ñ α ǫ ÓÚ Ø Ú Ó ÖØÓ Ñ º Ë Ó ØÙ Ò ¾º¾½ µ Ð Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù Π = 2 GL(θ + αˆθ) 2 ( (ψ + ǫ ˆψ) ) 2 + ( (ψ + ǫ ˆψ) ) 2 + d M v L(θ + αˆθ) ¾º¾½ µ

¾º º Î Ô Ò ÚÒÒ Ò Ö Ø Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö ØØ ÐÐ Ð Π = [ ( ψ ) 2 ( ) ] ψ 2 2 GLθ2 + + d M v Lθ { + Gθ [ ( ψ ) 2 ( ) ] ψ 2 + + d M v }Lαˆθ +GLθ 2 [ ( ψ ) ǫ ˆψ ( ) ψ + + ǫ ˆψ ] d + [ ( ψ ) 2 ( ) ] ψ 2 2 GLα2ˆθ2 + + d +GLθαˆθ + 2 GLθ2 [ 2 ( ) ψ ǫ ˆψ ( ) ψ + 2 + ǫ ˆψ ] d ( ǫ 2 ˆψ ) 2 + ǫ 2 ( ˆψ ) 2 d ¾º¾¾¼µ + 2 GLα2ˆθ2 +GLθαˆθ + 2 GLα2ˆθ2 [ 2 ( ǫ 2 ˆψ ( ) ψ ǫ ˆψ ( ) ψ + 2 + ǫ ˆψ ] d ( ǫ 2 ˆψ ) 2 + ǫ 2 ( ˆψ ) 2 + ǫ 2 ( ) 2 ˆψ d ) 2 d, Ñ Ò ÑÑ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ô ÖÙ Ø Ð ÙÖ Ú Ø ÖÑ ÑÙÓ¹ Ó Ø Ú Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÑ Ò Ú Ö Ø ÓÒ ÓÐÑ ÙÖ Ú ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ ÙÖ Ú ÓÐÑ ÒÒ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ñ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ Ò Ð Ú Ö Ø Ó Ú Ó Ò α ǫ Ñ Ò ÓÖ Ù Ø Ò ÔÓØ Ò Ò ÑÙ Ò Ö Ø ØØÝÒº ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø ÐÐ Ò ¹ Ø ØÝ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Π(α,ǫ) = Π(,) + dα Π +dǫ Π α ǫ α=,ǫ= α=,ǫ= + dα 2 2 Π 2! α 2 +2dαdǫ 2 Π +dǫ 2 2 Π α ǫ ǫ 2 α=,ǫ= α=,ǫ= α=,ǫ=. ¾º¾¾½µ Ì Ô ÒÓØ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÐÐ ÓÒ Ñ Ò Ñ ÖÚÓ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ø Ó δπ

ÄÍÃÍ ¾º Î Ô ÚÒØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ËÙÙÖ Ò ψ θ Ú Ö Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ d(ψ + ǫ ˆψ) d(θ + αˆθ) δψ = ǫ, δθ = α. dǫ dα ǫ= α= Î Ø Ú Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Π Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ δπ = ǫ Π +α Π. ǫ α ǫ= α= Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ØÓ Ò Ò ÓÐÑ Ò Ð Ú Ö Ø Óº ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Π Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ ÒÝØ { δπ = Gθ [ ( ψ ) 2 ( ) ] } ψ 2 + + d M v Lαˆθ +GLθ 2 [ ( ψ ) ǫ ˆψ ( ) ψ + + ǫ ˆψ ] d =. ¾º¾¾¾µ ¾º¾¾ µ ¾º¾¾ µ Ò ÑÑ Ò Ú Ö Ø ÓÒ δπ Ð ÑÑ Ø ÖÑ ÓÐ Ú Ô ÒØ ÒØ Ö Ð ÑÙÙÒÒ Ø Ò Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒÒ ÐÐ Ù Ò¹ Ö Ò Ò Ð Ù ÐÐ ÑÙÓØÓÓÒ [ ( ψ ) ǫ ˆψ ( ) ψ + + ǫ ˆψ ] d = = = ( 2 ) ψ 2 + 2 ψ 2 ǫ ˆψd + [ {( ) } ψ ǫ ˆψ + {( ) }] ψ + ǫ ˆψ d ( 2 ) ψ 2 + 2 ψ 2 ǫ ˆψ d + {( ) ( } ψ ψ Γ n + )n + ǫ ˆψ ds ( 2 ) ψ 2 + 2 ψ 2 ǫ ˆψ d + [ dψ Γ dn 2 ] d ds (2 + 2 ) ǫ ˆψ ds, ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÑ Ú Ö Ø Ó ØÙÐ { δπ = Gθ [ ( ψ ) 2 ( ) } ψ 2 + ]d + M v Lαˆθ ÙÖ { +GLθ 2 ( 2 ) ψ 2 + 2 ψ 2 ǫ ˆψ d + [ dψ Γ dn 2 ] d ds (2 + 2 ) } ǫ ˆψ ds. ¾º¾¾ µ ¾º¾¾ µ ÃÓ δθ = αˆθ δψ = ǫ ˆψ ÓÚ Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ú ÖØÙ Ð ÖØÝÑ Ó Ø δπ = Gθ [ ( ψ ) 2 ( ψ + + ) 2 ] R f Ù Ò Ð Ù Ò ÑÙ Ò + g «d = H (fn + gn ) dsº Γ d = M v, ¾º¾¾ µ

¾º º Î Ô Ò ÚÒÒ Ò Ö Ø Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö ØØ ÐÐ 2 ψ 2 + 2 ψ 2 = ¾º¾¾ µ ÐÙ dψ dn = d 2 ds (2 + 2 ) ¾º¾¾ µ ÐÙ Ò ÔÓ Ð Ù Òµ Ö ÙÒ ÐÐ Γº ØÐ Ø ¾º¾¾ µ ¾º¾¾ µ ¾º¾¾ µ ØÓØ ÙØÙÚ Ø Ø Ô ÒÓØ Ð º ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö Ø ØØ ÝØØ Ò ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ð Ö Ø Ù Ú ¹ Ð Ø Ñ ÐÐ ÝÖ ØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ ψ(,) Ø ÐÑ n ψ = a i ψ i (,), i= ¾º¾ ¼µ Ñ ψ i (,) Ø ÓÚ Ø ØÙÒÒ ØØÙ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ø a i Ø ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÖØÓ Ñ º Ë ¹ Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÐÑ ¾º¾ ¼µ Ú Ò ¾º¾½ µ Ò ÖØÓ Ñ Ø a i Ö ÔÔÙÚ ÔÓØ ÒØ ¹ Ð Ò Ö Ò Π = Π(a i ) Ð Ù ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ Ø Ô ÒÓØ Ð ÒÓÐÐ Ð δπ = Π a i δa i =. ¾º¾ ½µ Ó Ø ¾º¾ ½µ ÙÖ Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ n B ij a j + C i =, i =,2,...,n, ¾º¾ ¾µ j= Ñ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖØÓ Ñ Ø B ij, i,j =,...,n Ú ÓØ C i, i =,...,n Ð Ø Ò ÚÓ ÐÐ B ij = C i = ( ψi ψ j + ψ i ( ψ ) i + ψ i d. ØÐ ÖÝ Ñ ¾º¾ ¾µ Ö Ó Ø ØØÙÒ Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó ÓÒ B B 2 B n B 2 B 22 B 2n º º º ºº º B n B n2 B nn a a 2 º a n ) ψ j d, = C C 2 º C n ¾º¾ µ. ¾º¾ µ ÎÒØ Ý ÝÝ Ò I v = M v Gθ ¾º¾ µ Ð ÖÚÓ ÓÒ I v = [ ( ψ ) 2 ( ) ] ψ 2 + + d, ¾º¾ µ

2025 © DocPlayer.fi Yksityisyyskäytäntö | Palveluehdot | Palaute