Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2011 Insinöörivalinnan matematiikan koe, klo Sarja A-FI

Transkriptio

1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 0 Insinöörivalinnan matematiikan koe, klo -7. Sarja A-FI Ohjeita. Sijoita jokainen tehtävä omalle sivulleen. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohdat välttämättä ole pisteytyksessä samanarvoisia. Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma. A Ratkaise yhtälöt (a) x 0 3 (b) x + 9 (c) sin cos x, 0 x π A Nesteet A ja B on sekoitettu yhteen. Nesteen A osuus seoksen painosta on p ja osuus tilavuudesta q. (a) Mikä on nesteiden A ja B tiheyksien suhde? (b) Olkoot p 3%, q 37% ja seoksen tiheys kg/dm 3. Mitkä ovat nesteiden A ja B tiheydet? Anna vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella. A3 Laskeutumisen alkaessa lentokone lentää vaakasuoraan. Tällöin kone on korkeudella y h ja vaakasuoralla etäisyydellä s kiitoradasta. Kone koskettaa kiitorataa origossa vaakalennossa. Oletetaan, että laskeutumisen aikana y ax 3 + bx + cx + d. Kuinka korkealla kone on, kun sen vaakasuora etäisyys kiitoradasta on 3 s? A Robottikäsi muodostuu kahdesta vaakatasossa liikkuvasta varresta OP ja PQ. Varsilla on yhteinen nivel P. Käden piste O on kiinnitetty origoon. Varsien pituudet ovat OP 3 ja P Q. (a) Käden tarttumapiste Q on pisteessä (, 3). Missä on nivelpiste P? (b) Kättä liikutetaan siten, että tarttumapiste Q siirtyy lyhintä mahdollista reittiä pisteestä ( 3, ) pisteeseen (, 0). Kuinka pitkän matkan Q kulkee? A Vuonna 0 uudentyyppisen influenssaviruksen aiheuttama sairastumistodennäköisyys on kaikilla 0%. Yleisesti henkilön alttius sairastua tarkasteltavana vuonna riippuu hänen hankkimastaan immuniteetista: Jos henkilö on ollut sairas tarkasteltavaa vuotta edeltävänä vuonna, on hänen todennäköisyytensä sairastua tarkasteltavana vuonna 30% edellisen vuoden vastaavasta todennäköisyydestä. Jos henkilö on ollut terve tarkasteltavaa vuotta edeltävän vuoden, on hänen todennäköisyytensä pysyä terveenä koko tarkasteltava vuosi % edellisen vuoden vastaavasta todennäköisyydestä. (a) Henkilö ei sairasta vuonna 0. Millä todennäköisyydellä hän sairastaa vuonna 0? (b) Henkilö ei sairasta vuonna 0. Millä todennäköisyydellä hän sairastaa vuonna 03? A6 Käyrän y f(x) kaarenpituus, K, välillä a x b on K b a + (f (x)) dx. Laske käyrän y (x ln x ) kaarenpituus välillä x. c 0, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut

2 Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 0 Ingenjörantagningens prov i matematik, klo -7. Serie A-SV Anvisningar. Placera varje uppgift på en egen sida. Markera om svaret fortsätter på flera koncept. Ge klart utarbetade lösningar inklusive mellanstadier, renskriv lösningen vid behov. Förkastade lösningar och förkastade delar av en lösning skall överstrykas. Om icke-överstrukna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vikt i bedömningen. Hjälpmedel: Skrivredskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling. A Lös ekvationerna (a) x 0 3 (b) x + 9 (c) sin cos x, 0 x π A Vätskorna A och B har blandats ihop. A:s andel av blandningens vikt är p och dess andel av blandningens volym är q. (a) Vad är förhållandet mellan vätskorna A:s och B:s densiteter? (b) Antag att p 3%, q 37% och blandningens densitet kg/dm 3. Vad är vätskorna A:s och B:s densiteter? Ge svaren med tre decimalers noggrannhet. A3 I början av landningen flyger ett flygplan horisontellt. Då är planet på höjden y h och på horisontella avståndet s från landningsbanan. Planet vidrör landningsbanan i origo flygande horisontellt. Antag att under landningen y ax 3 + bx + cx + d. Hur högt är planet, då dess horisontella avstånd från landningsbanan är 3 s? A En robotarm består av två stag OP och PQ, som rör sig horisontellt. Stagen har en gemensam led P. Armens punkt O är fäst vid origo. Stagens längder är OP 3 och P Q. (a) Robotarmens griphand Q är i punkten (, 3). Var finns leden P? (b) Armen rörs så att griphanden Q förflyttas kortast möjliga vägen från punkten ( 3, ) till punkten (, 0). Hur lång sträcka rör sig Q? A Sannolikheten att insjukna år 0 i influensa som förorsakas av en ny typ av virus är 0% för alla. I allmänhet beror en individs benägenhet att insjukna ett givet år på den immunitet han hunnit skaffa sig: Om en individ varit sjuk föregående år, är hans sannolikhet att insjukna innehavande året 30% av föregående års motsvarande sannolikhet. Om en individ varit frisk under hela föregående år, är hans sannolikhet att förbli frisk hela innehavande året % av föregående års motsvarande sannolikhet. (a) En individ insjuknar inte under år 0. Med vilken sannolikhet insjuknar han år 0? (b) En individ insjuknar inte under år 0. Med vilken sannolikhet insjuknar han år 03? A6 Båglängden K hos kurvan y f(x) i intervallet a x b ges av K b a + (f (x)) dx. Beräkna båglängden hos kurvan y (x ln x ) i intervallet x. c 0, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice

3 Common University Admission in Engineering and Architecture (dia-admission) 0 Engineering mathematics, May 3st, 00 at -7. Series A-EN Instructions. Reserve a separate page for each problem. Indicate if the answer continues on a separate sheet. Give your solutions in a clear form including intermediate steps. Rewrite a clean copy of the solution if needed. Cross out discarded solutions and any discarded parts of the solutions. In the case of several solutions for the same problem, only the weakest one will be credited. Note that subsections of a question are not necessarily equally weighted. Allowed instruments: Writing instruments, non programmable calculator; no dictionaries allowed. Attachment: Table of formulae. A Solve the equations for x (a) x 0 3 (b) x + 9 (c) sin cos x, 0 x π A Liquids A and B have been mixed together. Liquid A makes up share p of the weight and share q of the volume of the mixture. (a) What is the ratio of densities of liquids A and B? (b) Let p 3%, q 37% and density of the blend kg/dm 3. What are densities of the liquids A and B? Give the answers to three decimals of accuracy. A3 At the start of the landing a plane flies horizontally. At that moment the plane is at a height y h and at a horizontal distance s from the runway. The plane touches the runway flying horizontally. We assume that during the landing y ax 3 + bx + cx + d. At what height does the plane fly, when the horizontal distance from the runway is 3 s? A The arm of a robot comprises two bars OP and PQ moving horizontally. The bars share joint P. The arm is fixed at the origin at the point O. The bars have the length OP 3 and P Q. (a) The grabbing end Q is at (, 3). Where is joint P? (b) The arm is moved so that the grabbing end Q travels the shortest possible route from point ( 3, ) to point (, 0). How long a route does Q travel? A In year 0 everybody s probability to fall ill with the new type of influenza is 0%. In general, a person s probability to fall ill during any given year depends on the immunity he has obtained: If a person has been ill during the year preceding the given year, his probability to fall ill during the given year is 30% of the corresponding probability the preceding year. If a person has been healthy the entire year preceding the given year, his probability to stay healthy the given year is % of the corresponding probability the preceding year. (a) A person has not been ill during 0, at what probability will he fall ill during 0? (b) A person has not been ill during 0, at what probability will he fall ill during 03? A6 The arc length K of the curve y f(x) on the interval a x b is K b a + (f (x)) dx. Calculate the arc length of the curve y (x ln x ) on the interval x. c 0, Dia-admission, c/o Aalto University, Student Services

4 Dia-valinnan insinöörivalinnan matematiikankoe 0 - vastaukset alustava versio kommentoitavaksi.6.0 Tehtävä (a) x a/ b x (x bx a) 0 b ± b + a (x 0). x 0 3 x x x x 0 3 x x x a 0, b 3 a, b a 0, b 3 a, b 3 3 (b) Edellisen kaltaisesti x + 9 x + 9 x + 9 x + 9 a x + b 9 y (ay 9y + b) 0 jossa y x. Edelleen y 9 ± 8 ab a log y a, b y x a, b y x a, b y x a, b y x (c) Kun 0 x π x 0, π, π}. x 0, π, π}. x 0, π, π}. x 0, π, π}. sin cos sin x sin x( sin x) 0 sin 0 sin x 0, π, π}.

5 Dia-valinnan insinöörivalinnan matematiikankoe 0 - vastaukset alustava versio kommentoitavaksi.6.0 Tehtävä Merkitään koko sekoituksen massa m ja tilavuutta V. Vastaavasti aineille A ja B. joten vastaavasti ja V A qv, m A pm, m A V A V B ( q)v m B ( p)m pm qv p q ρ p q ρ p( q) q( p) p 3% q 37% ρ , , 7 0, , 97 p 3% q 3% ρ , , 7 0, , 80 p 3% q 3% ρ , , 7 0, , 8 p 3% q 37% ρ , , 70 0, , 9 3

6 Dia-valinnan insinöörivalinnan matematiikankoe 0 - vastaukset alustava versio kommentoitavaksi.6.0 Tehtävä 3 Mallille y(x) ax 3 + bx + cx + d; y (x) 3ax + bx + c Tekstistä y(0) d 0 y (0) c 0 y (s) (3as + b)s 0; b 3 sa y(s) (as + b)s as3 h; a h/s 3 ; b 3h/s y(x) [ (x/s) 3 + 3(x/s) ]h y(ks) [ k 3 + 3k ]h k (3 k)h y( 3 s) 7/7h 0, 96h y( 3 s) 7/7h 0, 96h y( s) /3h 0, 6h y( s) /3h 0, 6h

7 Dia-valinnan insinöörivalinnan matematiikankoe 0 - vastaukset alustava versio kommentoitavaksi.6.0 Tehtävä (a) Asetetaan P (x, y), P Q (x a) + (y b) OP x + y 3 vähennetään P Q OP ax + by + a + b Q (a, b) (, 3) x 6y (y + ) 9(y + ) + y 9 (y + 9)y 0 Q (a, b) (, 3) x+6y (y ) 9(y ) + y 9 (y 9)y 0 Q (a, b) ( 3, ) +6x y +0 6 y 3(x ) x + 9(x ) 9 (x 9) 0 Q (a, b) (3, ) 6x+y +0 6 y 3(x + ) x + 9(x + ) 9 (x + 9) 0 josta ratkaistaan x(y) tai y y(x) ja sijoitetaan OP yhtälöön, josta ratkaistaan vastaavasiti y tai x. P (+3, 0) ( /, 9/) P ( 3, 0) ( /, 9/) P (0, 3) ( 9/, /) P (0, +3) ( 9/, /) (b) Koska OQ OP + P Q on OQ OP P Q ja piste P aina siis vähintään etäisyydellä origosta. a Kysytyn reitin loppupiste B on mainitun -säteisen ympyrän kehällä, joten lyhyimmällä mahdollisella reitillä P siirtyy alkupisteestä A suoraa pitkin mainitun ympyrän kehälle pisteeseen T, ja kehää pitkin neljännesympyrän matkan edelleen pisteeseen B: Kysytty etäisyys on siis A T B 3 + π 3 + π. Q liikkuu: A ( 3, ) B (0, ) C (, 0) Q liikkuu: A (3, ) B (0, ) C (, 0) Q liikkuu: A (, 3) B (, 0) C (0, ) Q liikkuu: A (, 3) B (, 0) C (0, ) a Pätee myös OP OP + P Q 8.

8 Dia-valinnan insinöörivalinnan matematiikankoe 0 - vastaukset alustava versio kommentoitavaksi.6.0 Tehtävä Merkitään todennäköisyyksien muutoksia a (uudestaan sairas)( b edelleen terve) ja vuoden 0 sairastumistodennäköisyyttä p. Merkitään (T SS) tapausta jossa henkilö on ollut terve vuonna 0 ja sairas vuosina 0 ja 03. Vastaavasti (SxS) edustaa tapausta, jossa henkilö on ollut sairas vuosina 0 ja 03 ja jompaa kumpaa vuonna 0. P (S) p 0% P (T ) p 0.8 a 30% b % P (S) p 0% P (T ) p 0.9 a 3% b 0% P (S) p 0% P (T ) p 0.8 a 0% b 3% P (S) p 0% P (T ) p 0.9 a % b 30% (a) Ehdollinen todennäköisyys, että henkilö on ollut terve 0 ehdolla, että hän oli terve 0, on P (T T T ) bp (T ) b( p). Kysytty ehdollinen todennäköisyys on komplementtitodennäköisyys P (T T T ) 0.36 P (T T T T T ) 0.6 P (T S T ) 0.6 P (T SS T S) 0.9 P (T T T ) 0.36 P (T T T T T ) 0. P (T S T ) 0.6 P (T SS T S) 0. P (T T T ) 0.8 P (T T T T T ) P (T S T ) 0.7 P (T SS T S) 0.88 P (T T T ) 0.7 P (T T T T T ) 0.08 P (T S T ) 0.73 P (T SS T S) 0.38 P (T S T ) P (T T T ). (b) Nyt vuonna 0 henkilö on voinut olla terve tai sairas, joten P (T xs T ) P (T SS T S)P (T S T ) + P (T T S T T )P (T T T ). Käyttäen osin (a) kohtaa lausumme: P (T SS T S) ap (T S T ) P (T T S T T ) P (T T T T T ) bp (T T T ) josta vastaus. P (T T S T T ) P (T T S T T )P (T T T ) P (T SS T S)P (T S T ) 0.88 P (T xs T ) 0.6 % P (T T S T T ) 0.86 P (T T S T T )P (T T T ) P (T T S T T )P (T T T ) P (T T S T T )P (T T T ) P (T SS T S)P (T S T ) P (T SS T S)P (T S T ) P (T SS T S)P (T S T ) P (T xs T ) 0. % P (T T S T T ) 0.90 P (T xs T ) % P (T T S T T ) 0.99 P (T xs T ) % 6

9 Tehtävä 6 + (f ) + [ (x x )] + (x + x ) (x + ln x ) ( + 0 ln ) 3 + ln jolloin K + (f ) (x + + x ) [ (x + x )] x + x d ( x x ) dx 7