Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien ia-yhteisvalinta 2011 Arkkitehtivalinnan matematiikan koe, 23.5.2011 klo 13-16. Sarja A-FI Ohjeita. Sijoita jokainen tehtävä omalle sivulleen. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laai ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uuelleen puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohat välttämättä ole pisteytyksessä samanarvoisia. Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma. A1 Tarkastellaan suorakulmiota. a) Suorakulmion piempiä sivuja piennetään 11% ja lyhyempiä sivuja vastaavasti lyhennetään 11%. Miten suorakulmion ala muuttuu? b) Suorakulmion lyhyempiä sivuja piennetään p%. Kuinka paljon piempiä sivuja on lyhennettävä, jotta pinta-ala pysyisi ennallaan? A5 Suoran pyramiin muotoisen teltan pohja on neliö. Seinien yhteispinta-ala on 9 m 2. Mikä on pohjan ala A, kun teltan tilavuus maksimoiaan? Anna vastauksena tarkka arvo ja likiarvo kahella esimaalilla. A6 Halutaan selvittää korkean kierreportaikon vaatima lattiatila. Päältä katsoen portaikon askelmat ovat ympyräsektorin muotoisia, jossa sektorin jänne on = 50 cm (kuvassa). Askelmasektorien kärjet ovat portaikon keskellä. Askelman nousu portaalta seuraavalle on h = 13 cm. Askelman pinta-alasta 20% on seuraavan askelman alla. Portaissa on oltava kaikkialla vähintään 260 cm tilaa korkeussuunnassa. Askelman paksuutta ei tarvitse ottaa huomioon. Kuinka pieni voi portaikon halkaisija olla? A2 Millä vakion a arvoilla yhtälöryhmällä { ax + y = 2 a ei ole yhtään ratkaisua? A3 Sata metriä pitkä köysi katkaistaan kahteen osaan. Toisesta osasta muoostetaan ympyrän ja toisesta neliön piiri. Kuvioien pintaalojen halutaan olevan samat. Miten naru on katkaistava? A4 Suora y = 2 ja paraabeli y = x 2 rajaavat puolitasossa x 0 äärellisen alueen. Millä a:n arvoilla suora y = ax jakaa pinta-alan kahteen osaan osien pinta-alojen suhteessa 1:3? h c 2011, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut
Diplomingenjörs- och arkitektutbilningens gemensamma ia-antagning 2011 Arkitekturantagningens prov i matematik, 23.5.2011 kl 13-16. Serie A-SV Anvisningar. Placera varje uppgift på en egen sia. Markera om svaret fortsätter på flera koncept. Ge klart utarbetae lösningar inklusive mellanstaier, renskriv lösningen vi behov. Förkastae lösningar och förkastae elar av en lösning skall överstrykas. Om icke-överstrukna lösningar föreligger, beöms en sämsta av essa. Notera, att varje fråga beöms som en helhet och att elfrågorna inte növänigtvis har samma vikt i beömningen. Hjälpmeel: Skrivreskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling. A1 Vi stuerar en rektangel. a) Rektangelns längre sior förlängs me 11% och ess kortare sior på motsvarane sätt förkortas me 11%. Hur änras rektangelns area? b) Rektangelns kortare sior förlängs me p%. Hur mycket måste e längre siorna förkortas, för att arean skal förbli oföränra? A5 Ett tält i form av en rak pyrami har en kvaratisk botten. Väggarna har sammalaga arean 9 m 2. Va är tältets bottenarea A, å ess volym är maximal? Ge exakta väret samt väret avgrunat till två ecimaler. A6 Man vill bestämma hur stor golvarea en hög spiraltrappa kräver. Uppifrån sett har trappstegen formen av cirkelsektorer, är segmentet = 50 cm (se figuren). Stegsektorernas spetsar är i trappans mitt. Steghöjen från ett trappsteg till nästa är h = 13 cm. Av trappstegets yta är 20% uner nästa trappsteg. I trappan måste et finnas minst 260 cm utrymme i höjle överallt. Trappans tjocklek behöver inte beaktas. Hur liten kan trappans iameter vara? A2 För vilka vären på konstanten a saknar ekvationsystemet { ax + y = 2 a lösning? A3 Ett hunra meter långt rep kapas i två elar. Den ena elen formas till omkretsen hos en cirkel och en anra elen till omkretsen hos en kvarat. Man vill att figurerna skall ha samma area. Hur bore man kapa repet? A4 Linjen y = 2 och parabeln y = x 2 begränsar i halvplanet x 0 ett änligt områe. För vilka vären på a kommer linjen y = ax att ela arean i två elar me förhållanet 1:3? h c 2011, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, stueraneservice
Common University Amission in Engineering an Architecture (ia-amission) 2011 Mathematics examination for Architecture, May 23r, 2010 at 13-16. Series A-EN Instructions. Reserve a separate page for each problem. Inicate if the answer continues on a separate sheet. Give your solutions in a clear form incluing intermeiate steps. Rewrite a clean copy of the solution if neee. Cross out iscare solutions an any iscare parts of the solutions. In the case of several solutions for the same problem, only the weakest one will be creite. Note that subsections of a question are not necessarily equally weighte. Allowe instruments: Writing instruments, non programmable calculator; no ictionaries allowe. Attachment: Table of formulae. A1 Consier a rectangle. a) The longer eges of the rectangle are extene 11% an the shorter eges are respectively shortene 11%. How oes the area of the rectagle change? b) The shorter eges are extene p%. How much shoul the longer eges be shortene, in orer to keep the area unchange? A2 For which values of the constant a oes the set of equations { ax + y = 2 a A5 A tent has the form of a right pyrami with square base. The walls have total area 9 m 2. What is the area A of the base, when the tent s volume is maximize? Give the exact answer an its approximation to two esimals of accuracy. A6 One wants to etermine the floor space neee for a high spiral staircase. From above the steps of the staircase have the form of a sector of a circle, where the chor of the sector is = 50 cm (see the figure). The vertex of the sector is at the center of the staircase. The ascent from a step to the next one is h = 13 cm. Some 20% of the area of a step lies uner the next one. Everywhere at the stairs there has to be at least 260 cm vertical free space. The thickness of the step can be ignore. How small can the iameter of the staircase be? have no solution? A3 A rope, hunre meter long, is cut into two. One part forms the circumference of a circle an the other part the circumference of a square. The shapes shoul have equal area. How shoul one cut the rope? A4 Line y = 2 an parabola y = x 2 boun a finite area in the half plane x 0. For which values of a oes the line y = ax ivie the area in the ratio 1:3? h c 2011, Dia-amission, c/o Aalto University, Stuent Services
Tehtävä 1 Merkitään pinta-alaa ennen operaatiota A 0 = ab ja A 1 jälkeen. (a) A 1 /A 0 = (1 + p )(1 p ) = 1 p2 = 1 0, 0121. Pinta-ala pienee 100 100 100 2 siis 1, 21%. (b) Nyt vaaitaan 1 = A 1 /A 0 = (1 + p 100 )(1 q 100 ) = 1 + p 100 q 100 pq 100 2 0 = 100(p q) pq (100 + p)q = 100p q = 100p 100 + p. Pinta-alan kasvu on q% = 100p %. 100+p Vaihtoehtoisesti voiaan merkitä p = 1 + p q ja q = 1 +, jolloin 100 100 1 = A 1 /A 0 = p q q = 1/ p q = 100(1 1/ p) = = 100p. 100+p Vaihtoehtoisesti vastaus voiaan antaa esimerkiksi muoossa pinta-ala kasvaa 100 -kertaiseksi. 100+p Arvostelu: Osatehtävät arvostellaan a) 2p, b) 4p. On huomattava, että tehtävässä kiinnitetään p%, eli jos tarkoitetaan osuutta 30% = 0, 30 on p = 30 ja siis p 0, 30. Useassa vastauksessa kirjoitetaan 1 + p kun tarkoitetaan 1 + p. Mikäli käyttö on johonmukaista, voi 100 b-osasta saaa 2p.
Tehtävä 2 Yhtälöt ovat suoria { ax + y = 2 a { y = ax + 2 a y = 1 a (x 1) (a 0) Suorilla ei ole yhteisiä leikkauspisteitä, jos niien kulmakertoimet ovat samat, a = 1 a a2 = 1 a = ±1, mutta ne eivät yhy. Tutkitaan kaikki erikoistapaukset: a = 1 a = 0 a = 1 { y = 2 x = 1 { x + y = 1 x + y = 1 { x + y = 3 x y = 1 { x y = 3 x y = 1 Arvostelu: Arvostelussa kulmakertoimien ja suorien yhtäsuuruuen ja ratkaisujen lukumäärän yhteyen löytäminen on 2p arvoista. Saaut kaniaatit vakion arvoiksi on tarkistettava alkuperäisistä yhtälöistä. Ilman tarkistusta arvostelumaksimi on lähtökohtaisesti tehtävästä 4p. Vaihtoehtoisessa suorituksessa joko x = x(a) tai y = y(a) lausekkeien löytäminen on 2p arvoista. Nämä antavat kaniaatit a = ±1 pisteille jossa ei ole yksikäsitteistä ratkaisua; ilman em tarkistusta tehtävän arvostelu on enintään 4p. Myös erityisarvo a = 0 on tarkistettava, mikäli sillä on jaettu tai kerrottu yhtälö. Tapauksen a = 1 käsittely ilman muuta perustelua antaa ollessaan oikein 2p. Arvolla a = 1 ratkaisuja ei ole. Vaihtoehtoisesti voimme ratkaista yhtälöistä : (yhteenlaskien) { ax + y = 2 a ( a 0) { (a 2 1)x = 2a a 2 1 ( (a 2 1) 0) { x = (1 a)2 1 a 2 y = 1 (1 x) = 2a a a(1 a 2 ) Nyt tutkitaan tapaukset a(1 a 2 ) = 0 a { 1, 0, 1} kuten eellä. 3
Tehtävä 3 Olkoon ympyrän säe r ja neliön sivu a, ja narun pituus L = 100. L = p Y + p N = 2πr + 4a (1) a 2 = πr 2 (2) a = r π (3) a = 8L ± (8L) 2 16(4 π)l 2 8(4 π) = L(2 ± π) 2(4 π) = L 2(2 π) Kahesta ratkaisuista ylempi ei ole määrittelyalueella ( p N = 4a = 2 2 L > L) joten π 2 p N = 4a = 2 + π L. Esitetään kolme yleisesti käytettyä vastaustapaa: Tapa 1 Yhtälö (3) sijoitetaan yhtälöön (2): L = (2 π + 4)a; a = jolloin p N = L p Y = Tapa 2 L 2 π + 4 ; p Y = 4a = π 2+ L 53, 015890. π Yhtälöstä (3) saaaan a r = π ja eelleen 2 2 + L 46, 9841 π Arvostelu: Yhteiset arvosteluperusteet kaikilla tavoille ovat: Yhtälöryhmä (1) ja (2) antaa 2p. Yhtälöryhmä (1) ja (3) antaa 3p. Toisen muuttujan eliminointi antaa 1p lisäpisteen. Loput pisteet tulevat mekanisista laskuista, joien määrä vaihtelee tavoittain. Virheet pinta-alojen tai piirien lausekkeissa rajaavat tehtävän pisteet 4 pisteeseen. Perustelematon likiarvojen käyttö vähentää yhen pisteen. p N p Y = 4a 2πr = 2 π Neliön osuus narusta on näin s = p N p N + p Y = p N/p Y p N /p Y + 1 = 2 2 + π ja pituuet siis p N = sl ja p Y = (1 s)l. Tapa 3 Yhtälöstä (1) ratkaistaan r(a) = L 4a (tai a(r)) ja sijoitetaan se 2π yhtälöön (2). Tämä johtaa binomin neliöönkorotukseen: πr 2 = a 2 ; L 2 8La + 16a 2 = 4πa 2 ; L 2 8La + 4(4 π)a 2 = 0 4
Tehtävä 4 Suoran y = 2 leikkauspiste paraabelin y = x 2 (x 0) kanssa on Q = (x P, y P ) = ( 2, 2) ja y-akelin kanssa P = (0, 2). Merkitään koko alueen pinta-alaa A. A = xp 0 2 x 2 x = 2x p 1 3 x3 P = 4 3 2. Arvostelu: Tehtävässä pinta-alojen A ja A 1 laskeminen oikein antaa yhteensä 3p. On näytettävä myös, että leikkauspiste on välillä PQ, (1p). Mikäli mahollisia tapoja jakaa alue osiin löyetään vain yksi, annetaan tehtävästä enintään 4p. Väärin muoostettu suhe (esim. A 1 : A = 1 : 3) vähentää 2p. Tehtävä tulee suorittaa tarkoilla arvoilla. Tarkastellaan ensin tapausta, jossa suora y = ax leikkaa suoran y = 2 janalla P Q: leikkauspiste (x a, y a ) = (2/a, 2), tällöin 0 x a x P eli on oltava a 2. Suoran yläpuolelle jää nyt suorakulmainen kolmio OPQ, jonka pinta-ala A 1 = 1 2 y ax a = 2/a Tutkitaan kumpikin mahollinen tapaus A 1 : A = 1 : 4 ja A 1 : A = 3 : 4 : 1 4 A = A 1 1 4 2 2 = 4 3 3 = 2/a a = 3 2 2 3 4 A = A 1 3 4 2 = 2 = 2/a a = 2 2 4 3 Koska kummatkin leikkauspisteet ovat janalla PQ, suoran y = ax leikkausta paraabelin kaaren OQ kanssa ei tarvitse enää tarkastella. 5
Tehtävä 5 Merkitään sivujen alaa C = 9, tilavuus V = 1 Ah, jossa h on pyramiin 3 korkeus ja A tuntematon pohjan ala. Huomaa, että 0 A C. Sivut ovat tasasivuisia kolmioita, kanta s, korkeus. Tästä A = s 2 C = 4 1 2 s = 2s = C 2s h 2 = 2 ( s 2 )2 = C2 4s A 2 4 = C2 A 2 4A V (A) = 1 6 A C2 A 2 A = 1 6 AC2 A 3 Maksiarvo saavutetaan juurrettavan maksimissa 1 : Arvostelu: Arvostelussa V (A) lauseke (tai vastaava yhen muuttujan lauseke) antaan 3p; erivointi ja määrittelyalueen tarkastelu ja vastauksen muotoilu loput. Alkuosassa lausekeet (A) tai (s), h(a) tai h(s) antavat pisteen, mikäli vastauksesta käy ilmi käsitteien määrittely ja lausekkeien käyttö. Toettakoon, että tilavuuen maksimi toellakin saavutetaan, kun sivukolmiot ovat tasasivuisia, sillä sivun pituuen neliö on 2 + (s/2) 2 = C 2 + s2 = 3A2 + s2 = 3s2 + s2 = 4s 2 4 4s 2 4 4 4 s2, mutta tämä ei ole triviaali fakta, sitä ei voi ottaa lähtökohaksi. A (AC2 A 3 ) = C 2 3A 2 = 0 A = C 2 /3 = C/ 3 = 3 3. Maksimi saavutetaan erivaatan nollakohassa, koska määrittelyalueen, A [0, C], reunalla V = 0. Vaihtoehtoisesti lausekkeet voiaan toki ilmaista myös esimerkiksi s avulla: V (s) = 1 12 s2 C 2 s 6 laskut ovat samankaltaiset. 1 Ääriarvon etsimisen kannalta on oleellisesti helpompi tarkastella juurrettavaa tai lauseketta V 2 kuin erivoia V :tä. 6
Tehtävä 6 Merkitään yhen portaan keskuskulmaa α. Vaaittu nousu, 260 cm, vastaa tarkalleen n = 260/h = 20 porrasta kierroksella. Kierroksen viimeisen portaan takareunan on oltava ensimmäisen portaan etureunan kohalla, jotta vapaa korkeus olisi vaaittu kaikissa kohissa. Tästä saamme (80%=4/5) Arvostelu: Portaien lukumäärä n: 1p; kulman α arvo 2p. Mikäli (4) sijaan asetetaan 360 = 4 nα, annetaan tehtävästä enintään 4p. 5 Mikäli käytetään arvoa n = 360/n annetaan tehtävästä enintään 3p. Vastaus on pyöristettävä ylöspäin (kyseessä on alaraja). josta ratkaisemalla 360 = 4 5 nα + 1 α, (4) 5 α = 5 4n + 1 360 = 200/9. Tarkastelemalla puolikasta porrasta (joka muoostaa suorakulmaisen kolmion) saamme säteelle r, r sin(α/2) = /2. Pienimmäksi halkaisijaksi tulee 2r = 259, 45417 260 cm. sin(α/2) 7