Talousmatematiikan perusteet Mallintamisesta, esimerkkinä varastomallit Professori Ilkka Virtanen 10.4.001 1
Sisällysluettelo Varastomallit esimerkkinä mallintamisesta 1.Peruskäsitteet.Perusmalli (EOQ -malli, yhden muuttujan optimointitehtävä).1. Mallin muodostus.. Mallin ratkaisu.3. Ratkaisun analysointi ja tulkinta 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen
Sisällysluettelo, jatkuu 3.Perusmalli tapauksessa, kun puute sallitaan (kahden muuttujan optimointiteht.) 4.Perusmalli tapauksessa, kun täydennysnopeus on äärellinen (tuotantomalli) 5.EOQ -malli ja määräalennukset (epäjatkuva tavoitefunktio) 6.Perusmalli kahden hyödykkeen ja rajoitetun varastotilan tapauksessa (Lagrangen kerroin -menetelmä) 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 3
Sisällysluettelo, jatkuu 7.Ratkaisun optiminjälkeinen herkkyysanalyysi 7.1. Herkkyysanalyysin yleinen kysymyksenasettelu 7.. EOQ -mallin herkkyysanalyysi 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 4
Varastomallien peruskäsitteitä! Kysyntä. Tuotteen kysyntä voi olla deterministinen so. etukäteen tunnettu tasainen tai monotonisesti muuttuva (staattinen) dynaaminen (esim. kausivaihtelu) stokastinen eli satunnaisuutta sisältävä!varaston täydentämisnopeus voi olla ääretön (kertasuoritus esim. ulkopuolisena toimituksena) äärellinen (täydennys esim. tuotannosta) 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 5
Varastomallien peruskäsitteitä!tilausväli on kahden peräkkäisen tilaushetken väli. Perusteena varaston taso (hälytysraja) tarkkailu (jatkuva tai jaksollinen) kiinteä väli!toimitusaika,viive tilauksen ja täydennyserän toimituksen välillä!suunnittelukausi, aika jolle laskelmat tehdään 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 6
Varastomallien peruskäsitteitä! Varastoitavien lajikkeiden määrä; merkitystä, jos lajikkeilla keskinäistä riippuvuutta tai tilarajoituksia! Varastokapasiteetti; merkitystä, jos varastotila rajoite!täydennyserän koko, tilattava tuotanto- tai toimituserä!ostohinta, mikäli on määräalennuksia 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 7
Varastomallien peruskäsitteitä! Myyntihinta, mikäli on tukku- tai muita alennuksia! Varaston ylläpitokustannus sisältää pääoma-, varastointi- ja käsittelykustannukset, pilaantumisen ja hävikin, verot ja vakuutukset ym.! Tilauskustannukset, tilauksen teosta tai tuotannon aloittamisesta aiheutuva kiinteä kertakustannus 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 8
Varastomallien peruskäsitteitä! Puutekustannus syntyy, kun kysyntää ei pystytä tyydyttämään menetetty myynti tai ylimääräiset hankintakustannukset maineen menetys seisokki- tai ylityökustannukset 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 9
Mallinnettava päätösongelma Tehtäviä päätöksiä ovat mm. kuinka usein tilataan (tilausväli)? kuinka paljon tilataan kerralla (eräkoko)? milloin tilataan (tilaushetki)? 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 10
Perusmallin olettamukset! Perusmallina ns. Economic Order Quantity (EOQ) -malli v. 1915 (F.W. Harris), tunnettu myös neliöjuurikaavana.! Mallin olettamukset (vrt. peruskäsitteet): Pelkistykset ja rajaukset täydennykset kertasuorituksena (täydennysnop. ) toimitusaika vakio (voidaan olettaa 0, vrt. ennakointi) pitkä suunnittelukausi (toistuvat tilaukset) yksi varastoitava tuote 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 11
Perusmallin olettamukset ei tilarajoituksia osto- ja myyntihinnat vakioita (ei paljous- ym. alennuksia) puutetta ei sallita! Mallin parametrit kysyntä D on tunnettu ja vakio, [D] kpl/v varaston ylläpitokustannus h on vakio, [h] mk/kpl*v tilauskustannus K on vakio ja tilausmäärästä riippumaton, [K] mk/erä 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 1
Perusmallin olettamukset! Mallin (päätös)muuttujat tilauserän koko on vakio, [] kpl tilausväli t, määräytyy kysynnän ja eräkoon perusteella (ts. vaihtoehtoinen riippumaton päätösmuuttuja :lle), [t] v!mallin tavoitefunktio etsittävä sellainen tilauserän koko (tilausväli t), jolla suunnittelukauden (tai aikayksikössä syntyvät) varastoinnin kokonaiskustannukset (tilauskust. + varaston ylläpitokust.) minimoituvat 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 13
EOQ - malli, graafinen esitys Olettamukset johtavat malliin, jossa varaston taso kehittyy ajan funktiona seuraavasti: Varaston taso tasainen vakiokysyntä täydennysnopeus 0 t Aika 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 14
Miksi seuraavat vaihtoehdot eivät tule kysymykseen? Vaihtoehto 1: M M- 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 15
Miksi seuraavat vaihtoehdot eivät tule kysymykseen? Vaihtoehto : m+ m 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 16
EOQ - mallin formulointi Määritetään kustannukset per aikayks. (mk/v): Tilauskustannukset - tilauksia per aikayksikkö: D/ [D/] (kpl/ v)/ (kpl/erä) erää/v tilauskustannukset aikayksikössä C 1 () K (D/) [K (D/ )] (mk/ erä)(erää/ v) mk/v 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 17
EOQ - mallin formulointi Tilauskustannusten riippuvuus eräkoosta graafisesti: C 1 () Mikä funktiotyyppi on kysymyksessä? C 1 () K D/ 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 18
EOQ - mallin formulointi Varaston ylläpitokustannukset keskimääräinen varasto / kustannukset aikayksikössä yksikkökustannukset keskimääräinen varastotaso C () C () h / / t 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 19
Kokonaiskustanusfunktio TC() C 1 () + C () K D (1/) + (h/) Kust. TC( 0 ) TC 0 TC( 0 ) C () C 1 () 0 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 0
EOQ - mallin ratkaisu Kokonaiskustannukset: TC() K D (1/) + (h/) Välttämätön ehto minimille: d[tc()]/d -K D (1/ ) + h/ 0 Tästä ratkaisemalla optimaalinen eräkoko: EOQ: 0 KD h (Ehdot optimille, mitkähän ne olivatkaan?) 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 1
EOQ - mallin ratkaisun tarkastelua Optimieräkoko: 0 KD h Optimaalinen tilausväli: t 0 0 D KD h 1 D K hd 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen
EOQ - mallin ratkaisun tarkastelua Optimikustannukset ( minimikustannukset): TC 0 1 h TC( 0 ) C1( 0 ) + C ( 0 ) KD + 0 h h KD KD + KD h KDh + KDh KDh KDh Huom.: C 1 ( 0 ) C ( 0 ) (vrt. myös aiempi kuva!) 0 Lopputulos: TC0 KDh 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 3
Optimieräkoko ja -kustannukset Optimieräkoko: Optimikustannukset: 0 KD h TC0 KDh TC TC KD h h h KD KD KD 0 h 0 KDh 0 0 KDh 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 4 ; KD 1 0
Esimerkki 1. Tarkastellaan varastonpitoa, jossa kysyntä D 18 000 kpl/v tilauskustannukset K 000 mk/erä varaston ylläpitokustannukset h 6 mk/kpl v Saadaan seuraavat varastojärjestelmään liittyvät tunnusluvut: 6 0 1 10 ( kpl) KD h 000 mk 18000 kpl / v 6 mk / kpl v 3464 kpl TC h 6 ( mk / kpl v) 3464 kpl 0784 mk / v 0 0 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 5
Esimerkki 1. Tilauksia (ja varaston täydennyksiä): D 18000 kpl / v N 0 5. / v 3464 kpl Tilausväli: 0 t D 0 1 (5. / v) 1 0 0.19 v N 0 69 päivää Varastonpidon kustannukset myytyä tuoteyksikköä kohti: TC0 0784 mk / v UC 0 1.15 mk / D 18000 mk/ kpl kpl 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 6
EOQ-malli puutekustannuksin Olettamukset kuten perusmallissa paitsi että puute sallitaan. s puutekustannus, [s] mk/kpl v M varaston maksimitaso, jolloin -M maksimipuute Varastotaso M t 1 t Aika t t -M 1 + t M- t /D, t 1 M/D, t (-M)/D 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 7
10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 8 EOQ-malli puutekustannuksin Varaston keskikoko : Keskimääräinen puute: Kokonaiskustannukset aikayksikössä: tilaus varasto puute M D D M M t t M t t t t M / / 0 1 1 + M D D M M t t M t t M t t ) ( / ) / ( ) ( 0 1 + s M h M KD M TC ) ( ), ( + +
EOQ-malli puutekustannuksin Päätösmuuttujia tarvitaan tässä uudessa, puutteen sallivassa mallissa kaksi. Edellä näiksi muuttujiksi on valittu tilausmäärä ja taso, jolle varasto täydennyksen jälkeen nousee (M ). Nämä yhdessä määräävät mm. maksimipuutteen -M ja tilausvälin t (sekä tämän osat t 1 ja t ). Muitakin valintoja päätösmuuttujiksi olisi voitu tehdä (esimerkiksi minkälaisia?). Puutteen ja puutekustannusten tuominen malliin muuttavat mallia tarvittavan matematiikan osalta ratkaisevasti. Yhden muuttujan (päätös)funktiosta on siirrytty usean muuttujan funktioon. Esimerkiksi minimikustannukset antavan ääriarvokohdan löytämiseksi on turvauduttava päätösmuuttujien suhteen laskettuihin osittaisderivaattoihin. 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 9
Puutemallin ratkaisu Ehto optimiratkaisulle (ääriarvokohdassa osittaisderivaatat 0): { TC KD + s (s + h)m 0 TC M (h + s)m s 0 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 30
Puutemallin ratkaisu Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan (totea itse laskemalla): 1 KD (h + s) hs KD h h + s s 0 h + s s, missä 0 on perusmallin optimieräkoko. Tilauserän koko siis kasvaa perusmalliin verrattuna. M 1 KDs h (h + s) KD h s h + s 0 s h + s. Maksimivarasto taas pienenee perusmalliin verrattuna ( 0 on paitsi eräkoko myös maksimivarasto EOQ:ssa). 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 31
Puutemallin ratkaisu Puutemallin tarkastelu, kun s : lim 1 s KD h lim s h + s s KD h 0, lim M 1 s KD h lim s s h + s KD h 0. Malli antaa siis erikoistapauksena EOQ-mallin, kun asetetaan s. Yleisestikin: mikäli mallin yleistys on tapahtunut oikein, pelkistetty malli saadaan yleisen erikoistapauksena. 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 3
Esimerkki.! Tarkastellaan varastonpitoa, jossa kysyntä tilauskustannukset D 18 000 kpl/v K 000 mk/erä varaston ylläpitokustannukset h 6 mk/kpl v puutekustannukset s 5 mk/kpl v! Saadaan mm. seuraavat varastojärjestelmään liittyvät tunnusluvut: 1 0 h + s s 3464 6 + 5 5 kpl 3857 kpl 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 33
Esimerkki. M 1 0 s h + s 3464 5 6 + 5 kpl 3110 kpl TC 1 000 18000 3857 + 3110 6 3857 + 747 5 3857 18665 mk /v Esimerkissä puutekustannukset ovat suuremmat kuin varaston ylläpitokustannukset (5 mk/kpl v vs. 6 mk/kpl v). Kuitenkin varastonpidon kokonaiskustannukset alenevat (18665 mk/v vs. 0784 mk/v). Miksiköhän näin? 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 34
Tuotantomalli (EOQ-malli & äärellinen täydennysnopeus) Muut olettamukset kuten EOQ-mallissa paitsi lisänä äärellinen täydennysnopeus r, [r] kpl/v. Varasto täyttyy aikana (a,b) vauhdilla r - D, (r > D) Aikana (b,c) varasto tyhjenee vauhdilla D a b c Tuotanto kestää ajan b - a /r Tilausväli on /D, joten tyhjenemisvaiheen pituus on c -b /D -/r (r -D)/Dr 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 35
Tuotantomallin johtaminen x x D ( r D) rd /r (r - D)/rD / /D / Varaston maksimikoko on (/r) (r - D) (r - D)/r ja varaston keskikoko siten (r - D)/r. Varaston vuotuinen ylläpitokustannus on näin h(r -D)/r 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 36
Tuotantomallin ratkaisu Varastonpidon kokonaiskustannukset tuotantomallissa ovat siten: TC() KD h(r D) +. r Kustannukset saavuttavat minimiarvonsa (totea laskemalla!), kun KDr r 0 > h( r D) r D 0 M r (r D) KD(r D) hr 0 r D r < 0. 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 37
Tuotantomallin ratkaisu Analyysiä: 1) Eräkoko kasvaa (ts. > 0 ), sillä :n neliöjuurilauseke > 1 ) Varaston tilatarve (varastotason maksimiarvo) pienenee, sillä neliöjuurilauseke M :ssa < 1 3) Minimikustannuksiksi saadaan (totea itse laskemalla, so. sijoittamalla :n lauseke TC():n lausekkeeseen): KDh( r D) r D TC TC( ) TC0 < TC r r 4) EOQ-malli on tuotantomallin erikoistapaus (tuotantovauhti r ): 0 lim 0 lim r r r r D 0. 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 38
Esimerkki 3 Olkoon Kysyntä 18000 kpl/v Tuotantonopeus 36000 kpl/v Tilauskustannukset 000 mk/erä Varaston ylläpitokustannukset 6 mk/kpl v 000 18000 36000 6 18000 M (r D) 450 kpl r TC 14697 mk /v kpl 4900 kpl ( 0 3464 kpl) (M 0 3464 kpl) (TC 0 0784 mk/v) 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 39
EOQ-malli paljousalennuksin Olettamukset kuten perusmallissa, mutta ostohinta varastoon on eräkoosta riippuva, ts. p p(). Oletetaan porrasfunktio: p p() p 1 p p 3 1 TC () KD + h + p () D (tilaus- + varastointi- + hankintakust.) 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 40
EOQ-malli paljousalennuksin 0 KD h (sama minimikohta kaikilla käyrillä!) TC, kun pp 1 TC, kun pp TC, kun pp 3 TC ilman hankintakust. 0 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 41
Alennusrajojen 1 ja sekä minimikohdan 0 keskinäisestä sijainnista riippuen saadaan kokonaiskustannusten minimille erilaisia ratkaisuja: 0 on optimi ja 0 > ; optimaalinen varastointipolitiikka ja alennukset hyödynnetty täysimääräisesti (p p 3 ) 0 on optimi ja > 0 > 1 ; optimaalinen varastointipolitiikka ja alennukset hyödynnetty osittain (p p ) 0 on optimi ja 0 < 1 ; optimaalinen varastointipolitiikka ja alennuksia ei voida hyödyntää (alennukset eivät riittävät suhteessa varastointikustannusten nousuun; p p 1 ) 1 on optimi ja 0 < 1 ; alennus p 1 -> p kompensoi kohonneet varastointikustannukset (mutta alennus p -> p 3 ei enää kompensoi) on optimi ja > 0 ; alennusten täysimääräinen hyödyntäminen kompensoi kohonneet varastointikustannukset Esitä kuhunkin tapaukseen liittyvä tilanne graafisesti! 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 4
Optimaalisen eräkoon määrittämiseksi saadaan näin algoritmi (yleisesti n:lle eri hinnalle p 1,..., p n ): 1. Määritetään 0 (KD/h) 1/. Lasketaan TC 0 TC( 0 ) (KD/h) 1/ + p( 0 ) D TC i TC( i ) KD/ i + h i / + p i+1 D (i 1,,...,n-1) 3. Optimaalinen on se, jolla TC kohdassa on pienin. Algoritmiseen (so. numeeriseen) ratkaisuun joudutaan analyyttisen ratkaisun sijasta, koska minimoitava funktio on epäjatkuva. 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 43
Kaksi tuotetta, rajoitettu varastotila (Lagrangen kertoja -menetelmä) EOQ-mallin olettamukset muuten, paitsi!varastoitavia tuotteita oletetaan olevan kaksi!varastotila voi osoittautua optimipolitiikkaa rajoittavaksi tekijäksi D 1, D kysynnät, toisistaan riippumattomat K 1, K tilauskustannukset h 1, h ylläpitokustannukset b 1, b tilantarve tuoteyksikköä kohti B käytettävissä oleva varastotila 1, eräkoot (päätösmuuttujat) 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 44
Lagrangen kertoja -menetelmä Malli kokonaiskustannuksille: TC( 1, ) K 1 D 1 / 1 + K D / + ½ h 1 1 + ½ h lisäehdolla b 1 1 + b B (tilarajoitus) Periaatteet ratkaisulle: 1 o Etsitään TC( 1, ):n tavallinen (vapaa) kahden muuttujan funktion ääriarvokohta. Jos ratkaisu toteuttaa tilarajoitusehdon, on optimiratkaisu löytynyt (varastotila riittää kaikissa olosuhteissa, koska se riittää suurimmalle mahdolliselle varastollekin). Ellei tilarajoitusehto toteudu, joudutaan etsimään ns. sidottu ääriarvo Lagrangen kertoja -menetelmällä (kohta o ). 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 45
Lagrangen kertoja -menetelmä o Muodostetaan ns. Lagrangen funktio, jonka tavallinen ääriarvokohta antaa alkuperäiselle kokonaiskustannusfunktiolle etsityn sidotun ääriarvokohdan. Lisäksi saadaan tärkeätä informaatiota rajoitusehdon tiukkuudesta. Vapaan ääriarvon määritys (kohta 1 o ): TC 1 TC K 1 1 1 K D D + + 1 1 h 1 h 0 0 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 46
10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 47 Lagrangen kertoja -menetelmä Yhtälöistä saadaan ratkaisemalla helposti ääriarvokohtaehdokas: 1 1 1 1 h D K h D K Lagrangen funktion muodostaminen alkuperäisen tavoitefunktion, tilarajoituksen ja Lagrangen kertojan λ avulla (kohta o ): L( 1,, λ) TC( 1, ) + λ(b 1 1 + b B)
Lagrangen kertoja -menetelmä L:llä on sama ääriarvokohta muuttujien 1 ja suhteen kuin TC:lläkin edellyttäen, että λ:n kerrottavana oleva sulkulauseke 0, ts. että tilarajoitusehto toteutuu! Ääriarvokohdalle saadaan ehdot: L K 1 D 1 + 1 h 1 + λb 1 0 1 1 L K D + 1 h + λb 0 L λ b 1 1 + b B 0 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 48
Lagrangen kertoja -menetelmä Yhtälöryhmästä voidaan ratkaista (laskutoimitukset yleensä verraten monimutkaisia) lausekkeet 1 :lle ( opt 1 ) ja :lle ( opt ) sekä λ:lle. Yhtälöryhmän viimeinen yhtälö takaa, että ratkaisu toteuttaa tilarajoituksen. Ratkaisuna saadaan myös arvo λ:lle, Lagrangen kertojalle. Kertoimella λ on tärkeä taloudellinen tulkinta. Se ilmoittaa tilarajoitteen varjohinnan, ts. kuinka paljon (marginaalisesti optimissa) kustannukset lisääntyvät sen johdosta, että tila on pullonkaulatekijä. Jos varastotilaa olisi käytettävissä yksi tilayksikkö enemmän, varastoinnin kokonaiskustannukset alenisivat λ:n verran. 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 49
Lagrangen kertoja -menetelmä Varjohinnoilla on erittäin keskeinen merkitys mm. lineaarisen optimointitehtävän (LP-mallin) ratkaisemisessa, sekä ratkaisuteknisesti että ratkaisun taloudellisen tulkinnan kannalta. LP-mallin herkkyysanalyysi mm. perustuu pääosin ratkaisuun liittyviin varjohintoihin. Seuraavassa tarkastellaan mallien yleistä herkkyysanalyysia varastomallia esimerkkinä käyttäen. 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 50
Herkkyysanalyysi, yleistä Luonteeltaan mallin optiminjälkeistä tarkastelua, jonka sekä looginen että ajallinen paikka on mallityöskentelyn loppuvaiheessa Lähtökohtana valmiiksi formuloitu ja ratkaistu malli Tavoitteena tuottaa lisäinformaatiota mallin ja ratkaisun luonteesta tarkastelemalla mallin käyttäytymistä ja ominaisuuksia optimiratkaisun läheisyydessä Tunnetuinta herkkyysanalyysi on lineaarisen optimointitehtävän (LP-mallin) yhteydessä. Herkkyysanalyysi on itse asiassa osa LP-mallin ratkaisua (duaalimuuttujien varjohintatulkinnat) 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 51
Herkkyysanalyysi, yleistä 1 Mikä on optimituloksen herkkyys optimiratkaisun suhteen: paljonko tavoitefunktion arvo huononee suhteessa optimitulokseen, jos optimiratkaisun sijasta otetaan käyttöön jokin muu ratkaisu? hinta optimiratkaisusta poikkeamiselle Mikä on optimin p%:n läheisyysalue: mitkä ratkaisut johtavat enintään p% huonompaan tulokseen kuin optimiratkaisu? riittävän hyvien ratkaisujen kartoitus 3 Miten optimiratkaisu ja -tulos muuttuvat mallin lähtöolettamusten (vakioiden ja parametrien) muuttuessa? yksittäisen parametrin muutos (yhteys joustoihin) lähtötietojen epätarkkuuden vaikutus (virheanalyysi) lähtötietojen muuttamisen vaikutus(vaihtoehtolaskelmat) 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 5
Esimerkkejä herkkyysanalyysistä EOQ -mallin yhteydessä 1 Paljonko varastoinnin kokonaiskustannukset kohoavat, jos tilauserän kooksi 0 :n sijasta valitaankin α 0? Missä rajoissa tilauserän koko voi vaihdella ilman että kokonaiskustannukset kohoavat enemmän kuin p%? 3 a) Paljonko eräkoko ja kokonaiskustannukset muuttuvat, jos kysyntä D (tai tilauskustannukset K tai ylläpitokustannukset h) muuttuvat (ceteris paribus) p%? b) Mitkä ovat eräkoon ja kokonaiskustannusten optimiarvojen virhearviot, kun parametrien D, K ja h arvoja ei tunneta tarkasti vaan tietyllä suhteellisella tarkkuudella (epätarkkuus esim. max 10%)? c) Paljonko kannattaa investoida uuteen varastojärjestelmään, kun sen yksikkökustannus h on 100f % (esim. 0%) pienempi kuin nykyisen, pitoaika on N (esim. 0 v) ja laskentakorkokanta i ( 10%) 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 53
EOQ-mallin herkkyysanalyysi Malli ja sen ratkaisu: TC( ) KD KD 0 h TC0 TC( + 0 ) 1 h KDh h 0 1. Tuloksen (kokonaiskustannusten TC) herkkyys ratkaisun (eräkoon ) suhteen optimissa? Annettu: 0 -> α 0 ts. / 0 α Ratkaistava: TC -> TC 0 βtc 0 ; β TC /TC 0? 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 54
EOQ-mallin herkkyysanalyysi β TC TC 0 KD h KD + 1 h + 1 h 0 KD h 0 + 1 1 0 0 + 1 0 h KD KD h + 1 0 1 ( 0 + 0 ) 1 (α + 1 α ) Saadaan siis yhteys ratkaisun ( 0 ) suhteelliselle muutokselle α ja tuloksen (TC 0 ) suhteelliselle muutokselle β: 0 β 1 (α + 1 α ) ts. TC 1 (α + 1 α )TC 0. 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 55
Esimerkki 4 Paljonko kokonaiskustannukset lisääntyvät, jos eräkoko a) kasvaa 50%, b) pienenee 50%? a) 1.5 0 (α 1.5) TC 0.5 (1.5 + 1/1.5) TC 0 1.08 TC 0 (8%:n kust. nousu) b) 0.5 0 (α 0.5) TC 0.5 (0.5 + 1/0.5) TC 0 1.5 TC 0 (5%:n kust. nousu!)! Malli on siis paljon herkempi poikkeamille optimiratkaisusta alas- kuin ylöspäin. Johtuu tavoitefunktion laakeudesta optimiratkaisun oikealla puolella. (Piirrä kuvio ja tarkastele asiaa siinä!)! Herkkyysanalyysi pätee vain optimin välittömässä läheisyydessä.! Tulokset ovat yleispäteviä EOQ-mallille, ne eivät riipu lainkaan parametrien K, D ja h arvoista (herkkyys jousto funktion ominaisuus). 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 56
EOQ-mallin herkkyysanalyysi, jatkoa. Optimiratkaisun p-prosentin läheisyysalue: Miten 1 ja on valittava, jotta olisi voimassa: aina kun [ 1, ], niin TC() (1 + p/100) TC 0, missä p on annettu? Kustannukset (1+p/100) TC 0 TC 0 1 0 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 57
EOQ-mallin herkkyysanalyysi, jatkoa TC Kohdasta 1: 1 (α + 1/α ) TC 0 Vaatimus: TC (1 + p TC ) P 100 0 Saadaan rajaluku P:lle: 1 (α + 1/α ) P α α Pα + 1 0 α P ± P 1 1 (P P 1) 0 (P + P 1) 0 0 P ± P 1 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 58
Esimerkki 5 p 10% P 1.10 1 (1.10 (1.10 + 1.10 1.10 1) 0 1) 0 0.64 1.54 0 0 Eräkoko saa kasvaa optimista korkeintaan 56% ja pienentyä korkeintaan 36%, jotta kokonaiskustannusten nousu olisi korkeintaan 10%. 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 59
EOQ-mallin herkkyysanalyysi, jatkoa 3a. Jos kysyntä D muuttuu p%, paljonko muuttuu optimaalinen eräkoko, paljonko muuttuvat (kasvavat) optimaaliset kustannukset? D: suhteellinen muutos on annettu: D/D Suuretko ovat 0 / 0 ja TC 0 /TC 0? Pienille (infinitesimaalisille) muutoksille pätee: D/D dd/d Saadaan: 0 / 0 0 D d 0 D.. D/D D dd 0 0 Viimeksi mainittu lauseke (merk. E D ( 0 ) ) on 0 :n jousto D:n suhteen eli eräkoon kysyntäjousto. 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 60
EOQ-mallin herkkyysanalyysi, jatkoa EOQ-mallille saadaan näin eräkoon kysyntäjoustoksi: 0 KD h ; d 0 dd 1 E D ( 0 ) d 0 dd D 0 h KD h K KD h K h D KD h 1 KD h 1 vakio! KD h Tulos: 0 :n suhteellinen muutos on puolet D:n suhteellisesta muutoksesta (likiarvo, pitää paikkansa sitä paremmin, mitä pienempi D on). Jos esim. D kasvaa (vähenee) 10%, niin 0 kasvaa (vähenee) 5%. Samoin on (totea itse laskemalla): E D (TC 0 ) 1/; E K ( 0 ) E K (TC 0 ) 1/ ; E h ( 0 ) - 1/ (!), E h (TC 0 ) 1/. 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 61
EOQ-mallin herkkyysanalyysi, jatkoa 3b. Parametrien arvojen muuttamisen kannattavuus? Investoinnilla I saadaan aikaan varastojärjestelmä, jonka ylläpitokustannus on 100f % pienempi kuin olemassa olevan järjestelmän (muut ominaisuudet ennallaan). Kuinka suuri saa I korkeintaan olla, jotta investointi olisi kannattava? Investoinnin pitoaika on N ja laskentakorkokanta i. TC 0 KDh dtc 0 TC 0 d lntc 0 1 Säästö vuodessa: dk K + dd D + dh h 1 (0 + 0 f ) 1 TC 0 dtc 0 1 f TC 0 1 f KDh TC 0 1 f KDh f 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 6
EOQ-mallin herkkyysanalyysi, jatkoa Säästö investoinnin pitoaikana (nykyarvomenetelmä): NPV( TC 0 ) a (N,i) 1 f KDh, missä on jaksollisten maksujen diskonttaustekijä. a (N,i) Saadaan kannattavuusehto investoinnille: I 1 f a (N,i) KDh 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 63
Esimerkki 6 Olkoot EOQ-mallin parametrit: D 18000 kpl/v K 000 mk h 6 mk/kpl v ja investointiin liittyvät parametrit: f 0.0 (h: 6 mk/kpl v 4.80 mk/kpl v) N 0 v i 0.10 a (N,i) 8.51356 Varastoinvestointi saa maksaa enintään: I 0.5 f a (N,i) (KDh) 0.5 0.5 0.0 8.51356 0784 17700 mk (investoinnin takaisinmaksuajan on oltava alle 9 vuotta). 10.4.001 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 64