EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa olla ohjelmoitava eikä graafinen laskin ERITYISTÄ HUOMATTAVAA: Ei ole Sivu 1/5
LYHYET KYSYMYKSET A Sivu 1/2 2x 3 1) Tarkastellaan funktioita f ja g, missä f ( x) ja g ( x) x 5. x 1 Laske näiden funktioiden kuvaajien leikkauspisteiden koordinaatit. 2) Ratkaise yhtälö 2 1 e x 5. 3) Funktio f määritellään: f( x) ln(3x 4). Laske funktion f kuvaajan ja koordinaattiakselien leikkauspisteiden koordinaatit. 4) Alla on funktion f derivaattafunktion f kuvaaja. Millä muuttujan x arvolla funktiolla f on maksimi tai minimi? Perustele vastauksesi. 5) Funktiot f, g ja h ovat derivoituvia kohdassa x 1. Tiedetään, että f ( x) g( x) h( x) sekä g(1) 3, g(1) 2, h(1) 4 ja h(1) 5. Määritä f (1). 6) Olkoon f ( x) ln(8 x). Määritä funktion f kuvaajalle kohtaan x 7 piirretyn tangentin yhtälö. Sivu 2/5
LYHYET KYSYMYKSET A Sivu 2/2 7) Laske sen alueen pinta-ala, jonka käyrä x 1 ja x 3 sekä x-akselin kanssa. y 2 3x 2 rajoittaa yhdessä suorien 2x 8) Funktion f derivaattafunktio on f( x) 4e. Määritä f ( x ), kun tiedetään, että funktion f kuvaaja kulkee pisteen P ( 0, 3) kautta. 9) Laske 1 e 2 x 1 dx. x 10) Kaksi henkilöä, A ja B, ampuvat maaliin. 3 Todennäköisyys, että A osuu maaliin yhdellä laukauksella, on. 4 1 Todennäköisyys, että B osuu maaliin yhdellä laukauksella, on. 3 A ampuu 3 kertaa ja B ampuu 5 kertaa. Kummalla henkilöistä on suurempi todennäköisyys osua maaliin ainakin kerran? Perustele vastauksesi. 11) Eräänä päivänä kahvilan terassilla 54 % asiakkaista on naisia, 70 % asiakkaista käyttää aurinkolaseja ja 41 % asiakkaista on aurinkolaseja käyttäviä naisia. Terassin asiakkaista valitaan umpimähkään yksi henkilö. Laske todennäköisyys, että hän on aurinkolaseja käyttävä mies. 12) Linja-auto, jossa on 50 matkustajaa, kulkee rajatarkastuksen läpi. 5 matkustajaa kuljettaa mukanaan luvattomia tavaroita. 4 matkustajaa valitaan umpimähkään. Laske todennäköisyys, että täsmälleen 2 näistä 4:stä matkustajasta kuljettaa mukanaan luvattomia tavaroita. Sivu 3/5
PITKÄ KYSYMYS B 1 ANALYYSI Sivu 1/1 Tarkastellaan funktiota f, joka määritellään: f( x) (2x 3)e x. a) Mikä on funktion f määrittelyjoukko? 1 piste b) Laske funktion f kuvaajan ja koordinaattiakselien leikkauspisteiden koordinaatit. c) i. Määritä välit, joilla funktio f on kasvava tai vähenevä. ii. Määritä funktion f ääriarvopisteen koordinaatit ja ääriarvon luonne. d) Määritä funktion f kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin t yhtälö. e) Hahmottele funktion f kuvaaja ja tangentti t samaan koordinaatistoon. f) Osoita, että F( x) (2x 1) e x on funktion f integraalifunktio. g) Laske sen alueen pinta-ala, jonka funktion f kuvaaja rajoittaa yhdessä koordinaattiakselien sekä suoran 1 x kanssa. Sivu 4/5
PITKÄ KYSYMYS B 2 TODENNÄKÖISYYS Sivu 1/1 Laukussa on 6 esinettä, joista jokainen on merkitty yhdellä kirjaimista A, B, C, D, E ja F. Kukin kirjain esiintyy vain kerran. a) Laukusta valitaan umpimähkään esine, siinä oleva kirjain kirjoitetaan muistiin ja esine palautetaan takaisin laukkuun. Tämä toimenpide toistetaan 3 kertaa. i. Laske todennäköisyys, että kirjaimet B, A, C saadaan tässä järjestyksessä. ii. Laske todennäköisyys, että nämä 3 kirjainta saadaan missä hyvänsä järjestyksessä. b) Suoritetaan seuraava koe: Laukusta otetaan yksi toisensa jälkeen 3 esinettä palauttamatta niitä takaisin laukkuun. i. Laske todennäköisyys, että kirjaimet B, A, C saadaan tässä järjestyksessä. ii. Tämä koe toistetaan 10 kertaa (jokaisen kerran jälkeen kaikki 3 esinettä palautetaan takaisin laukkuun). Laske todennäköisyys, että kirjaimet B, A, C saadaan tässä järjestyksessä ainakin kerran. Sivu 5/5