γ(t) = (1 t)u + tv, Ñ t [0, 1].

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å Ð Å Ð Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ã Ä ÅÁÄÂ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÑ ÓÒ ØÙØ ÐÑ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø º Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ ÓÒ ÒØ ¹ Ö Ð ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÓÒ ÝØÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ Ø Ñ Ø Ý ¹ Ø Ö Ó Ö ØØ Ò ÝØØ ÐÔÓ Ò Ú ØÓ ÓÒ Ñ Ö Ö Ò¹ Ø Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÙÒº È ÖÙ ÑÙÙÒÒÓ Ò Ø Ò ÓÒ Ý Ò ÖØ ¹ Ò Ò ÑÙÙÒÒ Ø Ò Ú Ö Ø Ø Ú Ò ÓÐ Ú ÓÒ ÐÑ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙÐРй ÔÓÑÑ Ò Ö Ø Ø Ú ÓÐÐÓ Ò ÙÙ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò ÒØ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙÐÐ ÑÙÙÒØ Ø Ò Ð ÙÔ Ö Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù º ÌÙØ ÐÑ Ø ØÒ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ØÖ Ñ¹ ÑØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ØÙÐÓ Ø ÑÙÙÒÒÓ Ø Ó Òº à ÒÒÓ ØÙ Ò Ó Ø Ò ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ö ÑÑ Ø ÝØÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ ÓÐÐ ¹ ÙÙ Ø Ù Ò Ò Ö Ð ÐÐ Ú Ø Ò ÐÐ º Ò ÑÑ ÐÙÚÙ Ð Ø Ø Ò Ø Ö¹ Ú ØØ Ú Ø Ø ÓØ Ô ÒÓØÙ ÓÒ Ò Ñ ÒÓÑ Ò ÚÐ ØØ Ñ Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ú ÐÐ Ø ÓÖ ÐÐ º ÌÓÔÓÐÓ Ò ÓÑÔÐ Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ ¹ Ø Ø Ø ØÒ Ò ÐÙ Ò Ø ØÓ Ò Ú Ö Òº ÌÓ Ò Ò ÐÙ Ù ÐÓ ØØ Ú Ö Ò Ò ¹ Ò Ð Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ ÐÝÒº Ì ÐÙÚÙ Ø ØÒ ÑÙÙÒÒÓ ¹ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ØÖ ÑÑØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ò ÐÙ ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÐ ÑÙ Ø Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ º ÃÓÐÑ ÐÙ Ù ÓÑ Ø Ø Ò ÒØ ¹ ÐÐ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ ÐÙÚÙÒ ÙÐÙ ÐÙ ÐÐ Ø ØÒ ÑÓÒ Ö Ø ÔÓ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð ÝØÑ º ËÙÙÖ Ò Ó Ò ÐÙÚÙ Ø ÑÙÓ Ó Ø ÒØ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ú Ò Ó Ø Ñ Ò Ò Ó Ø ÖÚ ØØ Ú ÓÙÖ Ö³Ò ÒØ Ö Ð Ó Ø Ò ÑÝ º Î Ñ Ò Ò ÐÙ Ù ØØ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÚ ÐÐÙ ØÓÓ Ý Ø Ò ÑÑ ÔÔ Ð Ø ØÝÒ Ø ÓÖ Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ñ Ö ¹ Ò ÚÙÐÐ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÝØØ Ñ Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ñ Ø º ÈÐ Ø ¹ Ò ØÙØ ÐÑ ÓÒ ÝØ ØØÝ Àº º ÈÖ ØÐ ÝÒ Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ú Ò ØÓ ØÙ ÒÓÙ ØØ Ð Åº º ËÑ Ø Ò Ö¹ Ä ÔÐ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ì ÓÖݺ Ò Ø ÓÑÔÐ Ò ÐÝÝ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ

Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ Ì ÖÚ ØØ Ú Ø ØÓ ¾ ¾ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ¾º½ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Ä ÔÐ Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ½ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ º½ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÁÒØ Ö Ð Ý ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ö Ò Ý ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Î ØØ Ø

ÂÓ ÒØÓ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ö ÒÒ ÐÐ ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò¹ Ø Ö Ð ÑÙÙÒÒÓ º ÆÑ ÑÙÙÒÒÓ Ø ÓÚ Ø Ò ÝÚ Ò Ð ÐÐ ØÓ Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ö ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ö ¹ Ó Ø Ô Ù º Ì ØÙØ ÐÑ Ø ØÒ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØÖ ÑÑØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ò ÐÙ ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ Ò Ý ÝÐÐ ÝÝØØ ÝØØ º Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ö ØØ Ò ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò ÑÓÒ Ý Ò Ñ ¹ Ø Ñ Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ º ÅÙÙÒÒÓ Ý Ò ÖØ Ø Ñ Ö Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù º Á ÑÙÙÒÒÓ Ò Ñ Ò ØÝ Ò Ø Ò ÓÒ Ý Ò Ö¹ Ø Ò Ò ÑÙÙÒÒ Ø Ò Ö Ø Ø Ú Ò ÓÐ Ú Ý ØÐ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙй Ð ÐÔÓÑÑ Ò Ö Ø Ø Ú Ý ØÐ Ö Ø Ø Ò ÓÐÐÓ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ð¹ Ð ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ø Ö Ø ÙÙÒ Ò Ú Ø Ù Ð ÙÔ Ö Ò ÓÒ ÐÑ Òº Ì ØÙØ ÐÑ ØÝØÒ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ø ÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¹ Ò Ú Ò ÐÙÚÙ Ý Ò ÐÝ Ý Ø Ñ Ö Ò ÙØØ ÐÔ Ä ÔÐ ¹ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ ÓÐÐ ÙÙ º ËÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ØØ ÐÝ ÓÒ Ñ Ð ÒÔ ÚÐع ØÑØ ÒØ ÙÒ ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÝÚ Ò ÝØÒÒ ÒÐ ¹ Ò ÐÙÓÒØ Òº ÄÙ ÐØ ÐÐÝØ ØÒ ØÓÔÓÐÓ Ò ÓÑÔÐ Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ØÙÒ¹ Ø Ñ Ø Ú ÓØ Ò Ø ÓÒ ÒÒ ÐØ Ø Ñ Ö ÒÒØ Ø ÐÐÒ Ò ÔÔ Ð ½ Ò Ò ÑÓÒ Ø ÝÐ Ø Ú ÒØÙÒ Ø Ñ Ö ÒÒØ Ø ØÒ ÐÙ Ò Ø ØÓ Ò Ú Ö Òº ÈÐ Ø Ò ØÙØ ÐÑ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÈÖ ØÐ ÝÒ Ö ÁÒع ÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ º ÄÙÚÙ ½ Ø ØÒ ÐÝ Ý Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑØ Ð Ù Ø Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ØØ ÐÝ º Ë Ò ØÝØÒ Ö ØÝ Ø Ò Ò ØÙÐÓ Ø Ò ØØ ÐÝÝÒ ÓØ Ñ ÓÐÐ Ø ÔÙØÓ Ú Ø ÓÑÔÐ ¹ Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ ÙÖ Ò ØÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò Ô Ö Ò ÚÐ Òº ÄÙ Ù ¾ ÓÑ Ø Ø Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ ÐÝÐÐ º Ë ÐÓ Ø Ø Ò ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑÐÐ ÔÓ ÒÒ ÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ä ÔÐ ¹ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÓÐ Ñ º ÄÙÚÙÒ ÐÓÔÙ Ý Ò ÐÔ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØÖ¹ ÑÔ ÓÑ Ò ÙÙ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ò Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ º Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ ÐÝÒ Ð Ò ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ø ÐÐ ÒØ Ò Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÙØ Ò Ø Ò ÑÝ Ø º ÄÙÚÙ Ô Ò Ù ÙØ Ò Ö Ð ¹ Ò ÒÓ Ò Ó Ò ÚÙÐÐ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ð ÝØ Ú Ø Ù Ð ÙÔ Ö Ò ÓÒ¹ ÐÑ Ò ÙÒ ÑÙÙÒÒÓ Ò Ö Ø Ù Ø ØÒº ÃÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ú Ò Ó ¹ Ø Ñ Ò Ò ÑÙÓ Ó Ø Ò ÓÐ ÒÒ Ò Ó Ò ÐÙÚÙÒ Ó ÓÒ ÙÙ Ø º Î Ñ ÐÙÚÙ Ð ÐÙÚÙ ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÐÐ ÔÔ Ð Ø Ð¹ ØÝ Ø ÓÖ Ú Ö Ò Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø ÙÙÒ ÐÙ Ù Ø Ò Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÝØØ ÐÔÓ ÙÙØØ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù º ÄÙÚÙÒ Ñ Ö Ø ÓÚ Ø ÔÙ Ø Ø Ñ Ø Ñ ØØ ÑÙØØ Ù Ø Ò Ò Ñ Ö Ý Ð Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø ÙÑ Ò ØØ ÐÝ ÓÐ ÒÒ ¹ Ø ÖÓ ÐÙÚÙÒ Ñ Ö Øº ½

½ Ì ÖÚ ØØ Ú Ø ØÓ Ä ÙÖ ÒØ Ò Ø ÐÑÐÐ ÓÒ Ò Ò Ñ Ö ØÝ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÒÒ ÐØ ÓØ Ò ÐÓ Ø Ø Ò Ò ØØ ÐÝÐк Ä Ù ½º½ Ä ÙÖ ÒØ Ò Ø Ðѵº ÇÐ ÓÓÒ A = {z C : R < z < S} Ñ R < S ÓÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó f ÓÐÓÑÓÖ Ò Ò ÓÙ Ó Aº Å Ö ØÒ Ø Ó f H(A)º ÌÐÐ Ò f(z) = c n (z ) n n= (z A), Ñ c n = 1 2πi γ f(w) dw, (w ) n+1 ÙÒ γ ÓÒ ÔÓÐ Ù Ó ÑÙÓ Ó ØÙÙ ¹ Ô Ø Ø r¹ Ø Ø ÝÑÔÝÖ Øº Å Ö ØÒ ØÐÐ Ò γ = γ(;r) (R < r < S)º Ä γ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ø Ò ÙÐ ÙØÙÚ ÔÓÐ Ù Ó ÓÒ ÓÑÓØÓÓÔÔ Ò Ò ÝÑÔÝÖ Ò γ(;r) Ò º ÌÓ ØÙ º à º º ½ º ÙÒ Ø ÓÒ Ä ÙÖ ÒØ Ò Ø ÐÑ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ ½º½º ÙÒ Ø ÓÐÐ f(z) = h(z)/k(z) ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù m ÓÐ Ú Ò Ô Ô Ø Ó Ð ÝØÝÝ ÐÐ Ò Ò r > ØØ i) ÙÒ Ø ÓØ h k ÓÚ Ø ÓÐÓÑÓÖ r¹ Ø Ó ÓÒ Ô Ø ÓÒ Ð h,k H(D(;r)) ii) h() iii) ÙÒ Ø ÓÐÐ k ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù m ÓÐ Ú ÒÓÐÐ Ó Ø Ô Ø Ð k() = k () =... = k (m 1) () = k m () k(z) = (z ) m g(z) Ñ g ÓÒ ÓÐÓÑÓÖ Ò Ò ÔÙ ØÙ ¹ Ô Ø r¹ Ø Ó Ñ Ö ØÒ g H(D (;r))µ g() º ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù m ÓÐ Ú Ò Ô Ô Ø º Æ Ô ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò Ó m = 1 ÑÙÙØ Ò ÓÒ ÑÓÒ Ò¹ ÖØ Ò Òº Æ Ô ÓÒ Ò ÝÚ Ò Ðº ÓÚ Öص Ó ÓÒ ÚÐ ØØ Ñ Ø Ò ØÚ ÙÒ Ø Ó Ø fº ÌÐÐ Ò f(z) = (z ) m g(z) Ñ g H(D (;r)) ÓÐÐ Ò r > g() º ÅÙÙØÓ Ò Ò Ô ÓÒ Ô ÐÓØ ØØÙ Ò Ðº ÓÚ Öصº ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÈÓÐ Ù ÓÒ ÙÚ ÓÒ Ô Ø Ø u Ô Ø Ò v ÙÐ Ú Ò Ñ u,v C ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø ÓÒ γ(t) = (1 t)u + tv, Ñ t [, 1]. ¾

Â Ò ÐÐ ÙÙÐÙÚ Ø Ô Ø Ø ÚÓ Ò ÔÙÓÐ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÙ ÓÒ γ (t) = {γ(t) t [, 1]}. Ë ÑÓ Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ø Ò Ø Ú Ø ÙÙÒÒ Ø ØØÙ ÝÑÔÝÖÒ Ö ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ γ(t) = + re it, t [θ 1,θ 2 ] ÚÙÐÐ ÙÒ C r > θ 1 θ 2 2πº Ã Ö ÐÐ ÙÙÐÙÚ Ø Ô Ø Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÙ ÓÒ γ (t) = {γ(t) t [θ 1,θ 2 ]}. Ã Ö ÑÓÒ ÙÐÑ Ó Ò Ðº ÓÒØÓÙÖµ ÓÒ Ö ÐÐ Ò ÑÓÒ Ø ÐÐÑ Ò ØÙÒ ØÝÝÔ¹ Ô Ø ÔÓÐÙ Ø ÓÓ ØÙÚ Ý Ò ÖØ Ò Ò ÙÑÔ Ò Ò Ò ÔÓÐ Ùº ÔÙÐ Ù ½º¾ º º ¾½½ µº ÇÐ ÓÓÒ γ ÔÓ Ø Ú Ø ÙÙÒÒ Ø ØØÙ Ö ÑÓ¹ Ò ÙÐÑ Óº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÓÐÓÑÓÖ Ò Ò Ö ÑÓÒ ÙÐÑ ÓÒ γ Ô Ø ØØ ÝÖÐÐ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ Ô Ø ØØ Ñ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù m ÓÐ Ú Ò Ô º ÇÐ ÓÓÒ f(z) = n= m c n (z ) n ÙÒ Ø ÓÒ f Ä ÙÖ ÒØ Ò Ø ÐÑ Ô Ø Ò ÝÑÔÖ Ø º ÌÐÐ Ò f(z)dz = 2πic 1. γ ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò ½º½ ÑÙ Ò c n = 1 2πi γ f(w) dw, (w ) n+1 ÓÐÐÓ Ò Ñ Ø ÙÖ Ú Ø º c 1 = 1 2πi γ f(w)dw, ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÓÐÓÑÓÖ Ò Ò Ô Ø Ò ÔÙ ¹ ØÙ ÝÑÔÖ Ø º ÇÐ Ø Ø Ò Ú Ð ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ Ò Ô Ô Ø º ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ä ÙÖ ÒØ Ò Ø ÐÑÒ ÔÓØ Ò Ò (z ) 1 ÖÖÓ Ò c 1 ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f Ö Ý Ô Ø Ñ Ö ØÒ res{f(z);}µº

Ä Ù ½º Ö ÝÐ Ù µº ÇÐ ÓÓÒ f ÓÐÓÑÓÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø ÙÙÒÒ Ø ØÙÒ Ö ÑÓÒ ÙÐÑ ÓÒ γ ÝÖÐÐ Ô Ø ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ Ö ÑÓÒ Ùй Ñ ÓÒ γ Ô Ø Ò ÙÙÐÙÚ Ö ÐÐ Ø ÑÖ ÓÐ Ú Ò ÔÓ 1,..., N º ÌÐÐ Ò N f(z)dz = 2πi res{f(z); k }. ÌÓ ØÙ º à º º ¾½½ º γ k=1 ÇÐ ÒÒ Ò Ò Ó Ö ÝÐ Ù Ò ÝØØ ÓÒ Ö ÝÒ Ð Ñ Ò Ò Ó ÓÒ Ô ¹ Ò Ù ÙØ Ò ÙÖ Ú º Ê ÝÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø ÚÓ Ò Ø ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ä ÙÖ ÒØ Ò Ø ÐÑ Ò Ú Ò ÝÑÔÖ Ø ÓÐÐÓ Ò ÖÖÓ Ò c 1 ÓÒ Ý Ò Ò Ö Ý ÑÙØØ Ð Ñ Ø Ù Ø Ò Ò ÐÔÓØØ ÙÙÖ Ø ÙÖ Ú ØÙÐÓ º Ä Ù ½º Ö ÝÒ Ð Ñ Ò Ò Ý Ò ÖØ Ò Ú µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f H(D(;r)) ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò Ò Ô Ô Ø º ÌÐÐ Ò i) ÙÒ Ø ÓÒ f(z) = g(z)/(z ) Ö Ý Ò ÝÚ Ý Ò ÖØ Ò Ú ÓÒ res{f(z);} = g() ii) ÙÒ Ø ÓÒ f(z) = h(z)/k(z) Ö Ý Ô ÐÓØ ØÙ Ý Ò ÖØ Ò Ú ¹ ÓÒ res{f(z);} = h()/k () ÙÒ h,k H(D(;r)) h() k() = k () º ÌÓ ØÙ ÚÖغ º ¾½ µº Ã Ö Ó Ø Ø Ò f(z) ÑÙÓ Ó n= 1 c n(z ) n ¹ Ó D (;r)º ÌÐÐ Ò lim z f(z) = c 1 /(z ) + c Ð ½º½µ res{f(z); } = lim z (z )f(z). ÆÝØ Ó µ ÙÒ Ø Ó f(z) = g(z)/(z ) ÓÐÐÓ Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ Ý Ø¹ Ð Ò ½º½ Ò Ú Ø ØØÝ ØÙÐÓ º Ë ÑÓ Ò Ó Ò µ ØÙÐÓ Ò Ó ØØ Ñ Ð¹ Ð f(z) = h(z)/k(z) Ý ØÐ Ò ½º½ ÓÐÐÓ Ò res{f(z);} = lim z (z ) h(z) k(z) z = h() lim z k(z) k() = h() k (z). ÙÒ Ø Ó k(z) Ø Ò ÓÖÚ Ø ÖÓØÙ ÐÐ k(z) k() ÐÐ lim z k(z) = = = lim z k(z) lim z k() = lim z (k(z) k())º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÖØ ÐÙ Ù m > 1 ÓÐ Ú Ò ÝÚ Ò Ô Ô Ø º Ë f(z) = g(z)/(z ) m Ñ g H(D(;r)) g() º ÌÐÐ Ò res{f(z);} = 1 (m 1)! g(m 1) ().

ÌÓ ØÙ ÚÖغ º ¾½ µº Ù ÝÒ ÒØ Ö Ð Ú Ò ÝÐ ØÝ Ò º ½ ÑÙ Ò g (m 1) (m 1)! g(z) () = 2πi (z ) dz m = (m 1)! 2πi γ(;r/2) γ(;r/2) f(z)dz (m 1)! = 2πic 1 2πi = res{f(z);}(m 1)!. Ê ÝÒ Ð Ñ Ô ÐÓØ ØÙ ÑÓÒ Ò ÖØ Ò Ú ÓÐ ÓÐ Ñ ¹ Ð Ú Ú Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø Ó ØÙÐ ØØ Ò Ú Ò ÝÑÔÖ Ø Ä ÙÖ ÒØ Ò Ø ÐÑ Ø ØØ Ò ÙÒ Ø Ó Ô Ø Ú ÒØ Ø Ò ØØ Ò Ô ÑÙÙÒØÙÙ Ò ÝÚ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º Ê Ð ÚÐ ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÑÔÐ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ð Ò Ðº ÑÓÓØ µ Ó ÐÐ ÓÒ Ø ÙÚ Ö Ú ØØ Ò ÑÖ ØØ ÐÝÚÐ Ðк ÐÐ Ò ÙÒ ¹ Ø Ó f ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð Ò Ðº Ô Û ÑÓÓØ µ Ó ÙÒ Ø ÓØ f f ÓÚ Ø Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ Ó ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝÚÐ Ò ÙÐ ØÙÐÐ Ö Ó Ø ØÙй Ð Ó ÚÐ Ðк

¾ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ö ÒØ Ö Ð ÑÙÙÒÒÓ º ÁÒØ Ö Ð ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ ÓÒ ÑÓ¹ Ò Ý Ò ÓÚ ÐÐÙ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÐ ÔÓ Ù º È ÖÖ ¹Ë ÑÓÒ Ä ÔÐ ÓÐ ÒÒÓ ØÙÒÙØ ØØÑÒ Ñ Ø Ñ ØØ ØÝ ÐÙ Ý Ò ÓÒ¹ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ø Ò Ø ÓÖ Ò ÑÝ Ä ÔÐ ¹ ÑÙÙÒÒÓ ÓÔ ÝÚ Òº ÅÙÙÒÒÓ Ò ÓÒ ØØ Ú Ö Ø Ø Ú Ò ÓÐ Ú ÓÒ ÐÑ ÑÙÙÒÒ Ø Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙÐÐ ÐÔÓÑÑ Ò Ö Ø Ø Ú ÓÒ ÐÑ º ÃÙÒ ÓÒ ØÙ Ö Ø Ù Ø Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÓ Ò ÒØ Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙÐÐ Ð ÝØ Ú Ø Ù Ð ÙÔ Ö Ò ÓÒ ÐÑ Òº Ì ¹ ÐÙÚÙ ØÝØÒ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò ÙÒ Ø ÒØ Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø ØÒ ÙÖ Ú Ò ÐÙÚÙÒ Ô Ö Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º ÇÐ ÓÓÒ f ÓÑÔÐ ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÑÙÙØØÙ Ò t ÖÚÓ ÐÐ [, )º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ L[f(t)] = f(t)e pt dt = F(p), ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÙÒ p C Ó ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÐ Ñ º Ì Ð ÒØ Ø Ö ÔÔÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ÑÙÙÒÒÓ Ø ÓÒ Ù Ò Ð ÑÔ Ýع Ø Ñ Ö ÒØ L[f(t)] Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ó Ò Ñ Ö ÒÒÒ (Lf)(t) Òº ̹ ÑÒ ÚÙÓ Ø ØÙØ ÐÑ ÐÐ Ø Ò ÈÖ ØÐ ÝÒ º ¾ Ø Ô Ò Ô ÓÖ¹ Ö Ø Ñ Ö ÒØ L[f(t)]º ÅÖ Ø ÐÑ ÑÙÙÒÒ ØØ Ú ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò t ÙÒ Ø Ó Ó¹ ÑÙÙÒÒ Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò p ÙÒ Ø Ó Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙÐÐ º ÌÙع ÐÑ ØÙÐÐ Ò ÒÓÙ ØØ Ñ Ò ØÑÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ Ñ Ö ÒØØ Ô ÓÐÐÓ Ò ÑÙÙÒÒ ØØ Ú ÙÒ Ø ÓØ Ñ Ö ØÒ Ô Ò ÐÐ Ö Ñ ÐÐ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø ÔÙÓÐ Ø Ò Ú Ø Ú ÐÐ ÙÙÖ ÐÐ Ö Ñ ÐÐ º Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÔÓ ÚÓ Ò ÓØØ Ó Ó Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ä ¹ Ù Ò ÒØ Ö Ð º Ë ÑÝ ÔÓÐ ÐÐ Ò Ê Ñ ÒÒ Ò ÒØ Ö Ð Ò ÓÒ ÓÐØ Ú ÓÐ ¹ Ñ ØÙÐÓ ÙÒ Ø ÓÐÐ f(t)e pt ÓØØ ÙÒ Ø ÓÒ f(t) Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÐ ÓÐ ¹ Ñ º Ì ØÙØ ÐÑ ÒØ Ö Ð Ø Ö Ó ØØ Ê Ñ ÒÒ Ò ÒØ Ö Ð ÑÙØØ ÑÓ Ò ØÙÐÓ Ò Ô ØÒ ÑÝ Ä Ù Ò ÒØ Ö Ð Ò ÚÙÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ú Ò Ô ÖÙ Ø ÐÙØ ÖÓ Ú Ø Ñ Òº Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÑÙÙØØÙ Ò p ÚÓ Ò ÑÝ ÑÖ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ö ¹ Ð ÐÙ Ù ÑÙØØ ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ð ÒØ Ñ ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÒ ØÙÒ Ò¹ Ø ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð ÝØÑ Ò ÐÔÓØØÙÑ Ò Ò Ð ÓÑÔÐ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ñ Ð ÑÔ ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÒÒ ÐØ º ½ ½ ÓØ Ò Ø ØÙØ ÐÑ ØÙÐÐ Ò ØØÝÑÒ ÒÓ Ø Ò ÓÑÔÐ Ò ÑÙÙÒÒÓ Òº

¾º½ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ø Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÓÐ Ñ Ò ÙÒ ÔÓÐ ÐÐ Ò Ò Ê Ñ ÒÒ Ò ÒØ Ö Ð R lim R f(t)e pt dt ÓÒ ÓÐ Ñ Ð ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò ½ º ¾ º Ë ÙÖ Ú Ð Ù ØØ ØÙÐÓ Ò ÓÒ ÑÙ Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ Ò ÙÒ Ø ØÝØ ÓÐ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÚÓ Ñ º Ä Ù ¾º½ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓµº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ i) ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ ÚÐ ÐÐ [, ) ii) ÙÒ Ø Ó f ØÓØ ÙØØ ÓÒ f(t) Me αt t T, Ñ M T ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ú Ó Ø α Rº ÌÐÐ Ò ÒØ Ö Ð F(p) = f(t)e pt dt ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Re p > αº ÌÓ ØÙ ÚÖغ ½ º ¾ ¾ µº ÇÐ ØÙ Ø µ ÙÖ ØØ f(t)e pt dt f(t)e pt dt = f(t) e Re pt dt M Î Ñ Ò Ò ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Re p α > Ð Rep > αº e (Re p α)t dt. Ë Ð Ù Ò ¾º½ ÓÐ ØÙ Ø ÓÚ Ø Ö ØØÚ ØÓ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÐ Ñ ¹ ÓÐÓÐÐ º ÅÙÙÒÒÓ ÓÒ ÓÐ Ñ Ð ÑÙÙÒÒÓ ÓÐ Ú ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò Ñ Ð Ó Ù Ò ÐÐ ÒØ Ö Ð ÓÐ Ú ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ú Ò ÝÚ Ò ÒÓ¹ Ô Ø ÙÒ t º Å Ð Ù Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ó f Ú Ö ØØ Ò ÒÓÔ Ø ÙØ Ò Ñ Ö e et ÐÐ ÓÐ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø º ¾ º ¾º¾ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ ÑÙÙØ Ñ Ò ÝÐ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ º Ñ Ö ¾º½ ÚÖغ º ¾ Ø Øº ½ º ¾ Ѻ ½¾º½ µº Ç Ó Ø Ø Ò ØØ L[1] = 1/pº ÃÙÒ lim R e pr = Ð Rep > Ò Ò L[1] = = 1 p = 1 p. 1e pt dt = 1 p lim R ( ) lim R e pr e / R e pt = 1 ( 1) p

Ñ Ö ¾º¾ ÚÖغ º ¾ Ø Øº µº Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ØØ L[t n ] = n!/p n+1 Ñ n = 1, 2,...º 1 ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ n = 1 ÓÐÐÓ Ò L[t] = te pt dt. ÃÙÒ ÒÝØ Ñ Ö ØÒ u = e pt v = t ÓÐÐÓ Ò u = 1 p e pt v = 1 Ò Ò Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒÒ Ò ÑÙ Ò u v dt = uv uv dt. Ë te pt dt = / t p e pt 1 p e pt dt = 1 ( ) lim p R Re pr + / 1 p 2e pt = 1 p lim R Re pr 1 p 2 lim R e pr + 1 p 2. ÆÝØ ÙÒ R Ò Ò e pr Ó Rep > º Ë ÑÓ Ò Re pr ÙÒ Re p > Ñ ÓÒ ØÓ Ø ØØ Ú Ä³ÀÓ Ô Ø Ð Ò ÒÒ Ò ( / ) ÚÙÐÐ º Ë L[t] = 1/p 2 ½ º ¾ º 2 Ì Ò Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ n = k ÓÐÐÓ Ò L[t k ] = k!/p k+1 º ÌÓ Ø Ø Ò ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ n = k + 1º ÌÐÐ Ò L[t k+1 ] = t k+1 e pt dt. Ê Ø Ø Ò ÒØ Ö Ð Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒÒ Ò ÚÙÐÐ º ÌÐÐ Ò ÙÒ u = e pt v = t k+1 Ð u = 1 p e pt v = (k + 1)t k Ò Ò t k+1 e pt dt = 1 p / t k+1 e pt + k + 1 p t k e pt dt = 1 p lim R Rk+1 e pr + k + 1 p L[tk ]. ÆÝØ R k+1 e pr ÙÒ R Rep > Ñ ÓÒ ØÓ Ø ØØ Ú Ä³ÀÓ Ô Ø Ð Ò ÒÒ Ò ( / ) ÚÙÐÐ º ÃÝØØ Ò Ð Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø Ò L[t k+1 ] = k + 1 p k! k + 1! = pk+1 p. (k+1)+1

3 Î Ø ÙÖ Ò Ù Ø ÓÔ Ö ØØ Ø º Ñ Ö ¾º ÚÖغ º ¾ Ø Øº ½ º ¾ Ѻ ½¾º¾ µº Ø ØÒ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ y = e t Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÙÒ Cº Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø Ð¹ ÑÒ ÑÙ Ò L[e t ] = e t e pt dt = e (+p)t dt. Î Ñ Ò Ò ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò ÙÒ Re ( + p) > Ð Rep > Re ÓÐÐÓ Ò ÚÖغ Ѻ ¾º½µ L[e t ] = 1 + p. Ñ Ö ¾º ÚÖغ º ¾ Ø Øº µº Ø ØÒ ÙÒ Ø ÓÒ y = cos wt Ä ÔÐ ¹ ÑÙÙÒÒÓ ÙÒ w Cº ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÙÐ Ö Ò Ú º ½ ¹ Ñ Ö ¾º½ ÝØØ Ò Ò L[cos wt] = = 1 2 = cos wt e pt dt = 1 2 e (p iw)t dt + p + iw + p iw 2(p iw)(p + iw) = p p 2 + w 2. (e iwt + e iwt )e pt dt e (p+iw)t dt = 1 2 ( 1 p iw + 1 ) p + iw ÅÙÙÒÒÓ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó ÑÓÐ ÑÔ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÒØ Ö Ð Ø ÙÔ¹ Ô Ò Ú Øº ÁÒØ Ö Ð e (p iw)t dt ÙÔÔ Ò Ó Re (p iw) > Ð Re p > Re (irew + i 2 Im w)º ÌÐÐ Ò Re p > Im wº Ë ÑÓ Ò e (p+iw)t dt ÙÔÔ Ò Ó Rep > Im wº ØÑÐÐ ÒÑ ØÓ Ò ØÓ Rep > Im w ÙÒ Ø ÓÒ y = cos wt Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓÐÐ º ÅÙ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò Ñ Ö Ò ¾º ÑÙ Ø º Ñ Ö ¾º ÚÖغ º ¾ µº ÙÒ Ø ÓÒ y = sinwt Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ L[sin wt] = w p 2 + w 2, ÙÒ Re p > Im w º

¾º Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ä Ù ¾º¾ º º ¾ µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÓÚ Ø ÓÐ Ñ º ÌÐÐ Ò 1) L[f(t) + bf(t)] = L[f(t)] + L[bf(t)] Ñ,b C 2) L[f(t/)] = F(p) 3) L[e t f(t)] = F(p + ) 4) L[f(t )H(t )] = e p F(p) Ñ H ÓÒ À Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø Ò ØØ H(t) = ÙÒ t < H(t) = 1 ÙÒ t º ÌÓ ØÙ º ÂÓ Ø Ò Ó Ò Ò Ð Ù Ò ¾º¾ Ó Ø Ö Òº 1) Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð Ò Ö ÙÙ ÙÖ ÙÓÖ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ð Ò Ö ¹ ÙÙ Ø ÓÐÐÓ Ò L[f(t) + bf(t)] = (f(t) + bf(t))dt = f(t)dt + b f(t)dt = L[f(t)] + L[f(t)], ÙÒ,b Cº 2) Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ì Ò Ó ØÙ u = t/ ÓÐÐÓ Ò L[f(t/)] = f(t/)e pt dt. f(t/)e pt dt = f(u)e pu du = F(p). ÎÖغ ½ º ¾ º 3) ËÙÓÖ Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò L[e t f(t)] = f(t)e t e pt dt = f(t)e (+p)t dt = F(p + ). ÎÖغ ½ º ¾ º ½¼

4) ÐÙ Ò L[f(t )H(t )] = f(t )H(t )e pt dt = f(t )e pt dt. Ì Ò Ó ØÙ u = t ÓÐÐÓ Ò f(t )e pt dt = f(u)e pu p du = e p f(u)e pu du = e p F(p). Ë Ú Ø ØÓ Ø ØØÙº ÎÖغ ½ º ¾ º Ñ Ö ¾º ÚÖغ º ¾ Ø Øº µº ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ ØØ L[(1 e αt ) n ] = n!α n p(p + α)...(p + nα) (n =, 1, 2,...). Ë Ð Ø Ú Ø ÔØ ÙÒ n = ÐÐ L[1] = 1/pº 1 ÌÓ Ø Ø Ò ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ n = 1º ÅÙÙÒÒÓ Ò Ð Ò Ö ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ L[1 e αt ] = L[1] L[e αt ] = 1 p 1 p + α = Ë Ú Ø ÔØ ÙÒ n = 1º 2 Ì Ò Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ n = k Ð L[(1 e αt ) k ] = k!α k p(p + α)...(p + kα). α p(p + α). ÌÓ Ø Ø Ò ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ n = k + 1º Ä Ò Ö ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ L[(1 e αt ) k+1 ] = L[(1 e αt ) k ] L[e αt (1 e αt ) k ], Ó Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø Ð Ù ØØ ¾º¾ µ ÝØØ Ò Ò ÑÙÓØÓÓÒ k!α k p(p + α)...(p + kα) k!α k (p + α)((p + α) + α)...((p + α) + kα) = k!αk (p + (k + 1)α) k!α k p p(p + α)...(p + (k + 1)α) = (k + 1)!α k+1 p(p + α)...(p + (k + 1)α), ÓÐÐÓ Ò ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ n = k + 1º 3 Î Ø ÙÖ Ò Ù Ø ÓÔ Ö ØØ Ø º ½½

ÂÓØ Ò ÑÙÙÒÒ ØØ Ú Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÓÚ Ø ÓÐÐ ÓÐÐÓ Ò f(t) = f(t+t) Ñ T ÓÒ ÓÒ Ô ØÙÙ º ÌÐÐ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÙÙÒØ Ñ ÓÒ ÔÙÒ ÙÖ Ú ØÙÐÓ º Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ f ÚÐ ÐÐ [, ) ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ¹ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ T º ÇÐ Ø Ø Ò Ú Ð ØØ ÙÒ Ø ÓÒ f Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ ÙÒ Rep > º ÌÐÐ Ò F(p) = 1 1 e pt T f(t)e pt dt. ÌÓ ØÙ ÚÖغ º ¾ Ø Øº ½ º ¾ µº ÌÙØ Ø Ò ÙÒ Ø ÓØ φ Ó Ö ¹ Ó ØØ ÙÒ Ø ÓÒ f Ú Ò Ý Ø Ò ÓÓÒº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó φ ÙÖ ¹ Ú Ø { f(t) ÙÒ t < T φ(t) = ÑÙÙ ÐÐ º ÃÝØØ Ò ÝÚ À Ú Ò ÙÒ Ø ÓØ ÚÓ Ò φ Ö Ó ØØ ÑÝ ÑÙÓ Ó φ(t) = f(t) H(t T)f(t T)º ÆÝØ ÙÒ Ø ÓÒ φ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Φ ÓÒ ÓÐ Ñ Ò ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ f ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÐÐÓ Ò ¾º½µ Φ(p) = F(p) e pt F(p) = (1 e pt )F(p), Ó Ò ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ð Ù Ò ¾º¾ ØÙÐÓ Ø º ÆÝØ Rep > ÓØ Ò e pt < 1 Ñ Ø Ø ÙÖ ØØ 1 e pt > º ØÐ ¾º½ ÚÓ Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò ÖÓØÙ ÐÐ 1 e pt Ñ Ø ÙÖ Ú Ø ÙÒ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Φ(p) = φ(t)e pt dt = T φ(t)e pt dt + φ(t)e pt dt = T f(t)e pt dt. T Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ ØÓ Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ó ÓÒ ÚÐØØÑØ Ò ØÝ ÐÙ ÑÙÙÒÒÓ Ø ÝØ ØØ º ÅÝ ÑÑ Ò ÐÙ¹ ÚÙ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ø Ò ØÙÐÓ Ò ÝØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø Ö Ø ¹ Ø º Ä Ù ¾º ÚÖغ º ¾ µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ µ ÙÒ Ø ÓØ f,...,f (n) ÓÚ Ø ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó Ò f,f,...,f (n) Ä ÔÐ ¹ ÑÙÙÒÒÓ Ø ÓÚ Ø ÓÐ Ñ µ ÙÒ Ø Ó f (n) ÓÒ Ø ÙÚ ÚÐ ÐÐ [, ) µ f (k) (t)e pt ÙÒ t k = 1,...,n 1 ½¾

Ñ n Zº ÌÐÐ Ò L[f (n) (t)] = p n F(p) ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ º n p n i f (i 1) (). 1 ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ n = 1º Ç ØØ ÒØ ÖÓ ÒØ ÝØØ Ò i=1 L[f (t)] = f (t)e pt dt ÎÖغ º ½½ º = / f(t)e pt + p f(t)e pt dt = f() + pf(p) 1 = p 1 F(p) p 1 i f (i 1) (). i=1 2 Ì Ò Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ n = k Ð k L[f (k) (t)] = p k F(p) p k i f (i 1) (). ÌÓ Ø Ø Ò ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ n = k + 1º Å Ö ØÒ u = f (k+1) (t) v = e pt ÓÐÐÓ Ò u = f (k) (t) v = pe pt º Ç ØØ ÒØ ÖÓ ÒÒ Ò Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò ÚÙÐÐ L[f (k+1) (t)] = = / f (k+1) (t)e pt dt i=1 f (k) (t)e pt + p f (k) (t)e pt dt = lim R f(k) (R)e pr f (k) () [ ] k + p p k F(p) p k i f (i 1) () = p k+1 F(p) i=1 k p (k+1) i f (i 1) () f (k) () i=1 k+1 = p k+1 F(p) p (k+1) i f (i 1) (), i=1 ½

ÓÐ ØØ Ò ØØ ÓÐ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÚÓ Ñ º 3 Î Ø ÔØ Ò Ù Ø ÓÔ Ö ØØ Ò ÑÙ Ø º Ä Ù ¾º Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ö Ú ØØ º ¾ µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ y = F(p) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÙÒ Re p > º ÌÐÐ Ò F ÓÒ ÓÐÓÑÓÖ¹ Ò Ò ÙÒ Rep > d k dp kf(p) = ( 1)k L[t k f(t)], Ñ k Nº ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ º 1 ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ k = 1º ÇÐ ÓÓÒ p ÐÐ Ò Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù ØØ Rep > c Ñ Ö ØÒ Re p c = 2λº ÇÐ ÓÓÒ ÐÐ Ò h ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù ØØ h < λ ÓÐÐÓ Ò Re (p + h) > c + λº ÌÐÐ Ò F(p + h) F(p) h + tf(t)e pt dt = f(t)e pt ( e ht 1 h ) + t Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÖÑ Ò e ht Ö Ø ÐÑ n= ( ht)n /n! Ò ( ) ( ht) n f(t)e pt n= 1 n! + t dt h = f(t)e pt ( ht) n n!h dt n=2 = f(t)e pt (ht) n n!h dt h h n=2 ( f(t)e pt t 2 h 2! + t3 h 2 3! f(t)e pt t 2 e t h dt f(t)e ct t 2 e λt dt. + t4 h 3 4! ) +... dt dt. Î Ñ Ò Ò ÒØ Ö Ð Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ ÙÒ h ÐÐ f(t)e ct ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ø t 2 e λt ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÚÐ ÐÐ [, )º Ë d/dp F(p) ÓÒ ÓÐ Ñ L[tf(t)] = d/dp F(p)º ÎÖغ º ¾ º ½

2 Ì Ò Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ k = n Ð d n dp nf(p) = ( 1)n L[t n f(t)]. ÌÓ Ø Ø Ò ØØ Ú Ø ÔØ ÙÒ k = n + 1 ÓÐÐÓ Ò Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø ÝØØ Ò Ò d n+1 d n dp n+1f(p) = d dp dp nf(p) = d dp ( 1)n L[t n f(t)] = ( 1) n d dp L[tn f(t)]. Å Ö ØÒ ØØ L[t n f(t)] = L[g(t)] = G(p)º ÃÓ Ò ½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ G(p) = L[tg(t)] ÓÐÐÓ Ò d dp ( 1) n d dp L[tn f(t)] = ( 1) n ( 1)L[t t n f(t)] = ( 1) n+1 L[t n+1 f(t)]. 3 Î Ø ÙÖ Ò Ù Ø ÓÔ Ö ØØ Ø º Ä Ù ¾º ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ f Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ F ÓÒ ÓÐ Ñ º ÌÐÐ Ò t L f(τ)dτ = F(p) p. ÌÓ ØÙ ÚÖغ º ½¾ µº ÆÝØ f(τ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÖ ØØ Ð Ù Ò ¾º ÑÙ Ò F(p) = L[f(τ)] = pl t f(τ)dτ t f(τ)dτ Ö Ú ØØ Ñ Ø f(τ)dτ = pl t f(τ)dτ. ÌÐÐ Ò L t f(τ)dτ = F(p) p. Ì ÐÙÚÙ ÓÒ Ø ÐØÝ Ñ Ö Ò ÝÐ ÑÔ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ä ÔÐ ¹ ÑÙÙÒÒÓ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÓ¹ Ó Ø ÙÙ ÑÙÙÒÒÓ Ó ØÙÒÒ ØØÙ Ø º Ë ÙÖ Ú ÔÔ Ð ØÙÐÐ Ò Ú ØØ Ñ Ò ØÓ ØÙÚ Ø Ò Ò ØÙÐÓ Ò Ð ÐÙÚÙÒ ¾º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÙÒÒ Ø¹ ØÙ ÑÙÙÒÒÓ ÝØ ØÒ ÙÙ ÐÐ Òº ÃÝØÒÒ Ö ÙÒ Ø Ó Ò Ä ÔÐ ¹ ÑÙÙÒÒÓ Ø ÓÒ ÓÐ Ñ Ð Ó Ø ÙÐÙ Ó Ø ÓÐÐÓ Ò Ø ØÒ Ô Ð ÓÒ Ø Ò Ø Ð Ù Ø º ½

Ä ÔÐ Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÝØ Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ ÓÐ ÒÒ Ø ÑÙ Ø ØØ Ô Ø ÑÝ ÚÓ Òغ ÌÐÐ Ò ÓÒ Ð Ý ØØÚ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f ØØ F(p) = L[f(t)] ÙÒ F(p) ØÙÒÒ Ø Òº À ÐÔÓ Ò Ø Ô ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø ØÙØ Ñ Ò¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ØÙÒÒ ØØÙ F(p) ÓÒ ÝØØÑÐÐ ÝÚ ØÙÒ¹ Ò ØØÙ ÑÙÙÒÒÓ º Ñ Ö Ø Ø Ð ÝØÝÝ ØÑÒ ÐÙÚÙÒ ÐÙ º ÌÑÒ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÝØØ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø ÓÚ Ø Ù Ø Ò Ò ÝÚ Ò Ö ÐÐ Ø ÓØ Ò ÐÓÔ¹ ÔÙÐÙÚÙ ØÝØÒ ÝÚÐÐ ÑÔ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÝØØ Òº Ñ Ö º½ ÚÖغ º ¾ Ø Øº µº Ø ØÒ ÙÒ Ø ÓÒ F(p) = (p(p + 1)(p + 2)) 1 ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÝØØ Ò Ó ÑÙÖØÓ Ø ÐѺ ÌÐÐ Ò 1 p(p + 1)(p + 2) = 1 2p 1 [ p + 1 + 1 1 2(p + 2) = L 2 e t + 1 ] 2 e 2t. Ë f(t) = 1 2 e t + 1 2 e 2t. Ñ Ö º¾ ÚÖغ ½ º ¼ Ø Øº ¾¾ µº Ø ØÒ ÙÒ Ø ÓÒ F(p) = (p 2 1) 2 ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÝØØ Ò Ó ÑÙÖØÓ Ø ÐÑ ÓÐÐÓ Ò 1 (p 2 1) = 1 2 (p + 1) 2 (p 1) = 1 2 4 1 p 1 + 1 1 4 (p 1) + 1 1 2 4 p + 1 + 1 1 4 (p + 1) 2. ÃÓ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ØÓ Ñ ØÙ ÚÓ Ò Ó Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ø Ö Òº ÃÝØØÑÐÐ Ð Ù Ò ¾º ØÙÐÓ Ø Ò Ø Ö¹ Ñ Ò (4(p 1) 2 ) 1 (4(p + 1) 2 ) 1 ÒØ ÑÙÙÒÒÓ 1 4 L[tet ] 1 4 L[te t ] Ú Ø Ú Ø º ÅÙ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÙÓÖ Ò Ñ Ö¹ Ò ¾º Ø ÚÓ Òº ÌÐÐ Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÚÓ Ò ÐÑ Ø ÑÙÓ Ó F(p) = 1 4 ( L[et ] + L[te t ] + L[e t ] + L[te t ]). Ë f(t) = 1 4 ( et + te t + e t + te t ). ÃÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð ÝØÑ Ø Ú ÖØ Ò ÚÓ Ò Ó Ø ÑÝ ÒØ Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ Ú º Ë Ò ØÓ Ø Ñ Ø ÖÚ Ø Ò Ù Ø Ò Ò ÓÙÖ Ö³Ò ÒØ Ö Ð ÓÒ ØÓ Ø Ñ ÔÙÓÐ Ø Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÙÖ Ú ÔÙÐ Ù Ø º ÔÙÐ Ù º½ Ê Ñ ÒÒ Ò Ä Ù Ò Ð ÑÑ µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Φ ÓÒ Ô ¹ ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó ÚÐ ÐÐ [,b]º ÌÐÐ Ò ÙÒ λ I 1 = b Φ(t) sin λt dt I 2 = b Φ(t) cos λt dt. ½

ÌÓ ØÙ ÚÖغ ¾ Ð ÐÙ Ù º º½ µº ÌÓ Ø Ø Ò Ò ÑÑ Ò Ò ØÙÐÓ ÓÐÐÓ Ò ØÓ ¹ Ò Ò ÚÓ Ò ØÓ Ø ÑÓ Òº ÃÝØ ØÒ ØÓ ØÙ Ñ Ö ÒØ I 1 = Iº ÌÓ ØÙ ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ Φ ÓÒ Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÐÐ Ô ¹ ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ ÚÓ Ò ØÓ ØÙ ÙÓÖ ØØ Ó ÐÐ Ó ÚÐ ÐÐ Ö Òº ÀÙÓ¹ Ñ Ø Ò ØØ ÙÒ Ø Ó y = sinλt ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÙÖ ÐÐ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ò λ ÖÚÓ ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú ÖÚÓ Ú Ø Ò Ñ Ö Ò Ø Ò ÚÐ Òº ÌÑÒ ÚÐ Ò Ô ØÙÙ Ö ÔÔÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø λ ÓÒ π/λº ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Φ Ø ÙÚÙÙ Ò ÚÙÓ ÒØ ÖÓ Ø Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ z = Φ(t) sin λt Ô Ö Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø Ú Ø ÐÐÓØ Ñ ÐØ ÙÑÓ Ú Ø ØÓ Ò ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò λ Ú ÙÙÖ ÐÐÓÒÔ ØÙÙ ÐÝ Ò ÝÚ Ò Ô Ò º Â Ø ÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ ÚØ ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ô ØÙÙ h ÚÓ ÖÓØ ØÓ Ø Ò ÓÚ Ò Ô Ð Ó º Ì Ø ÙÖ ØØ ÙÒ Ø Ó Φ ÙÙÖ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò λ ÖÚÓ ÐÐ ÑÙÙØ Ô Ð Ó ¹ Ò ÒØ Ö Ð ÙÙÖ Ø Ò Ô ÖÙ ØÙÙ Ú Ø º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ÑÙÙØØÙ t = τ + h Ñ h = π/λ ÓÐÐÓ Ò ÔØ sin λt = sin λτº Ë Ó Ø Ø Ò ØÑ ÑÙÙØØÙ ÒØ Ö Ð Ò I ÓÐÐÓ Ò ÖÚ Ó Ø Ú ÐÐ ÒØ Ö Ð ÐÐ Ò Ý ØÔ ØÚ ÑÙÓØÓ I = I = b h h b Φ(τ + h) sin λτ dτ, Φ(t) sin λt dt. ÃÙÒ ÒÝØ Ú Ø Ò Ò ÑÑ Ý ØÐ ÑÙÙØØÙ τ ÑÙÙØØÙ t Ð Ø Ò Ý ØÐ Ô Ö Ò Ý ØÐ Ø Ý Ø Ò Ò 2I = b h Φ(t + h) sin λt dt + b Φ(t) sin λt dt = h Φ(t + h) sin λt dt + b h Φ(t + h) sin λt dt h + b h Φ(t) sin λt dt + b Φ(t) sin λt dt = b h Φ(t + h) sin λt dt + b h (Φ(t) Φ(t + h)) sinλt dt h b + Φ(t) sin λt dt. b h ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Φ Ø ÙÚÙÙ Ø ÙÖ ØØ Ð ÝØÝÝ ÐÐ Ò Ò ½

ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú Ó M ØØ ØÙØ ØØ Ú ÐÐ ÚÐ ÐÐ Φ(t) M Ñ Ø ÙÖ ØØ 2 I Φ(t + h) sin λt dt + b h Φ(t) Φ(t + h) sin λt dt h b + Φ(t) sin λt dt b h M dt + b h Φ(t) Φ(t + h) dt + b M dt h = 2Mh + b h Φ(t) Φ(t + h) dt. b h ÇÐ ÓÓÒ ǫ > º ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò λ Ú Ð Ø Ò Ò ÙÙÖ ØØ Ó Ó ÒØ ÖÓ ÒØ Ú¹ Ð ÐÐ Φ(t) Φ(t + h) < ǫ/(b ) Ð Mh = Mπ/λ < ǫ/2º ÌÐÐ Ò I < ǫ/2 + ǫ/2 hǫ 2(b ) < ǫ. Ë lim λ I = ÐÐ ǫ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ò º Ì ÑÐÐ Ò Ñ Ò Ø Ô Ò ÚÓ Ò ØÓ Ø ÑÝ ØØ ÙÒ λ º I 2 = b Φ(t) cos λt dt, ÃÝØ ØÒ Ø Ø Ø ÒÔ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ú ÑÑ Ò Ó ÒÔÙÓÐ Ø Ö ¹ ÖÚÓ Ø Ô Ø t Ñ Ö ÒØ f(t ) f(t+) Ú Ø Ú Ø º ÔÙÐ Ù º¾ Ö Ð Ø³Ò ÒØ Ö Ð µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ÓÒ ÚÐ ÐÐ [b,c] Ô ¹ ÐÓ ØØ Ò Ð ÙÒ Ø Ó ÓÐÐÓ Ò ÐÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø º ÇÐ Ø Ø Ò Ú Ð ØØ x [b,c]º ÌÐÐ Ò c sin {(2m + 1)(x u)} lim f(u) du = π (f(x+) + f(x )). m x u 2 b ÌÓ ØÙ ÚÖغ º ½¼ µº ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò f(x + t)/t ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó ÚÐ ÐÐ b x t ØØ t c xº ÆÝØ ÔÙÐ Ù Ò º½ ÑÙ Ò ÒØ Ö Ð ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó sin {(2m + 1)t} lim f(x + t) dt. m t ½

ËÙÓÖ Ø Ø Ò ØÓ ØÙ Ó Ó sin {(2m + 1)t} sin {(2m + 1)t} f(x + t) dt = (f(x + t) + f(x t)) dt t t = + sin {(2m + 1)t} f(x + t) dt t sin {(2m + 1)t} f(x t) dt. t ÐÓ Ø Ø Ò ÙÑÑ Ò Ò ÑÑ Ø ÒØ Ö Ð Ø º ÇÐ ÓÓÒ Φ(t) = (f(x + t) f(x+))/t Ó ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ ÙÒ Ø Óº ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÚÓ Ò Ö Ó ØØ f(x + t) = tφ(t) + f(x+) ÓÐÐÓ Ò sin {(2m + 1)t} sin {(2m + 1)t} f(x + t) dt = tφ(t) dt t t + sin {(2m + 1)t} f(x+) dt. t ÆÝØ Ð Ù Ò º½ ÑÙ Ò ÙÑÑ Ò Ò ÑÑ Ò Ò ÒØ Ö Ð ÓÒ ÒÓÐÐ º ÌÐÐ Ò Ø ØÚ Ö Ø Ø Ð ÑÑ Ò Ò ÙÒ (2m + 1) Ð m º Ë sin {(2m + 1)t} lim f(x+) dt = lim m t f(x+) sin {(2m + 1)t} dt m t = f(x+) sin t t ÎÓ Ò ØÓ Ø ØØ ÒØ Ö Ð ÒÓÐÐ Ø Ö ØØ ÑÒ (sin t)/t ÓÒ π/2 ÓØ Ò ØÓ ØÙ Ò Ò ÑÑ Ò Ó Ò ØÙÐÓ Ò dt. º½µ sin {(2m + 1)t} f(x + t) dt = π t 2 f(x+). ËÙÓÖ Ø Ø Ò ØÓ ØÙ Ò ØÓ Ò Ò Ó Ñ Ò Ø Ô Òº ÇÐ ÓÓÒ Φ(t) = (f(x t) f(x ))/t Ð f(x t) = tφ(t) + f(x )º ÆÝØ Φ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ ½

ÙÒ Ø Ó ÓÐÐÓ Ò sin {(2m + 1)t} sin {(2m + 1)t} f(x t) dt = tφ(t) dt t t + sin {(2m + 1)t} f(x ) dt. t ËÙÑÑ Ò Ò ÑÑ Ò Ò ÒØ Ö Ð ÓÒ ÐÐ Ò Ð Ù Ò º½ ÑÙ Ò ÒÓÐÐ º ÃÝع Ø Ò ÒÝØ Ñ ÔØØ ÐÝ Ù Ò ÐÐ Ò º¾µ sin {(2m + 1)t} f(x t) dt = π t 2 f(x ). ØÑÐÐ ØÙÐÓ Ø º½ º¾ Ò Ú Ø º Ä Ù º ÓÙÖ Ö³Ò ÒØ Ö Ð µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÙÒ Ø Ó f(t) dt < Ð ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò º Å Ö ØÒ Ú Ð f(t) = (f(x+) + f(x ))/2 Ó ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ f ÓÒ Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø Ô Ø tº ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓØ Ø Ò Ú ÑÑ Ò Ó Ò ÔÙÓÐ Ø Ò Ö ¹ ÖÚÓ Ò Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÖÚÓº Æ Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò ÓÐÐ ÚÓ Ñ ÔØ ÓÙÖ Ö³Ò ÒØ Ö Ð f(t) = 1 2π lim T T T e iλt dλ f(u)e iλu du. ÌÓ ØÙ ÚÖغ º ½¼ µº ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ò Ö Ð ÐÙ Ù b Ú ¹ Ø Ú Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÙÙÖ Ö Ð ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ λ Ð Ñ Ø Ò ÑÙÙ Ö Ð ÐÙ Ù ÓÐÐÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÙ Ù η Ø Ò ØØ λ = 2m + 1 + 2η Ñ η 1º ÌÙØ Ø Ò ÒÝØ ÒØ Ö Ð b sin{λ(t u)} b f(u)du t u = b = 2 b sin{(2m + 1)(t u)} f(u)du t u [ sin{λ(t u)} sin{(2m + 1)(t u)} 1 t u sin t u { } λ(t u) (2m + 1)(t u) 2 ] f(u)du ¾¼

{ } λ(t u) + (2m + 1)(t u) cos f(u)du 2 b sin{η(t u)} = 2 cos {(2m + 1 + η)(t u)}f(u)du. t u Å Ö ØÒ sin{η(t u)} Φ(u) = f(u). t u ÆÝØ Φ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ ÚÐ ÐÐ [,b] ÓÐÐÓ Ò ÐÐ Ò Ý ØÐ Ø ÙÒ Ú ¹ Ñ Ò ÒØ Ö Ð ØÝØØ Ð Ù Ò º½ ÓÐ ØÙ Ø b 2 sin{η(t u)} t u ÙÒ m º Ë ÓÒ ÓÐØ Ú b sin{λ(t u)} b f(u)du t u cos {(2m + 1 + η)(t u)} f(u)du, sin{(2m + 1)(t u)} f(u)du, t u ÙÒ m Ð λ º ÃÓ ØÐÐ Ò Ð Ù Ò º¾ ÑÙ Ò Ú ÑÑ Ò ÔÙÓÐ Ò ØÓ Ò Ò ÒØ Ö Ð ÓÒ π/2(f(t+) + f(t )) Ô Ø ÑÝ ÔØ b º µ lim λ sin{λ(t u)} f(u)du = π (f(t+) + f(t )). t u 2 Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ÒØ Ö Ð Ò Ýй Ð Ö Ó Ò ÚÓ Ò ÒØ Ð¹ ØÝ Ö Ø ÒØ ÐÑ Ò ØØ Ú ÙØØ ØÙÐÓ Òº Å Ð ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ò sin{λ(t u)} f(u)du t u b b f(t) dt b b 1 t 1 t u sin{λ(t u)} f(u) du 1 t u f(u) du b f(u) du, ¾½

Ñ b > 2tº ÐÖ Ò b ÚÓ Ò ÒØ Ð ØÝ Ö Ø Òغ Ë ÑÓ Ò Ó ÒØ Ö Ð f(t) dt ÓÒ ÓÐ Ñ ÚÓ Ò ÐÐ º Æ Ò Ý ØÐ Ò º ÒØ Ö Ð ÐÐ ÓÒ ØÙ ÙÙ Ø ÒØ ÖÓ Ñ Ö Ø ÔØ ÃÓ lim λ sin{λ(t u)} f(u)du = π (f(t+) + f(t )). t u 2 λ cos tτ dτ = 1/t(sin λt sin ) = (sinλt)/t ÚÓ Ò ÒØ Ö Ð Ö Ó Ø¹ Ø ÐÐ Ò ÑÙÓ Ó º µ lim λ λ cos α(t u)dα f(u)du = π (f(t+) + f(t )). 2 ÌÓ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ÒØ Ö Ð Ò Ö ØÝ Ø ÚÓ Ò Ú Ø º à ֹ Ó Ø Ø Ò Φ(u,α) = cosα(t u)f(u) ØÙØ Ø Ò Ø ÖÚÓ λ λ Φ(u,α)dα du Φ(u,α)du dα b λ λ = Φ(u,α)dα du + Φ(u,α)dα du b λ b λ Φ(u,α)du dα Φ(u,α)du dα b λ λ = Φ(u,α)dα du Φ(u,α)du dα b b b λ λ Φ(u,α) dα du + f(u) dα du + λ b λ Φ(u,α) du dα f(u) du dα b = 2λ f(u) du. b b ¾¾

ÒÒ Ø Ò ÐÙ Ù ǫº ÆÝØ ÒØ ÐÙ Ù λ Ó Ø ÚÓ Ò ÐÙ Ù b Ú Ð Ø Ò Ò ÙÙ¹ Ö ØØ b f(u) du ǫ 2λ. ÌÐÐ Ò Ý ØÐ Ø ÙÒ Ó ÔÙÓÐ Ò Ò Ò Ô Ò Ù Ò ÐÙØ Ò Ñ Ø ÙÖ λ Φ(u,α)dα du = λ Φ(u,α)du dα. Ë Ñ ÒÐ Ø ÔØØ ÐÝ ÝØØ Ò ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ λ Φ(u,α)dα du = λ Φ(u,α)du dα. ÌÑÒ ÚÙÓ ÒØ ÖÓ Ñ Ö ØÝ Ý ØÐ º ÚÓ Ò Ú Ø ÓÐÐÓ Ò ¹ ØÙ Ý ØÐ ÓÒ Ö ÓÙÖ Ö³Ò ÒØ Ö Ð Ò ÑÙÓØÓ λ lim cos α(t u)dα f(u)du = π (f(t+) + f(t )). λ 2 Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò Ý ØÐ Ò cos α(t u) = (e iα(t u) + e iα(t u) )/2 Ò Ó ØØÙ ÓÙÖ Ö³Ò ÒØ Ö Ð Ò ÓÑÔÐ ÑÙÓØÓ f(t) = 1 2π lim T T T e iλt dλ f(u)e iλu du, Ñ f(t) ÓÒ Ú ÑÑ Ò Ó Ò ÔÙÓÐ Ø Ò Ö ¹ ÖÚÓ Ò Ö ØÑ ØØ Ò Ò ¹ ÖÚÓ Ô Ø tº Î Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº ÓÙÖ Ö³Ò ÒØ Ö Ð Ø ÚÓ Ò Ó Ø ÒÒ Ú Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ¹ ÐÐ º ÌÑ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ó Ð ÙÔ Ö Ò Ò ÑÙÙÒÒ ØØ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÐ ÑÙÙÒÒ ØØÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò Ò Ò ØØ ÓÐ ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ò Ò ÚÖغ ÑÖ Ø ÐÑ ¾º½µº Ä Ù º ÚÖغ º ¾ ½ µº ÇÐ ÓÓÒ f Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÙÒ Ø Ó ÚÐ ÐÐ [, )º ÇÐ ÓÓÒ F(p) ÓÐ Ñ ÙÒ Rep > c º ÌÐÐ Ò ÙÒ t > 1 1 (f(t+) + f(t )) = 2 2πi lim σ+ir R σ ir F(p)e pt dp, (σ > c). ¾

ÌÓ ØÙ ÚÖغ º ¼ µº ÂÓ Ø Ò ÓÙÖ Ö³Ò ÒØ Ö Ð Ø º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø Ó I ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ØØ ÐÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ô Ø ÙÚÙÙ ¹ Ó Ø ÚÐ ÐÐ (, )º ÇÐ Ø Ø Ò Ú Ð ØØ I(t) dt < º ÌÐÐ Ò º µ I(t) = 1 2π lim R R R e iλt dλ I(u)e iλu du, Ó ÚÓ Ò ÑÝ Ö Ó ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÓÐÐÓ Ò º µ I(t) = (2π) 1/2 lim R R R G(λ)e iλt dλ º µ G(λ) = (2π) 1/2 I(t)e iλt dt, Ñ G ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ I ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ º ÓÙÖ Ö³Ò ÒØ Ö Ð λ ÓÒ Ö ¹ Ð ÑÙÙØØÙ ÑÙØØ Ó Ð ÙÔ Ö Ø Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò Ð I(t) Ke αt ÙÒ t Ñ K,α > ÑÓ Ò I(t) Le βt ÙÒ t Ñ L,β > Ò Ò Ý ØÐ Ò º ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ó α < Im λ < βº Å¹ Ö Ø ØÝØ Ð ÓÐ ØÙ Ø Ø Ú Ø ØØ ØÑ ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò ÑÝ Ð¹ ÐÑ Ò ØÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó ÚÖغ Ð Ù ¾º½µº Æ Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò Ú ÐÐ ¹ Ø ÚÓ Ò ØØ ÐÝ Ð ÒØ ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ λ ÓÑÔÐ ÑÙÙØØÙ º ØÐ º ÚÓ Ò ÒÝØ Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó º µ I(t) = (2π) 1/2 lim R+iγ R R+iγ G(λ)e iλt dλ, Ñ α < γ < βº Ë Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ Ò º λ = ip ÓÐÐÓ Ò p = iλ dλ = (1/i)dp Ú Ð Ø Ò I(t) = (2π) 1/2 f(t)h(t) Ñ H(t) ÓÒ À Ú ¹ Ò ÙÒ Ø Óº ÌÑ Ú Ð ØØÙ ÙÒ Ø Ó ØÓØ ÙØØ ÒÝØ ÙÒ Ø ÓÐÐ I ÑÑ Ò Ø ØÙØ ÓÐ ØÙ Ø ÐÐ f ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÙÒ Ø Ó ÚÐ ÐÐ [, ) Ð Ù Ò ÓÐ ¹ ØÙ Ø Ò ÑÙ Ø º ÌÙÐÓ f(t)h(t) ÓÒ ØÐÐ Ò Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÚÐ ÐÐ (, )º Î Ð ØÙÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÑÝ Ú ØØ Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ñ ÐÐÝØØ Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø Ò ÑÖÒ Ö ÐÐ ÝÝØغ ÌÐÐ Ò G(ip) = (2π) 1/2 (2π) 1/2 f(t)h(t)e pt dt = f(t)e pt dt = L[f(t)]. ¾

Ë ÑÓ Ò ÚÓ Ò Ø Ó ØÙ Ð ÙÙ Ø ÒØ ÖÓ ÒØ Ö Ø Ý ØÐ Ò º ÓÐÐÓ Ò Ë (2π) 1/2 f(t)h(t) = (2π) 1/2 lim = (2π) 1/2 lim º µ f(t)h(t) = 1 2πi i(r+iγ) R i( R+iγ) γ+ir R γ ir lim γ+ir R γ ir i(ip)t dp G(ip)e i pt dp L[f(t)]e i. L[f(t)]e pt dp. ÆÝØ f(t)h(t) = ÙÒ t < f(t)h(t) = f(t) ÙÒ t º Ì Ø ÙÖ ØØ β ÓÐÐ Ù Ò ÙÙÖ Ø Ò º ØÐ º ÓÒ Ò Ò Ä ÔÐ Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ú ÙÒ γ > cº ÌÐÐ Ò γ ÑÝ ØÓØ ÙØØ ÐРѹ Ñ Ò Ø ØÙØ ÓØ ÙÙÐÙÙ ÚÐ ÐÐ [ α, ) Ú α ÓÐ Ñ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÐÙ Ù ÐÐ Ð Ù Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò c > º ÃÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ú Ð Ø f(t+) = f(t ) Ó ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ø¹ ÙÚ Ó tº ÂÓ F(p) = L[f(t)] Ò Ò f ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ F ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ð f(t) = L 1 [F(p)]º ÃÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÙÓÖ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ò Ù Ø Ò¹ Ò ÓÐ Ù Ò Ò ÝØÒÒ ÐÐ Ø Ú Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ò f Ð ÝØÑ ¹ Ø ÐÐÒ ÑÙ Ø Ø ÐÓÙ ÐÐ ÑÔ ÒÓ Ò Ø Ò ÑÑ Ò Ö Ý¹ Ð Ù Ò Ý Ø Ý ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Òº Ò Ò Ù Ø Ò Ò Ø ØÒ Ð Ù ÓÒ ÑÙ Ò ÒØ Ò Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ò¹ Ø ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ò Ñ Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø Ñ Ø ØÝ ÐÙ Ò Ð ÝØÑ ÝØ ØÒº Ä Ù º Ä Ö ³Ò Ð Ù µº ÂÓ L[f 1 (t)] = L[f 2 (t)] Ò Ò ØÐÐ Ò f 1 (t) f 2 (t) = n(t) Ñ n ÓÒ Ó Ò ÒÓÐÐ ÙÒ Ø Óº ÐÐ Ò Ò Ð Ù Ó Ó ØØ ØØ Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ø ÖÓ Ú Ø ØÓ Ø Ò ÓÖ ÒØ Ò ÒÓÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÖÖ Ò Ð Ò Ò ÖÚÓØ ÔÓ ¹ Ú Ø ØÓ Ø Ò Ú Ò Ý ØØ Ô Ø º Ä Ù º Ä ÔÐ Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ö ÝÐ Ù Ò ÚÙÐÐ µº ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó F ÓÐÓÑÓÖ Ò Ò ÐÐ Ô Ø Ö ÐÐ Ø ÑÖ ÓÐ Ú Ò ÚÓ 1,... n º ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ Ð ÝØÝÝ ÐÐ Ø Ú ÓØ M k (> ) ØØ F(p) M p k ÙÒ p ÓÒ ÙÙÖ º ÌÐÐ Ò ÙÒ t > Rep > Re j (j = 1,...,n) Ò Ò 1 2πi lim σ+ir R σ ir F(p)e pt dp = n res{f(p)e pt ; j } (σ > Re j ). j=1 ¾

ÌÓ ØÙ ÚÖغ º ¾ ½ µº ÁÒØ ÖÓ Ò F(p)e pt ÔÙÓÐ ÝÑÔÝÖ Ø Ò Ø ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ò Ö ÑÓÒ ÙÐÑ ÓÒ Ö ÙÒ Ò ÝÐ Ã º ÙÚ ½µº A γ B σ C ÃÙÚ ½ ÁÒØ ÖÓ Ñ ÔÓÐ Ù Ð Ù Ò º ØÓ ØÙ Òº Ê ÝÐ Ù Ò ÚÙÐÐ º½¼µ σ+ir F(p)e pt dp = F(p)e pt dp + γ σ ir ABC n F(p)e pt dp = 2πi res{f(p)e pt ; j }. j=1 Ã Ö Ò ABC Ý ØÐ ÓÒ p = σ + Re iθ Ñ θ [π/2, 3π/2] ÙÒ R ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ p = σ + Re iθ σ Re iθ = σ R = R σ. ÌÓ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ ÒØ Ö Ð ÖØ ABC Ô Ø Ò ÓÒ ÒÓÐÐ º ÇÐ ØÙ Ø Ò ÑÙ¹ Ò ÙÒ R ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ 3π/2 F(p)e pt dp F(p) e (σ+reiθ)t ire iθ dθ ABC = = π/2 3π/2 π/2 3π/2 π/2 3π/2 π/2 M(R σ) k e (σ+reiθ )t R dθ M(R σ) k e tσ e tr(cos θ+isin θ) R dθ M(R σ) k e tσ e tr cos θ R dθ ¾

= 2 3π/2 π/2 π π/2 M(R σ) k e tσ tr cos θ R dθ M(R σ) k e tσ tr cos θ R dθ π/2 = 2Me tσ (R σ) k e tr sin ϕ R dϕ, (ϕ = θ π/2). ÇÐ Ø Ø Ò ØØ k > 1º ÌÐÐ Ò ÙÒ R Ò Ò (R σ) k e tr sin ϕ R R 1 k e tr sin ϕ Ó ÔÙÓÐ Ø Ò Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ º Ì Ø ÙÖ ØØ Ó Ó Ò¹ Ø Ö Ð Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ ÙÒ R º ÌÐÐ Ò Ý ØÐ Ø º½¼ ÙÖ Ú Ø º ÌÓ ØÙ Ù Ø Ò Ò Ô Ó < k 1 Ó ØÐÐ Ò ÒØ ÖÓ Ø Ú ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ú Ø R 1 k Ò Ð ØÝ ÒÓÐÐ º ËÓÚ ÐÐ Ø Ò Ò ÒÝØ ÂÓÖ¹ Ò Ò ÔÝ ØÐ ÓÒ ÑÙ Ò 2Rϕ/π R sin ϕ ÙÒ ϕ (,π/2] Ñ Ø ÙÖ ØØ e R sin ϕ e 2Rϕ/π º ÐÐ Ò Ý ØÐ Ø ÙÒ Ú Ñ Ò Ò ÒØ Ö Ð Ò ÒÝØ ÑÙÓØÓÓÒ π/2 2Me tσ (R σ) k e tr sin ϕ R dϕ 2RMe tσ (R σ) k Ó ÔÙÓÐ Ø Ò Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ ÙÒ R º π/2 = Mπ (R σ) k (1 e tr ), t e 2tRϕ/π dϕ Ê ÝÐ Ù ÓÒ Ö ØØ Ò ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ø ØØ º Ñ Ö º ÚÖغ º ¾ Ø Øº µº Ø ØÒ ÙÒ Ø ÓÒ g(p) = ((p 2 + 4)(p 2 + 1) 2 ) 1 ÒØ ÑÙÙÒÒÓ L 1 [g(p)] Ö Ý Ò ÚÙÐÐ º ÆÝØ ÙÒ Ø Ó g ØÝØØ Ð Ù Ò º ÓÐ ØÙ Ø ÓØ Ò 1 (p 2 + 4)(p 2 + 1) 2 = 1 (p 2 + 4)(p 2 i 2 ) 2 = 1 (p 2 + 4)(p i) 2 (p + i) 2, ÓÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ g ÓÒ Ô ÐÓØ ØØÙ Ý Ò ÖØ Ò Ò Ò Ô Ô Ø p = ±2i ¹ Ò ÝÚ ÖØ ÐÙ Ù m = 2 ÓÐ Ú Ò Ô Ô Ø p = ±iº Ä Ù Ò º ÒÓ ÐÐ L 1 [g(p)] = res{g(p)e pt ; 2i} + res{g(p)e pt ; 2i} + res{g(p)e pt ; i} + res{g(p)e pt ; i}. Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò ÑÓ Ò res{g(p)e pt ; 2i} = res{g(p)e pt ; 2i} = e 2it 4i((2i) 2 + 1) 2 = e2it 36i e 2it 4i(( 2i) 2 + 1) 2 = e 2it 36i. ¾

Ä Ù Ò ½º ÒÓ ÐÐ Ø [ ] d res{g(p)e pt e pt ; i} = dp (p 2 + 4)(p + i) 2 Ë ÑÓ Ò [ ] d res{g(p)e pt e pt ; i} = dp (p 2 + 4)(p i) 2 Ë L 1 [g(p)] = e2it e 2it 36i p=i p= i t(eit + e it ) 12 = 1 18 sin 2t t 6 cos t + 1 sin t. 18 = teit 12 ieit 36. = te it 12 + ie it 36. i(eit e it ) 36 Ñ Ö º ÚÖغ º ¾ Ø Øº µº Ø ØÒ ÙÒ Ø ÓÒ g(p) = 6(p 4 + 1p 2 + 9) 1 ÒØ ÑÙÙÒÒÓ º ÙÒ Ø ÓÐÐ g ÓÒ Ò Ð Ò ÑÑ Ø ÖØ ÐÙ Ù ÓÐ Ú Ô ÐÓØ ØØÙ Ò Ô ÓÐÐÓ Ò Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò L 1 [g(p)] = res{g(p)e pt ; i} + res{g(p)e pt ; i} + res{g(p)e pt ; 3i} + res{g(p)e pt ; 3i}. ÓÐÐÓ Ò res{g(p)e pt ; i} = 6eit 16i, res{g(p)e pt ; 3i} = 6ei3t 48i, res{g(p)ept ; i} = 6e it 16i, res{g(p)ept ; 3i} = 6e i3t, 48i L 1 [g(p)] = 6(eit e it ) 16i 6(ei3t e i3t ) 48i = 3 4 sin t 1 sin 3t. 4 ÂÓ ÙÒ Ø Ó ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ò ÐÔÓÑÑ Ò ÒÒ ØØÚÒ ÙÒ Ø ÓÒ ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ò Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ø ÝØØ Ò ÙÖ Ú ØÙÐÓ Ø º Ä Ù º ÚÖغ º ¾ µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø Ó ÐÐ f g ÓÒ Ä ÔÐ ¹ ÑÙÙÒÒÓ Ø F G Ú Ø Ú Ø ÙÒ Re p > cº ÌÐÐ Ò FG = H ÙÒ Re p > c Ñ h ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ò f g ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÙÒ h(y) = y f(t)g(y t)dt (y ). ¾

ÌÓ ØÙ ÚÖغ º µº Î Ð Ø Ò p A = {p C Re p > c} ØÙØ Ø Ò Ó ÒØ Ö Ð T I T = f(t)e pt dt T t g(u)e p u du = T t T f(t)g(u)e p (t+u) dt du. ÃÙÒ ÒÝØ Ø Ò Ó ØÙ v = u + t Ò T T I T = f(t)g(v t) e pv dt dv. t Î Ø Ò ÒØ ÖÓ Ñ Ö ØÝ ÓÐÐÓ Ò ØÙÐ Ð ÙÙ Ø ÒØ ÖÓ Ñ Ö Øº ÐÐ t T t v T ÓÐÐÓ Ò v Ö ÔÔÙÙ ÑÙÙØØÙ Ø tº Î Ø Ñ ÐÐ Ö ÔÔÙÚÙÙ ØÓ ÒÔ Ò Ò v T t v º ÙÚ ¾µº Ë Ú Ø Ñ ÐÐ ÒØ ÖÓ Ñ Ö ØÝ Ø ¹Ö Ó º½½µ I T = v T f(t)g(v t)e p v dv dt = v T f(t)g(v t)dt e p v dv. v T T t ÃÙÚ ¾ ÁÒØ ÖÓ Ñ ÑÙÙØØÙ Ò Ú ØÓ Ð Ù Ò º ØÓ ØÙ º ÌÓ ÐØ ÚÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ I T Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ó ÒØ Ö Ð ÝÐ ÓÐÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ò ÐÙ Ò ÙÒ t T u T t º ÙÚ µ Ó ÔÙÓÐ Ø Ò ÚÓ Ò ÓÐÑ Ò Ó ¹ ÐÙ Òº ÌÐÐ Ò I T = T/2 f(t)e pt dt T/2 g(u)e pu du + T/2 f(t)e pt dt T t g(u)e p u du + T f(t)e pt dt T t g(u)e p u du. T/2 T/2 ¾

u T T 2 T 2 ÃÙÚ ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÙ Ò Ó Ó ¹ ÐÙ Ò Ð Ù Ò º ØÓ ØÙ º T t ÆÝØ ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÒØ Ö Ð Ø F(p ) G(p ) ÙÔÔ Ò Ú Ø ÓÐÙÙØØ ¹ Ø º ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò ÒÒ ØØÙ ǫ > Ó Ø Ð ÝØ ÐÐ Ò Ò T ØØ ÙÒ T/2 > T Ò Ò T/2 f(t)e t dt < ǫ T/2 g(t)e t dt < ǫ, ( A) ÓÐÐÓ Ò T/2 T T/2 f(t)e pt dt T t T/2 f(t)e pt dt T t g(u)e pu du 2ǫ g(u)e pu du 2ǫ f(t)e t dt g(t)e t dt. ÆÑ ÒØ Ö Ð Ø Ð ØÝÚØ ÒÓÐÐ ÙÒ T ÐÐ ǫ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ñ Ð ¹ Ú ÐØ Ò Ô Ò º Ë ÙÒ Ø Ó I T ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ð T/2 T/2 I T f(t)e pt dt g(u)e pu du +2ǫ f(t)e t dt+2ǫ g(t)e t dt, Ñ Ø ÙÖ ØØ lim I T = G(p )F(p ). T ÌÓ ÐØ ÙÒ Ð Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ I T Ö ¹ ÖÚÓ ÙÒ T Ý ØÐ Ò º½½ ÑÙ Ò Ò v lim I T = T f(t)g(v t)dt e p v dv. ÆÝØ ÙÒ ÐÐ Ø ØÙÐÓ Ø Ý Ø ØÒ Ò Ú Ø ÐÐ p ÓÒ Ñ Ø Ò ÓÙ ÓÒ A Ô Ø º ¼

Î Ñ ÑÑÒ Ñ Ö Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÐ ÚÓ ÒÙØ Ð ÝØ ÑÝ Ó ÑÙÖØÓ Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ ÓÒ Ò ÝÚ ÙÓÑ Ø ØØ Ù Ò ÝØØ ÐÔÓ ¹ ØÝ ÐÙ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð ÝØÑ ÓÒ Ù Ø º Ä ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ð ØÝ Ú Ð ÙÙ Ø Ò ÙÐÑ Ø º Æ Ñ ØØ Ò Ø Ö Ø ÐØ Ú ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÑÝ ØØ Ö ÓÐÐÓ Ò Ø ØÚ Ö Ò ÒØ ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ò Ø Ñ Ò Ò Ñ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÙÒ Ø Ó ÚÐ ÐÐ [, )º ÇÐ ÓÓÒ F(p) ÓÐ ¹ Ñ ÙÒ Rep > c ÐÑ Ø Ú ÑÙÓ Ó F(p) = n p n 1, Ñ Ý ØÐ Ò Ó ÔÙÓÐ ÙÔÔ Ò ÙÒ p > ǫº ÌÐÐ Ò ÙÒ t > n f(t) = n! tn. n= n= ÌÓ ØÙ ÚÖغ º ¾ µº ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò g(p) = n= np n 1 ÙÔÔ ¹ Ò ÙÒ p > ǫº ÌÐÐ Ò ÑÝ n p n 1 = n p n 1 ÙÔÔ Ò º ÌÓ Ò ÒÓ Ò n r n 1 ÙÔÔ Ò ÙÒ r > ǫº ÃÒÒ Ð Ù Ò ÑÙ Ò f(t) = 1 2πi lim σ+ir R σ ir g(p)e pt dp, ÙÒ σ > ǫ. ÆÝØ g ÓÒ ÓÐÓÑÓÖ Ò Ò ÙÒ p > ǫº Ä ÙÒ Ú Ð Ø Ò S Ø Ò ØØ p S > ǫ Ò Ò g(p) n S n p 1 = p 1 n S n, n= ÓÐÐÓ Ò ÙÒ Ú Ð Ø Ò ÒØ ÖÓ ÒØ ÔÓÐ Ù γ ÙØ Ò ÙÚ Ò Ò Ð Ù Ò º Ø ¹ Ô Ò ÒØ Ö Ð Ö ÑÓÒ ÙÐÑ ÓÒ Ö Ò ÝÐ ÓÒ ÒÓÐÐ º Ë 1 g(p)e pt dp =. 2πi ÌÐÐ Ò 1 2πi lim σ+ir R σ ir ABC n= g(p)e pt dp = 1 lim 2πi R γ g(p)e pt dp. ÙÒ Ø ÓÒ g ÓÐÓÑÓÖ ÙÙ Ø ÙÖ ØØ ÓÖÑ Ø ÓÐ Ù Ò ÑÙ Ò ÚÓ ¹ Ò ÙÙ ÒØ ÖÓ Ñ ÔÓÐÙ Ú Ð Ø γ(;s) ÙÒ σ > S > ǫ ÓÐÐÓ Ò º½¾µ 1 2πi lim R γ g(p)e pt dp = 1 2πi γ(;s) g(p)e pt dp = 1 2πi ½ γ(;s) n p n 1 e pt dp. n=

A σ + ir γ B ǫ σ C σ ir ÃÙÚ ÁÒØ ÖÓ Ñ ÔÓÐ Ù Ð Ù Ò º ØÓ ØÙ Òº ÑÔÝÖÔÓÐÙÐÐ γ(;s) e pt K ÖÐÐ Ú ÓÐÐ K ÓÐÐÓ Ò n p n 1 e pt K n p n 1 K n S n 1. Ë n p n 1 e pt M n M n ÙÔÔ Ò ÓÐÐÓ Ò ÒØ Ö Ð Ò ÙÑÑ Ò Ô ÚÓ Ò Ú Ø ÚÖغ º ½ ½ µ Ý ØÐ º½¾ Ò ÑÙÓØÓÓÒ 1 n 2πi n= γ(;s) p n 1 e pt dp = n= n t n n!, Ó Ú Ñ Ò Ò ÚÐ Ú ÓÒ ØÙ ÝØØ Ò Ù ÝÒ ÒØ Ö Ð Ú Ö ¹ Ú ØÓ ÐÐ º ½ º Ë Ú Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº Ñ Ö º ÚÖغ º ¾ Ø Øº µº ÇÐ ÓÓÒ { 2t/T ÙÒ t T/2 f(t) = 2(1 t/t) ÙÒ T/2 t T º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ f(t) = 2 T ( th(t) + 2 ( ( 1) n t 1 ) 2 Tn H n=1 ( t 1 2 Tn ) ), ÙÒ t H ÓÒ À Ú Ò ÙÒ Ø Óº ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ä ÔÐ ¹ ÑÙÙÒÒÓ Ó Ú ÒÒ ØÒ ÓÔ Ú Ò ÑÙÓØÓÓÒº ÌÑÒ Ð Ò Ø ØÒ ¹ Ú ÒÒ ØÝÒ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ º ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ T Óй ÐÓ Ò Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ (1 e pt )F(p) = T f(t)e pt dt = T/2 f(t)e pt dt + T f(t)e pt dt. T/2 ¾

ÙÒ Ø ÓÒ f ÑÖ Ø ÐÑÒ Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒÒ Ò ÚÙÐÐ (1 e pt )F(p) = 2 T T/2 te pt dt + 2 T e pt dt 2 T T te pt dt ÌÓ Ò ÒÓ Ò = 2 T 2 T = 2 / T/2 / T T/2 Tp 2e F(p) = (1 e pt ) 1 ( 2 Tp 2e T/2 1 p te pt + 1 p te pt + T/2 T T/2 T/2 1 p e pt dt 2 p 1 p e pt dt T 2 p + 2 Tp + 2 2 2 Tp 2e pt / T e pt T/2 T Tp 2e 2 p. T 2 p + 2 Tp + 2 2 2 Tp 2e pt Ã Ø ØÒ ÙÖ Ú Ø (1 e pt ) 1 Ö ÓÐÐÓ Ò F(p) = ( 1 + e pt + e 2pT + e 3pT +... ) Ä Ù Ò º ÑÙ Ò ( f(t) = 2 T ( 2 Ñ ÓÐ ØÓ Ø ØØ Ú º Tp 2e T 2 p + 2 Tp + 2 2 2 Tp 2e pt ) T Tp 2e 2 p ) T Tp 2e 2 p = 2 Tp 2 ( e T 2 p + 1 + e pt e T 2 p e 3T 2 p + e pt ) +e 2pT e 3T 2 p e 5T 2 p + e 2pT e 5T 2 p +... = 2 ( 1 T p + 2 ( ) ) e T 2 p 2 2 p + e pt e 3T 2 p +... ( = 2 ) 1 T p + 2 ( 1) n 1 2 2 Tnp. p 2e 1 th(t) + 2 n=1 ( ( 1) n t 1 ) 2 Tn H n=1 ( t 1 2 Tn ) ),.

Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø ÙÐÓØØÙÚ Ø ÝÚ Ò Ð ÐÐ Ö Ý ¹ Ò ÐÙ ÐÐ º ÅÙÙÒÒÓ ÓÚ ÐØÙÙ Ö ÒÓÑ Ø Ö Ð Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Ñ Ð¹ Ð ÒØ Ñ Ò ÓØ ÓÚ Ø Ð ÔÓØ Ð ÒÒ Ò Ò Ø t = º Ì ÐÙÚÙ ¹ ØÝØÒ Ð ÒÒ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò Ñ Ø Ñ ØØ ¹ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÐÐ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ö ØØ Ò ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò Ö Ð Ø Ò Ö ÒØ Ð ¹ Ö Ò Ý ØÐ Ò ÒØ Ö Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù º Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÝØØ ÑÑ ÐÙÚÙ Ø ÐØÝ ØÙÐÓ Ú Ò¹ ÒÓÐÐ Ø ÑÙÙÒÒÓ Ò Ý ÝÐÐ ÝÝØØ Ñ Ø Ñ Ø Ú Ö Ò Ò ÓÚ ÐÐ ØÙ Ñ Ø Ñ Ø º º½ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ö ØÝ Ò Ý ÝÐÐ Ò Ò ØÝ ÐÙ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø Ö Ø¹ Ø º ÅÙÙÒÒÓ Ò ÝØØ ÐÔÓ ÙÙ Ô ÖÙ ØÙÙ Ó ØØ Ò Ò ØØ Ý ¹ ØÐ Ò ÝÐ Ø Ö Ø Ù ÓÐ Ø ÖÔ Ò Ø Ú Ò Ð Ù ÓØ ÚÓ Ò ÓØØ Ó ÐÙ ÙÓÑ ÓÓÒº ÌÑ ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØÙ Ô Ö ÒØ Ò Ö Ø ÙÑ Ò Ø Ð¹ ÑÒ Ú ÖÖ ØØÙÒ º Ì Ð ÐÙÚÙ Ö Ø Ø Ò Ö Ð Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÓ Ò ÚÙÐÐ º ÐÓ Ø Ø Ò Ý Ò ÖØ ÐÐ Ñ Ö Ðк Ñ Ö º½ ÚÖغ º ¾ Ø Øº µº Ê Ø Ø Ò Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò ¹ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ d 2 y dt + 6dy 2 dt + 13y =, ÙÒ y() = y () = 1. Ø ØÒ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò ÓÐÐÓ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð Ò Ö ÙÙ Ò ÚÙÓ Ó Ò Ø ÖÑ Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÚÓ Ò Ø Ö Òº Ä Ù Ò ¾º ØÙÐÓ Ø Ð Ù ØÓ ÝØØÑÐÐ [ ] d 2 y L = p 2 L[y(t)] py() y () = p 2 L[y(t)] p 1 dt [ 2 ] dy 6L = 6pL[y(t)] 6y() = 6pL[y(t)] 6. dt Ä L[13y(t)] = 13L[y(t)] L[] = ÓÐÐÓ Ò ÙÙ Ý ØÐ ÓÒ p 2 L[y(t)] p 1 + 6pL[y(t)] 6 + 13L[y(t)] =, Ñ Ø L[y(t)] ÓÒ ÐÔÔÓ Ö Ø Ø º Ë L[y(t)] = 7 + p p 2 + 6p + 13 = 7 + p (p + 3) 2 + 2 = p + 3 2 (p + 3) 2 + 2 + 2 2 2 (p + 3) 2 + 2 2. ÆÝØ Ø ØÒ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÚÙÐÐ Ò ÙÓÖ Ò Ú Ø Ù Ð Ù¹ Ô Ö Ò ÓÒ ÐÑ Òº Ñ Ö Ò ¾º ¾º Ð Ù Ò ¾º¾ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ y(t) = e 3t cos 2t + 2e 3t sin 2t.

ÂÓ Ö Ø Ø Ú Ò ÓÐ Ú Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐØ Ô ÐÓ ØØ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó Ø ÝØ ØÒ Ö Ø Ù ÝÚ À Ú Ò ÙÒ Ø ÓØ º Ñ Ö º¾ ÚÖغ ½ º ¾ Ø Øº ½ µº Ê Ø Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ { d 2 y t ÙÒ t < 2 dt + y(t) = 2 2 ÙÒ t 2 ÝØØ Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÙÒ y() = 1 y () = º ÆÝØ Ý ØÐ Ò Ó ÔÙÓÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÙ ÐÐ Ò ÝØØ Ò ÝÚ À Ú Ò ÙÒ Ø ÓØ Óй ÐÓ Ò º½µ d 2 y + y(t) = t (t 2)H(t 2). dt2 ÇØ Ø Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò ÓÐÐÓ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð Ò Ö ÙÙ Ò ÚÙÓ Ó Ò Ø ÖÑ Ò ÑÙÙÒÒÓ ÚÓ Ò Ð Ö Òº ÆÝØ ÝØØ Ò ÝÚ Ð Ù Ò ¾º ØÙÐÓ Ø Ð Ù ØÓ Ò [ ] d 2 y L = p 2 L[y(t)] py() y () = p 2 L[y(t)] p. dt 2 Ä Ñ Ö Ò ¾º¾ Ð Ù Ò ¾º¾ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø ØÒ ØØ L[t] = 1 p 2 L[(t 2)H(t 2)] = e 2p p 2. ÆÝØ Ý ØÐ Ò º½ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ó Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø L[y(t)] ÓÐÐÓ Ò º¾µ L[y(t)] = p 2 L[y(t)] p + L[y(t)] = 1 p 2 e 2p p 2, 1 p 2 (p 2 + 1) e 2p p 2 (p 2 + 1) + p p 2 + 1. Ì ØÚ Ø ÙÒ Ø ÓÒ L[y(t)] ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ó ÓÒ Ð ÙÔ Ö Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ùº ÃÓ Ø ÖÑ ØØ Ò ÒØÑ Ò Ò ÓÒ ÐÐ ØØÙ ÚÓ Ò ÐÓ ØØ Ø ÑÐÐ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ L 1 [(p 2 (p 2 + 1)) 1 ]º Ë [ ] [ L 1 1 = L 1 p 2 (p 2 + 1) 1 p 2 (p + i)(p 1) ÓÐÐÓ Ò Ö ÝØ Ù Ò Ò Ú ÓÚ Ø Ð Ù Ò ½º ½º ÑÙ Ò { } [ ] e pt d res p 2 (p + i)(p i) ; e pt = = t, dp p 2 + 1 p= ],

Ð { } e pt res p 2 (p + i)(p i) ; i { res e pt p 2 (p + i)(p i) ; i [ ] L 1 1 = t eit p 2 (p 2 + 1) 2i + e it 2i [ ] e pt = p 2 (p + i) } [ e pt = p 2 (p i) p=i ] = eit 2i p= i = e it 2i = t sin t Ñ Ö ØÒ f(t)µ. ÌÑÒ ØÙÐÓ Ò Ð Ù Ò ¾º¾ µ ÚÙÐÐ Ò Ý ØÐ Ò º¾ Ó Ò ÔÙÓÐ Ò ØÓ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ [ ] L 1 e 2p = f(t 2)H(t 2). p 2 (p 2 + 1) Ä Ó Ñ Ö Ò ¾º ÑÙ Ø L 1 [p/(p 2 +1)] = cost Ò Ò Ö Ø Ù Ò Ð y(t) = f(t) f(t 2)H(t 2) + cost = t sin t (t 2)H(t 2) + sin(t 2)H(t 2) + cost y(t) = { t sin t + cos t ÙÒ t < 2 sin t + 2 + sin(t 2) + cost ÙÒ 2 t Ñ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò º½º Ñ Ö º ÚÖغ º ¾ Ø Øº ½ µº Ê Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ ÖØÓ Ñ Ò Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ tf (t) + (1 + t)f (t) + f(t) = t 2 (t ) ÝØØ Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø º ÇØ Ø Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò Óй ÐÓ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð Ò Ö ÙÙ Ò ÚÙÓ ÚÓ Ò Ó Ò Ò Ø ÖÑ ÑÙÙÒØ Ö ¹ Òº ÌÐÐ Ò ÝØØ Ò Ð Ù Ø ¾º ¾º L[tf (t)] = d dp (p2 L[f(t)] pf() f ()) = 2pL[f(t)] p 2 d L[f(t)] + f(), dp L[f (t)] = pl[f(t)] f(), L[tf (t)] = d dp (pl[f(t)] f()) = L[f(t)] p d dp L[f(t)] L[t 2 ] = 2 p 3.

ØÐ Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ 2pL[f(t)] p 2 d dp L[f(t)] + pl[f(t)] p d dp L[f(t)] = 2 p 3, Ó ÚÓ Ò Ú ÒØ ÑÙÓØÓÓÒ d dp F(p) + 1 p + 1 F(p) = 2 p 4 (p + 1). Ê Ø Ø Ú Ò ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ º R 1 à ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù ÐÐ e p+1 dp = p + 1º ÌÐÐ Ò (p + 1) d dp F(p) + F(p) = 2 p 4. ØÐ Ò Ú Ò ÔÙÓÐ ÓÓ ØÙÙ ØÙÐÓÒ Ö Ú Ø Ø ÓÐÐÓ Ò d dp (F(p)(p + 1)) = 2 p 4. ÃÙÒ ÓØ Ø Ò ÒØ Ö Ð Ø ÑÙÙØØÙ Ò p Ù Ø Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò Ò Ñ Ø ÙÖ ØØ F(p) = 2 1 3 p 3 (p + 1) + A 1 p + 1, Ú Óµ, f(t) = 2 [ ] 1 3 L 1 + Ae t. p 3 (p + 1) Ä Ù Ò º ÚÙÐÐ Ò Ú Ñ Ò Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ö Ø ØÙ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ (p 3 (p + 1)) 1 ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù ÓÐÑ ÓÐ Ú Ò ÝÚ Ò Ô Ô Ø p = Ý Ò ÖØ Ò Ò Ò ÝÚ Ò Ô Ô Ø p = 1 ÓÐÐÓ Ò Ð Ù ¹ Ò ½º ½º ÚÙÐÐ { } e pt res p 3 (p + 1) ; = 1 { } e pt 2 t2 t + 1 res p 3 (p + 1) ; 1 = e t. Ë f(t) = 1 3 t2 2 3 t + 2 3 2 3 e t + Ae t, Ó ÓÒ Ö Ø Ø Ú Ò ÓÐÐ Ò ÑÙÙØØÙ ÖØÓ Ñ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÝÐ ¹ Ò Ò Ö Ø Ùº Ñ Ö º ÚÖغ º ¾ Ø Øº ½¾ µº Ç Ó Ø ØØ Ú ØØ x(t) = ( 2 + (b 2 + c 2 ) cos ωt)/ω 2 Ñ ω 2 = 2 + b 2 + c 2 ÙÒ Ø ØÒ ØØ dx = bz cy, dp dy = cx z, dp dz dp = y bx

x() = 1 y() = z() = º ÇØ Ø Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ó ¹ Ø Ý ØÐ Ø Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÓÐÐÓ Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò Ð¹ Ù ÓØ Ò pl[x] 1 = bl[z] cl[y], pl[y] = cl[x] L[z], pl[z] = L[y] bl[x]. Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ö Ø Ø L[x] ÓØ Ò Ö Ø Ø Ò Ò Ò Ð ÑÑ Ø Ý ØÐ ¹ Ø L[z] Ó Ø Ø Ò ÝÐ ÑÔ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ø Ò L[y] ØÓ Ø Ý ØÐ Ø Ó Ø Ø Ò ÝÐ ÑÔÒ Ý ØÐ Òº ÌÐÐ Ò ÝÐ Ò Ý ØÐ ÚÓ Ò Ú ÒØ ÑÙÓØÓÓÒ Ð pl[x] = b p L[x] = ( ) ( ) cp + b p 2 + 2L[x] b2 c 2 p L[x] p + bc p 2 + L[x] + 1 2 p 2 + 2 p(p 2 + 2 + b 2 + c 2 ) = (p 2 + 2 )( 2 + b 2 + c 2 ) p(p 2 + 2 + b 2 + c 2 )( 2 + b 2 + c 2 ). ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ x(t) Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÚÓ Ò Ú ÒØ ÑÙÓØÓÓÒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 b 2 p L[x] = + 2 + b 2 + c 2 p 2 + b 2 + c 2 p 2 + ( 2 + b 2 + c 2 ) ( ) ( ) c 2 p +, 2 + b 2 + c 2 p 2 + ( 2 + b 2 + c 2 ) Ñ Ø ÙÖ ØØ 2 x(t) = 2 + b 2 + c + b 2 2 2 + b 2 + c cos 2 + b 2 + c 2 t 2 c 2 + 2 + b 2 + c cos 2 + b 2 + c 2 t 2 = 2 + (b 2 + c 2 ) cos ωt ω 2, ÙÒ Ñ Ö ØÒ ω 2 = 2 + b 2 + c 2 º Î Ø ÓÒ ÒÝØ ØÓ Ø ØØÙº Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÝØ ØÒ ÑÝ Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø¹ ÙÙÒº ÌÐÐ Ò Ò ÓÒ ÓØØ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ØÓ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ù ¹ Ø Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÓÐÐÓ Ò ÚÙØ Ø Ò Ø Ú Ð¹ Ð Ò Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ º ÌÑ Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ô Ö ÒØ Ò Ö Ò¹ Ø Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÑ Ò Ø ÐÑ Òº Æ Ò Ò ÐÚ ÐÐ Ö Ø Ø Ú Ò ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ó Ø ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙÐÐ Ò ÐÚ ÐÐ Ú Ø Ù Ð ÙÔ Ö Ò ÓÒ ÐÑ Òº

Ñ Ö º ÚÖغ º ¾ Ø Øº ½ µº Ê Ø Ø Ò ÙÒ Ø Ó u(x,t) ÙÒ Ø ØÒ ØØ º µ 2 u t 2 u 2 x = 2 te x, Ñ x,t > º Ä Ø ØÒ ØØ u(x, ) = u t (x, ) = x u(,t) = 1 e t º ÇØ Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÑÙÙØØÙ Ò t Ù Ø Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ º ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó ÙÒ p 2 U(x,p) pu(x, ) u t (x, ) d2 U dx 2 = 1 p 2e x, 2 u x 2e pt dt = d2 dx 2 ue pt dt. Ë ÙÖ Ú Ó Ø Ø Ò ØÙÙÒ Ý ØÐ Ò Ð Ù ÓØ ÓÐÐÓ Ò Ò p 2 U(x,p) d2 U dx 2 = 1 p 2e x + x, Ó Ø ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÙÒ Ø ÐÐÒ ÑÙÙØØÙ p Ú ¹ ÓÒ º Î Ø Ú Ò ÓÑÓ Ò Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò p 2 U(x,p) d2 U dx 2 = Ö Ø Ù ÓÒ U(x,p) c = A(p)e px + B(p)e px Ñ A B ÓÚ Ø ÑÙÙØØÙ Ò p ÙÒ Ø Ó Ø º Ä Ó Ð Ñ ÐÐ Ý ØÝ Ö Ø Ù ÙÒ Ø ÓØ y = Ce x + Dx Ò ÖØÓ Ñ C = (p 2 (p 2 1)) 1 D = p 2 º ÌÐÐ Ò Ý ØÝ Ö Ø Ù ÓÒ U(x,p) p = (p 2 (p 2 1)) 1 e x + p 2 x Ñ Ø ÙÖ U(x,p) = U(x,p) c + U(x,p) p = A(p)e px + B(p)e px + 1 p 2 (p 2 1) e x + 1 p 2x. Ê Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÖØÓ Ñ Ø A Bº ÌÝØØ Ò Ð Ù Ò º ÓÐ ØÙ Ø ÓÒ Ð Ý ÝØØÚ ÐÐ Ø Ú ÓØ k M ØØ ÙÙÖ ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ò p ÖÚÓÐÐ U(x,p) M p k º Ì Ø ÙÖ ØØ A(p) = Ó e px Ú Ö ØØ ÙÒ p º Ä Ú Ñ Ø Ð Ù Ó Ø u(,t) = 1 e t ÙÖ ØØ U(,p) = 1/p 1/(p + 1) = 1/p(p + 1) ÓÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú Ë B(p) + 1 p 2 (p 2 1) = 1 p(p + 1), Ð B(p) = p2 p 1 p 2 (p 2 1). U(x,p) = p2 p 1 1 p 2 (p 2 1) e px + p 2 (p 2 1) e x + 1 p 2x = F(p)e px +e x G(p)+xK(p).

ÌÐÐ Ò u(x,t) = f(t x)h(t x) + e x g(t) + xt, Ñ H ÓÒ À Ú Ò ÙÒ Ø Ó ÙÒ ÓØ Ø Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ø ÑÙÙØØÙ Ò t Ù Ø Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò ÓÐÐÓ Ò ÑÙÙØØÙ x Ó ÐÐ Ò Ù Ò Ú ÓØ º Ê Ø ¹ Ø Ò ÙÒ Ø ÓØ f g ÝØØ Ò Ö ÝÐ Ù ØØ º º ÙÒ Ø ÓÐÐ F ÓÒ Ò ÝÚ ÖØ ÐÙ Ù m = 2 ÓÐ Ú Ò Ô Ô Ø p = Ò ÝÚØ Ý Ò ÖØ Ø Ò Ú Ø Ô Ø p = ±1º Ë [ ] [ ] d p 2 e pt pe pt e pt p 2 e pt pe pt e pt f(t) = + dp p 2 1 p= p 2 (p + 1) p=1 [ ] p 2 e pt pe pt e pt + = 1 + t cosh t, p 2 (p 1) ÑÓ Ò [ ] d e pt g(t) = dp p 2 1 p= p= 1 [ ] e pt + p 2 (p + 1) ÐÐ Ø ØÙÐÓ Ø ÙÖ ØØ p=1 [ ] e pt + p 2 (p 1) p= 1 = t + sinht. u(x,t) = H(t x)+(t x)h(t x) cosh(t x)h(t x) te x +e x sinh t+xt, Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó { te u(x,t) = x + e x sinh t + xt ÙÒ < t < x 1 + t x cosh(t x) te x + e x sinh t + xt ÙÒ t xº ÌÙÐÓ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò º º º¾ ÁÒØ Ö Ð Ý ØÐ Ø ÁÒØ Ö Ð Ý ØÐ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ º µ y(t) = f(t) + b k(x, t)y(x) dx, Ñ f k ÓÚ Ø ØÙÒÒ ØØÙ ÙÒ Ø Ó Ø b ÓÚ Ø Ó Ó ØÙÒÒ ØØÙ Ú Ó Ø Ø ÑÙÙØØÙ Ò t ÙÒ Ø Ó Ø º ÙÒ Ø ÓØ y ÔÝÖ ØÒ Ö Ø Ñ Òº ÁÒØ ¹ Ö Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ñ Ò Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙÐÐ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ò ÒÒ ØØ Ú ÐÐ Ù Ø Ô Ù ÑÙÙÒÒÓ Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ú ÑÑ Ò Ö Ø Ø Ú Ù Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ý ØÐ º ÃÙ Ø Ò Ò Ó Ý ØÐ º ÓÒ ÑÙÓØÓ y(t) = f(t) + t k(t x)y(x)dx, ÓÒ Ý ØÐ ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓØÝÝÔÔ ÓÐÐÓ Ò Ö Ø Ù Ð Ý ØÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ð¹ ÔÓ Ø ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÚÙÐÐ º ¾ º ¼

Ñ Ö º ÚÖغ º ¾ Ø Øº µº Ê Ø Ø Ò ÒØ Ö Ð Ý ØÐ y(t) = 1 + t xe x y(t x)dx (t > ). ÇØ Ø Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò ÓÐÐÓ Ò L[y(t)] = 1 p + L t xe x y(t x)dx. Å Ö ØÒ f(x) = xe x ÓÐÐÓ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ Ð Ù º µ ÚÙÐÐ t L xe x y(t x)dx = L[h(t)] = L[f(x)]L[y(t)] = L[y(t)] (p + 1) 2. Ì Ø ÙÖ L[y(t)] = (p + 1)2 p 2 (p + 2), ÓÐÐÓ Ò Ö ÝÐ Ù Ò ÚÙÐÐ Ð Ù º µ Ò ÐÚ ÐÐ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ð Ú Ø Ù Ð ÙÔ Ö Ò ÓÒ ÐÑ Òº ÅÙÙÒÒÓ ÐÐ ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù m = 2 ÓÐ Ú Ò ÝÚ Ò Ô Ô Ø p = Ò ÝÚ Ý Ò ÖØ Ò Ò Ò Ô Ô Ø p = 2º ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ½º ½º ÑÙ Ò res{l[y(t)]e pt ; } = [ d dp ] e pt (p + 1) 2 p + 2 res{l[y(t)]e pt ; 2} = e 2t ( 2 + 1) 2 ( 2) 2 p= = e 2t 4, = 2t + 3, 4 ÓÐÐÓ Ò y(t) = e 2t 4 + t 2 + 3 4. º Ö Ò Ý ØÐ Ø Ö Ò Ý ØÐ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ Ó ÐØ Ö Ø Ø Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(t) ÖØÝÑ f(t )º ÌÐÐ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö Ø Ñ Ò Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ò ÚÙÐÐ ÓÒ ÒÒ ØØ Ú ÑÔ Ù Ò ÐÐ ÒØ Ö Ð ÙÒ Ø Ó Ò Ö Ø ¹ Ñ Ò Òº Ö Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙØ Ô ÖÓ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø¹ Ù Ø ÒÓ Ø Ò Ò ØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÙÒÒ ØØ ÓÒ ÑÙ Ø Ø¹ Ø Ú ØØ L[f(t )] = L[H(t )f(t )] = e p F(p) Ñ ÙÒ Ø Ó H ÓÒ À Ú Ò ÙÒ Ø Óº Ê Ø Ø Ú Ø Ý ØÐ Ø ÚÓ Ú Ø ÑÝ ÓÐÐ Ö ÒØ Ð ¹ ÒØ Ö Ð ¹ Ö Ò Ý ØÐ Ò Ý Ø ÐÑ º ½

Ñ Ö º º Ê Ø Ø Ò Ö Ò Ý ØÐ y t 1 y t = t 2 Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ò ÚÙÐÐ º ÐÓ Ø Ø Ò ÓØØ Ñ ÐÐ Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÔÙÓÐ ØØ Òº Å Ö ¹ ØÒ y t 1 = f(t 1) y t = f(t) ÓÐÐÓ Ò Ú Ø Ú Ø Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÓÚ Ø L[f(t 1)] = e p F(p) L[f(t)] = F(p)º Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ñ¹ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò f(t 1) = Ó t < 1º Ì Ø Ô Ù y t = t 2 º Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙÐÐ Ö Ø Ø Ú Ý ØÐ ÑÙÙÒØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ e p F(p) F(p) = ( 1) 2 d2 dp 2p 1. Ì Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÙÒ Ø Ó F(p) ÓÐÐÓ Ò ÓØØ Ñ ÐÐ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ¹ Ò Ú Ø Ù Ð ÙÔ Ö Ò Ö Ò Ý ØÐ Òº Ë F(p) = 2 p 3 (e p 1) = 2 p 3 2 p 3e p 2 p 3e 2p 2 p 3e 3p..., Ó Ú Ñ Ò Ò ÑÙÓØÓ ÓÒ ØÙ ØØÑÐÐ Ø (e p 1) 1 Ö º Ë Ù¹ Ö Ú Ò Ú Ø Ù ÝØØÑÐÐ ÝÚ ØÙÐÓ Ø L[H(t )f(t )] = e p F(p) Ð Ù ØØ º ÓÐÐÓ Ò t 2 t < 1 t 2 (t 1) 2 1 t < 2 f(t) = t 2 (t 1) 2 (t 2) 2 2 t < 3 º º ÌÓ Ò ÒÓ Ò f(t) = t 2 H(t 1)(t 1) 2 H(t 2)(t 2) 2 H(t 3)(t 3) 2... ¾

Î ØØ Ø ½ Ö Ò ÊºÂº Ø Ö ÅÓÖ Àº º Ú Ò Ò Ö Âº º Ú Ò Ò ÎÖ ºÅº ÓÙÖ Ö Ò Ä ÔÐ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ì ÈÖ ËÝÒ Ø Ó Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ö Ñ Ö ¾¼¼ º ¾ ÓÙÖ ÒØ Êº Ö ÒØ Ð Ò ÁÒØ Ö Ð ÐÙÐÙ ÛÛÛ¹ Ó ÙÑ ÒØØ È ¹ Ú Ø ØØÝ ½ º º¾¼¼ Î Ø ØØÙ ½ º½¼º¾¼¼ ÍÊÄ ØØÔ»» Öº º غ ºØ» Ö Ó»Ñ Ø»Ñ Ø» Ø ÖØ Ðк ØѺ Â Ö Âº º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ä ÔÐ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ö Ò ½ º ÈÖ ØÐ Ý Àº º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ ¾Ò º ÇÜ ÓÖ ÍÒ ¹ Ú Ö ØÝ ÈÖ ÁÒº Æ Û ÓÖ ¾¼¼ º Ë ¹ÅÓÙ Ú Åº Ì ÒØ Ð Ó Ä ÔÐ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ê Ö Ò Ù Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Æ Û Â Ö Ý ½ ½º ËÑ Ø Åº º Ä ÔÐ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ì ÓÖÝ Î Ò ÆÓ ØÖ Ò ÓÑÔ ÒÝ ÄØ º ÄÓÒ ÓÒ ½ º Ï Ø Ò ºÏº Ä ÔÐ ÌÖ Ò ÓÖÑ ÛÛÛ¹ Ó ÙÑ ÒØØ Å Ø ÏÓÖÐ ¹ ÏÓÐ Ö Ñ Ï Ê ÓÙÖ ¾¼¼¾ È Ú Ø ØØÝ ¾ º º¾¼¼ Î Ø ØØÙ ½ º½¼º¾¼¼ ÍÊÄ ØØÔ»»Ñ Ø ÛÓÖÐ ºÛÓÐ Ö ÑºÓÑ»Ä ÔÐ ÌÖ Ò ÓÖѺ ØÑк ΠРú Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ì Ò ÐÐ Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙÒ Ð ÓÔÔ Ð ÙÒØ À Ð Ò ½ º